第一篇：四年級奧數盈虧問題練習

四年級盈虧問題練習

1、老師拿來一批樹苗，分給一些同學去栽，每人每次分給一棵，一輪一輪往下分，當分剩下12棵時不夠每人分一棵了，如果再拿來8棵，那么每個同學正好栽10棵。問參加栽樹的有多少名同學？原有樹苗多少棵？

2、少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？

3、學校安排學生到會議室聽報告。如果每3人坐一條長椅，那么剩下48人沒有坐；若每5人坐一條長椅，則剛好空出兩條長椅。問聽報告的學生有多少人？

4、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的小朋友每人5個則余10個；如果分給小班的小朋友每人8個則缺2個。已知大班比小班多3個小朋友，問這筐蘋果共有多少個？

5、某校到了一批新生，如果每個寢室安排8個人，要用33個寢室；如果每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，問這批學生可能有多少人？

第二篇：三年級奧數 盈虧問題

第4講盈虧問題

教學目標

本講主要學習三種類型的盈虧問題： 1.理解掌握條件轉型盈虧問題： 2.理解掌握關系互換性盈虧問題;3.理解掌握其他類型的盈虧問題，本節課要求老師首先上學生理解盈虧問題其本公式的含義，在通過例題讓學生掌握解答應困問題的其本技巧，培養學生的思維分析能力。經典精講

盈虧問題，故名思意有剩下就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時，經常會產程這種盈虧現象。盈虧問題的關鍵是專注兩次分配時盈虧總量的變化。我們把盈虧問題分為三類：“一盈一虧”、“兩盈”“兩虧”。1.“盈虧”型

例如：學而思學校四年級基礎班的同學分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學分多少粒糖果？

【分析】由題目條件知道，同學的人數與糖果的粒數不變，比較兩種分配方案，第一種沒人分4粒就多9粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于兩種方案分配數不同，兩次分配數之差為15?1?15（位），糖果的粒數為：4?15?9?69（粒）。2.“盈盈”型

例如：老猴子給小猴子分桃，每只小猴10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？

分析：老猴子的第一種方案盈9個桃子，第二種方案盈2個，所以盈虧綜合是9-2=7（個），兩次分配之差是11-10-1（個）有盈虧問題公式得，有小猴子：7?1?7（只），老猴子有7?10?9?79（個）桃子。3.“虧虧”型

例如：學而思學校新近一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發10本，還差9本，每人發9本，還差9本，第二次就只差2本了呢？因為兩次分配數量不一樣，第一次分配時每人少發一本，也就是共有7?1?7（人）書有7?10?9?61（本）。

根據以上具體題目的分析，可以得出盈虧問題的基本關系式：

(盈+虧)?兩次分得之差=人數或單位數

（盈-盈）?兩次分得之差=人數或單位數

（虧-虧）?兩次分得之差=人數或單位數

條件轉化型的盈虧問題

這種類型的題目不能直接計算，要將其中的一個條件轉化，使之成為普通盈虧問題。

【例1】 軍隊分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人住一個房間，現在每間住10人，可以空出多少個房間？

【分析】每間住6人，余下2人可以每人各住一個房間，說明多出兩個房間，同時多出兩個人，也就是第二次分配少6?2?2?10（人），那么兩次分配方案人數相差20+10=30（人），即可以空出10-50?10?5（間）房間。【鋪墊】學校給一批新入學分配宿舍。如果每個房間住12人，則34人沒有位置；如果每個房間住14人，則空出4個房間。求學生宿舍有多少間，住宿學生有多少人？

【分析】把“每個房間住14人，則空出4個房間”轉化為“每間住14人，則少14?4?56（人）”這樣兩種方案就可以比較了。

第一種方案多出34人，第二種方案少56人，90?2?45（間），學生數為：12?45?34?574（人）

[例2]媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6人，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個？全加共有多少人？ 【分析】由“其中兩人分4個，其余每人分2個，則多出4個，”轉化為全家每人都分2個，這分4個的兩人每人都拿出2個，共拿出4個，結果就多了4+4=8個：由“一人分6個，其余每人分4個，則缺少12個”轉化為全家每人都分4個，分6個的人拿出2個。結果就少了12-2=10個，轉變成了盈虧問題的一半類型,則：

全家的人數：[4?2?2?(12?2)]?(4?2)?18?2?9（人）

橘子的個數：2?9?8?26（個）

【鋪墊】實驗小學的少先隊員去植樹。如果每人種5棵還有3棵每人種；如果其中2人各種4棵。其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完，問有多少少先隊員參加植樹，一共iozhong多少課樹苗？

【分析】這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完，這組條件中包含著兩種種樹的情況——2人各種4棵，其余的人各種6棵。如果我們把他們統一成一種情況，讓每人種六棵，那么，就可以多種樹（6-4）?2?4（棵）。因此，原問題就轉化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種;如果每人種6棵數樹苗，還缺4棵。問有多少少先隊員，一共種多少樹苗？ 人數：[3+(6-4)?2]?(6?5)?7(人)，棵樹：5?7?3?38（棵）或6?7?4?38（棵）【小結】盈虧問題必須是將一定數量的物體平均分給固定對象，而本題中兩次分橘子均不是每人分別的橘子數相同。碰到此類似情況時，不需將其調整成兩次都是平均分，然后解答。

【例2】 學校規定上午8時到校，小明去上學，如果每分鐘走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學校的路程是多少？

【分析】小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60?10?600米，如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走50?8=400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60-50=10（米），就可以奪走600-400=200（米），從而可以求出小明由家道校所需時間。（1）10分鐘走多少米？60?10?600（米），（2）8分鐘走多少米？50?8?400（米）

（3）需要時間：（600-400）?(60?50)?20（分鐘），所以小明7時40分離家剛好8時到校。（4）由家到校的路程：60?(20?10)?600（米）或50?(20?8)?600（米）.【鋪墊】童童從家到學校，如果每分鐘走50 米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘60米，就可以比上課時間提前2分鐘奪走60-50=10（米），就可以奪走150+120=270（米），童童從家到學校所用時間是：270?10?27（分鐘），加到學校的距離是：50?(27?3)?50?30?1500（米）。

【例4】（第二屆“華杯賽”試題）有一個半同學去劃船。他們計算以下，如果增加一條船，正好每條船作6人；跑如果減少一條船，正好每條船坐6人。如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個班共有多少學生 【分析】先增加一條船，那么正好每條船坐6人。然后去掉兩條船，就會余下6?2?12（名）同學。改為每條船9人，也就是說，每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同學全部安排上去，所以現在還有12?3?4（條）船，而全班同學的人數是9?4?36（人）。【鞏固】增加兩條船，正好每條船坐6人，然后去掉四條船，就會余下6?4?24（人），改為每只船9人，即每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的24人全部安排上去，所以現在船數為24?3?8（條），這個班的人數為9?8?72（人）。【小結】這部分的題目不能直接運用公式計算，首先需要將一定的條件轉化，使之成為跟第一步分相似的題型，在運用公式計算。關系互換型的盈虧問題

這種題型中會出現兩種物品，一半兩者之間還存在數量關系，如和差關系、倍數關系等，我們應該先利用數量關系將已知條件轉化為一種物品的盈虧關系，再根據盈虧問題的 解法計算。

【例5】（2004“走進美妙的數學花園”數學邀請賽）

幼兒園老師把一袋糖果分給下朋友。如果分給打扮的小朋友，每人5粒就缺6粒。如果分給小班的小朋友，每人4粒。已知大班比小班少2個小朋友這袋糖果共有多少粒？ 【分析】如果大班增加2個小朋友，大、小班人數就相等了，變為“每人5粒缺16粒，每人4粒多4粒”的盈虧問題。小班有(16?4)?(5?4)?20（人）。這袋糖果有4?20?4?84（粒）。【拓展】（2007年湖北省“創新杯”決賽）

四（2）班舉行“六一”聯歡晚會，輔導員老師帶著一筆錢取買糖果。如果買芒果13千克，還差4元;如果買奶糖15千克，則還剩2元。已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導員老師帶了_____________元錢.[分析]這筆錢買了13千克芒果還差4元,若把13千克芒果換成奶糖就會多出13?2?26元，所以這筆錢買13千克奶糖會多出26-4=22元。而這筆錢埋15千克奶糖會多出2元，所以每千克奶糖的價格為：（22-2）?(15?13)?10（元）。輔導老師共帶了10?15?2?152（元）

