第一篇：數(shù)學序言課

數(shù)學序言課

一、教學目標：

1、對數(shù)學內容有個大致的概念；

2、了解數(shù)學的特點及其廣泛的應用；

3、領略數(shù)學的美妙，學習數(shù)學的興趣得到增強；

4、明確上好數(shù)學課的要求。

二、教學重難點：

1、讓學生大致了解數(shù)學的特點及其廣泛應用，增強學習數(shù)學的興趣；

2、在如何學好數(shù)學上作一定的要求與指導。

三、教學過程：

1、引入：我們從小學甚至幼兒園就已經開始接觸數(shù)學了，那么到底什么是數(shù)學呢？她包含了那些內容？請同學們說說看。

2、新課：

（1）數(shù)學的內容大致來說，數(shù)學分為初等數(shù)學與高等數(shù)學兩大部分。我們初中與高中所學內容都主要是初等數(shù)學，初等數(shù)學主要包括幾何學與代數(shù)學。幾何是研究空間形式的，代數(shù)是研究數(shù)量關系的。

（2）那么數(shù)學有什么特點呢？

抽象性、精確性和運用的極其廣泛性。

抽象性：比如1，可以代表1個人，一個蘋果，一項工程，我們剛剛學過分數(shù)，知道1還可以代表10個蘋果或100個蘋果，只要把這些蘋果看成單位1就行了。再比如一條線，可以代表一段公路，一個物體的邊，運行軌跡。。

精確性：數(shù)學定義、性質的準確性、計算的準確性和推理的邏輯嚴格性。

應用的極其廣泛性：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在。--------華羅庚

（3）數(shù)學與人類文明：可以說，從有了人類開始，就有了數(shù)學。數(shù)學在人類文明進程中有著極其重要的地位。

①數(shù)學與重大發(fā)現(xiàn)。

萬有引律：我們都知道一個蘋果砸到了牛頓的腦袋上，使他發(fā)現(xiàn)了人類文明史上三大定律之一的萬有引律，但是我想，如果蘋果砸重的不是牛頓，而是其他一個不懂數(shù)學的人，那么他是不可能發(fā)現(xiàn)萬有引律的。因為牛頓除了是一位偉大的物理學家，還是一位偉大的數(shù)學家，他在數(shù)學上有著許多的重大貢獻，他發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的思維方式其實就是數(shù)學的思維方式，所以他把他最重要的著作命名為“自然哲學的數(shù)學原理”。

相對論：愛因斯坦的相對論是宇宙觀的另一次偉大革命，促使愛因斯坦作出這一偉大貢獻的仍是數(shù)學的思維方式。

海王星的發(fā)現(xiàn)：太陽系最遠的行星之一，因為它離的比較遠，所以很難觀測到。那么它是怎么被發(fā)現(xiàn)的呢？天文學家阿達姆斯發(fā)現(xiàn)了天王星運動不規(guī)律，通過引力法則和力學法則計算出有這樣一個行星，還計算出這個行星位于何處，然后觀察員通過望遠鏡發(fā)現(xiàn)了這顆行星。同學們想想看，這是多么偉大的發(fā)現(xiàn)呀，在茫茫的太空中，居然通過數(shù)學計算能這樣精確的發(fā)現(xiàn)一顆星期，是多么的了不起，這個發(fā)現(xiàn)是數(shù)學計算的勝利。②一些數(shù)學故事

最早對自然數(shù)的理性認識，是古代著名的哲學家和數(shù)學家畢達哥拉斯，他創(chuàng)立了畢達哥拉斯教團，這個教團雖然有宗教的性質，但其實對自然數(shù)作了深入多方面的研究。他們把不僅把數(shù)字看成計數(shù)的工具，而且看成神圣、完善和友好的象征。比如，他們發(fā)現(xiàn)了完全數(shù)，即等于他真因數(shù)之和的數(shù)，比如6，6就成為了完美的象征。他們還發(fā)現(xiàn)了親和數(shù)，即每個數(shù)是另一個數(shù)的真因數(shù)之和。比如284和220。

數(shù)學困惑：兩條長短不一的線段，長的線段上的點比短的那條上的多嗎？自然數(shù)比偶數(shù)多嗎？

數(shù)學游戲：有三堆火柴棒，分別有3、6、9根，規(guī)定每次可去任何一隊中的任意根數(shù)，拿到最后一根的人就輸了，怎么拿才能取勝？

（4）如何學好數(shù)學？ ①同學們你們怎么想的？

②看看著名數(shù)學家華羅庚教授的建議：基本運算要熟、要快基本運算不但應當“會”，而且要熟、要快；要盡可能多做些習題應當盡可能地多做些習題，以達到熟能生巧的境地；學好書上內容，省去的思考過程也重要，從書上學好形式推理，而書上所沒有的思考過程也要重視。

③老師的建議與要求： a、養(yǎng)成好的數(shù)學學習習慣

上課的要求

作業(yè)的要求

整理的要求 b、掌握方法，靈活運用

如果我們在數(shù)學學習中，既扎扎實實地學好了數(shù)學知識和技能，又牢固地掌握了數(shù)學思想和方法，而且能靈活應用數(shù)學知識和技能解決實際問題，那么，我們就走在了一條數(shù)學學習成功的大道上。

第二篇：序言課教案

序言課 學而不思則罔

上海市實驗學校 蔣楠駿

學情分析

所授課的對象中一五班學生在上一學年暴露的一個重大的不足之處在于課堂上較少部分的同學在課堂上能夠積極思考，然而其他同學更多的是被動的學習。語文學習需要聽說讀寫，而學習這些技能的前提是有一個良好的學習習慣。故本學期旨在培養(yǎng)學生勤于思考、善于思考的學習方式。這節(jié)序言課的目的就是鼓勵學生能在本學期改變思維方式上的陋習，真正達到絕大部分同學能參與到語文學習的課堂上來。

教學目標

知識與能力：感受封閉性思維的不足之處。初步熟悉文本閱讀的科學性。

過程與方法：通過舉出古今文本閱讀的偏頗之處，暴露學生思維的局限性，提出作者-文本-讀者的還原法解讀方式，使學生感受科學、理性思維的重要性。

情感態(tài)度價值觀：在正誤解讀的對比之中，感受語文的妙處，激發(fā)學生學習語文的熱情以及鼓勵學生養(yǎng)成勤于思考的、善于思考的學習方式。

教學過程 導入：

師：一個暑假過去了，見到你們非常高興，不知道你們一個暑假過后，除了身高漸長，知識也有沒有長進呢？新學期到來，我們又將面臨一個漫長而又快樂的學習過程。有的同學認為學習伴隨著痛苦，我說被動的學習一定會是痛苦的，而自己能夠發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程一定是愉快的。只有這樣，才能攀登知識的高峰，“會當凌絕頂，一覽眾山小”。

師：老師倒想問問你們，放假期間你們看了些什么書呢？ 生：隨意回答。

師：老師和你們一樣，一個暑假過去，也讀了不少書，發(fā)現(xiàn)自己的認識有了很大的改變。舉例子（歷史、物理、數(shù)學、漢語各個層面的常規(guī)認識截然相反，引起學生興趣）這是為什么呢？

生：自由回答。

師：我們生活的世界都存在著一定的局限性，這種局限限制了我們的思維，我們上學期的語文課也時常掉入到這樣的陷阱，大家還記得《背影》有過一道題目嗎？問為什么朱自清只寫父親的背影呢？我記得老師給過你們答案，因為背影感人。你再仔細的想想，這樣的回答有問題嗎？ 生：思考。師：我舉個例子，大家認為字典夠不夠權威啊？一定沒有錯誤吧。字典有好多處解釋有問題，比如說：

《現(xiàn)代漢語詞典》

1679頁【遠近】解釋為“遠近的程度”。你覺得解釋過了嗎？不是應該改為兩點之間的距離嗎？

257頁【大小】①名指大小的程度：這雙鞋我穿上～正合適。釋文改為：物體從長寬高三方面所形成的體積；物體所占據(jù)的一定空間。

這叫同語反復，說了等于沒說。

我們再來看，朱自清為什么著重寫背影呢？（他的潛在語言是什么）生：思考

師：其實不就是在問，為什么背影最感動朱自清呢？

你給我回答，因為背影最感人。那不就是和我問你什么是牛肉，你回答牛肉就是牛的肉一樣的道理嗎？牛肉為什么好吃？因為牛肉美味。這就是同語反復。試卷的答案會犯這種錯誤，連詞典也會犯錯誤。是人，難免不犯錯誤。而犯錯的前提就是不肯思考，懶得思考。

我們這個學期主要任務就是決絕這個問題。尤其是語文課堂上，怎么去解讀文本。知識是死的，我們學習的課文沒有一篇會在中考里考到，難道是白學嗎？我們要學習的是科學的解讀文本方式，從而不出現(xiàn)解讀的錯誤，而這個過程最重要的就是學習中的思考。如果你不去思考，那么學習變成被動，變成死記硬背，效率固然就差。

