第一篇：初中數學競賽之數的整除教案

二． 數的整除

設有兩個整數a,b(b?0)，如果存在另一整數q，使得a?qb，則稱a能被b整除；或稱b能整除a；

b

若b能被a整除，我們稱a是b的倍數，b是a的約數，并記作b|a.若a不能被b整除，則記作a?我們曾學過下述有關整除的判別法則：

（1）被2或被5整除的數的特征是：末位數字能被2或5整除（2）被4或25整除的數的特征是：最后兩位數字能被4或25整除（3）被8或125整除的數的 特征是：最后三位數字能被8或125整除（4）被3或9整除的數的特征是：各位上的數的和能被3或9整除

（5）被11整除的數的特征是：奇數位數字和與偶數位數字和的差能被11整除 1.判斷下列各數那些可以被4整除？那些可以被25整除？

457565

456575

184062

186240

333325436 2.789789、456456456456、67896789、***819能被11整除嗎？

在解題過程中我們常用到下述性質 性質1 若ab，bc，則ac.證明：a|b,b|c

?存在正整數p和q，使得b?pa，c?qb

代入可得c?q(pa)?(qp)a

?a|c

性質2 若證明：a|b,a|c，則a|(b?c)

a|b,a|c

? 存在正整數p和q，使得b?pa，c?qa ? b?c?pa?qa?(p?q)a

? a|(b?c)

同理我們可以得到：若a|b,a|c，則a|(k1b?k2c)，其中k1,k2為整數 性質3 若a,b互質，且abc，則a|c 性質4 若a,b互質，且 a|c,b|c，則ab|c 例1.已知九位數32a35717b能被72整除，求a,b

提示：能被72整除則一定既能被8整除又能被9整除

練習1： 已知七位數13xy45z能被792整除，求x,y,z

例2.|9x?5y）已知7|(13x?8y)，證明：7（證明：因為9x?5y?5(13x?8y)?7(8x?5y)又又 7|(13x?8y)，? 7|5(13x?8y)

7|(8x?5y)

?7|[5(13x?8y)?7(8x?5y)]

|9x?5y）即7（注：對于“已知式子A能被數p 整除求證式B能被p”類題目，其思路為：將B表示成被7整除的代數式的形式即可；比如此題，就可以將B表示為：B?k1A?7C（其中C為含字母x、y的整式）的形式。其問題在于如何找出k2和C，我們可以采取以下方法：

我們不妨假設9x?5y?k1(13x?8y)?7(k2x?k3y)

我們知道對任意的x,y 等式左右兩邊恒等，所以化簡成Mx?Ny?0的形式后各系數為零 可得：k2??13k1?95?8k1，k3?

由于k2,k3都是整數，所以簡單試驗可得：

k1?5,k2??8,k3??5

進而得到：9x?5y?5(13x?8y)?7(?8x?5y)

|9x?y5）?y8 嗎？)

思考：反過來，已知7（，你能證明7|(1x3練習2：已知x,y為整數，17|(2a?3b)，證明：17|(9a?5b)

練習3 已知x,y為整數，且5|(x?9y)，證明：5|(8x?7y)

練習4 已知a,b,c,d,m,n為整數，n|(ma?b)且n|(mc?d)，證明：n|(ad?bc)

第二篇：數的整除教案

1、使學生理解自然數與整數的意義．

2、使學生掌握整除、約數與倍數的概念．

3、培養學生抽象概括與觀察物的能力． 教學過程

一、建議自然數與整數的概念

1、談話引入：今天這節課，我們學習數的整除．（板書課題）

2、教師提問：既然是數的整除，自然就與數有關，同學們都學過什么數？

（教師板書：整數、小數、分數）

同學們會數數吧？（學生數數）

（教師板書：1、2、3、4、5、）

繼續數下去，能數到頭嗎？

數不到頭，我們可以用一個什么標點符號來表示呢？

（教師板書：“??”）

3、教師小結：

用來表示物體個數的1、2、3、4、5等等，叫做自然數．（板書：自然數）

提問：最小的自然數是幾？有最大的自然數嗎？

當一個物體也沒有時，我們用幾來表示？（板書：0）

二、建立整除的概念

1、教師明確：數的整除，不僅與數有關，還與除有關，一說到除，在家就會想到兩個數相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是兩個數相除，但是在小學階段，我們研究整除不包括“0”．

