第一篇：函數的零點教學反思

一、教學設計反思

課題從學生熟悉的小引例入手，難度不大，思路不唯一。問題1與問題2進一步澄清概念，為下邊的立體做好基礎準備。例1是基礎題目，運算簡單；例2是數形結合，借助圖象研究函數的交點，利用函數方程思想解方程；對于例3的設計，轉化為熟悉的問題來解決，為此設置了一系列的問題串，層層深入，步步引導，使學生不知不覺中提升解決問題的能力。

教學過程中有學生的板書，有提問，有交流，有小組討論，有個人成果展示，充分調動了學生的主動性，主動思考；課堂氣氛很活躍，課堂效果很好。

二、存在問題反思

在例2的處理過程中，學生板演，應該找更普通的同學，而不是一下把問題解決了或者不具有一般性的解題思路。例題3的變式中，實際可以把問題的難度增加，提升學生思維的深度，但限于時間與學情的問題，沒有做進一步的難度提升。

三、改進措施反思

1、應該更加充分的體現學生的主體地位，再多給學生思考的時間

2、板演的同學應該更具有一般性，不能直接做對，或者做錯

3、在今后的教學中多加反思，能夠對教學內容有深刻的把握和合理的設計

4、對不同程度的學生要具有良好的課堂駕馭能力和現代化的教育方式

第二篇：函數零點教學設計

一、【教案背景】

1、課題：函數的零點

2、教材版本：蘇教版數學必修

（一）第二章2.5.1函數的零點

3、課時：1課時

二、【教學分析】 教材內容分析：

本節課的主要內容有函數零點的概念、函數零點存在性判定。

函數的零點,是中學數學的一個重要概念,從函數值與自變量對應的角度看,就是使函數值為0的實數x;從方程的角度看,即為相應方程f（x）=0的實數根，從函數的圖形表示看,函數的零點就是函數f(x)與x軸交點的橫坐標.函數是中學數學的核心概念，核心的根本原因之一在于函數與其他知識具有廣泛的聯系性，而函數的零點就是其中的一個鏈結點,它從不同的角度,將數與形,函數與方程有機的聯系在一起。

本節是函數應用的第一課，因此教學時應當站在函數應用的高度，從函數與其他知識的聯系的角度來引入較為適宜。教學目標：

1、知識與技能

（1）能利用二次函數的圖象與判別式的符號，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數。

（2）了解函數零點與相應方程的根的聯系，掌握零點存在的判定條件。

2、過程與方法

（1）通過觀察例題的圖象，發現函數在區間端點上的函數值之積的特點，找到連續函數在某個區間上存在零點的判斷方法。

（2）滲透算法思想，運用算法解決問題，為后面系統學習算法做準備。

3、情感、態度與價值觀

在函數與方程的聯系中體驗數學中的轉化思想的意義和價值，培養學生在函數與方程的聯系中體驗數形結合思想和轉化思想的意義和價值，發展學生對變量數學的認識，體會函數知識的核心作用．體驗數學內在美,激發學習熱情,培養學生創新意識和科學精神。教學重點： 零點的概念及零點存在性判定。

教學難點： 探究判斷函數的零點個數和所在區間的方法。教學方法：

問題是課堂教學的靈魂，以問題為主線貫穿始終；以學生為主體，以教師為主導，以能力發展為目標，精心設計引導性問題，從學生的認識規律出發進行啟發式教學，利用課件，動畫等引導學生對問題的思考，運用學生自主學習、小組合作探究的教學方式。

三、【教學過程】

（一）、問題情境

（1）畫出二次函數的圖象,并寫出圖象與x軸交點的橫坐標。

說明：通過學生熟悉的二次函數圖象入手，讓學生體會二次函數圖象與x軸交點的數值與方程根的對應關系，方程的實數根就是的函數值為0時自變量x的值,建立初步的數形結合數學思想。（課件展示函數圖象）