提出方法

現(xiàn)在老師就提出方法，希望學生們一起開動腦筋，努力思考。我們一起由淺入深，把上學期這個問題解決。

師：我們學習語文的過程是由哪些媒介構成的呢？ 作者-文本-讀者

師: 文字就是作者用來表達情感給讀者的載體。讀者常常無法完全領會到作者的意圖，就好比我們學生往往無法做對閱讀理解一樣。因為我們總是用我們的思維去解決問題，從來不分析文本里面的信息。《背影》中朱自清感動的眼淚都要掉下來了，為什么我們不感動呢？因為時代不同，條件不同，這般大年齡的你們無法體會朱自清的感動之處。但是，我們就只能被動思考了嗎？只能被動接受答案了嗎？其實，深入文本，我們能得到很多信息。我們來一起由淺入深，品味文字的妙處。

方法實踐（1）標點

師：一篇文章中最不起眼的是什么？ 生：思考

師：這個東西果然很不起眼，我們全班那么多人找，也很難找出。你們注意過標點嗎？他的作用可大著呢！

高中教材里面有篇文章叫《荷花淀》，寫的是白洋淀抗日戰(zhàn)爭的故事。

故事里面的水生要離開妻子，第一版的《荷花淀》教材里水生嫂這么對水生說話的。你去，我不攔你，可家里怎么辦？ 你們認為水生嫂的態(tài)度是怎么樣的呢？ 生：思考，討論

師：孫犁知道后很憤怒，他的原文是這樣的“你去，我不攔你。可家里怎么辦？”你們看看有什么不同？ 生：思考，討論。

很顯然，前者不太愿意他去，后者堅持他去。

（2）字、詞的關系

師：現(xiàn)代文如此，古詩又何嘗不是？不知細葉誰裁出，二月春風似__刀。填什么呢？

生：剪刀。師：你們又死記硬背了吧，唐詩鑒賞字典上面這么說，因為這句話很形象生動地寫出了春意。明顯又是說了沒說，為什么春意？風像剪刀？就有春意了？風的樣子你看到過？為什么不是菜刀？

生：思考、討論

師：因為前面有個“裁”字。語言之間是有語感聯(lián)系的。

（3）文章

文章句子與句子有聯(lián)系，語言有聯(lián)系。我們學過朱自清的兩篇文章，《春》和《背影》，你們覺得語言有什么不同呢？ 《春》

野花遍地是：有名的，沒名字的，散在草叢里像眼睛，像星星，還眨呀眨的。

吹面不含楊柳風，不錯的，像母親的手撫摸著你。

鳥兒將巢安在繁華嫩葉當中。呼朋引伴地賣弄著清脆的喉嚨。

坐著，躺著，打兩個滾，踢幾腳球，賽幾趟跑，捉幾回迷藏。風親悄悄的，草軟綿綿的。

這是一個孩子還是朱自清呢？

《背影》的語句又是怎么樣的呢？

樸實，難道就沒有情感了嗎？作者為什么要寫背影呢?這個就留給大家回去再仔細地看看書本。

作業(yè)

小組共同研究討論，《背影》為何感人。

第三篇：預備序言課

初二 序言課

一、自我介紹，了解各班情況

1、本學期為預備年級第二學期，預備1—6班的授課教師為王喆，健美課授課教師為施麗娜。

2、自我介紹

3、了解本班情況、認識體育委員、班長。

二、介紹本學期的目標

1、課程目標：身體發(fā)展、知識技能、心理發(fā)展、社會適應。總目標：健康第一，以學生的發(fā)展為本。

2、個人目標：受遺傳等影響，體質、素質的個體差異是很大的，基礎好的一定會在運動中感受到樂趣；而體育不太行的同學不必自卑，重在參與，自我培養(yǎng)興趣。

3、階段目標：加強基本功的訓練，打好基礎，細水長流，為初三加試準備。

4、課堂目標：要改變學習方式，要主動、自主、創(chuàng)造性地學習，開動腦筋，重在參與。

5、教學內容：

籃球：原地雙手胸前投籃（考核）排球：一拋一墊（考核）實心球：（考核）耐力：800米（不考核）排球：高低墊球（不考核）50m跑：（考核）

三、課堂具體要求：

1.教學常規(guī)：

① 著裝（包括衣、褲、鞋、帽、圍巾等）舒適的運動鞋，長圍巾不允許帶。② 出席率：學期結束算總賬，期末平時分數(shù)扣分，不要用體育課看牙或外出（例假不請假，運動量可自行掌握）

③ 請假制度：-請假要開請假條、沒有請假條要當面請假

④ 兩分鐘集合：盡量不要遲到，若遲到要報告，并說明原因，體育委員應先到場。講一下整隊匯報人數(shù)的方法。-整隊報數(shù)報告人數(shù)缺勤情況

⑤ 下課必須集合，體育委員負責清點器材，同學應予配合，小組長協(xié)助。⑥ 老師請同學示范時應大方。⑦ 課中要求相互學習交流、觀察、模仿、幫助、合作、創(chuàng)新。老師將給予同學自主學習的時間和空間。

⑧ 統(tǒng)計原市

三、運動員、免修人數(shù)

2、體鍛課的要求：準時、人員齊、服裝符合要求、紀律有保障、愛護器材

3、上課的場地：在田徑場

4、遇天雨：在教室等待；場地潮濕：體育委員提前到體育組詢問

第四篇：《〈寬容〉序言》說課教案

《〈寬容〉序言》說課教案

我今天所說課的篇目是《寬容》序言，它是人教版全日制普通高級中學語文教材第二冊第三單元的第四篇課文。

一、新教材對高中語文閱讀教學的要求

人教社的高中語文新教材（試驗本），打破了傳統(tǒng)的閱讀與寫作、說話、聽話混合編排的模式，改為閱讀與寫作、口語交際分編；各個單元的教學重點相當明確。高中語文新大綱中明確規(guī)定，高中語文教學要讓學生“掌握語文學習的基本方法，養(yǎng)成自學語文的習慣”，“為繼續(xù)學習和終身發(fā)展打好基礎”，提出了“以閱讀教學為龍頭帶動整個語文教育是一個標本兼治的通途”，“要重視學生的實踐活動，讓學生在教學過程中主動學習、探究。語文教學以閱讀為本，改革舊的耗散性講析模式，注重閱讀教學的整體感悟，突出廣泛而自主的大量閱讀，突出全方位的閱讀技巧和能力的指導與訓練，以多種渠道培養(yǎng)良好的閱讀習慣，以閱讀帶動聽說寫能力的全面提高。突出學生的文化背景積淀，突出語文教育的人文熏陶”。

二、課文特點及在教材中的地位

《〈寬容〉序言》是房龍為他的《寬容》一書所作的序言，該序言的寫法很特別，是一篇散文詩式的寓言。作者以豐富的想象和聯(lián)想，虛構了一個“創(chuàng)新”與“守舊”兩大勢力斗爭的故事，從而生動形象地說明了《寬容》一書的精髓。該文被安排在第二冊第三單元第四課應出于以下考慮：

1、本單元的學習重點是分析評價，借鑒吸收。對課文的分析評價，可以全面涉及它的內容和形式，也可以著重就某一個方面做出恰當?shù)脑u價。該單元前三課要求分別為：對《黃鸝》的哲理作一點評價、分析評價《咬文嚼字》的觀點、體會并借鑒《我與地壇》對生命的認識，而第四課則是通過前三課的學習，培養(yǎng)學生自己分析評價、借鑒吸收的能力。

2、結合高中階段學生的年齡和心理特點，對哲理的分析和借鑒，有助于學生樹立正確的人生觀和價值觀，有助于培養(yǎng)良好的分析問題、解決問題的能力。

3、是繼第一單元的“整體把握、篩選信息”和第二單元的“研究探討、深入領會”之后的對閱讀能力的進一步提高。

三、學生情況分析

我們所教班級的高中學生由于社會教育的大環(huán)境影響，習慣了傳統(tǒng)的填鴨式的教育，缺少對人生、對社會的獨立思考，因而課文的理解會停留在表面，流于形式。另一方面，由于高中學生處于自身人格趨于形成的時期，又會過于強調“創(chuàng)新”而否定傳統(tǒng)，產生認識上的誤區(qū)，因此，引導學生正確對待課文蘊含的哲理使該課應該注意的四、教學目標與教學重點

根據(jù)以上分析，我認為該課的教學目標應確定為：

1、把握和評價故事中蘊含的哲理。

2、理解“無知山谷”、“知識的小溪”等事物的象征意義，理解故事中“先驅者”、“守舊老人”、“無知的人們”三種形象的典型意義

3、培養(yǎng)學生思維的深刻性，能正確、全面、透徹的看待問題。教學重點為：透過本文主旨，進行創(chuàng)造人格的熏陶，培養(yǎng)對新事物理解、寬容的態(tài)度。