【例6】（2004南京市少年數學智力冬令營）

甲、乙兩人各買了相同數量的信封與相同數量的信封與相同數量的信封，甲每封信用2張信紙信紙，乙每封信用3張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩20張信封，乙用完所有信紙還剩下10個信封，則他們每人各買了多少張信紙？ 【分析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30張信紙。這是盈虧問題，盈虧總額為（20+30）張信紙，兩次分配的差為（3-2）張信紙，所有的信封（20+30）?(3?2)?50（個），有信紙2?50?20?120）（張）【鞏固】甲、乙兩人的信紙一樣多，信封也一樣多，甲寫一封信用一張信紙，乙寫一封信用3張信紙。結果甲的信封用完時還剩50張信紙，乙的信紙用完時還剩50個信封，原來他們

各自有信封多少個？信紙多少張？

【分析】乙要想用完剩余的50個信封，還需再多50?3=150張信紙，也就是要用完同樣多的信封，甲多50張信紙，乙少150張信紙。

信封的個數：(50?3?50)?(3?1)?100（個）信紙的張數：100+50=150（張）

【小結】不同的人，相同的物品，假設都用完同樣多的信封，這就是“盈虧”的關聯點，問題便于解決了。【例7】體育中心將一些乒乓球分給若干人，每人5個還多余10個乒乓球，如果人數增加到3倍，那么每人分2個乒乓球還缺少8個，問有乒乓球多少個？

【分析】考慮人數增加3倍后，相當于按原人數每人給2?3?6（個），每人給5個與給6個，總數相差10+8=18（個），所以原有人數18?(6?5)?18（人），乒乓球總數是5?18?10?100（個）

【拓展】臥龍自然保護區管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數增加到3倍還少5只大熊貓，那么每只大熊貓分2個還缺8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少課？

【注意】以上題型中會出現兩種物品，一般兩者之間還存在數量關系，如和差關系、倍數關系等，我們應該先利用數量關系將已知條件轉化為一種物品的盈虧關系，再根據普通盈虧問題的解法計算。

【例8】幼兒園阿姨拿來水果糖和奶糖分給小朋友，且水果糖的個數是奶糖的2倍。如果每個小朋友分2個奶糖，就多余4個奶糖；如果每個小朋友分5個水果糖，則少2個水果糖。阿姨拿來了水果糖和奶糖個多少個？ 【分析】水果糖和奶糖的個數不相等，不能將兩者直接比較，如果本題中水果糖和奶糖一樣多就好了。所以，我們可以假設水果糖和奶糖一樣多，也就是假設奶糖是實際數量的2倍，那么，分給同樣多的小朋友后，每個小朋友可以分到2?2=4個，而多余的奶糖是4?2?8（個）、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10個，原因是每個小朋友多分了5-4=1個，這樣就可以求出小朋友的人數，然后根據太燙和水果糖的實際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個數，然后根據奶糖和水果糖的實際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個數，即：

(4?2?2)?(5?2?2)?10?1?10（個）小朋友的人數

10?2?4?24(個)

奶糖的個數 10?5?2?48（個）水果糖的個數

【注意】本題的解題關鍵在于通過假設，使兩種糖的個數變得同樣多在解答。其他類型的盈虧問題

盈虧問題有的題型不想普通的盈虧問題那么標準，它是經過普通盈虧問題的變形和拓展，解答這類問題也要利用其本盈虧問題解答方法，根據不同的題型作出相應的應對。

【例9】幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8快，還剩10快；若沒人分9塊，左后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？

【分析】最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊。根據盈虧計算公式，人數有（1+10）?（9-8）=11（人），糖果最多有9?11?1?98（塊）；最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據盈虧計算公式，人數有（8+10）?(9?8)?18（人），糖果最多有9?18?8?154（塊）；所以，這批糖果最多有154塊。

【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片數一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則缺少5張。現在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問共有小朋友多少人？ 【分析】60?7?8…4，60?8?7…4，說明卡片的盒數是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8?8?64（張），現在時機每人得到60張，即每人需要退4張，其中要有4張式每人60張后多下來的，還有40張我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，44?4?11（人），說明有11人。

【例10 】媽媽給了紅紅一些錢去買賀年卡，有甲、乙、丙三種賀年卡，甲種卡每張1元，丙種卡片每張2元。用完這些錢買甲種卡要比乙種卡多買8張，買乙種卡要比買丙種卡多買6張。媽媽給了紅紅多少錢？乙種卡每張多少錢？

【分析】“用這些錢買甲種卡要比買乙種卡多買8張，買乙種要比買丙種卡多買6張”所以盈虧總額是：1?8?2?6?20（元），單價相加2-1=1（元），所以工可以買衣種卡20?1?20（張），媽媽給紅紅的錢數是：

（20+8）?1=28（元），乙種卡每張：28?20=1元4角。

【拓展】樂樂有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個;按錢數算，5分幣比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣。樂樂共花了多少錢？

【分析】假設去掉22個2分幣，那么按錢數算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個二分幣多3分，所（5-2）=28個 以5分幣有：84 ?2分幣有：28+22=50（個）

所以樂樂共存錢：5 ?28?2?50?1?36?140?100?36?276（分）。鞏固精煉

1.小明讀一本書，如果每天讀6頁，還剩20頁沒有讀完，如果每天讀10也，書還少24頁，這本書共有多少頁，小明打算幾天讀完？ 【分析】在兩種方法中，數的頁數和打算讀的天數沒有改變，而第一種讀法，書沒讀完，還剩20頁；第二種讀法，不僅可將余下的29頁讀完，如果書還有24頁也能恰好讀完。兩種不同讀法總頁數相差20+24=44頁，造成這個差異的原因就是每天多讀天了 10-6=4頁。每天多讀4頁就要多讀44頁，因此打算毒的天數是44 ?4?11天，即：

（20+24）?（10-6）=44?4=11（天）6?114?20?86（頁）

2.陽光小學學生乘汽車到香山春游。如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果沒車多坐5人，恰好多于一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學生? [分析]每車多坐5人，實際是每車可坐5+65=70（人），恰好多余一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即70人，因而原因問題轉化為：如果沒車坐65人，則多出5人無人乘坐；如果每車坐70人，還少70人，求有多少人和多少輛車？車數是（5+5+65）?5?15（輛）人數是65?15?5?980（人）或（5+65）?(15?1)?980（人）3.王老師由家里到學校，如果騎車每分鐘每分鐘500米，上課就要遲到3分鐘；如果騎車每分鐘600米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。王老師家到學校的路程是多少米？ 【分析】遲到3分鐘轉化成米數：500?3=1500（米），提前兩分鐘到校轉化成米數：600?2=1200（米），（1500+1200）?（600-500）=27（分鐘）500?(27?3)?15000（米）

4.王阿姨去買水果。如果買5千克橙子，就差10元錢；如果買6千克葡萄，則余2元錢。已知每千克橙子比每千克葡萄貴4元，每千克橙子和每千克葡萄個多少元？ 【分析】本題涉及到兩種水果，較難入手。但題中告訴我們每千克橙子比每千克葡萄貴4元，所以可以設法把兩種水果轉化為一種水果。

因為每千克橙子比每千克葡萄貴4元，所以將買5千克橙子換成買5千克葡萄，就要少用4?5=20（元），于是，“買5千克橙子差10元錢”就可以變成“買5千克葡萄余20-10=10元”，則題目乘為：王阿姨買水果，如果買5千克葡萄，就余下10元錢；如果買6千克葡萄就余2元錢，而每千克橙子比每千克葡萄貴4元，求每千克橙子和葡萄各多少元？解答這個問題就不難了。

每千克葡萄的價錢：(5?4?10?2)?(6?5)?8?1?8（元）每千克橙子的價錢：8+4=12（元）

5.媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價分別為8元和10元，媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒有剩余的錢。問：媽媽帶了多少錢？ 【分析】（法一）“多買3袋，”這三袋洗衣粉多花8?3?24（元）又因為花的錢總數一樣多多，所以在買碧浪洗衣粉的時候要把這些錢補上，而碧浪比雕牌每袋貴2元，所以要買碧浪洗衣粉袋數24?2?12（袋。）這樣媽媽帶的錢數是10?12?120（元）。（法2）如果買雕牌與碧浪洗衣粉數量一樣多，則買雕牌洗衣粉以后還剩3?8?24（元），買碧浪洗衣粉的數量是：24?(10?8)?24?2?12（袋）所以媽媽帶的錢數是12?10?120（元）

