第一篇：(教案)從梯子的傾斜程度談起

第一章 直角三角形的邊角關系

§1.1 從梯子的傾斜程度談起

課時安排 2課時 從容說課

直角三角形中邊角之間的關系是現實世界中應用廣泛的關系之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數量關系往往歸結為直角三角形中邊與角的關系問題.本節首光從梯子的傾斜程度談起。引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下，正切是生活當中用的最多的三角函數概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發，讓學生在經歷探索直角：三角形邊角關系的過程中，理解銳角三角函數的意義，并能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，并能夠根據直角三角形的邊角關系進行計算.本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.并能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關系的計算，難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境，引出銳角三角函數的概念，使學生感受到數學與現實世界的聯系，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關注他們對概念的理解.第一課時

課 題

§ 1.1.1 從梯子的傾斜程度談起(一)教學目標

(一)教學知識點

1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.(二)能力訓練要求

1.經歷觀察、猜想等數學活動過程，發展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點.2.體驗數形之間的聯系，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.3.體會解決問題的策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神.(三)情感與價值觀要求

1.積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲.2.形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點

1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系.教學難點

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.教學方法

引導—探索法./ 8 教具準備

FLASH演示 教學過程

1.創設問題情境，引入新課

用FLASH課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現： [問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎? [問題2]隨著改革開放的深入，上海的城市建設正日新月異地發展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經過多少年的城市發展，“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應用數學知識和適當的途徑得到金茂大廈的實際高度嗎? 通過本章的學習，相信大家一定能夠解決.這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書課題§1.1從梯子的傾斜程度談起).Ⅱ.講授新課

用多媒體演示如下內容：

[師]梯子是我們日常生活中常見的物體.我們經常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的?請同學們看下圖，并回答問題(用多媒體演示)(1)在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?

[生]梯子AB比梯子EF更陡./ 8 [師]你是如何判斷的? [生]從圖中很容易發現∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我覺得是因為AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC

[師]我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個更陡，就比較困難了.能不能從第(1)問中得到什么啟示呢? [生]在第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應該越陡.[師]這位同學的想法很好，的確如此，在第(2)問的圖中，哪個梯子更陡，應該從梯子 AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.那么請同學們算一下梯子AB和EF哪一個更陡呢？

AC48??, BC1.53ED3.535??.FD1.313835∵??, 313[生]∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒體演示： 想一想

如圖，小明想通過測量B1C1：及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為，通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關系?(2)B1C1BC和22和有什么關系? AC1AC23 / 8(3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么結論? [師]我們已經知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度.下面請同學們思考上面的三個問題，再來討論小明和小亮的做法.[生]在上圖中，我們可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的.因為∠B2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根據相似的條件，得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]由圖還可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得 B2C2//B1C1，Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]相似三角形的對應邊成比例，得

B1C1AC1BCBC?,即11?22.B2C2AC2A1C1AC2 如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到Rt△B2C2A∽Rt△Rt△B1C1A，仍能得到B1C1B2C2BCBC因此，無論B2在梯子的什么位置(除A外)，11?22總成立.?AC1AC2AC1AC2 [師]也就是說無論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對邊與鄰邊的比值是不會改變的.現在如果改變∠A的大小，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎? [生]∠A的大小改變，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變.[師]你又能得出什么結論呢? [生]∠A的對邊與鄰邊的比只與∠A的大小有關系，而與它所在直角三角形的大小無關.也就是說，當直角三角形中的一個銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.[師]這位同學回答得很棒，現在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價? [生]小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因為圖中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與B1、B2在梯子上的位置無 關，即與直角三角形的大小無關.[生]但我覺得小亮的做法更實際，因為要測量B1C1的長度，需攀到梯子的最高端，危險并且復雜，而小亮只需站在地面就可以完成.[師]這位同學能將數學和實際生活緊密地聯系在一起，值得提倡.我們學習數學就是為了更好地應用數學.由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：(多媒體演示)如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即

