第一篇：兩個基本計數原理教案

第一章計數原理

第1節兩個基本計數原理 教材分析

本節課《分類計數原理與分步計數原理》是蘇教版普通高中課程標準試驗教科書（選修2-3)第一章第一節的內容，是本章后續知識的基礎,對后續內容的學習有著舉足輕重的作用,另外本節課涉及的分步、分類的思想是解決實際問題的最有效武器，是人們思考問題的最根本方法.學情分析

高二學生已具備一定的數學知識和方法，能很容易的接受兩個原理的內容，并應用原理解決一些簡單的實際問題，這些形成了學生思維的“最近發展區”．雖然學生已經具備了一定的歸納、類比能力，但在數學的應用意識與應用能力方面尚需進一步培養．另外，學生的求知欲強，參與意識，自主探索意識明顯增強，對能夠引起認知沖突，表現自身價值的學習素材特別感興趣。但在合作交流意識欠缺，有待加強.目標分析 ⑴知識與技能

①掌握分類計數原理與分步計數原理的內容

②能根據具體問題的特征選擇分類計數原理與分步計數原理解決一些簡單實際問題． ⑵過程與方法

①通過具體問題情境總結出兩個計數原理，并通過實際事例學生感悟兩個原理的應用并最終學會應用

②通過“學生自主探究、合作探究，師生共究”更深刻的理解分類計數與分步計數原理，并應用它們解決實際問題 ⑶情感、態度、價值觀

樹立學生積極合作的意識，增強數學應用意識,激發學生學習數學的熱情和興趣.教學重難點分析

教學重點：分類計數原理與分步計數原理的掌握

教學難點：根據具體問題特征選擇分類計數原理與分步計數原理解決實際問題． 教法、學法分析 教法分析：

①啟發探究法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。

②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。學法分析：本節課要求學生自主探究，學會用類比的思想解決問題，樹立學生的合作交流意識.教學過程

一、創設情境：對于分類計數原理設計如下情境（看多媒體）： 該情境是原教材上情境經過加工設計的，比原教材情境更加貼近學生生活，能夠增強學生的有意注意，激發學生的興趣，調動學生的主動性和積極性,從而進入思維情境接著是對情境的處理：

在情境處理過程中要啟發學生由特殊情形歸納出一般原理,遵循由簡單到復雜的認知規律，我處理情境的辦法是：

第一步在解決問題時首先讓學生嘗試分析,然后由學生代表分析解答，教師及時給出評價，并由老師給出解題過程，在這里由老師按分類計數原理給出解題過程，為學生順利總結概括出原理做好鋪墊.第二步對原問題加以引申：若當天有4次航班，則有多少種不同方法？ 設計的意圖是讓學生更清楚的認識到總方法數是各類方法數之和.第三步提出問題：你能否盡可能簡練的總結出問題1中的計數規律？

接著由學生分組討論、總結問題1中計數規律，這樣由學生總結歸納，并通過討論準確敘述出分類計數原理，可以提高學生的數學表達意識，激發合作意識和競爭意識，體驗獲得成功的喜悅，也就完成了情感目標.第四步由教師板書分類計數原理(加法原理）并說明由于總方法數是各類方法數之和，樹立學生平時學習生活中的講道理意識.在分類計數原理中設計如下問題情境，問題2與問題1的背景一樣：都是乘車方法的計數問題.對于問題2的處理辦法是：第一步由學生自主嘗試分析解答，但該問題并沒有問題1般簡單所以就有了第二步教師電腦屏幕顯示分析及解題過程，利用多媒體顯示動畫，輔助分析，展示不同的走法,幫助學生更直觀的解決問題，然后由感性進入理性，這也符合一般的認知規律.第三步問題引申將問題引申為若從蘭州到天水新增一輛4號汽車，則有多少種乘車方法？ 設計的意圖是：通過引申讓學生更加清楚的認識到總方法數是各步方法數相乘.第四步提出問題：你能否對照分類計數原理，歸納概括出問題2蘊含的計數規律,并嘗試命名，這樣設計一可指導學生通過類比給出分步計數原理，滲透類比思想第二也可在自主探究中掌握本節重點，當然重點的突破也為難點突破打下了知識基礎 第五部教師板書：分步計數原理（乘法原理），由學生說明其稱為乘法原理的理由.分步計數原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×?×mn種不同的方法.二、建構數學

