第一篇：方程根與函數的零點教學設計__王明

《方程根與函數的零點》教學案例

——新課程改革下的教學模式

高一年級

王數學組

明方程根與函數的零點教學案例

【教材的地位與作用】

本節課是選自人教版《高中課程標準實驗教科書》A版必修1第三章第一節。函數是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數與形,函數與方程有機的聯系在一起。

本節是函數應用的第一課，學生在系統地掌握了函數的概念及性質，基本初等函數知識后，學習方程的根與函數零點之間的關系，并結合函數的圖象和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而掌握函數在某個去件上存在零點的判定方法。為下節“二分法求方程的近似解”和后續學習的算法提供了基礎．因此本節內容具有承前啟后的作用，地位重要．

對函數與方程的關系有一個逐步認識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則．從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應的二次函數的零點的聯系，然后將其推廣到一般方程與相應的函數的情形。【學情分析】

1．通過前面的學習，學生已經了解一些基本初等函數的模型，掌握了函數圖象的一般畫法，及一定的看圖識圖能力,這為本節課利用函數圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數零點的概念本質的理解，學生缺乏的是函數的觀點，或是函數應用的意識，造成對函數與方程之間的聯系缺乏了解。【教材目標】

根據本課教學內容的特點以及新課標對本節課的教學要求，考慮學生已有的認知結構與心理特征，我制定以下教學目標：

（一）認知目標：

1．理解并掌握方程的根與相應函數零點的關系，學會將求方程的根的問題轉化為求相應函數零點的問題；

2．理解零點存在條件，并能確定具體函數存在零點的區間．

（二）能力目標：

培養學生自主發現、探究實踐的能力．

（三）情感目標：在函數與方程的聯系中體驗數學轉化思想的意義和價值

【教材重難點】

本著新課程標準的教學理念，針對教學內容的特點，我確立了如下的教學重點、難點：

教學重點：體會函數的零點與方程的根之間的聯系，掌握零點存在的判定條件及應用．

教學難點：探究發現函數零點的存在性.【教法分析】充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用.指導學生比較對照區別方程的根與函數圖象與X軸的交點的方法，指導學生按順序有重點地觀察函數零點附近的函數值之間的關系的方法，并比較采用 “啟發—探究—討論”式教學模式.這樣的教法有利于突出重點——函數的零點與方程的根之間的聯系與零點存在的判定條件及應用 【教學過程】

（一）創設情景，提出問題

由簡單到復雜，使學生認識到有些復雜的方程用以前的解題方法求解很不方便,需要尋求新的解決方法，讓學生帶著問題學習，激發學生的求知欲．

以學生熟悉二次函數圖象和二次方程為平臺，觀察方程和函數形式上的聯系，從而得到方程實數根與函數圖象之間的關系。培養學生歸納能力。理解零點是連接函數與方程的結點。

（二）啟發引導，形成概念

利用辨析練習，加深學生對概念的理解．目的要學生明確零點是一個實數，不是一個點.引導學生得出三個重要的等價關系，體現了“化歸”和“數形結合”的數學思想，這也是解題的關鍵 ．

（三）初步運用，示例練習

鞏固函數零點的求法，滲透二次函數以外的函數零點情況．進一步體會方程與函數的關系．

（四）討論探究，揭示定理

通過小組討論完成探究，教師恰當輔導，引導學生大膽猜想出函數零點存在性的判定方法.這樣設計既符合學生的認知特點，也讓學生經歷從特殊到一般過程.函數零點的存在性判定定理，其目的就是通過找函數的零點來研究方程的根，進一步突出函數思想的應用，也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。

（五）討論辨析，形成概念

引導學生理解函數零點存在定理，分析其中各條件的作用，并通過特殊圖象來幫助學生理解,將抽象的問題轉化為直觀形象的圖形，更利于學生理解定理的本質．定理不需證明，關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認，有些需要結合具體的實例，加強對定理進行全面的認識，比如定理應用的局限性，即定理的前提是函數的圖象必須是連續的，定理只能判定函數的“變號”零點；定理結論中零點存在但不一定唯一，需要結合函數的圖象和性質作進一步的判斷。定理的逆命題不成立．