tanA=?A的對邊.?A的鄰邊4 / 8 注意：

1.tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習慣省去角的符號“∠”.2.tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”.4.初中階段，我們只學習直角三角形中，∠A是銳角的正切.思考：1.∠B的正切如何表示?它的數學意義是什么? 2.前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖1—3，梯子的傾斜程度與tanA有關系嗎? [生]1.∠B的正切記作tanB，表示∠B的對邊與鄰邊的比值，即 tanB=?B的對邊.?B的鄰邊 2.我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度，因此，在圖1—3 中，梯子越陡，tanA的值越大；反過來，tanA的值越大，梯子越陡.[師]正切在日常生活中的應用很廣泛，例如建筑，工程技術等.正切經常用來描述山 坡的坡度、堤壩的坡度.如圖，有一山坡在 水平方向上每前進100 m，就升高60 m，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tanα就是

tanα=α603?.1005 這里要注意區分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡度.坡度越大，坡面就越陡.Ⅲ.例題講解

多媒體演示

[例1]如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?

分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tanα= ??的對邊55??.??的鄰邊12132?52 乙梯中，tanβ=??的對邊63??.??的鄰邊84因為tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值./ 8 分析：要求tanA，tanB的值，根據勾股定理先求出直角邊AC的長度.解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC==16(cm), tanA=AB2?BC2?202?122

?A的對邊BC123???，?A的鄰邊AC164?B的對邊AC164???.?B的鄰邊BC12334，tanB=.43tanB=所以tanA= Ⅳ，隨堂練習

1.如圖，△ABC 是等腰直角三角形，你能根據圖中所給 數據求出tanC嗎? 分析：要求tanC.需從圖中找到∠C所在的直角三角形，因為BD⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的對邊與鄰邊的比，即

BD的值.DC 解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，11AC＝×3＝1.5.22BD1.5 在Rt△BDC中，tanC＝ =＝1.DC1.5 ∴CD＝ 2.如圖，某人從山 腳下的點A走了200m后 到達山頂的點B，已知點 B到山腳的垂直距離為55 m，求山的坡度.(結果精確到0.001)分析：由圖可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA為山的坡度.解：根據題意：

在Rt△ABC中，AB=200 m，BC＝55 m，AC=2002?552?51479?5?38.46=192.30(m).TanA=BC55??0.286.AC192.30所以山的坡度為0.286.Ⅴ.課時小結

本節課從梯子的傾斜程度談起，經歷了探索直角三角形中的邊角關系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎，在“Rt△”中定義了tanA＝?A的對邊.?A的鄰邊6 / 8 接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問題坡度與正切的關系，了解了正切在 現實生活中是一個具有實際意義的一個很重要的概念.Ⅵ.課后作業

1.習題1.1第1、2題.2.觀察學校及附近商場的樓梯，哪個更陡.Ⅶ.活動與探究(江蘇鹽城)如圖，Rt△ABC是一防 洪堤背水坡的橫截面 圖，斜坡AB的長為 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結果保留根號)[過程]要求DB的長，需分別在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根據題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB＝12 m，則可根據勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比為1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC＝AC，可求出CD.[結果]根據題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC為等腰直角三角形.設BC=AC＝xm，則

222 x+x＝12，x=62，所以BC＝AC=62.在Rt△ADC中，tanD=

AC1?, CD1.5 即621?CD=92.CD1.5 所以DB＝CD-BC＝92-62=32(m).板書設計

§1.1.1 從梯子的傾斜程度談起(一)1.當直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.2.正切的定義：

在Rt△ABC中，銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊的比隨之確定，這個比叫做∠A的正切，記作tanA，即 tanA＝?A的對邊.?A的鄰邊注：(1)tanA的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例題講解(略)4.隨堂練習5.課時小結 備課資料 / 8 [例1](浙江沼興)若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高________米.分析：根據題意(如圖)：在Rt△ABC 中

