第一篇：教學案例《方程的根與函數的零點》（寫寫幫推薦）

《方程的根與函數的零點》教學案例

肅南一中

程斌斌

一、教學內容分析

本節課選自《普通高中課程標準實驗教課書數學I必修本（A版）》第94-95頁的第三章第一課時3.1.1方程的根與函數的的零點。函數與方程是中學數學的重要內容，既是初等數學的基礎，又是初等數學與高等數學的連接紐帶。在現實生活注重理論與實踐相結合的今天，函數與方程都有著十分重要的應用，再加上函數與方程還是中學數學四大數學思想之一，因此函數與方程在整個高中數學教學中占有非常重要的地位。就本章而言，本節通過對二次函數的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數的情形．它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數的內在聯系，也引出對函數知識的總結拓展。之后將函數零點與方程的根的關系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應用，通過建立函數模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現函數與方程的關系，逐步建立起函數與方程的聯系．滲透“方程與函數” 思想。

總之，本節課滲透著重要的數學思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數”和“數形結合”的思想，教好本節課可以為學好中學數學打下一個良好基礎，因此教好本節是至關重要的。

二 學生學習情況分析

地理位置：學生大多來自基層，學生接觸面較窄，個性較活躍，所以開始可采用競賽的形式調動學生積極性；學生數學基礎的差異不大，但進一步鉆研的精神相差較大，所以可適當對知識點進行拓展。

程度差異性：中低等程度的學生占大多數，程度較高的學生占少數。

知識、心理、能力儲備：學生之前已經學習了函數的圖象和性質，現在基本會畫簡單函數的圖象，也會通過圖象去研究理解函數的性質，這就為學生理解函數的零點提供了幫助，初步的數形結合知識也足以讓學生直觀理解函數零點的存在性，因此從學生熟悉的二次函數的圖象入手介紹函數的零點，從認知規律上講，應該是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要內容，學生應該有較好的基礎對于它根的個數以及存在性學生比較熟悉，學生理解起來沒有多大問題。這也為我們歸納函數的零點與方程的根聯系提供了知識基礎。但是學生對其他函數的圖象與性質認識不深（比如三次函數），對于高次方程還不熟悉，我們缺乏更多類型的例子，讓學生從特殊到一般歸納出函數與方程的內在聯系，因此理解函數的零點、函數的零點與方程根的聯系應該是學生學習的難點。加之函數零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學中應加強師生互動，盡多的給學生動手的機會，讓學生在實踐中體驗二者的聯系，并充分提供不同類型的二次函數和相應的一元二次方程讓學生研討，從而直觀地歸納、總結、分析出二者的聯系。

三、設計思想

教學理念：培養學生學習數學的興趣，學會嚴密思考，并從中找到樂趣 教學原則：注重各個層面的學生 教學方法：啟發誘導式

四、教學目標 以二次函數的圖象與對應的一元二次方程的關系為突破口，探究方程的根與函數的零點的關系，發現并掌握在某區間上圖象連續的函數存在零點的判定方法；學會在某區間上圖象連續的函數存在零點的判定方法。讓學生在探究過程中體驗發現的樂趣，體會數形結合的數學思想，從特殊到一般的歸納思想，培養學生的辨證思維以及分析問題解決問題的能力。

五、教學重點難點

重點：函數零點與方程根之間的關系；連續函數在某區間上存在零點的判定方法。難點：發現與理解方程的根與函數零點的關系；探究發現函數存在零點的方法。

六、教學程序設計

1.方程的根與函數的零點以及零點存在性的探索 1.1方程的根與函數的零點 問題1：解方程（比賽）：①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0。再比賽解3x3＋6x－1=0

設計意圖：問題1（產生疑問，引起興趣，引出課題）

比賽模式引入，調動積極性，可根據學分評定中進行過程性評定加分獎勵，充分調動學生積極性和主動性。

第三題學生無法解答，產生疑惑引入課題：教師介紹說一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通過系數的四則運算，乘方與開方等運算來表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x5＋6x－1=0 緊接著介紹阿貝爾（挪威）定理（五次及高于五次的代數方程沒有一般的代數解法），伽羅瓦（法國）的近世代數理論，提出早在十三世紀的中國，秦九韶等數學家就提出了高次方程數值解的解法，振奮學生的民族自豪感，最后引出人們一直在研究方程的近似解方法二分法引入課題。

問題2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數的圖象：如圖7-1 方程與函數 方程與函數 方程與函數

圖7-1 [師生互動] 師：教師引導學生解方程、畫函數圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點坐標的關系，推廣到一般的方程和函數引出零點概念。零點概念：對于函數y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的實數x叫做函數y＝f（x）（x∈D）的。師：填表格 函數

