第一篇：第一章 數的整除教材分析

第一章 數的整除

教學中要注意的問題

“數的整除”作為小學算術、小學數學的教學內容由來己久。這部分內容的特點是概念多，而且抽象，概念之間的聯系緊密。因此被認為是小學數學中發展學生的邏輯思維能力，特別是判斷、推理能力不可多得的重要內容。二期課改中把這部分內容編排在初中階段。

本章中概念較多，而且比較抽象，概念的前后聯系 非常緊密，教學時要找準知識的“固著點”和“生長點”，聯系學生己有知識，通過具體事例來講清概念，使用教材中的圖表和集合圖給學生提供表象支撐，加強概念的理解。再通過例題鞏固相關內容；最后回到解決實際問題中去深化理解。減少運算的訓練量，注重運算的合理性和多樣性.1.理解自然數和整數的定義

2.在本章學習的整數，在沒有特別說明時，都是指正整數.3.理解整除的意義

整除的意義：整數a除以整數b（記作a÷b），如果除得的商是整數而余數為零，我們就說a能被b整除(a÷b);或者說b能整除a(a÷b)．

訓練學生規范表述整除的兩種表達方式 4.整除的條件：三整一零 5.整除和除盡的關系

6.理解因數和倍數的意義及它們之間的 相互依 存關系，整數a能被整數b整除(a÷b)，a就叫做b的倍數，b就叫做a的因數(注意完整表述)．掌握求一個正整數的因數和倍數的方法，知道一個數的因數有有限個，倍數有無限個，注意不遺漏.本章只限制在正整數范圍內研究問題，所以不必擴展, 不必對學生作解釋，只要教學時不涉及0就可以了.找一個數的倍數或因數，既能鞏固倍數和因數的

概念，也為研究2，5的倍數的特征以及建構素數和合數的意義作準備.探索找一個數的倍數或因數的方法，教學重點是建立相應的數學模型，經歷“實際問題一數學模型一解釋應用”的過程.7.有關數軸

8、《數學課程標準》明確要求:在1--100的自然數中，找出10以內某個自然數的所有倍數;在1--100的自然數中，找出某個自然數的所有因數.教材在編排練習題時，嚴格遵守這些規定。第7頁第4題寫36等的倍數，只要從小到大寫出3個，并用省略號表示個數無限。

另外，第2題讓學生體會倍數與因數是一種關系，客觀存在于兩個具體的自然數之間。因此，要通過完整的語言表達關系，讓學生體會這種關系，如2是4的因數、4是2的倍數，不能說成“4是倍數”或“2是因數”.9、偶數的概念、特征，最小的偶數

整除問題一般限定在正整數范圍考慮，所以實 際僅僅研究了正奇數、正偶數.10、教學被2，5整除的數的特征，能進一步理解倍數的意義，2和5的倍數的特征都表現在數的個位上，比較明顯，易發現，引導學生通過操作、觀察、比較、分析，主動發現和歸納特征.11、教學中補充能被3整除的數的特征，對后面的學習是有益的，例如判斷一個正整數是素數還是合數時，對于87，知道它能被3整除，那一定是合數；在用短除法解決問題時等等.12、理解素數和合數的概念，課本列出100以內的素數表，不要求學生背出這些素數，但是熟悉20以內常見的8個素數還是必要的，還有一些數，如39、51、91等是合數.13、“1”既不是素數也不是合數是一種規定，應使學生 知道這種規定的合理性，進一步明確素數和合數概念的內涵。

在講完概念后，可以結合練習1、2增加練習，引導學生區分因數和倍數，素數和合數，奇數和偶數等不同 概念，防止將所學知識相互混淆.14、理解素因數的意義，對于一個數的素因數，要理解兩種不同的要求：對于一個數有哪些素因數，必須說出它的每一個素因數，如24的素因數有4個：2，2，2，3，而不能只說2和3；而對于哪些數是一個數的素因數，則可以根據要求來說，如2和3都是24的素因數.15、分解素因數

“樹枝分解法”、“口算法”、“短除法”是為以后的求最大公因數和最小公倍數作準備，要求學生熟練掌握“短除法”.因此建議教學完相關概念和方法后，單列一節課對短除法進行鞏固，讓學生習慣這種寫法.(分解素因數的方法不唯一，學生做題時除題目規定可自行選擇，不必強求用短除法.要注意的是：把一個合數分解素因數，思考過程與連乘算式正好相反，表達形式也正好相反，要引導學生注意分解素因數的書寫格式.強調寫出一個數的素因數與因數和分解素因數的區別.16、在現實的情境中教學概念，讓學生通過解決實際問題的活動理解公因數、公倍數的含義.讓學生感受學習數學是有用的，是為了解決現實生活中的問題的.克服了這一章由知識的特性而帶來的枯燥，激發學生學習的興趣.再如：在第17頁教學完例3后，出現了本章開始的問題。這樣安排體現了從問題中來又又回到 問題中去，教學時點明數學在認識世界、改造世界中的作用，激發學生學習數學的興趣.17、突出概念的內涵，讓學生準確理解概念.概念的內 涵是指這個概念所反映的一切對象的共同的本質屬性。公因數是幾個數公有的因數，公倍數是幾個數公有的倍數，可見“幾個數公有的”是公因數和公倍數這兩個概念的本質屬性.在因數、倍數的基礎上教學公因數、公倍數，關鍵在于突出“公有”的含義.18、集合圖能直觀形象地顯示公因數、公倍數的含義.第15頁把24的因數與32的因數分別寫到兩個集合圈里，這兩個集合圈有一部分重疊，在重疊部分里寫的數既是24的因數，又是32的因數，是24和32的公因數.既滲透集合思想，又幫助學生進一步理解.教學時可讓學生先觀察這個集合圖，再填寫集合圖.19、運用數學概念，讓學生探索找兩個數的最大公因數、最小公倍數的方法.本章只教學兩個數的公因數、最大公因數和兩個數的公倍數、最小公倍數，因為這些是最基礎的數學知識，在約分和通分時應用最多.區別用短除法解決不同的問題，有些問題中，應先觀察規律，在考慮是否用短除法.要總結規律.拓展課求三個數的最小公倍數要教, 但不考.在引導并得出兩個具有特殊關系的整數找最大公因數最小公倍數的方法時，可以先讓學生按照短除法來求四組數的最大公因數或最小公倍數，引導學生觀察、討論每一組的特點，歸納出兩種特殊情況下求最大公因數或最小公倍數的結論性語言，并告訴學生，能直接看出最大公因數或最小公倍數的就不必再用短除法了.20、教材第20頁例3是求兩個數的最大公因數和最小公倍數。由于這兩種方法比較相近，因此學生常因概念不清而發生混淆.通過例題3把兩數既不互素也不成倍數關系時，求它們的最大公因數和最小公倍數的方法進行比較，教學時最后可以把兩數互素和兩數成倍數關系時求最大公因數和最小公倍數用圖表進行梳理和比較.

