第一篇：計數原理-10.2 排列與組合(教案)

響水二中高三數學（理）一輪復習

教案 第十編 計數原理 主備人 張靈芝 總第52期

§10.2 排列與組合

基礎自測

1.從1，2，3，4，5，6六個數字中，選出一個偶數和兩個奇數，組成一個沒有重復數字的三位數，這樣的三位數共有 個.答案 54 2.（2008·福建理）某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案共有 種.答案 14 3.停車場每排恰有10個停車位.當有7輛不同型號的車已停放在同一排后，恰有3個空車位連在一起的排法有 種.（用式子表示）答案 A88

4.在100件產品中有6件次品，現從中任取3件產品，至少有1件次品的不同取法種數是（用式子表示）.3答案 C100-C394

5.（2007·天津理）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有 種（用數字作答）.答案 390

例題精講

例1 六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.解（1）方法一 要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有A14種站法，然后其余

155人在另外5個位置上作全排列有A55種站法，根據分步計數原理，共有站法：A4·A5=480（種）.2方法二 由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5個人中選2個人站，有A5種站法，然后中24間人有A44種站法，根據分步計數原理，共有站法：A5·A4=480（種）.5方法三 若對甲沒有限制條件共有A66種站法，甲在兩端共有2A5種站法，從總數中減去這兩種 329

5情形的排列數，即共有站法：A66-2A5=480（種）.（2）方法一 先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，和其余4人進行全排列有A55種站法，再把

52甲、乙進行全排列，有A22種站法，根據分步計數原理，共有A5·A2=240（種）站法.方法二 先把甲、乙以外的4個人作全排列，有A44種站法，再在5個空檔中選出一個供甲、乙放

2412入，有A15種方法，最后讓甲、乙全排列，有A2種方法，共有A4·A5·A2=240（種）.（3）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有A442種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，有A5種站法，故共有站法為2A44·A5=480（種）.52也可用“間接法”，6個人全排列有A66種站法，由（2）知甲、乙相鄰有A5·A2=240種站法，所52以不相鄰的站法有A66-A5·A2=720-240=480（種）.（4）方法一 先將甲、乙以外的4個人作全排列，有A4然后將甲、乙按條件插入站隊，有3A24種，2種，故共有A4（3A24·2）=144（種）站法.方法二 先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有A2然后把甲、4種，乙及中間2人看作一個“大”元素與余下2人作全排列有A3最后對甲、乙進行排列，有A22種3種方法，32方法，故共有A24·A3·A2=144（種）站法.（5）方法一 首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A22種，再讓其他4人在中間位置作全排列，24有A44種，根據分步計數原理，共有A2·A4=48（種）站法.方法二 首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有A22種站法，然后考慮中間4個位置，由剩下

24的4人去站，有A44種站法，由分步計數原理共有A2·A4=48（種）站法.54（6）方法一 甲在左端的站法有A55種，乙在右端的站法有A5種，且甲在左端而乙在右端的站法有A4 330 54種，共有A66-2A5+A4=504（種）站法.方法二 以元素甲分類可分為兩類：①甲站右端有A55種站法，②甲在中間4個位置之一，而乙不145114在右端有A14·A4·A4 種，故共有A5+A4·A4·A4=504（種）站法.例2 男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？

（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）隊長中至少有1人參加；（4）既要有隊長，又要有女運動員.2解（1）第一步：選3名男運動員，有C36種選法.第二步：選2名女運動員，有C4種選法.2共有C36·C4=120種選法.（2）方法一 至少1名女運動員包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4233241由分類計數原理可得總選法數為C14C6+C4C6+C4C6+C4C6=246種.方法二 “至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”可用間接法求解.5從10人中任選5人有C10種選法，其中全是男運動員的選法有C56種.所以“至少有1名女運動員”的5選法為C10-C56=246種.（3）方法一 可分類求解：