（六）觀察感知，例題學習

引導學生思考如何應用定理來解決相關的具體問題，接著讓學生利用計算器完成對應值表，然后利用函數單調性判斷零點的個數，并借助函數圖象對整個解題思路有一個直觀的認識.（七）知識應用，嘗試練習

對新知識的理解需要一個不斷深化完善的過程，通過練習，進行數學思想方法的小結，可使學生更深刻地理解數學思想方法在解題中的地位和應用，同時反映教學效果，便于教師進行查漏補缺.（八）課后作業，自主學習

鞏固學生所學的新知識，將學生的思維向外延伸，激發學生的發散思維

【教學反思】

一、首先要讓學生認識到學習函數的零點的必要性

教材是利用一元二次方程的例子來引入函數的零點。這樣處理，主要是想讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數的零點，再來理解其他復雜的函數的零點就會容易一些。但在教學時，就不能照本宣科。二、一元二次方程根的存在是否由其判別式決定

當教師問到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有實根時，兩個班的學生很快就用根的判別式作出了判斷，沒有一位學生用方程相應的函數圖象進行分析。于是，教師又引導學生作出一元二次方程相應的函數的圖象，并建立方程的根與函數圖象和x軸交點的聯系。值得注意的是，在上述活動中，學生認為，因為一元二次方程根的判別式的大小有三種情況，所以一元二次方程相應的函數圖象和x軸的交點就有三種情況。在研究了一元二次方程與其函數圖象的關系后總結到，雖然我們可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但對于沒有判別式的其他方程就可以根據相應的函數圖象來判斷了。

三、根據圖象能否判斷函數是否有零點以及零點的個數 要判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點（教材對于函數f(x)在（a，b）內有零點，只研究函數f(x)的圖象穿過x軸的情況），應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)?f(b)<0。但是，教學卻沒有對證明的必要性展開討論。結果，從課后了解到，學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點，至于證明只是數學上的嚴格要求而已。在研究函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點，再進行證明，依然沒有說明證明的必要性。所以，在課后向學生提出如何判斷函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，就有學生認為，只需看函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點即可。

方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，第一次教學就要取得成功的確不易。看來，像這些中學新增內容的教學，需要一個不斷實踐以及實踐后的反思的過程，在實踐與反思的過程中，不僅要妥善解決上述問題，還要不斷地發現和解決新的問題，這樣，教學效果才會逐步得到改善。

第二篇：方程的根與函數的零點教學設計

教師的工作就不是原來的意義的教書，應改變為導書，即指導學生去讀書，在指導學生學習的同時要點撥給學生學習的方法，幫助學生解疑析難，指導學生形成知識體系與思想方法，亦即將教法向導法轉變。例如：方程的根與函數的零點 ①首先開門見山地提出問題

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數b=ax2+bx+c(a≠0)圖象有什么關系? ②要解決上述問題還得先確定探索的方法，由特殊到一般：即通過具體的函數與方程來討論。③分組實施 ④交流匯報結果 ⑤老師精點 ⑥引導猜想 方程f(x)=0有實根零點。

⑦引導學生去總結出：函數y=f(x)有零點的特征(見課本P102)⑧應用

學生完成P102的例題、P103的練習⑨小結：(1)探問題的方法(2)得到的結果(3)能解決什么問題(4)解決問題的步驟 3

y=f(x)的圖象與x軸有交點

y=f(x)有零點。從而定義函數的要實現教法的改變，必須轉變學法，這更需學生樹立正確態度和思想：我要學習、我急需學習，由一段時間努力和體會，學法會形成的。16.在感受中發現，在領悟中升華——“函數的概念與圖象”教學的一點隨想深圳市平岡中學孫文彩當我拿著精美的新教材，看著一幅幅優美的圖片時，給我最大的感觸就是：圖文并茂，內容豐富，敘述形式充滿濃厚的人文時代氣息……，特別是當我上完“函數的概念與圖象”這部分內容后，感慨很多，在此略加采擷，旨在拋磚引玉，懇請同行指正!(一)讓學生感受數學，體會數學的價值。