五、教學方法與教學手段的運用

“強化閱讀，整體把握，深入體會，正確評價”是本人在該課教學中的指導思想，在處理教材時，結合配樂朗讀使學生在總體上感覺、感知作者深邃的思想，通過多媒體補充，讓學生展開聯(lián)想的羽翼，領會寬容的要義，達到內化的目的。運用點評法正確引導學生理解文章的寓意，引導學生正確對待“創(chuàng)新”和“守舊”，“創(chuàng)新”和“傳統(tǒng)”的關系。在教學中充分調動學生的積極性，采用朗讀、詞段點評、討論、質疑、等方式使學生獨立思考，并把握和評價故事中蘊含的哲理。

六、教學過程設計

（見《〈寬容〉序言》教案）

第五篇：立體幾何序言課教案設計j

立體幾何序言課教案設計

一、充分認識序言課的重要性，是上好立體幾何序言課的前提。

立體幾何序言課以課本中的“引言”為主要教學內容，讓學生對立體幾何這門功課有一個粗略的整體性了解，在學習具體內容之前有一個積極的思想準備。通過序言課的教學，學生明白了立體幾何研究的內容及學習立體幾何的目的，就能為以后的學習打下一個良好的基礎。

然而有的老師對序言課卻不夠重視，把已經十分抽象概括的“引言”進一步抽象概括，開課后草草幾句便開始了“平面”的教學。教師急急匆匆，學生稀里糊涂，極易給后繼學習帶來消極影響。

由此可見，教師在充分認識序言課重要性的前提下，認真組織教學，努力完成序言課的教學任務，對提高立體幾何課的教學效益是至關重要的。

二、排除心理障礙，激發(fā)學習興趣，是立體幾何序言課的主要任務。部分學生認為立體幾何比平面幾何難學，存在畏懼心理；多數(shù)學生對能不能學好這門功課信心不足，對怎樣學習這門功課心中無數(shù)。這種消極心理狀態(tài)必然會給學習造成消極影響。因此在序言課教學中，應把排除上述心理障礙，激發(fā)學生學習立體幾何的興趣作為首先任務。

1.盡量引用實例。

“引言”中指出，“建造廠房、制造機器、修筑堤壩等，都需要進一步研究空間圖形的問題。”為了使學生真正認識到立體幾何是一門應用廣泛的基礎學科，我們在序言課上展示學校教學樓的建筑圖紙，學生爭相觀看，興趣盎然，并能辨認出：“這就是我們的教學樓！”教者由此指出：“沒有立體幾何知識，這張圖紙是畫不出來的。”“同學們能從圖紙上看出是我們的教學樓，這說明大家已具有一定的空間想象能力，這正是學習立體幾何的基礎。有這樣好的基礎，何愁學不好它？”聽到這些鼓勵，學生常露出自信的微笑。

2.巧用教具、模型。

要求學生自制簡單幾何體的模型這樣在序言課上就可以讓學生觀看前屆學生自制的各種模型。那些自制的模型，有紙質的，有木質的，有用鉛絲做的，也有用粘土做的，看顏色，五彩繽紛，望形狀，新穎別致。學生看了這些精美的并留有制作者姓名的模型后，贊嘆不已，大有“躍躍欲試”之勢。

借助模型還可以幫助學生克服學習習近平面圖形時產生的思維定勢的消極影響。例如，在黑板上畫出圖1，不少學生乍一看認為這是一個平面圖形，當教師指出這是一個空間圖形的直觀圖時，有的學生認為小平行四邊形凹在后面，有的學生認為小平行四邊形凸在前面，因而引起了激烈的爭論，但很快意見趨于統(tǒng)一：兩種情況都可能存在。接著教師出示用硬紙板做的模型，學生觀物思圖，看圖想物，終于形成了強烈的立體感。然后教師在黑板上畫出圖2和圖3，并用模型示范，學生不僅分清了兩種不同的情況，更重要的是感受到了學習立體幾何新鮮有趣，就能變“要我學”為“我要學”。

3.加強知識聯(lián)系。

立幾知識與學生已掌握的平面幾何知識有密切的聯(lián)系。序言課中有目的地加強這種聯(lián)系有助于消除學生怕學、厭學的心理障礙，增強學好立體幾何的信心。當教師把模型放上講臺時，學生認出模型中的正方體、圓柱體、圓錐體??教師指出：“這些幾何體在小學大家就已經學過，現(xiàn)在學習立體幾何，就是要進一步研究這些幾何體的性質。”這樣學生就會感到立體幾何并不陌生。教師還可以問學生：“兩條直線相交有幾個交點？兩個平面相交有幾條交線？”用教具演示后學生很快就能掌握。再問：“幾個點可以確定一條直線？幾個點可以確定一個平面？”學生會不加思索回答：“兩個點可以確定一條直線，兩個點也可以確定一個平面。”這時教師用兩個指頭試圖將一塊硬紙板頂住，但是無論怎樣變化位置總不能成功，引得學生一陣哄笑，不少學生也拿出作業(yè)本做試驗。教師抓住這一時機告訴學生：“立體幾何與平面幾何有密切的聯(lián)系，它們研究的對象雖然不同，但研究的方法和研究的內容（性質、畫法、計算和應用）基本相同。”這就能使學生認識到學習立幾是學習習近平幾的自然延續(xù)。

三、引導學生探討如何學好立體幾何是序言課教學的落腳點。

有些老師常在序言課上板著面孔提出要“認真聽講，認真做好作業(yè)，課前要預習，課后要復習”的要求，這些自學生跨進校門之日起就聽慣了的老調，并沒有多少效果。我們的做法是讓學生自由討論，各抒己見。因為通過以上活動，學生對立體幾何的興趣被點燃以后，便自然想到：“我們怎樣才能學好立幾知識呢？經過討論以后，教師再歸納得出學好立幾的主要方法：①加強與平幾知識的聯(lián)系，注意用對比的方法區(qū)別異同，掌握實質；②注意對實物、教具和模型的觀察和分析，培養(yǎng)空間想象能力；③自己動手制作模型，以加深對立幾知識的理解和應用。為了學好第一章，我們要求學生準備好硬紙板三塊（代平面用），竹針或鉛絲四根（代直線用），在學習中隨時進行模型演示，以逐步建立起空間觀念。

平面

立體幾何課程是初等幾何教育的內容之一，是在初中平面幾何學習的基礎上開設的，以空間圖形的性質、畫法、計算以及它們的應用為研究對象，以演繹法為研究方法．通過立體幾何的教學，使學生的認識水平從平面圖形延拓至空間圖形，完成由二維空間向三維空間的轉化，發(fā)展學生的空間想象能力，邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力．

平面的概念和平面的性質是立體幾何全部理論的基礎．平面，是現(xiàn)實世界存在著的客觀事物形態(tài)的數(shù)學抽象，在立體幾何中是只描述而不定義的原始概念，但平面是把三維空間圖形轉化為二維平面圖形的主要媒介，在立體幾何問題平面化的過程中具有重要的橋梁作用．

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．“平面”是空間圖形的基本元素，很多空間圖形的面都是平面圖形，平面圖形及其性質是初中平面幾何的主要學習內容，因此，要建立起“空間問題平面化”的觀點．

2．雖然日常生活中的平面物體有一定的局限，但作為立體幾何中的“平面”無大小之分，是無限延展的．

3．平面可用圖形表示，也可用符號表示，應理清與其它圖形表示法的聯(lián)系與區(qū)別．

（二）能力訓練點

1．通過“平面”概念的教學，初步培養(yǎng)空間想象能力，如平面的無限延展性．

2．由敘述語言、圖形語言和符號語言的互譯，培養(yǎng)語言轉換能力．

（三）德育滲透點

通過通俗意義上的平面到數(shù)學意義上的平面的學習，了解具體與抽象，特殊與一般的辯證關系，由點、直線、平面間內在的聯(lián)系逐漸形成“事物總是運動變化”的辯證觀點．

二、教學重點、難點及解決辦法 1．教學重點

（1）從客觀存在的平面物體抽象出“平面”概念．

（2）掌握點、直線、平面間的相互關系，并會用文字、圖形、符號語言正確表示．

（3）理解平面的無限延展性． 2．教學難點

（1）理解平面的無限延展性．

（2）集合概念的符號語言的正確使用． 3．解決辦法

（1）借助實物操作，抽象出“平面”概念．

（2）運用正遷移規(guī)律，將直線的無限延伸性類比于平面的無限延展性．

三、課時安排 1課時．

四、學生活動設計

準備好紙板三塊，紙盒一個，小竹簽四根．紙板作為平面的模型，紙盒用于觀察平面的位置，以便同畫出的圖形比較，小竹簽用于表示直線．

五、教學步驟

（一）明確目標

1．能夠從日常生活實例中抽象出數(shù)學中所說的“平面”． 2．理解平面的無限延展性．

3．正確地用圖形和符號表示點、直線、平面以及它們之間的關系．

（二）整體感知

“立體幾何”作為一門學生剛開始學習的學科，其內容對學生來說基本上是完全陌生的，應以“講授法’的主，引導學生觀察和想象，吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣，初步培養(yǎng)空間想象力．