443“只有男隊長”的選法為C8； “只有女隊長”的選法為C8； “男、女隊長都入選”的選法為C8； 43所以共有2C8+C8=196種選法.方法二 間接法：

55從10人中任選5人有C10種選法.其中不選隊長的方法有C8種.所以“至少1名隊長”的選法為55C10-C8=196種.44（4）當有女隊長時，其他人任意選，共有C9種選法.不選女隊長時，必選男隊長，共有C8種選法.444其中不含女運動員的選法有C5種，所以不選女隊長時的選法共有C8-C5種選法.所以既有隊長又有女444運動員的選法共有C9+C8-C5=191種.331 例3 4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內.（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個盒內有2個球，共有幾種放法？（3）恰有2個盒不放球，共有幾種放法？

解（1）為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選

1212個放2個球，其余2個球放在另 外2個盒子內，由分步計數原理，共有C14C4C3×A2=144種.（2）“恰有1個盒內有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個 子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.（3）確定2個空盒有C2、（2，2）兩類，第一類有序不4種方法.4個球放進2個盒子可分成（3，1）均勻分組有CC24(C342C11A234C11A22種方法；第二類有序均勻分組有

2C24C2A22·A

22種方法.故共有+2C24C2A22·A22）=84種.鞏固練習

1.用0、1、2、3、4、5這六個數字，可以組成多少個分別符合下列條件的無重復數字的四位數：(1)奇數；(2)偶數；(3)大于3 125的數.12解(1)先排個位，再排首位，共有A13·A4·A4=144（個）.1123(2)以0結尾的四位偶數有A35個，以2或4結尾的四位偶數有A2·A4·A4個，則共有A5+ 12A12·A4·A4=156（個）.2(3)要比3 125大，4、5作千位時有2A35個，3作千位，2、4、5作百位時有3A4個，3作千位，1作 321百位時有2A13個，所以共有2A5+3A4+2A3=162（個）.2.某醫院有內科醫生12名，外科醫生8名，現選派5名參加賑災醫療隊，其中（1）某內科醫生甲與某外科醫生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？（3）甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？

（4）隊中至少有一名內科醫生和一名外科醫生，有幾種選法？

3解（1）只需從其他18人中選3人即可，共有C18=816（種）.5（2）只需從其他18人中選5人即可，共有C18=8 568（種）.43（3）分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有C12C18+C18=6 936（種）.332（4）方法一（直接法）至少一名內科醫生一名外科醫生的選法可分四類：一內四外；二內三外；三

4233241內二外；四內一外，所以共有C112C8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656（種）.方法二（間接法）由總數中減去五名都是內科醫生和五名都是外科醫生的選法種數，55得C520-（C8+C12)=14 656(種）.3.有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；

（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每組都是2本的三組；（4）分給甲、乙、丙三人，每人2本.2解（1）分三步：先選一本有C16種選法；再從余下的5本中選2本有C5種選法；對于余下的三本 123全選有C33種選法，由分步計數原理知有C6C5C3=60種選法.233（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基礎上，還應考慮再分配的問題，因此共有C16C5C3A3=360種選法.222（3）先分三步，則應是C6C4C2種選法，但是這里面出現了重復，不妨記六本書為A、B、C、D、222E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C6C4C2種分法中還有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）3共有A33種情況，而且這A3種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此，只算作一種情況，故分法有222C6C4C2A33=15種.222C6C4C2（4）在問題（3）的工作基礎上再分配，故分配方式有

A33222·A33= C6C4C2=90種.回顧總結

知識 方法 思想

課后作業

一、填空題

1.用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50 000的偶數共有 個.答案 36 2.將編號為1，2，3，4，5的五個球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子里，每個盒子內放一個球，若恰好有三個球的編號與盒子編號相同，則不同投放方法共有 種.333 答案 10 3.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有 種.答案 960 4.(2008·天津理)有8張卡片分別標有數字1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為5，則不同的排法共有 種.答案 1 248 5.在圖中，“構建和諧社會，創美好未來”，從上往下讀（不能跳讀），共有 種不同的讀法.答案 252 6.（2008·安徽理）12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調整方法的種數是（用式子表示）.22答案 C8A6