第二篇：數的整除，分析與解

【內容概述】

能被2，3，4，5，8，9，11整除的數的數字特征，以及與此相關的整數的組成與補填問題，乘積末尾零的個數的計算．

1.整數a除以整數b(b≠0)，所得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除(也可以說b能整除a)，記作b︱a．如:15÷5=3，所以15能被5整除(5能整除15)，記作5︱15．

反之，則稱為不能整除，用“”表示，如715.如果整數a能被整數b(b≠0)整除，則稱a是b的倍數，b是a的約數．如15是5的倍數，5是15的約數．

特別的，注意0÷b=0(b≠0)，所以說零能被任何非零整數整除，零也是任何非零整數的倍數．

還有0÷1=0，所以說1能整除任何整數，1是任何整數的約數．

因為整除均在整數范圍內考察，所以以下所指之數不特加說明均指整數．

2．整除的性質：

性質1.如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．

如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被C整除．

性質2.如果bc︱a，那么b︱a，c︱a．

如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a．

性質3.如果b︱a，c︱a，且b、c互質，那么bc︱a．

如果b、c都能整除，且b和c互質，那么b與c的積能整除a．

性質4.如果c︱b，b︱a，那么c︱a．

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．

3.一些質數整除的數字特征(約數只有1和它本身的數，稱為質數)：

(1)能被2整除的數，其末位數字只能是0，2，4，6，8；

(2)能被3整除的數，其各位的數字和能被3整除；

(3)能被5整除的數，其末位數字只能是0，5；

(4)能被7整除的數，其末三位與前面隔開，末三位與的差(大減小)能被7整除(即能被7整除，7︱-或7︱-)；

(5)能被11整除的數，其末三位與前面隔開，末三位與的差(大減小)能被11整除(即能被11整除11︱-或11︱)或者，其所得的差能被11整除；

表示這是一個多位數，而不是q與p、o、c、b、a等數的乘積，下同．

4．對于合數，先把合數分解質因數，再一個一個的考察．這樣就化歸為質數整除問題，對于分解質因數，詳見《質數、合數與分解質因數》．

5．對于一些特殊的合數的判斷方法．

能被4整除的數，末兩位數能被4整除；

能被8整除的數，末三位數能被8整除；

能被25整除的數，末兩位數能被25整除；

能被125整除的數，末三位能被125整除；

能被9整除的數，其數字和一定是9的倍數．

范例1

在公元9世紀，有個印度數學家——花拉子米寫有一本《花拉子米算術》，他們計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算過程丟失而經常檢驗加法運算是否正確．所以后來人把這種算法稱為“土盤算法”．

如：1234+1898+18922+678967+178902=889923．他們看1234的數字和為，10除以9余1，1898的數字和除以9余8，18922的數字和除以9余4，678967的數字和除以9余7，178902的數字和除以9余0，余數的和除以9余2；而等式的右邊889923除以9的余數為3．所以上面的加法算式一定是錯誤的．

為什么呢?

6．若干個數相乘，求其末尾有多少個連續的0，只要把這個乘積中的因數2與5的個數分別找出來，其中較少的因數個數就是積的末尾連續的0的個數．

范例2

試求1981×1982×1983×1984×1985×…×2005這25個數相乘，積的末尾有多少個連續的“0”?

【分析與解】其中1985，1990，1995，2000，2005含有因數5分別有1，1，1，3，1個，所以共有l+1+1+3+1=7個因數5；

其中1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004含有因數2，分別有1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2個，所以共有1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25個因數2．

其中因數5較少，含有7個，所以題中25個數的乘積末尾連續的0的個數為7．

評注：多數情況下，若干個連續的數相乘，需求其末尾連續0的個數．因為因數2的個數遠多于因數5的個數，所以只考慮因數5的個數即可．

7.還有一種很重要的方法：試除法．如【典型問題】1、2、3、5、6等類問題都可以使用試除法．

如果一個數能同時被多個整數整除，那么一定能被這些數的最小公倍數整除，而求多個數的最小公倍數，則可以采用如下兩種方法：

①短除法

求兩個或以上數的最小公倍數，可以使用短除法．

范例3

試求120、180、300的最小公倍數．

【分析與解】

于是(120，180，300)=30×2×2×3×5=1800．

②分解質因數

將一組數的每個數嚴格分解質因數，然后提出每個質因數的最高次所對應的數，將這些提出的數相乘，求出積就是最小公倍數．

8．有時也可以將問題視為數字謎問題，如【典型問題】5、6類問題．

1．173口是一個四位數．數學老師說：“我在其中的方框內中先后填入3個數字，所得到的3個四位數：依次可被9，11，6整除．”問：數學老師先后填入的3個數字的和是多少?

【分析與解】方法一：利用整除特征

注意能被9，11，6整除的數的特征：

能被9整除的數，其數字和是9的倍數；

能被11整除的數，其和與的差為11的倍數；或將其后三位與前隔開，將新組成的兩個數作差，將是11的倍數；

能被6整除的數，其數字和是3的倍數，且末位為0，2，4，6，8的其中之一.1+7+3=ll，當口內填入7時，1735的數字和為18，為9的倍數，所以當口內填7所組成的數為9的倍數；

173口的奇數位數字和為7+口，偶位數數字和為1+3=4，所以當口內填11+4-7=8時，和與的差為11，所組成的數為11的倍數；

1+7+3=11，當口內填入l，4，7時，為3的倍數，但只有4為偶數，所以當口內填入4組成的數為6的倍數．

所以，這三種情況下填人口內的數字的和為7+8+4=19．

方法二：采用試除法

用1730試除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．

所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．

所以，這三種情況下填入口內的數字的和為7+8+4=19．

2．如果六位數1992口口能被105整除，那么它的最后兩位數是多少?

【分析與解】

因為105=3×7×5，所以這個六位數同時滿足能被3、7、5整除的數的特征即可．

而能被7整數的數，將其后三位與前隔開，將新組成的兩個數作差，將是7的倍數；

能被5整數的數，其末位只能是0或5．

方法一：利用整除特征

末位只能為0或5．

①

如果末位填入0，那么數字和為1+9+9+2+口+0=21+口，要求數字和是3的倍數，所以口可以為0，3，6，9，驗證均不是200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有9l是7的倍數，即199290是7的倍數，所以題中數字的末兩位為90．

②如果末位填入5，同上解法，驗證沒有數同時滿足能被3、7、5整除的特征．

所以，題中數的末兩位只能是90．

方法二：采用試除法

用199200試除，199200÷105=1897……15，余15可以看成不足(105-15=)90．所以補上90，即在末兩位的方格內填人90即可．

3．某個七位數1993口口口能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數字依次是多少?