第三篇：小學奧數盈虧問題題庫教師版

盈虧問題

知識點說明：

盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數量的物品平均分給一定數量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”．

可以得出盈虧問題的基本關系式：

(盈?虧)?兩次分得之差?人數或單位數(盈?盈)?兩次分得之差?人數或單位數(虧?虧)?兩次分得之差?人數或單位數

物品數可由其中一種分法和人數求出.也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種 情況，都是屬于按兩個數的差求未知數的“盈虧問題”.注意1.條件轉換 2.關系互換

板塊

一、直接計算型盈虧問題

【例 1】 三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？

【解析】 比較兩種搬磚法中各個量之間的關系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差5?4?1（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數：7?2?9（塊），每人相差1塊，結果總數就相差9塊，所以有少先隊員9?1?9（人）．共有磚：4?9?7?43（塊）．

【鞏固】 明明過生日，同學們去給他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？

【鞏固】 老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？

【鞏固】 有一批練習本發給學生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個班有多少學生，多少練習本呢？

【例 2】（2007年“走進美妙的數學花園”初賽）猴王帶領一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分5個，小猴分3個，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．

【詳解】 當大猴分5個，小猴分3個時，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．也就是說在大猴分5個，小猴分3個后，每只大猴都拿出1個，分給每只小猴1個后，還剩下20?10?10個，所以大猴比小猴多10只．

【鞏固】 學而思學校新買來一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發10本，還差9本，每人發9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？

【鞏固】 幼兒園給獲獎的小朋友發糖，如果每人發6塊就少12塊，如果每人發9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？

【鞏固】 王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？

【鞏固】 工人運青瓷花瓶250個，規定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元．運完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？

【例 3】 某校安排學生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床位，問宿舍幾間?住宿生幾人? 【解析】 由已知條件

每間5人 少14個床位

每間7人 多4個床位

比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住(7?5)?2人，一共要多出(14?4)?18個床位，根據兩種方案每間住的人數的差和床位差，可以求出宿舍間數，然后根據已知條件可求出住宿生人數．

解：(4?14)?(7?5)=9(間)

5?9?14?59(人)，或7?9?4?59(人)

【鞏固】 學校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人．已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？

【鞏固】 智康學校三年級精英班的一部分同學分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學分多少粒糖果？

【鞏固】 秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數算了一下，如果每天吃4個，要多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則又少8個蘿卜．那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃吃多少天？

板塊

二、條件關系轉換型盈虧問題

【例 4】 貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？

【解析】 貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是11?10?1（條），由盈虧問題公式得，有小貓：8?1?8（只），貓媽媽有8?10?8?88（條）魚．

【鞏固】 學而思學校三年級基礎班的一部分同學分小玩具，如果每人分4個就少9個，如果每人分3個正好分完，問：有多少位同學分多少個小玩具？

【鞏固】 學而思學校買來一批小足球分給各班：如果每班分4個，就差66個，如果每班分2個，則正好分完，學而思小學一共有多少個班？買來多少個足球？

【鞏固】 一位老師給學生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有多少位學生？共多少粒糖果？

【鞏固】 實驗小學學生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學生？

【例 5】 甲、乙兩人各買了相同數量的信封與相同數量的信紙，甲每封信用2 張信紙，乙每封信用3 張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20 張信紙，乙用完所有信紙還剩下10 個信封，則他們每人各買了多少張信紙？

【例 6】 幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果共有多少個？

【鞏固】 幼兒園把一袋糖果分給小朋友．如果分給大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分給小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 個小朋友，這袋糖果共有多少粒？

【例 7】 有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現有人數增加到原有人數的1.5倍，那么每人4塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？

【解析】 第一次每人分5塊，第二次每人分4塊，可以認為原有的人每人拿出5?4?1塊糖分給新增加的人，而新增加的人剛好是原來的一半，這樣新增加的人每人可分到2塊糖果，這些人每人還差4?2?2塊，一共差了10?2?12塊，所以新增加了12?2?6人，原有6?2?12人．糖果數為：12?5?10?70(塊)．

【鞏固】 臥龍自然保護區管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少棵？

【鞏固】 體育隊將一些羽毛球分給若干個人，每人5個還多余10個羽毛球，如果人數增加到3倍，那么每人分2個羽毛球還缺少8個，問有羽毛球多少個？

【例 8】 王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數是桔子數的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個.問有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？

【解析】 因為桔子每人分3個多4個，而蘋果是桔子的2倍，因此蘋果每人分6個就多8個.又已知蘋果每人分7個少5個，所以應有（8+5）÷（6-5）=13（人）.蘋果個數為13×7-5=86（個）.桔子數為 13×3+4=43（個）.答：有13個小朋友，86個蘋果和43個桔子.【鞏固】 學而思學校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問：學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？

【例 9】 用一根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時，多5米；如果繩子3折時，差4米.求繩子長度和井深.【例 10】 樂樂有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個；按錢數算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣．樂樂共存了多少錢？

【例 11】 陽光小學學生乘汽車到香山春游．如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果每車多坐5人，恰多余了一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學生？

【鞏固】 幸福小學少先隊的同學到會議室開會，若每條長椅上坐3人則多出7人，若每條長椅上多坐4人則多出3條長椅．問：到會議室開會的少先隊員有多少人？

【鞏固】 智康小合唱隊的同學到會議室開會，若每條長椅上坐3人則多出9人，若每條長椅上坐4人則多出3人.問：合唱隊有多少人？

【鞏固】 少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？

【鞏固】 六年級學生出去劃船。老師算了一下，如果每船坐6人，那么還剩下22人沒船坐。安排時發現有3條船壞了，于是改為每船坐8人，結果還剩下6人沒地方坐，請問：一共有多少學生？

【例 12】 學校為新生分配宿舍．每個房間住3人，則多出23人；每個房間住5人，則空出3個房間．問宿舍有多少間？新生有多少人？

【解析】 每個房間住3人，則多出23人，每個房間住5人，就空出3個房間，這3個房間如果住滿人應5(人)，由此可見，每一個房間增加5?3?2(人)．兩次安排人數總共相差該是5?3?123?15?38?80(人)，或者(人)，因此，房間總數是：38÷2＝19(間)，學生總數是：3?19?235?19?5?3?80(人)．

【鞏固】 學校為新生分配宿舍．每個房間住3人，則多出22人；每個房間多住5人，則空1個房間．問宿舍有多少間？新生有多少人？

【鞏固】 軍隊分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人各住一個房間，現在每間住10人，可以空出多少個房間？

【鞏固】 豬媽媽帶著孩子去野餐，如果每張餐布周圍坐4只小豬就有6只小豬沒地方坐，如果每張餐布周圍多坐一只小豬就會余出4個空位子，問：一共有多少只小豬，豬媽媽一共帶了多少張餐布？

【例 13】 國慶節快到了，學而思學校的少先隊員去擺花盆．如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完．問有多少少先隊員參加擺花盆活動，一共擺多少花盆？

【鞏固】 媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個?全家共有多少人?