AC：BC＝3：4，AB＝10米.設AC＝3x，BC＝4x，根據勾股定理，得(3x)+(4x)＝10，∴x＝2.∴AC＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前進10米后，所在位置比原來的位置升高6米.解：應填“6 m”.[例2](內

蒙古赤峰)菱形的兩條 對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱 形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______.分析：如圖，菱形ABCD，BD＝16，AC＝12，∠ABO＝θ，在Rt△AOB中，AO= BO=

1AC=6，21BD=8.2OA63??.tanθ=OB843 解：應填“”.4 / 8

第二篇：從梯子的傾斜程度談起教案

《從梯子的傾斜程度談起》教學設計

哈鎮學校 付利萍

教學目標

（一）知識目標

1．經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正切的意義和與現實生活的聯系．

2．能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進行簡單的計算．

(二)能力目標

1．經歷觀察、猜想等數學活動過程，發展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點． 2．體驗數形之間的聯系，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題，提高解決實際問題的能力． 3．體會解決問題的策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神．(三)情感與價值觀

1．積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲． 2．形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣．教學重點 1．從現實情境中探索直角三角形的邊角關系．

2．理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系． 教學難點

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比． 教學方法 引導—探索法． 教具準備 WPS演示文稿 教學過程

一、創設問題情境，引入新課

課件展示“小猴爬梯找香蕉”圖片及問題引入課題

二、講授新課

[師]梯子是我們日常生活中常見的物體．我們經常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的？“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的？請同學們看下圖，并回答問題(用多媒體演示3、4、5、)學生小組討論，并匯報。

[師]通過三個實例，我們明確了要想判斷兩個梯子哪個更陡，可以通過兩個直角三角形的兩直角邊的比值來判斷，也就是說可以運用兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度。

多媒體演示：

[師]如果我現只有一個梯子AB1搭在城墻上,而我手中只有皮尺與計算器，請你設想一下，我可以通過測量哪些數據來刻畫梯子AB1的傾斜程度。[生]討論小結

[師]如果我的皮尺沒那么長，或我不想爬到城墻上來測量，那我還可以通過測量什么來刻畫梯子的傾斜程度呢？

[生]討論小結

[師]也就是說無論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對邊與鄰邊的比值是不會改變的． 現在如果改變∠A的大小，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎？ [師]你又能得出什么結論呢？ [師]介紹正切的概念。（多媒體演示）注意：

1．tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習慣省去角的符號“∠”． 2．tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比． 3．tanA不表示“tan”乘以“A”．

4．初中階段，我們只學習直角三角形中，∠A是銳角的正切． 思考：1．∠B的正切如何表示？

2．前面我們討論了梯子的傾斜程度，梯子的傾斜程度與tanA有關系嗎？ [師]tanA的值越大，梯子越陡；反過來，梯子越陡，tanA的值越大。[變式訓練]多媒體演示 [例題講解]多媒體演示課本例1 [師]像我們在日常生活中研究梯子的傾斜程度類似，在工程上也經常研究上坡的坡度，正切也經常用來描述山坡的坡度、堤壩的坡度．例如：展示第11張幻燈片

[例題講解]多媒體演示例2

三、隨堂練習多媒體演示 見課本P6

四、課時小結

五、課后作業

第三篇：從梯子的傾斜程度談起教案

教學目標(一)教學知識點1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正切的意義和與現實生活的聯系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進行簡單的計算.(二)能力訓練要求1.經歷觀察、猜想等數學活動過程，發展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點.2.體驗數形之間的聯系，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題，提高解決實際問題的能力.3.體會解決問題的策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神.(三)情感與價值觀要求1.積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲.2.形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系.教學難點理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.教學方法引導探索法.教具準備FLASH演示教學過程Ⅰ.創設問題情境，引入新課用FLASH課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現：[問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問題2]隨著改革開放的深入，上海的城市建設正日新月異地發展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經過多少年的城市發展，上海最高大廈的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應用數學知識和適當的途徑得到金茂大廈的實際高度嗎?通過本章的學習，相信大家一定能夠解決.這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書課題1.1.1從梯子的傾斜程度談起).