（2）畫出二次函數、與的圖象,并寫出圖象與x軸交點的橫坐標。

說明：通過兩小題讓學生認識到當二次函數的圖象在x軸上方時，與之對應的方程無解，當二次函數的圖象恰好與x軸相交時，與之對應的方程有相等的實數根，建立初步的函數與方程數學思想。

提出二次函數零點的概念（我們把使二次函數的值為0的實數x稱為二次函數的零點）。

（二）、合作探究

探究二次函數的零點、二次函數的圖象與一元二次方程的實數根之間的關系？

Δ>0 Δ=0 Δ<0

方程根的的圖象的零點

說明：小組合作探究，由學生回答，教師對答案給予鼓勵性的評價。通過完成以上問題,讓學生體會從具體到一般函數圖象與x軸交點與相應方程根的關系。如果學生有困難，教師可作一下點撥,結合二次函數的圖象,推廣到一般函數零點的定義。板書課題:函數的零點

（三）、意義建構

函數的零點概念：我們把使函數的值為0的實數稱為函數的零點（zeropoint）。

注：（1）零點不是點。

等價關系

函數y=f(x)的零點

方程f(x)=0實數根（數）

函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標（形）

有了上述的關系，就可用函數的觀點看待方程，方程的根即函數的零點，可以把解方程的問題互化為思考函數圖象與x軸的交點問題。這正是函數與方程思想的基礎。

說明：通過對概念的陳述，讓學生了解函數零點的概念及性質，對函數零點的概念有了完整的認識，達到質的飛躍。

（四）、數學運用

例1：求下列函數的零點,并畫出下列函數的簡圖。①

② ③ ④

⑤

（師用展示臺展示學生的作圖，指出優缺點）

說明：求函數零點，體現函數與方程互相轉化的思想。本題的五個小題都簡單，主要考察學生零點概念的掌握情況，題目包含了我們從初中到目前已經學過的常見函數，目的讓學生通過及時練習加強對函數零點的的認識。

通過畫簡圖，了解圖象的變化形式，要注意體現零點性質的應用。為下面學習根的存在條件奠定基礎。

例2 求證：二次函數有兩個不同的零點。

說明：可讓學生充分討論例2的解法，發展學生的發散性思維，第一，從數的角度，將函數問題轉化方程問題，體現“函數與方程”思想.第二，從形的角度，圖象與x軸有兩個不同的交點。幾何畫板演示畫圖象過程，引導學生觀察當函數圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產生了交點，圖象穿過x軸這是一種幾何現象，那么如何用代數形式來描述呢？用屏幕顯示刺函數圖象，多次播放拋物線穿過x軸的畫面。板書證明過程

證明：設,則 f(1)=－2<0。

因為它的圖象是一條開口向上的拋物線（不間斷），這表明此圖象一定穿過x軸，所以函數的圖象與x軸有兩個不同的交點。因此，二次函數有兩個不同的零點。

從上面的解答知道，此函數有兩個零點是。

問題（1）你能說明此函數在哪個區間[a，b]上存在零點（）嗎？ 問題（2）如何判斷一個函數在區間（a，b）上是否存在零點？

讓學生自己思考、發言得到的結論，教師整理后得到函數零點的存在性判定。

如果函數在區間上的圖象是一條不間斷的曲線，且，則函數在區間內有零點。

教師給出這個結論，組織學生對下面問題進行討論。通過討論認識問題的本質，升華對零點存在性判定的理解。

（1）若f(a)·f(b)<0,函數y＝f(x)在區間(a,b)上就存在零點嗎？

（2）若函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a,b)內會是只有一個零點么?

