第一篇：高中數學計數原理知識點總結及練習教案-學生_圖文.

明軒教育 您身邊的個性化輔導專家 電話： 二十一：住店法策略 解決“允許重復排列問題”要注意區分兩類元素： 一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 21.七名學生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數有.排列組合易錯題正誤解析 1 沒有理解兩個基本原理出錯 排列組合問題基于兩個基本計數原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問 題的前提.例 1 從 6 臺原裝計算機和 5 臺組裝計算機中任意選取 5 臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有 種.例2 在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有（（A）A4 3）種.（B）4 3（C）3 4 3（D）C 4 2 判斷不出是排列還是組合出錯 在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例 3 有大小形狀相同的 3 個紅色小球和 5 個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？ 3 重復計算出錯 在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復計數，產生錯誤。例4 5 本不同的書全部分給 4 個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（（B）240 種（C）120 種

（D）96 種））（A）480 種 例5 種.（A）5040 4 遺漏計算出錯 某交通崗共有 3 人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（（B）1260（C）210（D）630 0）1，3 在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。例6 用數字 0，1，2，3，4 組成沒有重復數字的比 1000 大的奇數共有（（B）48 個（C）66 個（D）72 個（A）36 個 2 3 1 4 5 5 忽視題設條件出錯 在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.例7 如圖，一個地區分為 5 個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有 4 種.（以數字作答）種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 例 8 已知 是關于 x 的一元二次方程，其中 a、，求解集不同的一元二次方程的個數.6 未考慮特殊情況出錯 在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.例9 現有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成 不同的幣值種數是（）(A1024種(B1023種(C1536種(D1535種 6 明軒教育 7 題意的理解偏差出錯 例 10（A）您身邊的個性化輔導專家 電話： 現有 8 個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.3 5 8 6 3 3 3 8 4（B）

（C）

（D）

解題策略的選擇不當出錯 例 11 高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自）.（C）37 種（D）48 種 由選擇，則不同的分配方案有（（A）16 種（B）18 種 排列與組合習題 1．6 個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4 人，則不同的乘車方法數為(A．40 B．50 C．60 D．70 2．有 6 個座位連成一排，現有 3 人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有(A．36 種 B．48 種 C．72 種 D．96 種 3． 只用 1,2,3 三個數字組成一個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有(A．6 個 B．9 個 C．18 個 D．36 個 4．男女學生共有 8 人，從男生中選取 2 人，從女生中選取 1 人，共有 30 種不同的選法，其中女生有(A．2 人或 3 人 B．3 人或 4 人 C．3 人 D．4 人 5．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共 10 級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規定從二樓到三樓用 8 步走完，則方法

有(A．45 種 B．36 種 C．28 種 D．25 種 6．某公司招聘來 8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三 名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有(A．24 種 B．36 種 C．38 種 D．108 種 7．已知集合 A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的 不同點的個數為(A．33 B．34 C．35 D．36 8．由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復數字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數的個數是(A．72 B．96 C．108 D．144 9． 如果在一周內(周一至周日安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么不同的安排方法有(A．50 種 B．60 種 C．120 種 D．210 種 10．安排 7 位工作人員在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不 同的安排方法共有________種．(用數字作答 11．今有 2 個紅球、3 個黃球、4 個白球，同色球不加以區分，將這 9 個球排成一列有________種不同的排法．(用數字 作答 12．將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個組各 2 人，另兩個組各 1 人，分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案有________種(用數字作答． 13．要在如圖所示的花圃中的 5 個區域中種入 4 種顏色不同的花，要求相鄰區域不同色，有________種 不同的種法(用數字作答． 14.將標號為 1，2，3，4，5，6 的 6 張卡片放入 3 個不同的信封中．若每個信封放 2 張，其中標號為 1，2 的卡片放入 7 明軒教育 同一信封，則不同的方法共有（（A）12 種（B）18 種 您身邊的個性化輔導專家）（C）36 種（D）54 種 電話： 15.某單位安排 7 位員工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙 不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案共有 A.504 種 B.（B）96 960 種 C.1008 種（D）144）D.1108 種 16.由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復數字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數的個數是（A）72（C）108 17.在某種信息傳輸過程中，用 4 個數字的一個排列（數字允許重復）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用 數字只有 0 和 1，則與信息 0110 至多有兩個對應位置上的數字相同的信息個數為（A.10 B.11 C.12 D.15 18.現安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四

項工作 之一，每項工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，則不同安排方案 的種數是（A．152）C.90 D.54 B.126 19.甲組有 5 名男同學，3 名女同學；乙組有 6 名男同學、2 名女同學。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學的不同選法共有(（A）150 種（B）180 種（C）300 種(D345 種 20.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數為（）A.18 數是（A.60）B.24 C.30 D.36 21.2 位男生和 3 位女生共 5 位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種 B.48 C.42 D.36）22.從 10 名大學生畢業生中選 3 個人擔任村長助理，則甲、乙至少有 1 人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數位為（A 85 B 56 C 49 D 28 23.3 位男生和 3 位女生共 6 位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種 數是（A.360）B.188 C.216 D.96）24.12 個籃球隊中有 3 個強隊，將這 12 個隊任意分成 3 個組（每組 4 個隊），則 3 個強隊恰好被分在同一組的概率為（A． 1 55 B． 3 55 C． 1 4 D． 1 3 25.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 級的臺階上，若每級臺階最多站 2 人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站 法種數是（用數字作答）． 26.鍋中煮有芝麻餡湯圓 6 個，花生餡湯圓 5 個，豆沙餡湯圓 4 個，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取 4 個湯圓，則每種湯圓都至少取到 1 個的概率為（A．）D． 8 91 B． 25 91 C． 48 91 60 91 種（用數字作答）． 27.將 4 名大學生分配到 3 個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有 號，則不同的放球方法有（A．10 種（A）３０種）C．36 種（C）１８０種 D．52 種（D）２７０種 28.將 4 個顏色互不相同的球全部放入編號為 1 和 2 的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編 B．20 種（B）９０種 29.將 5 名實習教師分配到高一年級的３個班實習，每班至少１名，最多２名，則不同的分配方案有 8 明軒教育 您身邊的個性化輔導專家 電話： 30.某校從 8 名教師中選派 4 名教師同時去 4 個邊遠地區支教(每地 1 人,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去, 則不同的選派方案共有 種 個（用數字作答）． 31.用數字 0，1，2，3，4 組成沒