在總結出兩個計數原理的基礎上讓學生進行如下三個問題的探究，初步突破難點.探究1：對比兩計數原理，指出相同點與不同點 設計探究1的意圖是通過自主探究合作探究，加深兩個定理的理解并且在兩個定理內容的比較中提高學生閱讀數學的能力.探究方式：分組討論（合作交流，加深理解）

探究結果：共同點是：研究對象相同,它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法.不同點是：它們研究完成一件事情的方式不同,分類計數原理是“分類完成”,分步計數原理是“分步完成”由于學生的認識水平有限，在這里只要求認識到分類計數原理是“分類完成”,分步計數原理是“分步完成”.探究2：何時用分類計數原理,何時用分步計數原理 探究方式：自主探究，代表發言，共同總結.探究結果：若完成一件事情有n類方法，則用分類計數原理.若完成一件事情有n個步驟，則用分步計數原理.設計意圖：在探究1基礎上進一步突破重難點，培養學生分析問題的能力.探究3：用兩個計數原理解決計數問題的思維步驟 探究方式：分組討論，合作探究，代表發言,共同總結.探究結果：

1、明確要完成什么事

2、判斷分類還是分步

3、計算總方法數

（一）兩個計數原理內容

1、分類計數原理：

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法??在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1 +m2 +??+mn種不同的方法.2、分步計數原理：

完成一件事，需要分n個步驟，做第1步驟有m1種不同的方法，做第2步驟有m2種不同的方法??做第n步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2 ×??×mn種不同的方法.（二）例題分析

例1 某學校食堂備有5種素菜、3種葷菜、2種湯。現要配成一葷一素一湯的套餐。問 可以配制出多少種不同的品種？ 分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配一個葷菜、配一個素菜、配一湯）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數原理？

5、進行計算.解：屬于分步：第一步配一個葷菜有3種選擇 第二步配一個素菜有5種選擇 第三步配一個湯有2種選擇 共有N=3×5×2=30（種）

例2 有一個書架共有2層，上層放有5本不同的數學書，下層放有4本不同的語文書。（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架上任取一本數學書和一本語文書，有多少種不同的取法？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數原理？

5、進行計算。

解：屬于分類：第一類從上層取一本書有5種選擇 第二類從下層取一本書有4種選擇 共有N=5+4=9（種）

（2）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數原理？

5、進行計算.解：屬于分步：第一步從上層取一本書有5種選擇 第二步從下層取一本書有4種選擇 共有N=5×4=20（種）

例

3、有1、2、3、4、5五個數字.（1）可以組成多少個不同的三位數？

（2）可以組成多少個無重復數字的三位數？

（3）可以組成多少個無重復數字的偶數的三位數？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配百位數、配十位數、配個位數）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）

4、運用哪個計數原理？

5、進行計算.略解：N=5×5×5=125（個）（2）（3）（4）師生共同完成

（三）鞏固練習

1、某人有4條不同顏色的領帶和6件不同款式的襯衣，問可以有多少種不同的搭配方法？

2、有一個班級共有46名學生，其中男生有21名.（1）現要選派一名學生代表班級參加學校的學代會，有多 少種不同的選派方法？

（2）若要選派男、女各一名學生代表班級參加學校的學代 會，有多少種不同的選派方法？

思考：有0、1、2、3、4、5六個數字.（1）可以組成多少個不同的三位數？

（2）可以組成多少個無重復數字的三位數？

（3）可以組成多少個無重復數字的偶數的三位數？

（四）課堂總結

1、什么時候用加法原理、什么時候用乘法原理呢？

分類時用加法原理，分步時用乘法原理．

2、分類與分步怎么區別呢？

分類時要求各類辦法能獨立完成；分步時要求各步不能獨立完成． 分類加法計數原理與分步乘法計數原理異同點的理解： ①相同點：都是完成一件事的不同方法種數的問題

②不同點：分類加法計數原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.（五）板書設計： 兩個基本計數原理

1、分類計數原理： N=m1 +m2 +……+mn

2、分類計數原理： N=m1×m2 ×……×mn

例1． 例2． 小結：

（六）及時訓練

1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

3.如圖一,要給①,②,③,④四塊區域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數為()