函數的零點

方程的根

生：經過獨立思考，填完表格

師提示：根據零點概念，零點是點嗎？零點與函數方程的根有何關系？ 生：經過觀察表格，得出第一個結論

師再問：根據概念，函數y＝f（x）的零點與函數y＝f（x）的圖象與x軸交點有什么關系 生：經過觀察圖像與x軸交點完成解答，得出第二個結論 師：概括總結前兩個結論（請學生總結）。1）概念：函數的零點并不是“點”，它不是以坐標的形式出現,而是實數。例如函數的零點為x=-1,3 2）函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標． 3）方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點。師：引導學生仔細體會上述結論。

再提出問題：如何并根據函數零點的意義求零點？ 生：可以解方程而得到（代數法）； 可以利用函數的圖象找出零點．（幾何法）問題2一方面讓學生理解函數零點的含義，另一方面通過對比讓學生再次加深對二者關系的認識，使函數圖象與x軸交點的橫坐標到函數零點的概念轉變變得更自然、更易懂。通過對比教學揭示知識點之間的密切關系。

問題3：是不是所有的二次函數都有零點？ 師：僅提出問題，不須做任何提示。

生：根據函數零點的意義探索研究二次函數的零點情況，并進行交流，總結概括形成結論． 二次函數的零點：看△

１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點． ２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

３）△＜０，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點． 第一階段設計意圖

本節的前半節一直以二次函數作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結了二次函數零點情況，給學生一個清晰的解題思路。進而培養學生歸納總結能力。1.2零點存在性的探索 [師生互動] 師：要求生用連續不斷的幾條曲線連接如圖4 A、B兩點，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個學生上臺板書：

．A

a

b l ．B

圖4

生：兩個學生畫出連接A、B兩點的幾條曲線后發現這些曲線必與直線l相交。

師：再用連續不斷的幾條函數曲線連接如圖A、B兩點，引導學生觀察所畫曲線與直線l的相交情況，說明連接A、B兩點的函數曲線交點必在區間(a，b)內。生：觀察下面函數f（x）＝0的圖象（如圖5）并回答 圖5 ①區間[a，b]上______(有/無)零點；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）。②區間[b，c]上______(有/無)零點；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）。③區間[c，d]上______(有/無)零點；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）。

師：教師引導學生結合函數圖象，分析函數在區間端點上的函數值的符號情況，與函數零點是否存在之間的關系。

生：根據函數零點的意義結合函數圖象，歸納得出函數零點存在的條件，并進行交流、評析總結概括形成結論）

一般地，我們有：如果函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線并且有f（a）·f（b）<0，那么函數y＝f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）＝0的根。第二階段設計意圖：

教師引導學生探索歸納總結函數零點存在定理，培養歸納總結能力和邏輯思維 2.例范研究

例1.已知函數f（x）= －3x5－6x＋1有如下對應值表： x －2 －1.5 0 1 2

f（x）109 44．17 1 －8 －107

函數y＝f（x）在哪幾個區間內必有零點？為什么？ 設計意圖通過本例引導探索，師生互動

探求1：如果函數y＝ f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）>0時，函數在區間（a，b）內沒有零點嗎? 探求2：如果函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0時，函數在區間（a，b）內有零點，但是否只一個零點？

探求3：如果函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且函數在區間（a，b）內有零點時一定有f（a）·f（b）<0 ？ 探求4：如果函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象不是一條連續不斷的曲線，函數在區間（a，b）內有零點時一定有f（a）·f（b）<0 ？ 圖5（反例）

師：總結兩個條件：

1）函數y＝ f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線 2）在區間[a，b]上有f（a）·f（b）<0 一個結論：函數y＝

f（x）在區間[a，b]內單調則函數在這個區間內有且只有一個零點 補充：什么時候只有一個零點？

（觀察得出）函數y＝f（x）在區間[a，b]內單調時只有一個零點 例2．求函數的零點個數．問題：

1）你可以想到什么方法來判斷函數零點個數？

2）判斷函數的單調性，由單調性你能得該函數的單調性具有什么特性？ 第三階段設計意圖：

教師引導學生理解函數零點存在定理，分析其中各條件的作用,應用例1，例2加深對定理的理解

3.練習嘗試(可根據時間和學生對知識的接受程度適當調整)1．求函數，并畫出它的大致圖象．

2．利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：（1）；（2）；

3．利用函數的圖象，指出下列函數零點所在的大致區間：（1）；（2）； [師生互動] 師：多媒體演示；結合圖象考察零點所在的大致區間與個數，結合函數的單調性說明零點的個數；讓學生認識到函數的圖象及基本性質（特別是單調性）在確定函數零點中的重要作用． 生：建議學生使用計算器求出函數的大致區間，培養學生的估算能力，也為下一節的用二分法求方程的近似解做準備。