【例 14】 四⑵班舉行“六一”聯歡晚會，輔導員老師帶著一筆錢去買糖果．如果買芒果13千克，還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元．已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導員老師帶了 元錢．

【解析】 這筆錢買13千克芒果還差4元，若把這13千克芒果換成奶糖就會多出13?2?26元，所以這筆錢買13千克奶糖會多出26?4?22元．而這筆錢買15千克奶糖會多出2元，所以每千克奶糖的價格為：(22?2)?(15?13)?10（元）．輔導老師共帶了10?15?2?152元．

【鞏固】 小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元．已知每千克牛肉比豬肉貴3元，問：小明媽媽帶了多少錢？

【鞏固】 食堂采購員小李到集貿市場去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價8角.問牛肉、豬肉各多少錢一千克？

【鞏固】 李明的媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價分別為8元和10元，李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒有剩余的錢．問：李媽媽帶了多少錢？

【例 15】 小強由家里到學校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。小強家到學校的路程是多少米？

【解析】 遲到3分鐘轉化成米數：50?3?150（米），提前2分鐘到校轉化成米數：60?2?120（米），距離上課時間為：(150?120)?(60?50)?27（分鐘），家到學校的路程為：50?(27?3)?1500（米）．

【鞏固】 東東從家去學校，如果每分走80米，結果比上課提前6分到校，如果每分走50米，則要遲到3分，那么東東家到學校的路程是______米．

【鞏固】 王老師由家里到學校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米，就可以比上課時間提前2分鐘到校.王老師家到學校的路程是多少米？

【鞏固】 學校規定上午8時到校，小明去上學，如果每分種走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學校的路程是多少？

【例 16】 “六一”兒童節，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內的球的數量相等．花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．因節日商店優惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？

【解析】 花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢30個．那

?5（元）25么，同樣買花球和白球各30個，花球要比白球多花10?2，共需要30?2?30?3???2?24（元）（元）．現在兩種球的售價都是2元錢5個，花球和白球各買30個需要(30?5)2，說明花球和白球各買30個能省下25?24?1（元）．現在共省了4元，說明花球和白球各有30?4?120（個）?240（個），共買了120?2．

【例 17】（2009“數學解題能力展示”中年級組復試題）幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖．她發給每個小朋友2塊巧克力，7塊奶糖和8塊水果糖．發完后清點一下，水果糖還剩15塊，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________個小朋友．

【解析】 畫線段圖分析，由題意知：

從奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如圖：

那么2小段和5份都看成10份量，那么總量就相當于19份量，水果糖中原有的8份就是現在的16份，則剩下的15塊水果糖就占有3份，則1份就是5塊，給小朋友們分出去的水果糖數量是：16?5?80（塊），小朋友的人數是：80?8?10（人）．

方法二：由上圖知，設發完后奶糖剩下1份，則巧克力剩下3份，而巧克力與奶糖每人分得相差5塊，對應剩下的糖相差2份，水果糖與奶糖每人分得相差1塊，則對應剩下的糖應相差2?5?0.4份，所以水果糖最后應剩下1?0.4?0.6份，恰是15塊，所以1份對應的是15?0.6?25，所以應用盈虧問題共有(25?15)?(8?7)?10（人）．

【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊．小唐喝前兩盒咖啡時每袋咖啡都放3塊方糖，結果共用了1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝后三盒咖啡時每袋咖啡都只放1塊方糖，最后第3包方糖還剩下36塊，那么每盒咖啡有多少袋？

【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3塊糖，相當于喝6盒咖啡每袋放1塊糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1塊糖，所以喝后3盒用掉的方糖總量是前2盒用掉方糖量的一半．

同時，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24塊，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12塊，因此一包又24塊方糖與兩包差24塊方糖一樣多，一包方糖有(24?24)?(2?1)?48（塊）．

于是喝前兩盒咖啡用掉方糖48?24?72（塊），每盒咖啡的袋數為：72?3?2?12（袋）．

【鞏固】 巧克力每盒9塊，軟糖每盒11塊，要把這兩種糖分發給一些小朋友，每種糖每人一塊，由于又來了一位小朋友，軟糖就要增加一盒，兩種糖分發的盒數就一樣多，現在又來了一位小朋友，巧克力還要增加一盒，則最后共有多少個小朋友？

【例 19】 有若干盒卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7張；如果每人分8張卡片，則還缺少5張．現在把所有卡片都分完，每人分到60張，而且還多出4張．問：共有多少個小朋友？

【詳解】 首先由題意，一盒卡片每人分7張則有剩余，每人分8張則少5張，證明總人數多于5個．

如果一共有7盒卡片，則所有人每人要想分到8?7?56（張）卡片，還缺35張，卡片張數比題中所述要少．

如果一共有9盒卡片，則只要再添上5?9?45（張）卡片，就能使所有人每人分到8?9?72（張），1?5，不滿足總人數多于5個的要求． 12類似地，當卡片總盒數多于9時，都不滿足總人數多于5個的要求．

因此卡片一共有8盒，添上5?8?40（張）卡片，就能使所有人每人分到8?8?64（張），所以總人數為：(40?4)?(64?60)?11（人）． 人數為(45?4)?(72?60)?4(二解)60?7?8?4，60?8?7?4，說明卡片的盒數是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們在每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8?8?64（張），現在實際每人得到60張，即每人需要退出4張，其中要有4張是每人60張后多下來的，還有40張是我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，44?4?11（人），說明有11人．

【例 20】 有若干個蘋果和若干個梨.如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那么梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨.蘋果和梨各有多少個? 【解析】 容易看出這是一道盈虧應用題，但是盈虧總額與兩次分配數之差很難找到.原因在于第一種方案是1個蘋果“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”5個梨.如果將這兩種方案統一為1個蘋果“搭配”若干個梨，那么問題就好解決了.將原題條件變為“1個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；1個蘋果搭配5/3個梨，多1個梨”，此時盈虧總額為4?1?5(個)梨，兩次分配數之差為2?5/3?1/3(個)梨.所以有蘋果(4?1)?(2?5/3)?15(個)，有梨15?2?4?26(個).【鞏固】 有若干個蘋果和梨，如果按1個蘋果配3個梨分一堆，那么蘋果分完時，還剩2個梨；如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時，還剩半個蘋果.問梨有多少個？

【例 21】 幼兒園老師給小朋友分糖果．若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊．那么糖果最多有多少塊？

【分析】 最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊．根據盈虧計算公式，（1?10）（?9?8）?11（人）人數有，糖果最多有9?11?1?98（塊）；最后一人分不到9塊，但至少

（8?10）（?9?8）?18（人）可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據盈虧計算公式，人數有，糖果最多有9?18?8?154（塊）；所以，這批糖果最多有154塊．

【例 22】 幼兒園有三個班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老師給小孩分棗，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，結果甲班比乙班共多分3個棗，乙班比丙班總共多分5個棗．問：三個班總共分了多少個棗？

（x?4）（x?8）【解析】 設丙班有x個小孩，那么乙班就有個小孩，甲班有個小孩．

乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，那么x個小孩就少分5x個棗，而乙班比丙班總共多分5個棗，所以多出來的那4個小孩分了（5x?5）個棗．

（x?4）（3x?12）同樣的道理，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，那么個小孩就少分個棗，而甲班比乙班總共多分3個棗，所以多出來的那4個小孩分了3x?12?3?3x?15個棗．

甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，4個小孩就少3?4?12個棗，因此我們得到：5x?5?3x?15?12，解得x?11．

所以，丙班有11個小朋友，乙班有15個小朋友，甲班有19個小朋友；甲班每人分12個棗，乙班每人分15個棗，丙班每人分20個棗．—共分了12?19?15?15?20?11?673（個）棗．

【鞏固】 有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．問第二組有多少人？

【例 23】 “六一”兒童節，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內的球的數量相等．花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．因節日商店優惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？

【解析】 花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢30個．那

?5（元）25么，同樣買花球和白球各30個，花球要比白球多花10?2，共需要30?2?30?3???2?24（元）（元）．現在兩種球的售價都是2元錢5個，花球和白球各買30個需要(30?5)2，說明花球和白球各買30個能省下25?24?1（元）．現在共省了4元，說明花球和白球各有30?4?120（個）?240（個），共買了120?2．

【鞏固】 有紅、黃、綠3種顏色的卡片共有100張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有1和2，黃色卡片的兩面上分別寫著1和3，綠色卡片的兩面上分別寫著2和3．現在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數字的那面朝上，經計算，各卡片上所顯示的數字之和為234．若把所有卡片正反面翻轉一下，各卡片所顯示的數字之和則變成123．問黃色卡片有多少張？

【例 24】 四(2)班在這次的班級評比中，獲得了“全優班”的稱號．為了獎勵同學們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮．劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優秀學生．如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時還剩5支鉛筆．那么，劉老師一共買了多少塊橡皮?多少支鉛筆? 【解析】 如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15(支)鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮數為：15×3=45(塊)，鉛筆數為：15×6—10=80(支)．

【鞏固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？

第四篇：小學奧數盈虧問題題庫教師版

盈虧問題

知識點說明：

盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數量的物品平均分給一定數量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”．

可以得出盈虧問題的基本關系式：

(盈?虧)?兩次分得之差?人數或單位數(盈?盈)?兩次分得之差?人數或單位數(虧?虧)?兩次分得之差?人數或單位數

物品數可由其中一種分法和人數求出.也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種 情況，都是屬于按兩個數的差求未知數的“盈虧問題”.注意1.條件轉換 2.關系互換