7.平面?內有四個點，平面?內有五個點，從這九個點中任取三個，最多可確定 個平面，任取四點，最多可確定 個四面體.（用數字作答）答案 72 120 8.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6組成六位數（沒有重復數字），要求任何相鄰兩個數字的奇偶性不同，且1和2相鄰.這樣的六位數的個數是.（用數字作答）答案 40

二、解答題

9.某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，求該外商不同的投資方案有多少種？

解 可先分組再分配，據題意分兩類，一類：先將3個項目分成兩組，一組有1個項目，另一組有2

22個項目，然后再分配給4個城市中的2個，共有C3A4種方案；另一類1個城市1個項目，即把3個223元素排在4個不同位置中的3個，共有A34種方案.由分類計數原理可知共有C3A4+A4=60種方案.10.課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊長，現從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？（1）只有一名女生；（2）兩隊長當選；

334（3）至少有一名隊長當選；（4）至多有兩名女生當選.4解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C8=350（種）.3（2）將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有C22·C11=165（種）.423（3）至少有一名隊長含有兩類：有一名隊長和兩名隊長.故共有：C12·C11+C2·C11=825（種）.55或采用間接法：C13-C11=825（種）.（4）至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生.2345故選法為C5·C8+C15·C8+C8=966（種）.11.已知平面?∥?，在?內有4個點，在?內有6個點.（1）過這10個點中的3點作一平面，最多可作多少個不同平面？（2）以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？（3）上述三棱錐中最多可以有多少個不同的體積？

2解（1）所作出的平面有三類：①?內1點，?內2點確定的平面，有C14·C6個；②?內2點，?2內1點確定的平面，有C2C1③?，?本身.∴所作的平面最多有C1C6+C2C1（個）.4·4·4·6個；6+2=983（2）所作的三棱錐有三類：①?內1點，?內3點確定的三棱錐，有C14·C6個；②?內2點，?內2312點確定的三棱錐，有C24·C6個；?內3點，?內1點確定的三棱錐，有C4·C6個.32231∴最多可作出的三棱錐有：C14·C6+C4·C6+C4·C6=194（個）.（3）∵當等底面積、等高的情況下三棱錐的體積相等,且平面?∥?，∴體積不相同的三棱錐最多有

322C36+C4+C6·C4=114（個）.12.有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，共有多少種不同排法？

解 ∵前排中間3個座位不能坐，∴實際可坐的位置前排8個，后排12個.12（1）兩人一個前排，一個后排，方法數為C18·C12·A2種； 212（2）兩人均在后排左右不相鄰，共A12-A22·A11=A11種；

1（3）兩人均在前排，又分兩類：①兩人一左一右，共C1C1A2②兩人同左同右，有2（A2A24·4·2種；4-A3·2）122112212種.綜上可知，不同排法種數為C18·C12·A2+A11+C4·C4·A2+2（A4-A3·A2）=346種.335

第二篇：10.2 排列與組合練習題

§10.2 排列與組合一、選擇題

1．某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目．如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為

()．

A．42B．30C．20D．12

解析 可分為兩類：兩個節目相鄰或兩個節目不相鄰，若兩個節目相鄰，則有

1A2若兩個節目不相鄰，則有A2由分類計數原理共有2A6＝12種排法；6＝30種排法．

12＋30＝42種排法(或A27＝42)． 答案 A

2．a∈N*，且a<20，則(27－a)(28－a)?(34－a)等于()

27－a78

A．A827－aB．A34－aC．A34－aD．A34－a 解析A834－a＝(27－a)(28－a)?(34－a)． 答案 D

3．從1,3,5,7中任取2個數字，從0,2,4,6,8中任取2個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有()

A．252個B．300個 C．324個D．228個

113

解析(1)若僅僅含有數字0，則選法是C2可以組成四位數C23C4，3C4A3＝12×6＝72個；

2123

(2)若僅僅含有數字5，則選法是C1 3C4，可以組成四位數C3C4A3＝18×6＝108個；

113

(3)若既含數字0，又含數字5，選法是C3C4，排法是若0在個位，有A3＝6種，11

若5在個位，有2×A22＝4種，故可以組成四位數C3C4(6＋4)＝120個． 根據加法原理，共有72＋108＋120＝300個． 答案 B

4．2013年春節放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有()A．1 440種C．1 282種