第四階段設計意圖：利用練習鞏固新知識，加深理解，為用二分法求方程的近似解做準備 4.探索研究(可根據時間和學生對知識的接受程度適當調整)討論：請大家給方程的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更??？ [師生互動] 師：把學生分成小組共同探究，給學生足夠的自主學習時間，讓學生充分研究，發揮其主觀能動性。也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究，激發學生學習潛能和熱情。老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區間大小情況。生：分組討論，各抒己見。在探究學習中得到數學能力的提高 第五階段設計意圖：

一是為用二分法求方程的近似解做準備

二是小組探究合作學習培養學生的創新能力和探究意識，本組探究題目就是為了培養學生的探究能力，此組題目具有較強的開放性，探究性，基本上可以達到上述目的。5.課堂小結： 零點概念

零點存在性的判斷

零點存在性定理的應用注意點：零點個數判斷以及方程根所在區間 6.作業回饋 教材P108習題3．1（A組）第1、2題； 思考：總結函數零點求法要注意的問題；思考可以用求函數零點的方法求方程的近似解嗎？ 教學程序設計框圖：

七、教學反思

本設計遵循了由淺入深、循序漸進的原則，分三步來展開這部分的內容。第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數圖象和性質研究方程的解，體現函數與方程的關系。第三步，在函數模型的應用過程中，通過建立函數模型以及模型的求解，更全面地體現函數與方程的關系逐步建立起函數與方程的聯系。本節只是函數與方程的關系建立的第一步，教學中忌面面具到，延展太深。

恰當使用信息技術：本節的教學中應當充分使用信息技術。實際上，一些內容因為涉及大數字運算、大量的數據處理、超越方程求解以及復雜的函數作圖，因此如果沒有信息技術的支持，教學是不容易展開的。因此，教學中會加強信息技術的使用力度，合理使用多媒體和計算器。

第二篇：方程的根與函數的零點教學設計

教師的工作就不是原來的意義的教書，應改變為導書，即指導學生去讀書，在指導學生學習的同時要點撥給學生學習的方法，幫助學生解疑析難，指導學生形成知識體系與思想方法，亦即將教法向導法轉變。例如：方程的根與函數的零點 ①首先開門見山地提出問題

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數b=ax2+bx+c(a≠0)圖象有什么關系? ②要解決上述問題還得先確定探索的方法，由特殊到一般：即通過具體的函數與方程來討論。③分組實施 ④交流匯報結果 ⑤老師精點 ⑥引導猜想 方程f(x)=0有實根零點。

⑦引導學生去總結出：函數y=f(x)有零點的特征(見課本P102)⑧應用

學生完成P102的例題、P103的練習⑨小結：(1)探問題的方法(2)得到的結果(3)能解決什么問題(4)解決問題的步驟 3

y=f(x)的圖象與x軸有交點

y=f(x)有零點。從而定義函數的要實現教法的改變，必須轉變學法，這更需學生樹立正確態度和思想：我要學習、我急需學習，由一段時間努力和體會，學法會形成的。16.在感受中發現，在領悟中升華——“函數的概念與圖象”教學的一點隨想深圳市平岡中學孫文彩當我拿著精美的新教材，看著一幅幅優美的圖片時，給我最大的感觸就是：圖文并茂，內容豐富，敘述形式充滿濃厚的人文時代氣息……，特別是當我上完“函數的概念與圖象”這部分內容后，感慨很多，在此略加采擷，旨在拋磚引玉，懇請同行指正!(一)讓學生感受數學，體會數學的價值。

數學對是客觀世界的數量關系和空間形式的描述，它來源于客觀世界的實際事物，學生們的生活中處處有數學。教學時如能善于挖掘生活中的數學素材，從生活實際出發，結合學生的生活實際，把教材內容與“數學現實”有機結合起來，引入數學知識，讓數學貼近生活，使學生感受數學的實用性，對數學產生親切感。

教材中“函數的概念與圖象”內容就是把學生身邊的素材：國民生產總值，一天的溫度變化曲線，自由落體運動函數，等等，教者如能把它制成幻燈片作為課堂引入，或者再因地制宜地舉出一些其它的實例，如飛機票價表，數學用表，股市走勢圖，家庭生活用電數……，使學生對熟悉的生活場景的回顧，感受到函數與我們現實生活的密切關系，消除同學們對函數這一概念的陌生感、恐懼感。堂課的背景材料取材于學生最熟悉的資料，當學生看到自己非常熟悉的材料出現在課堂上時，那種油然而生的親切感會使他們的情緒空前高漲，從而激發主動學習的愿望。有了學生情感的積極參與，課堂將會一片生機盎然。

《數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”，用數學眼光去觀察生活實際，從而讓學生感受生活化的數學，體驗數學化的生活，教材為我們提供了一定的讓學生進行主動探索的材料，同時更需要發揮教師的主導作用，創造性地使用教材，發揮教師的主觀能動性，使數學更貼近學生，拉近學生與書本，與數學的距離。(二)讓學生體驗數學，涵養數學的靈氣