本課是“立體幾何”的起始課，應先把這一學科的內容作一大概介紹，包括課本的知識結構，“立體幾何”的研究對象，研究方法，學習立體幾何的方法和作用等．而后引入“平面”概念，以類比的方式，聯(lián)系直線的無限延伸性去理解平面的無限延展性，突破教學難點．在進行“平面的畫法”教學時，不僅要會畫水平放置的平面，還應會畫直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）．在用字母表示點、直線、平面三者間的關系時，應指明是借用了集合語句，并用列表法將這些關系歸類，以便作為初學者的學生便于比較、記憶和運用．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

A．引言

師：以往我們所學的幾何是平面幾何，研究的是平面圖形的性質、畫法、計算、應用．今天我們開始學習一門新的學科——立體幾何．立體幾何的研究對象是空間圖形的性質、畫法、計算及應用．它使得我們的學習內容從二維平面上升到三維空間，因此，需要我們在學習過程中通過嚴密的邏輯推理把三維空間圖形問題轉化為二維平面圖形問題，這也是學好立體幾何的一個重要方法． 《立體幾何》一書共分兩章：第一章“直線和平面”是立體幾何的基礎知識和理論基礎；第二章“多面體和旋轉體”是理論知識的運用，并被廣泛地應用于日常生產生活之中．

B．平面

1．平面的特點

師：現(xiàn)在我們來看手中的紙盒，它是由幾個面構成的？ 生：6個面．

師：對，這六個面給我們以平面的形象，還有哪些面留給我們平面的形象呢？ 生：桌面、黑板、地面、海平面等．

師：對，這些物體是生活中所說的平面，但還不能算是數(shù)學意義上的平面，因為它們是有限的面．再如海平面上有波濤，當我們想象它是一平如鏡時，它有什么特點呢？

生：很大、很平．

師：對，平面是一個不加定義的概念，具有“平”、“無限延展”、“無厚薄”的特點．一個平面可以把空間分成兩部分，這正如直線是無限延伸的，一條直線可以把平面分成兩部分，我們所畫的只是一條直線的一部分．因此，剛才所說的物體如果是平的，也只是它所在平面的一部分．

2．平面的畫法

師：同學們從小就會畫平面，是否記得用什么圖形來表示？ 生：平行四邊形．

師：對，通常畫平行四邊形來表示平面，但有時不，如四面體（圖1-1），又如三個平面相交且交于一點（圖1—2）．

注意，在畫平行四邊形表示平面時，所表示的平面如果是水平平面，通常把銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的兩倍（圖1-3）；如果是非水平平面，只要畫成平行四邊形，如直立平面（圖1－4）；如果幾個平面畫在一起，當一個平面有一部分被另一個平面遮住時，應把被遮部分的線段畫成虛線或不畫（圖1-5）．請看課本中有關內容．

3．平面的表示法

師：平面的表示法有如下幾種：（1）在一個希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個銳角內（圖1－

3、圖1－5）；（2）用平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD（圖1－4）；（3）用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面AC（圖1-4）．

4．點、直線、平面之間的基本關系

師：空間圖形的基本元素是點、直線、平面．從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此它們之間的關系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號語言來表示．規(guī)定直線用兩個大寫的英文字母或一個小寫的英文字母表示，點用一個大寫的英文字母表示，而平面則用一個小寫的希臘字母表示（以下各種情形要用小竹簽和紙板示范）．參圖1—6．

師：可見，集合中“∈”的符號只能用于點與直線，點與平面的關

與平面的關系，雖然借用于集合符號，但在讀法上仍用幾何語言． 【練習】

[練習一]1．能不能說一個平面長4米，寬5米？為什么？能不能說矩形長3米，寬2米？“這個矩形是平面的一部分”的說法是否正確？

2．觀察圖1－

7、圖1－8的甲、乙兩個圖形，用模型來說明它們的位置有什么不同，并用字母表示各平面．

附注：加以區(qū)別．

1）講評圖1－7時，用書作示意，對直線的可見部分與不可見部分（（2）講評圖1－8時，出示模型，對可見棱與不可見棱加以區(qū)別． [練習二]試用集合符號表示：

（1）點A在直線l上，點B不在直線上；（2）點A在平面α內，而點B不在平面α內．

（四）總結、擴展

通過這一節(jié)課的學習，我們知道了立體幾何是在學習了平面幾何的基礎上對幾何的繼續(xù)研究，研究的對象是空間圖形，主要研究空間圖形的畫法、性質、計算以及應用．今天首先學習了平面的畫法和表示法，以及點、直線、平面間基本關系的文字語言，圖形語言和符號語言之間關系的轉換，為下一節(jié)課學習習近平面的基本性質作準備．

六、布置作業(yè)

1．閱讀立體幾何課本有關“平面”的內容．

2．試用集合符號表示下列各語句，并畫出圖形：（1）點A在平面α內，但不在平面β內；（2）直線a經過不屬于平面α的點A，且a不在平面α內；（3）平面α與平面β相交于直線l，且l經過點P；（4）直線l經過平面α外一點P，且與平面α相交于點M．

4．預習“平面的基本性質”．

七、板書設計

平面的基本性質

（一）平面的基本性質是研究空間圖形性質的理論基礎，也是以后演繹推理的邏輯依據(jù)．平面的基本性質是通過三條公理及其重要推論來刻劃的，通過這些內容的教學，使學生初步了解從具體的直觀形象到嚴格的數(shù)學表述的方法，使學生的思維從直覺思維上升至分析思維，使學生的觀念逐步從平面轉向空間．

一、素質教育目標

（一）知識教學點

平面的基本性質是通過三個與平面的特征有關的公理來規(guī)定的．

1．公理1說明了平面與曲面的本質區(qū)別．通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內，又是檢驗平面的方法．

2．公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法．

3．公理3及其三個推論是空間里確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉化為平面問題的重要條件，這個轉化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內充分使用平面幾何的知識來解決，是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法．

4．“有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性．在數(shù)學語言的敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞，因此，在證明有關這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證． 5．公理3的三個推論是以公理3為主要的推理論證的依據(jù)，是命題間邏輯關系的體現(xiàn)，為使命題的敘述和論證簡明、準確，應將其證明過程用數(shù)學的符號語言表述．

（二）能力訓練點

1．通過由模型示范到三條公理的文字敘述培養(yǎng)觀察能力與空間想象能力． 2．通過由公理3導出其三個推論的思考與論證培養(yǎng)邏輯推理能力． 3．將三條定理及三個推論用符號語言表述，提高幾何語言水平．

（三）德育滲透點

借助模型和實物來說明三個公理，進行“數(shù)學來源于實踐”的唯物主義觀念的教育，通過三條公理及公理3的三個推論的學習，逐步滲透事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的觀點，更由于對三個推論的證明培養(yǎng)言必有據(jù)，一絲不茍的學習品質和公理法思想．

二、教學重點、難點、疑點及解決辦法 1．教學重點

（1）體現(xiàn)平面基本性質的三條公理及其作用．

（3）兩條公理及公理3的三個推論中的“有且只有一個”的含義．（3）用圖形語言和符號語言表述三條公理及公理3的三個推論．（4）理解用反證法和同一法證明命題的思路，并會證一些簡單問題． 2．教學難點

（1）對“有且只有一個”語句的理解．

（2）對公理3的三個推論的存在性與唯一性的證明及書寫格式．（3）確定兩相交平面的交線． 3．解決辦法

（1）從實物演示中引導學生觀察和實驗，闡明公理的條件和結論間的直觀形象，加深對“有且只有一個”語句的理解．

（2）通過系列設問，幫助學生漸次展開思維和想象，理解公理的實質和作用．

三、課時安排 2課時．

四、學生活動設計

準備好兩塊紙板，一塊薄平的泡沫板，四根長15cm左右的小竹針，其中三根一樣長，一根稍短．針對三條公理設計不同的活動，對公理1，可作如下示范：把直尺的兩端緊按在玻璃黑板上，完全密接；對公理2，可用兩塊硬紙板進行演示（如圖1－9）；對公理3，使用圖1－10所示的模型進行演示．