A.180

B.160

C.96

D.60

若變為圖二,圖三呢? 5.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

（七）作業布置

1、課本第8頁第1、2、3、4、5題；

2、課本第9頁第1、2、3、4、5、6、7、8、9題 教學反思：

分類加法計數原理比較好掌握，分類乘法計數原理不太好理解.有些題不知道是用加法原理還是用乘法原理.例題書上都有，看過書后，教師講課感覺不到新鮮.還有部分不會做題的學生通過看書也能得到答案，不能反映他們的真實水平.1、學生主體觀

課堂教學過程是在教學目標的指引下，由師生共同動態“生成”的．其中，學生的反饋是重要的，它決定了教學的進程．聆聽學生是教師的必備技能，不要將學生作為“答案發生器”，不要沉浸在“我的學生都會做了”這種虛假的成功喜悅中，而應該讓學生關注解決問題的過程、策略及思想方法，讓他們充分地展示思想，完整地、數學地表達自己的想法，甚至于應該給予他們犯錯的機會，也幫助他們提高分析錯誤、更正錯誤的能力．

學生在解題時，往往對答案很在意，也很在行．例如在問題“集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少個？”的解決中，學生極快地報出了答案“10”，但在敘述他的解題過程時，卻說不太清楚．一開始說出了5×4的做法，但很快又自我否定（因為答案不對），當然，他一定覺得用“數”數的方法可以解決，但難以表述．這種“兩難”處境需要教師的協助來化解，在教師的鼓勵下，他用“數”數的方法完成了問題，并對計數的對象——二元集進行了分類，利用分類加法計數原理重新闡述了做法，得到了師生的共同認可．在這一過程中，不僅是這名學生，而是全體，都體驗了不要“輕易言敗”的心理歷程，這也在一定程度上實現了新課程所倡導的“情感、態度、價值觀”的目標．

2、讓學生自我發展

如何讓學生的主動學習模式從課內延伸到課外？如何讓學有余力的同學有更大的收獲？ 學生在課后常會問一些問題，多數是課上未聽懂或習題的方法未理解掌握，但也有一些同學就某一問題提出新看法、新解法，對他們而言，一個具備思辨價值的問題是更好的研究素材，例如在本課最后，提出了問題“已知集合M={1，2，3}，P={4，5，6}．①以M為定義域，P為值域的不同函數有幾個？②從M到P不同的映射有多少個？”——這個問題需要學生對函數、映射相關知識先做一個回顧，再利用所學的兩個基本計數原理加以解決．記得當時一下課，有學生上來問我：“是不是9”？我沒有回答，而是讓他自主驗證．第二天，他堅定地說，“①的答案是6；②的答案是9”，我想，他不需要我對他的答案進行認可了，因為他已學會了自我認可．這種自我認可的能力，不也是數學課程需要達到的目標么？

第二篇：計數原理教案

淮北市第十二中學2007~2008學

考

評

課

教

案

授課人：鄒強

2008年5月 §10.1 分類計數原理與分步計數原理

授課人：鄒強

教學目標：

知識目標：①理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理；

②會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應用問題；

能力目標：培養學生的歸納概括能力；

情感目標：①了解學習本章的意義，激發學生的興趣

②引導學生形成 “自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式..教學重點：

分類計數原理與分步計數原理的應用理解 教學難點：

分類計數原理與分步計數原理的理解 教學方法：

問題式、螺旋上升的教學方法 教學過程：

一．課題引入

中央電視臺體育頻道每周四次對“NBA”進行現場直播，并對參與節目交流的觀眾進行抽取幸運觀眾活動，獎品是“NBA”明星真品球衣或明星戰靴，此節目深受廣大籃球迷的喜歡。已知在某次直播時，共收到手機號碼2萬個。其中聯通號碼有0.8萬個，移動號碼有1萬個，小靈通號碼有0.2萬個。現抽取：

（1）一名幸運觀眾有多少種不同類型的抽法？

（2）從聯通號碼、移動號碼和小靈通號碼中各抽取一名幸運觀眾共有多少種不同的抽法？ 象這種計算所有情況的問題可稱為計數問題，用來解決這種問題的一般方法或計算規律叫做計數原理，今天我們就來探求它們。

二．新課講授

問題1.1:“兩會”決定,下一次會議一定要有農民工代表參加.假如現在南方有農民工代表30人,北方有農民工代表20人,現在選舉一名農民工代表共有多少種選法? 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m 種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法.那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法.問題1.2:在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫學

