第一篇：方程的根與函數的零點教學反思

3.1.1 方程的根與函數的零點”教學反思

朱河中學 李丹

“方程的根與函數的零點”是高中課程標準新增的內容，教材用了三個版面（人民教育出版社《普通高中課程標準試驗教科書·數學1（必修）A版》P.86—87）介紹本課。從表面上看，這一內容的教學并不困難，但要讓學生真正理解，在教學設計和難點突破上需要下足夠的功夫。實施本節課的教學，得到一些感悟。

一、背景分析

1、學習任務分析

函數與方程是中學數學的重要內容，既是初等數學的基礎，又是初等數學與高等數學的連接紐帶。在新課程教學中有著不可替代的重要位置.為什么要引進函數的零點?原因是要用函數的觀點統帥中學數學,把解方程問題納入到函數問題中.引入函數的零點,解方程的問題就變成了求函數的零點問題.就本章而言，本節通過對二次函數的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數的情形．它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數的內在聯系，也引出對函數知識的總結拓展。之后將函數零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應用，通過建立函數模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現函數與方程的關系，逐步建立起函數與方程的聯系．即體現了函數與方程的思想,又滲透了數形結合的思想.總之，本節課滲透著重要的數學思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數”和“數形結合”的思想，教好本節課可以為學好中學數學打下一個良好基礎，因此教好本節是至關重要的。

2、學生情況分析

學生在學習本節內容之前已經學習了函數的圖象和性質,理解了函數圖象與性質之間的關系,尤其熟悉二次函數,并且已經具有一定的數形結合思想,這為理解函數的零點提供了直觀認識,并為求出零點提供了支持,但學生基礎普遍較差，因此在設計導學案的時候，都是以基礎為主，沒有把函數零點的存在性放在里面，主要是理解函數零點的概念和三者之間的關系，為后面零點的存在性和零點的分布打好基礎。而且學生有一定的方程知識的基礎,熟悉從特殊到一般的歸納方法,這為深入理解函數的零點及方程的根與函數零點的聯系提供了依據.但學生對于函數與方程之間的聯系缺乏一定的認識，對于綜合應用函數圖象與性質尚不夠熟練，這些都給學生在聯系函數與方程，發現函數的零點造成了一定的難度。因此教學中盡可能提供學生動手實踐的機會，讓學生親身體驗中掌握知識與方法，充分利用學生熟悉的二次函數圖象和一元二次方程通過直觀感受發現并歸納出函數零點的概念；在函數零點存在性的判定方法的教學時應該為學生創設適當的問題情境，激發學生的思維引導學生通過觀察、計算、作圖、思考理解問題的本質。

二、本節課的內容、地位、核心

本節課的內容就是三個“一”：一個概念（函數零點）、一種關系（函數零點、方程的根、函數圖象與x軸交點的橫坐標三者的等價關系）、一個方法（求函數零點的方法）。它反映了方程與函數的聯系，體現了“數”與形的辯證統一，增加了函數的“應用點”，體現了函數應用的廣泛性，具體詮釋了“數學是有用的”。本節課的核心內容是函數零點、方程的根、函數圖象與x軸交點的橫坐標三者的關系，從而得到如何求函數零點的方法，這既是本節課的重點又是難點。

三、本節課的成功之處

1.新課的引入

簡單介紹了章頭話，說明本章的任務——運用函數的思想，建立函數模型，去解決現實生活中的一些簡單問題。給出三個方程：（1）

；（2）

；（3）。

為引入新課作鋪墊，得到函數零點的概念。函數零點、方程的根、函數圖象與x軸交點的橫坐標三者的等價關系。

2.難點的突破

學生有一定的方程知識的基礎,熟悉從特殊到一般的歸納方法。同時通過一元二次方程的判別式來探討函數的零點，方程的根以及函數圖像與X軸的交點三者之間的關系。逐層鋪墊，降低難度由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形．恰當使用信息技術，讓學生直觀形象地理解問題，了解知識的形成過程.采用“啟發—探究—討論”教學模式,精心設置一個個問題鏈，給每個學生提供思考、創造、表現和成功的機

3.課堂小結

課堂小結中為了讓學生記憶深刻，鞏固知識，將本節課的知識點”歸結為一首小詩：函數零點方程根，形數本是同根生。讀起來朗朗上口，容易記憶，又道出了“函數零點”的定義，數形結合這一重要的的數學思想方法。