數學對是客觀世界的數量關系和空間形式的描述，它來源于客觀世界的實際事物，學生們的生活中處處有數學。教學時如能善于挖掘生活中的數學素材，從生活實際出發，結合學生的生活實際，把教材內容與“數學現實”有機結合起來，引入數學知識，讓數學貼近生活，使學生感受數學的實用性，對數學產生親切感。

教材中“函數的概念與圖象”內容就是把學生身邊的素材：國民生產總值，一天的溫度變化曲線，自由落體運動函數，等等，教者如能把它制成幻燈片作為課堂引入，或者再因地制宜地舉出一些其它的實例，如飛機票價表，數學用表，股市走勢圖，家庭生活用電數……，使學生對熟悉的生活場景的回顧，感受到函數與我們現實生活的密切關系，消除同學們對函數這一概念的陌生感、恐懼感。堂課的背景材料取材于學生最熟悉的資料，當學生看到自己非常熟悉的材料出現在課堂上時，那種油然而生的親切感會使他們的情緒空前高漲，從而激發主動學習的愿望。有了學生情感的積極參與，課堂將會一片生機盎然。

《數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”，用數學眼光去觀察生活實際，從而讓學生感受生活化的數學，體驗數學化的生活，教材為我們提供了一定的讓學生進行主動探索的材料，同時更需要發揮教師的主導作用，創造性地使用教材，發揮教師的主觀能動性，使數學更貼近學生，拉近學生與書本，與數學的距離。(二)讓學生體驗數學，涵養數學的靈氣

體驗就是個體主動親歷和虛擬地親歷某件事并獲得相應的認知和情感的直接經驗活動。新頒布的《高中數學課程標準》與原來的教學大綱相比，一個明顯的特征是增加了過程性目標和體驗性目標，特別強調學生“經歷了什么”、“體會了什么”、“感受了什么”。對數學的認識不僅要從數學家關于數學本質的觀點去領悟，更要從數學活動的親身實踐中去體驗，重視從學生的生活實踐和已有的知識經驗中學習數學、理解數學和運用數學。所以數學教學必須引導學生通過主動參與和親身實踐，或獨立思考、或與同學教師合作探究，讓他們發展能力，感受自己的價值，從而激發對學習數學的興趣。

“函數的概念與圖象”設計了一個小組討論，讓學生舉出自己生活中遇到，見到的函數實例。同學們的熱烈討論，舉出許多生活中的函數實例，實實在在地體驗到數學就在自己身邊，原來函數就是如此!數學起源于生活，但經過抽象后形成的書本知識遠比生活知識來的難以接受。如課本中的函數的概念，函數的三種表示，分段函數等等，學生覺得數學難懂、難學，一個重要的原因就是課程知識與生活的經驗嚴重脫節，把學生死死地捆綁在課本里，死記那些學生認為枯燥的概念和公式。新教材的一個重要特征就是引導學生關注生活，讓學生在生活的問題情境中，學會應用數學的思想方法去觀察、分析；同時教師要把豐富的，貼近學生生活的素材展現在學生面前，并以此為基點，延伸，拓展，這種建立在學生生活經驗上的知識就容易被他們掌握，理解，同化以致于轉化成學生的一種數學能力。(三)領悟數學，升華思想，呈現本質

新的課程理念認為，學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。課堂上讓學生親歷體驗，有助于學生通過多種活動探究和掌握數學知識，達到對知識的深層理解，更重要的是學生在體驗中能夠逐步發現規律、認識數學的一般方法。

案例：某種筆記本每個5元，買x(x∈｛1，2，3，4｝)個筆記本的錢數記為y(元)，試分別用解析法，列表法，圖象法將y表示成x的函數。

學生通過自主探究，給出函數的三種表示，領悟到一個函數有時可以用不同方法表示，同時不同方法的表示又有助于對函數的本質的深層理解。學生學習數學的過程不是一個被動吸收、機械記憶、反復練習的過程，它是一種在已有經驗和原有認識的情況下解決問題，形成技能，鞏固新知識的有意義的過程，讓學生經歷知識的再創造，體驗知識的形成過程，才能把新知識納入到原有知識中去，內省為有效知識。(四)讓學生應用數學