信息技術學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從這些強項專業中任選一項共有多少種？ 探究一：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有 m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，在第n類方案中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分類計數原理： 一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類辦法中有 m2 種不同的方法……在第n類辦法中有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn 種不同的方法.問題2.1:國務院總理溫家寶在十屆全國人大三次會議上作政府工作報告時表示，補助貧困學生生活費。假設補助后西部某省的貧困生午飯可買兩盤菜（蔬菜類 + 肉類），學校食堂的菜單如下，蔬菜類

肉類

蘿卜

豬肉

白菜

牛肉

花菜 請問有多少種不同的選法? 完成一件事需要兩個不同步驟，在第1步中有 不同的方法.那么完成這件事共有Nm 種不同的方法，在第2步中有 n 種

?m?n種不同的方法.問題2.2：在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，清華大學,復旦大學,南京大學三所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：

清華大學

復旦大學

南京大學

數學

生物學

新聞學

化學

會計學

金融學

醫學

信息技術學

人力資源學

物理學

法學

工程學

那么，這名同學從清華大學，復旦大學，南京大學這些強項專業中各選一項共有多少種？

探究一：如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有 m

1種不同的方法，做第2步有 m種不同的方法，做第3步有

m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，……做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分步計數原理： 一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有 m1 種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法……做第n步有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.理解分類計數原理與分步計數原理異同點

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數的問題

②不同點:分類加法計數原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.分步時，每一步都可以看成分類；分類時，每一類也可能要有好幾步才能完成。例題選講

問題3.1 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？ 學生練習： 填空：

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第1種方法完成，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數是

.（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經B村去C村，不同的路線有

條..（3）從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.（4）.甲、乙、丙3個班各有三好學生3，5，2名，現準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有

種不同的推選方法.總結歸納： 1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導排列數、組合數公式的理論依據，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理，并加區別

分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可 4 以完成這件事；而分步乘法計數原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.3．運用分類加法計數原理與分步乘法計數原理的注意點：

分類加法計數原理：首先確定分類標準，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法計數原理：首先確定分步標準，其次滿足：必須并且只需連續完成這n個步驟，這件事才算完成 作業布置：

.1．課本第９７頁的習題1０.1A第1，2，3題．

2．編一道運用分類加法計數原理和分步乘法計數原理解答的應用題，并加以解答． 課外思考：

1.某學生去書店，發現3本好書，決定至少買其中1本，則該生的購書方案有_____種。課后反思：

第三篇：基本計數原理-排列組合習題%%%

基本計數原理、排列與組合

常見的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優先安排的策略

（2）合理分類和準確分布的策略

（3）排列、組合混合問題先選后排的策略

（4）正難則反、等價轉化的策略（5）相鄰問題捆綁的策略

（6）不相鄰問題插空處理的策略（7）定序問題除法處理的策略

（8）分排問題直排處理的策略

（9）“小集團”排列問題中先整體后局部的策略

（10）構造模型的策略。典例精析：

題型一：分類加法計數原理、分布乘法計數原理的應用

例1.（1）在所有的兩位數中，個位數字比十位數字大的兩位數有多少個

.（2）已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P（a,b）表示平面上的點（a,b?M）

問：（1）P表示平面上多少個不同的點？

（2）P表示平面上多少個第二象限的點？(3)P表示多少個不在直線y=x上的點？

題型二：兩個計數原理的綜合應用 例2.用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數字比2000大的四位偶數。