（3）若函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區間(a,b)內就一定沒有零點么？

（4）在什么條件下，函數y＝f(x)在區間(a,b)上可存在唯一零點？

（5）如果是二次函數y＝f(x)的零點，且，那么f(a)·f(b)<0一定成立嗎？

為了幫助大家更好體會該結論，我們把它設計成流程圖。

說明：設置成流程圖，既直觀、清晰，又為學生將來學習算法奠定基礎。算法的特殊表示符號，學生不知道，師生共同完成即可。

例3．求證：函數在區間(－2，－1)上存在零點．

說明: 學生完成過程中，教師巡視，展臺展示優秀作品及步驟有問題者，達到糾正錯誤及解題規范化。

（五）、歸納總結

說明:這個環節,學生主動總結本節課學到的知識,將本節課所講的知識點系統整理，為后面的函數零點的應用奠定基礎。

（六）、反饋練習

(1)函數f(x)＝2x2－5x＋2的零點是

；

(2)二次函數y＝2x2＋px＋15的一個零點是－3，則另一個零點是

；(3)若函數f(x)＝x2－2ax＋a沒有零點，則實數a的取值范圍；

(4)已知函數f(x)的圖象是不間斷的，有如下的x,f(x)對應值表：

那么函數在區間[1，6]上的零點至少有

個；(5)在二次函數中，ac<0,則其零點的個數為

；

說明:本環節用時5分鐘,考完后小組互換,立即批改.發現問題立即糾正,再通過課后作業加以鞏固.對做的好的及時給予表揚。

（七）、作業布置

1、完成蘇教版必修1第76頁練習1、2。

2、①有2個零點;②3個零點;③4個零點.四、【板書設計】

屏幕

函數的零點

一、函數零點的定義：我們把使函數的值為0的實數稱為函數的零點（零點不是點）.二、方程的根與函數零點之間的等價關系

函數y=f(x)有零點

方程f(x)=0有實數根（數）

函數y=f(x)的圖象與x軸有交點（形）零點存在性判定

例1

例2

五、【教學反思】

前蘇聯數學家斯托利亞說過:“積極的教學應是數學活動(思維活動)的教學，而不是數學活動的結束—數學知識的教學。”反思“函數的零點”的課堂教學，本人覺得類似這樣的數學概念、原理的教學，教學設計應特別重視“過程性”，教學過程應特別強調“參與性”，要讓學生“參與”到教學過程中去.唯有學生的過程參與，才能較好地激發其主動性，確立其主體地位.吸引學生“參與”，關鍵招數之一是對教材進行“問題化”處理，用問題去引領學生探究。學生“參與”到教學過程中來，就是要參與知識建構、參與思維訓練、參與方法提煉。

本課中，圍繞教學目標知識生成的過程，設計了若干問題，以問題為中心，以學生為主體，讓他們親身經歷，體驗函數的零點知識的建構過程，函數零點存在性結論的探求，體現了本節課設計的基本理念:過程性、問題性和主體性。

第三篇：“方程的根與函數的零點”教學反思

《方程的根與函數的零點》教學反思

巴里坤縣第三中學教師 李曉瑩

本節是在學習了前兩章函數性質的基礎上，利用函數的圖象和性質來判斷方程的根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與對應方程的根的關系以及掌握函數在某個區間上存在零點的判定方法；為下節“二分法求方程的近似解”和后續學習的算法提供基礎。因此本節內容具有承上啟下的作用，非常重要。表面上看，這一內容的教學并不困難，但要讓學生真正理解，在教學設計和難點突破上需要下足夠的功夫，教學過程中還需要妥善處理其中的一些問題。所以，我在教法上，以問題為紐帶，用問題引出內容，激發學生積極主動地進行探索；同時向學生滲透數學思想方法；滲透問題意識，培養學生發現問題、解決問題的能力以及采用“提出問題——引導探究——得出結論——講練結合”的教與學模式。本節課借助多媒體手段創設問題情境，指導學生研究式學習和體驗式學習．如，函數零點與方程根之間的聯系是這節課的一個重點，為了突破這一重點，在教學中利用多媒體教學，調動了學生學習的積極性，準確、直觀、易于學生理解，符合學生的認知特點，調動了學生主動參與教學的積極性，使他們進行自主探究與合作交流，親身體驗知識的形成過程，變靜態教學為動態教學。