有重復數字的五位數，則其中數字 1，2 相鄰的偶數有 32．有一排 8 個發光二極管，每個二極管點亮時可發出紅光或綠光，若每次恰有 3 個二極管點亮，但相鄰的兩個二極管 不能同時點亮，根據這三個點亮的二極管的不同位置和不同顏色來表示不同的信息，求這排二極管能表示的信息種數共 有多少種？ 33．按下列要求把 12 個人分成 3 個小組，各有多少種不同的分法？(1各組人數分別為 2,4,6 個；(2平均分成 3 個小組；(3平均分成 3 個小組，進入 3 個不同車間． 34．6 男 4 女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？(1任何 2 名女生都不相鄰有多少種排法？(2男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？(3男生甲、乙、丙排序一定，有多少種排法？(4男甲在男乙的左邊(不一定相鄰有多少種不同的排法？ 35.已知 m, n 是正整數，（A）試求 的展開式中 x 的系數為 7，f(x 中的 x 2 的系數的最小值 f(x 的 x 2 的系數為最小的 m, n，求出此時 x 3 的系數 f(0.003 的近似值（精確到 0.01）（B）對于使（C）利用上述結果，求 課后作業 練習題 本節課教學計劃完成情況：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________ 學生的接受程度： 5 4 3 2 1 ______________________________ 學生成長 記錄 學生的課堂表現：很積極□ 比較積極□ 一般積極□ 學生上次作業完成情況： 優□ 不積極□ ___________________________ 良□ 中□ 差□ 存在問題 _____________________________ 學管師（班主任）_______________________________________________________________ 注 備 簽字時間 教學組長審批 教學主任審批 9

第二篇：計數原理教案

淮北市第十二中學2007~2008學

考

評

課

教

案

授課人：鄒強

2008年5月 §10.1 分類計數原理與分步計數原理

授課人：鄒強

教學目標：

知識目標：①理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理；

②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；

能力目標：培養學生的歸納概括能力；

情感目標：①了解學習本章的意義，激發學生的興趣

②引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式..教學重點：

分類計數原理與分步計數原理的應用理解 教學難點：

分類計數原理與分步計數原理的理解 教學方法：

問題式、螺旋上升的教學方法 教學過程：

一．課題引入

中央電視臺體育頻道每周四次對“NBA”進行現場直播，并對參與節目交流的觀眾進行抽取幸運觀眾活動，獎品是“NBA”明星真品球衣或明星戰靴，此節目深受廣大籃球迷的喜歡。已知在某次直播時，共收到手機號碼2萬個。其中聯通號碼有0.8萬個，移動號碼有1萬個，小靈通號碼有0.2萬個。現抽取：

（1）一名幸運觀眾有多少種不同類型的抽法？

（2）從聯通號碼、移動號碼和小靈通號碼中各抽取一名幸運觀眾共有多少種不同的抽法？ 象這種計算所有情況的問題可稱為計數問題，用來解決這種問題的一般方法或計算規律叫做計數原理，今天我們就來探求它們。

二．新課講授

問題1.1:“兩會”決定,下一次會議一定要有農民工代表參加.假如現在南方有農民工代表30人,北方有農民工代表20人,現在選舉一名農民工代表共有多少種選法? 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m 種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法.那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法.問題1.2:在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫學

信息技術學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從這些強項專業中任選一項共有多少種？ 探究一：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有 m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，在第n類方案中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分類計數原理： 一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類辦法中有 m2 種不同的方法……在第n類辦法中有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn 種不同的方法.問題2.1:國務院總理溫家寶在十屆全國人大三次會議上作政府工作報告時表示，補助貧困學生生活費。假設補助后西部某省的貧困生午飯可買兩盤菜（蔬菜類 + 肉類），學校食堂的菜單如下，蔬菜類

肉類

蘿卜

豬肉

白菜

牛肉

花菜 請問有多少種不同的選法? 完成一件事需要兩個不同步驟，在第1步中有 不同的方法.那么完成這件事共有Nm 種不同的方法，在第2步中有 n 種

?m?n種不同的方法.問題2.2：在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫學

信息技術學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從清華大學，復旦大學，南京大學這些強項專業中各選一項共有多少種？

探究一：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有 m

1種不同的方法，做第2步有 m種不同的方法，做第3步有

m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，……做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分步計數原理： 一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有 m1 種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法……做第n步有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.理解分類計數原理與分步計數原理異同點

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數的問題

②不同點:分類加法計數原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.分步時，每一步都可以看成分類；分類時，每一類也可能要有好幾步才能完成。例題選講

問題3.1 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 學生練習： 填空：

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第1種方法完成，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數是