題型三：排列應用題 例4.7個人排成一排，在下列情況下，各有多少種排法？

（1）甲排頭

（2）甲不排頭，也不排尾

.（3）甲、乙、丙三人必須在一起

（4）甲乙之間有且只有兩

人

.（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰

.（6）甲在乙的左邊（不一定相鄰）

.（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序

.（8）甲不排頭，乙不排當中

.題型四：組合應用問題

例：7名男生和5名女生選取5人，分別求符合下列條件的選法總數有多少種？

（1）A、B必須當選

（2）A、B必不當選（3）A、B不全當選

（4）至少有兩名女生當選

計數原理與排列組合練習題

1、一個乒乓球隊里有男隊員5人，女隊員4人，從中選出男、女隊員各一名組成混

合雙打，共有______________種不同的選法。

2、從甲地到乙地有兩種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地共____種不同的走法。

3、為了對某農作物新品種選擇最佳生產條件，在分別有3種不同土質，2種不同施肥量，4種不同種植密度，3種不同播種時間的因素下進行種植實驗，則不同的實驗

方案共有____種。

4、某電話局的電話號碼為，若后面的五位數字是由6或8組成的，則這樣的電話

號碼一共有________________個。5、4個小電燈并聯在電路中，每一個電燈均有亮與不亮兩種狀態，總共可表示

__________ 種不同的狀態，其中至少有一個亮的有__________種狀態。

6、（1）若1≤x≤4，1≤y≤5，則以有序整數對（x、y）為坐標的點共有多少個？（2）①每位學生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有__________種 若x,y∈N且x+y≤6，則有序自然數對有多少個？

7、某國際科研合作項目成員由11個美國人，4個法國人和5個中國人組成，（1）從中選出1人擔任組長，有多少種不同選法？

（2）從中選出兩位不同國家的人為成果發布人，有多少種不同選法？

8、（1）3名同學報名參加4個不同學科的比賽，每名學生只能參賽一項，問有多少種不同的報名方案？

（2）若有4項冠軍在3個人中產生，每項冠軍只能有一人獲得，問有多少種不同的奪冠方案？

9、將3封信投入4個不同的信箱，共有________________種不同的投法；3名學生走進有4個大門的教室，共有________________種不同的進法；3個元素的集合到4個元素的集合的不同的映射有________________個。

10、在一次讀書活動中，有5本不同的政治書，10本不同的科技書，20 本不同的小說書供學生選用，（1）某學生若要從這三類書中任選一本，則有多少種不同的選法？（2）若要從這三類書中各選一本，則有多少種不同的選法？

（3）若要從這三類書中選不屬于同一類的兩本，則有多少種不同的選法？

11、某市提供甲、乙、丙和丁四個企業供育才中學高三級3個班級進行社會實踐活動，其中甲是市明星企業，必須有班級去進行社會實踐，每個班級去哪個企業由班級自己在四個企業中任意選擇一個，則不同的安排社會實踐的方案共有___________種。

12、有紅、黃、藍三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標上號碼1，2，3，任取3面，它們的顏色與號碼均不相同的取法有___________種

13、有四位學生參加三項不同的競賽，②每項競賽只許有一位學生參加，則有不同的參賽方法有__________種

③每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有_________種

14、四面體的一個頂點為A，從其他頂點與棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有 A．30種

B．33種

C．36種

D．39種

15、圓周上有8個等分點，以這8個點為頂點作直角三角形，共可作不同的直角三角形的個數是

A．56

B．2C．16

D．1217、設直線的方程是Ax?By?0，從1，2，3，4，5這五個數中每次取兩個不同的數作為A、B的值，則所得不同直線的條數是

A．20

B．19

C．18

D．16

18、(1)3個不同的球，放入4個不同的盒內．

(2)在(1)中每個盒內至多放一個球．

(3)3個相同的球，放入4個不同的盒內． 問各有多少種不同的放法？

19、從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（）

A．108種

B.186種

C.216種

D.270種

20、在數字1,2，3與符號＋，－五個元素的所有全排列中，任意兩個數字都不相鄰的全排列個數是（）

A．6

B.12

C.18

D.24

21、高三

（一）班學要安排畢業晚會的4個音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求兩個舞蹈節目不連排，則不同排法的種數是（）

A．1800 B.3600 C.4320 D.5040

22、將5名實習教師分配到高一年級的３個班實習，每班至少１名，最多２名，則（2）能組成多少個無重復數字且為5的倍數的五位數？

不同的分配方案有（）

A）３０種

（B）９０種（C）１８０種

（D）２７０種

23、將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）

A．10種

B．20種

C．36種

D．52種

24、某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有__________種 25、5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）

（A）150種(B)180種

(C)200種(D)280種

26、用0,1,2,3,4,5六個數字：

(1)能組成多少個無重復數字的四位偶數？

3）能組成多少個無重復數字且比1325大的四位數？（

第四篇：分類計數原理和分步計數原理教案1

分類計數原理和分步計數原理教案1

教學目標

正確理解和掌握分類計數原理和分步計數原理，并能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題，從而發展學生的思維能力，培養學生分析問題和解決問題的能力．