第四篇：《從梯子的傾斜程度談起》第二課時教案

1.1 從梯子的傾斜程度談起(二)編寫人： 審核人：

教學目標

1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，認識正弦和余弦的意義.2.能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據直角三角形中的邊角關系，進行簡單的計算.4.經歷類比、猜想等過程.發展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.5.體會數形結合的思想，并利用它分析、解決問題。教學重點

1.理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，并能舉例說明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據直角三角形的邊角關系，進行簡單的計算.教學難點

用函數的觀點理解正弦、余弦和正切.教學方法

探索——交流法.教具準備

多媒體演示.教學過程

一、.創設情境，提出問題，引入新課

[師]我們在上一節課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，并且得出了當傾斜角確定時，其對邊與斜邊之比隨之確定.也就是說這一比值只與傾斜角有關，與直角三角形的大小無關.并在此基礎上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切.現在我們提出兩個問題：

[問題1]當直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎? [問題2]梯子的傾斜程度與這些比有關嗎?如果有，是怎樣的關系?

二、講授新課

/ 8 1.正弦、余弦及三角函數的定義

多媒體演示如下內容： 想一想：如圖

(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C有什么關系?(2A2C2BC1BC2A1C1和和有什么關系?呢? BA1BA2BA1BA2[生] ∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，∴A1C1//A2C2.∴Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.A2C2BC1BC2A1C1和和相等相等(相似三角形對應邊成比例).BA1BA2BA1BA2(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結論? 由于A2是梯子A1B上的任意—點，所以，如果改變A2在梯子A1B上的位置，上述結論仍成立.由此我們可得出結論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關，而與直角三角形大小無關.(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結論? 請同學們討論后回答.[生]如果改變梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.[師]我們會發現這是一個變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時，如果給定一個傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關系呢? [生]函數關系.2 / 8 [師]很好!上面我們有了和定義正切相同的基礎，接著我們類比正切還可以有如下定義：(用多媒體演示)在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即 sinA＝?A的對邊

斜邊 ∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即 cosA=?A的鄰邊

斜邊 銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(trigonometricfunction).[師]你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數”呢? [生]我們在前面已討論過，當直角三角形中的銳角A確定時.∠A的對邊與斜邊的比值，∠A的鄰邊與斜邊的比值，∠A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“∠A的三角函數”概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°

[師]我們上一節知道了梯子的傾斜程度與tanA有關系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關系呢?如果有關系，是怎樣的關系? [生]如圖所示，AB＝A1B1，在Rt△ABC中，sinA=Rt△A1B1C中，sinA1=BC，在 ABB1C.A1B1 ∵ BCBC＜1, A1B1AB 即sinA

ACAC cosA1＝1，A1B1AB ∵AB=A1B1

ACAC＞1 即cosA>cosA1，A1B1AB 所以梯子的傾斜程度與cosA也有關系.cosA的值越小，梯子越陡.[師]同學們分析得很棒，能夠結合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實際中通常使用正切.3.例題講解

多媒體演示.[例1]如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的長.分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示∠A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA＝0.6，BC＝0.6.AC 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200.sinA＝0.6，即=BC0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120.AC 思考：(1)cosA＝?(2)sinC＝？ cosC＝?(3)由上面計算，你能猜想出什么結論? 解：根據勾股定理，得

AB＝AC2?BC2?2002?1202=160.在Rt△ABC中，CB＝90°.AB1604??＝0.8，AC2005AB1604 sinC= ??=0.8，AC2005BC1203 cosC＝ ?? ＝0.6，AC2005 cosA＝ 由上面的計算可知