【分析與解】

方法一：利用整除特征

因為這個數能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位為偶數，所以只能是0．

在滿足以上條件的情況下，還能被4整除，那么末兩位只能是20、40、60或80．

又因為還能同時被9整除，所以這個數的數字和也應該是9的倍數，，的數字和分別為24+A，26+B，28+C，30+D，對應的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．

而只有320，680是8的倍數，再驗證只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍數．

因為有同時能被2，4，5，7，8，9整除的數，一定能同時被2，3，4，5，6，7，8，9這幾個數整除，所以1993320為所求的這個數．

顯然，其末三位依次為3，2，0．

方法二：采用試除法

一個數能同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而將這些數一一分解質因數：，所以這個數一定能被××5×7=8×9×5×7=2520整除．

用1993000試除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格內填入320即可．

4．從0，l，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數字中選出5個不同的數字組成一個五位數，使它能被3，5，7，13整除，這個數最大是多少?

【分析與解】

因為[3，5，7，13]=1365，在100000之內最大的1365的倍數為99645(100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，有99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185．

所以，滿足題意的5位數最大為94185．

5．修改31743的某一個數字，可以得到823的倍數．問修改后的這個數是多少?

【分析與解】

方法一：采用試除法

823是質數，所以我們掌握的較小整數的特征不適用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改動某位數字使得得到的新數比原來大354或354+823n也是滿足題意的改動．

有n=1時，354+823：1177，n=2時，354+823×2=2000，所以當千位增加2，即改為3時，有修改后的五位數33743為823的倍數．

方法二：視作數字謎

假設改動數位不是首位與末位，那么我們考慮3口口口3除以823的商：

30003÷823=36……375；39993÷823=48……489．

所以商在37～48之間，而823的個位3只有與1相乘所得的積才是3，所以這個商的尾數為1，這樣的數字在37～48之問，只有41．

有823×41=33743．所以改動31743的千位為3即可．

6．在六位數11口口11中的兩個方框內各填入一個數字，使此數能被17和19整除，那么方框中的兩位數是多少?

【分析與解】方法一：采用試除法

如果一個數能同時被17和19整除，那么一定能被323整除．

110011÷323=340……191，余191也可以看成不足(323-191=)132．

所以當132+323n是100的倍數時，才能保證在只改動110011的千位、百位數字，而得到323的倍數．

所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，…

驗證有n=16時，132+323×16=5300，所以原題的方框中填入5，3得到的115311滿足題意．

方法二：視為數字謎

因為[17，19]=323，所以有：

注意，第3行的個位數字為1，于是乘數的個位數字只能為7，所以第3行為323×7=2261；

于是有

所以第4行的末位為10+1-6=5，所以乘數的十位數字只能為5，于是第4行為323×5=1615；

于是有，所以第5行在(110011-16150-2261=)91600～(119911-16150-2261=)101500之間，又是323×100的倍數，所以只能為32300×3=96900；

于是最終有

.所以題中的方框內應填入5，3這兩個數字．

7．已知四十一位數55…5口99…9(其中5和9各有20個)能被7整除，那么中間方格內的數字是多少?

【分析與解】

我們知道這樣的六位數一定能整除7、11、13；

下面就可用這個性質來試著求解：

由上知的末6位數999999必定整除7；

有=×1000000+999999；于是只用考察：

×1000000，又因為1000000，7互質，所以1000000對整除7沒有影響，所以要求一定是7的倍數．

注意到，實際上我們已經將末尾的6個9除去；

這樣，我們將數字9、5均6個一組除去，最后剩下的數為口，即55口99．

我們只用計算55口99當“口”取何值時能被7整除，有口為6時滿足.評注：對于含有類似的多位數，考察其整除7、11、13情況時，可以將一組一組的除去，直接考察剩下的數．

8．用數字6，7，8各兩個，組成一個六位數，使它能被168整除．這個六位數是多少?

【分析與解】

因為168=20×3×7，所以組成的六位數可以被8、3、7整除．

能夠被8整除的數的特征是末三位組成的數一定是8的倍數，末兩位組成的數一定是4的倍數，末位為偶數．

在題中條件下，驗證只有688、768是8的倍數，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數，由上題知形式的數一定是7、11、13的倍數，所以768768一定是7的倍數，口口口688的口不管怎么填都得不到7的倍數．

至于能否被3整除可以不驗證，因為整除3的數的規律是數字和為3的倍數，在題中給定的條件下，不管怎么填數字和都是定值，必須滿足，不然本題無解．

當然驗證的確滿足．

所以768768能被168整除，且驗證沒有其他滿足條件的六位數．

9．將自然數1，2，3，…依次寫下去組成一個數：***13…．如果寫到某個自然數時，所組成的數恰好第一次能被72整除，那么這個自然數是多少?

【分析與解】

因為72=×，所以這個數必須是8的倍數，即后三位必須是8的倍數(也一定有后二位為4的倍數，末位為偶數)，且數字和是9的倍數.有456，312，516，920，324，728，132，536…均是4的倍數，但是只有456，920，728，536是8的倍數．

驗證這些數對應的自然數的數字和：

456對應123456，數字和為2l，920對應123…91011…1920，數字和為102，728對應123…91011…192021…28，數字和為154，536對應123…91011…192021…293031…36，數字和為207，所以在上面這些數中，只有536對應的123…91011…192021…293031…36既是8的倍數，又是9的倍數．

所以，滿足題意的自然數為36．

10．1至9這9個數字，按圖4-1所示的次序排成一個圓圈．請你在某兩個數字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數(例如，在l和7之間剪開，得到兩個數是193426857和758624391)．如果要求剪開后所得到的兩個九位數的差能被396整除，那么剪開處左右兩個數字的乘積是多少?

【分析與解】

在解這道題之前我們先看一個規律：的差一定是

(如：12365為原序數，那么它對應的反序數為56321，它們的差43956是99的倍數．對于上面的規律想想為什么?)

