第一篇：空間解析幾何課程簡(jiǎn)介

空間解析幾何課程簡(jiǎn)介

本課程是大學(xué)數(shù)學(xué)系的主要基礎(chǔ)課程之一。主要講述解析幾何的基本內(nèi)容和基本方法包括：向量代數(shù)，空間直線和平面，常見曲面，坐標(biāo)變換，二次曲線方程的化簡(jiǎn)等。通過學(xué)習(xí)這門課程，學(xué)生可以掌握用代數(shù)的方法研究空間幾何的一些問題，而坐標(biāo)法、向量法正是貫穿全書的基本方法。

2、選課建議

數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)必選該課程。該課程要求同學(xué)擁有良好的中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，建議在一年級(jí)選學(xué)。

3、教學(xué)大綱

一、課程內(nèi)容

第一章 矢量與坐標(biāo)

1.1矢量的概念

1.2矢量的加法

1.3數(shù)量乘矢量

1.4矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

1.5標(biāo)架與坐標(biāo)

1.6矢量在軸上的射影

1.7兩矢量的數(shù)性積

1.8兩矢量的失性積

1.9三矢量的混合積

*1.10三矢量的雙重矢性積

[說明]：本章系統(tǒng)地介紹了矢量代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)使空間幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化的過程。為了更好地?cái)⑹鍪噶康南蛄糠e與混合積，我們需要補(bǔ)充行列式的一些基本知識(shí)。

第二章 軌跡與方程

2.1平面曲線的方程

2.2曲面的方程

2.3母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程

2.4空間曲線的方程

[說明]：本章先介紹品面曲線平面曲線的方程，后快速過渡到曲面與空間曲線方程的研究，這樣不僅使學(xué)生對(duì)平面軌跡的問題作了復(fù)習(xí)與提高，而且使得一些看來較為復(fù)雜的空間軌跡問題也就迎刃而解了。

第三章平面與空間直線

3.1平面的方程

3.2平面與點(diǎn)的位置關(guān)系

3.3兩平面的相關(guān)位置

3.4空間直線的方程

3.5直線與平面的相關(guān)位置

3.6空間兩直線的相關(guān)位置

3.7空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置

3.8平面束

[說明]：本章用代數(shù)的方法定量地研究了空間最簡(jiǎn)單而又最基本的圖形，即平面與空間直線，建立了它們的各種形式的方程，導(dǎo)出了它們之間位置關(guān)系的解析表達(dá)式，以及距離、交角等計(jì)算公式。

第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面 4.1柱面 4.2錐面

4.3旋轉(zhuǎn)曲面

4.4橢球面

4.5雙曲面

4.6拋物面

4.7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線

[說明]：本章抓住幾何特征很明顯的柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面去建立它的方程，又對(duì)于比較簡(jiǎn)單的二次方程，用“截痕法”去研究圖形的性質(zhì)。

第五章 二次曲線的一般理論

5.1二次曲線與直線的相關(guān)位置

5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線

5.3二次曲線的切線

5.4二次曲線的直徑

5.5二次曲線的主直徑與主方向

5.6二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類

5.7應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲線的方程

[說明]：本章從研究直線與一般二次曲線的相交問題入手，展開了一般二次曲線的幾何理論的研究，如討論了一般二次曲線的漸近方向、中心、漸近線、切線、直徑等，也討論了一般二次曲線方程的不同的化簡(jiǎn)與分類。

二、課程說明

（一）課程的地位和任務(wù)

本課程是大學(xué)數(shù)學(xué)系的主要基礎(chǔ)課程之一，學(xué)好這門課為后續(xù)課程以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思維基礎(chǔ)。

（二）課程的基本要求

1、掌握向量代數(shù)的基本知識(shí)，包括向量的線性運(yùn)算與向量的內(nèi)積、外積、混合積的計(jì)算，以及在幾何上的應(yīng)用。2.掌握空間的平面與直線的各種形式的方程，以及點(diǎn)、線、面三者之間的各種度量關(guān)系。

2、掌握空間特殊二次曲面（如柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面）的方程。

3、掌握二次曲線方程的幾何特征與二次曲線方程的不同化簡(jiǎn)方法與分類。

（三）課程內(nèi)容的重點(diǎn)、深廣度

本課程的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何。重點(diǎn)要求在前兩章的基礎(chǔ)掌握下，利用向量、坐標(biāo)兩大工具，去討論空間平面與直線，去建立特殊二次曲面的方程，去掌握二次曲線的一般理論。本課程論證嚴(yán)謹(jǐn)，敘述深入淺出，條理清楚，具有較好的廣度與深度。

（四）與其它課程的聯(lián)系與分工

先修課：平面解析幾何

（五）對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的要求和方法

學(xué)生除了參加閉卷考試外，關(guān)鍵是掌握一種解析分析方法，另外，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間圖形的直觀想象能力。

一般大學(xué)公共基礎(chǔ)課只有高數(shù)和線性代數(shù)，略微涉及到一點(diǎn)空間解析，主體部分在數(shù)理系中教學(xué)。

第二篇：第七章 空間解析幾何習(xí)題課教案

高等數(shù)學(xué)課 講 教 案 主講人

課 題 第七章習(xí)題課

目的任務(wù)

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)方法

使用教具

提問作業(yè)

備課時(shí)間

查 閱 使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和掌握本章的知識(shí)要點(diǎn)，掌握有關(guān)計(jì)算。

本章的知識(shí)要點(diǎn)的進(jìn)一步鞏固和掌握，有關(guān)計(jì)算的熟練掌握。講練結(jié)合

年 月 日 上課時(shí)間 年 月 日抽 查

教學(xué)過程：

第一部分 知識(shí)歸納

一、空間直角坐標(biāo)系及向量代數(shù)