五、教學步驟

（一）明確目標

（1）理解井熟記平面基本性質的三條公理及公理3的三個推論．（2）掌握這三個公理和三個推論的文字語言、圖形語言、符號語言間的互譯．

（3）理解“有且只有一個”的含義，在此基礎上，以公理3為主要依據(jù)，推證其三個推論．

（4）能夠用模型來說明有關平面劃分空間的問題．（5）理解并掌握證明命題的常用方法——反證法和同一法．

（二）整體感知

本課以平面基本性質的三條公理及公理3的三個推論為主要內容，既有學生熟悉的事實，又有學生初次接觸的證明，因此以“設問——實驗——歸納”法和講解法相結合的方式進行教學．首先，對于平面基本性質的三條公理，因為是“公理”，無需證明，教學中以系列設問結合模型示范引導學生共同思考、觀察和實驗，從而歸納出三條公理并加以驗證．其中公理1應以直線的“直”和“無限延伸”來刻劃平面的“平”和“無限延展”；公理2要抓住平面在空間的無限延展特征來講；公理3應突出已知點的個數(shù)和位置，強調“三個點”且“不在同一直線上”．通過三條公理的教學培養(yǎng)學生的觀察能力和空間觀念，加深對“有且只有一個”語句的理解．對于公理3的三個推論的證明，學生是初次接觸“存在性”和“唯一性”的證明，應引導學生以公理3為主要的推理依據(jù)進行分析，逐漸擺脫對實物模型的依賴，培養(yǎng)推理論證能力，證明過程不僅要進行口頭表述，而且教師應進行板書，使學生熟悉證明的書寫格式和符號．最后，無論定理還是推論，都要將文字語言轉化為圖形語言和符號語言，并且做到既不遺漏又不重復且忠于原意．

三、教學重點、難點的學習與完成過程

A．公理

師：立體幾何中有一些公理，構成一個公理體系．人們經過長期的觀察和實踐，把平面的三條基本性質歸納成三條公理．請同學們思考下列問題（用幻燈顯示）．

問題1：直線l上有一個點P在平面α內，直線l是否全部落在平面α內？ 問題2：直線l上有兩個點P、Q在平面α內，直線l是否全部落在平面α內？

（用竹針穿過紙板演示問題1，用直尺緊貼著玻璃黑板演示問題2，學生思考回答后教師歸納．）

這就是公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內．這里的條件是什么？結論是什么？

生：條件是直線（a）上有兩點（A、B）在平面（α）內，結論是：直線（a）在平面（α）內．

師：把條件表示為A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把結論表示

11）．

這條公理是判定直線是否在平面內的依據(jù)，也可用于驗證一個面是否是平面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿．

在這里，我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個范圍呢？

生：不是，因為平面是無限延展的．

師：對，根據(jù)公理1，直線是可以落在平面內的，因為直線是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內呢？所以平面具有無限延展的特征．

現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無限延展性來觀察一個現(xiàn)象（演示圖1－9－（1）給學生看）．問：兩個平面會不會只有一個公共點？

生甲：只有一個公共點．

生乙：因為平面是無限延展的，應當有很多公共點．

師：生乙答得對，正因為平面是無限延展的，所以有一個公共點，必有無數(shù)個公共點．那么這無數(shù)個公共點在什么位置呢？（教師隨手一壓，一塊紙板隨即插入另一塊紙板上事先做好的縫隙里）．可見，這無數(shù)個公共點在一條直線上．這說明，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線．此時，就說兩平面相交，交線就是公共點的集合，這就是公理2，其條件和結論分別是什么？

生：條件是兩平面（α、β）有一公共點（A），結論 是：它們有且只有一條過這個點的直線．

師：條件表示為A∈α，A∈β，結論表示為：α∩β＝a，A∈a，圖形表示為圖1－9－（2）或圖1－12．

公理2是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定相交平面的交線的方法． 下面請同學們思考下列問題（用幻燈顯示）： 問題1：經過空間一個已知點A可能有幾個平面？ 問題2：經過空間兩個已知點A、B可能有幾個平面？ 問題3：經過空間三個已知點A、B、C可能有幾個平面？

（教師演示圖1－10給學生看，學生思考后回答，教師歸納）．這說明，經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面，即公理3，其條件、結論分別是什么？

生：條件是：不在同一直線上的三點（A、B、C），結論是：過這三點（A、B、C）有且只有一個平面（α）．

A∈α，B∈α，C∈α，圖形表示為圖1－13，公理3是確定平面位置的依據(jù)之一．

以上三個公理是平面的基本性質．其中公理2和公理3中的“有且只有一個”有兩層含義，在數(shù)學中，“有一個”是說明“存在”、但不唯一；“只有一個”是說明“唯一”，但不保證圖形存在．也就是說，如果有頂多只有一個．因此，在證明有關“有且只有一個”語句的命題時，要證明兩個方面——存在性和唯一性．

B．推論

師：確定一個平面的依據(jù)，除公理3外，還有它的三個推論．

推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．說出推論1的條件和結論．

生：條件是：一條直線和直線外一點，結論是：經過這條直線和這一點有且只有一個平面．

求證：經過a和A有且只有一個平面．

證明：“存在性”即存在過A、a的平面，在直線a上任取兩點B、C．

∴A、B、C三點不在同一直線上．

∴過A、B、C三點有且只有一個平面α（公理3）． ∴B∈α，C∈α．

即過直線a和點A有一個平面α．

“唯一性”，假設過直線a和點A還有一個平面β．

∴B∈β，C∈β．

∴過不共線三點A、B、C有兩個平面α、β，這與公理3矛盾．

∴假設不成立，即過直線a和點A不可能還有另一個平面β，而只能有一個平面α．

這里證明“唯一性”時用了反證法．

推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．

其條件、結論分別是什么？

生：條件是：兩條直線相交，結論是：經過這兩條直線有且只有一個平面． 師（板書）：已知：直線a∩直線b＝A． 求證：經過a、b有且只有一個平面． 證明：“存在性”．

在a、b上分別取不同于點A的點B、C，得不在同一直線上的三點A、B、C，則過A、B、C三點有且只有一個平面α（公理3）．

∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是經過相交直線a、b的一個平面． “唯一性”．

設過直線a和b還有另一個平面β，則A、B、C三點也一定都在平面β內． ∴過不共線三點A、B、C就有兩個平面α和β． ∴平面α與平面β重合． ∴過直線a、b的平面只有一個． 這里證明唯一性時，用的是“同一法”．

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．（證明作為思考題）

C．練習

1．下面是一些命題的敘述語（A、B表示點，a表示直線，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．

其中命題和敘述方法都正確的是．

[

] 2．下列推斷中，錯誤的是

[

]

D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共

3．一個平面把空間分成____部分，兩個平面把空間最多分成____部分，三個平面把空間最多分成____部分．

4．確定經過A、B、C三點的平面與已知平面α、β的交線．（圖1－16）

四、總結、擴展

本課主要的學習內容是平面的基本性質，有三條公理及公理3的三推論．其中公理1用于判定直線是否在平面內，公理2用于判定兩平面相交，公理3及三個推論是確定平面的依據(jù)．“確定一個平面”與“有且只有一個平面”是同義詞．“有”即“存在”，“只有一個”即“唯一”．所以證明有關“有且只有一個”語句的命題時，要證兩方面——存在性和唯一性．證明的方法是反證法和同一法．

五、布置作業(yè)

1．復習課本有關內容并預習課本例題． 2．課本習題（略）．

3．確定經過A、B、C三點的平面與已知平面α、β、γ的交線．

4．思考題：（1）三個平面把空間可能分成幾部分？（2）如何證明推論3？

六、答案

練習：1．D，2．C，3．圖1－18． 作業(yè)：3．圖1－19．

七、板書設計

平面的基本性質

（二）平面的基本性質是立體幾何中演繹推理的邏輯依據(jù)．以平面的基本性質證明諸點共線、諸線共點、諸點共面是立體幾何中最基礎的問題，既加深了對平面基本性質的理解，又是今后解決較復雜立體幾何問題的基礎．

一、素質教育目標

（一）知識教學點

掌握利用平面的基本性質證明諸點共面、諸線共面、三點共線、三線共點問題的一般方法．

1．證明若干點或直線共面通常有兩種思路

（1）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素確定一個平面，再證明其余元素在這平面內，如例1之②．

2．證明三點共線，通常先確定經過兩點的直線是某兩個平面的交線，再證明第三點是這兩個平面的公共點，即該點分別在這兩個平面內，如例2． 3．證明三線共點通常先證其中的兩條直線相交于一點，然后再證第三條直線經過這一點，如練習．

（二）能力訓練點

通過嚴格的推理論證，培養(yǎng)邏輯思維能力，發(fā)展空間想象能力．

（三）德育滲透點

通過對解題方法和規(guī)律的概括，了解個性與共性．特殊與一般間的關系，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點，又從有理有據(jù)的論證過程中培養(yǎng)嚴謹?shù)膶W風．