三、本節課值得思考之處

1.對學生估計不足，學生面對全校的數學專家，開場時有點怯場，思維受阻，導致一些該引導學生回答的問題，老師代勞了，學生的主體作用未得到充分體現。

2.對現代教育手段的使用，由于能力有限，未能做出精美生動的圖形變化來刺激學生的思維，更好地輔助教學。

第二篇：“方程的根與函數的零點”教學反思

《方程的根與函數的零點》教學反思

巴里坤縣第三中學教師 李曉瑩

本節是在學習了前兩章函數性質的基礎上，利用函數的圖象和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與對應方程的根的關系以及掌握函數在某個區間上存在零點的判定方法；為下節“二分法求方程的近似解”和后續學習的算法提供基礎。因此本節內容具有承上啟下的作用，非常重要。表面上看，這一內容的教學并不困難，但要讓學生真正理解，在教學設計和難點突破上需要下足夠的功夫，教學過程中還需要妥善處理其中的一些問題。所以，我在教法上，以問題為紐帶，用問題引出內容，激發學生積極主動地進行探索；同時向學生滲透數學思想方法；滲透問題意識，培養學生發現問題、解決問題的能力以及采用“提出問題——引導探究——得出結論——講練結合”的教與學模式。本節課借助多媒體手段創設問題情境，指導學生研究式學習和體驗式學習．如，函數零點與方程根之間的聯系是這節課的一個重點，為了突破這一重點，在教學中利用多媒體教學，調動了學生學習的積極性，準確、直觀、易于學生理解，符合學生的認知特點，調動了學生主動參與教學的積極性，使他們進行自主探究與合作交流，親身體驗知識的形成過程，變靜態教學為動態教學。

一、新課的引入

本堂課是用對實際問題的探討來引入函數的零點，通過這樣一個問題激發學生的學習興趣，由直觀過渡到抽象，更符合學生的認知過程，在評課的時候，這一點也獲得了聽課老師的一致好評。再復習鞏固一元一次方程和一元二次方程的解法，由學生已掌握的知識入手，創設熟悉環境，引導進入本課狀態。接著讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數的零點，再來理解其他復雜的函數的零點就會容易一些。圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題，并且，利用了教材中的方程提出了下列問題：方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？結果，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，快速解決了問題。由此看來，這堂課一開始引入熟悉的例子，最能激發學生的學習積極性，并讓其認識到學習函數的零點的必要性。

二、重難點的突破

零點存在性定理是本節課的難點和重點，教學設計的好壞直接關系到學生對本節課的學習效果。因此，從“一個函數是否有零點，就是看它的圖象與x軸是否有交點。那么，我們又如何判定一個函數的圖象與x軸是否有交點呢？”的提問入手，引出零點存在條件的探究。給出6個問題：問題 1、2是學生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，問題3、4是方程的根和函數圖象與x軸的交點之間有何聯系與區別，問題5、6上升到抽象連續函數y=f(x)在區間（a,b）內一定有零點的條件。引導學生一邊畫草圖，一邊思考，總結規律：函數圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產生了交點。要判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點（教材對于函數f(x)在（a，b）內有零點，只研究函數f(x)的圖象穿過x軸的情況），應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)f(b)<0。從課后了解到，學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點，教學卻沒有對證明的必要性展開討論。忽略了在研究函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點，再進行證明。所以，在課后向學生提出如何判斷函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，就有學生認為，只需看函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點即可。這樣看來，教師有必要引導學生認識證明的必要性。我們也可以作出一些特殊函數在不同區間范圍的圖象，讓學生通過觀察對比得到認識。這6個問題設計精巧，層層遞進，引發了學生積極思考、探索與交流，將教學推向高潮。如此尋求函數零點存在的條件，符合學生的認知規律：從簡單到復雜，從具體到抽象，讓學生在具體的例題中概括出共同的本質特征，得出一般性的結論，使學生思維發生碰撞，既弄懂了問題又使數學方法得到提升。