那么互為反序的兩個九位數的差，一定能被99整除．

而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．

于是只用觀察原序數、反序數的末兩位數字的差能否被4整除，顯然只有當剪開處兩個數的奇偶性相同時才有可能．

注意圖中的具體數字，有(3，4)處、(8，5)處的兩個數字奇偶性均不相同，所以一定不滿足．

而剩下的幾個位置奇偶性相同，有可能滿足．

進一步驗證，有(9，3)處剪開的末兩位數字之差為43-19=24，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)處剪開的末兩位數字之差為62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．

所以從(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處剪開，所得的兩個互為反序的九位數的差才是396的倍數．

(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)處左右兩個數的乘積為27，8，12，48，35，9．

11．有15位同學，每位同學都有編號，他們是l號到15號．1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被3整除”，……，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除．1號作了一一驗證：只有編號連續的兩位同學說得不對，其余同學都對．問：

(1)說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數?

(2)如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數．

【分析與解】

(1)列出這14個除數：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15.注意到如果這個數不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，顯然超過兩個自然數；類。似這種情況的還有3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…；

若不能被7整除，那么一定不能被14整除，而這兩個自然數不連續；

若不能被12整除，那么4和3中至少有一個不能整除1號所說的自然數，而12與3、4均不連續；類似這種情況的還有10(對應2和5)；14(對應2和7)；15(對應3和5)；

這樣只剩下8、9、11、13，而連續的只有8、9．

所以說的不對的兩位同學的編號為8、9這兩個連續的自然數．

(2)由(1)知，這個五位數能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．

所以[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=×3×5×7×11×13=60060．

所以1號寫出的五位數為60060．

12．找出4個不同的自然數，使得對于其中任何兩個數，它們的和總可以被它們的差整除．如果要求這4個數中最大的數與最小的數的和盡可能的小，那么這4個數里中間兩個數的和是多少?

【分析與解】

我們設這四個數中最小的一個數為a，要求4個最大的數與最小的數的和盡可能小，則先盡量讓a最?。?/p>

當a=1，設4個數中另外三個數中某個數為b，有等必須為整數，而=1+，則2能被(b-1)整除，顯然(b-1)只能為2或1，對應b只能是3或2，但是題中要求a至少能與三個數存在差能被和整除的關系，所以不滿足．

當a=2，設4個數中另外三個數中某個數為c，有必須為整數，而=l+，則4能被(c-2)整除，有(c-2)可以為4、2、1，對應c可以為6、4或3．

驗證6、4、3、2是滿足條件的數組，它們的中間兩個數的和為4+3=7即為題中條件下的和．

試求6個不同的正整數，使得它們中任意兩數之積可被這兩個數之和整除．

【試題分析】

取六個數1，2，3，4，5，6，并把它們兩兩相加得到15個和：

1+2，l+3，…，5+6．

這15個和的最小公倍數是：

×××5×7×11=27720．

把它依次乘所取的六個數得：27720，55440，83160，110880，138600及166320.這六個數就滿足題目的要求．

13．把若干個自然數1，2，3，…乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現的自然數最小應該是多少?

【分析與解】

方法一：要求乘積的末十三位均是0，那么這個乘積至少含有13個質因數2，13個質因數5．

連續的自然數中2的倍數的個數遠大于5的倍數的個數．所以只用考慮質因數5的個數，有：13×5=65，而1～65中，25、50均含有2個質因數5．

所以只需連乘到(13-2)×5=55即可．也就是說1×2×3×…的積的末十三位均是0，那么最后出現的自然數最小應是55．

方法二：我們分段考慮質因數5的出現的情況：

在1至9中，有5本身，出現1次因數5；

在10至19中，有10、15，出現2次因數5；

在20至29中，有20、25，由于25=5×5，5出現了2次，所以共出現3次因數5；

在30至39、40至49中，各出現2次5的因子，至此共出現了l+2+3+2+2=10次5的因子．

在50至59中，有50、55、50=2×5×5出現了兩次5的次因子，所以這里共有3個5的因子．

所以到55為止，共出現13次5的因子，55為出現的最小自然數，使得2乘到它的結果中末尾有13個0．

14.975×935×972×口，要使這個連乘積的最后4個數字都是0，那么在方框內最小應填什么數?

【分析與解】

975含有2個質因數5，935含有1個質因數5，972含有2個質因數2．而975×935×972×口的乘積最后4個數都是0．

那么，至少需要4個質因數5，4個質因數2．

所以，口至少含有1個質因數5，2個質因數2，即最小為5×2×2=20．

15．如圖4-2，依次排列的5個數是13，12，15，25，20．它們每相鄰的兩個數相乘得4個數．這4個數每相鄰的兩個數相乘得3個數．這3個數每相鄰的兩個數相乘得2個數．這2個數相乘得1個數．請問：最后這個數從個位起向左數．可以連續地數出幾個零?

【分析與解】

如下圖，我們在圖中標出每個數含有質因數2、5的個數，除第一行外，每個數都是上一行左、右上方兩數的乘積，所以每個數含有質因數2、5的個數也都是上一行左、右上方兩數含有質因數2、5個數的和．

所以，最后一行的一個數含有10個質因數2，15個質因數5．

而一個數末尾含有連續0的個數決定于質因數2、5個數的最小值，所以最后一行的一個數末尾含有10個連續的0．

習題1

1～9九個數字按圖4-3所示的次序排成一個圓圈，請在某兩個數之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數．如果要求剪開后所得到的兩個九位數的差能被396整除，那么應在何處剪開?

習題2

有20位同學，每位同學都有編號，他們是1號到20號．1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被3整除”，……，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除．1號作了一一驗證：只有編號連續的兩位同學說得不對，其余同學都對．問：

(1)說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數?

(2)如果告訴你，1號寫的數是七位數，請求出這個數．

習題1

【分析與解】

在解這道題之前我們先看一個規律：

與的差一定是

(如：12365為原序數，那么它對應的反序數為56321，它們的差43956是99的倍數．對于上面的規律想想為什么?)