二、教學重點、難點、疑問及解決辦法 1．教學重點

（1）證明點或線共面，三點共線或三線共點問題．（2）證明過程的書寫格式與規(guī)則． 2．教學難點

（1）畫出符合題意的圖形．（2）選擇恰當?shù)墓砘蛲普撟鳛檎摀?jù)． 3．解決辦法

（1）教師完整板書有代表性的題目的證明過程，規(guī)范學生的證明格式．（2）利用實物，擺放成符合題意的位置．

三、學生活動設計 動手畫圖并證明．

四、教學步驟

（一）明確目標

1．學會審題，根據(jù)題意畫出圖形，并寫“已知、求證”． 2．論據(jù)正確，論證嚴謹，書寫規(guī)范．

3．掌握基本方法：反證法和同一法，學習分類討論．

（二）整體感知

立體幾何教學中，對學生進行推理論證訓練是發(fā)展學生邏輯思維能力的有效手段．首先應指導學生學會審題，包括根據(jù)題意畫出圖形，并寫出已知、求證．其次，推理的依據(jù)是平面的基本性質，要引導學生確定平面．由于學生對立體幾何中的推理頗不熟練，因此宜采用以啟發(fā)為主，邊講邊練的教學方式．教師在講解時，應充分展開思維過程，培養(yǎng)學生分析空間問題的能力，在板書時，應復誦公理或推論的內容，加深對平面基本性質的理解．

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

A．復習與講評

師：我們已學習了平面的基本性質，那么具備哪些條件時，直線在平面內？（生回答公理1，教師板畫圖1－20示意．）

師：具備哪些條件可以確定一個平面？（生4人回答，教師板畫圖1－21示意．）

師：上一節(jié)課后布置思考證明推論3，現(xiàn)在請同學們共同討論這個證明過程．

已知：直線a∥b．

求證：經過a、b有且只有一個平面． 證明：“存在性”． ∵a∥b，∴a、b在同一平面α內（平行線的定義）．“唯一性”——在直線a上作一點A．

假設過a和b還有一個平面β，則A∈β． 那么過b和b外一點A有兩個平面α和β． 這與推論1矛盾．

注：證唯一性，用了“反證法”．

B．例題與練習

師：先看怎樣證幾條線共面．

例1求證：兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一平面內．分析：四條直線兩兩相交且不共點，可能有兩種：一是有三條直線共點；二是沒有三條直線共點，故而證明要分兩種情況．

（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q． d∩c＝R，a、b、c相交于點O． 求證：a、b、c、d共面． 證明：∵d∩a＝P，∴過d、a確定一個平面α（推論2）． 同理過d、b和d、c各確定一個平面β、γ． ∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．

∴平面α、β、γ都經過直線d和d外一點O． ∴α、β、γ重合． ∴a、b、c、d共面．

注：本題的方法是“同一法”．

（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a ∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且無三線共點．

求證：a、b、c、d共面 證明：∵d∩a＝P，∴d和a確定一個平面α（推論2）． ∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．

∴a、b、c、d四線共面．

注：①讓學生從實物擺放中得到四條直線的兩種位置關系． ②分類討論時，強調要注意既不要重復，又不要遺漏． ③結合本例，說明證諸線共面的常用方法．

例2如圖1－25，已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、CD上的點，且EF交GH于P．

求證：P在直線BD上．

分析：易證BD是兩平面交線，要證P在兩平面交線上，必須先證P是兩平面公共點．

已知：EF∩GH＝P，E∈AB、F∈AD，G∈BC，H∈CD，求證：B、D、P三點共線． 證明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD確定平面ABD（推論2）．

∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F(xiàn)∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD． 同理，P∈平面BCD．

∴平面ABD∩平面BCD＝BD． ∴P∈BD即B、D、P三點共線．

注：結合本例，說明證三點共線的常規(guī)思路．

練習：兩個平面兩兩相交，有三條交線，若其中兩條相交于一點，證明第三條交線也過這一點．

分析：雖說是證三線共點問題，但與例2有異曲同工之處，都是要證點P是兩平面的公共點．

已知：如圖1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p． 求證：p∈a． 證明：∵b∩c＝p，∴p∈b． ∵β∩γ＝b，∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a，∴p∈a．

師：以上例、習題分別證明了四線共面．三點共線和三線共點問題，這只是證明這類問題中的個例，根據(jù)不同的條件有不同的分析問題和解決問題的過程，但也具有一般的思路和方法．除了例

1、例2兩類問題的常用方法外，本練習是證三線共點問題，也有常用證法（將知識教學點中所列三條用幻燈顯示）．

（四）總結、擴展

本課以練習為主，學習了線共面、點共線，線共點的一般證明方法和分類討論的思想．證明依據(jù)是平面的基本性質，數(shù)學方法有反證法和同一法，這也是這一單元的主要證明方法．在證明的書寫中，要求推論有據(jù)，書寫規(guī)范．

五、布置作業(yè) 1．課本習題（略）．

2．求證：兩兩相交的三條直線必在同一個平面內．

3．已知：△ABC在平面α外，三角形三邊AB、AC、BC所在直線分別交α于M、N、R，求證：M、N、R三點共線．

4．如圖1－27，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E、F分別是接AA1、CC1的中點，求證：點D1、E1、F1、B共面．

（提示：證明空間若干個點共面，通常先由其中三點確定一個平面，再證明其它的點也在這個平面內．本題先連結D1E并延長交DA延長線于G，連結D1F并延長交DC延長線于H，可證GH是D1、E、F三點確定的平面和平面AC的交線，然后再用平面幾何知識證點B在GH上．）

六、板書設計

平行直線

一、素質教育目標

（一）知識教學點 1．公理4，即平行公理． 2．等角定理及推論．

（二）能力訓練點

1．利用聯(lián)想的方法，掌握并應用由平面內引伸到空間中的平行公理． 2．充分利用構造的方法證明等角定理，為下一節(jié)兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性．

3．通過本節(jié)課的學習，讓學生認識到在平面幾何中成立的結論或定理等，在用于非平面圖形時，須先證明．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法 1．教學重點：讓學生掌握平行公理及其應用． 2．教學難點：等角定理證明的掌握及其應用．

3．教學疑點：正確理解等角定理中命題的條件：兩個角的兩邊分別平行且這兩個角的方向相同．

三、課時安排 1課時．

四、教與學的過程設計

（一）復習兩條直線的位置關系（幻燈顯示）師：空間中兩條直線的位置關系有哪幾種？

生：三種：相交、平行、異面．異面直線是指不同在任何一個平面內的兩條直線．相交直線和平行直線也稱為共面直線． 師：異面直線的畫法常用的有哪幾種？ 生：三種．如圖1－38，a與b都是異面直線． 師：如何判定兩條直線是異面直線？

生：（1）間接證法：根據(jù)定義，一般用反證法．

（2）直接證法：根據(jù)例題結論：過平面外一點與平面內一點的

（二）平行公理

師：在平面幾何中，如圖1－40，若a∥b，c∥b，則a與c平行嗎？

生：平行．

師：也就是說，在平面中，若兩條直線a、c都和第三條直線b平行，則a∥c．這個命題在空間中是否成立呢？ 師：實際上，在空間中，若a∥b，c∥b，則a∥c也成立．我們把這個結論作為一個公理，不必證明，可直接應用．

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

如圖1－41，三棱鏡的三條棱，若AA′∥BB′，CC′∥BB′，則有AA′∥CC′．

下面請同學們完成下列的例題，鞏固應用平行公理．

例已知四邊形ABCD是空間四邊形（四個頂點不共面的圖1-41四邊形），E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD

師分析：要證明四邊形EFGH是梯形，即要證明四邊形EFGH的一組對邊平行，另一組對邊不平行；或證明一組對邊平行且不相等．具體用哪一種方法，我們來分析一下題意：E、H分別是邊AB、AD的中

證明：如圖1－42，連結BD． ∵EH是△ABD的中位線，根據(jù)公理4，EH∥FG，又∵FG＞EH，∴四邊形EFGH是梯形．

（三）等角定理

師：平行公理不僅是今后論證平行問題的主要依據(jù)，也是證明等角定理的基礎．

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．

已知：∠BAC和∠B′A′C′的邊AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同． 求證：∠BAC＝∠B′A′C′．

師分析：在平面內，這個結論我們已經證明成立了．在空間中，這個結論是否成立，還需通過證明．要證明兩個角相等，常用的方法有：證明兩個三角形全等或相似，則對應角相等；證明兩直線平行，則同位角、內錯角相等；證明平行四邊形，則它的對角相等，等等．根據(jù)題意，我們只能證明兩個三角形全等或相似，為此需要構造兩個三角形，這也是本題證明的關鍵所在．

證明：對于∠BAC和∠B′A′C′都在同一平面內的情況，在平面幾何中已經證明．下面我們證明兩個角不在同一平面內的情況．

如圖1－43，在AB、A′B′，AC、A′C′上分別取AD＝A′D′、AE＝A′E′，連結AA′、DD′、EE′，DE、D′E′． ∵AB∥A′B′，AD＝A′D′，∴AA′DD′是平行四邊形．