三、教學內容結構，突出思想方法

首先要通過把握教材內容結構來設計教學框架，然后根據教學框架來考慮需要突出的思想方法。本節課按照下列主線來展開教學：

（一）如何引導學生將復雜的問題簡單化，并學會從已有認知結構出發由特殊到一般地思考問題。

教材設置函數的零點這一內容的目的，就是為了體現函數的應用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎。所以，教學一開始就從學生熟悉的知識點入手，用方程的求解出發展開討論，然后引導學生體會其中的思想方法。例當學生陷入困境時，再逐步提出下面的問題進行引導：

1．當遇到一個復雜的問題，我們一般應該怎么辦？

以此來引導學生將復雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。2．以前我們如何判斷一個方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助？

以此來引導學生從已有認知結構出發，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學會從特殊到一般的思維方法。

3．除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎？

以此來引導學生建立方程與函數的聯系，滲透函數與方程的思想方法，并培養其從不同角度思考問題的習慣。

（二）怎樣突出數形結合的思想方法

數形結合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數”一章的始終，學生通過前面的學習，已基本形成數形結合的思想方法，所以本節教學以培養學生主動運用數形結合的思想方法去分析問題為目的。在建立方程的根與函數的零點的關系時，函數圖象起到了關鍵的橋梁作用，充分體現了它與方程的根以及函數零點之間的數形結合的關系。由學生作出函數圖象，讓學生回答方程的根與函數圖象和x軸的交點有何關系，然后學生自己總結出方程的根、函數圖象和x軸的交點、函數的零點之間的關系。這樣的教學，在一定程度上也能體現數形結合的思想方法。在這種能夠體現思想方法的關鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學生由方程自覺地聯想到相應的函數，主動地建立方程的根與函數圖象間的關系，提升數形結合思想方法的層次，增強函數應用的意識。

（三）如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數f(x)在（a，b）內有零點的一種條件。如何讓學生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學難點需要處理：

1．如何引導學生用f(a)f(b)<0來說明函數f(x)在（a，b）內有零點？

教材是先從函數圖象出發，讓學生通過觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，來認識函數f(x)在（a，b）內是否有零點。這是一個直觀認識的過程，對學生來說并不困難。然后再讓學生認識，f(a)f(b)<0則函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學生來說是有困難的。教學的關鍵在于，如何引導學生由函數f(x)的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯想到f(a)f(b)<0。

2．如何引導學生判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數？

（1）要判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數，可先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有幾個交點，再進行證明。

當觀察到函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸的交點個數后，可以在（a，b）內分別選取每個交點周圍的一個區間，然后說明函數分別在各個區間只有一個零點。這樣，就將判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數轉化為判斷函數在各個區間內分別只有一個零點。由于f(a)f(b)<0只能說明函數f(x)在（a，b）內有零點，而不能說明f(x)在（a，b）內有幾個零點，這就要求函數在每個交點周圍所選取的區間上的圖象在直觀上要單調，并且要證明函數f(x)在該區間上單調。

（2）要證明函數在某個區間內只有一個零點需要一個循序漸進的過程

證明函數在某個區間內只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數證明的理性思維過程。從學生現有的知識積累來看，目前教學應立足從圖象直觀來認識，對于易于用函數單調性定義證明函數單調性的函數，可要求學生進行代數證明。待學生學習了函數的導數之后，再統一要求學生對所有的函數都進行代數證明。所以，學生對這一問題的認識有一個循序漸進的過程，教師對這一問題的教學需要分階段提出不同層次的要求，關鍵是把握好教學的度。

本課的實際教學中還存在著不足: 1.在探究新知識時試圖給學生講授一點關于方程的解的數學史知識，但時間問題，最終舍棄了；

2.想自在的調控課堂而不盡得。我所期望的課堂是學生既自主又合作，既數學又生活的。這需要對數學史與知識點較透徹的理解，這需要語言表達的精確，這些都是我的不足。3.在課件制作方面還是存在不足，水平不夠高，有待提高。4.在板書方面，板塊意識有了，也算工整，但是字跡不夠美觀。

本節課零點的引入部分可以簡化改進，使之更趨合理，零點存在性定理引入部分略顯生硬，應該有更藝術的方式。高一學生在函數的學習中，常表現出不適，主要是數形結合與抽象思維尚不能勝任。具體表現為將函數孤立起來，認識不到函數在高中數學中的核心地位。函數與方程相聯系的觀點的建立，函數應用的意識的初步樹立，應該是本節課必須承載的重要任務。在這一任務的達成度方面，本課還需更突出。另外，課堂上教師怎樣引導學生也是值得我深思的一個問題，還有少講多引方面也是我今后教學中努力的方向。