1、空間直角坐標(biāo)系的基本問題

1）坐標(biāo)系的建立；2）卦限的劃分；3）兩點(diǎn)間的距離公式

2、向量：

1）定義及記法；2）模；

3）方向角與方向余弦；4）單位向量；

5）負(fù)向量；

6）零向量； 7）向量在軸上的投影；8）向量的坐標(biāo)表示

3、向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算： 1）向量的相等；

2）向量的加法—平行四邊形法則和三角形法則

????3）向量的減法：a?b?a?(?b)； 4）數(shù)乘運(yùn)算；

5）加減法與數(shù)乘的坐標(biāo)表示；

?????6)線性關(guān)系：a與b共線；a，b，c共面.4、向量的數(shù)量積（點(diǎn)積、內(nèi)積）

1）定義；2）投影公式；3）坐標(biāo)表示式；4）性質(zhì)；5）運(yùn)算律.5、向量的向量積（叉積、外積）

1）定義； 2）坐標(biāo)表示式；3）性質(zhì)；4）運(yùn)算律；5）幾何意義.6、向量的混合積

1）定義；2）坐標(biāo)表示；3）性質(zhì)；4）幾何意義.7、二重積.二、曲面、平面與直線

1、曲面與方程；

2、空間曲線；

3、球面與柱面方程；

4、平面方程：

1）一般方程；2）點(diǎn)法式方程；3）截距式方程；4）三點(diǎn)式方程

5）*法式方程：xcos??ycos??zcos??p?0.（?,?,?為平面法向量的方向角，p為原點(diǎn)到平面的距離）

5、直線方程

?A1x?B1y?C1z?D1?01）一般方程（交面式）?

Ax?By?Cz?D?0222?22）標(biāo)準(zhǔn)方程（對(duì)稱方程，點(diǎn)向式）

x?x0y?y0z?z0?? lmn?x?x0??l?3）參數(shù)式方程 ?y?y0??m（?是參數(shù)）

?z?z??n0?4）兩點(diǎn)式方程 x?x1y?y1z?z1 ??x2?x1y2?y1z2?z16、兩平面的夾角

cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?C?A?B?C212121222222

7、點(diǎn)到平面的距離

d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222

8、兩平面?1,?2平行、垂直的充要條件是

ABC??

?1∥?2?n1∥n2?1?1?1

A2B2C2???? ?1⊥?2?n1⊥n2?n1?n2?A1A2?B1B2?C1C2?0

9、兩直線的夾角

??s1?s2l1l2?m1m2?n1n2 cos?????

222222s1?s2l1?m1?n1?l2?m2?n210、兩直線平行、垂直的充要條件

lmn??

l1∥l2?s1∥s2?1?1?1

l2m2n2?? l1⊥l2?s1⊥s2?l1l2?m1m2?n1n2?0

11、點(diǎn)到直線的距離

?ix0?x1l2?M1M2?s? d??s??jy0?y1ml?m?n2?kz0?z1n2

12、兩直線共面的條件

?? l1,l2共面?M1M2?(s1?s2)?0??x2?x1l1l2y2?y1m1m2z2?z1n1n2?0

13、直線和平面間的夾角：

??n?sAl?Bm?cn sin?????222222n?sA?B?C?l?m?n????l∥??s⊥n?s?n?Al?Bm?Cn?0

??lmnl⊥??s∥n???

ABC二、二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2y2z21）橢球面： 2?2?2?1；

abcx2y2z22）單葉雙曲面：2?2?2?1；

abcx2y2z23）雙葉雙曲面：2?2?2?1；

abcx2y24）橢圓拋物面：2?2?2z；

abx2y25）雙曲拋物面：2?2?2z；

abx2y2z26）二次錐面：2?2?2?0.abc第二部分 例題分析

例1 在什么條件下，下列式子成立：

???????????? ① a?b?a?b ② a?b?a?b ③ a?b?a?b 解：（略）。

????? 例2 已知向量a,b，以a,b為鄰邊作平行四邊形，求平行四邊形中和a所在邊垂直的高線向量.解：（略）。

??2??2?2?2 例3 證明(a?b)?(a?b)?2(a?b),并給出幾何解釋。解：（略）。

??????????? 例4 設(shè)a?i?k,b?i?2j?k,c??i?2j?k,求

????????????????① a?b,b?a ② a?(b?c),(a?b)?c ③ a?(b?c),(a?b)?c 解：（略）。

例5 證明

???????① a(b?c)?b(a?c)和c垂直；

??????② a?p,a?q,a?r三向量共面.解：（略）。

????????例6 已知向量p和q及x軸均垂直，其中q?3i?6j?8k，p?2，求p.解：（略）。

例7 已知兩定點(diǎn)F1,F2相距為2a，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的平方和為4a，求動(dòng)點(diǎn)軌跡.、解：（略）。

例8平面過原點(diǎn)o，且垂直于平面?1:x?2y?3z?2?0及?2:6x?y?5z?23?0，求此平面方程。

解：（略）。

?2x?4y?z?1?0例9 將直線的一般方程l:?化為對(duì)稱方程和參數(shù)方程。

?x?3y?5?0解：（略）。

例10平面過z軸，且與平面2x?y?5z?0的夾角為解：（略）。

?，求此平面方程。3?4x?z?1?0例11 試證：直線l1:?與l2?x?2y?3?0解：（略）。

?3x?y?z?4?0相交。:??y?2z?8?0?y?3x?5?y?4x?7例12 直線過點(diǎn)A(?3,5,9),且和兩直線l1:?及l(fā)2:?相交，求此

z?2x?3z?5x?10??直線方程。

解：（略）。

x?3y?5zx?10y?7z??及l(fā)2:??相交，且和231541x?2y?1z?3l3:??平行的直線。

871解：（略）。例13 求與已知直線l1:?A1x?B1y?C1z?D1?0例14 要求直線l:?（1）與x軸平行；（2）與y軸平行；

?A2x?B2y?C2z?D2?0（3）與z軸重合；（4）經(jīng)過原點(diǎn)。

解：（略）。

例15 指出下列方程所示之曲面

（1）x2y2x2y22?2?z?0

(2)9?9?z2?1 解：（略）。

例16 畫出x?2y?z?2和x2?z2?4y的圖形。解：（略）。

三、作業(yè)

第三篇：向量代數(shù)與空間解析幾何

1．向量代數(shù)與空間解析幾何

向量代數(shù)：向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)，向量的數(shù)量積，向量積，兩向量平行與垂直的條件。平面與直線：會(huì)利用已知條件求平面的方程、直線的方程。

曲面與空間曲線：了解曲面的概念，如坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。

2．多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)：會(huì)求簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的極限與判斷二元函數(shù)的連續(xù)性。

偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的求法、隱函數(shù)的求偏導(dǎo)；會(huì)求全微分； 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：方向?qū)?shù)和梯度；空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；最大值、最小值問題，條件極值，拉格朗日乘數(shù)法。

3．多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分：化二重積分為二次積分、交換二次積分的次序；二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；利用二重積分求曲面面積、立體體積。

三重積分：三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）；

曲線積分：兩類曲線積分的計(jì)算方法；格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

曲面積分：兩類曲面積分的計(jì)算方法；高斯公式。

4．無窮級(jí)數(shù)

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)收斂的判定，幾何級(jí)數(shù)和P—級(jí)數(shù)的斂散性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值及根值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其關(guān)系。

冪級(jí)數(shù)：較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)；函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)：函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)與和函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。

5．常微分方程

可分離變量微分方程，齊次方程，一階線性微分方程。可降階的高階微分方程。二階常系數(shù)齊次線性微分方程。利用切線斜率建立簡(jiǎn)單的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的數(shù)量積、向量積計(jì)算公式；

2、全微分公式；

3、方向?qū)?shù)公式；

4、拉格朗日乘數(shù)法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函數(shù)的麥克勞林展開公式。

7、一階線性方程的通解公式；

第四篇：《解析幾何》課程教案

第一章 矢量與坐標(biāo)

教學(xué)目的

1、理解矢量的有關(guān)概念，掌握矢量線性運(yùn)算的法則及其運(yùn)算性質(zhì);

2、理解矢量的乘法運(yùn)算的意義，熟悉它們的幾何性質(zhì)，并掌握它們的運(yùn)算規(guī)律;

3、利用矢量建立坐標(biāo)系概念，并給出矢量線性運(yùn)算和乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表示;

4、能熟練地進(jìn)行矢量的各種運(yùn)算，并能利用矢量來解決一些幾何問題。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量的概念和矢量的數(shù)性積，矢性積，混合積。教學(xué)難點(diǎn) 矢量數(shù)性積，矢性積與混合積的幾何意義。

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 8

§1.1 矢量的概念

教學(xué)目的

1、理解矢量的有關(guān)概念;

2、掌握矢量間的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn) 矢量的兩個(gè)要素：摸與方向。教學(xué)難點(diǎn) 矢量的相等

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

一、有關(guān)概念

1.矢量

2.矢量的表示 3.矢量的模

二、特殊矢量 1.零矢 2.單位矢

三、矢量間的關(guān)系

1.平行矢 2.相等矢 3.自由矢 4.相反矢 5.共線矢 6.共面矢 7.固定矢量

例1.設(shè)在平面上給了一個(gè)四邊形ABCD，點(diǎn)K、L、M、N分別是邊ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中點(diǎn)，求證：成立？

例2.回答下列問題： ＝.當(dāng)ABCD是空間四邊形時(shí)，這等式是否也(1)若矢量//，//,則是否有//？(2)若矢量，共面，，也共面，則，是否也共面？

(3)若矢量，中//，則，是否共面？(4)若矢量作業(yè)題：，共線，在什么條件下，、也共線？、、、1.設(shè)點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、和中，哪些矢量是相等的？、2.如圖1-3，設(shè)ABCD-EFGH是一個(gè)平行六面體，在下列各對(duì)矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：

(1)、;、(2)、、;

(3)

;

(4)、.;

(5)矢量的線性運(yùn)算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的數(shù)乘)教學(xué)目的

1、掌握矢量加法的兩個(gè)法則、數(shù)量與矢量的乘法概念及運(yùn)算律;

2、能用矢量法證明有關(guān)幾何命題。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量加法的平行四邊形法則、數(shù)量與矢量的乘法概念 教學(xué)難點(diǎn) 運(yùn)算律的證明、幾何命題轉(zhuǎn)化為矢量間的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí)

一、概念 1 1.兩個(gè)例子

2.矢量的加法法則(1)三角形法則(2)平行四邊形法則

二、性質(zhì)

1.運(yùn)算規(guī)律

(1)交換律 +＝+;

(2)結(jié)合律(+)+＝+(+);(3)+＝;

(4)+(－)＝.2.矢量加法的多邊形法則 3.矢量減法 4.三角不等式

(1)|+|≤||+||, |-|≥||-||;(2)|++…+|≤|

|+|

|+…+|

|.例1.從矢量方程組中解出矢量.例2.用矢量法證明平行四邊形對(duì)角線互相平分.作業(yè)題：

1.設(shè)兩矢量與共線，試證+＝+.2.證明：四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件是對(duì)任一點(diǎn)+＝＋.O有§1.3 數(shù)量乘矢量

一、概念

1.數(shù)乘的例子 2.數(shù)乘的定義

二、性質(zhì)

1.運(yùn)算規(guī)律(1)

1?＝.(2)結(jié)合律

?(?)＝(??).(3)第一分配律(?+?)＝?+?.(4)第二分配律

?(+)＝?+?.例1.如圖1-7，設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點(diǎn)，證明 例2.設(shè)點(diǎn)O是平面上正多邊形A1A2…An的中心，證明: 作業(yè)題：

1.設(shè)L、M、N分別是ΔABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，證明：三, ，中線矢量可以構(gòu)成一個(gè)三角形.2.設(shè)L、M、N是△ABC的三邊的中點(diǎn)，O是任意一點(diǎn)，證明 +=++.3.用矢量法證明，四面體對(duì)棱中點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)且互相平分.§1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

教學(xué)目的

1、理解矢量在直線和平面及空間的分解定理；

2、掌握矢量間的線性相關(guān)性及判斷方法。教學(xué)重點(diǎn) 矢量的三個(gè)分解定理及線性相關(guān)的判斷。教學(xué)難點(diǎn) 分解定理的證明 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

一、矢量的分解

1.線性運(yùn)算 2.線性組合

3.矢量在直線上的分解：

定理1 如果矢量?，那么矢量與矢量共線的充要條件是可以用矢量線性表示，或者說是的線性組合，即＝x，且系數(shù)x被，唯一確定.稱為用線性組合來表示共線矢量的基底.4.矢量在平面上的分解：

定理2 如果矢量, 不共線，那么矢量與, ，共面的充要條件是可以用矢量+y，且系數(shù)x, y被, , ，線性表示，, 或者說矢量可以分解成矢量稱為平面上矢量的基底.5.矢量在空間的分解：

定理3 如果矢量可以分解成矢量, , , , , 的線性組合，即＝x唯一確定.不共面，那么空間任意矢量可以由矢量

+y+z, ，線性表示，或者說矢量, , 的線性組合，即＝x，且系數(shù)x, y, z被, 唯一確定., 稱為空間矢量的基底.二、矢量的線性關(guān)系 1.定義

對(duì)于n(n≥1)個(gè)矢量, , …,，如果存在不全為零的n個(gè)數(shù)?1, ?2，…, ?n, 使得 ?