根據(jù)公理4，得：DD′∥EE′． 又可得：DD′＝EE′

∴四邊形EE′D′D是平行四邊形．

∴ED＝E′D′，可得：△ADE≌△A′D′E′． ∴∠BAC＝∠B′A′C′．

師：若把上面兩個角的兩邊反向延長，就得出下面的推論．

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等．

從上面定理的證明可以知道：平面里的定義、定理等，對于非平面圖形，需要經過證明才能應用．

下面請同學們完成練習．

（四）練習（P．14練習1、2．）

1．把一張長方形的紙對折兩次，打開后如圖1－44那樣，說明為什么這些折痕是互相平行的？

答：把一張長方形的紙對折兩次，打開后得4個全等的矩形，每個矩形的豎邊是互相平行的，再應用平行公理，可得知它們的折痕是互相平行的．

△ABC≌△A′B′C′．

∴四邊形BB′C′C是平行四邊形． ∴BC＝B′C′．

同理可證：AC＝A′C′，AB＝A′B′． ∴△ABC≌△A′B′C′．

（五）總結

這節(jié)課我們學習了平行公理和等角定理及其推論．平行公理是論證平行問題的主要根據(jù)，也是確定平面的基礎．等角定理給下一節(jié)兩條異面直線所成角的定義奠定了基礎．這節(jié)課我們還明確了在平面幾何中成立的結論或定理等，在用于非平面圖形時，須先證后用．

五、作業(yè)

教材P．17習題二4、5、6、7、8．

兩條異面直線所成的角

一、素質教育目標

（一）知識教學點 1．兩異面直線所成角的定義及兩異面直線互相垂直的概念．

2．兩異面直線的公垂線和距離的概念及兩異面直線所成角及距離的求法．

（二）能力訓練點

1．利用轉化的思想，化歸的方法掌握兩異面直線所成角的定義及取值范圍，并體現(xiàn)了定義的合理性．

2．利用類比的方法掌握兩異面直線的公垂線和距離等概念，應用在證題中體現(xiàn)了嚴格的邏輯思維，并會求兩條異面直線所成角與距離．

（三）德育滲透點

進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力，以及有根有據(jù)、實事求是等嚴肅的科學態(tài)度和品質．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：兩異面直線所成角的定義；兩異面直線的公垂線及距離的概念；兩異面直線所成角和距離的求法．

2．教學難點：兩異面直線所成角及距離的求法．

3．教學疑點：因為兩條異面直線既不相交，但又有所成的角，這對于初學立體幾何的學生來說是難以理解的．講解時，應首先使學生明了學習異面直線所成角的概念的必要性．

三、課時安排 1課時．

四、教與學的過程設計

（一）復習提問引入課題

師：上新課前，我們先來回憶：平面內兩條相交直線一般通過什么來反映它們之間的相互位置關系？

生：通過它們的夾角．如圖1－46，a、b的位置關系與a′、b′的位置關系是不一樣的，a、b的夾角比a′、b′的夾角來的小．

師：那么兩條異面直線是否也能用它們所成的角來表示它們之間相互位置的不同狀況．例如要表示大橋上火車行駛方向與橋下輪船航行方向間的關系，就要用到兩條異面直線所成角的概念．

（二）異面直線所成的角

師：怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉化為用共面直線所成的角來表示呢？

生：可以把異面直線所成角轉化為平面內兩直線所成角來表示．如圖1－47，異面直線a、b，在空間中任取一點O，過點O分別引a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角．

師：針對這個定義，我們來思考兩個問題．

問題1：這樣定義兩條異而直線所成的角，是否合理？對空間中的任一點O有無限制條件？

答：在這個定義中，空間中的一點是任意取的．若在空間中，再取一點O′，過點O′作a″∥a，b″∥b，根據(jù)等角定理，a″與b″所成的銳角（或直角）和a′與b′所成的銳角（或直角）相等．即過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點位置無關，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性．注意：有時，為了方便，可將點O取在a或b上．

問題2：這個定義與平面內兩相交直線所成角是否有矛盾？

答：沒有矛盾．當a、b相交時，此定義仍適用，表明此定義與平面內兩相交直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣． 師：在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直（出示模型：正方體）．例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面．

（三）兩條異面直線的距離

師：（出示模型）觀察模型，思考問題：a與b，a′與b所成角相等，但是否就表示它們之間的相互位置也一樣呢？

生：不是．它們之間的遠近距離不一樣，從而得到兩條異面直線的相互位置除了用它們所成的角表示，還要用它們之間的距離表示．

師：那么如何表示兩條異面直線之間的距離呢？我們來回憶在平面幾何中，兩條平行線間的位置關系是用什么來表示的？

生：用兩平行線間的距離來表示．

師：對．如圖1－50，要知道它們的距離，先要定義它們的公垂線，如圖1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，則a、b與a′、b′的公垂線分別為c、c′，且線段AB、A′B′的長度分別是a、b與a′、b′之間的距離．

對兩條異面直線的距離，我們可以應用類似的方法先定義它們的公垂線． 定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線． 師：根據(jù)定義，思考問題．

問題1：和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？

答：無數(shù)條．因為兩條異面直線互相垂直時，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義．

問題2：兩條異面直線的公垂線有幾條？

答：有且只有一條（出示正方體骨架模型），能和AA′、B′C′都垂直相交的只有A′B′一條；能和AB與面A′C′內過點A′的直線都垂直相交的直線只有一條AA′．

師：有了兩條異面直線公垂線的概念，我們就可以定義兩條異面生成的距離． 定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離．

如圖1－52中的線段AB的長度就是異面直線a、b間的距離． 下面，我們來完成練習和例題．

（四）練習

例設圖1－53中的正方體的棱長為a，（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA′成異面直線？

（2）求直線BA′和CC′所成的角的大小．（3）求異面直線BC和AA′的距離．

解：（l）∵A′平面BC′，而點B，直線CC′都在平面BC′

∴直線BA′與CC′是異面直線． 同理，直線C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直線BA′成異面直線．

（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的銳角就是BA′和CC′所成的角． ∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂線段． ∵AB=a，∴BC和AA′的距離是a．

說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時要注意書寫規(guī)范．

【練習】

（P．16練習1、3．）

1．（1）兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？ 答：不一定，還可能異面．

（2）垂直于同一直線的兩條直線，有幾種位置關系？ 答：三種：相交，平行，異面．

3．畫兩個相交平面，在這兩個平面內各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（2）相交直線；（3）異面直線． 解：

（五）總結

本節(jié)課我們學習了兩條異面直線所成的角，以及兩條異面直線間的距離和有關概念．并學會如何求兩條異面直線所成角及距離，懂得將其轉化為平面幾何問題來解決．

五、作業(yè)

P．17-18中9、10．

兩條異面直線所成的角練習課

教學目標

1．記憶并理解余弦定理；

2．應用余弦定理來求異面直線所成的角． 教學重點和難點

這節(jié)課的重點是以異面直線所成的角的概念為指導作出相應的角，然后用余弦定理解這個角所在的三角形求出這個角的余弦．這節(jié)課的難點是使學生初步理解當cosθ＞0時，0°＜θ＜90°，當cosθ=0時，θ=90°，當cosθ＜0時，90°＜θ＜180°．

教學設計過程

一、余弦定理

師：余弦定理有哪兩種表述的形式？它們各有什么用途？ 生：余弦定理有兩種表述的形式，即：

a2=b2＋c2-2bccos A b2=c2+a2-2cacos B

c2=a2＋b2-2abcos C

第一種形式是已知兩邊夾角用來求第三邊，第二種形式是已知三邊用來求角．

師：在立體幾何中我們主要用余弦定理的第二種形式，即已知三角形的三邊來求角．

在余弦定理的第二個形式中，我們知道b＋c可以等于a；也可以小于a；也可以大于a2．那么，我們想當b2+c2=a2時，∠A等于多少度？為什么？

生：當b2＋c2=a2時，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°． 師：當b2＋c2＞a2時，∠A應該是什么樣的角呢？ 生：因為cosA＞0，所以∠A應該是銳角． 師：當b2＋c2＜a2時，∠A應該是什么樣的角呢？ 生：因為這時cosA＜0，所以∠A應該是鈍角．

師：對，關于這個問題，我們只要求同學們有初步的理解即可．初步理解后應該記住、會用．現(xiàn)在明確提出當cosθ=0時，θ=90°，θ是直角；當cosθ＞0時，0°＜θ＜90°，θ是銳角當cosθ＜0時，90°＜θ＜180°，θ是鈍角．下面請同學們回答下列問題：