體驗就是個體主動親歷和虛擬地親歷某件事并獲得相應的認知和情感的直接經驗活動。新頒布的《高中數學課程標準》與原來的教學大綱相比，一個明顯的特征是增加了過程性目標和體驗性目標，特別強調學生“經歷了什么”、“體會了什么”、“感受了什么”。對數學的認識不僅要從數學家關于數學本質的觀點去領悟，更要從數學活動的親身實踐中去體驗，重視從學生的生活實踐和已有的知識經驗中學習數學、理解數學和運用數學。所以數學教學必須引導學生通過主動參與和親身實踐，或獨立思考、或與同學教師合作探究，讓他們發展能力，感受自己的價值，從而激發對學習數學的興趣。

“函數的概念與圖象”設計了一個小組討論，讓學生舉出自己生活中遇到，見到的函數實例。同學們的熱烈討論，舉出許多生活中的函數實例，實實在在地體驗到數學就在自己身邊，原來函數就是如此!數學起源于生活，但經過抽象后形成的書本知識遠比生活知識來的難以接受。如課本中的函數的概念，函數的三種表示，分段函數等等，學生覺得數學難懂、難學，一個重要的原因就是課程知識與生活的經驗嚴重脫節，把學生死死地捆綁在課本里，死記那些學生認為枯燥的概念和公式。新教材的一個重要特征就是引導學生關注生活，讓學生在生活的問題情境中，學會應用數學的思想方法去觀察、分析；同時教師要把豐富的，貼近學生生活的素材展現在學生面前，并以此為基點，延伸，拓展，這種建立在學生生活經驗上的知識就容易被他們掌握，理解，同化以致于轉化成學生的一種數學能力。(三)領悟數學，升華思想，呈現本質

新的課程理念認為，學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。課堂上讓學生親歷體驗，有助于學生通過多種活動探究和掌握數學知識，達到對知識的深層理解，更重要的是學生在體驗中能夠逐步發現規律、認識數學的一般方法。

案例：某種筆記本每個5元，買x(x∈｛1，2，3，4｝)個筆記本的錢數記為y(元)，試分別用解析法，列表法，圖象法將y表示成x的函數。

學生通過自主探究，給出函數的三種表示，領悟到一個函數有時可以用不同方法表示，同時不同方法的表示又有助于對函數的本質的深層理解。學生學習數學的過程不是一個被動吸收、機械記憶、反復練習的過程，它是一種在已有經驗和原有認識的情況下解決問題，形成技能，鞏固新知識的有意義的過程，讓學生經歷知識的再創造，體驗知識的形成過程，才能把新知識納入到原有知識中去，內省為有效知識。(四)讓學生應用數學

新教材內容特別注意加強數學應用意識的培養，這是因為隨著社會主義市場經濟的發展，使得“數學從社會的幕后走到臺前”，在很多方面可以直接為社會創造價值。讓學生學會數學 認識數學、體驗數學、形成正確數學觀的過程，在這個過程中以數學知識為載體的數學，不能僅僅追求知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學生通過這一過程學會數學的思維，體會數學的思想方法，感悟數學的精神并形成積極的數學態度。

案例：一座鋼索結構橋的立柱PC與QD的高度都是60m，A，C間距離為200m，B，D間距離為250m，C，D間距離為2000m，E，F間距離為10m，P點與A點間，Q點與B點間分別用直線式橋索相連結，立柱PC，QD間可以近似看做是拋物線式鋼索PEQ相連結。現有一只江歐從A點沿著鋼索AP，PEQ，QB走向B點，試寫出從A點走到B點江歐距離橋面的高度與移動的水平距離之間的函數關系。

這是課本中的一個問題，從中可以看出數學在建筑設計中的應用，教者引導學生完成對問題的分析，提取，抽象，解剖，計算，總結，導出了數學建模，分段函數，二次函數的解析式，待定系數等到數學概念，把學生的創造力發揮得淋漓盡致，學生學數學的過程成了“做數學”、“用數學”的過程。

在教學中，充分挖掘其人文的、科學的和應用的價值，讓學生通過對身邊具體的事例研究，體會數學和生活的緊密聯系，感受數學在科學決策中的價值，從而提高學習數學的興趣。學生在學習過程中因為數學的抽象性，數學問題解決經常伴隨著困難，但難度只要不超過學生的能力，總有可能獲得成功。美國著名的數學教育家波利亞說過：“如果學生在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了?！钡谑『蟮某晒κ歉钊伺d奮的，心中的愉悅是無法形容的，當學生有了這種情感體驗后，就會不斷地去追求，使自己的學習走向深入，就會感受到數學是偉大。