那么互為反序的兩個九位數的差，一定能被99整除．

而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．

于是只用觀察原序數、反序數的末兩位數字的差能否被4整除，顯然只有當剪開處兩個數的奇偶性相同時才有可能．

注意圖中的具體數字，有(3，8)處、(8，1)處、(1，6)處、(4，9)處、(9，2)處、(2，5)處的兩個數字奇偶性均不相同，所以一定不滿足．

而(6，4)處、(5，7)處、(7，3)處奇偶性相同，有可能滿足．

進一步驗證，有(6，4)處剪開的末兩位數字之差為94-16=78，不是4的倍數，不滿足．

(5，7)處剪開則有末兩位數字之差為37-25=12，是4的倍數，滿足．

(7，3)處剪開則有末兩位數字之差為83-57=26，不是4的倍數，不滿足．

所以只能從5、7處剪開，所得的兩個互為反序的九位數的差才是396的倍數．

習題2

【分析與解】(1)列出這19個除數：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20．24、6、8、10、12、14、16、18、20，所以一定能被2整除；36、9、12、15、18，所以一定能被3整除：48、12、16、20，所以一定能被4整除；510、15、20，所以一定能被5整除；

612、18，所以一定能被6整除；

714，但是7、14不連續，所以一定能被7整除；

816，但是8、16不連續，所以一定能被8整除；

918，但是9、18不連續，所以一定能被9整除；

1020，但是10、20不連續，所以一定能被20整除：

11，保留；

12不能被3或4整除，它們又不連續，所以一定能被12整除；

13，保留；

14不能被2或7整除，它們又不連續，所以一定能被14整除；

15不能被3或5整除，它們又不連續，所以一定能被15整除；

16，保留；

17，保留；

18不能被2或9整除，它們又不連續，所以一定能被18整除；

19，保留；

20不能被4或5整除，它們又不連續，所以一定能被20整除．

其中，保留的數有11，13，16，17，19，但是只有16、17兩個數連續，所以說得不對的兩個同學的編號為16、17．

(2)由(1)知，這個七位數能被2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20整除．如下所示：

[2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20]=××5×7×11×13×19=6846840．

所以1號寫出的七位數為6846840．

第三篇：數的整除教案

1、使學生理解自然數與整數的意義．

2、使學生掌握整除、約數與倍數的概念．

3、培養學生抽象概括與觀察物的能力． 教學過程

一、建議自然數與整數的概念

1、談話引入：今天這節課，我們學習數的整除．（板書課題）

2、教師提問：既然是數的整除，自然就與數有關，同學們都學過什么數？

（教師板書：整數、小數、分數）

同學們會數數吧？（學生數數）

（教師板書：1、2、3、4、5、）

繼續數下去，能數到頭嗎？

數不到頭，我們可以用一個什么標點符號來表示呢？

（教師板書：“??”）

3、教師小結：

用來表示物體個數的1、2、3、4、5等等，叫做自然數．（板書：自然數）

提問：最小的自然數是幾？有最大的自然數嗎？

當一個物體也沒有時，我們用幾來表示？（板書：0）

二、建立整除的概念

1、教師明確：數的整除，不僅與數有關，還與除有關，一說到除，在家就會想到兩個數相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是兩個數相除，但是在小學階段，我們研究整除不包括“0”．

2、出示卡片 1.2÷4

提問：在數的整除中研究這樣的兩個數相除嗎？為什么？

3、再出示卡片：10÷20，16÷5，15÷3，36÷9，24÷2

提問：這幾個式子中的被除數和除數都是什么數？

教師明確：被除數和除數都是自然數，這是我們研究數的整除的一個非常重要的條件．

4、教師說明：被除數和除數都是自然數，如：10÷20，我們能不能說10能被20整除呢？還不能，還要看它的商．

組織學生口算出5張卡片的商．（其中16÷5指定回答“商幾余幾”）

提問：被除數和除數都是自然數，商可能有哪幾種情況？

排除沒有整除關系的卡片，指15÷3=5一類的卡片，說明：只有這樣的，我們才能說15能被3整除．

5、學生舉例

6、提問：用字母a表示這樣的被除數，用b表示這樣的除數，商怎么樣，我們就說a能被b整除呢？

這樣看來，整除除了被除數和除數都是自然數外，還得有一個什么條件？

教師明確：商是自然數，沒有余數是整除的又一個重要的條件．

7、出示卡片（區別整除和除盡）

4÷3=1.3 18÷18=1 7÷5=1.4

4÷0.2=20 42÷6=7

三、建立約數與倍數的概念

1、教師說明：當數a能被數b整除時，a就是b的倍數；b就是a的約數．

2、聯想訓練：教師說一句由學生說出另外兩句．

如：教師：15能被3整除（生：15是3的倍數，3是15的約數）

教師：36是9的倍數（生：36能被9整除，9是36的約）

教師：2是24的約數(生：24能被2整除, 24是2的倍數)

教師：7不能被4整除(生：7不是4的倍數,4又不是7的約數)

3、區分“倍數”與“幾倍”

教師提問：能說4是0.2的倍數嗎?為什么?

4、判斷

12是3的倍數()7是21的約數()

1是25的約數()3.6是3的倍數()

4是約數()（說明：通過此題，深化倍數、約數相互依存的關系）

四、鞏固練習

思考題：1，3，6，9，12這幾個數中誰與誰之間有約數和倍數的關系？

五、課堂小結

1、數的整除是在自然數范圍內討論的．

2、兩個數之間，一旦具備整除關系，那么這兩個數之間必定還具有約數、倍數的關系．所以，整除是前提，倍數、約數是在這個前提下必然產生的一種結果．

六、布置作業

1、下面的說法對嗎？說出理由．

（1）因為36÷9＝4，所以36是倍數，9是約數．

（2）57是3的倍數．

（3）1是1、2、3、4、5，??的約數．

2、一個數是42的約數，同時又是3的倍數．這個數可以是多少？

七、板書設計 數的整除

整數a除以整數b（b≠0），除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a）

如果數a能被數b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或因數）．

探究活動 把數分類 活動目的

1、使學生掌握奇數、偶數、約數、倍數的交叉關系和區別．

2、幫助學生建立完整的知識結構． 活動題目

桌上有20張卡片，在這些卡片上分別寫著1，2，3，?19，20這20個數．請將這20個數加以分類． 活動過程

1、學生以小組為單位討論．

2、匯報討論結果．

3、交流收獲． 參考答案

要把這20個數分類，首先確定分類標準，不同的標準有不同的分類方法．

1、根據數的奇偶性分類．

奇數：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19

偶數：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20

2、根據數的位數分類．

一位數：1，2，3，4，5，6，7，8，9

兩位數：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

3、根據是否大于8分類．

大于8：9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

不大于8：1，2，3，4，5，6，7，8

4、根據約數個數的多少分類．

一個約數：1

兩個約數：2，3，5，7，11，13，17，19

兩個以上約數：4，6，8，9，10，12，14，15，16

5、根據約數的個數是否是奇數分類．

約數的個數是奇數：1，4，9，16

約數的個數是偶數：2，3，5，6，7，8，10，11，12，13，14，15，17，18，19，20

第四篇：數的整除反思

“數的整除”教學反思

東于中心校水屯營小學校

劉瑞紅

在“數的整除”這部分內容中，雖然學生已經學過，但數的整除都是一些純數學的概念，掌握的情況并不是很理想，針對這種情況，我是先讓學生在課前預習，讓他們對整除中的概念有一個溫習的過程，接著在課堂上在通過老師的引導，讓學生系統、全面地把所有的概念結合起來，用圖例來讓學生認識每一個概念的由來，與其他概念的結合點，最后通過練習進一步加深理解。