《方程的根與函數的零點》教學反思

巴里坤縣第三中學教師

李曉瑩

第三篇：“方程的根與函數的零點”教學反思

“方程的根與函數的零點”教學反思

王巧香

方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，表面上看，這一內容的教學并不困難，但要讓學生能夠真正理解，教學還需要妥善處理其中的一些問題。最近，在浙江紹興聽了這一內容的兩堂新授課，使用教材都是人民教育出版社《普通高中課程標準試驗教科書·數學1（必修）》，課后又與部分學生進行了交流。總的來說，教學效果都不甚理想，暴露出了一些共同的問題，看來具有一定的代表性。下面就兩堂課共同存在的問題，談一點看法。

一、首先要讓學生認識到學習函數的零點的必要性

教材是利用一元二次方程的例子來引入函數的零點。這樣處理，主要是想讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數的零點，再來理解其他復雜的函數的零點就會容易一些。但在教學時，就不能照本宣科。

這兩堂課的教學都和教材一樣，也是利用一個一元二次方程來引入，圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題。并且，兩位教師都利用了教材中的方程提出了下列問題：

方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？

結果，學生的反應都很平淡，大多數人對這個問題都不感興趣。課后學生認為，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，老師沒必要再問那么簡單的問題了。由此看來，這堂課一開始就應該讓學生認識到學習函數的零點的必要性。教師所選擇的例子，最好是學生用已學方法不能求解的方程，這樣才能激發學生的學習積極性，并讓其認識到學習函數的零點的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出來，讓學生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什么？

在學生對上述問題一籌莫展時，再回到一元二次方程上，引導學生利用函數的圖象和性質來研究方程的根。這堂課的頭開好了，整堂課就活了。二、一元二次方程根的存在是否由其判別式決定

當教師問到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有實根時，兩個班的學生很快就用根的判別式作出了判斷，沒有一位學生用方程相應的函數圖象進行分析。于是，教師又引導學生作出一元二次方程相應的函數的圖象，并建立方程的根與函數圖象和x軸交點的聯系。值得注意的是，在上述活動中，學生認為，因為一元二次方程根的判別式的大小有三種情況，所以一元二次方程相應的函數圖象和x軸的交點就有三種情況。教師不僅對此默認，還在研究了一元二次方程與其函數圖象的關系后總結到，雖然我們可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但對于沒有判別式的其他方程就可以根據相應的函數圖象來判斷了。

看來，師生們對一元二次方程根存在的本質原因都不清楚，都誤以為是其判別式的大小。如果通過建立一元二次方程與其相應函數圖象的關系，沒有揭露出方程根存在的本質原因是相應函數的零點的存在，那么就會導致學生對引入函數零點的必要性缺乏深刻的認識，以為結合函數圖象并利用f(a)?f(b)的值與0的關系判斷方程根的存在只是其中的一種方法或技巧，而認識不到其一般性和本質性。所以，教學在研究一元二次方程與其相應函數圖象的關系時，關鍵要以函數圖象為紐帶，建立一元二次方程的根與相應函數零點之間的關系，讓學生理解方程根存在的本質以及判斷方程根存在的一般方法。這樣，才能將所得到的判斷方程根存在的方法推廣到一般情況，并使學生對方程根存在的認識不僅僅停留在判別式或函數圖象上。

三、根據圖象能否判斷函數是否有零點以及零點的個數 盡管兩堂課教師都談到，要判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點（教材對于函數f(x)在（a，b）內有零點，只研究函數f(x)的圖象穿過x軸的情況），應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)?f(b)<0。但是，教學卻沒有對證明的必要性展開討論。結果，從課后了解到，學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點，至于證明只是數學上的嚴格要求而已。同樣，兩堂課在研究函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，教師也是這樣告訴學生，應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點，再進行證明，依然沒有說明證明的必要性。所以，在課后向學生提出如何判斷函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，就有學生認為，只需看函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點即可。