第三篇：“方程的根與函數的零點”教學設計

一.內容和內容解析

本節內容有函數零點概念、函數零點與相應方程根的關系、函數零點存在性定理.函數零點是研究當函數的值為零時，相應的自變量的取值，反映在函數圖象上，也就是函數圖象與軸的交點橫坐標.由于函數的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數的零點必然與方程有著不可分割的聯系，事實上，若方程有解，則函數存在零點，且方程的根就是相應函數的零點，也是函數圖象與軸的交點橫坐標.順理成章的，方程的求解問題，可以轉化為求函數零點的問題.這是函數與方程關系認識的第一步.零點存在性定理，是函數在某區間上存在零點的充分不必要條件.如果函數在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且滿足f(a)f(b)0，則函數在區間(a,b)內至少有一個零點，但零點的個數，需結合函數的單調性等性質進行判斷.定理的逆命題不成立.方程的根與函數零點的研究方法，符合從特殊到一般的認識規律，從特殊的、具體的二次函數入手，建立二次函數的零點與相應二次方程的聯系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數與相應方程的情形;零點存在性的研究，也同樣采用了類似的方法，同時還使用了數形結合思想及轉化與化歸思想.方程的根與函數零點的關系研究，不僅為用二分法求方程的近似解的學習做好準備，而且揭示了方程與函數之間的本質聯系，這種聯系正是中學數學重要思想方法函數與方程思想的理論基礎.可見，函數零點概念在中學數學中具有核心地位.本節的教學重點是，方程的根與函數零點的關系、函數零點存在性定理.二.目標和目標解析

通過本課教學，要求學生：理解并掌握方程的根與相應函數零點的關系，在此基礎上，學會將求方程的根的問題轉化為求相應函數零點的問題;理解零點存在性定理，并能初步確定具體函數存在零點的區間.1.能夠結合具體方程(如二次方程)，說明方程的根、相應函數圖象與軸的交點橫坐標以及相應函數零點的關系;

2.正確理解函數零點存在性定理：了解圖象連續不斷的意義及作用;知道定理只是函數存在零點的一個充分條件;了解函數零點只能不止一個;

3.能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數;

4.能順利將一個方程求解問題轉化為一個函數零點問題，寫出與方程對應的函數;并會判斷存在零點的區間(可使用計算器).三.教學問題診斷分析

學生已有的認知基礎是，初中學習過二次函數圖象和二次方程，并且解過當函數值為0時，求相應自變量的值的問題，初步認識到二次方程與二次函數的聯系，對二次函數圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認識與體會.在高中階段，已經學習了函數概念與性質，掌握了部分基本初等函數的圖象與性質.教學的重點是方程的根與函數零點的關系及零點存在性定理的深入理解與應用.以二次方程及相應的二次函數為例，引入函數零點的概念，說明方程的根與函數零點的關系，學生并不會覺得困難.學生學習的難點是準確理解零點存在性定理，并針對具體函數(或方程)，能求出存在零點(或根)的區間.教學過程中，通過引導學生通過探究，發現方程的根與函數零點的關系;而零點存在性定理的教學，則應引導學生觀察函數圖象與軸的交點的情況，來研究函數零點的情況，通過研究：①函數圖象不連續;②;③，函數在區間上不單調;④，函數在區間上單調，等各種情況，加深學生對零點存在性定理的理解.四.教學支持條件分析

本節教學目標的實現，需要借助計算機或者計算器，一方面是繪制函數圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數零點以及同時函數圖象與軸的交點的關系;另一方面，判斷零點所在區間過程中，一些函數值的計算也必須借助計算機或計算器.五.教學過程設計

1.方程的根與相應函數圖象的關系

復習總結一元二次方程與相應函數與軸的交點及其坐標的關系：

一元二次方程根的個數

圖象與軸交點個數

圖象與軸交點坐標

意圖：回顧二次函數圖象與軸的交點和相應方程的根的關系，為一般函數及相應方程關系作準備.問題

一、上述結論對其他函數成立嗎?為什么?

在《幾何畫板》下展示如下函數的圖象：、、、、，比較函數圖象與軸的交點和相應方程的根的關系。

函數的圖象與軸交點，即當，該方程有幾個根，的圖象與軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標.意圖：通過各種函數，將結論推廣到一般函數。

2.函數零點概念

對于函數，把使的實數叫做函數的零點.說明：函數零點不是一個點，而是具體的自變量的取值.3.方程的根與函數零點的關系

方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點以上關系說明：函數與方程有著密切的聯系，從而有些方程問題可以轉化為函數問題來求解，同樣，函數問題有時也可轉化為方程問題.這正是函數與方程思想的基礎.4.零點存在性定理 問題

二、觀察圖象(氣溫變化圖)片段，根據該圖象片段，將其補充成完整函數圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃?為什么?(假設氣溫是連續變化的)

意圖：通過類比得出零點存在性定理.給出零點存在性定理：如果函數在區間上的圖象是連續不斷一條曲線，并且有，那么，函數在區間內有零點.即存在，使得，這個c也就是方程的根.問題

三、不是連續函數結論還成立嗎?請舉例說明。

在《幾何畫板》下結合函數的圖象說明。

問題

四、若，函數在區間在上一定沒有零點嗎?