一、新課的引入

本堂課是用對實際問題的探討來引入函數的零點，通過這樣一個問題激發學生的學習興趣，由直觀過渡到抽象，更符合學生的認知過程，在評課的時候，這一點也獲得了聽課老師的一致好評。再復習鞏固一元一次方程和一元二次方程的解法，由學生已掌握的知識入手，創設熟悉環境，引導進入本課狀態。接著讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數的零點，再來理解其他復雜的函數的零點就會容易一些。圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題，并且，利用了教材中的方程提出了下列問題：方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？結果，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，快速解決了問題。由此看來，這堂課一開始引入熟悉的例子，最能激發學生的學習積極性，并讓其認識到學習函數的零點的必要性。

二、重難點的突破

零點存在性定理是本節課的難點和重點，教學設計的好壞直接關系到學生對本節課的學習效果。因此，從“一個函數是否有零點，就是看它的圖象與x軸是否有交點。那么，我們又如何判定一個函數的圖象與x軸是否有交點呢？”的提問入手，引出零點存在條件的探究。給出6個問題：問題 1、2是學生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，問題3、4是方程的根和函數圖象與x軸的交點之間有何聯系與區別，問題5、6上升到抽象連續函數y=f(x)在區間（a,b）內一定有零點的條件。引導學生一邊畫草圖，一邊思考，總結規律：函數圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產生了交點。要判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點（教材對于函數f(x)在（a，b）內有零點，只研究函數f(x)的圖象穿過x軸的情況），應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)f(b)<0。從課后了解到，學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點，教學卻沒有對證明的必要性展開討論。忽略了在研究函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點，再進行證明。所以，在課后向學生提出如何判斷函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，就有學生認為，只需看函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點即可。這樣看來，教師有必要引導學生認識證明的必要性。我們也可以作出一些特殊函數在不同區間范圍的圖象，讓學生通過觀察對比得到認識。這6個問題設計精巧，層層遞進，引發了學生積極思考、探索與交流，將教學推向高潮。如此尋求函數零點存在的條件，符合學生的認知規律：從簡單到復雜，從具體到抽象，讓學生在具體的例題中概括出共同的本質特征，得出一般性的結論，使學生思維發生碰撞，既弄懂了問題又使數學方法得到提升。

三、教學內容結構，突出思想方法

首先要通過把握教材內容結構來設計教學框架，然后根據教學框架來考慮需要突出的思想方法。本節課按照下列主線來展開教學：

（一）如何引導學生將復雜的問題簡單化，并學會從已有認知結構出發由特殊到一般地思考問題。

教材設置函數的零點這一內容的目的，就是為了體現函數的應用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎。所以，教學一開始就從學生熟悉的知識點入手，用方程的求解出發展開討論，然后引導學生體會其中的思想方法。例當學生陷入困境時，再逐步提出下面的問題進行引導：

1．當遇到一個復雜的問題，我們一般應該怎么辦？

以此來引導學生將復雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。2．以前我們如何判斷一個方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助？

以此來引導學生從已有認知結構出發，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學會從特殊到一般的思維方法。

3．除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎？

以此來引導學生建立方程與函數的聯系，滲透函數與方程的思想方法，并培養其從不同角度思考問題的習慣。

（二）怎樣突出數形結合的思想方法

數形結合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數”一章的始終，學生通過前面的學習，已基本形成數形結合的思想方法，所以本節教學以培養學生主動運用數形結合的思想方法去分析問題為目的。在建立方程的根與函數的零點的關系時，函數圖象起到了關鍵的橋梁作用，充分體現了它與方程的根以及函數零點之間的數形結合的關系。由學生作出函數圖象，讓學生回答方程的根與函數圖象和x軸的交點有何關系，然后學生自己總結出方程的根、函數圖象和x軸的交點、函數的零點之間的關系。這樣的教學，在一定程度上也能體現數形結合的思想方法。在這種能夠體現思想方法的關鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學生由方程自覺地聯想到相應的函數，主動地建立方程的根與函數圖象間的關系，提升數形結合思想方法的層次，增強函數應用的意識。

（三）如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數f(x)在（a，b）內有零點的一種條件。如何讓學生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學難點需要處理：