1+?2+…+?n，=，線性無關(guān)是指，只有當(dāng)?1＝?2＝…＝?n那么n個(gè)矢量, , …, ＝0時(shí)，上式才成立.2.判斷方法

叫做線性相關(guān).矢量, …, 推論1 一個(gè)矢量線性相關(guān)的充要條件是=.定理4 矢量, , …,(n≥2)線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)矢量是其余矢量的線性組合.定理5 如果一組矢量中的一部分矢量線性相關(guān)，那么這一組矢量就線性相關(guān).推論2 一組矢量中如果含有零矢量，那么這組矢量必線性相關(guān).定理6 兩矢量共線的充要條件是它們線性相關(guān).定理7 三矢量共面的充要條件是它們線性相關(guān).定理8 空間任何四個(gè)矢量總是線性相關(guān).推論3 空間四個(gè)以上矢量總是線性相關(guān).例1.設(shè)一直線上三點(diǎn)A, B, P滿足求證：

＝例2.在△ABC中，設(shè)

＝,，＝，AT是角A的平分線（它與BC交于＝?(??－1),O是空間任意一點(diǎn)，T點(diǎn)），試將分解為的線性組合.作業(yè)題：

1.在平行四邊形ABCD中，(1)設(shè)對(duì)角線＝,＝，求, ＝, , ，;，.,(2)設(shè)邊BC和CD的中點(diǎn)為M和N，且2.在△ABC中，設(shè)＝，＝

＝,求, D、E是邊BC的三等分點(diǎn)，將矢量分解為, 的線性組合.3.用矢量法證明: 三角形三中線共點(diǎn).4.設(shè)G是△ABC的重心，O是空間任意一點(diǎn)，試證

＝

（+).5．設(shè)＝(i＝1, 2, 3, 4)，試證P1, P2, P3, P4四點(diǎn)共面的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)?i(i＝1, 2, 3, 4)使

?1 +?2+?3+?4=, 且.§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

教學(xué)目的

1、能利用矢量建立坐標(biāo)系概念；

2、理解點(diǎn)的坐標(biāo)及矢量分量的表示方法；

3、掌握矢量線性運(yùn)算及線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法。

教學(xué)重點(diǎn) 標(biāo)架概念及點(diǎn)和矢量的坐標(biāo)表示方法 教學(xué)難點(diǎn) 矢量的分量 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

一、空間坐標(biāo)系

1.空間中的一個(gè)定點(diǎn)O，連同三個(gè)不共面的有序矢量{O;,}.，}，如果, , , ，間的相互關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同，那么這個(gè)標(biāo)架叫間的相互關(guān)系和左手的拇指、食指、中指相同，那么這個(gè)標(biāo)架叫, , 的全體，叫做空間中的一個(gè)標(biāo)架，記做2.對(duì)于標(biāo)架{O;做右旋標(biāo)架或稱右手標(biāo)架；如果做左旋標(biāo)架或稱左手標(biāo)架.3.表達(dá)式＝x+y{x, y, z}或{x, y, z}.+z,中的x, y, z叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;,}的空間中任意點(diǎn)P，矢量，，}的分量或稱為坐標(biāo)，記做

關(guān)于標(biāo)架4.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;{O;，叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢}的分量x, y, z叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x, y, z)或(x, y, z).5.當(dāng)空間取定標(biāo)架{ O;, , }之后，空間全體矢量的集合或者全體點(diǎn)的集合與全體有序三數(shù)組x, y, z的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做空間矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.空間坐標(biāo)系也常用{O;，}來表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，, , 都叫做坐標(biāo)矢量.6.由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系.二、平面坐標(biāo)系

1.約定用{O;坐標(biāo)系.}表示直角坐標(biāo)系，以后在討論空間問題時(shí)所采用的坐標(biāo)系，一般都是空間右手直角2.過點(diǎn)O沿著三坐標(biāo)矢量, , 的方向引三軸Ox, Oy, Oz,可以用這三條具有公共點(diǎn)O的不共面的軸Ox, Oy, Oz來表示空間坐標(biāo)系，記做O—x y z，此時(shí)點(diǎn)O叫做空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，三條軸Ox, Oy, Oz都叫做坐標(biāo)軸，且依次叫做x軸，y軸和z軸，每?jī)蓷l坐標(biāo) 軸所決定的平面叫做坐標(biāo)面，分別叫做xOy平面，yOz平面與

xOz平面.三坐標(biāo)平面把空間劃分為八個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域都叫做卦限.3.平面上一個(gè)定點(diǎn)O, 連同兩個(gè)不共線的有序矢量{O;,}，如果, 都是單位矢量，那么{O;， 的全體，叫做平面上的一個(gè)標(biāo)架，記做

與

相互垂直的笛卡爾標(biāo)架叫

}叫做笛卡爾標(biāo)架；, 做笛卡爾直角標(biāo)架，簡(jiǎn)稱直角標(biāo)架；在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架.4.對(duì)于標(biāo)架{O;,}，將繞O旋轉(zhuǎn)，使的方向以最近的路徑旋轉(zhuǎn)到與轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針的，則這種標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱右手標(biāo)架； 的方向相合時(shí)，如果旋5.表達(dá)式＝x{x, y}.＋y中的x, y叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;,}的平面上的任意點(diǎn)P，矢量，}的分量或稱為坐標(biāo)，記做{x, y}或叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢

關(guān)于標(biāo)架6.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;{O;,}的分量x, y叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x, y)或(x, y).7.當(dāng)平面上取定標(biāo)架{O;,}之后，平面上全體矢量的集合或者全體點(diǎn)的集合與全體有序數(shù)對(duì)x, y的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做平面上矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.平面坐標(biāo)系也常用{O;,}來表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，, 都叫做坐標(biāo)矢量.8.由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系.15.約定用{O;,}表示直角坐標(biāo)系, 在討論平面問題時(shí)所采用的坐標(biāo)系，一般都是平面右手直角坐標(biāo)系.9.過點(diǎn)O沿著坐標(biāo)矢量, 的方向引二軸Ox, Oy,可以用這二條具有公共點(diǎn)O的不共線的軸Ox，Oy來表示平面坐標(biāo)系，記做O－x y，此時(shí)點(diǎn)O叫做平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)，Ox叫做x軸，Oy叫做y軸.兩坐標(biāo)軸把平面分成四個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域都叫做象限.三、直線坐標(biāo)系 1.直線上一個(gè)定點(diǎn)O，連同直線上一個(gè)非零矢量的全體，叫做直線上的一個(gè)標(biāo)架，記做{O;}，如果為單位矢量，那么{O;}叫做笛卡爾標(biāo)架，在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架.2.表達(dá)式＝x中的x叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;}的分量或稱為坐標(biāo)，記做{x}或{x}.3.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;}的直線上任意點(diǎn)P，矢量點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x)或(x).叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢

關(guān)于標(biāo)架的分量x叫做4.當(dāng)直線上取定標(biāo)架{O;}之后，直線上全體矢量的集合或全體點(diǎn)的集合與全體實(shí)數(shù)x的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做直線上矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.直線上的坐標(biāo)系也常用{O;}來表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，叫做坐標(biāo)矢量.5.由仿射標(biāo)架與笛卡爾標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系與笛卡爾坐標(biāo)系.6.取定標(biāo)架{O;}的直線，叫做坐標(biāo)軸或簡(jiǎn)稱為軸，原點(diǎn)為O，坐標(biāo)寫成x的軸記做Ox.例1.在空間直角坐標(biāo)系{O;(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的各個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)關(guān)于(1)坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；例2.已知矢量, , 的分量如下：

(1)＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2)＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式.作業(yè)題：

1.指出坐標(biāo)滿足下列條件的點(diǎn)(x, y, z)在空間的位置.(1)

x＝y(tǒng)；

(2)

y z<0;

(3)

x y z<0.2.平行于z軸的矢量有什么特點(diǎn)？平行于x軸和y軸的矢量又分別有什么特點(diǎn)？

3.已知線段AB被點(diǎn)C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，試求這個(gè)線段兩端點(diǎn)A與B的坐標(biāo).§1.6 矢量在軸上的射影

教學(xué)目的

1、掌握射影與射影矢量的概念及矢量線性運(yùn)算的射影表示；

2、理解矢量在軸上的的射影與坐標(biāo)的關(guān)系。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量在軸上的射影與射影矢量的概念 教學(xué)難點(diǎn) 射影與射影矢量的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí)

一、概念

1.射影

2.射影矢量 1

3.如果在軸上取與軸方向相同的單位矢量，則有射影矢量l的射影，記作：射影l(fā)4.可以把射影矢量l上的射影矢量與，即射影l(fā)與射影l(fā)＝x.分別寫成射影矢量

＝＝x，其中x叫做矢量在軸l上

與射影，且分別叫做矢量在矢量在上的射影，兩者之間的關(guān)系是

射影矢量

＝(射影＝,).＝, 把射線OA和OB構(gòu)成的在0與?之間5.設(shè)是兩個(gè)非零矢量，自空間任意點(diǎn)O作的角，叫做矢量與的夾角，記做?(,).按規(guī)定，若,同向，則?(,)＝0；若,反向，則?(,)＝?；若，則0＜?(,)＜?.時(shí)，以矢量掃6．在平面上，可以引進(jìn)從矢量到矢量的有向角的概念，并記作(,)，當(dāng)過矢量,之間的夾角?(,)旋轉(zhuǎn)到與矢量同方向的位置時(shí)，如果旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針的，則(,)＝?(,)；如果旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針的，則(,)＝－?(,).當(dāng)//時(shí)，(,)＝?(,).有向角的值，常可推廣到 ≤－π 或 >π，這時(shí)我們認(rèn)為相差2π整數(shù)倍的值代表同一角，對(duì)于有向角還有下面的等式

二、性質(zhì)

1．矢量在軸l上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量的夾角的余弦：

|cos?, ?＝?(l,).射影i＝|2．相等矢量在同一軸上的射影相等.3．對(duì)于任何矢量有

射影l(fā)(+)＝射影l(fā)+射影l(fā).4．對(duì)于任何矢量與任意實(shí)數(shù)?有

射影l(fā)(?)＝?射影l(fā).作業(yè)題：

1.兩非零矢量的夾角在空間和平面上分別是怎樣定義的？取值范圍如何？ 2.在射影如何？，射影矢量

與射影, 射影矢量

中，若?，＝－, 則它們相互間的關(guān)系3.射影相等的兩個(gè)矢量是否必相等？射影為0的矢量，是否必為？

§1.7 兩矢量的數(shù)性積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的數(shù)性積概念及幾何意義；

2、理解矢量的模、方向余弦和交角及數(shù)性積的坐標(biāo)表示；

3、能證明有關(guān)的幾何命題。

教學(xué)重點(diǎn) 兩矢量的數(shù)性積概念及幾何意義 教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)數(shù)性積理論證明有關(guān)的命題 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí)

一、概念

1.數(shù)性積的例子.1 2.兩個(gè)矢量與的模和它們夾角的余弦的乘積叫做矢量和的數(shù)性積(也稱數(shù)積，內(nèi)積，點(diǎn)積)，記做?或，即

?＝||||cos?(,).二、性質(zhì) 1.?＝||射影＝||射影?＝射影

..2.當(dāng)為單位矢量時(shí) 3.?＝||2＝2.4.兩矢量和相互垂直的充要條件是?＝0.5.矢量的數(shù)性積滿足下面的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律 ?＝?.(2)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律(?)?＝?(?)＝?(?).(3)分配律(+)?＝?+?.三、坐標(biāo)運(yùn)算 1.設(shè)＝{?＝}, ＝{.}, 則