新教材內容特別注意加強數學應用意識的培養，這是因為隨著社會主義市場經濟的發展，使得“數學從社會的幕后走到臺前”，在很多方面可以直接為社會創造價值。讓學生學會數學 認識數學、體驗數學、形成正確數學觀的過程，在這個過程中以數學知識為載體的數學，不能僅僅追求知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學生通過這一過程學會數學的思維，體會數學的思想方法，感悟數學的精神并形成積極的數學態度。

案例：一座鋼索結構橋的立柱PC與QD的高度都是60m，A，C間距離為200m，B，D間距離為250m，C，D間距離為2000m，E，F間距離為10m，P點與A點間，Q點與B點間分別用直線式橋索相連結，立柱PC，QD間可以近似看做是拋物線式鋼索PEQ相連結。現有一只江歐從A點沿著鋼索AP，PEQ，QB走向B點，試寫出從A點走到B點江歐距離橋面的高度與移動的水平距離之間的函數關系。

這是課本中的一個問題，從中可以看出數學在建筑設計中的應用，教者引導學生完成對問題的分析，提取，抽象，解剖，計算，總結，導出了數學建模，分段函數，二次函數的解析式，待定系數等到數學概念，把學生的創造力發揮得淋漓盡致，學生學數學的過程成了“做數學”、“用數學”的過程。

在教學中，充分挖掘其人文的、科學的和應用的價值，讓學生通過對身邊具體的事例研究，體會數學和生活的緊密聯系，感受數學在科學決策中的價值，從而提高學習數學的興趣。學生在學習過程中因為數學的抽象性，數學問題解決經常伴隨著困難，但難度只要不超過學生的能力，總有可能獲得成功。美國著名的數學教育家波利亞說過：“如果學生在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了。”但在失敗后的成功是更令人興奮的，心中的愉悅是無法形容的，當學生有了這種情感體驗后，就會不斷地去追求，使自己的學習走向深入，就會感受到數學是偉大。

第三篇：“方程的根與函數的零點”教學設計

一.內容和內容解析

本節內容有函數零點概念、函數零點與相應方程根的關系、函數零點存在性定理.函數零點是研究當函數的值為零時，相應的自變量的取值，反映在函數圖象上，也就是函數圖象與軸的交點橫坐標.由于函數的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數的零點必然與方程有著不可分割的聯系，事實上，若方程有解，則函數存在零點，且方程的根就是相應函數的零點，也是函數圖象與軸的交點橫坐標.順理成章的，方程的求解問題，可以轉化為求函數零點的問題.這是函數與方程關系認識的第一步.零點存在性定理，是函數在某區間上存在零點的充分不必要條件.如果函數在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且滿足f(a)f(b)0，則函數在區間(a,b)內至少有一個零點，但零點的個數，需結合函數的單調性等性質進行判斷.定理的逆命題不成立.方程的根與函數零點的研究方法，符合從特殊到一般的認識規律，從特殊的、具體的二次函數入手，建立二次函數的零點與相應二次方程的聯系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數與相應方程的情形;零點存在性的研究，也同樣采用了類似的方法，同時還使用了數形結合思想及轉化與化歸思想.方程的根與函數零點的關系研究，不僅為用二分法求方程的近似解的學習做好準備，而且揭示了方程與函數之間的本質聯系，這種聯系正是中學數學重要思想方法函數與方程思想的理論基礎.可見，函數零點概念在中學數學中具有核心地位.本節的教學重點是，方程的根與函數零點的關系、函數零點存在性定理.二.目標和目標解析

通過本課教學，要求學生：理解并掌握方程的根與相應函數零點的關系，在此基礎上，學會將求方程的根的問題轉化為求相應函數零點的問題;理解零點存在性定理，并能初步確定具體函數存在零點的區間.1.能夠結合具體方程(如二次方程)，說明方程的根、相應函數圖象與軸的交點橫坐標以及相應函數零點的關系;

2.正確理解函數零點存在性定理：了解圖象連續不斷的意義及作用;知道定理只是函數存在零點的一個充分條件;了解函數零點只能不止一個;

3.能利用函數圖象和性質判斷某些函數的零點個數;