1．如何引導學生用f(a)f(b)<0來說明函數f(x)在（a，b）內有零點？

教材是先從函數圖象出發，讓學生通過觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，來認識函數f(x)在（a，b）內是否有零點。這是一個直觀認識的過程，對學生來說并不困難。然后再讓學生認識，f(a)f(b)<0則函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學生來說是有困難的。教學的關鍵在于，如何引導學生由函數f(x)的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯想到f(a)f(b)<0。

2．如何引導學生判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數？

（1）要判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數，可先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有幾個交點，再進行證明。

當觀察到函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸的交點個數后，可以在（a，b）內分別選取每個交點周圍的一個區間，然后說明函數分別在各個區間只有一個零點。這樣，就將判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數轉化為判斷函數在各個區間內分別只有一個零點。由于f(a)f(b)<0只能說明函數f(x)在（a，b）內有零點，而不能說明f(x)在（a，b）內有幾個零點，這就要求函數在每個交點周圍所選取的區間上的圖象在直觀上要單調，并且要證明函數f(x)在該區間上單調。

（2）要證明函數在某個區間內只有一個零點需要一個循序漸進的過程

證明函數在某個區間內只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數證明的理性思維過程。從學生現有的知識積累來看，目前教學應立足從圖象直觀來認識，對于易于用函數單調性定義證明函數單調性的函數，可要求學生進行代數證明。待學生學習了函數的導數之后，再統一要求學生對所有的函數都進行代數證明。所以，學生對這一問題的認識有一個循序漸進的過程，教師對這一問題的教學需要分階段提出不同層次的要求，關鍵是把握好教學的度。

本課的實際教學中還存在著不足: 1.在探究新知識時試圖給學生講授一點關于方程的解的數學史知識，但時間問題，最終舍棄了；

2.想自在的調控課堂而不盡得。我所期望的課堂是學生既自主又合作，既數學又生活的。這需要對數學史與知識點較透徹的理解，這需要語言表達的精確，這些都是我的不足。3.在課件制作方面還是存在不足，水平不夠高，有待提高。4.在板書方面，板塊意識有了，也算工整，但是字跡不夠美觀。

本節課零點的引入部分可以簡化改進，使之更趨合理，零點存在性定理引入部分略顯生硬，應該有更藝術的方式。高一學生在函數的學習中，常表現出不適，主要是數形結合與抽象思維尚不能勝任。具體表現為將函數孤立起來，認識不到函數在高中數學中的核心地位。函數與方程相聯系的觀點的建立，函數應用的意識的初步樹立，應該是本節課必須承載的重要任務。在這一任務的達成度方面，本課還需更突出。另外，課堂上教師怎樣引導學生也是值得我深思的一個問題，還有少講多引方面也是我今后教學中努力的方向。

《方程的根與函數的零點》教學反思

巴里坤縣第三中學教師

李曉瑩

第四篇：“方程的根與函數的零點”教學反思

“方程的根與函數的零點”教學反思

王巧香

方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，表面上看，這一內容的教學并不困難，但要讓學生能夠真正理解，教學還需要妥善處理其中的一些問題。最近，在浙江紹興聽了這一內容的兩堂新授課，使用教材都是人民教育出版社《普通高中課程標準試驗教科書·數學1（必修）》，課后又與部分學生進行了交流。總的來說，教學效果都不甚理想，暴露出了一些共同的問題，看來具有一定的代表性。下面就兩堂課共同存在的問題，談一點看法。

一、首先要讓學生認識到學習函數的零點的必要性

教材是利用一元二次方程的例子來引入函數的零點。這樣處理，主要是想讓學生在原有二次函數的認知基礎上，使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數的零點，再來理解其他復雜的函數的零點就會容易一些。但在教學時，就不能照本宣科。

這兩堂課的教學都和教材一樣，也是利用一個一元二次方程來引入，圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題。并且，兩位教師都利用了教材中的方程提出了下列問題：