2、出示卡片 1.2÷4

提問：在數的整除中研究這樣的兩個數相除嗎？為什么？

3、再出示卡片：10÷20，16÷5，15÷3，36÷9，24÷2

提問：這幾個式子中的被除數和除數都是什么數？

教師明確：被除數和除數都是自然數，這是我們研究數的整除的一個非常重要的條件．

4、教師說明：被除數和除數都是自然數，如：10÷20，我們能不能說10能被20整除呢？還不能，還要看它的商．

組織學生口算出5張卡片的商．（其中16÷5指定回答“商幾余幾”）

提問：被除數和除數都是自然數，商可能有哪幾種情況？

排除沒有整除關系的卡片，指15÷3=5一類的卡片，說明：只有這樣的，我們才能說15能被3整除．

5、學生舉例

6、提問：用字母a表示這樣的被除數，用b表示這樣的除數，商怎么樣，我們就說a能被b整除呢？

這樣看來，整除除了被除數和除數都是自然數外，還得有一個什么條件？

教師明確：商是自然數，沒有余數是整除的又一個重要的條件．

7、出示卡片（區別整除和除盡）

4÷3=1.3 18÷18=1 7÷5=1.4

4÷0.2=20 42÷6=7

三、建立約數與倍數的概念

1、教師說明：當數a能被數b整除時，a就是b的倍數；b就是a的約數．

2、聯想訓練：教師說一句由學生說出另外兩句．

如：教師：15能被3整除（生：15是3的倍數，3是15的約數）

教師：36是9的倍數（生：36能被9整除，9是36的約）

教師：2是24的約數(生：24能被2整除, 24是2的倍數)

教師：7不能被4整除(生：7不是4的倍數,4又不是7的約數)

3、區分“倍數”與“幾倍”

教師提問：能說4是0.2的倍數嗎?為什么?

4、判斷

12是3的倍數()7是21的約數()

1是25的約數()3.6是3的倍數()

4是約數()（說明：通過此題，深化倍數、約數相互依存的關系）

四、鞏固練習

思考題：1，3，6，9，12這幾個數中誰與誰之間有約數和倍數的關系？

五、課堂小結

1、數的整除是在自然數范圍內討論的．

2、兩個數之間，一旦具備整除關系，那么這兩個數之間必定還具有約數、倍數的關系．所以，整除是前提，倍數、約數是在這個前提下必然產生的一種結果．

六、布置作業

1、下面的說法對嗎？說出理由．

（1）因為36÷9＝4，所以36是倍數，9是約數．

（2）57是3的倍數．

（3）1是1、2、3、4、5，??的約數．

2、一個數是42的約數，同時又是3的倍數．這個數可以是多少？

七、板書設計 數的整除

整數a除以整數b（b≠0），除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a）

如果數a能被數b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數（或因數）．

探究活動 把數分類 活動目的

1、使學生掌握奇數、偶數、約數、倍數的交叉關系和區別．

2、幫助學生建立完整的知識結構． 活動題目

桌上有20張卡片，在這些卡片上分別寫著1，2，3，?19，20這20個數．請將這20個數加以分類． 活動過程

1、學生以小組為單位討論．

2、匯報討論結果．

3、交流收獲． 參考答案

要把這20個數分類，首先確定分類標準，不同的標準有不同的分類方法．

1、根據數的奇偶性分類．

奇數：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19

偶數：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20

2、根據數的位數分類．

一位數：1，2，3，4，5，6，7，8，9

兩位數：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

3、根據是否大于8分類．

大于8：9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

不大于8：1，2，3，4，5，6，7，8

4、根據約數個數的多少分類．

一個約數：1

兩個約數：2，3，5，7，11，13，17，19

兩個以上約數：4，6，8，9，10，12，14，15，16

5、根據約數的個數是否是奇數分類．

約數的個數是奇數：1，4，9，16

約數的個數是偶數：2，3，5，6，7，8，10，11，12，13，14，15，17，18，19，20

第三篇：被9整除的數教案

“創造”的教與學——《能被9整除數的特征》教學案例

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義務教育階段的數學課程，不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學的理解，增進學好數學的信心。