在今天的課堂上，出現了很多的問題：

第一，每一概念的出現都是教師硬塞給學生的。課后我也反思了，為什么會這樣呢？我覺得問題還是出在我的設計上，如：公倍數出現，教師讓學生去找兩個數的倍數，然后提出把兩個集合圖并起來，再得出什么是公倍數，什么是公約數。在這過程中，老師是讓學生做什么，學生就去做什么，學生的自主意識完全沒了，學生也不知道為什么要這樣做，做了之后會得到什么。我想，在我今后的復習課中，應盡量避免這樣的情況再次出現，第二，每個概念之間的銜接不恰當，導致學生的思維比較亂。解析：概念多，如：在教學完能被2、3、5整除數的特征后，我是想通過38÷2＝19，讓學生通過說，38是2的倍數，2是38的約數，從而引出倍數和約數的概念，但為了讓學生理解2的倍數，就是能被2整除的數的特征，再次提到能被2整除的數。再如，如何讓學生系統地認識“倍數——公數數——最小公倍數，約數——公約數——最大公約數”這兩組概念間的關系。第三，課堂效率并不高，解析：概念聯系性強，如：有關約數，可以根據約數的個數可將自然數分成1、質數和合數，同時為了方便，我們可以將合數進行分解質因數，分解后每個因數就是這個合數的質因數，這個質因數一定是個質數，這一連串的關系比較抽象。

另外，在這堂課中的唯一收獲，就是總結，在總結中，我是與學生連說每個概念，邊把概念與概念之間的聯系線板書出來。要這個總結中，才達到了我最后的教學目標，把所有的概念系統化了，讓學生全面地認識知識。

改進：學生課前預習，課堂中讓學生先說說每個概念及意義，再集體整理。

第五篇：數的整除教學設計

數的整除教學設計

數的整除教學設計1

教學內容：

能被3整除的數的特征(《現代小學數學》第八冊)．

教學目標：

1．使學生掌握能被3整除的數的特征，并能運用特征進行正確的判斷；

2．培養學生的觀察分析能力和邏輯思維能力；

教學重點：

認識并掌握能被3整除的數的特征．

教學難點：

通過概括能被3整除的數的特征掌握一定的數學思想和方法．

教具學具：

投影片、紙黑板、數字卡、作業紙

教學過程：

一、復檢：

1．前面找們已經學習了能被2、5整除的數的特征，誰來分別說一說？

2．你能說出幾個能被3整除的數嗎？(板書其中兩個45、234)

3．能被3整除的數有什么特征呢？這就是我們今天要研究的內容．(板書課題)

二、新授：

1．質疑引入

剛才同學們口算驗證了234能被3整除，老師根據這個數可以寫出許多個能被3整除的數(板書243、324、342、423、432、20xx、…)．你們想知道老師有什么竅門嗎？下面我們一起來研究．

2．引導觀察

(1)9能被3整除嗎？ 3|9

9的'2倍能被3整除嗎？ 板書 3|(9×2)

9的3倍能被3整除嗎？ 3|(9×3)

由此，你想到了什么？ 貼紙黑板 (9的倍數都能被3整除)①

(2)9與18的和能被3整除嗎？ 3|(9＋18)

18與27的和能被3整除嗎？ 板書 3|(18＋27)

36與90的和能被3整除嗎？ 3|(36＋90) 由此，你又想到了什么？貼紙黑板

(每個加數能被3整除，它們的和也能被3整除)②

(3)下面研究整十、整百數與9的關系．

由此，你推想到了什么？

(幾十=幾個9＋幾) (幾百=幾十幾個9＋幾)③

(4)小結：

通過以上研究，我們已經知道：

(9的倍數都能被3整除) ①

(每個加數能被3整除，它們的和也能被3整除) ②

(幾十=幾個9＋幾) (幾百=幾十幾個9＋幾) ③

3．下面我們就利用以上三條結論來研究能被3整除的數有什么特征．

P26[例4]

(1)45=40＋5=9×4＋4＋5

說明什么？板書：3|45

(2)234=200＋30＋4=9×22＋9×3＋2＋3＋4

說明什么？板書：3|234

(3)小組合作對78和492進行如上分析，并認真觀察、討論，概括出能被3整除的數有什么特征．

(4)匯報交流：

出示：(一個數各個數位上數的和能被3整除，這個數就能被3整除．)

4．驗證結論：請你隨便說一個數，用上面結論進行驗證．

5．看書：今天我們學習的是第26頁和27頁的內容，請你看書并默記結論．

6．釋疑：現在你是否也能像老師一樣根據一個能被3整除的數而說出一串能被3整除的數來？

三、練習：

1．基本練習

下面各數能否被3整除？為什么？

89 111 132 157 480

2．發散練習

在下面每個數的□里填上一個數字，使它能被3整除，各有幾種填法？

32□4 8□14 635□ 74□05

3．能力練習

判斷下面的多位數能否被3整除，并說說你有什么好辦法？

12345678987654321

4．綜合練習

5．接龍游戲：

每小組派一個人，每個人輪流說出一個能被3整除的三位數，后一個人所說的三位數必須以前一個人所說的三位數的個位數字為首位數字，而且不能把前一個人所說的數倒過來說，否則判負，若重復別人說過的數也判負．

四、全課小結：

1．本節課你學到了哪些知識？

2．能被3整除的數有什么特征？

數的整除教學設計2

一、教學內容：

九年義務教育人教版第十冊54頁“能被2、5整除的數”及相關內容。

二、教學目標：

1、掌握能被2、5整除的數的特征，能正確地判斷一個數能否被2或5整除。

2、認識奇數和偶數，能判斷一個自然數是奇數還是偶數。

3、研究被2、5整除的數的特征的方法

三、教學重點：

掌握能被2、5整除的數的特征，偶數及奇數。

四、教學難點：

正確地判斷一個數能否被2或5整除。

五、教學用具：

多媒體

六、教學過程

（一）創設情景 預設伏筆

師：我聽說四年四班的同學們很聰明，特別能發現問題和解決問題，因此我想和四年四班的同學們交個朋友，我們在這里共同上一節數學課，同學們歡迎不歡迎？

生：……

師：好，現在我們是朋友了，自我介紹一下，我姓吉，同學們叫我吉老師好了。我希望同學們在課堂上充分展示自己的才華，讓大家認識你，在課堂上，看誰表現的最好，看誰發現的問題最多，看誰回答問題最響亮，好不好？