/ 8 sinA＝cosC＝O.6，cosA＝sinC＝0.8.因為∠A+∠C＝90°，所以，結論為“一個銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個銳角的余弦等于它余角的正弦”.[例2]做一做：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝

12，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、13sinA呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.分析：這是正弦、余弦定義的進一步應用，同時進一步滲透sin(90°-A)＝cosA，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝12AC，cosA＝, 13ABcosA1213126∴AB=Ac?10?10?13?65, sinB＝Ac?cosA?12

AB13根據勾股定理，得

22252652265?60BC＝AB-AC＝()-10=?2

3666222∴BC＝25.625∴cosB＝BC?6?25?5, AB6565136sinA＝BC?5

AB13可以得出同例1一樣的結論.∵∠A+∠B=90°，∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；

/ 8 cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).三、隨堂檢測

多媒體演示

1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構造∠B所在的直角三角形.根據等腰三角形“三線合一”的性質，可過A作AD⊥BC，D為垂足.解：過A作AD⊥BC，D為垂足.∴AB=AC，∴BD=DC=

1BC=3.2 在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，∴AD＝4.AD4BD3? cosB＝?，AB5AB5AD4 tanB=?.BD3 sinB＝ 2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 解：sinA=

4，BC=20，求△ABC的周長和面積.5BC4，∵sinA=，BC＝20，AB5BC20 ∴AB＝＝＝25.?sinA45 在Rt△BC中，AC＝252?202=15，∴ABC的周長＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，△ABC的面積：11AC×BC=×15×20＝150.223.(2003年陜西)(補充練習)在△ABC

1，則sinA=.2BC1 解：如圖，tanA==.AC2中.∠C=90°，若tanA=設BC=x，AC=2x，根據勾股定理，得 AB=x2?(2x)2?5x.∴sinA=BCx15???.AB55x5 6 / 8

四、課時小結

本節課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數的觀念認識了三種三角函數，即在銳角A的三角函數概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°<∠A<90°；三個比值是因變量.當∠A確定時，三個比值分別唯一確定；當∠A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.類比前一節課的內容，我們又進一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關系以及用正弦和余弦的定義來解決實際問題.五、課后作業

習題1.2第1、3、4題

六、活動與探究

已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函數的定義證明)

[過程]根據正弦和余弦的定義，在不同的直三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)

角就相等，不必只局限于某一個直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.所以圖中含有三個直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及線段BC、BD、AB，BCBD，cosB=.ABBCBC [結果]在Rt△ABC中，cosB＝

AB由正弦、余弦的定義得cosB＝ 又∵CD⊥AB.∴在Rt△CDB中，cosB＝∴

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BD BCBCBD2=BC＝AB·BD.ABBC板書設計

1.1 從梯子傾斜程度談起(二)1.正弦、余弦的定義在Kt△ABC中，如果銳角A確定.sinA＝?A的對邊

斜邊斜邊cosA＝?A的對邊

2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關嗎? sinA的值越大，梯子越陡 cosA的值越小，梯子越陡 3.例題講解 4.隨堂檢測

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第五篇：數學： 1.1從梯子的傾斜程度談起(第1課時)教案 (九年級下北師大版)

1.1從梯子的傾斜程度談起

直角三角形中邊角之間的關系是現實世界中應用廣泛的關系之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數量關系往往歸結為直角三角形中邊與角的關系問題.本節首光從梯子的傾斜程度談起。引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下，正切是生活當中用的最多的三角函數概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發，讓學生在經歷探索直角：三角形邊角關系的過程中，理解銳角三角函數的意義，并能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，并能夠根據直角三角形的邊角關系進行計算.本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.并能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關系的計算，難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境，引出銳角三角函數的概念，使學生感受到數學與現實世界的聯系，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關注他們對概念的理解.1.1從梯子的傾斜程度談起(一)教學目標