.（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經B村去C村，不同的路線有

條..（3）從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.（4）.甲、乙、丙3個班各有三好學生3，5，2名，現準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有

種不同的推選方法.總結歸納： 1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數、組合數公式的理論依據，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理，并加區別

分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可 4 以完成這件事；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.3．運用分類加法計數原理與分步乘法計數原理的注意點：

分類加法計數原理：首先確定分類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法計數原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續完成這n個步驟，這件事才算完成 作業布置：

.1．課本第９７頁的習題1０.1A第1，2，3題．

2．編一道運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理解答的應用題，并加以解答． 課外思考：

1.某學生去書店，發現3本好書，決定至少買其中1本，則該生的購書方案有_____種。課后反思：

第三篇：兩個基本計數原理教案

第一章計數原理

第1節兩個基本計數原理 教材分析

本節課《分類計數原理與分步計數原理》是蘇教版普通高中課程標準試驗教科書（選修2-3)第一章第一節的內容，是本章后續知識的基礎,對后續內容的學習有著舉足輕重的作用,另外本節課涉及的分步、分類的思想是解決實際問題的最有效武器，是人們思考問題的最根本方法.學情分析

高二學生已具備一定的數學知識和方法，能很容易的接受兩個原理的內容，并應用原理解決一些簡單的實際問題，這些形成了學生思維的“最近發展區”．雖然學生已經具備了一定的歸納、類比能力，但在數學的應用意識與應用能力方面尚需進一步培養．另外，學生的求知欲強，參與意識，自主探索意識明顯增強，對能夠引起認知沖突，表現自身價值的學習素材特別感興趣。但在合作交流意識欠缺，有待加強.目標分析 ⑴知識與技能

①掌握分類計數原理與分步計數原理的內容

②能根據具體問題的特征選擇分類計數原理與分步計數原理解決一些簡單實際問題． ⑵過程與方法

①通過具體問題情境總結出兩個計數原理，并通過實際事例學生感悟兩個原理的應用并最終學會應用

②通過“學生自主探究、合作探究，師生共究”更深刻的理解分類計數與分步計數原理，并應用它們解決實際問題 ⑶情感、態度、價值觀

樹立學生積極合作的意識，增強數學應用意識,激發學生學習數學的熱情和興趣.教學重難點分析

教學重點：分類計數原理與分步計數原理的掌握

教學難點：根據具體問題特征選擇分類計數原理與分步計數原理解決實際問題． 教法、學法分析 教法分析：

①啟發探究法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。

②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。學法分析：本節課要求學生自主探究，學會用類比的思想解決問題，樹立學生的合作交流意識.教學過程

一、創設情境：對于分類計數原理設計如下情境（看多媒體）： 該情境是原教材上情境經過加工設計的，比原教材情境更加貼近學生生活，能夠增強學生的有意注意，激發學生的興趣，調動學生的主動性和積極性,從而進入思維情境接著是對情境的處理：

在情境處理過程中要啟發學生由特殊情形歸納出一般原理,遵循由簡單到復雜的認知規律，我處理情境的辦法是：

第一步在解決問題時首先讓學生嘗試分析,然后由學生代表分析解答，教師及時給出評價，并由老師給出解題過程，在這里由老師按分類計數原理給出解題過程，為學生順利總結概括出原理做好鋪墊.第二步對原問題加以引申：若當天有4次航班，則有多少種不同方法？ 設計的意圖是讓學生更清楚的認識到總方法數是各類方法數之和.第三步提出問題：你能否盡可能簡練的總結出問題1中的計數規律？

接著由學生分組討論、總結問題1中計數規律，這樣由學生總結歸納，并通過討論準確敘述出分類計數原理，可以提高學生的數學表達意識，激發合作意識和競爭意識，體驗獲得成功的喜悅，也就完成了情感目標.第四步由教師板書分類計數原理(加法原理）并說明由于總方法數是各類方法數之和，樹立學生平時學習生活中的講道理意識.在分類計數原理中設計如下問題情境，問題2與問題1的背景一樣：都是乘車方法的計數問題.對于問題2的處理辦法是：第一步由學生自主嘗試分析解答，但該問題并沒有問題1般簡單所以就有了第二步教師電腦屏幕顯示分析及解題過程，利用多媒體顯示動畫，輔助分析，展示不同的走法,幫助學生更直觀的解決問題，然后由感性進入理性，這也符合一般的認知規律.第三步問題引申將問題引申為若從蘭州到天水新增一輛4號汽車，則有多少種乘車方法？ 設計的意圖是：通過引申讓學生更加清楚的認識到總方法數是各步方法數相乘.第四步提出問題：你能否對照分類計數原理，歸納概括出問題2蘊含的計數規律,并嘗試命名，這樣設計一可指導學生通過類比給出分步計數原理，滲透類比思想第二也可在自主探究中掌握本節重點，當然重點的突破也為難點突破打下了知識基礎 第五部教師板書：分步計數原理（乘法原理），由學生說明其稱為乘法原理的理由.分步計數原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×?×mn種不同的方法.二、建構數學

在總結出兩個計數原理的基礎上讓學生進行如下三個問題的探究，初步突破難點.探究1：對比兩計數原理，指出相同點與不同點 設計探究1的意圖是通過自主探究合作探究，加深兩個定理的理解并且在兩個定理內容的比較中提高學生閱讀數學的能力.探究方式：分組討論（合作交流，加深理解）