B．1 360種D．1 128種

解析 采取對丙和甲進行捆綁的方法：

如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：A66·A2＝1 440種，124如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：C11·A4·A2·A4＝192種，若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：A55＝120種．

則不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(種)． 答案 D

5．某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有()．

A．16種B．36種C．42種D．60種

解析 若3個不同的項目投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共A34種方法；若3個不同的項目投資到4個城市中的2個，一個城市一項、一個城市兩項共

2322C23A4種方法，由分類計數原理知共A4＋C3A4＝60種方法．

答案 D

6．某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()．

A．30種B．35種C．42種D．48種

解析 法一 可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類

221選1門，共有C13C4＋C3C4＝18＋12＝30(種)選法．

3法二 總共有C37＝35(種)選法，減去只選A類的C3＝1(種)，再減去只選B類的C34＝4(種)，共有30種選法． 答案 A

7．有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數是()． A．24B．48C．72D．96

222223解析 A55－2A2A3A2－A2A2A3＝48.答案 B

二、填空題

8．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現從中選出3名隊員排成1,2,3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有________種．(以數字作答)

23解析①只有1名老隊員的排法有C12·C3·A3＝36種． 112②有2名老隊員的排法有C22·C3·C2·A2＝12種；

所以共48種． 答案 48

9．將4名新來的同學分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排1名學生，其中甲同學不能分配到A班，那么不同的分配方案種數是________．

解析 將4名新來的同學分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排一名學

3212

生有C2其中甲同學分配到A班共有C2因此滿足條4A3種分配方案，3A2＋C3A2種方案．32212件的不同方案共有C24A3－C3A2－C3A2＝24(種)．

答案 24

10．從5名男醫生、4名女醫生中選3名醫生組成一個醫療小分隊，要求男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有________種．

解析分1名男醫生2名女醫生、2名男醫生1名女醫生兩種情況，或者用間接法．

221

直接法：C15C4＋C5C4＝70.33

間接法：C39－C5－C4＝70.答案70

11．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三個房間內，要求甲、乙兩人不住同一房間，且每個房間最多住兩人，則不同的住宿安排有________種(用數字作答)． 解析甲、乙住在同一個房間，此時只能把另外三人分為兩組，這時的方法總數

22C15C4C2313

是C3A3＝18，而總的分配方法數是把五人分為三組再進行分配，方法數是23

A2

＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72種． 答案 72

12．某車隊有7輛車，現要調出4輛按一定順序出去執行任務．要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有________種不同的調度方法(填數字)． 解析 先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C25種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，選從4個位置中選兩個位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24種，最后，222安排其他兩輛車共有A22種方法，∴不同的調度方法為C5·C4·A2＝120種．

答案 120

三、解答題

13．有六名同學按下列方法和要求分組，各有不同的分組方法多少種？(1)分成三個組，各組人數分別為1、2、3；

(2)分成三個組去參加三項不同的試驗，各組人數分別為1、2、3；(3)分成三個組，各組人數分別為2、2、2；

(4)分成三個組去參加三項不同的試驗，各組人數分別為2、2、2；(5)分成四個組，各組人數分別為1,1,2,2；

(6)分成四個組去參加四項不同的活動，各組人數分別為1、1、2、2.23

解析(1)即C16C5C3＝60.233

(2)即C16C5C3A3＝60×6＝360.22C26C4C2

(3)即315.A322

(4)即C26C4C2＝90.12C1C26C54C2

(5)即2·2＝45.A2A2122

(6)C16C5C4C2＝180.14．要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？

(1)至少有1名女生入選；(2)至多有2名女生入選；(3)男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時入選；(5)男 生甲、女生乙至少有一個人入選．