4.能順利將一個方程求解問題轉化為一個函數零點問題，寫出與方程對應的函數;并會判斷存在零點的區間(可使用計算器).三.教學問題診斷分析

學生已有的認知基礎是，初中學習過二次函數圖象和二次方程，并且解過當函數值為0時，求相應自變量的值的問題，初步認識到二次方程與二次函數的聯系，對二次函數圖象與軸是否相交，也有一些直觀的認識與體會.在高中階段，已經學習了函數概念與性質，掌握了部分基本初等函數的圖象與性質.教學的重點是方程的根與函數零點的關系及零點存在性定理的深入理解與應用.以二次方程及相應的二次函數為例，引入函數零點的概念，說明方程的根與函數零點的關系，學生并不會覺得困難.學生學習的難點是準確理解零點存在性定理，并針對具體函數(或方程)，能求出存在零點(或根)的區間.教學過程中，通過引導學生通過探究，發現方程的根與函數零點的關系;而零點存在性定理的教學，則應引導學生觀察函數圖象與軸的交點的情況，來研究函數零點的情況，通過研究：①函數圖象不連續;②;③，函數在區間上不單調;④，函數在區間上單調，等各種情況，加深學生對零點存在性定理的理解.四.教學支持條件分析

本節教學目標的實現，需要借助計算機或者計算器，一方面是繪制函數圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數零點以及同時函數圖象與軸的交點的關系;另一方面，判斷零點所在區間過程中，一些函數值的計算也必須借助計算機或計算器.五.教學過程設計

1.方程的根與相應函數圖象的關系

復習總結一元二次方程與相應函數與軸的交點及其坐標的關系：

一元二次方程根的個數

圖象與軸交點個數

圖象與軸交點坐標

意圖：回顧二次函數圖象與軸的交點和相應方程的根的關系，為一般函數及相應方程關系作準備.問題

一、上述結論對其他函數成立嗎?為什么?

在《幾何畫板》下展示如下函數的圖象：、、、、，比較函數圖象與軸的交點和相應方程的根的關系。

函數的圖象與軸交點，即當，該方程有幾個根，的圖象與軸就有幾個交點，且方程的根就是交點的橫坐標.意圖：通過各種函數，將結論推廣到一般函數。

2.函數零點概念

對于函數，把使的實數叫做函數的零點.說明：函數零點不是一個點，而是具體的自變量的取值.3.方程的根與函數零點的關系

方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點以上關系說明：函數與方程有著密切的聯系，從而有些方程問題可以轉化為函數問題來求解，同樣，函數問題有時也可轉化為方程問題.這正是函數與方程思想的基礎.4.零點存在性定理 問題

二、觀察圖象(氣溫變化圖)片段，根據該圖象片段，將其補充成完整函數圖象，并問：是否有某時刻的溫度為0℃?為什么?(假設氣溫是連續變化的)

意圖：通過類比得出零點存在性定理.給出零點存在性定理：如果函數在區間上的圖象是連續不斷一條曲線，并且有，那么，函數在區間內有零點.即存在，使得，這個c也就是方程的根.問題

三、不是連續函數結論還成立嗎?請舉例說明。

在《幾何畫板》下結合函數的圖象說明。

問題

四、若，函數在區間在上一定沒有零點嗎?

問題

五、若，函數在區間在上只有一個零點嗎?可能有幾個?

問題

六、時，增加什么條件可確定函數在區間在上只有一個零點?

在《幾何畫板》下結合函數的圖象說明問題四、五、六。

意圖：通過四個問題使學生準確理解零點存在性定理.5.例題：求函數的零點的個數.問題

七、能否確定一個區間，使函數在該區間內有零點.問題

八、該函數有幾個零點?為什么?

意圖：通過例題分析，學會用零點存在性定理確定零點存在區間，并且結合函數性質，判斷零點個數的方法.六.目標檢測設計

1.已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，且有如下對應值表，則函數在哪幾個區間內有零點?為什么?

x

2 3 4 6 10

f(x)20-5.5-2 6

2.函數在區間[-5，6]上是否存在零點?若存在，有幾個?

3.利用函數圖象判斷下列方程有幾個根

(1)

(2)

4.指出下列函數零點所在的大致區間

(1)

(2)

最后，師生共同小結(略)

思考題：函數的零點在區間內有零點，如何求出這個零點?設計意圖：為下一節二分法的學習做準備.