看來，教師有必要引導學生認識證明的必要性。例如，我們可以作出一些特殊函數在不同區間范圍的圖象，讓學生通過觀察對比得到認識。

如圖1，是計算機所作的某個函數的圖象。可以讓學生根據圖象思考，該函數是否有零點？

在學生作出判斷后，再逐步將原點附近的圖象放大，得到該函數在其他較小區間范圍的多個圖象（圖2（1）、（2））。然后再問學生，該函數究竟有沒有零點？

如圖3，是計算機所作的又一個函數的圖象。可以讓學生根據圖象思考，該函數有幾個零點？

在學生作出判斷后，再逐步將原點附近的圖象放大，得到該函數在其他較小區間范圍的多個圖象（圖4（1）、（2））。此時再問學生，該函數究竟有幾個零點？

結合上述例子，要讓學生知道，我們所作的函數圖象只能反映函數一個局部的情況，如果根據一個圖象就作出判斷可能就會片面。這樣，學生自然就會認識到證明的必要性了。

四、教學要把握內容結構，突出思想方法

教師首先要通過把握教材內容結構來設計教學框架，然后根據教學框架來考慮需要突出的思想方法。本節課可以按照下列主線來展開教學：

兩位教師對教材內容結構的把握還不到位，課堂教學比較凌亂，對上述三塊內容所蘊含的思想方法也沒能抓住，主要表現在以下幾個方面。

（一）如何引導學生將復雜的問題簡單化，并學會從已有認知結構出發由特殊到一般地思考問題 教材設置函數的零點這一內容的目的，就是為了體現函數的應用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎。所以，教學一開始就應該從學生用已學方法不能求解的方程出發展開討論，然后引導學生體會其中的思想方法。例如，可以像前面一樣先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什么？當學生陷入困境時，教師再逐步提出下面的問題進行引導：

1．當遇到一個復雜的問題，我們一般應該怎么辦？

以此來引導學生將復雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。2．以前我們如何判斷一個方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助？ 以此來引導學生從已有認知結構出發，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學會從特殊到一般的思維方法。

3．除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎？

以此來引導學生建立方程與函數的聯系，滲透函數與方程的思想方法，并培養其從不同角度思考問題的習慣。

遺憾的是，兩位老師都是直接從一元二次方程出發展開討論，學生就錯過了上述這些思想方法的訓練。

（二）怎樣突出數形結合的思想方法

數形結合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數I”一章的始終，學生通過前面的學習，已基本形成數形結合的思想方法，所以本節教學應該以培養學生主動運用數形結合的思想方法去分析問題為目的。但是，在兩堂課中，教師卻沒有留給學生主動運用數形結合思想方法的空間。

在建立方程的根與函數的零點的關系時，函數圖象起到了關鍵的橋梁作用，充分體現了它與方程的根以及函數零點之間的數形結合的關系。但是，兩位教師卻沒有留給學生足夠的時間去主動搭建函數圖象這一橋梁，而是由教師作出函數圖象，讓學生回答方程的根與函數圖象和x軸的交點有何關系，然后老師再給出方程的根、函數圖象和x軸的交點、函數的零點之間的關系。這樣的教學，雖然一定程度上也能體現數形結合的思想方法，但體現的思想層次卻很低。在這種能夠體現思想方法的關鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學生由方程自覺地聯想到相應的函數，主動地建立方程的根與函數圖象間的關系，提升數形結合思想方法的層次，增強函數應用的意識。

（三）如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數f(x)在（a，b）內有零點的一種條件。如何讓學生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學難點需要處理：

1．如何引導學生用f(a)?f(b)<0來說明函數f(x)在（a，b）內有零點

教材是先從函數圖象出發，讓學生通過觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，來認識函數f(x)在（a，b）內是否有零點。這是一個直觀認識的過程，對學生來說并不困難。然后再讓學生認識，f(a)?f(b)<0則函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學生來說是有困難的。教學的關鍵在于，如何引導學生由函數f(x)的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯想到f(a)?f(b)<0。為此，我們不妨可以通過下列問題來啟發學生：