方程x2－2x－3＝0是否有實根？你是怎樣判斷的？

結果，學生的反應都很平淡，大多數人對這個問題都不感興趣。課后學生認為，大家對如何解一元二次方程早就熟練了，老師沒必要再問那么簡單的問題了。由此看來，這堂課一開始就應該讓學生認識到學習函數的零點的必要性。教師所選擇的例子，最好是學生用已學方法不能求解的方程，這樣才能激發學生的學習積極性，并讓其認識到學習函數的零點的必要性。例如，可以把教材后面的例子先提出來，讓學生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什么？

在學生對上述問題一籌莫展時，再回到一元二次方程上，引導學生利用函數的圖象和性質來研究方程的根。這堂課的頭開好了，整堂課就活了。二、一元二次方程根的存在是否由其判別式決定

當教師問到一元二次方程x2－2x－3＝0是否有實根時，兩個班的學生很快就用根的判別式作出了判斷，沒有一位學生用方程相應的函數圖象進行分析。于是，教師又引導學生作出一元二次方程相應的函數的圖象，并建立方程的根與函數圖象和x軸交點的聯系。值得注意的是，在上述活動中，學生認為，因為一元二次方程根的判別式的大小有三種情況，所以一元二次方程相應的函數圖象和x軸的交點就有三種情況。教師不僅對此默認，還在研究了一元二次方程與其函數圖象的關系后總結到，雖然我們可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在，但對于沒有判別式的其他方程就可以根據相應的函數圖象來判斷了。

看來，師生們對一元二次方程根存在的本質原因都不清楚，都誤以為是其判別式的大小。如果通過建立一元二次方程與其相應函數圖象的關系，沒有揭露出方程根存在的本質原因是相應函數的零點的存在，那么就會導致學生對引入函數零點的必要性缺乏深刻的認識，以為結合函數圖象并利用f(a)?f(b)的值與0的關系判斷方程根的存在只是其中的一種方法或技巧，而認識不到其一般性和本質性。所以，教學在研究一元二次方程與其相應函數圖象的關系時，關鍵要以函數圖象為紐帶，建立一元二次方程的根與相應函數零點之間的關系，讓學生理解方程根存在的本質以及判斷方程根存在的一般方法。這樣，才能將所得到的判斷方程根存在的方法推廣到一般情況，并使學生對方程根存在的認識不僅僅停留在判別式或函數圖象上。

三、根據圖象能否判斷函數是否有零點以及零點的個數 盡管兩堂課教師都談到，要判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點（教材對于函數f(x)在（a，b）內有零點，只研究函數f(x)的圖象穿過x軸的情況），應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，再證明是否有f(a)?f(b)<0。但是，教學卻沒有對證明的必要性展開討論。結果，從課后了解到，學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點，就可以判斷函數f(x)在（a，b）內是否有零點，至于證明只是數學上的嚴格要求而已。同樣，兩堂課在研究函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，教師也是這樣告訴學生，應該先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點，再進行證明，依然沒有說明證明的必要性。所以，在課后向學生提出如何判斷函數f(x)在（a，b）內有幾個零點時，就有學生認為，只需看函數f(x)的圖象在（a，b）內有幾個交點即可。