板塊

一、直接計算型盈虧問題

【例 1】 三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？

【解析】 比較兩種搬磚法中各個量之間的關系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差5?4?1（塊）．第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數：7?2?9（塊），每人相差1塊，結果總數就相差9塊，所以有少先隊員9?1?9（人）．共有磚：4?9?7?43（塊）．

【鞏固】 明明過生日，同學們去給他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？

【解析】 “多8元”與“多4元”兩者相差8?4?4（元），每個人要多出8?7?1（元），因此就知道，共有4?1?4（人），蛋糕價錢是8?4?8?24（元）．

【鞏固】 老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？

【解析】 老猴子的第一種方案盈9個桃子，第二種方案盈2個，所以盈虧總和是9?2?7（個），兩次分配之差是11?10?1（個），由盈虧問題公式得，有小猴子：7?1?7（只），老猴子有7?10?9?79（個）桃子.【鞏固】 有一批練習本發給學生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個班有多少學生，多少練習本呢？

【解析】 由題意知：第一種方案：每人發5本多出70本；第二種方案：每人發7本多出10本；兩種方案分配結果相差：70?10?60（本），這是因為兩次分配中每人所發的本數相差：7?5?2（本），相差60本的學生有：60?2?30（人）．練習本有：30?5?70?220（本）（或30?7?10?220）．

【例 2】（2007年“走進美妙的數學花園”初賽）猴王帶領一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分5個，小猴分3個，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．在這群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只．

【詳解】 當大猴分5個，小猴分3個時，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．也就是

說在大猴分5個，小猴分3個后，每只大猴都拿出1個，分給每只小猴1個后，還剩下20?10?10個，所以大猴比小猴多10只．

【鞏固】 學而思學校新買來一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發10本，還差9本，每人發9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？

【解析】 “差9本”和“差2本”兩者相差9?2?7（本），每個人要多發10?9?1（本），因此就知道，共有老師7?1?7（人），書有7?10?9?61（本）．

【鞏固】 幼兒園給獲獎的小朋友發糖，如果每人發6塊就少12塊，如果每人發9塊就少24塊，總共有多少塊糖呢？

【解析】 由題意知：兩次的分配結果相差：24?12?12（塊），這是因為第一次與第二次分配中每人相差：，多少人相差12塊呢？12?3?4（人），糖果數是：6?4?12?12（塊）（或9?6?3（塊）． 9?4?24?12）

【鞏固】 王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？

【解析】 本題購物的兩個方案，第一個方案：買7把差110元，第二個方案：買5把還多30元，從買7把變成買5把，少買了7?5?2（把），而錢的差額為：110?30?140（元），即140元可以買2把小提琴，可見小提琴的單價是每把70元，王老師一共帶了70?7?110?380（元）.【鞏固】 工人運青瓷花瓶250個，規定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元．運完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？

【解析】 本題中“損壞一個倒賠100元”的意思是運一個完好的花瓶與損壞1個花瓶相差100?20?120（元），即損1個花瓶不但得不到20元的運費，而且要付出120元．本例可假設250個花瓶都完好，這樣可得運費20?250?5000（元）．這樣比實際多得5000?4400?600（元）．

就是因為有損壞的瓶子，損壞1個花瓶相差120元．現共相差600元，從而求出共損壞多少個花瓶．根據以上分析，可得損壞了．（20?250?4400）（?100?20）?5（個）

【例 3】 某校安排學生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床位，問宿舍幾間?住宿生幾人? 【解析】 由已知條件

每間5人 少14個床位

每間7人 多4個床位

比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多住(7?5)?2人，一共要多出(14?4)?18個床位，根據兩種方案每間住的人數的差和床位差，可以求出宿舍間數，然后根據已知條件可求出住宿生人數．

解：(4?14)?(7?5)=9(間)

5?9?14?59(人)，或7?9?4?59(人)

【鞏固】 學校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人．已知這些宿舍中共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？

【解析】 如果30間都是小宿舍，那么只能住4?30?120（人），而實際上住了168人．大宿舍比小宿舍每間多住6?4?2（人），所以大宿舍有．（這是一個雞兔同籠，放在這里（168?120）?2?24（間）做對比）

【鞏固】 智康學校三年級精英班的一部分同學分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問：有多少位同學分多少粒糖果？

【解析】 由題目條件知道，同學的人數與糖果的粒數不變，比較兩種分配方案，第一種每人分4粒就多9

粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于兩種方案分配數不同，兩次分配數之差為：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以參與分糖果的同學的人數是15÷1=15（位），糖果的粒數為：4×15+9=69（粒）.【鞏固】 秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數算了一下，如果每天吃4個，要多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則又少8個蘿卜．那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃吃多少天？

【解析】 題中告訴我們每天吃4個，多出48個蘿卜；每天吃6個，少8個蘿卜．觀察每天吃的個數與蘿卜剩余個數的變化就能看出，由每天吃4個變為每天吃6個，也就是每天多吃2個時，蘿卜從多出48個到少8個，也就是所需的蘿卜總數要相差48＋8＝56（個）．從這個對應的變化中可以看出，只要求56里面含有多少個2，就是所求的計劃吃的天數；有了計劃吃的天數，就不難求出共有多少個蘿卜了．吃的天數：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），蘿卜數：6×28－8＝160（個）或 4×28＋48＝160（個）．

板塊

二、條件關系轉換型盈虧問題

【例 4】 貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？

【解析】 貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是，由盈虧問題公式得，有小貓：8?1?8（只），貓媽媽有8?10?8?88（條）魚． 11?10?1（條）

【鞏固】 學而思學校三年級基礎班的一部分同學分小玩具，如果每人分4個就少9個，如果每人分3個正好分完，問：有多少位同學分多少個小玩具？

【解析】 第一種分配方案虧9個小玩具，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9個，兩次分配之差是：（個），由盈虧問題公式得，參與分玩具的同學有：9?1?9（人），有小玩具9?3?27（個）． 4?3?1

【鞏固】 學而思學校買來一批小足球分給各班：如果每班分4個，就差66個，如果每班分2個，則正好分完，學而思小學一共有多少個班？買來多少個足球？

【解析】 第一種分配方案虧66個球，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是66個，兩次分配之差是4?2?2（個），由盈虧問題公式得，朝陽小學有：66?2?33（個）班，買來足球33?2?66（個）.【鞏固】 一位老師給學生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有多少位學生？共多少粒糖果？

【解析】 第一種分配方案盈9粒糖，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9粒，兩次分配之差是5?4?1（粒），由盈虧問題公式得，參與分糖的同學有：9?1?9（人），有糖果9?5?45（粒）．

【鞏固】 實驗小學學生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學生？

【解析】 沒輛車坐60人，則多余15人，每輛車坐60+5=65人，則多出一輛車，也就是差65人.因此車輛數目為：（65+15）÷5=80÷5=16（輛）.學生人數為：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.【例 5】 甲、乙兩人各買了相同數量的信封與相同數量的信紙，甲每封信用2 張信紙，乙每封信用3 張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20 張信紙，乙用完所有信紙還剩下10 個信封，則他們每人各買了多少張信紙？

【解析】 由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 張信紙．這是盈虧問題，盈虧總額為(20＋30)張信紙，兩次分配的差為(3－2)張信紙，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(個)，有信紙2×50＋20

＝120(張)．

【例 6】 幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果共有多少個？

【解析】 先把大班人數和小班人數轉化為一樣。大班減少3人，則蘋果又收回3?5?15個蘋果，人數一樣，根據盈虧問題公式，小班人數為：(15?10?2)?(8?5)?9人，蘋果總數是8?9?2?70個。

【鞏固】 幼兒園把一袋糖果分給小朋友．如果分給大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分給小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 個小朋友，這袋糖果共有多少粒？

【解析】 如果大班增加2 個小朋友，大、小班人數就相等了，變為“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒” 的盈虧問題．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．這袋糖果有4×20＋4＝84(粒)．

【例 7】 有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現有人數增加到原有人數的1.5倍，那么每人4塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？

【解析】 第一次每人分5塊，第二次每人分4塊，可以認為原有的人每人拿出5?4?1塊糖分給新增加的人，而新增加的人剛好是原來的一半，這樣新增加的人每人可分到2塊糖果，這些人每人還差4?2?2塊，一共差了10?2?12塊，所以新增加了12?2?6人，原有6?2?12人．糖果數為：12?5?10?70(塊)．