生：……

師：下面我們做一個游戲，同學們會報數嗎？

生：……

師：好，現在我們從第一排這位同學開始報數，第一排最后一位同學報完后，第二排的第一位同學要接著第一排最后一位同學的數接著往下報，第二排最后一位同學報完后，第三排的第一位同學要接著第二排最后一位同學的數接著往下報，這樣一直報到最后，聽懂了嗎？

生：……

師：別的同學報數的時候其他同學要注意聽，并且要記住自己的號碼?，F在聽我口令：報數！

生：……

師：同學們真聰明一遍就報對了。（如果沒有報對在來一遍，直到報對為止）你們記住自己的號碼了嗎？

生：……

師；我們把1、3、5、7、9、……這樣的號叫做單號，那么象2、4、6、8、10、……這樣的號叫做什么號？

生：……

師：對，那么你們能不能記住自己是單號還是雙號？

生：……

師：好，請數單號的同學站起來。請站起來的同學說一說自己是多少號？（看同學們有沒有站錯的）。

生：……

師：不錯，都站對了，請坐，請數雙號的同學站起來。請站起來的同學說一說自己是多少號？

生：……

師：同學們都站對了，請坐。通過游戲說明同學們思維敏捷、頭腦靈活、動作迅速。游戲就作到這里。上課！

生：……

（二）復習舊知 導入新課

師：同學們好！請坐！同學們學過整除嗎？誰能說說什么叫整除？

生：……

師：說的真好，你真聰明！請坐！誰還能說？

生：……

師：你說的也不錯！（你比他說的還完整，）請坐！我們既然已經學會了什么是整除，我們共同做幾道題好不好？

師：請看大屏幕：（注意提示要用口算，不能用筆算）

【屏幕出示】

1、你能很快地判斷出下列各數哪些能被2整除嗎？為什么？

48 10 13 25 14 18 120

生：……

師：你們跟他的答案一樣嗎？你們是用什么方法判斷的？

生：……

師：大家都是用學過的知識判斷出了哪些數能被2整除。

（三）巧設懸念 激情引入

師：看見大家這么快地判斷出這些數能不能被2整除，老師想跟大家比一比看誰判斷的更快更準好嗎？

生：……

師：老師說“開始”就開始說“停”就停，請看大屏幕：

【屏幕出示】

20xx 12706 549858 49875 14922

師：開始！停！你們判斷出這些數能不能被2整除來了嗎？

生：……

師：誰能說一說你是怎樣判斷出來的？

生：……

師：同學們真聰明，知道雙數都能被2整除，現在我們來做一個游戲，你們報數，不管是幾位數，越大越好，老師不但能很快判斷它能不能2整除，還能判斷出它能不能被5整除，同時還能判斷出它能不能被2和5同時整除，不信你們試試看。誰來報？

（生報數，老師答，學生計算器驗證）

師：老師答的對不對？

生：……

師：老師聰明嗎？

生：……

師：剛才老師對大家所報的數之所以能很快地做出判斷，并不是老師比你們聰明，而是因為老師掌握了能被2、5整除的數的特征，你們想不想知道這個特征呢？

生：……

師：好！下面我們就一起來探討能被2、5整除的數的特征。（板書課題）

教學能被2整除數的特征

師：請看大屏幕，很快地說出得數：

【屏幕出示】

2 × 0 ＝

2 × 10 ＝ 2 × 100 ＝

2 × 1 ＝ 2 × 11 ＝ 2 × 101 ＝

2 × 2 ＝ 2 × 12 ＝ 2 × 102 ＝

2 × 3 ＝ 2 × 13 ＝ 2 × 103 ＝

2 × 4 ＝ 2 × 14 ＝ 2 × 104 ＝

2 × 5 ＝ 2 × 15 ＝ 2 × 105 ＝

2 × 6 ＝ 2 × 16 ＝ 2 × 106 ＝

2 × 7 ＝ 2 × 17 ＝ 2 × 107 ＝

2 × 8 ＝ 2 × 18 ＝ 2 × 108 ＝

2 × 9 ＝ 2 × 19 ＝ 2 × 109 ＝

……

師：誰來回答？

生：……

【屏幕出示答案】

師：觀察3組算式，每組第一個因數 都是和幾位數想乘？

生：……

師：3組算式的因數和積，什么沒變？什么變了？

生：……

師：對，第一個因數都是2沒有變，第二個因數變了，任意拿出一個算式：

2×8是表示把2擴大幾倍？

生：……

師：2×103表示什么？

生：……

師：這些積都表示把擴大了多少倍，這些積都能被2整除嗎？為什么？

生：……

師： 觀察這些能被2整除的數，你發現了什么？

四人小組討論。

生：匯報……

(學生如果回答不出這些數的個位是0、2、4、6、8教師要引導：這些數的個位上有什么特征？)

師：你能歸納出能被2整除的數的特征嗎？

生：……

板書：個位上是0、2、4、6、8的數都能被2整除。（生齊讀）

小結：以前我們用乘法口訣或者用除以2通過計算的方法來判斷一個數能不能被2整除，以后判斷一個數能否被2整除，不用計算，根據它的特征來判斷就可以了?？匆粋€數能不能被2整除，只要個位上的數能被2整除，這個數就能被2整除。

師：我們把能被2整除的數叫做偶數（也就是我們所說的雙數），不能被2整除的數叫奇數（也就是我們所說的單數）（板書：能被2整除的數叫偶數，不能被2整除的數叫奇數。）那么自然數按能不能被2整除可以分為兩大類：