問題

五、若，函數在區間在上只有一個零點嗎?可能有幾個?

問題

六、時，增加什么條件可確定函數在區間在上只有一個零點?

在《幾何畫板》下結合函數的圖象說明問題四、五、六。

意圖：通過四個問題使學生準確理解零點存在性定理.5.例題：求函數的零點的個數.問題

七、能否確定一個區間，使函數在該區間內有零點.問題

八、該函數有幾個零點?為什么?

意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區間，并且結合函數性質，判斷零點個數的方法.六.目標檢測設計

1.已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，且有如下對應值表，則函數在哪幾個區間內有零點?為什么?

x

2 3 4 6 10

f(x)20-5.5-2 6

2.函數在區間[-5，6]上是否存在零點?若存在，有幾個?

3.利用函數圖象判斷下列方程有幾個根

(1)

(2)

4.指出下列函數零點所在的大致區間

(1)

(2)

最后，師生共同小結(略)

思考題：函數的零點在區間內有零點，如何求出這個零點?設計意圖：為下一節二分法的學習做準備.

第四篇：方程的根與函數的零點教學設計

方程的根與函數的零點教學設計 教學內容與任務分析 本節課的內容選自《普通高中課程標準實驗教科書》人教A版數學必修一第三章第一節3.1.1方程的根與函數的零點。本節課的主要內容為方程的根與函數零點之間的關系，連續函數在某區間上存在零點的判定方法，是以之前的函數圖象、性質為基礎，為之后學習用二分法其方程的近似解提供理論支持。學習者分析

學生已經學習了函數的圖象及性質，會畫基本的函數圖象，能通過圖象了解函數的性質，但學生對一些特殊的方程還不熟悉，解題可能會感到困難。教學重難點

教學重點：方程的根與函數零點之間的關系，連續函數在某區間上存在零點的判定方法 教學難點：函數的零點與方程的根的聯系的理解,零點的判定 教學目標

知識與技能目標

（1）理解零點的定義

（2）方程的零點與函數的根的聯系

（3）掌握連續函數在某區間上存在零點的判定方法 過程與方法目標

（1）在合作探究的過程中，體會從特殊到一般，數形結合，轉化化歸的數學思想（2）培養分析問題、解決問題的能力 情感態度與價值觀目標

通過方程的根與函數零點的學習，產生數學學習興趣 形成有序全面思考問題的意識 教學過程

問題引入，激發興趣

師：提出問題1：求的實數根，畫出函數的圖象；并觀察他們之間的聯系？

【學情預設】學生能夠解出方程的根，并從圖象上能獲得與方程的根的一些聯系?！驹O計意圖】通過學生熟悉的二次函數的圖象和一元二次方程讓學生觀察方程和函數形式上的聯系，從而得到方程實數根和函數圖象之間的關系。組織探究，得出概念 1.方程的根與函數的零點

師：我們可以發現1，2既是的根，也是函數圖象與x軸的交點橫坐標。那現在我們來思考一下一般方程的情況。我們是如何去判斷方程的個數的呢？是不是借助Δ，那大家通過小組合作一起來完成ppt上的這張表格。填表

Δ>0 Δ<0 Δ=0

方程實數根

函數圖象與x軸的交點

【設計意圖】通過合作填表的過程，讓學生體會方程的根與函數圖象的x軸的坐標的關系，通過對比教學，揭示知識點的聯系。

師：從表格中我們可以得出這樣的等價關系：

方程f(x)=0有實數根<==>函數y=f(x)的圖象與x軸有交點

那我們再來思考一下，假如我們求出函數y=f(x)的圖象與x軸的交點坐標為（x0,0），這個x0 是不是就是令y=0的x的值??？

這個x0在方程中我們定義它為方程的根，那在函數中我們也給它一個定義，叫做函數的零點。師：現在老師給出函數零點的定義。對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。

那函數的零點他是不是一個點呢？

大家一起來再將概念縮一下句，實數x叫做零點，那說明零點時一個數?！驹O計意圖】通過對概念中的關鍵進行提煉，加深對概念的理解。師：那現在我們又可以得出另一個等價關系：