（1）我們看到，當函數f(x)的圖象穿過x軸時，函數f(x)的圖象就與x軸產生了交點。如果不作出函數f(x)的圖象，你又如何判斷函數f(x)的圖象與x軸有交點？

（2）函數f(x)的圖象穿過x軸這是幾何現象，那么如何用代數形式來描述呢？

（3）函數f(x)的圖象穿過x軸其實就是穿過與x軸的交點周圍的部分，比如（a，b）。在區間（a，b）內，如何用代數形式來描述呢？

（4）如果函數f(x)的圖象與x軸的交點為（c，0），那么函數f(x)分別在區間（a，c）和區間（c，b）上的值各有什么特點？這對我們用代數形式進行描述有何幫助？

2．如何引導學生判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數

要判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數，可先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有幾個交點，再進行證明。這同樣是一個從直觀到抽象的過程，教學需要處理好下列兩個問題：

（1）如何引導學生說明函數在某個區間內只有一個零點 當觀察到函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸的交點個數后，可以在（a，b）內分別選取每個交點周圍的一個區間，然后說明函數分別在各個區間只有一個零點。這樣，就將判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數轉化為判斷函數在各個區間內分別只有一個零點。由于f(a)?f(b)<0只能說明函數f(x)在（a，b）內有零點，而不能說明f(x)在（a，b）內有幾個零點，這就要求函數在每個交點周圍所選取的區間上的圖象在直觀上要單調，并且要證明函數f(x)在該區間上單調。但教學的難點正在于此，如何引導學生利用函數的單調性來說明函數在某個區間內只有一個零點？我們可以設計下列教學環節來幫助學生認識：

① 可以先給出一些只有一個零點的函數圖象（圖5）；

②讓學生通過觀察這些圖象，歸納出這些函數具有的共同性質；

③當學生發現這些函數分別在交點周圍的一個區間上都單調后，再讓學生思考，為什么函數在某個區間上單調則函數在該區間內就只有一個零點？

經過上述從直觀到抽象的過程，學生才會真正認識到，為什么可以利用函數的單調性來說明函數在某個區間內只有一個零點。

（2）要證明函數在某個區間內只有一個零點需要一個循序漸進的過程

證明函數在某個區間內只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數證明的理性思維過程。從學生現有的知識積累來看，目前教學應立足從圖象直觀來認識，對于易于用函數單調性定義證明函數單調性的函數，可要求學生進行代數證明。待學生學習了函數的導數之后，再統一要求學生對所有的函數都進行代數證明。所以，學生對這一問題的認識有一個循序漸進的過程，教師對這一問題的教學需要分階段提出不同層次的要求，關鍵是把握好教學的度。

從兩堂課的教學情況來看，兩位教師都沒能抓住上述內容所蘊含的思想方法來設計教學，而是直接將結論灌輸給學生，讓學生失去了合適的思維訓練和思想方法提升的機會。

方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，第一次教學就要取得成功的確不易。看來，像這些中學新增內容的教學，需要一個不斷實踐以及實踐后的反思的過程，在實踐與反思的過程中，不僅要妥善解決上述問題，還要不斷地發現和解決新的問題，這樣，教學效果才會逐步得到改善。

第四篇：方程的根與函數的零點教學反思

方程的根與函數的零點教學反思

通過本節課的教學實踐，我感覺學生對方程和函數之間的關系有了進一步的理解，通過對具體函數與方程之間關系的分析到對一般函數和方程之間關系的分析，使學生真正理解了方程的根、函數的圖像與軸交點的橫坐標和函數的零點是一個值在不同環境下的不同稱呼，更使學生能夠利用不同的方法判斷函數的零點。通過生活實例讓學生自主探究出函數零點存在的判定條件，突破本節課的難點，并能利用存在定理判斷函數在區間是否有零點及零售的個數，體現出數學與生活的緊密聯系，是自然的。這樣基本達到本節課的教學目標，學生在自己思考或討論或探究問題的過程中基本能得到正確的結果，對問題的解決能力有所提高。

存在的問題是，本節課因為教學容量過大，時間過緊，結束部分處理的比較倉促；在學生探究討論部分，教師干預過多，留給學生思考的空間及時間稍顯不足；在板書環節由于對黑板的不適應導致板書不夠美觀，感到很遺憾。