看來，教師有必要引導學生認識證明的必要性。例如，我們可以作出一些特殊函數在不同區間范圍的圖象，讓學生通過觀察對比得到認識。

如圖1，是計算機所作的某個函數的圖象。可以讓學生根據圖象思考，該函數是否有零點？

在學生作出判斷后，再逐步將原點附近的圖象放大，得到該函數在其他較小區間范圍的多個圖象（圖2（1）、（2））。然后再問學生，該函數究竟有沒有零點？

如圖3，是計算機所作的又一個函數的圖象。可以讓學生根據圖象思考，該函數有幾個零點？

在學生作出判斷后，再逐步將原點附近的圖象放大，得到該函數在其他較小區間范圍的多個圖象（圖4（1）、（2））。此時再問學生，該函數究竟有幾個零點？

結合上述例子，要讓學生知道，我們所作的函數圖象只能反映函數一個局部的情況，如果根據一個圖象就作出判斷可能就會片面。這樣，學生自然就會認識到證明的必要性了。

四、教學要把握內容結構，突出思想方法

教師首先要通過把握教材內容結構來設計教學框架，然后根據教學框架來考慮需要突出的思想方法。本節課可以按照下列主線來展開教學：

兩位教師對教材內容結構的把握還不到位，課堂教學比較凌亂，對上述三塊內容所蘊含的思想方法也沒能抓住，主要表現在以下幾個方面。

（一）如何引導學生將復雜的問題簡單化，并學會從已有認知結構出發由特殊到一般地思考問題 教材設置函數的零點這一內容的目的，就是為了體現函數的應用，為用二分法求方程的近似解奠定基礎。所以，教學一開始就應該從學生用已學方法不能求解的方程出發展開討論，然后引導學生體會其中的思想方法。例如，可以像前面一樣先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有實根？為什么？當學生陷入困境時，教師再逐步提出下面的問題進行引導：

1．當遇到一個復雜的問題，我們一般應該怎么辦？

以此來引導學生將復雜的問題簡單化，尋找類似的簡單問題的解決方法。2．以前我們如何判斷一個方程是否有實根，這對研究這個方程是否有幫助？ 以此來引導學生從已有認知結構出發，將解決簡單方程的方法遷移到不能求解的方程中去，學會從特殊到一般的思維方法。

3．除了用判別式可以判斷一元二次方程根的情況，還有其他的方法嗎？

以此來引導學生建立方程與函數的聯系，滲透函數與方程的思想方法，并培養其從不同角度思考問題的習慣。

遺憾的是，兩位老師都是直接從一元二次方程出發展開討論，學生就錯過了上述這些思想方法的訓練。

（二）怎樣突出數形結合的思想方法

數形結合的思想方法幾乎貫穿于“基本初等函數I”一章的始終，學生通過前面的學習，已基本形成數形結合的思想方法，所以本節教學應該以培養學生主動運用數形結合的思想方法去分析問題為目的。但是，在兩堂課中，教師卻沒有留給學生主動運用數形結合思想方法的空間。

在建立方程的根與函數的零點的關系時，函數圖象起到了關鍵的橋梁作用，充分體現了它與方程的根以及函數零點之間的數形結合的關系。但是，兩位教師卻沒有留給學生足夠的時間去主動搭建函數圖象這一橋梁，而是由教師作出函數圖象，讓學生回答方程的根與函數圖象和x軸的交點有何關系，然后老師再給出方程的根、函數圖象和x軸的交點、函數的零點之間的關系。這樣的教學，雖然一定程度上也能體現數形結合的思想方法，但體現的思想層次卻很低。在這種能夠體現思想方法的關鍵地方，教師要舍得花時間，要讓學生由方程自覺地聯想到相應的函數，主動地建立方程的根與函數圖象間的關系，提升數形結合思想方法的層次，增強函數應用的意識。

（三）如何從直觀到抽象

教材是通過由直觀到抽象的過程，才得到判斷函數f(x)在（a，b）內有零點的一種條件。如何讓學生從直觀自然地到抽象，有下面幾個教學難點需要處理：

1．如何引導學生用f(a)?f(b)<0來說明函數f(x)在（a，b）內有零點

教材是先從函數圖象出發，讓學生通過觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內是否與x軸有交點，來認識函數f(x)在（a，b）內是否有零點。這是一個直觀認識的過程，對學生來說并不困難。然后再讓學生認識，f(a)?f(b)<0則函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有交點。不過，這卻是一個由直觀到抽象的飛躍，對學生來說是有困難的。教學的關鍵在于，如何引導學生由函數f(x)的圖象穿過x軸在（a，b）的部分，聯想到f(a)?f(b)<0。為此，我們不妨可以通過下列問題來啟發學生：

（1）我們看到，當函數f(x)的圖象穿過x軸時，函數f(x)的圖象就與x軸產生了交點。如果不作出函數f(x)的圖象，你又如何判斷函數f(x)的圖象與x軸有交點？

（2）函數f(x)的圖象穿過x軸這是幾何現象，那么如何用代數形式來描述呢？

（3）函數f(x)的圖象穿過x軸其實就是穿過與x軸的交點周圍的部分，比如（a，b）。在區間（a，b）內，如何用代數形式來描述呢？

（4）如果函數f(x)的圖象與x軸的交點為（c，0），那么函數f(x)分別在區間（a，c）和區間（c，b）上的值各有什么特點？這對我們用代數形式進行描述有何幫助？