第四篇：方程的根與函數的零點教學設計

方程的根與函數的零點教學設計 教學內容與任務分析 本節課的內容選自《普通高中課程標準實驗教科書》人教A版數學必修一第三章第一節3.1.1方程的根與函數的零點。本節課的主要內容為方程的根與函數零點之間的關系，連續函數在某區間上存在零點的判定方法，是以之前的函數圖象、性質為基礎，為之后學習用二分法其方程的近似解提供理論支持。學習者分析

學生已經學習了函數的圖象及性質，會畫基本的函數圖象，能通過圖象了解函數的性質，但學生對一些特殊的方程還不熟悉，解題可能會感到困難。教學重難點

教學重點：方程的根與函數零點之間的關系，連續函數在某區間上存在零點的判定方法 教學難點：函數的零點與方程的根的聯系的理解,零點的判定 教學目標

知識與技能目標

（1）理解零點的定義

（2）方程的零點與函數的根的聯系

（3）掌握連續函數在某區間上存在零點的判定方法 過程與方法目標

（1）在合作探究的過程中，體會從特殊到一般，數形結合，轉化化歸的數學思想（2）培養分析問題、解決問題的能力 情感態度與價值觀目標

通過方程的根與函數零點的學習，產生數學學習興趣 形成有序全面思考問題的意識 教學過程

問題引入，激發興趣

師：提出問題1：求的實數根，畫出函數的圖象；并觀察他們之間的聯系？

【學情預設】學生能夠解出方程的根，并從圖象上能獲得與方程的根的一些聯系。【設計意圖】通過學生熟悉的二次函數的圖象和一元二次方程讓學生觀察方程和函數形式上的聯系，從而得到方程實數根和函數圖象之間的關系。組織探究，得出概念 1.方程的根與函數的零點

師：我們可以發現1，2既是的根，也是函數圖象與x軸的交點橫坐標。那現在我們來思考一下一般方程的情況。我們是如何去判斷方程的個數的呢？是不是借助Δ，那大家通過小組合作一起來完成ppt上的這張表格。填表

Δ>0 Δ<0 Δ=0

方程實數根

函數圖象與x軸的交點

【設計意圖】通過合作填表的過程，讓學生體會方程的根與函數圖象的x軸的坐標的關系，通過對比教學，揭示知識點的聯系。

師：從表格中我們可以得出這樣的等價關系：

方程f(x)=0有實數根<==>函數y=f(x)的圖象與x軸有交點

那我們再來思考一下，假如我們求出函數y=f(x)的圖象與x軸的交點坐標為（x0,0），這個x0 是不是就是令y=0的x的值啊？

這個x0在方程中我們定義它為方程的根，那在函數中我們也給它一個定義，叫做函數的零點。師：現在老師給出函數零點的定義。對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。

那函數的零點他是不是一個點呢？

大家一起來再將概念縮一下句，實數x叫做零點，那說明零點時一個數。【設計意圖】通過對概念中的關鍵進行提煉，加深對概念的理解。師：那現在我們又可以得出另一個等價關系：

函數y=f(x)的圖象與x軸有交點<==>函數y=f(x)有零點 又因為這兩個等價關系兩兩等價，因而可以得出 方程f(x)=0有實數根

<==>函數y=f(x)的圖象與x軸有交點 <==>函數y=f(x)有零點

【設計意圖】通過上述過程，讓學生領會求方程f(x)=0的實數根，就是確定函數y=f(x)的零點這一關鍵。

2.零點的存在性探究 師：探究

【設計意圖】通過層層遞進的問題鏈，教師引導學生探索，歸納總結函數的零點存在性定理，培養歸納總結的能力。師：一般的，如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)*f(b)<0,那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在c?(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程y=f(x)=0的根。