教學重點和難點

重點：分類計數原理和分步計數原理．

難點：分類計數原理和分步計數原理的準確應用．

教學用具

投影儀．

教學過程設計

(一)引入新課

師：從本節課開始，我們將要學習中學代數內容中一個獨特的部分——排列、組合、二項式定理．它們研究對象獨特，研究問題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識的聯系很少，而且它還是我們今后學習概率論的基礎，統計學、運籌學以及生物的選種等都與它直接有關．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調配的問題，就離不開它．

今天我們先學習兩個基本原理．

(這是排列、組合、二項式定理的第一節課，是起始課．講起始課時，把這一學科的內容作一個大概的介紹，能使學生從一開始就對將要學習的知識有一個初步的了解，并為下面的學習研究打下思想基礎)

師：(板書課題)

(二)講授新課

1．介紹兩個基本原理

師：請大家先考慮下面的問題(找出片子——問題1)．

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個班次，汽車有2個班次，輪船有3個班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

師：(啟發學生回答后，作補充說明)

因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有

4＋2＋3=9

種不同的走法．

這個問題可以總結為下面的一個基本原理．

(打出片子——分類計數原理)

分類計數原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．

(教師放慢速度讀一遍分類計數原理)

師：請大家再來考慮下面的問題(打出片子——問題2)．

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條(見圖9－1)，從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法？

師：(啟發學生回答后加以說明)

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達B村后，再從B村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

一般地，有如下基本原理：

(找出片子——分步計數原理)

分步計數原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有

N＝m1×m2×…×mn

種不同的方法．

(教師要讀一遍分步計數原理)

2．淺釋兩個基本原理

師：兩個基本原理是干什么用的呢？

生：計算做一件事完成它的所有不同的方法種數．

(如果學生不能較準確地回答，教師可以加以提示)

師：比較兩個基本原理，想一想，它們有什么區別呢？

(學生經過思考后可以得出：各類的方法數相加，各步的方法數相乘．)

兩個基本原理的區別在于：一個與分類有關，一個與分步有關．

師：請看下面的分析是否正確．

(打出片子——題1，題2)

題1：找1～10這10個數中的所有合數．第一類辦法是找含因數2的合數，共有4個；第二類辦法是找含因數3的合數，共有2個；第三類辦法是找含因數5的合數，共有1個．

1～10中一共有N=4＋2＋1=7個合數．

題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的北路需要8時，中路需要4時，南路需要6時，B村到C村的北路需要5時，南路需要3時，要求步行從A村到C村的總時數不超過12時，共有多少種不同的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．

生乙：從A村到C村總時數不超過12時的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

(此時給出題1和題2的目的是為了引導學生找出應用兩個基本原理的注意事項，這樣安排，不但可以使學生對兩個基本原理的理解更深刻，而且還可以培養學生的學習能力)

師：為什么會出現錯誤呢？

生：題1的分類可能有問題吧，題2都走北路不符合要求．

師：(教師歸納)

進行分類時，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨完成這件事．只有滿足這個條件，才能直接用分類計數原理，否則不可以．

如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計算完成這件事的方法數時，就可以直接應用分步計數原理．

也就是說：類類互斥，步步獨立．

(在學生對問題的分析不是很清楚時，教師及時地歸納小結，能使學生在應用兩個基本原理時，思路進一步清晰和明確，不再簡單地認為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯系就用乘法．從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質)

(三)應用舉例

師：現在我們已經有了兩個基本原理，我們可以用它們來解決一些簡單問題了．請看例題1．(板書)

例1書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

(讓學生思考，要求依據兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由，教師巡視指導，并適時口述解法)

師：(1)從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數學書中任取1本，有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本，有6種方法．根據分類計數原理，得到的取法種數是

N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．

故從書架上任取一本書的不同取法有14種．

師：(2)從書架上任取數學書、語文書、英語書各1本，需要分成三個步驟完成，第一步取1本數學書，有3種方法；第二步取1本語文書，有5種方法；第三步取1本英語書，有6種方法．根據分步計數原理，得到不同的取法種數是