解析(1)C512－C7＝771； 1423(2)C57＋C5C7＋C5C7＝546； 3(3)C22C10＝120； 23(4)C512－C2C10＝672； 5(5)C512－C10＝540.15．在m(m≥2)個不同數的排列p1p2?pm中，若1≤i＜j≤m時pi＞pj(即前面某數大于后面某數)，則稱pi與pj構成一個逆序，一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列(n＋1)n(n－1)?321的逆序數為an.如排列21的逆序數a1＝1，排列321的逆序數a2＝3，排列4 321的逆序數a3＝6.(1)求a4、a5，并寫出an的表達式；(2)令bn＝

anan＋1

＋，證明2n＜b1＋b2＋?＋bn＜2n＋3，n＝1,2，?.an＋1an

nn＋12

解析(1)由已知條件a4＝C25＝10，a5＝C6＝15，則an＝Cn＋1＝

(2)證明 bn＝

1?anan＋1nn＋2?1

2＋2?nn＋2an＋1ann＋2n??

∴b1＋b2＋?＋bn

111111111??

－＋－ ＝2n＋2?1－＋－＋－＋?＋

32435n－1n＋1nn＋2??11??3

－，＝2n＋2?－

?2n＋1n＋2?∴2n＜b1＋b2＋?＋bn＜2n＋3.16．已知10件不同的產品中有4件次品，現對它們一一測試，直至找到所有4件次品為止．

(1)若恰在第2次測試時，才測試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？

(2)若至多測試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測試方法？ 解析(1)若恰在第2次測試時，才測到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐個抽取測試． 第2次測到第一件次品有4種抽法； 第8次測到最后一件次品有3種抽法；

第3至第7次抽取測到最后兩件次品共有A2剩余4次抽到的是正品，共5種抽法；

24有A24A5A6＝86 400種抽法．

(2)檢測4次可測出4件次品，不同的測試方法有A44種，1檢測5次可測出4件次品，不同的測試方法有4A34A6種；

26檢測6次測出4件次品或6件正品，則不同的測試方法共有4A35A6＋A6種．

由分類計數原理，滿足條件的不同的測試方法的種數為

31326A44＋4A4A6＋4A5A6＋A6＝8 520.

第三篇：排列與組合教案

課 題： 數學廣角

——簡單的排列和組合

鶴鳴山小學：佘莎

教學內容：九年義務教育課程標準實驗教科書 數學二年級上冊p99例1 教學目標：

1．通過觀察、猜測、比較、實驗等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數，初步培養有序地全面地思考問題的能力。

2．感受數學與生活的密切聯系，激發學習數學、探索數學的濃厚興趣，使學生在數學活動中養成與人合作的良好習慣。

教學重點：經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程。教學難點：初步理解簡單事物排列與組合的不同。教學準備：課件、數字卡片等 教學過程：

一、創設情境，引發探究

1、初步感知排列

1）師：看喜羊羊來歡迎我們了。

喜羊羊：大家好，在你們面前的是一把密碼鎖，密碼是由數字1和2這兩個數字擺成的兩位數?？靵碓囋嚢?！

２）學生獨立擺卡片，并記下數。

師：請先獨自擺擺，邊擺邊記，看誰擺最完整？ ３）反饋交流，說一說你是怎樣擺的？

板書：１２

２１ 4）試著輸入密碼？

二、動手操作、探究新知

1、合作探究排列 １）進入數字樂園。

喜洋洋說：“歡迎來到數字樂園，我們一起來玩一個數字游戲吧！你能用1、2、3三個數字擺出幾個兩位數呢？

生猜想，有兩個，4個，6個等等。

師：讓我們來動手擺一擺就知道了。老師給小朋友們準備了1、2、3三張數字卡片，還有一張記錄卡。同桌合作，一人擺數字卡片，一人把擺好的數記錄下來，先商量一下誰擺數字卡片，誰記數，比比哪桌合作得又好又快。２）反饋交流。

①請幾組學生把自己記錄下的數字寫在黑板上。②交流你覺得誰擺得更好。為什么？ 想一想：怎樣擺才不會遺漏和重復？

師：為什么有的擺的數多，而有的卻擺的少呢？有什么好辦法能保證既不漏數、也不重復呢？請每個小組進行討論，看看有什么好辦法？小組交流，集體反饋。

③再按你們的方法，邊擺，找一個人把他記下來！

學生小結方法：

1、固定十位。

2、固定個位。

3、交換位置。

師：大家都采用各種方法擺出了6個不同的兩位數。真了不起啊！今后我們在排列數的時候，要想既不重復也不漏掉，就必須要按照一定的規律和一定的方法進行。這就是我們今天所要學習的排列與組合。鞏固練習。