學習數學的唯一正確方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。

一、“創造”的教 數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。

教材中對于“能被3整除數的特征”的歸納是通過找余數與這個數數位上的數字之間的關系來進行總結的，而任意一個自然數除以3只有余數0、1、2這三種情況。在教學過程中，學生很難通過余數發現與自然數的數位上數字的關系。因此，教師想到了如果先研究“能被9整除數的特征”的特征呢？任意一個自然數除以9有余數0、1、2、……6、7、8九種情況，與所研究的自然數的數位上的數字更容易建立關系，有利于學生的觀察與理解。

雖然“能被9整除的數的特征”是教材中沒有涉及的部分，但是卻能很好的幫助學生通過借助能被9整除數的特征，以及3和9之間的關系，去理解能被3整除數的特征。分散了知識點的難度，同時也滲透了知識間的內在聯系。

二、“創造”的學

《新課程標準》提出：“動手實踐，自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。數學學習活動應是一個活潑的、主動的和富有個性的過程”。這一理念不僅告訴我們創新意識和實踐能力緊密想隨，而且要使學生的探索經歷和獲取新發現的體驗成為數學學習的重要途徑。1．

設“井”激趣數學的學習方式不能再是單一的、枯燥的，以被動聽講和練習為主的方式，它應該是一個充滿生命力的過程。【片斷一】出示：87602860、51001758、65064345、85992639師：老師這里有幾位同學家的電話號碼。問：每個電話號碼都是一個八位數，這四個數中哪些能被2整除？你怎么判斷的？哪些能被5整除？判斷的依據是什么？ 生答：87602860、51001758能被2整除，個位上是0、2、4、6、8的數能被2整除；87602860、65064345這兩個數能被5整除，個位上是0或5的數能被5整除。問：哪些數能被9整除呢？你有什么辦法嗎？生：① 看個位，認為85992639能被9整除。②

算，可以口算、筆算，大數目可以用計算器幫助。③ 各數位上的數字和能否被9整除

師：同學們說了這么多種發法，那就用你們想到的方法來找找看哪些數能被9整除。生：對這四個數進行驗證，得出51001758能被9整除。

交流想法：能被9整除的數看個位是不成立的，85992639不能被9整除；如果身邊沒有計算工具，算起來很不方便；如果各數位上的數字和能被9整除，這個數就能被9整除。這個方法比較好，很快捷。生質疑：看“各數位上的數字和能否被9整除”這個方法對于每個數都成立成立嗎？為什么成立呢？ 在課上，同學們受“能被2或5整除數的特征”經驗的影響，在驗證、討論的過程中，許多不正確的結論被一一否定，而只留下把“各數位上的數字相加求和，看和與9的關系”的方法。這個方法學生們找不到反例，但又迫切的想了解為什么？這樣不僅抑制了前面所學知識的負遷移，同時又激發學生的學習欲望。當學生意識到了“各數位上的數字相加求和，看和與9的關系”這個方法時，發現、解決問題的過程就有了目標，為最終問題的解決提供一個可能的方向。創設問題情境，把靜態的知識結論轉化為動態的探索對象，使學生在經歷類似于數學家的探索創造過程中，激發探索意識，養成探索習慣，提高再創造的能力。2． 追根溯源

“學習任何知識的最佳途徑是有學生自己去發現。因為這種發現，理解最深，也最容易掌握其中的內在規律聯系。”

讓學生自己去體驗，用自己的思維方式去探究，這就是一個再創造的過程。如果離開了學生的學習活動，學生的發展就會落空。

判斷一個數能否被9整除，不能只從一個數的某一位上的數來判斷，必須把這個數各個數位上的數相加求和，如果和能被9整除，這個數就能被9整除。這一結論與能被2、5整除的數的特征相比而言不容易被發現，不容易理解。因此，就把重點放在了“說理”上，不僅要使學生知其然，還要使他們知其所以然。在分析推理能被9整除的數的特征的過程中，充分重視學生的年齡、心理特點，利用他們已有的知識基礎，分層次逐步進行研究。【片斷二】⑴先引領學生集體先對整十數和整百數進行分析，找出整十數與