偶數0、2、4、6、8、……

自然數

奇數1、3、5、7、9、……

師：默讀一遍。背誦下來。

生：……

師：舉例說明什么叫偶數？什么叫奇數？

生：……

師：討論一下0能不能被2整除？為什么？

生：……

師：還記得我們課前做報數游戲時你的號碼嗎？

生：……

師：同學們記性真好，聽我口令，請是奇數號碼的同學站起來，請是偶數號碼的同學站起來，請不能被2整除的號碼的同學坐下，坐下的同學你

們的號碼是奇數還是偶數？

生：……

師：剩下的同學你們的號碼都能被2整除嗎？你們的號碼是什么數？

生：……

師：請報一下你們號碼的個位上的數字。

生：……

師：你們號碼個位上的數是0、2、4、6、8說明你們都是2的倍數，都是偶數，都能被2整除。

（四）自主探究 合作交流

教學能被5整除數的特征：

師：通過同學們的努力我們掌握了能被2整除數的.特征，猜一猜，能被5整除的數有沒有特征？

生：……

師：想不想驗證一下你們的猜想正確嗎？可參照我們學習能被2整除數的特征的方法或自己想辦法解決都可以。四人小組討論學習開始。

生：四人小組討論學習

師：討論出結果了嗎？哪個小組先來匯報？

生：匯報……

師：你們真不簡單，通過自學找出了能被5整除數的特征。

板書：個

位上是0或者5的數能被5整除。

小結：看一個數能不能被5整除，只要看個位能不能被5整除，如果這個數的個位的數是0或5這個數就能被5整除了。

師：我們已經知道了能被2或5整除的數的特征，下面我們來做一道題。

【屏幕出示】

2、下面哪些數能被2整除？哪些數能被5整除？

32 74 95 183 215 360 2100 102

生：……

師：我們還來做報數游戲，能被2整除的號碼的同學站起來，請坐。能被5整除的號碼的同學站起來，請坐。同時站兩次的同學站起來，你們是什么號？個位是什么數字？

生：……

師：對，你們的號碼是10、20、30、40、50 你們既是2的倍數同時也是5的倍數，同學們能得出什么結論呢？

生：……

師：我們可不可以把“既能……又能……”換成“同時”兩個字？

生：……

師：誰能說一說？

生：……

師：了不起！同學們又找出了同時能被2、5整除的數的特征！請同學們一起說一遍！

數的整除教學設計3

教學目標

1、使學生理解自然數與整數的意義．

2、使學生掌握整除、約數與倍數的概念．

3、培養學生抽象概括與觀察物的能力．

教學過程

一、建議自然數與整數的概念

1、談話引入：今天這節課，我們學習數的整除．（板書課題）

2、教師提問：既然是數的整除，自然就與數有關，同學們都學過什么數？

（教師板書：整數、小數、分數）

同學們會數數吧？（學生數數）

（教師板書：1、2、3、4、5、）

繼續數下去，能數到頭嗎？

數不到頭，我們可以用一個什么標點符號來表示呢？

（教師板書：“……”）

3、教師小結：

用來表示物體個數的1、2、3、4、5等等，叫做自然數．（板書：自然數）

提問：最小的自然數是幾？有最大的自然數嗎？

當一個物體也沒有時，我們用幾來表示？（板書：0）

二、建立整除的概念

1、教師明確：數的整除，不僅與數有關，還與除有關，一說到除，在家就會想到兩個數相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是兩個數相除，但是在小學階段，我們研究整除不包括“0”．

2、出示卡片 1.2÷4

提問：在數的整除中研究這樣的兩個數相除嗎？為什么？

3、再出示卡片：10÷20，16÷5，15÷3，36÷9，24÷2

提問：這幾個式子中的被除數和除數都是什么數？

教師明確：被除數和除數都是自然數，這是我們研究數的整除的一個非常重要的條件．

4、教師說明：被除數和除數都是自然數，如：10÷20，我們能不能說10能被20整除呢？還不能，還要看它的商．

組織學生口算出5張卡片的商．（其中16÷5指定回答“商幾余幾”）

提問：被除數和除數都是自然數，商可能有哪幾種情況？

排除沒有整除關系的卡片，指15÷3=5一類的卡片，說明：只有這樣的，我們才能說15能被3整除．

5、學生舉例

6、提問：用字母a表示這樣的被除數，用b表示這樣的除數，商怎么樣，我們就說a能被b整除呢？

這樣看來，整除除了被除數和除數都是自然數外，還得有一個什么條件？

教師明確：商是自然數，沒有余數是整除的又一個重要的條件．

7、出示卡片（區別整除和除盡）

4÷3=1.3 18÷18=1 7÷5=1.4

4÷0.2=20 42÷6=7

三、建立約數與倍數的概念

1、教師說明：當數a能被數b整除時，a就是b的倍數；b就是a的約數．

2、聯想訓練：教師說一句由學生說出另外兩句．

如：教師：15能被3整除（生：15是3的倍數，3是15的約數）

教師：36是9的倍數（生：36能被9整除，9是36的約）

教師：2是24的約數 (生：24能被2整除, 24是2的倍數)

教師：7不能被4整除(生：7不是4的倍數,4又不是7的約數)

3、區分“倍數”與“幾倍”

教師提問：能說4是0.2的倍數嗎?為什么?

4、判斷

12是3的倍數 ( ) 7是21的約數 ( )

1是25的約數 ( ) 3.6是3的倍數 ( )

4是約數 ( ) （說明：通過此題，深化倍數、約數相互依存的關系）

四、鞏固練習

思考題：1，3，6，9，12這幾個數中誰與誰之間有約數和倍數的關系？

五、課堂小結

1、數的整除是在自然數范圍內討論的.．

2、兩個數之間，一旦具備整除關系，那么這兩個數之間必定還具有約數、倍數的關系．所以，整除是前提，倍數、約數是在這個前提下必然產生的一種結果．

六、布置作業

1、下面的說法對嗎？說出理由．

（1）因為36÷9＝4，所以36是倍數，9是約數．

（2）57是3的倍數．

（3）1是1、2、3、4、5，……的約數．

2、一個數是42的約數，同時又是3的倍數．這個數可以是多少？

七、板書設計

數的整除

整數a除以整數b（b≠0），除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a）

如果數a能被數b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數， b就叫做a的約數（或因數）．

探究活動

把數分類

活動目的

1、使學生掌握奇數、偶數、約數、倍數的交叉關系和區別．

2、幫助學生建立完整的知識結構．

活動題目

桌上有20張卡片，在這些卡片上分別寫著1，2，3，…19，20這20個數．請將這20個數加以分類．

活動過程

1、學生以小組為單位討論．

2、匯報討論結果．

3、交流收獲．

參考答案

要把這20個數分類，首先確定分類標準，不同的標準有不同的分類方法．

1、根據數的奇偶性分類．

奇數：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19

偶數：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20

2、根據數的位數分類．

一位數：1，2，3，4，5，6，7，8，9

兩位數：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

3、根據是否大于8分類．

大于8：9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

不大于8：1，2，3，4，5，6，7，8

4、根據約數個數的多少分類．

一個約數：1

兩個約數：2，3，5，7，11，13，17，19

兩個以上約數：4，6，8，9，10，12，14，15，16

5、根據約數的個數是否是奇數分類．

約數的個數是奇數：1，4，9，16

約數的個數是偶數：2，3，5，6，7，8，10，11，12，13，14，15，17，18，19，20

數的整除