函數y=f(x)的圖象與x軸有交點<==>函數y=f(x)有零點 又因為這兩個等價關系兩兩等價，因而可以得出 方程f(x)=0有實數根

<==>函數y=f(x)的圖象與x軸有交點 <==>函數y=f(x)有零點

【設計意圖】通過上述過程，讓學生領會求方程f(x)=0的實數根，就是確定函數y=f(x)的零點這一關鍵。

2.零點的存在性探究 師：探究

【設計意圖】通過層層遞進的問題鏈，教師引導學生探索，歸納總結函數的零點存在性定理，培養歸納總結的能力。師：一般的，如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)*f(b)<0,那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在c?(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程y=f(x)=0的根。

提問：僅滿足f(a)·f(b)<0可以確定有零點嗎？ 引導學生構造反例：

【設計意圖】通過反例，強調判定條件——圖像是連續不斷的一條曲線，加深 對概念的認知。鞏固練習，提升能力 例1：

【設計意圖】通過例題，對所學知識進行及時鞏固，歸納小結，布置作業

學生自主對本節課的內容進行歸納總結 函數零點的定義 三個等價關系 零點的存在性定理

【設計意圖】建立自主的知識體系，形成知識網絡，加深對知識的鞏固，培養總結歸納的能力。

布置分層作業：基礎題和提高題

【設計意圖】通過分層作業，注重學生的個體差異，因材施教，是每個層次的學生都有所進步。

第五篇：“方程的根與函數的零點”教學反思

《方程的根與函數的零點》教學反思

巴里坤縣第三中學教師 李曉瑩

本節是在學習了前兩章函數性質的基礎上，利用函數的圖象和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與對應方程的根的關系以及掌握函數在某個區間上存在零點的判定方法；為下節“二分法求方程的近似解”和后續學習的算法提供基礎。因此本節內容具有承上啟下的作用，非常重要。表面上看，這一內容的教學并不困難，但要讓學生真正理解，在教學設計和難點突破上需要下足夠的功夫，教學過程中還需要妥善處理其中的一些問題。所以，我在教法上，以問題為紐帶，用問題引出內容，激發學生積極主動地進行探索；同時向學生滲透數學思想方法；滲透問題意識，培養學生發現問題、解決問題的能力以及采用“提出問題——引導探究——得出結論——講練結合”的教與學模式。本節課借助多媒體手段創設問題情境，指導學生研究式學習和體驗式學習．如，函數零點與方程根之間的聯系是這節課的一個重點，為了突破這一重點，在教學中利用多媒體教學，調動了學生學習的積極性，準確、直觀、易于學生理解，符合學生的認知特點，調動了學生主動參與教學的積極性，使他們進行自主探究與合作交流，親身體驗知識的形成過程，變靜態教學為動態教學。

一、新課的引入

本堂課是用對實際問題的探討來引入函數的零點，通過這樣一個問題激發學生的學習興趣，由直觀過渡到抽象，更符合學生的認知過程，在評課的時候，這一點也獲得了聽課老師的一致好評。再復習鞏固一元一次方程和一元二次方程的解法，由學生已掌握的知識入手，創設熟悉環境，引導進入本課狀態。接著讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數的零點，再來理解其他復雜的函數的零點就會容易一些。圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題，并且，利用了教材中的方程提出了下列問題：方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？結果，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，快速解決了問題。由此看來，這堂課一開始引入熟悉的例子，最能激發學生的學習積極性，并讓其認識到學習函數的零點的必要性。

二、重難點的突破

零點存在性定理是本節課的難點和重點，教學設計的好壞直接關系到學生對本節課的學習效果。因此，從“一個函數是否有零點，就是看它的圖象與x軸是否有交點。那么，我們又如何判定一個函數的圖象與x軸是否有交點呢？”的提問入手，引出零點存在條件的探究。給出6個問題：問題 1、2是學生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，問題3、4是方程的根和函數圖象與x軸的交點之間有何聯系與區別，問題5、6上升到抽象連續函數y=f(x)在區間（a,b）內一定有零點的條件。引導學生一邊畫草圖，一邊思考，總結規律：函數圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產生了交點。要判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點（教材對于函數f(x)在（a，b）內有零點，只研究函數f(x)的圖象穿過x軸的情況），應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)f(b)<0。從課后了解到，學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點，教學卻沒有對證明的必要性展開討論。忽略了在研究函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點，再進行證明。所以，在課后向學生提出如何判斷函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，就有學生認為，只需看函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點即可。這樣看來，教師有必要引導學生認識證明的必要性。我們也可以作出一些特殊函數在不同區間范圍的圖象，讓學生通過觀察對比得到認識。這6個問題設計精巧，層層遞進，引發了學生積極思考、探索與交流，將教學推向高潮。如此尋求函數零點存在的條件，符合學生的認知規律：從簡單到復雜，從具體到抽象，讓學生在具體的例題中概括出共同的本質特征，得出一般性的結論，使學生思維發生碰撞，既弄懂了問題又使數學方法得到提升。