(一)教學知識點

1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.(二)能力訓練要求

1.經歷觀察、猜想等數學活動過程，發展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點.2.體驗數形之間的聯系，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.3.體會解決問題的策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神.(三)情感與價值觀要求

1.積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲.用心

愛心

專心 1

2.形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點

1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯系.教學難點

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.教學方法

引導—探索法.教具準備 FLASH演示 教學過程

1.創設問題情境，引入新課

用FLASH課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現： [問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎? [問題2]隨著改革開放的深入，上海的城市建設正日新月異地發展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經過多少年的城市發展，“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應用數學知識和適當的途徑得到金茂大廈的實際高度嗎? 通過本章的學習，相信大家一定能夠解決.這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書課題§1.1.1從梯子的傾斜程度談起).Ⅱ.講授新課

用多媒體演示如下內容：

用心

愛心

專心 2

[師]梯子是我們日常生活中常見的物體.我們經常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的?請同學們看下圖，并回答問題(用多媒體演示)(1)在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?

[生]梯子AB比梯子EF更陡.[師]你是如何判斷的? [生]從圖中很容易發現∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我覺得是因為AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC

用心

愛心

專心 3

[師]我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個更陡，就比較困難了.能不能從第(1)問中得到什么啟示呢? [生]在第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應該越陡.[師]這位同學的想法很好，的確如此，在第(2)問的圖中，哪個梯子更陡，應該從梯子 AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.那么請同學們算一下梯子AB和EF哪一個更陡呢？

AC48??, BC1.53ED3.535.??FD1.313835∵??, 313[生]∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒體演示： 想一想

如圖，小明想通過測量B1C1：及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為，通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關系?(2)B1C1BC和22和有什么關系? AC1AC2用心

愛心

專心

(3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么結論? [師]我們已經知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度.下面請同學們思考上面的三個問題，再來討論小明和小亮的做法.[生]在上圖中，我們可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的.因為∠B2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根據相似的條件，得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]由圖還可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得 B2C2//B1C1，Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]相似三角形的對應邊成比例，得

B1C1AC1BCBC?,即11?22.B2C2AC2A1C1AC2 如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到Rt△B2C2A∽Rt△Rt△B1C1A，仍能得到B1C1B2C2BCBC?因此，無論B2在梯子的什么位置(除A外)，11?22總成立.AC1AC2AC1AC2 [師]也就是說無論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對邊與鄰邊的比值是不會改變的.現在如果改變∠A的大小，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變嗎? [生]∠A的大小改變，∠A的對邊與鄰邊的比值會改變.[師]你又能得出什么結論呢? [生]∠A的對邊與鄰邊的比只與∠A的大小有關系，而與它所在直角三角形的大小無關.也就是說，當直角三角形中的一個銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.[師]這位同學回答得很棒，現在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價? [生]小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因為圖中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與B1、B2在梯子上的位置無 關，即與直角三角形的大小無關.[生]但我覺得小亮的做法更實際，因為要測量B1C1的長度，需攀到梯子的最高端，危險并且復雜，而小亮只需站在地面就可以完成.[師]這位同學能將數學和實際生活緊密地聯系在一起，值得提倡.我們學習數學就是為了更好地應用數學.由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：(多媒體演示)

用心

愛心

專心

如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即

tanA=?A的對邊.?A的鄰邊 注意：

1.tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習慣省去角的符號“∠”.2.tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”.4.初中階段，我們只學習直角三角形中，∠A是銳角的正切.思考：1.∠B的正切如何表示?它的數學意義是什么? 2.前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖1—3，梯子的傾斜程度與tanA有關系嗎? [生]1.∠B的正切記作tanB，表示∠B的對邊與鄰邊的比值，即 tanB=?B的對邊.?B的鄰邊 2.我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度，因此，在圖1—3 中，梯子越陡，tanA的值越大；反過來，tanA的值越大，梯子越陡.[師]正切在日常生活中的應用很廣泛，例如建筑，工程技術等.正切經常用來描述山 坡的坡度、堤壩的坡度.如圖，有一山坡在 水平方向上每前進100 m，就升高60 m，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tanα就是

tanα=α

603?.1005用心

愛心

專心

這里要注意區分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡度.坡度越大，坡面就越陡.Ⅲ.例題講解

多媒體演示

[例1]如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?