2.設(shè)＝{X, Y, Z}，則

||＝3.空間兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)間的距離是

..4.矢量與坐標(biāo)軸(或坐標(biāo)矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.5.非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是

cos?＝cos?＝cos?＝6.設(shè)空間中兩個(gè)非零矢量為{

＝＝＝, ,.},那么它們夾角的余弦是 d＝

}，＝{cos?(,)＝7.矢量{}和＝{

＝.}相互垂直的充要條件是

例1.在實(shí)數(shù)乘法中消去律成立，即ab＝ac時(shí)，則a=0或b＝c.這對(duì)矢量的數(shù)性積并不成立，舉反例如下：

如圖1-20，設(shè)有非零矢量及與其共面的兩矢量和，使得其終點(diǎn)連線BC與OA垂直且交于M，則

?＝||||cos?(,)＝||OM, ?＝||||cos?(,)＝||OM，于是 ?＝?, 但顯然?.例2.在平面上如果，且＝?(i=1,2)，則有＝.作業(yè)題：

1.用矢量法證明對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2.證明 －||||≤?

≤|||

|.3.已知等邊三角形ABC的邊長為1，且4.(1)求兩個(gè)共線矢量的數(shù)性積；(2)求兩個(gè)單位矢量的數(shù)性積.＝，=, ＝，求?＋?＋?.§1.8 兩矢量的矢性積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的矢性積概念及幾何意義；

2、理解矢量矢性積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示；

3、會(huì)用頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算三角形的面積。

教學(xué)重點(diǎn) 兩矢量矢性積概念及幾何意義 教學(xué)難點(diǎn) 矢性積的幾何意義 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí)

一、概念 1 1.矢性積的例子

物理學(xué)中的力矩是一個(gè)矢量，它是兩個(gè)矢量的矢性積，如圖1-23，如果力力矩

＝

.的作用點(diǎn)是A,，則2.兩矢量與的矢性積（也稱矢積，外積，叉積）是一個(gè)矢量，記做?或[]，它的模是

|?|＝||||sin?(,)，它的方向與,都垂直，并且按，?這個(gè)順序構(gòu)成右手標(biāo)架{O;，?}.二、性質(zhì)

定理1.兩不共線矢量與的矢性積的模，在數(shù)值上等于以與為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.定理2.兩矢量與共線的充要條件是 ?＝.定理3.矢量的矢性積滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：(1)反交換律

?＝－(?).(2)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律

?(?)＝(?)?＝?(?).(3)分配律

(+)?＝?＋?.推論.設(shè)?, ?為任意實(shí)數(shù)，有

(?)?(?)＝(??)(?)，?(+)＝?+?.三、坐標(biāo)運(yùn)算

1.如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么

?＝.2.與中學(xué)代數(shù)里的方程一樣，我們將含有未知矢量的等式叫做矢量方程.例如?＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常數(shù)，這就是一個(gè)矢量方程.解矢量方程常用兩種方法：其一是對(duì)方程實(shí)行各種向量運(yùn)算來求出未知向量；其二是利用坐標(biāo)化成代數(shù)方程再去求解.例1.證明(?)≤22?2，并說明在什么情形下等號(hào)成立.例2.證明如果++＝，那么?＝?＝?，并說明它的幾何意義.例4.用矢量方法證明：（1）三角形的正弦定理

＝＝.（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：

2?＝p(p－a)(p－b)(p－c).作業(yè)題：

1.設(shè), , 為三個(gè)兩兩不共線的矢量，且?=?= ?，則++=.2.設(shè)兩非零矢量3.已知兩非零矢量4.已知,，求k值，使兩個(gè)向量k，求

與, 其中

和

＋k共線.共線的充要條件.＝5, , ?, 求平行四邊形ABCD的面積.§1.9 三矢量的混合積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的混合積概念及幾何意義；

2、理解混合積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示；

3、會(huì)用頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算四面體的體積。

教學(xué)重點(diǎn) 三矢量混合積概念及幾何意義 教學(xué)難點(diǎn) 混合積的幾何意義 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí)

第二章 軌跡與方程

教學(xué)目的

1、理解曲面與空間曲線方程的意義；

2、掌握求軌跡方程（矢量式與坐標(biāo)式參數(shù)方程及普通方程）的方法；

3、會(huì)判斷已知方程所表示的軌跡名稱。

教學(xué)重點(diǎn) 曲面和空間曲線的方程求法

教學(xué)難點(diǎn) 判斷已知的參數(shù)方程或普通方程所表示的圖形 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第三章）

授課課時(shí) 8 第三章平面與空間直線

教學(xué)目的

1、深刻理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程；反過來任何一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個(gè)平面。直線可以看成兩個(gè)平面的交線，它可以用兩個(gè)相交平面的方程構(gòu)成的方程組來表示；

2、掌握平面與空間直線的各種形式的方程，明確方程中常數(shù)（參數(shù)）的幾何意義，能根據(jù)決定平面或決定直線的各種導(dǎo)出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線各種方程形式的互化；

3、能熟練地根據(jù)平面和直線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)判別有關(guān)點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系與計(jì)算它們之間的距離和交角。

教學(xué)重點(diǎn)平面與空間直線的方程求法及點(diǎn)、平面、直線之間的相關(guān)位置 教學(xué)難點(diǎn)平面與空間直線各種形式方程的互化 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 8

§3.1平面的方程

教學(xué)目的

1、理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程，反過來，任何一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個(gè)平面；

2、會(huì)求平面的各種方程（參數(shù)式、點(diǎn)位式、三點(diǎn)式、截距式、一般式、點(diǎn)法式及法式）；

3、掌握平面的一般式與法式方程的互化。

教學(xué)重點(diǎn)平面的點(diǎn)位式、一般式和法式方程及其轉(zhuǎn)化方法 教學(xué)難點(diǎn)平面各種方程之間的互化 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1 §3.2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置 §3.3 兩平面的相關(guān)位置

教學(xué)目的

1、理解點(diǎn)與平面的離差與距離概念及求法；

2、掌握判別點(diǎn)與平面、兩平面位置關(guān)系的方法；

3、會(huì)求兩平面的交角與距離。

教學(xué)重點(diǎn) 點(diǎn)與平面的離差和兩平面的位置關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn) 點(diǎn)與平面的離差 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§3.4 空間直線的方程