探究結果：共同點是：研究對象相同,它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法.不同點是：它們研究完成一件事情的方式不同,分類計數原理是“分類完成”,分步計數原理是“分步完成”由于學生的認識水平有限，在這里只要求認識到分類計數原理是“分類完成”,分步計數原理是“分步完成”.探究2：何時用分類計數原理,何時用分步計數原理 探究方式：自主探究，代表發言，共同總結.探究結果：若完成一件事情有n類方法，則用分類計數原理.若完成一件事情有n個步驟，則用分步計數原理.設計意圖：在探究1基礎上進一步突破重難點，培養學生分析問題的能力.探究3：用兩個計數原理解決計數問題的思維步驟 探究方式：分組討論，合作探究，代表發言,共同總結.探究結果：

1、明確要完成什么事

2、判斷分類還是分步

3、計算總方法數

（一）兩個計數原理內容

1、分類計數原理：

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法??在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1 +m2 +??+mn種不同的方法.2、分步計數原理：

完成一件事，需要分n個步驟，做第1步驟有m1種不同的方法，做第2步驟有m2種不同的方法??做第n步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2 ×??×mn種不同的方法.（二）例題分析

例1 某學校食堂備有5種素菜、3種葷菜、2種湯。現要配成一葷一素一湯的套餐。問 可以配制出多少種不同的品種？ 分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配一個葷菜、配一個素菜、配一湯）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數原理？

5、進行計算.解：屬于分步：第一步配一個葷菜有3種選擇 第二步配一個素菜有5種選擇 第三步配一個湯有2種選擇 共有N=3×5×2=30（種）

例2 有一個書架共有2層，上層放有5本不同的數學書，下層放有4本不同的語文書。（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架上任取一本數學書和一本語文書，有多少種不同的取法？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數原理？

5、進行計算。

解：屬于分類：第一類從上層取一本書有5種選擇 第二類從下層取一本書有4種選擇 共有N=5+4=9（種）

（2）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數原理？

5、進行計算.解：屬于分步：第一步從上層取一本書有5種選擇 第二步從下層取一本書有4種選擇 共有N=5×4=20（種）

例

3、有1、2、3、4、5五個數字.（1）可以組成多少個不同的三位數？

（2）可以組成多少個無重復數字的三位數？

（3）可以組成多少個無重復數字的偶數的三位數？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配百位數、配十位數、配個位數）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數原理？

5、進行計算.略解：N=5×5×5=125（個）（2）（3）（4）師生共同完成

（三）鞏固練習

1、某人有4條不同顏色的領帶和6件不同款式的襯衣，問可以有多少種不同的搭配方法？

2、有一個班級共有46名學生，其中男生有21名.（1）現要選派一名學生代表班級參加學校的學代會，有多 少種不同的選派方法？

（2）若要選派男、女各一名學生代表班級參加學校的學代 會，有多少種不同的選派方法？

思考：有0、1、2、3、4、5六個數字.（1）可以組成多少個不同的三位數？

（2）可以組成多少個無重復數字的三位數？

（3）可以組成多少個無重復數字的偶數的三位數？

（四）課堂總結

1、什么時候用加法原理、什么時候用乘法原理呢？

分類時用加法原理，分步時用乘法原理．

2、分類與分步怎么區別呢？

分類時要求各類辦法能獨立完成；分步時要求各步不能獨立完成． 分類加法計數原理與分步乘法計數原理異同點的理解： ①相同點：都是完成一件事的不同方法種數的問題

②不同點：分類加法計數原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.（五）板書設計： 兩個基本計數原理

1、分類計數原理： N=m1 +m2 +……+mn

2、分類計數原理： N=m1×m2 ×……×mn

例1． 例2． 小結：

（六）及時訓練

1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

3.如圖一,要給①,②,③,④四塊區域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數為()

A.180

B.160

C.96

D.60

若變為圖二,圖三呢? 5.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

（七）作業布置

1、課本第8頁第1、2、3、4、5題；

2、課本第9頁第1、2、3、4、5、6、7、8、9題 教學反思：

分類加法計數原理比較好掌握，分類乘法計數原理不太好理解.有些題不知道是用加法原理還是用乘法原理.例題書上都有，看過書后，教師講課感覺不到新鮮.還有部分不會做題的學生通過看書也能得到答案，不能反映他們的真實水平.1、學生主體觀

課堂教學過程是在教學目標的指引下，由師生共同動態“生成”的．其中，學生的反饋是重要的，它決定了教學的進程．聆聽學生是教師的必備技能，不要將學生作為“答案發生器”，不要沉浸在“我的學生都會做了”這種虛假的成功喜悅中，而應該讓學生關注解決問題的過程、策略及思想方法，讓他們充分地展示思想，完整地、數學地表達自己的想法，甚至于應該給予他們犯錯的機會，也幫助他們提高分析錯誤、更正錯誤的能力．

學生在解題時，往往對答案很在意，也很在行．例如在問題“集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少個？”的解決中，學生極快地報出了答案“10”，但在敘述他的解題過程時，卻說不太清楚．一開始說出了5×4的做法，但很快又自我否定（因為答案不對），當然，他一定覺得用“數”數的方法可以解決，但難以表述．這種“兩難”處境需要教師的協助來化解，在教師的鼓勵下，他用“數”數的方法完成了問題，并對計數的對象——二元集進行了分類，利用分類加法計數原理重新闡述了做法，得到了師生的共同認可．在這一過程中，不僅是這名學生，而是全體，都體驗了不要“輕易言敗”的心理歷程，這也在一定程度上實現了新課程所倡導的“情感、態度、價值觀”的目標．