【鞏固】 臥龍自然保護區管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少棵？

【解析】 使同學們感到困難的是條件“3倍還少5只大熊貓”．先要轉化這一條件，假設還有 10棵竹子，10?2?5，就可以多有 5個大熊貓，把“少5只大熊貓”這一條件暫時擱置一邊，只考慮3倍大熊貓數，也相當于按原大熊貓數每只大熊貓給2?3?6(棵)竹子，每只大熊貓給5棵與給6棵，總數相差10?10?8?28(只)，竹子總數是?28(棵)，所以原有大熊貓數28?(6?5)(棵)． 5?28?10150?【鞏固】 體育隊將一些羽毛球分給若干個人，每人5個還多余10個羽毛球，如果人數增加到3倍，那么每人分2個羽毛球還缺少8個，問有羽毛球多少個？

【解析】 考慮人數增加3倍后，相當于按原人數每人給2×3＝6（個），每人給5個與給6個，總數相差10＋8＝18(個），所以原有人數 18÷（6－5)＝18（人），乒乓球總數是 5×18＋10＝100（個）．

【例 8】 王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數是桔子數的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個.問有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？

【解析】 因為桔子每人分3個多4個，而蘋果是桔子的2倍，因此蘋果每人分6個就多8個.又已知蘋果每人分7個少5個，所以應有（8+5）÷（6-5）=13（人）.蘋果個數為13×7-5=86（個）.桔子數為 13×3+4=43（個）.答：有13個小朋友，86個蘋果和43個桔子.【鞏固】 學而思學校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問：學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？

【解析】 因為羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后應余下15×2=30（副），因為14-5×2=4（副），分到最后還差30副，所以比每次分10副總共差30+30=60（副），所以有小組：60÷4=15（組），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.【例 9】 用一根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時，多5米；如果繩子3折時，差4米.求繩子長度和井深.【解析】 井的深度為：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.繩子長度為：（22+5）×2=27×2=54（米），或者（22-4）×3=18×3=54（米）.【例 10】 樂樂有一個儲蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個；按錢數算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個1分幣．樂樂共存了多少錢？

【解析】 假設去掉22個2分幣，那么按錢數算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個2分幣多3分，所以5分幣有： 84?；2分幣有：28?22?50（個）．（5?2）?28（個）所以樂樂共存錢：5?28?2?50?1?36?140?100?36?276（分）．

【例 11】 陽光小學學生乘汽車到香山春游．如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果每車多坐5人，恰多余了一輛車，問一共有幾輛汽車，有多少學生？

【解析】 每車多坐5人，實際是每車可坐5?65?70(人)，恰好多余了一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即70人．因而原問題轉化為：如果每車坐65人，則多出5人無車乘坐；如果每車坐70人，還少70人，求有多少人和多少輛車？車數是（5?5?65）?5?15(輛)，人數是65?15?5?980(人)或（5?65）（?15?1）?980(人)．

【鞏固】 幸福小學少先隊的同學到會議室開會，若每條長椅上坐3人則多出7人，若每條長椅上多坐4人則多出3條長椅．問：到會議室開會的少先隊員有多少人？

【解析】 第二個條件可轉化為：“每條長椅上坐7個人，則少21個人”，“多7人”與“少21人”兩者相差7?21?28(人)，每條長椅要多坐7?3?4(人)，因此就知道，共有28?4?7(條)長椅，人數是7?3?7?28(人)．

【鞏固】 智康小合唱隊的同學到會議室開會，若每條長椅上坐3人則多出9人，若每條長椅上坐4人則多出3人.問：合唱隊有多少人？

【解析】 “多9人”與“多3人”兩者相差9－3＝6（人），每條長椅要多座 4－3＝1（人），因此就知道，共有6÷1＝6（條）長椅，人數是6×3+9＝27（人）．

【鞏固】 少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？

【解析】 這是一個典型的盈虧問題，關鍵在于要將第二句話“如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”統一一下。即：應該統一成每人挖6個樹坑，形成統一的標準。那么它就相當于每人挖6個樹坑，就要差（6-4）*2=4個樹坑。這樣，盈虧總數就是3+4=7，所以，有少先隊員7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38個坑。盈虧總數等于3+（6-4）*2=7，少先隊員有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38個樹坑。

【鞏固】 六年級學生出去劃船。老師算了一下，如果每船坐6人，那么還剩下22人沒船坐。安排時發現有3條船壞了，于是改為每船坐8人，結果還剩下6人沒地方坐，請問：一共有多少學生？ 【解析】 如果3條船沒有壞，每船坐8人，那么多余了8?3?6?18個座位。根據盈虧問題公式，有船(18?22)?(8?6)?20條，學生人數為20?6?22?142人。

【例 12】 學校為新生分配宿舍．每個房間住3人，則多出23人；每個房間住5人，則空出3個房間．問宿舍有多少間？新生有多少人？

【解析】 每個房間住3人，則多出23人，每個房間住5人，就空出3個房間，這3個房間如果住滿人應

該是5?3?15(人)，由此可見，每一個房間增加5?3?2(人)．兩次安排人數總共相差(人)，因此，房間總數是：38÷2＝19(間)，學生總數是：3?19?2323?15?38?80(人)，或者5?19?5?3?80(人)．

【鞏固】 學校為新生分配宿舍．每個房間住3人，則多出22人；每個房間多住5人，則空1個房間．問宿舍有多少間？新生有多少人？

【解析】 每個房間住3人，則多出22人，每個房間多住5人，意味著就是每個房間住8個人,則空出1個房間，這1個房間如果住滿人應該是1?8?8(人)，由此可見，每一個房間增加8?3?5(人)．兩次安排人數總共相差22?8?30(人)，因此，房間總數是：30?5?6(間)，學生總數是：3?6?22?40(人)．

【鞏固】 軍隊分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人各住一個房間，現在每間住10人，可以空出多少個房間？

【解析】 每間住6人，余下2人可以每人各住一個房間，說明多出兩個房間，同時多出兩個人，即兩次分配方案人數相差20?6?2?2?30(人)，每間房間相差：6?3?3(人)，所以共有房間：30?3?10(間)，一共有：3?10?20?50(人)，即可以空出10?50?10?5(間)房間．

【鞏固】 豬媽媽帶著孩子去野餐，如果每張餐布周圍坐4只小豬就有6只小豬沒地方坐，如果每張餐布周圍多坐一只小豬就會余出4個空位子，問：一共有多少只小豬，豬媽媽一共帶了多少張餐布？

【解析】 每張餐布周圍多坐一只小豬就是坐5只小豬，余出4個空位子就是少4只小豬，所以原問題可以轉化為：如果每張餐布周圍坐4只小豬，則多出6只沒處坐；如果每張餐布周圍坐5只，還少4只，求有多少只小豬多少張餐布？所以餐布數是：（6+4）÷1=10（張），有小豬：10×4+6=46（只）.【例 13】 國慶節快到了，學而思學校的少先隊員去擺花盆．如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完．問有多少少先隊員參加擺花盆活動，一共擺多少花盆？

【解析】 這是一道有難度的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完，這組條件中包含著兩種擺花盆的情況——2人各擺4盆，其余的人各擺6盆．如果我們把它統一成一種情況，讓每人都擺6盆，那么，就可以多擺（6?4）?2?4(盆)．因此，原問題就轉化為：如果每人各擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果每人擺6盆花，還缺4盆．問有多少少先隊員，一共擺多少花盆？ 人數： [3?（6?4）2]??（6?5）?7(人)，盆數：5?7?3?38(盆)或6?7?4?38(盆)．

【鞏固】 媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個?全家共有多少人? 【解析】 由“其中兩人分4個，其余每人分2個，則多出4個”轉化為全家每人都分2個，這分4個的兩人每人都拿出2個，共拿出4個，結果就多了4?4?8個；由“一人分6個，其余每人分4個，則缺少12個”轉化為全家每人都分4個，分6個的人拿出2個，結果就少了12?2?10個，轉變成了盈虧問題的一般類型，則：

全家的人數：[4?2?2?(12?2)]?(4?2)?18?2?9(人)

橘子的個數：2?9?8?26(個)

【例 14】 四⑵班舉行“六一”聯歡晚會，輔導員老師帶著一筆錢去買糖果．如果買芒果13千克，還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元．已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導員老師帶了 元錢．