師：喜洋洋想請我們去他家里作客?？墒撬€想考考大家。

1、我家的門牌號碼是由6、7、8這三個數字組成的兩位數，請你猜一猜可能是多少？

2、是這6個數中最大的一個兩位數。

學生先排列出6個兩位數，再找出其中最大的兩位數。2．感知組合

師：喜洋洋請小朋友們吃水果。蘋果、香蕉、梨子，只吃其中的兩種水果有幾種吃法。生：回答。

說出三種這后，還有孩子說有別的吃法，當他列舉出來之后，再讓學生觀察。學生發現最后一種和前面其中一種是同樣的吃法。從而得出只有三種吃法。師質疑：三張卡面取兩張擺兩位數能擺6個，而三種水果吃其中兩種確只有3種吃法？

請兩個學生上黑板，一人擺卡片，一人取水果。然后交換位置。學生發現卡片交換位置得到兩個數，而水果交換位置之后得到的還是原來的兩種水果只能算一種吃法。

師小結：擺數與順序有關，取水果與順序無關。擺數可以交換位置，而取水果交換位置沒用。

三、應用拓展，深化探究 來到游藝樂園，搭配衣服。

1、出示：四件衣服有幾種不同的穿法呢?在書上連一連，畫一畫。（學生操作）

學生說課件演示。

2、出示：如果三個人握手，每兩個人握一次，三人一共要握多少次呢？ ２）小組合作演示，并記錄結果。３）小組匯報結果。

四、總結延伸，暢談感受

師：生活中哪里有排列與組合。

師總結：只要我們有心，你會發現生活中處處有數學。愿孩子們做一個生活的有心人，去發現身邊的數學。

2012-11-10

第四篇：簡單的排列與組合教案

《排列與組合》教學設計

教學目標： 知識與技能：

通過觀察、猜測、實驗等活動，找出簡單事物的排列數與組合數。過程與方法：

1.通過學生間的自主學習、相互討論交流，增強學生歸納知識，獲取知識的能力，培養學生初步的觀察、分析、推理能力以及有順序地全面思考問題的意識。

2.通過多媒體等輔助手段，演示排列與組合的過程，化抽象為直觀，增強學習的效果。

情感態度與價值觀：

引導學生使用數學方法解決實際生活中的問題，學會表達解決問題的大致過程。培養學生的合作意識和人際交往能力。

教學重點：經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程。教學難點：初步理解簡單事物排列與組合的不同。準備：課件，數字卡片 教學過程：

一、創設數學情境，提出數學問題

師：上課之前，咱們來玩個猜年齡的游戲。好嗎？讓我先來猜猜你們的年齡吧。你們能猜出老師的年齡嗎？（學生任意猜）

師：這樣吧。老師給你們一點提示：我的年齡是由3、6兩張數字卡片擺成的兩位數。

生：

36、63。

師：還有其他的可能嗎？用這兩個數字能擺出幾個不同的兩位數？（板書：2個）師：老師的年齡到底是多少歲呢？為什么？ 生：是36歲，因為?????！

二、組織有效教學，探究數學本質

（一）感知排列。

1、師：剛才我們用數字卡片3、6擺出了兩個不同的兩位數，那如果用1、2、3這三張數字卡片能擺出幾個不同的兩位數呢？（課件出示）

師：誰愿意來猜一猜？ 生猜：3個 4個 6個

師：用數字1、2、3究竟可以擺出幾個兩位數呢？讓我們一起來驗證。課件提出要求：

請拿出數字1、2、3的卡片，同桌合作，一人擺數字卡片，一人把擺出的數寫在練習本上。

學生操作擺卡片。

師：誰愿意來說一說你們組是怎樣擺的？ 學生匯報：《找寫的少的，重復的，有代表性的》 預設：生：13 32 31 生：32 31 23 13 21 生：13 31 23 32 12 21 23（寫在黑板的一邊）