2、讓學生自我發展

如何讓學生的主動學習模式從課內延伸到課外？如何讓學有余力的同學有更大的收獲？ 學生在課后常會問一些問題，多數是課上未聽懂或習題的方法未理解掌握，但也有一些同學就某一問題提出新看法、新解法，對他們而言，一個具備思辨價值的問題是更好的研究素材，例如在本課最后，提出了問題“已知集合M={1，2，3}，P={4，5，6}．①以M為定義域，P為值域的不同函數有幾個？②從M到P不同的映射有多少個？”——這個問題需要學生對函數、映射相關知識先做一個回顧，再利用所學的兩個基本計數原理加以解決．記得當時一下課，有學生上來問我：“是不是9”？我沒有回答，而是讓他自主驗證．第二天，他堅定地說，“①的答案是6；②的答案是9”，我想，他不需要我對他的答案進行認可了，因為他已學會了自我認可．這種自我認可的能力，不也是數學課程需要達到的目標么？

第四篇：高中數學知識點總結

高中數學難度更大，難度在于它的深度和廣度，但如果能理清思路，抓住重點，多實踐，變渣滓為暴君并非不可能。高中數學知識點總結有哪些你知道嗎?一起來看看高中數學知識點總結，歡迎查閱!

高中數學知識點匯總

1.必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合，函數概念與基本初等函數(指數函數，冪函數，對數函數)

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統計、概率。

必修4：基本初等函數(三角函數)、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數列、不等式。

以上所有的知識點是所有高中生必須掌握的，而且要懂得運用。

選修課程分為4個系列：

系列1：2個模塊

選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。

選修1-2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖

系列2:3個模塊

選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何

選修2-2：導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數

選修2-3：計數原理、隨機變量及其分布列、統計案例

選修4-1：幾何證明選講

選修4-4：坐標系與參數方程

選修4-5：不等式選講

2.重難點及其考點：

重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數

難點：函數，圓錐曲線

高考相關考點：

1.集合與邏輯：集合的邏輯與運算(一般出現在高考卷的第一道選擇題)、簡易邏輯、充要條件

2.函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數函數、對數函數、函數的應用

3.數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求通項、求和

4.三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和差倍半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖像及其性質、應用

5.平面向量:初等運算、坐標運算、數量積及其應用

6.不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式(經常出現在大題的選做題里)、不等式的應用

7.直線與圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系

8.圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用

9.直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

10.排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用

11.概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布

12.導數：導數的概念、求導、導數的應用

13.復數：復數的概念與運算

高中數學學習要注意的方法

1.用心感受數學，欣賞數學，掌握數學思想。有位數學家曾說過：數學是用最小的空間集中了的理想。

2.要重視數學概念的理解。高一數學與初中數學的區別是概念多并且較抽象，學起來“味道”同以往很不一樣，解題方法通常就來自概念本身。學習概念時，僅僅知道概念在字面上的含義是不夠的，還須理解其隱含著的深層次的含義并掌握各種等價的表達方式。例如，為什么函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，而y=f(x)與x=f-1(y)卻有相同的圖象;又如，為什么當f(x-1)=f(1-x)時，函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱，而y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象卻關于直線x=1對稱，不透徹理解一個圖象的對稱性與兩個圖象的對稱關系的區別，兩者很容易混淆。

3.對數學學習應抱著二個詞――“嚴謹，創新”，所謂嚴謹，就是在平時訓練的時候，不能一絲馬虎，是對就是對，錯了就一定要承認，要找原因，要改正，萬不可以抱著“好像是對的”的心態，蒙混過關。至于創新呢，要求就高一點了，要求在你會解決此問題的情況下，你還會不會用另一種更簡單，更有效的方法，這就需要扎實的基本功。平時，我們看到一些人，做題時從不用常規方法，總愛自己創造一些方法以“偏方”解題，雖然有時候也能讓他撞上一些好的方法，但我認為是不可取的。因為你首先必須學會用常規的方法，在此基礎上你才能創新，你的創新才有意義，而那些總是片面“追求”新方法的人，他們的思維有如空中樓閣，必然是曇花一現。當然我們要有創新意識，但是，創新是有條件的，必須有扎實的基礎，因此我想勸一下那些基礎不牢，而平時總愛用“偏方”的同學們，該是清醒一下的時候了，千萬不要繼續鉆那可憐的牛角尖啊!

4.建立良好的學習數學習慣，習慣是經過重復練習而鞏固下來的穩重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學習數學習慣，會使自己學習感到有序而輕松。高中數學的良好習慣應是：多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學時間，以便加寬知識面和培養自己再學習能力。

5.多聽、多作、多想、多問：此“四多”乃培養數學能力的要訣，“聽”就是在“學”，作是“練習”(作課本上的習題或其它問題)，也就是把您所學的，應用到解決問題上。“聽”與“作”難免會碰到疑難，那就要靠“想”的功夫去打通它，假如還想不通，解不來就要“問”――問同學、問老師或參考書，務必將疑難解決為止。這就是所謂的學問：既學又問。

6.要有毅力、要有恒心：基本上要有一個認識：數學能力乃是長期努力累積的結果，而不是一朝一夕之功所能達到的。您可能花一天或一個晚上的功夫把某課文背得滾瓜爛熟，第二天考背誦時對答如流而獲高分，也有可能花了一兩個禮拜的時間拼命學數學，但到頭來數學可能還考不好，這時候您可不能氣餒，也不必為花掉的時間惋惜。