第五篇：方程的根與函數的零點教學設計

方程的根與函數的零點教學設計 教學內容與任務分析 本節課的內容選自《普通高中課程標準實驗教科書》人教A版數學必修一第三章第一節3.1.1方程的根與函數的零點。本節課的主要內容為方程的根與函數零點之間的關系，連續函數在某區間上存在零點的判定方法，是以之前的函數圖象、性質為基礎，為之后學習用二分法其方程的近似解提供理論支持。學習者分析

學生已經學習了函數的圖象及性質，會畫基本的函數圖象，能通過圖象了解函數的性質，但學生對一些特殊的方程還不熟悉，解題可能會感到困難。教學重難點

教學重點：方程的根與函數零點之間的關系，連續函數在某區間上存在零點的判定方法 教學難點：函數的零點與方程的根的聯系的理解,零點的判定 教學目標

知識與技能目標

（1）理解零點的定義

（2）方程的零點與函數的根的聯系

（3）掌握連續函數在某區間上存在零點的判定方法 過程與方法目標

（1）在合作探究的過程中，體會從特殊到一般，數形結合，轉化化歸的數學思想（2）培養分析問題、解決問題的能力 情感態度與價值觀目標

通過方程的根與函數零點的學習，產生數學學習興趣 形成有序全面思考問題的意識 教學過程

問題引入，激發興趣

師：提出問題1：求的實數根，畫出函數的圖象；并觀察他們之間的聯系？

【學情預設】學生能夠解出方程的根，并從圖象上能獲得與方程的根的一些聯系。【設計意圖】通過學生熟悉的二次函數的圖象和一元二次方程讓學生觀察方程和函數形式上的聯系，從而得到方程實數根和函數圖象之間的關系。組織探究，得出概念 1.方程的根與函數的零點

師：我們可以發現1，2既是的根，也是函數圖象與x軸的交點橫坐標。那現在我們來思考一下一般方程的情況。我們是如何去判斷方程的個數的呢？是不是借助Δ，那大家通過小組合作一起來完成ppt上的這張表格。填表

Δ>0 Δ<0 Δ=0

方程實數根

函數圖象與x軸的交點

【設計意圖】通過合作填表的過程，讓學生體會方程的根與函數圖象的x軸的坐標的關系，通過對比教學，揭示知識點的聯系。

師：從表格中我們可以得出這樣的等價關系：

方程f(x)=0有實數根<==>函數y=f(x)的圖象與x軸有交點

那我們再來思考一下，假如我們求出函數y=f(x)的圖象與x軸的交點坐標為（x0,0），這個x0 是不是就是令y=0的x的值啊？

這個x0在方程中我們定義它為方程的根，那在函數中我們也給它一個定義，叫做函數的零點。師：現在老師給出函數零點的定義。對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。

那函數的零點他是不是一個點呢？

大家一起來再將概念縮一下句，實數x叫做零點，那說明零點時一個數。【設計意圖】通過對概念中的關鍵進行提煉，加深對概念的理解。師：那現在我們又可以得出另一個等價關系：

函數y=f(x)的圖象與x軸有交點<==>函數y=f(x)有零點 又因為這兩個等價關系兩兩等價，因而可以得出 方程f(x)=0有實數根

<==>函數y=f(x)的圖象與x軸有交點 <==>函數y=f(x)有零點

【設計意圖】通過上述過程，讓學生領會求方程f(x)=0的實數根，就是確定函數y=f(x)的零點這一關鍵。

2.零點的存在性探究 師：探究

【設計意圖】通過層層遞進的問題鏈，教師引導學生探索，歸納總結函數的零點存在性定理，培養歸納總結的能力。師：一般的，如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)*f(b)<0,那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在c?(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程y=f(x)=0的根。

提問：僅滿足f(a)·f(b)<0可以確定有零點嗎？ 引導學生構造反例：

【設計意圖】通過反例，強調判定條件——圖像是連續不斷的一條曲線，加深 對概念的認知。鞏固練習，提升能力 例1：

【設計意圖】通過例題，對所學知識進行及時鞏固，歸納小結，布置作業

學生自主對本節課的內容進行歸納總結 函數零點的定義 三個等價關系 零點的存在性定理

【設計意圖】建立自主的知識體系，形成知識網絡，加深對知識的鞏固，培養總結歸納的能力。

布置分層作業：基礎題和提高題

【設計意圖】通過分層作業，注重學生的個體差異，因材施教，是每個層次的學生都有所進步。