三、教學內容結構，突出思想方法

首先要通過把握教材內容結構來設計教學框架，然后根據教學框架來考慮需要突出的思想方法。本節課按照下列主線來展開教學：

（一）如何引導學生將復雜的問題簡單化，并學會從已有認知結構出發由特殊到一般地思考問題。

教材設置函數的零點這一內容的目的，就是為了體現函數的應用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎。所以，教學一開始就從學生熟悉的知識點入手，用方程的求解出發展開討論，然后引導學生體會其中的思想方法。例當學生陷入困境時，再逐步提出下面的問題進行引導：

1．當遇到一個復雜的問題，我們一般應該怎么辦？

以此來引導學生將復雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。2．以前我們如何判斷一個方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助？

以此來引導學生從已有認知結構出發，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學會從特殊到一般的思維方法。

3．除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎？

以此來引導學生建立方程與函數的聯系，滲透函數與方程的思想方法，并培養其從不同角度思考問題的習慣。

（二）怎樣突出數形結合的思想方法

數形結合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數”一章的始終，學生通過前面的學習，已基本形成數形結合的思想方法，所以本節教學以培養學生主動運用數形結合的思想方法去分析問題為目的。在建立方程的根與函數的零點的關系時，函數圖象起到了關鍵的橋梁作用，充分體現了它與方程的根以及函數零點之間的數形結合的關系。由學生作出函數圖象，讓學生回答方程的根與函數圖象和x軸的交點有何關系，然后學生自己總結出方程的根、函數圖象和x軸的交點、函數的零點之間的關系。這樣的教學，在一定程度上也能體現數形結合的思想方法。在這種能夠體現思想方法的關鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學生由方程自覺地聯想到相應的函數，主動地建立方程的根與函數圖象間的關系，提升數形結合思想方法的層次，增強函數應用的意識。

（三）如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數f(x)在（a，b）內有零點的一種條件。如何讓學生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學難點需要處理：

1．如何引導學生用f(a)f(b)<0來說明函數f(x)在（a，b）內有零點？

教材是先從函數圖象出發，讓學生通過觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，來認識函數f(x)在（a，b）內是否有零點。這是一個直觀認識的過程，對學生來說并不困難。然后再讓學生認識，f(a)f(b)<0則函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學生來說是有困難的。教學的關鍵在于，如何引導學生由函數f(x)的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯想到f(a)f(b)<0。

2．如何引導學生判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數？

（1）要判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數，可先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有幾個交點，再進行證明。

當觀察到函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸的交點個數后，可以在（a，b）內分別選取每個交點周圍的一個區間，然后說明函數分別在各個區間只有一個零點。這樣，就將判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數轉化為判斷函數在各個區間內分別只有一個零點。由于f(a)f(b)<0只能說明函數f(x)在（a，b）內有零點，而不能說明f(x)在（a，b）內有幾個零點，這就要求函數在每個交點周圍所選取的區間上的圖象在直觀上要單調，并且要證明函數f(x)在該區間上單調。

（2）要證明函數在某個區間內只有一個零點需要一個循序漸進的過程

證明函數在某個區間內只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數證明的理性思維過程。從學生現有的知識積累來看，目前教學應立足從圖象直觀來認識，對于易于用函數單調性定義證明函數單調性的函數，可要求學生進行代數證明。待學生學習了函數的導數之后，再統一要求學生對所有的函數都進行代數證明。所以，學生對這一問題的認識有一個循序漸進的過程，教師對這一問題的教學需要分階段提出不同層次的要求，關鍵是把握好教學的度。

本課的實際教學中還存在著不足: 1.在探究新知識時試圖給學生講授一點關于方程的解的數學史知識，但時間問題，最終舍棄了；

2.想自在的調控課堂而不盡得。我所期望的課堂是學生既自主又合作，既數學又生活的。這需要對數學史與知識點較透徹的理解，這需要語言表達的精確，這些都是我的不足。3.在課件制作方面還是存在不足，水平不夠高，有待提高。4.在板書方面，板塊意識有了，也算工整，但是字跡不夠美觀。

本節課零點的引入部分可以簡化改進，使之更趨合理，零點存在性定理引入部分略顯生硬，應該有更藝術的方式。高一學生在函數的學習中，常表現出不適，主要是數形結合與抽象思維尚不能勝任。具體表現為將函數孤立起來，認識不到函數在高中數學中的核心地位。函數與方程相聯系的觀點的建立，函數應用的意識的初步樹立，應該是本節課必須承載的重要任務。在這一任務的達成度方面，本課還需更突出。另外，課堂上教師怎樣引導學生也是值得我深思的一個問題，還有少講多引方面也是我今后教學中努力的方向。

《方程的根與函數的零點》教學反思

巴里坤縣第三中學教師

李曉瑩