9、整百數與99的關系，作為認識任意自然數能否被9整除數的特征的基礎和突破口；問：10能被9整除嗎？你怎么知道的？20、30呢？答：10÷9＝1…1，所以10不能被9整除，可以把10寫成10=9×1+1。20÷9＝2…2，所以20不能被9整除，可以把20寫成20=9×2+2。30÷9＝3…3，所以30不能被9整除，可以把30寫成30=9×3+3。生發現：①整十數都可以寫成9乘幾加幾的形式。

②余數正好是整十數十位上的數。問：那判斷整十數能否被9整除有更簡單的方法嗎？答：直接看整十數十位上的數字。過渡：整十數能否被9整除的我們會了，那整百數呢？ 問：100能被9整除嗎？2000呢? 你又發現了什么？答：100不能被9整除，因為100÷9＝11…1，所以100去掉1個99還余1。100可以寫成99×1+1。200不能被9整除，因為200÷9＝22…2，所以200去掉2個99還余2。200可以寫成99×2+2。發現：余數與整百數百位上的數字相同。問：要很快的判斷出整百數能被否被9整除看什么？生：看整百數的百位就可以了。⑵再小組合作把幾百幾十的數變成幾個百、幾個十的組合形式，與9和99建立聯系，分散難點，初步歸納能被9整除數的特征；問：100能被9整除嗎？80能被9整除嗎？180呢？你能用前面的知識，小組合作研究為什么嗎？小組探究：因為，180 100＝99×1 + 1 80＝ 9×8 + 8

能被9整除 1+8＝9 能被9整除

所以，180能被9整除。

發現：余數和與這個數的數位上的數字和是相同的，所以可以看這個數的數位上的數字和。⑶最后當學生發現這種暗含的關系后，他們可以把任意一個自然數變成由幾個百、幾個

十、幾個一的組合形式，與9和99建立聯系，重視學生從具體到抽象，從一般中概括推力出結論的能力的培養。問：這有一個三位數216，你能馬上判斷出它能被9整除嗎？怎么判斷的？答：能。2+1+6=9能被9整除，216能被9整除。通過觀察拆分之后的余數，學生發現余數和與所給數的數位上的數字和相同，所以可以直接看所給數的各個數位上的數字和能否被9整除。在這節課結束的時候，學生根據自己的理解、用自己的語言歸納出了“能被9整除的數的特征”。

課上學生有了充分的從事數學活動的時間和空間，在自主探索、親身實踐、合作交流的氛圍中，解除困惑，更清楚的明確自己的思想，并有機會分享自己和他人的想法，在親身體驗和探索中認識數學，解決問題，理解和掌握基本的數學知識、技能和方法。在合作交流、與人分享和獨立思考的氛圍中，傾聽、質疑、說明、推廣而直至感到豁然開朗。

第四篇：初一數學 數的整除性_答案

專題02

數的整除性

例1

267

提示：333－66＝267．

例2

C

提示：關于②的證明：對于a，b若至少有一個是3的倍數，則ab是3的倍數．若a，b都不是3的倍數，則有：(1)當a＝3m＋1，b＝3n＋1時，a－b＝3(m－n)；(2)當a＝3m＋1，b＝3n＋2時，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)當a＝3m＋2，b＝3n＋1時，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)當a＝3m＋2，b＝3n＋2時，a－b＝3(m－n).例3

a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．

例4

設x，y，z，t是整數，并且假設5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)

＋13(ya＋zb＋tc).比較上式a，b，c的系數，應當有，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，則有13

(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，則5a＋7b－22c就能被13整除．

例5

考慮到“魔術數”均為7的倍數，又a1，a2，…，an互不相等，不妨設a1

＜a2＜…＜an，余數必為1，2，3，4，5，6，0，設ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一個為m的“魔術數”，因為ai·10k＋m(k是m的位數)，是7的倍數，當i≤b時，而ai·t除以7的余數都是0，1，2，3，4，5，6中的6個；當i＝7時，而ai·10k除以7的余數都是0，1，2，3，4，5，6這7個數字循環出現，當i＝7時，依抽屜原理，ai·10k與m二者余數的和至少有一個是7，此時ai·10k＋m被7整除，即n＝7．

例6

(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)