高中數學復習的五大要點分析

一、端正態度，切忌浮躁，忌急于求成在第一輪復習的過程中，心浮氣躁是一個非常普遍的現象。主要表現為平時復習覺得沒有問題，題目也能做，但是到了考試時就是拿不了高分!這主要是因為：

(1)對復習的知識點缺乏系統的理解，解題時缺乏思維層次結構。第一輪復習著重對基礎知識點的挖掘，數學老師一定都會反復強調基礎的重要性。如果不重視對知識點的系統化分析，不能構成一個整體的知識網絡構架，自然在解題時就不能擁有整體的構思，也不能深入理解高考典型例題的思維方法。

(2)復習的時候心不靜。心不靜就會導致思維不清晰，而思維不清晰就會促使復習沒有效率。建議大家在開始一個學科的復習之前，先靜下心來認真想一想接下來需要復習哪一塊兒，需要做多少事情，然后認真去做，同時需要很高的注意力，只有這樣才會有很好的效果。

(3)在第一輪復習階段，學習的重心應該轉移到基礎復習上來。

因此，建議廣大同學在一輪復習的時候千萬不要急于求成，一定要靜下心來，認真的揣摩每個知識點，弄清每一個原理。只有這樣，一輪復習才能顯出成效。

二、注重教材、注重基礎，忌盲目做題

要把書本中的常規題型做好，所謂做好就是要用最少的時間把題目做對。部分同學在第一輪復習時對基礎題不予以足夠的重視，認為題目看上去會做就可以不加訓練，結果常在一些“不該錯的地方錯了”，最終把原因簡單的歸結為粗心，從而忽視了對基本概念的掌握，對基本結論和公式的記憶及基本計算的訓練和常規方法的積累，造成了實際成績與心理感覺的偏差。

可見，數學的基本概念、定義、公式，數學知識點的聯系，基本的數學解題思路與方法，是第一輪復習的重中之重。不妨以既是重點也是難點的函數部分為例，就必須掌握函數的概念，建立函數關系式，掌握定義域、值域與最值、奇偶性、單調性、周期性、對稱性等性質，學會利用圖像即數形結合。

三、抓薄弱環節，做好復習的針對性，忌無計劃

每個同學在數學學習上遇到的問題有共同點，更有不同點。在復習課上，老師只能針對性去解決共同點，而同學們自己的個別問題則需要通過自己的思考，與同學們的討論，并向老師提問來解決問題，我們提倡同學多問老師，要敢于問。每個同學必須了解自己掌握了什么，還有哪些問題沒有解決，要明確只有把漏洞一一補上才能提高。復習的過程，實質就是解決問題的過程，問題解決了，復習的效果就實現了。同時，也請同學們注意：在你問問題之前先經過自己思考，不要把不經過思考的問題就直接去問，因為這并不能起到更大作用。

高三的復習一定是有計劃、有目標的，所以千萬不要盲目做題。第一輪復習非常具有針對性，對于所有知識點的地毯式轟炸，一定要做到不缺不漏。因此，僅靠簡單做題是達不到一輪復習應該具有的效果。而且盲目做題沒有針對性，更不會有全面性。在概念模糊的情況下一定要回歸課本，注意教材上最清晰的概念與原理，注重對知識點運用方法的總結。

四、在平時做題中要養成良好的解題習慣，忌不思

1.樹立信心，養成良好的運算習慣。部分同學平時學習過程中自信心不足，做作業時免不了互相對答案，也不認真找出錯誤原因并加以改正。“會而不對”是高三數學學習的大忌，常見的有審題失誤、計算錯誤等，平時都以為是粗心，其實這就是一種非常不好的習慣，必須在第一輪復習中逐步克服，否則，后患無窮。可結合平時解題中存在的具體問題，逐題找出原因，看其是行為習慣方面的原因，還是知識方面的缺陷，再有針對性加以解決。必要時作些記錄，也就是錯題本，每位同學必備的，以便以后查詢。

2.做好解題后的開拓引申，培養一題多解和舉一反三的能力。解題能力的培養可以從一題多解和舉一反三中得到提高，因而解完題后，需要再回味和引申，它包括對解題方法的開拓引申，即一道數學題從不同的角度去考慮去分析，可以有不同的思路，不同的解法。

考慮的愈廣泛愈深刻，獲得的思路愈廣闊，解法愈多樣;及對題目做開拓引申，引申出新題和新解法，有利于培養同學們的發散思維，激發創造精神，提高解題能力：

(1)把題目條件開拓引申。

①把特殊條件一般化;②把一般條件特殊化;③把特殊條件和一般條件交替變化。

(2)把題目結論開拓引申。

(3)把題型開拓引申，同一個題目，給出不同的提法，可以變成不同的題型。俗稱為“一題多變”但其解法仍類似，按其解法而言，這些題又可稱為“多題一解”或“一法多用”。

3.提高解題速度，掌握解題技巧。提高解題速度的主要因素有二：一是解題方法的巧妙與簡捷;二是對常規解法的掌握是否達到高度的熟練程度。

五、學會總結、歸納，訓練到位，忌題量不足

我在暑期上課的時候發現，很多同學都是一看到題目就開始做題，這也是一輪復習應該避免的地方。做題如果不注重思路的分析，知識點的運用，效果可想而知。因此建議同學們在做題前要把老師上課時復習的知識再回顧一下，梳理知識體系，回顧各個知識點，對所學的知識結構要有一個完整清楚的認識，認真分析題目考查的知識，思想，以及方法，還要學會總結歸納不留下任何知識的盲點，在一輪復習中要注意對各個知識點的細化。這個過程不需要很長的時間，而且到了后續階段會越來越熟練。因此，養成良好的做題習慣，有助于訓練自己的解題思維，提高自己的解題能力。