提問：僅滿足f(a)·f(b)<0可以確定有零點嗎？ 引導學生構造反例：

【設計意圖】通過反例，強調判定條件——圖像是連續不斷的一條曲線，加深 對概念的認知。鞏固練習，提升能力 例1：

【設計意圖】通過例題，對所學知識進行及時鞏固，歸納小結，布置作業

學生自主對本節課的內容進行歸納總結 函數零點的定義 三個等價關系 零點的存在性定理

【設計意圖】建立自主的知識體系，形成知識網絡，加深對知識的鞏固，培養總結歸納的能力。

布置分層作業：基礎題和提高題

【設計意圖】通過分層作業，注重學生的個體差異，因材施教，是每個層次的學生都有所進步。

第五篇：方程的根與函數的零點教學設計

方程的根與函數的零點教學設計

【教材分析】

函數是中學數學的核心概念。核心的原因之一就在于函數與其知識據有關煩的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈接點，它從不同的角度，將數與形，函數與方程有機的聯系在一起。

本節課是在學生學習了函數的性質，具備初步的數形結合知識，了解方程的根與函數零點之間的關系的基礎上，結合函數圖象和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而掌握函數在某個區間上存在零點的判定方法，為下節“用二分法求方程的近似解”和后續學習奠定基礎。

因此本節內容具有承前啟后的作用，地位重要． 【教學目標分析】

根據本節課教學內容的特點以及新課標對本節課的教學要求，結合以上對教材以及學情的分析，我制定以下教學目標：

知識與技能目標：鞏固方程的根與函數零點之間的關系，學會函數零點存在的判定方法，理解利用函數單調性判斷函數零點的個數。過程與方法目標：經歷“類比——歸納——應用”的過程，培養學生分析問題探究問題的能力，感悟有具體到一抽象的研究方法，培養學生的歸納概括能力。過程與方法目標：培養學生自主探究，合作交流的能力，培養學生嚴謹的科

學態度。

【教學重點分析】

教學重點：因為函數的零點與方程的關系至關重要，為下面二分法的學習奠定基礎，因此我把本節教學重點定為判定函數零點存在及其個數的方法。

教學難點：為了培養學生的探究精神，讓學生體驗學習的快樂和成果，故本節難點定為探究發現函數零點的存在性，利用函數單調性判斷函數零點的個數。

【教法分析和學法指導】

結合本節課的教學內容和學生的和認知水平，在教法上，我借助多媒體和幾何畫板軟件，采用“啟發—探究—討論”式教學模式，充分發揮教師的主導作用，讓學生真正成為教學活動的主體。在學法上，我以培養學生探究精神為出發點，著眼于知識的形成和發展，著眼于學生的學習體驗，精心設置一個個問題鏈，由淺入深、循序漸進，給不同層次的學生提供思考、創造、表現和成功的機會。

【教學過程設計】

為了突出重點，突破難點，在教學上我做如下設計。

問題1：求方程的實數根，畫出函數觀察他們之間的聯系？

學生通過觀察分析易得：方程的實數根就是函數的圖像；并的圖像與x軸交點的橫坐標

[設計意圖說明]通過學生熟悉的二次函數的圖像和二次方程讓學生觀察方程和函數形式上的聯系，從而得到方程實數根和函數圖象之間的關系。理解零點是連接函數與方程的結點。

初步提出零點的概念：-1，2既是的根，又是函數在y=0時x的值，也是函數圖象與x軸的交點橫坐標。-1,2在方程中稱為實數根，在函數中稱為零點。

問題2：對于一般的一元二次方程和相應方程這種關系是否成立？ [設計意圖說明]利用幾何畫板，學生從動態的角度體會方程的跟與函數的零點之間的關系。引出函數零點的定義

對于函數y=f(x)，我們把使f(x）=0成立的實數x叫做函數y=f(x)的零點 方程f(x)=0有實數根<=>函數y=f(x)的圖像與x軸有交點<=>函數y=f(x)

有零點

問題3：求函數零點

(1)(2)(3)