分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tanα= ??的對邊55??.22??的鄰邊1213?5 乙梯中 tanβ=??的對邊63??.??的鄰邊84因為tanβ＞tanα，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.分析：要求tanA，tanB的值，根據勾股定理先求出直角邊AC的長度.解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC==16(cm), tanA=AB2?BC2?202?122

?A的對邊BC123???，?A的鄰邊AC164?B的對邊AC164???.?B的鄰邊BC123tanB=所以tanA=34，tanB=.43 Ⅳ，隨堂練習 1.如圖，△ABC

用心

愛心

專心

是等腰直角三角形，你能根據圖中所給 數據求出tanC嗎? 分析：要求tanC.需從圖中找到∠C所在的直角三角形，因為BD⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的對邊與鄰邊的比，即

BD的值.DC 解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，11AC＝×3＝1.5.22BD1.5 在Rt△BDC中，tanC＝ =＝1.DC1.5 ∴CD＝ 2.如圖，某人從山 腳下的點A走了200m后 到達山頂的點B，已知點

B到山腳的垂直距離為55 m，求山的坡度.(結果精確到0.001)分析：由圖可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA為山的坡度.解：根據題意：

在Rt△ABC中，AB=200 m，BC＝55 m，AC=200?55?51479?5?38.46=192.30(m).TanA=22BC55??0.286.AC192.30所以山的坡度為0.286.Ⅴ.課時小結

本節課從梯子的傾斜程度談起，經歷了探索直角三角形中的邊角關系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎，在“Rt△”中定義了tanA＝?A的對邊.?A的鄰邊 接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問題坡度與正切的關系，了解了正切在 現實生活中是一個具有實際意義的一個很重要的概念.Ⅵ.課后作業

1.習題1.1第1、2題.用心

愛心

專心

2.觀察學校及附近商場的樓梯，哪個更陡.Ⅶ.活動與探究(2003年江蘇鹽城)如圖，Rt△ABC是一防 洪堤背水坡的橫截面 圖，斜坡AB的長為 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結果保留根號)[過程]要求DB的長，需分別在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根據題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB＝12 m，則可根據勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比為1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC＝AC，可求出CD.[結果]根據題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC為等腰直角三角形.設BC=AC＝xm，則 x+x＝12，x=62，所以BC＝AC=62.在Rt△ADC中，tanD=222

AC1, ?CD1.5 即621?CD=92.CD1.5 所以DB＝CD-BC＝92-62=32(m).板書設計

§1.1.1 從梯子的傾斜程度談起(一)1.當直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.2.正切的定義：

在Rt△ABC中，銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊的比隨之確定，這個比叫做∠A的正切，記作tanA，即 tanA＝?A的對邊.?A的鄰邊用心

愛心

專心 9

注：(1)tanA的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例題講解(略)4.隨堂練習5.課時小結 備課資料

[例1](2003年浙江沼興)若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高________米.分析：根據題意(如圖)：在Rt△ABC 中

AC：BC＝3：4，AB＝10米.設AC＝3x，BC＝4x，根據勾股定理，得(3x)+(4x)＝10，∴x＝2.∴AC＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前進10米后，所在位置比原來的位置升高6米.解：應填“6 m”.[例2](2003年內 蒙古赤峰)菱形的兩條 對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱

形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______.分析：如圖，菱形ABCD，BD＝16，AC＝12，∠ABO＝θ，在Rt△AOB中，AO= BO=

1AC=6，21BD=8.2OA63 tanθ=??.OB84用心

愛心

專心 10

用心

愛心

專心11 解：應填“

3” 4