(2)a1000＝13＋999＝1

012．

(3)n被4除余數為0或1．

A級

1．1

2．3

143

3．39

798

4．A

5．C

6．B

7．五位數＝10×＋e.又∵為4的倍數．故最值為1

000，又因為為9的倍數．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值為

008.8．324

561提示：d＋f－e是11的倍數，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19

提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后兩個數為8，4．

B級

1．2

521

a＝2

520n＋1(n∈N＋)

2．57

3．719

895提示：這個數能被33整除，故也能被3整除．于是，各位數字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．

4．B

5．B

6．A提示：兩兩差能被n整除，n＝179，m＝164．

7．由題意得＋＋＋＋＝3

194，兩邊加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋

∴222(a＋b＋c)

＝222×14＋86＋．則＋86是222的倍數．

且a＋b＋c＞14．設＋86＝222n考慮到是三位數，依次取n＝1，2，3，4.分別得出的可能值為136，358，580，802，又因為a＋b＋c＞14．故＝358．

8．設N為所求的三位“拷貝數”，它的各位數字分別為a，b，c(a，b，c不全相等)．將其數碼重新排列后，設其中最大數為，則最小數為．故N＝

－＝(100a＋10b＋c)－

(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．

可知N為99的倍數．這樣的三位數可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而這9個數中，只有954－

459＝495.故495是唯一的三位“拷貝數”．

9．設原六位數為，則6×＝，即6×(1000×＋)＝1000×＋，所以994×－5

999×，即142×＝857×，∵(142，857)＝1，∴

142|，857|，而，為三位數，∴＝142，＝857，故＝142857．

10．設這個數為，則1

000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1

999，即1

001a＋101b＋11c＋2d＝1

999，得a＝1，進而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，則11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故這個四位數是1

976．

11．當n＝4時，數1，3，5，8中沒有若干個數的和能被10整除．當n＝5時，設a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5個不同的數，若其中任意若干個數，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時出現1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一個為5，若中含1，則不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍數,矛盾.若中含9,則不含1,于是不含故含4;

不含故含3;

不含故含2;

但是是10的倍數,矛盾.綜上所述,n的最小值為5

第五篇：數的整除反思

“數的整除”教學反思

東于中心校水屯營小學校

劉瑞紅

在“數的整除”這部分內容中，雖然學生已經學過，但數的整除都是一些純數學的概念，掌握的情況并不是很理想，針對這種情況，我是先讓學生在課前預習，讓他們對整除中的概念有一個溫習的過程，接著在課堂上在通過老師的引導，讓學生系統、全面地把所有的概念結合起來，用圖例來讓學生認識每一個概念的由來，與其他概念的結合點，最后通過練習進一步加深理解。

在今天的課堂上，出現了很多的問題：

第一，每一概念的出現都是教師硬塞給學生的。課后我也反思了，為什么會這樣呢？我覺得問題還是出在我的設計上，如：公倍數出現，教師讓學生去找兩個數的倍數，然后提出把兩個集合圖并起來，再得出什么是公倍數，什么是公約數。在這過程中，老師是讓學生做什么，學生就去做什么，學生的自主意識完全沒了，學生也不知道為什么要這樣做，做了之后會得到什么。我想，在我今后的復習課中，應盡量避免這樣的情況再次出現，第二，每個概念之間的銜接不恰當，導致學生的思維比較亂。解析：概念多，如：在教學完能被2、3、5整除數的特征后，我是想通過38÷2＝19，讓學生通過說，38是2的倍數，2是38的約數，從而引出倍數和約數的概念，但為了讓學生理解2的倍數，就是能被2整除的數的特征，再次提到能被2整除的數。再如，如何讓學生系統地認識“倍數——公數數——最小公倍數，約數——公約數——最大公約數”這兩組概念間的關系。第三，課堂效率并不高，解析：概念聯系性強，如：有關約數，可以根據約數的個數可將自然數分成1、質數和合數，同時為了方便，我們可以將合數進行分解質因數，分解后每個因數就是這個合數的質因數，這個質因數一定是個質數，這一連串的關系比較抽象。

另外，在這堂課中的唯一收獲，就是總結，在總結中，我是與學生連說每個概念，邊把概念與概念之間的聯系線板書出來。要這個總結中，才達到了我最后的教學目標，把所有的概念系統化了，讓學生全面地認識知識。

改進：學生課前預習，課堂中讓學生先說說每個概念及意義，再集體整理。