實踐出真知，充足的題量是把理論轉化為能力的一種保障，在足夠的題目的練習下不僅可以更扎實的掌握知識點，還可以更深入的了解知識點，避免出現“會而不對、對而不全”的現象。由于高考依然是以做題為主，所以解題能力是高考分數的一個直接反映，尤其是數學試題。而解題能力不是三兩道題就能提升的，而是要大量的反復的訓練、認真細致的推敲才會有較大的提升。有句話說的好，“量變導致質變”，因此，同學們在每章復習的時候，一定要做足夠的題，才能夠充分的理解這一章的內容，才能夠做到對這一章知識點的熟練運用。

但是，大量訓練絕對不是題海戰術。因為針對每章節做題都有目標，同時做題訓練都需要不斷的總結，既要橫向總結，也要縱向深入。只要在每章節做題做到一定程度的時候都能感覺到這一章的知識點有哪些，典型題型有哪些，方法和技巧有哪些，換句話說，如果隨機抽取一些近幾年關于這一章的高考題都會做，那我認為就可以了。

高中數學知識點總結

第五篇：高中數學知識點總結

高中數學知識點總結

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

中元素各表示什么？

A表示函數y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數上的點的軌跡 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

顯然，這里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一個元素。故B只能是-1或者3。根據條件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，這里千萬小心，還有一個B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。

3.注意下列性質：

要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2, a3,......an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇，即集合A有個子集。

當然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數為，非空真子集個數為

（3）德摩根定律：

有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。

注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過； 如告訴你函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上單調遞減，在上單調遞增，就應該馬上知道函數對稱軸是x=1.或者，我說在上，也應該馬上可以想到m，n實際上就是方程 的2個根

5、熟悉命題的幾種形式、命題的四種形式及其相互關系是什么？（互為逆否關系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

6、熟悉充要條件的性質（高考經常考）滿足條件，滿足條件，若 ；則是的充分非必要條件； 若 ；則是的必要非充分條件； 若 ；則是的充要條件；

若 ；則是的既非充分又非必要條件；

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）

注意映射個數的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數有nm個。

如：若，；問：到的映射有 個，到的映射有 個；到的函數有 個，若，則到的一一映射有 個。

函數的圖象與直線交點的個數為 個。

8.函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？（定義域、對應法則、值域）

相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

9.求函數的定義域有哪些常見類型？

函數定義域求法： * 分式中的分母不為零；

* 偶次方根下的數（或式）大于或等于零； * 指數式的底數大于零且不等于一；

* 對數式的底數大于零且不等于一，真數大于零。* 正切函數 * 余切函數

* 反三角函數的定義域

函數y＝arcsinx的定義域是 [－1, 1]，值域是，函數y＝arccosx的定義域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函數y＝arctgx的定義域是 R，值域是.，函數y＝arcctgx的定義域是 R，值域是(0, π).當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數的定義域。

10.如何求復合函數的定義域？

義域是_____________。

復合函數定義域的求法：已知的定義域為，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。

例 若函數的定義域為，則的定義域為。

分析：由函數的定義域為可知：；所以中有。

解：依題意知：

解之，得 ∴ 的定義域為

11、函數值域的求法

1、直接觀察法

對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。例 求函數y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。例、求函數y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判別式法

對二次函數或者分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面 下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂

4、反函數法

直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。例 求函數y=值域。

5、函數有界性法

直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。我們所說的單調性，最常用的就是三角函數的單調性。例 求函數y=，的值域。

6、函數單調性法

通常和導數結合，是最近高考考的較多的一個內容 例求函數y=（2≤x≤10）的值域

7、換元法

通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特征是函數解析式含有根式或三角

函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發

揮作用。

例 求函數y=x+的值域。8 數形結合法 其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這

類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點P（x.y）在圓x2+y2=1上，例求函數y=+的值域。

解：原函數可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成數軸上點P（x）到定點A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當點P在線段AB上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函數的值域為：[10，+∞）例求函數y=+ 的值域

解：原函數可變形為：y=+

上式可看成x軸上的點P（x，0）到兩定點A（3，2），B（-2，-1）的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，y=∣AB∣==，故所求函數的值域為[，+∞）。例求函數y=-的值域 解：將函數變形為：y=-

上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B（-2，1）到點P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P1，則構成△ABP1，根據三角形兩邊之差小于第三邊，有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣== 即：-＜y＜（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。綜上所述，可知函數的值域為：（-，-）。

注：求兩距離之和時，要將函數式變形，使A，B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使兩點A，B在x軸的同側。9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例：

倒數法

有時，直接看不出函數的值域時，把它倒過來之后，你會發現另一番境況 例 求函數y=的值域

多種方法綜合運用

總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

12.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂

13.反函數存在的條件是什么？（一一對應函數）

求反函數的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

在更多時候，反函數的求法只是在選擇題中出現，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：

(2004.全國理)函數的反函數是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)

當然，心情好的同學，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現計算問題的話，答案還是可以做出來的。可惜，這個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習慣計算。下面請看一下我的思路：

原函數定義域為 x〉=1，那反函數值域也為y>=1.排除選項C,D.現在看值域。原函數至于為y>=1,則反函數定義域為x>=1, 答案為B.我題目已經做完了，好像沒有動筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？