2、合作探究擺的方法：

師：我們來看看這幾位同學的記錄，你發現什么問題了？

生：前兩個同學都有數字遺漏了，后面一個同學兩個數字重復了。課件提出要求：

師：有什么好辦法能保證既不漏數、也不重復呢？請大家在小組內進行討論，看看有什么好辦法？再按你們的方法來擺，找一個人把他記下來！

（學生帶著問題進行第二次操作）

師：誰來說說你們組是怎樣想的？ 預設：

生：每次拿其中的兩個數字，然后用調換的方法得出6個新數：12和21、13和31、23和32； 方法一：交換位置 12、21、13、31、23、32 生：把1固定在十位上，這樣就可以擺出2個不同的兩位數，在把2??一共擺出了6個不同的兩位數。（邊說邊板書）

方法二：固定十位 12、13、21、23、31、32 師：我們還可以現將個位數字固定。

方法三：固定個位 21、31、12、32、13、23

（課件出示效果好還是板書會好些）師：你認為哪種辦法好？好在哪里？ 師：選擇自己喜歡的一種方法，再擺一擺。

師：我們用1、2、3三個數字編成了6個不同的兩位數，剛才都有誰猜對了？ 小結：我們不管是用調換位置的方法還是固定十位或個位的方法，只要我們按順序擺，就能做到不重復，不遺漏。有了這種有順序的思考方法，就可以幫助我們解決很多生活中的實際問題。

（二）感知組合：

1.師：同學們，你們剛才的合作愉快嗎？那互相握手祝賀一下好嗎？

師：握手代表著友好，是一種有禮貌的行為，在生活中，我們經常用握手來表示互相祝賀。

師：我要出一道關于握手的數學問題，你們能解決嗎？ 課件出示：

每兩人握一次手，三人一共握幾次手？ 師：想一想！猜猜看。預設： 生1：6次!生2：4次！

生：3次。

師：為什么猜6次？

生：因為三張數字卡片可以擺成6個兩位數，三個人也是握6次手。實踐活動： 師： 究竟幾次呢？（提出要求：）

四人一組去合作，一個人當小組長。安排其它的三個人握手）。師：請一個組的同學上臺演示，其他同學一起數數。

師：為了說著方便，我給這三名小朋友每人編個序號分別是1號，2號，3號

板書：

1號和2號 1號和3號 2號和3號

師：每個人都握到了嗎？2號和3號呢？ 生：他們已經握過了，換過來就重復了。師：也就是說三個人一共要握3次手。

三、致力核心問題，建立數學模型，課件出示：

師：為什么3個數字能寫出6個兩位數，而3個小朋友每兩人握一次手，只握3次呢？

生：匯報

（引導：看來，兩個人相互握手，只能算一次，和順序無關。剛才排數，交換數的位置，就變成另一個數了，這和順序有關。）

師:像擺數這樣的問題我們可以稱為排列問題，像握手這樣的問題我們稱為組合問題。就是我們這節課學習的“簡單的排列與組合”(板書課題。)師：我們在處理這兩種問題時，一定要做到有序的思考。

四、設計有效檢測，解決實際問題

1、搭配衣服

師：其實我們的生活當中有很多地方用到了排列和組合，這不，小紅要去看乒乓球賽，現在有兩件上衣，一條裙子和一條褲子。但她不知道如何搭配，你能幫助她搭配出幾套不同的穿法嗎？你能用今天學習的知識設計一下嗎？（指名答）

師：誰愿意起來告訴我們大家究竟有幾種不同的穿法呢？（學生匯報）師：同學們用不同的方法都設計了四種不同的配色方案，是今天我們學習的哪種情況？（組合）

2、乒乓球比賽：

現在小紅選中了你們為他搭配的一套服裝，去看乒乓球比賽了?？炜?，他來到了乒乓球場地：場地中有三人參加乒乓球比賽，小紅想：如果兩個人打一場比賽，那三個人要打幾場比賽呢？ 你們能幫助小紅嗎？