N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．

故，從書架上取數學書、語文書、英語書各1本，有90種不同的方法．

師：(3)從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類辦法：第一類辦法是數學書、語文書各取1本，需要分兩個步驟，有3×5種方法；第二類辦法是數學書、英語書各取1本，需要分兩個步驟，有3×6種方法；第三類辦法是語文書、英語書各取1本，有5×6種方法．一共得到不同的取法種數是

N=3×5＋3×6＋5×6=63．

即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種．

師：請大家再來分析和解決例題2．

(板書)

例2由數字0，1，2，3，4可以組成多少個三位整數(各位上的數字允許重復)？

師：每一個三位整數是由什么構成的呢？

生：三個整數字．

師：023是一個三位整數嗎？

生：不是，百位上不能是0．

師：對！百位的數字不能是0，也就是說，一個三位整數是由百位、十位、個位三位數字組成的，其中最高位不能是0．那么要組成一個三位數需要怎么做呢？

生：分成三個步驟來完成：第一步確定百位上的數字；第二步確定十位上的數字；第三步確定個位上的數字．

師：很好！怎樣表述呢？

(教師巡視指導、并歸納)

解：要組成一個三位數，需要分成三個步驟：第一步確定百位上的數字，從1～4這4個數字中任選一個數字，有4種選法；第二步確定十位上的數字，由于數字允許重復，共有5種選法；第三步確定個位上的數字，仍有5種選法．根據分步計數原理，得到可以組成的三位整數的個數是N=4×5×5=100．

答：可以組成100個三位整數．

(教師的連續發問、啟發、引導，幫助學生找到正確的解題思路和計算方法，使學生的分析問題能力有所提高．

教師在第二個例題中給出板書示范，能幫助學生進一步加深對兩個基本原理實質的理解，周密的考慮，準確的表達、規范的書寫，對于學生周密思考、準確表達、規范書寫良好習慣的形成有著積極的促進作用，也可以為學生后面應用兩個基本原理解排列、組合綜合題打下基礎)

(四)歸納小結

師：什么時候用分類計數原理、什么時候用分步計數原理呢？

生：分類時用分類計數原理，分步時用分步計數原理．

師：應用兩個基本原理時需要注意什么呢？

生：分類時要求各類辦法彼此之間相互排斥；分步時要求各步是相互獨立的．

(五)課堂練習

P222：練習1～4．

(對于題4，教師有必要對三個多項式乘積展開后各項的構成給以提示)

(六)布置作業

P222：練習5，6，7．

補充題：

1．在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字的共有多少個？

(提示：按十位上數字的大小可以分為9類，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45個個位數字小于十位數字的兩位數)

2．某學生填報高考志愿，有m個不同的志愿可供選擇，若只能按第一、二、三志愿依次填寫3個不同的志愿，求該生填寫志愿的方式的種數．

(提示：需要按三個志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)種填寫方式)

3．在所有的三位數中，有且只有兩個數字相同的三位數共有多少個？

(提示：可以用下面方法來求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)類中每類都是9×9種，共有9×9＋9×9＋9×9=3×9×9=243個只有兩個數字相同的三位數)

4．某小組有10人，每人至少會英語和日語中的一門，其中8人會英語，5人會日語，(1)從中任選一個會外語的人，有多少種選法？(2)從中選出會英語與會日語的各1人，有多少種不同的選法？

(提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會英語又會日語．(1)N=5＋2＋3；(2)N=5×2＋5×3＋2×3)

課堂教學設計說明

兩個基本原理一課是排列、組合、二項式定理的開頭課，學習它所需的先行知識跟學生已熟知的數學知識聯系很少，通常教師們或者感覺很簡單，一帶而過；或者感覺難以開頭．中學數學課程中引進的關于排列、組合的計算公式都是以分步計數原理為基礎的，而一些較復雜的排列、組合應用題的求解，更是離不開兩個基本原理，因此必須使學生學會正確地使用兩個基本原理，學會正確地使用這兩個基本原理是這一章教學中必須抓住的一個關鍵．所以在教學目標中特別提出要使學生學會準確地應用兩個基本原理分析和解決一些簡單的問題．對于學生陌生的知識，在開頭課中首先作一個大概的介紹，使學生有一個大致的了解是十分必要的．基于這一想法，在引入新課時，首先是把這一章將要學習的內容，以及與其它科目的關系做了介紹，同時也引入了課題．