【解析】 這筆錢買13千克芒果還差4元，若把這13千克芒果換成奶糖就會多出13?2?26元，所以這筆錢

買13千克奶糖會多出26?4?22元．而這筆錢買15千克奶糖會多出2元，所以每千克奶糖的價格為：(22?2)?(15?13)?10（元）．輔導老師共帶了10?15?2?152元．

【鞏固】 小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元．已知每千克牛肉比豬肉貴3元，問：小明媽媽帶了多少錢？

【解析】 因為“每千克牛肉比豬肉貴3元”，所以同樣買10千克豬肉的話，就剩了3×10－6＝24（元），這樣化成普通的盈虧問題，豬肉的價錢是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明媽媽帶的錢數是：12×10＋4＝124（元）．

【鞏固】 食堂采購員小李到集貿市場去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價8角.問牛肉、豬肉各多少錢一千克？

【解析】 這里有兩種肉，思考起來比較困難，能否化為一種肉的問題呢？仔細分析一下已知條件，買牛肉18千克差4元，而買豬肉20千克還多2元，說明牛肉貴一些.每千克貴8角，如果18千克牛肉換成18千克豬肉，就要少花8×18=144（角）=14元4角.這樣就會多出 14元4角-4元=10元4角.因此問題就可變為：“小李買豬肉18千克多余10元4角，買20千克多余2元，求豬肉單價和錢數.”雖然兩次都是盈余，仍屬盈虧問題，不過豬肉單價=兩次錢的差÷兩次千克量差.解 由已知條件知牛肉比豬肉貴，每千克貴8角.18千克牛肉比18千克豬肉貴 8×18=144（角）=14元4角.因此小李若買18千克豬肉就會多余14元4角-4元=10元4角.由已知小李買20干克豬肉多余2元，所以豬肉每千克價格為（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角.所以牛肉每千克價格為：4元2角+8角=5元.小李帶的錢為：4.2×20+2=86（元）.【鞏固】 李明的媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價分別為8元和10元，李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒有剩余的錢．問：李媽媽帶了多少錢？

【解析】（法1）“李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋”，這三袋洗衣粉多花8×3＝24（元），又因為花的錢總數一樣多，所以在買碧浪洗衣粉的時候要把這些錢補上，而碧浪比雕牌每袋貴2元，所以要買碧浪洗衣粉袋數24÷2＝12（件）．這樣李媽媽帶的錢數是10×12＝120（元）．（法2）如果買雕牌與碧浪洗衣粉數量一樣多，則買雕牌洗衣粉以后還剩3×8＝24（元），根據普通的盈虧問題解法，買碧浪洗衣粉的數量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李媽媽帶的錢數是：12×10＝120（元）．

【例 15】 小強由家里到學校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。小強家到學校的路程是多少米？

【解析】 遲到3分鐘轉化成米數：50?3?150（米），提前2分鐘到校轉化成米數：60?2?120（米），距離上課時間為：(150?120)?(60?50)?27（分鐘），家到學校的路程為：50?(27?3)?1500（米）．

【鞏固】 東東從家去學校，如果每分走80米，結果比上課提前6分到校，如果每分走50米，則要遲到3分，那么東東家到學校的路程是______米．

【解析】 這道題看似行程問題，實質卻可以用盈虧問題來解.先求出東東從家到學校路上要用多長時間，根據已知，(80?6?50?3)?(80?50)(分鐘)，然后可求東東家離校的路程為：?630?30?21(米)． 80?(21?6)?1200

【鞏固】 王老師由家里到學校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米，就可以比上課時間提前2分鐘到校.王老師家到學校的路程是多少米？

【解析】 遲到3分鐘轉化成米數：500×3=1500（米），提前兩分鐘到校轉化成米數：600×2＝1200（米）王老師家到學校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分鐘），王老師家到學校的路程：500×

（270+3）＝136500（米）

【鞏固】 學校規定上午8時到校，小明去上學，如果每分種走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學校的路程是多少？

【解析】 小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60×10＝600（米）；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走50×8＝400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60－50＝10（米），就可以多走600－400＝200（米），從而可以求出小明由家到校所需時間．

（1）10分種走多少米？60×10＝600（米），（2）8分種走多少米？50×8＝400（米），（3）需要時間：（600－400）÷（60－50）＝20（分鐘），所以小明7時40分離家剛好8時到校.（4）由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．

【例 16】 “六一”兒童節，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內的球的數量相等．花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．因節日商店優惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？

【解析】 花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢30個．那么，同樣買花球和白球各30個，花球要比白球多花10?2，共需要30?2?30?3??5（元）25（元）．現在兩種球的售價都是2元錢5個，花球和白球各買30個需要(30?5)2，??2?24（元）說明花球和白球各買30個能省下25?24?1（元）．現在共省了4元，說明花球和白球各有，共買了120?2． 30?4?120（個）?240（個）

【例 17】（2009“數學解題能力展示”中年級組復試題）幼兒園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖．她發給每個小朋友2塊巧克力，7塊奶糖和8塊水果糖．發完后清點一下，水果糖還剩15塊，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________個小朋友．

【解析】 畫線段圖分析，由題意知：

從奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如圖：

那么2小段和5份都看成10份量，那么總量就相當于19份量，水果糖中原有的8份就是現在的16份，則剩下的15塊水果糖就占有3份，則1份就是5塊，給小朋友們分出去的水果糖數量是：，小朋友的人數是：80?8?10（人）． 16?5?80（塊）方法二：由上圖知，設發完后奶糖剩下1份，則巧克力剩下3份，而巧克力與奶糖每人分得相差5塊，對應剩下的糖相差2份，水果糖與奶糖每人分得相差1塊，則對應剩下的糖應相差2?5?0.4份，所以水果糖最后應剩下1?0.4?0.6份，恰是15塊，所以1份對應的是15?0.6?25，所以應用盈虧問題共有(25?15)?(8?7)?10（人）．

【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊．小唐喝前兩盒咖啡時每袋咖啡都放3塊方糖，結果共用了1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝后三盒咖啡時每袋咖啡都只放1塊方糖，最后第3包方糖還剩下36塊，那么每盒咖啡有多少袋？

【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3塊糖，相當于喝6盒咖啡每袋放1塊糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1塊糖，所以喝后3盒用掉的方糖總量是前2盒用掉方糖量的一半．

同時，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24塊，喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12塊，因此一包又24塊方糖與兩包差24塊方糖一樣多，一包方糖有(24?24)?(2?1)?48（塊）．

于是喝前兩盒咖啡用掉方糖48?24?72（塊），每盒咖啡的袋數為：72?3?2?12（袋）．

【鞏固】 巧克力每盒9塊，軟糖每盒11塊，要把這兩種糖分發給一些小朋友，每種糖每人一塊，由于又來了一位小朋友，軟糖就要增加一盒，兩種糖分發的盒數就一樣多，現在又來了一位小朋友，巧克力還要增加一盒，則最后共有多少個小朋友？

【解析】 新來了一位小朋友，就要增加一盒軟糖，說明在此之前，軟糖應該是剛好分完幾整盒，所以原來的小朋友人數是11的倍數．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再來一盒了，說明原有的小朋友分幾整盒巧克力糖之后還剩下一塊，也就是說，原有的小朋友人數是9的倍數減1．符合這兩個條件的最小的數是44，而且它剛好滿足原有的巧克力比軟糖多一盒的條件，所以原有44個小朋友，最后有46個小朋友．

【例 19】 有若干盒卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7張；如果每人分8張卡片，則還缺少5張．現在把所有卡片都分完，每人分到60張，而且還多出4張．問：共有多少個小朋友？

【詳解】 首先由題意，一盒卡片每人分7張則有剩余，每人分8張則少5張，證明總人數多于5個．

如果一共有7盒卡片，則所有人每人要想分到8?7?56（張）卡片，還缺35張，卡片張數比題中所述要少．

如果一共有9盒卡片，則只要再添上5?9?45（張）卡片，就能使所有人每人分到8?9?72（張），人數為(45?4)?(72?60)?41?5，不滿足總人數多于5個的要求． 12類似地，當卡片總盒數多于9時，都不滿足總人數多于5個的要求．