五、深化經驗成果，升華數學內涵

師：同學們，你有什么收獲嗎？

（學生談收獲）

師：原來生活有這么多數學問題，只要同學們細心觀察，就能發現更多有趣的數學問題，掌握了這些知識，我們就可以把生活裝點的更加美麗！

第五篇：計數原理教案

淮北市第十二中學2007~2008學

考

評

課

教

案

授課人：鄒強

2008年5月 §10.1 分類計數原理與分步計數原理

授課人：鄒強

教學目標：

知識目標：①理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理；

②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；

能力目標：培養學生的歸納概括能力；

情感目標：①了解學習本章的意義，激發學生的興趣

②引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式..教學重點：

分類計數原理與分步計數原理的應用理解 教學難點：

分類計數原理與分步計數原理的理解 教學方法：

問題式、螺旋上升的教學方法 教學過程：

一．課題引入

中央電視臺體育頻道每周四次對“NBA”進行現場直播，并對參與節目交流的觀眾進行抽取幸運觀眾活動，獎品是“NBA”明星真品球衣或明星戰靴，此節目深受廣大籃球迷的喜歡。已知在某次直播時，共收到手機號碼2萬個。其中聯通號碼有0.8萬個，移動號碼有1萬個，小靈通號碼有0.2萬個?，F抽?。?/p>

（1）一名幸運觀眾有多少種不同類型的抽法？

（2）從聯通號碼、移動號碼和小靈通號碼中各抽取一名幸運觀眾共有多少種不同的抽法？ 象這種計算所有情況的問題可稱為計數問題，用來解決這種問題的一般方法或計算規律叫做計數原理，今天我們就來探求它們。

二．新課講授

問題1.1:“兩會”決定,下一次會議一定要有農民工代表參加.假如現在南方有農民工代表30人,北方有農民工代表20人,現在選舉一名農民工代表共有多少種選法? 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m 種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法.那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法.問題1.2:在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫學

信息技術學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從這些強項專業中任選一項共有多少種？ 探究一：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有 m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，在第n類方案中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分類計數原理： 一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類辦法中有 m2 種不同的方法……在第n類辦法中有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn 種不同的方法.問題2.1:國務院總理溫家寶在十屆全國人大三次會議上作政府工作報告時表示，補助貧困學生生活費。假設補助后西部某省的貧困生午飯可買兩盤菜（蔬菜類 + 肉類），學校食堂的菜單如下，蔬菜類

肉類

蘿卜

豬肉

白菜

牛肉

花菜 請問有多少種不同的選法? 完成一件事需要兩個不同步驟，在第1步中有 不同的方法.那么完成這件事共有Nm 種不同的方法，在第2步中有 n 種

?m?n種不同的方法.問題2.2：在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫學

信息技術學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從清華大學，復旦大學，南京大學這些強項專業中各選一項共有多少種？

探究一：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有 m

1種不同的方法，做第2步有 m種不同的方法，做第3步有

m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，……做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分步計數原理： 一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有 m1 種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法……做第n步有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.理解分類計數原理與分步計數原理異同點

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數的問題

②不同點:分類加法計數原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.分步時，每一步都可以看成分類；分類時，每一類也可能要有好幾步才能完成。例題選講

問題3.1 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 學生練習： 填空：

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第1種方法完成，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數是

.（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經B村去C村，不同的路線有

條..（3）從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.（4）.甲、乙、丙3個班各有三好學生3，5，2名，現準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有

種不同的推選方法.總結歸納： 1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數、組合數公式的理論依據，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理，并加區別

分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可 4 以完成這件事；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.3．運用分類加法計數原理與分步乘法計數原理的注意點：

分類加法計數原理：首先確定分類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法計數原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續完成這n個步驟，這件事才算完成 作業布置：

.1．課本第９７頁的習題1０.1A第1，2，3題．

2．編一道運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理解答的應用題，并加以解答． 課外思考：

1.某學生去書店，發現3本好書，決定至少買其中1本，則該生的購書方案有_____種。課后反思：