正確使用兩個基本原理的前提是要學生清楚兩個基本原理使用的條件．而原理中提到的分步和分類，學生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導學生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨立．教學過程中的題1和題2，就是為了解決這一問題而提出的．

分類用分類計數原理，分步用分步計數原理，單純這點學生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進行分類、分步，特別是在分類時必須做到既不重復，又不遺漏，找到分步的方法有時是比較困難的，這就要著重進行訓練．教學中給出了例題

1、例題2．這兩個題目都是在課本例題的基礎上稍加改動過的，目的就是要幫助學生發展思維能力，培養學生周密思考、細心分析的良好習慣．為了幫助學生在今后能正確運用兩個基本原理解決其它排列組合問題，特別給出了4個補充習題，為下面將要進行的課打下一個基礎．

考慮到這節課無論是兩個基本原理，還是例題都是文字較多的，因此特別設計了使用教具——投影儀．要是有實物投影儀那就更方便了．

第五篇：分類計數原理與分步計數原理教案

課題: 分類計數原理與分步計數原理

授課教師:孫瓊芳 班級:高二(2)班 時間:第十二周星期四第二節 ◆教學目標

1.正確理解分類計數原理與分步計數原理的內容.2.正確運用兩個基本原理分析、解決一些簡單問題.3.了解基本原理在實際生產、生活中的應用.4.提高分析問題、解決問題的能力.◆ 教學重點

分類計數原理與分步計數原理.◆ 教學難點

正確運用分類計數原理與分步計數原理.◆ 教學方法

啟發引導式 ◆ 教學準備

多媒體課件 ◆ 教學過程

一.由實際問題引入課題

2002年夏季在韓國與日本舉行的第17屆世界杯足球賽共有32個隊參賽．它們先分成8個小組進行循環賽，決出16強，這16個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名．問一共安排了多少場比賽？

要回答上述問題，就要用到排列、組合的知識．排列、組合是一個重要的數學方法，粗略地說，排列、組合方法就是研究按某一規則做某事時，一共有多少種不同的做法．

在運用排列、組合方法時，經常要用到分類計數原理與分步計數原理，下面我們舉一些例子來說明這兩個原理．

二.講授新課 問題一：

從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.一天中，火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

圖示：

（分析略）

引伸1:若甲地到乙地一天中還有4班輪船可乘,那么一天中,乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n類辦法.在第1類辦法中有m1種不同方法,在第2類辦法中有m

2種不同的方法,??,在第n類辦法中有mn種不同方法,每一類中的每一種方法均可完成這件事,那么完成這件事共有多少種不同方法?

分類計數原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m 2種不同的方法，??，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有

N = m1 + m2 + ? + mn

種不同的方法.問題二：

從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地.一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

（分析略）

從如下的圖示中，我們可以具體地看到這6種走法。圖示：

所有走法

火車1——汽車1；火車1——汽車2；火車2——汽車1；火車2——汽車2； 火車3——汽車1；火車3——汽車2

在問題二的分析過程中，就體現了分步計數原理.分步計數原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有

N = m1×m2×?×mn

種不同的方法.下面，我們結合例題來一起體會兩個基本原理的正確運用.［例1］ 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．

（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

（解答略）

教師點評：解題的關鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”。“分類完成”用“分類計數原理”;“分步完成”用“分步計數原理”。

［例2］電視臺在“歡樂大本營”節目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多種不同的結果？

（解答略）

教師點評：有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結合起來運用．一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應用分類計數原理和分步計數原理．

三、課堂練習

1、現有高中一年級的學生3名，高中二年級的學生5名，高中三年級的學生4名，從中任選一人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

2、某人有兩頂帽子，兩件上衣，三條褲子，兩雙鞋，問穿戴整齊共有多少種不同的裝束？.如圖,要給地圖A、B、C、D四個區域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

思考:若用2色、4色、5色等,結果又怎樣呢?

4.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點A爬到相對的另一個頂點C1的最近路線共有多少條？

四、小結：

1.本節課學習了分類計數原理與分步計數原理。

2.分類計數原理與分步計數原理的共同點是什么？不同點是什么？

3．解題的關鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”。“分類完成”用“分類計數原理”;“分步完成”用“分步計數原理”。有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結合起來運用．一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應用分類計數原理和分步計數原理．

五、布置作業：課本P87習題10.1 第2、3題

六、思考題：將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可用,求不同的染色方法種數?