因此卡片一共有8盒，添上5?8?40（張）卡片，就能使所有人每人分到8?8?64（張），所以總人數為：(40?4)?(64?60)?11（人）．(二解)60?7?8?4，60?8?7?4，說明卡片的盒數是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們在每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8?8?64（張），現在實際每人得到60張，即每人需要退出4張，其中要有4張是每人60張后多下來的，還有40張是我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，44?4?11（人），說明有11人．

【例 20】 有若干個蘋果和若干個梨.如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那么梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨.蘋果和梨各有多少個? 【解析】 容易看出這是一道盈虧應用題，但是盈虧總額與兩次分配數之差很難找到.原因在于第一種方案是1個蘋果“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”5個梨.如果將這兩種方案統一為1個蘋果“搭配”若干個梨，那么問題就好解決了.將原題條件變為“1個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；1個蘋果搭配5/3個梨，多1個梨”，此時盈虧總額為4?1?5(個)梨，兩次分配數之差為2?5/3?1/3(個)梨.所以有蘋果(4?1)?(2?5/3)?15(個)，有梨15?2?4?26(個).【鞏固】 有若干個蘋果和梨，如果按1個蘋果配3個梨分一堆，那么蘋果分完時，還剩2個梨；如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那么梨分完時，還剩半個蘋果.問梨有多少個？

【解析】 1個蘋果配3個梨，多2個梨；半個蘋果配2個梨，即1個蘋果配4個梨，剩半個蘋果，即少2個梨.蘋果有（2+2）÷（4-3）=4（個），梨有 3×4+2=14（個）.【例 21】 幼兒園老師給小朋友分糖果．若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊．那么糖果最多有多少塊？

【分析】 最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊．根據盈虧計算公式，人數有，糖果最多有9?11?1?98（塊）；最后一人分不到9塊，但至少（1?10）（?9?8）?11（人）可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據盈虧計算公式，人數有，（8?10）（?9?8）?18（人）糖果最多有9?18?8?154（塊）；所以，這批糖果最多有154塊．

【例 22】 幼兒園有三個班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老師給小孩分棗，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，結果甲班比乙班共多分3個棗，乙班比丙班總共多分5個棗．問：三個班總共分了多少個棗？

【解析】 設丙班有x個小孩，那么乙班就有個小孩，甲班有個小孩．（x?4）（x?8）乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，那么x個小孩就少分5x個棗，而乙班比丙班總共多分

個棗． 5個棗，所以多出來的那4個小孩分了（5x?5）同樣的道理，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，那么個小孩就少分個棗，（x?4）（3x?12）而甲班比乙班總共多分3個棗，所以多出來的那4個小孩分了3x?12?3?3x?15個棗．

甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，4個小孩就少3?4?12個棗，因此我們得到：5x?5?3x?15?12，解得x?11．

所以，丙班有11個小朋友，乙班有15個小朋友，甲班有19個小朋友；甲班每人分12個棗，乙班每人分15個棗，丙班每人分20個棗．—共分了12?19?15?15?20?11?673（個）棗．

【鞏固】 有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．問第二組有多少人？

【解析】 如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．說明第一組人數少于，多于48?5?9?3，即9人；如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；48?4?12（人）每人4本，書不夠．說明第二組人數少于48?3?16（人），多于48?4?12（人）；因為已知第二組比第一組多5人，所以，第一組只能是10人，第二組15人．

【例 23】 “六一”兒童節，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內的球的數量相等．花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．因節日商店優惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？

【解析】 花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢30個．那么，同樣買花球和白球各30個，花球要比白球多花10?2，共需要30?2?30?3??5（元）25（元）．現在兩種球的售價都是2元錢5個，花球和白球各買30個需要(30?5)2，??2?24（元）說明花球和白球各買30個能省下25?24?1（元）．現在共省了4元，說明花球和白球各有，共買了120?2． 30?4?120（個）?240（個）

【鞏固】 有紅、黃、綠3種顏色的卡片共有100張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有1和2，黃色卡片的兩面上分別寫著1和3，綠色卡片的兩面上分別寫著2和3．現在把這些卡片放在桌子上，讓每張卡片寫有較大數字的那面朝上，經計算，各卡片上所顯示的數字之和為234．若把所有卡片正反面翻轉一下，各卡片所顯示的數字之和則變成123．問黃色卡片有多少張？

【解析】 開始的時候，黃色和綠色的卡片上都是3，紅色卡片上是2．如果全部是紅色卡片，那么數字之和為：2?100?200，比實際的少：234?200?34．每增加一張黃色或綠色卡片，那么數字就會增加：3?2?1．那么，黃色和綠色卡片之和：34?1?34（張），紅色卡片有：100?34?66（張）． 翻轉過來后，紅色和黃色卡片上都是1，綠色卡片上是2．紅色卡片有66張，剩下的綠色和黃色卡片上的數字之和為：123?1?66?57．如果34張卡片都是黃色的，那么這34張卡片上的數字之和為：比實際的少：每增加一張綠色卡片，數字之和就會增加：1?34?34，57?34?23．2?1?1，所以，綠色卡片有：23?1?23（張），黃色卡片有：34?23?11（張）．

【例 24】 四(2)班在這次的班級評比中，獲得了“全優班”的稱號．為了獎勵同學們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮．劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優秀學生．如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時還剩5支鉛筆．那么，劉老師一共買了多少塊橡皮?多少支鉛筆? 【解析】 如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15(支)鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮數為：15×3=45(塊)，鉛筆數為：15×6—10=80(支)．

【鞏固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？

【解析】 “7只小白兔和3只小灰兔裝一個籠子，小白兔恰好裝完，小灰兔還多12只”說明小白兔少了12÷3×7＝28（只），這樣原來籠子數有：（28＋4）÷（7－5）＝16（個），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起來有84＋48＝132（只）．

第五篇：(快樂奧數)盈虧問題

快樂奧數——“盈虧問題”

一、課時：第十課 上課時間2016.12.4（周日）

二、教學內容：教材182頁—188頁為主，做適當補充。

三、教學目標：

1、知道“盈”與“虧”的含義，了解“盈虧問題”的特征，感受數學問題的趣味性。

2、在探索解決問題的過程中，學會解“盈虧問題”的方法，培養學生的邏輯推理能力。關鍵：弄清盈、虧與兩次分得差的關系。

四、公式

1.一盈一虧：份數=（盈+虧）÷兩次分配差

2.只盈：（大盈-小盈）÷兩次分配差

3.只虧：（大虧-小虧）÷兩次分配差

五、教學環節：

（一）知識導航

幼兒園老師把一袋水果糖分給小朋友，每人分2塊，發現多了10塊；每人改分5塊，又發現少了5塊。類似的問題在我們日常生活中常常可以看到，其實這些問題都有一個共同的特征——那就是把一定數量的物品平均分給固定的對象，如果按照某種標準分，有多余，我們稱之為“盈”；按另一種標準分，分配后又不足，我們稱之為“虧”。如何根據盈虧之間的聯系，求出所分物品的總量和分配對象的總數，就是數學中的“盈虧問題”。這節課我們就來學習“簡單的盈虧問題”。

（二）探索發現

1、出示例１：小朋友分糖，若每人分４粒則多余９粒；若每人分５粒則還缺少６粒。問：有多少個小朋友分多少粒糖？

比較歸納：一盈一虧：份數=（盈+虧）÷兩次分配差

做183頁“想一想，做一做”

2.出示例2：某班同學種樹，如果每人種5棵，則多41棵；如果每人種8棵，還多5棵。問：有多少人種樹？要種多少棵樹？

比較歸納：只盈：（大盈-小盈）÷兩次分配差

做185頁“想一想，做一做”

3..出示例3：服裝加工廠用一批布料加工服裝，如果加工125套，則少46米；如果少加工20套，還少6米。問這批布料有多少米？

比較歸納：只虧：（大虧-小虧）÷兩次分配差 做186頁“想一想，做一做”

4.拓展：

（1）給小朋友分糖果，若每人分3粒則多50粒；若每人分7粒則剛好分完。問：有幾個小朋友？多少粒糖果？

（2）拓展：小朋友分糖果，若每人分5粒還余6粒；若每人分7粒則剛好分完。問：有幾個小朋友？多少粒糖果？

（3）有一批課桌椅需要幾個工人搬運，如果每人搬運25套，少39套；如果每人搬運30套，則有2個工人沒事干。請問有多少課桌椅？多少工人？

5.187頁，看看你能摘幾顆星？