教學(xué)目的

1、理解直線的方向角、方向余弦、方向數(shù)概念及求法；

2、會(huì)求直線的點(diǎn)向式方程（參數(shù)式、對(duì)稱式、兩點(diǎn)式）和一般方程；

3、掌握直線的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程轉(zhuǎn)化方法。

教學(xué)重點(diǎn) 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程 教學(xué)難點(diǎn) 標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化方法 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§3.5 直線與平面的相關(guān)位置

教學(xué)目的

1、理解直線與平面的位置關(guān)系及判別方法；

2、掌握直線與平面的交角和距離的求法。教學(xué)重點(diǎn) 直線與平面的位置關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn) 直線與平面的交角 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1 §3.6 空間兩直線的相關(guān)位置

教學(xué)目的

1、理解空間兩直線的位置關(guān)系及判別方法；

2、掌握空間兩直線的交角和異面直線間的距離與公垂線方程的求法。

教學(xué)重點(diǎn) 空間兩直線的位置關(guān)系及判別方法 教學(xué)難點(diǎn) 異面直線間的距離與公垂線方程 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§3.7 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置 §3.8平面束

教學(xué)目的

1、理解兩種平面束的概念；

2、掌握空間直線與點(diǎn)的距離公式及平面束方程的求法。教學(xué)重點(diǎn)平面束的概念及平面束方程的求法 教學(xué)難點(diǎn) 空間直線與點(diǎn)的距離公式 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第四章）

授課課時(shí) 2 第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

教學(xué)目的

1、掌握求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面方程的一般方法和步驟；

2、能識(shí)別母線平行坐標(biāo)軸的柱面方程和以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)面方程，并能從

方程認(rèn)識(shí)曲面的大致形狀；

3、根據(jù)方程討論圖形性質(zhì)，能畫二次曲面、空間曲線及區(qū)域簡(jiǎn)圖；

4、了解曲面直紋性。教學(xué)重點(diǎn)

1、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的概念及方程求法；

2、橢球面、雙曲面、拋物面方程的討論，圖形性質(zhì)和形狀的畫法。

教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)二次曲面的方程和性質(zhì)畫出其圖形 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 8

§4.1 柱面

教學(xué)目的

1、理解柱面及其準(zhǔn)線和母線的概念；

2、掌握求柱面方程的一般方法及步驟。教學(xué)重點(diǎn) 柱面方程的求法 教學(xué)難點(diǎn) 圓柱面的方程 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

§4.2 錐面

教學(xué)目的

1、理解錐面及其準(zhǔn)線和母線的概念；

2、掌握求錐面方程的一般方法及步驟；

3、了解齊次方程概念及其表示的錐面性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn) 錐面方程的求法 教學(xué)難點(diǎn) 圓錐面的方程

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

§4.3 旋轉(zhuǎn)曲面

教學(xué)目的

1、理解旋轉(zhuǎn)曲面及母線和緯圓等概念；

2、掌握求旋轉(zhuǎn)曲面方程的一般方法及步驟；

3、能熟練寫出一類特殊旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

教學(xué)重點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)曲面方程求法 教學(xué)難點(diǎn) 一類特殊旋轉(zhuǎn)曲面的方程 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

§4.4 橢球面

教學(xué)目的

1、會(huì)認(rèn)橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2、掌握討論橢球面性質(zhì)的方法及步驟；

3、能熟練畫出橢球面圖形。

教學(xué)重點(diǎn) 橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn) 橢球面圖形的畫法 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

§4.5 雙曲面

教學(xué)目的

1、會(huì)認(rèn)單葉雙曲面和雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2、掌握單葉雙曲面和雙葉雙曲面的性質(zhì)；

3、能熟練畫出單葉雙曲面和雙葉雙曲面的圖形。教學(xué)重點(diǎn) 單葉雙曲面和雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn) 單葉雙曲面和雙葉雙曲面圖形的畫法 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§4.6 拋物面

教學(xué)目的

1、會(huì)認(rèn)橢圓拋物面和雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2、掌握橢圓拋物面和雙曲拋物面的性質(zhì)；

3、能畫出橢圓拋物面和雙曲拋物面的圖形。

教學(xué)重點(diǎn) 橢圓拋物面和雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn) 橢圓拋物面和雙曲拋物面圖形的畫法 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§4.7 曲面的直紋性

教學(xué)目的

1、理解直紋曲面的概念；

2、掌握單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線方程求法；

3、了解單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn) 直紋曲面的概念

教學(xué)難點(diǎn) 單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線方程求法 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第五章）

授課課時(shí) 2 第五章 二次曲線的一般理論

教學(xué)目的

1、了解復(fù)平面的特征；

2、掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線、切線、直徑、主方向和主直徑概念及求法；

3、弄清移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對(duì)二次曲線方程系數(shù)的影響規(guī)律，以及這兩種坐標(biāo)變換在化簡(jiǎn)二次曲線方程中所起的作用；

4、能判別二元二次方程所表示的曲線的類型，熟練地化簡(jiǎn)二次曲線方程，并寫出相應(yīng)變換關(guān)系式，作出其圖形。

教學(xué)重點(diǎn)

1、二次曲線由漸近方向、中心、標(biāo)準(zhǔn)方程得出的不同分類方法；

2、二次曲線方程的化簡(jiǎn)、分類與作圖。

教學(xué)難點(diǎn) 移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對(duì)二次曲線方程系數(shù)的影響規(guī)律及其在化簡(jiǎn)二次曲線方程中所起的作用。參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 8 §5.1 二次曲線與直線的相關(guān)位置

教學(xué)目的

1、了解復(fù)平面的特征；

2、熟記二次曲線方程中的有關(guān)記號(hào)；

3、掌握二次曲線與直線的相關(guān)位置及判別方法。

教學(xué)重點(diǎn) 二次曲線方程中的有關(guān)記號(hào)及二次曲線與直線的相關(guān)位置 教學(xué)難點(diǎn) 二次曲線與直線位置的判別方法 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1 §5.2 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線

教學(xué)目的

1、理解二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念；

2、掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線的求法；

3、能根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。

教學(xué)重點(diǎn) 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念及求法 教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§5.3 二次曲線的切線