對于（1）（2）小題，學生容易求的函數零點，而（3）小題學生則意識到無論用代數還是幾何方法入手，再不借助計算機的前提下，不易求得函數

零點。

[設計意圖說明] 借助這個練習題既鞏固檢測了學生對知識點的掌握情況，又引發學生認知沖突，引出本節課題，為新課的教學作好鋪墊。

問題4：請同學們觀察動畫《小馬過河》

將河流抽象成x軸，將小馬前后的兩個位置抽象為A、B兩點。請問當A、B與x軸滿足怎樣的位置關系時AB間的一段函數圖象與x軸會

有交點。

通過觀察，學生不難發現只要滿足A、B兩點在X軸兩側這種位置關系就可以達到要求，這種位置關系引申為f(a)·f(b)<0來表示。

結合圖像，請同學們用恰當的語言表述如何判斷函數在某個區間上是否

存在零點？

學生容易表述為：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上有f(a)·f(b)<0，那么函

數y=f(x)在區間（a,b）內有零點

[設計意圖說明] 將現實生活中的問題抽象成數學模型，進行合情推理，同時由原來的圖形語言抽象成數學語言，再轉換成函數圖像。培養學生的觀察能力和提取有效信息的能力。體驗語言轉化的過程，啟發學生自主發現函數零點的判定方法，培養學生自主探究和歸納創造的能力。

問題5：僅滿足f(a)·f(b)<0可以確定有零點嗎？

引導學生構造反例：

強調判定條件——圖像是連續不斷的一條曲線。

[設計意圖說明] 讓學生體驗從現實生活中抽象成數學模型時，需要一定修正。同時問題設計層層遞進，有助于學生理解概念，學生經歷總結方法，發現缺陷，完善方法的過程，利于知識的理解和掌握，也培養了學生歸納概

括能力。

通過上述研究，學生可以自己概括出函數零點存在的定理： 如果函數f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數在區間（a,b）內有零點，即存在，使得f(c)=0,這個c也是

方程f(x)=0的根。

為了加深對概念的認識，我設計如下三個問題，請同學們分組討論：

（1）函數具備了哪些條件，就可確定它有零點存在呢？

（2）若函數f(x)在區間內有零點，一定能得出f(a)·f(b)<0的結論嗎？（3）如果函數具備上述兩個條件時，函數零點的個數是惟一嗎？ [設計意圖說明]這四個問題對學生而言存在一定的挑戰，但對定理的解卻至關重要，通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領悟定理的內容。同時鼓勵學生相互之間合作交流，培養學生的合作學習的能力。

問題6：為了加深概念，提高學生的應用意識，我們再次回到問題3第三小

題

已知函數f(x)=lnx+2x-6試判斷函數零點的個數？并說明。[設計意圖說明]針對疑難學生進一步領悟，并學會初步利用函數的單調性判斷零點的個數。教師可結合幾何畫板作出相應函數的圖象分析其零點問題，讓學生對函數的零點判斷形成更加直觀認識．

題組練習

題組1 1.函數的零點是（）A．（-1，0）

B.（3，0）

C.x=3

D-1和3 2.函數的零點是（）

A 1

B 2

C 3

D 不確定

題組2 已知函數

(1)m為何值時，函數有兩個零點？

(2)若函數恰有一個再遠點右側，求m的值

[設計意圖說明] 立足教材，選取難易適當且適量的習題，給學生提供一個完整運用知識的平臺，從而幫助學生進一步落實基本知識，提高基本能力。

歸納小結

（1）方程f(x)=0有實數根<=>函數y= f(x)的圖像與x軸有交點<=>函

數y= f(x)有零點

（2）f(x)連續且f(a)·f(b)<0,則函數f(x)在（a,b）內存在零點

（3）f(x)連續且f(a)·f(b)<0且f(x)單調，則函數f(x)在（a,b）內存

在唯一零點

[設計意圖說明]小結是一堂課的概括和總結，有利于優化學生的認知結構，能把課堂所學的知識與方法較快轉化為學生的素質，也更進一步培養學

生的歸納概括能力。課后作業，自主學習

[設計意圖說明]對課后作業實施分層設置，分必做和選做，利于拓展學

生的自主發展的空間。

【教學反思】 方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，表面上看，這一內容的教學并不困難，但要讓學生能夠真正理解，教學還需要妥善處理其中的一些問題。首先要讓學生認識到學習函數的零點的必要性其次教學要把握內容結構，突出思想方法像這些中學新增內容的教學，教學就要取得成功的確不易，需要一個不斷實踐以及實踐后的反思的過程，在實踐與反思的過程中，不僅要妥善解決上述問題，還要不斷地發現和解決新的問題，這樣，教學效果才會逐步得到改善。