2．如何引導學生判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數

要判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數，可先觀察函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸有幾個交點，再進行證明。這同樣是一個從直觀到抽象的過程，教學需要處理好下列兩個問題：

（1）如何引導學生說明函數在某個區間內只有一個零點 當觀察到函數f(x)的圖象在（a，b）內與x軸的交點個數后，可以在（a，b）內分別選取每個交點周圍的一個區間，然后說明函數分別在各個區間只有一個零點。這樣，就將判斷函數f(x)在（a，b）內的零點個數轉化為判斷函數在各個區間內分別只有一個零點。由于f(a)?f(b)<0只能說明函數f(x)在（a，b）內有零點，而不能說明f(x)在（a，b）內有幾個零點，這就要求函數在每個交點周圍所選取的區間上的圖象在直觀上要單調，并且要證明函數f(x)在該區間上單調。但教學的難點正在于此，如何引導學生利用函數的單調性來說明函數在某個區間內只有一個零點？我們可以設計下列教學環節來幫助學生認識：

① 可以先給出一些只有一個零點的函數圖象（圖5）；

②讓學生通過觀察這些圖象，歸納出這些函數具有的共同性質；

③當學生發現這些函數分別在交點周圍的一個區間上都單調后，再讓學生思考，為什么函數在某個區間上單調則函數在該區間內就只有一個零點？

經過上述從直觀到抽象的過程，學生才會真正認識到，為什么可以利用函數的單調性來說明函數在某個區間內只有一個零點。

（2）要證明函數在某個區間內只有一個零點需要一個循序漸進的過程

證明函數在某個區間內只有一個零點，是一個從圖象的直觀到抽象的代數證明的理性思維過程。從學生現有的知識積累來看，目前教學應立足從圖象直觀來認識，對于易于用函數單調性定義證明函數單調性的函數，可要求學生進行代數證明。待學生學習了函數的導數之后，再統一要求學生對所有的函數都進行代數證明。所以，學生對這一問題的認識有一個循序漸進的過程，教師對這一問題的教學需要分階段提出不同層次的要求，關鍵是把握好教學的度。

從兩堂課的教學情況來看，兩位教師都沒能抓住上述內容所蘊含的思想方法來設計教學，而是直接將結論灌輸給學生，讓學生失去了合適的思維訓練和思想方法提升的機會。

方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容，第一次教學就要取得成功的確不易。看來，像這些中學新增內容的教學，需要一個不斷實踐以及實踐后的反思的過程，在實踐與反思的過程中，不僅要妥善解決上述問題，還要不斷地發現和解決新的問題，這樣，教學效果才會逐步得到改善。

第五篇：方程的根與函數的零點教學反思

方程的根與函數的零點教學反思

通過本節課的教學實踐，我感覺學生對方程和函數之間的關系有了進一步的理解，通過對具體函數與方程之間關系的分析到對一般函數和方程之間關系的分析，使學生真正理解了方程的根、函數的圖像與軸交點的橫坐標和函數的零點是一個值在不同環境下的不同稱呼，更使學生能夠利用不同的方法判斷函數的零點。通過生活實例讓學生自主探究出函數零點存在的判定條件，突破本節課的難點，并能利用存在定理判斷函數在區間是否有零點及零售的個數，體現出數學與生活的緊密聯系，是自然的。這樣基本達到本節課的教學目標，學生在自己思考或討論或探究問題的過程中基本能得到正確的結果，對問題的解決能力有所提高。

存在的問題是，本節課因為教學容量過大，時間過緊，結束部分處理的比較倉促；在學生探究討論部分，教師干預過多，留給學生思考的空間及時間稍顯不足；在板書環節由于對黑板的不適應導致板書不夠美觀，感到很遺憾。