教學(xué)目的

1、理解二次曲線的切線及齊異點(diǎn)和正常點(diǎn)概念；

2、掌握求二曲線的切線方程的方法。教學(xué)重點(diǎn) 二次曲線的切線概念及求法

教學(xué)難點(diǎn) 過二次曲線外一點(diǎn)求二次曲線的切線方程 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

§5.4 二次曲線的直徑

教學(xué)目的

1、理解二次曲線的直徑與共軛弦概念及共軛方向與共軛直徑概念；

2、掌握求二曲線直徑方程及共軛方向與共軛直徑的方法；

3、掌握中心曲線與非中心曲線的直徑特征。

教學(xué)重點(diǎn) 二次曲線的直徑概念及方程求法 教學(xué)難點(diǎn) 共軛方向與共軛直徑的概念及關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1 §5.5 二次曲線的主直徑與主方向

教學(xué)目的

1、理解二次曲線的主直徑與主方向概念；

2、掌握求二曲線主方向與主直徑方程的方法；

3、掌握二次曲線特征根的概念及性質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn) 二次曲線的主直徑與主方向概念及求法 教學(xué)難點(diǎn) 二次曲線的特征根與主方向和主直徑的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2 §5.6 二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類

教學(xué)目的

1、理解平面直角坐標(biāo)變換(移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換)概念；

2、掌握其對(duì)二次曲線方程系數(shù)的影響規(guī)律及其在化簡(jiǎn)二次曲線方程中所起的作用（與主方向和主直徑的關(guān)系）；

3、熟練掌握二次曲線方程的化簡(jiǎn)和作圖方法；

4、能根據(jù)化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。

教學(xué)重點(diǎn) 二次曲線方程的化簡(jiǎn)和作圖方法及二次曲線的分類 教學(xué)難點(diǎn) 移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換在化簡(jiǎn)二次曲線方程中所起的作用

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 2 §5.7 應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲線的方程

教學(xué)目的

1、理解二次曲線的不變量和半不變量；

2、掌握三類二次曲線簡(jiǎn)化方程的形式；

3、了解用不變量和半不變量判斷二次曲線類型的方法。

教學(xué)重點(diǎn) 三類二次曲線簡(jiǎn)化方程的形式 教學(xué)難點(diǎn) 不變量和半不變量的證明

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 2

第五篇：線性代數(shù)與空間解析幾何期末考試題

… 2011～2012學(xué)年第二學(xué)期課程考試試卷（A卷）

………課程 線性代數(shù)與空間解析幾何B考試時(shí)間 2012 年7 月2 日

……………………注：請(qǐng)將答案全部答在答題紙上，直接答在試卷上無效。………………

…

……

一、填空題（每小題3分，滿分27分）

……x

yz

2x2y2z

…

1、設(shè)行列式4

03?6，則行列式4301?_________.……

1……

2、已知矩陣A滿足A2-2A-8E= 0，則(A+E)-1=_____________.……

3、已知向量組?T…1=(1,2,3)T, ?2=(3,-1,2), ?T3=(2,3,k)線性相關(guān)，則常數(shù)k =_________.線…?…?5200?……

4、設(shè)矩陣A=?2

100???

…?0021?，則A-1

=________________.…???

00

1??

……

5、若A、B為5階方陣，且Ax= 0只有零解，且R(B)=3，則R(AB)=___________.……

6、三元線性方程x1+ x2+ x3=1的通解是_______________.訂…0?

b?

…

7、若矩陣

A=??1

??與矩陣B=?…?

4??3

?

??a

x??相似，則x=_____.?

……?1??……

8、設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解??1=?2???1??,?2=?2??且R(A)=2，則Ax=b的通解為…?…?3????3??

…裝__________________.……

9、若f(x1, x2, x3)=x21?4x22?4x23?2?x1x2?4x2x3為正定二次型,則?的取值應(yīng)滿足______.……

二、選擇題（每小題3分，滿分15分）

……

…

1、若矩陣A可逆，則下列等式成立的是（）

………(A)A=

1…AA*

；(B)A?0；(C)(A2)

?1

?(A

?1)

;(D)(3A)?1

?3A

?1

.………

2、若A、B相似，則下列說法錯(cuò)誤．．的是()…(A)A與B等價(jià)；(B)A與B合同；(C)| A |=| B |；

(A)A與B有相同特征值.…第 1 頁，3、設(shè)有向量組A：?1,?2,?3,?4，其中?1,?2,?3線性無關(guān)，則（）

(A)?1,?3線性無關(guān)；(B)?1,?2,?3,?4線性無關(guān)；(C)?1,?2,?3,?4線性相關(guān)(D)?2,?3,?4線性相關(guān).4、設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，B為n階反對(duì)稱矩陣，則下列矩陣中為對(duì)稱矩陣的是()(A)AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.5、設(shè)A為m×n矩陣，則n元齊次線性方程組Ax= 0存在非零解的充要條件是（）

(A)A的行向量組線性無關(guān)；(B)A的行向量組線性相關(guān)；(C)A的列向量組線性無關(guān)；(D)A的列向量組線性相關(guān).三、計(jì)算題（每小題9分，滿分18分）

a

00（1）D =?11?ab00?11?bc.?1

1?c

?01?（2）設(shè)矩陣A=?

?0

20?

?,而X滿足AX+E=A2+X，求X.??

1??

四、應(yīng)用題（每小題10分，滿分20分）

（1）求向量組?1??1,1，1，4?T，?3，5?T，?TT

2??2,1，3??3,1,5,6?，?4??1,-1，3，?2?的一個(gè)

極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組表示出來.?1

0??a?（2）設(shè)A =?

?-1

?0

??20?=??

?, b ?-1?，已知非齊次線性方程組Ax=b存在兩個(gè)不同

??

?-1????1??的解，求（I）?，a的值；（II）Ax=b的通解.五、證明題（滿分8分）設(shè)A，B，A+B均為n階正交矩陣，證明:(A?B)?1?A?1?B?1.六、綜合題（滿分12分）

?2

00??100?

設(shè)A=?

?0

3a??的三個(gè)特征值分別為1，2，5，求正交矩陣P，使P-1AP =??0

20??.??

0a

3??

??00

5??

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