專題02

數的整除性

例1

267

提示：333－66＝267．

例2

C

提示：關于②的證明：對于a，b若至少有一個是3的倍數，則ab是3的倍數．若a，b都不是3的倍數，則有：(1)當a＝3m＋1，b＝3n＋1時，a－b＝3(m－n)；(2)當a＝3m＋1，b＝3n＋2時，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)當a＝3m＋2，b＝3n＋1時，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)當a＝3m＋2，b＝3n＋2時，a－b＝3(m－n).例3

a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．

例4

設x，y，z，t是整數，并且假設5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)

＋13(ya＋zb＋tc).比較上式a，b，c的系數，應當有，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，則有13

(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，則5a＋7b－22c就能被13整除．

例5

考慮到“魔術數”均為7的倍數，又a1，a2，…，an互不相等，不妨設a1

＜a2＜…＜an，余數必為1，2，3，4，5，6，0，設ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一個為m的“魔術數”，因為ai·10k＋m(k是m的位數)，是7的倍數，當i≤b時，而ai·t除以7的余數都是0，1，2，3，4，5，6中的6個；當i＝7時，而ai·10k除以7的余數都是0，1，2，3，4，5，6這7個數字循環出現，當i＝7時，依抽屜原理，ai·10k與m二者余數的和至少有一個是7，此時ai·10k＋m被7整除，即n＝7．

例6

(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)

(2)a1000＝13＋999＝1

012．

(3)n被4除余數為0或1．

A級

1．1

2．3

143

3．39

798

4．A

5．C

6．B

7．五位數＝10×＋e.又∵為4的倍數．故最值為1

000，又因為為9的倍數．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此最小值為

008.8．324

561提示：d＋f－e是11的倍數，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19

提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后兩個數為8，4．

B級

1．2

521

a＝2

520n＋1(n∈N＋)

2．57

3．719

895提示：這個數能被33整除，故也能被3整除．于是，各位數字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．

4．B

5．B

6．A提示：兩兩差能被n整除，n＝179，m＝164．

7．由題意得＋＋＋＋＝3

194，兩邊加上．得222(a＋b＋c)＝3194＋

∴222(a＋b＋c)

＝222×14＋86＋．則＋86是222的倍數．

且a＋b＋c＞14．設＋86＝222n考慮到是三位數，依次取n＝1，2，3，4.分別得出的可能值為136，358，580，802，又因為a＋b＋c＞14．故＝358．

8．設N為所求的三位“拷貝數”，它的各位數字分別為a，b，c(a，b，c不全相等)．將其數碼重新排列后，設其中最大數為，則最小數為．故N＝

－＝(100a＋10b＋c)－

(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．

可知N為99的倍數．這樣的三位數可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而這9個數中，只有954－

459＝495.故495是唯一的三位“拷貝數”．

9．設原六位數為，則6×＝，即6×(1000×＋)＝1000×＋，所以994×－5

999×，即142×＝857×，∵(142，857)＝1，∴

142|，857|，而，為三位數，∴＝142，＝857，故＝142857．

10．設這個數為，則1

000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1

999，即1

001a＋101b＋11c＋2d＝1

999，得a＝1，進而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，則11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故這個四位數是1

976．

11．當n＝4時，數1，3，5，8中沒有若干個數的和能被10整除．當n＝5時，設a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5個不同的數，若其中任意若干個數，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時出現1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一個為5，若中含1，則不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍數,矛盾.若中含9,則不含1,于是不含故含4;

不含故含3;

不含故含2;

但是是10的倍數,矛盾.綜上所述,n的最小值為5