14.反函數的性質有哪些？ 反函數性質：

1、反函數的定義域是原函數的值域（可擴展為反函數中的x對應原函數中的y）

2、反函數的值域是原函數的定義域（可擴展為反函數中的y對應原函數中的x）

3、反函數的圖像和原函數關于直線=x對稱（難怪點（x,y）和點（y，x）關于直線y=x對稱

①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱； ②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

由反函數的性質，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04.上海春季高考）已知函數，則方程的解__________.1 對于這一類題目，其實方法特別簡單，呵呵。已知反函數的y,不就是原函數的x嗎？那代進去阿，答案是不是已經出來了呢？（也可能是告訴你反函數的x值，那方法也一樣，呵呵。自己想想，不懂再問我.如何用定義證明函數的單調性？（取值、作差、判正負）

判斷函數單調性的方法有三種：(1)定義法：

根據定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關系

可以變形為求的正負號或者與1的關系(2)參照圖象：

①若函數f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區間具有相同的單調性；（特例：奇函數）②若函數f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區間里具有相反的單調性。（特例：偶函數）(3)利用單調函數的性質：

①函數f(x)與f(x)＋c(c是常數)是同向變化的

②函數f(x)與cf(x)(c是常數)，當c＞0時，它們是同向變化的；當c＜0時，它們是反向變化的。

③如果函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函數相加）

④如果正值函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數f1(2)與f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數相乘）

⑤函數f(x)與在f(x)的同號區間里反向變化。

⑥若函數u＝φ(x)，x[α，β]與函數y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向變化，則在[α，β]上復合函數y＝F[φ(x)]是遞增的；若函數u＝φ(x),x[α，β]與函數y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向變化，則在[α，β]上復合函數y＝F[φ(x)]是遞減的。（同增異減）⑦若函數y＝f(x)是嚴格單調的，則其反函數x＝f－1(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數增增增增增增減減 / / 減增減 / / 減減增減減

∴......）

16.如何利用導數判斷函數的單調性？

值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

∴a的最大值為3）

17.函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關于原點對稱）

注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

判斷函數奇偶性的方法

一、定義域法

一個函數是奇（偶）函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇（偶）函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數..二、奇偶函數定義法

在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、復合函數奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函數的定義嗎？

函數，T是一個周期。）

我們在做題的時候，經常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這個函數周期2t.推導：，同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數f(x)關于直線對稱，對稱軸可以由括號內的2個數字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數關于直線x=a對稱。

如：

19.你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯想點（x,y）,(-x,y)聯想點（x,y）,(x,-y)聯想點（x,y）,(-x,-y)聯想點（x,y）,(y,x)聯想點（x,y）,(2a-x,y)聯想點（x,y）,(2a-x,0)

（這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的坐標。看點和原點的關系，就可以很直觀的看出函數平移的軌跡了。）注意如下“翻折”變換：

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

(k為斜率，b為直線與y軸的交點)的雙曲線。

應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系--二次方程

②求閉區間［m，n］上的最值。

③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

由圖象記性質！（注意底數的限定！）

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？

21.如何解抽象函數問題？（賦值法、結構變換法）

（對于這種抽象函數的題目，其實簡單得都可以直接用死記了

1、代y=x，2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令y=-x；求單調性：令x+y=x1

幾類常見的抽象函數 1.正比例函數型的抽象函數

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.冪函數型的抽象函數

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝ 3.指數函數型的抽象函數

f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 4.對數函數型的抽象函數

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）

5.三角函數型的抽象函數

f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝ f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝

例1已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在區間[－2,1]上的值域.分析：先證明函數f（x）在R上是增函數（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根據區間求其值域.例2已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先證明函數f（x）在R上是增函數（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脫去函數符號.例3已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].（1）判斷f（x）的奇偶性；

（2）判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調性，并給出證明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范圍.分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.例4設函數f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；

（2）對任意值x，判斷f（x）值的符號.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函數f（x），使下列三個條件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用數學歸納法證明.例6設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍.分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函數的單調性和已知關系式.例7設函數y＝ f（x）的反函數是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由.分析：設f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，進而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]....例8已知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件： ① x1、x2是定義域中的數時，有f（x1－x2）＝； ② f（a）＝ －1（a＞0，a是定義域中的一個數）； ③ 當0＜x＜2a時，f（x）＜0.試問：

（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的單調性如何？說明理由.分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函數；（3）先證明f（x）在（0，2a）上是增函數，再證明其在（2a，4a）上也是增函數.對于抽象函數的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數.因此，針對不同的函數要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數問題.例9已知函數f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求證：f（x）為偶函數；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函數，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函數模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；（2）令y＝ －1；

（3）由f（x）為偶函數，則f（x）＝f（|x|）.例10已知函數f（x）對一切實數x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，求證：（1）當x＞0時，0＜f（x）＜1；（2）f（x）在x∈R上是減函數.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指數函數單調性的啟發：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，進而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.練習題：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對任意實數x、y都成立，則（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不對

2.若對任意實數x、y總有f（xy）＝f（x）＋f（y），則下列各式中錯誤的是（）

（A）f（1）＝0（B）f（）＝ f（x）

（C）f（）＝ f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函數f（x）對一切實數x、y滿足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，則當x＞0時，f（x）的取值范圍是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函數f（x）定義域關于原點對稱，且對定義域內不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，則f（x）為（）

（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數

（C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇非偶函數

5.已知不恒為零的函數f（x）對任意實數x、y滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，則函數f（x）是（）

（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數

（C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇非偶函數

參考答案： 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

(和三角形的面積公式很相似，可以比較記憶.要知道圓錐展開圖面積的求法)