生：θ等于60°，等于120°． 師：這時θ和 是什么關系？ 生：θ和 是互為補角． 師：再回答下列問題：

生：θ1等于45°，θ2+ 2=180°．

1等于135°，θ1+ 1=180°；θ2等于30°，2

=150°，師：一般說來，當cosθ=-cos 時，角θ與角 是什么關系？ 生：角θ與角 是互補的兩個角．即一個為銳角，一個 為鈍角，且θ＋ =180°．

（關于鈍角的三角函數(shù)還沒有定義，所以這里采用從特殊到一般的方法使學生有所理解即可）

二、余弦定理的應用

例1 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求異面直線A1B和AD1所成的角的余弦．（如圖1）

師：首先我們要以概念為指導作出這個角，A1B和AD1所成的角是哪一個角？ 生：因為CD1∥A1B，所以∠AD1C即為A1B與AD1所成的角．

師：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三邊，然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．

師：我們要再一次明確求異面直線所成的角的三個步驟：第一是以概念為指導作出所成的角；第二是找出這個角所在的三角形；第三是解這個三角形．現(xiàn)在我們再來看例2．

例2 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1與BC1所成角的余弦．（如圖2）

師：在這例中，我們除了首先要以概念為指導作出異面直線所成的角以外，還要注意把所給的特殊角的條件轉化為長方體各棱之間的關系，以便于我們用余弦定理．

生：因為BC1∥AD1，所以AB1與BC1所成的角即為∠D1AB1．根

師：現(xiàn)在我們來看例3．

例3 已知正方體的棱長為a，M為AB的中點，N為B1B的中點．求A1M與C1N所成的角的余弦．（如圖3）（1992年高考題）

師：我們要求A1M與C1N所成的角，關鍵還是以概念為指導作出這個角，當一次平移不行時，可用兩次平移的方法．在直觀圖中，根據(jù)條件我們如何把A1M用兩次平移的方法作出與C1N所成的角？

生：取A1B1的中點E，連BE，由平面幾何可知BE∥A1M1，再取EB1的中點F，連FN由平面幾何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即為A1M與C1N所成的角．

師：還可以用什么方法作出A1M與C1N所成的角？ 生：當BE∥A1M后，可取C1C中點G，連BG，則BG∥C1N，師：這兩種解法都要用兩次平移來作出異面直線所成的角，現(xiàn)在我們來看例4．

例4 在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1與BD所成的角的余弦．（如圖4）

師：根據(jù)異面直線所成的角的概念，再根據(jù)長方體的基本性質，如何作出AC1與BD所成的角。

生：連AC，設AC∩BD=0，則O為AC中點，取C1C的中點F，定理，得

師：想一想第二個解法

生：取AC1中點O1，B1B中點G．在△C1O1G中，∠C1O1G即

一可知：

師：想一想第三個解法．當然還是根據(jù)異面直線所成的角概念首先作出這個角．有時可根據(jù)題目的要求在長方體外作平行直線．

生：延長CD到E，使ED=DC．則ABDE為平行四邊形．AE∥BD，所以∠EAC1即為AC1與BD所成的角．（如圖5）連EC1，在

由余弦定理，得

所以∠EAC1為鈍角．

根據(jù)異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為

師：根據(jù)這一道題的三種解法，我們可以看出，當用異面直線所成的角的概念，作出所成的角，這時所作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據(jù)這個角的余弦的正、負值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角．（異面直線所成的角的鄰補角）

今天就講這四個例題，這四個例題都是要用余弦定理來求異面直線所成的角．

作業(yè) 補充題

3．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點．求：（1）異面直線A1D1和CD的距離；（2）異面直線C1O和EF的距離．

4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB與A1C1所成的角的度數(shù)；（2）A1A與CB1所成的角的度數(shù)；（3）AB1與A1C1所成的角的余弦．

直線和平面平行的判定與性質

（一）一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．直線和平面平行的定義．

2．直線和平面的三種位置關系及相應的圖形畫法與記法． 3．直線和平面平行的判定．

（二）能力訓練點

1．理解并掌握直線和平面平行的定義．

2．掌握直線和平面的三種位置關系，體現(xiàn)了分類的思想．

3．通過對比的方法，使學生掌握直線和平面的各種位置關系的圖形的畫法，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力．

4．掌握直線和平面平行的判定定理的證明，證明用的是反證法和空間直線與平面的位置關系，進一步培養(yǎng)學生嚴格的邏輯思維。除此之外，還要會靈活運用直線和平面的判定定理，把線面平行轉化為線線平行．

（三）德育滲透點

讓學生認識到研究直線與平面的位置關系及直線與平面平行是實際生產的需要，充分體現(xiàn)了理論來源于實踐，并應用于實踐．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：直線與平面的位置關系；直線與平面平行的判定定理． 2．教學難點：掌握直線與平面平行的判定定理的證明及應用．

3．教學疑點：除直線在平面內的情形外，空間的直線和平面，不平行就相交，課本中用記號a≮α統(tǒng)一表示a‖α，a∩α=A兩種情形，統(tǒng)稱直線a在平面α外．

三、課時安排

1.7直線和平面的位置關系與1.8直線和平面平行的判定與性質這兩個課題安排為2課時．本節(jié)課為第一課時，講解直線和平面的三種位置關系及直線和平面平行的判定定理．

四、教與學過程設計

（一）直線和平面的位置關系．

師：前面我們已經研究了空間兩條直線的位置關系，今天我們開始研究空間直線和平面的位置關系．直線和平面的位置關系有幾種呢？我們來觀察：黑板上的一條直線在黑板面內；兩墻面的相交線和地面只相交于一點；墻面和天花板的相交線和地面沒有公共點，等等．如果把這些實物作出抽象，如把“墻面”、“天花板”等想象成“水平的平面”，把“相交線”等想象成“水平的直線”，那么上面這些關系其實就是直線和平面的位置關系，有幾種，分別是什么？ 生：直線和平面的位置關系有三種：直線在平面內；直線和平面相交；直線和平面平行．

師：什么是直線和平面平行？

生：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么這條直線和這個平面平行． 師：直線和平面的位置關系是否只有這三種？為什么？

生：只有這三種情況，這可以從直線和平面有無公共點來進一步驗證：若直線和平面沒有公共點，說明直線和平面平行；若直線和平面有且只有一個公共點，說明直線和平面相交；若直線和平面有兩個或兩個以上的公共點，根據(jù)公理1，說明這條直線在平面內．

師：為了與“直線在平面內”區(qū)別，我們把直線和平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為“直線在平面外”，歸納如下：

直線在平面內——有無數(shù)個公共點．

師：如何畫出表示直線和平面的三種位置關系的圖形呢？

生：直線a在平面α內，應把直線a畫在表示平面α的平行四邊形內，直線不要超出表示平面的平行四邊形的各條邊；直線a與平面α相交，交點到水平線這一段是不可見的，注意畫成虛線或不畫；直線a與平面α平行，直線要與表示平面的平行四邊形的一組對邊平行．如圖1-57：

注意，如圖1-58畫法就不明顯我們不提倡這種畫法．

下面請同學們完成P.19．練習1．

1．觀察圖中的吊橋，說出立柱和橋面、水面，鐵軌和橋面、水面的位置關系：（圖見課本）

答：立柱和橋面、水面都相交；鐵軌在橋面內，鐵軌與水面平行．

（二）直線和平面平行的判定

師：直線和平面平行的判定不僅可以根據(jù)定義，一般用反證法，還有以下的方法．我們先來觀察：門框的對邊是平行的，如圖1-59，a∥b，當門扇繞著一邊a轉動時，另一邊b始終與門扇不會有公共點，即b平行于門扇．由此我們得到：

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．

求證：a∥α．

師提示：要證明直線與平面平行，只有根據(jù)定義，用反證法，并結合空間直線和平面的位置關系來證明．

∴ a∥α或 a∩α＝A． 下面證明a∩α＝A不可能． 假設a∩α＝A ∵a∥b，在平面α內過點A作直線c∥b．根據(jù)公理4，a∥c．這和a∩c＝A矛盾，所以a∩α＝A不可能．

∴a∥α． 師：從上面的判定定理可以知道，今后要證明一條直線和一個平面平行，只要在這個平面內找出一條直線和已知直線平行，就可斷定這條已知直線必和這個平面平行，即可由線線平行推得線面平行．

下面請同學們完成例題和練習．

（三）練習

例1 空間四邊形相鄰兩邊中點的連線，平行于經過另外兩邊的平面． 已知：空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點． 求證：EF∥平面BCD．

師提示：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明EF∥平面BCD，只要在平面BCD內找一直線與EF平行即可，很明顯原平面BCD內的直線BD∥EF．

證明：連結BD．

性，這三個條件是證明直線和平面平行的條件，缺一不可． 練習（P.22練習1、2．）

1．使一塊矩形木板ABCD的一邊AB緊靠桌面α，并繞AB轉動，AB的對邊CD在各個位置時，是不是都和桌面α平行？為什么？（模型演示）

答：不是．

2．長方體的各個面都是矩形，說明長方體每一個面的各邊及對角線為什么都和相對的面平行？（模型演示）

答：因為長方體每一個面的對邊及對角線都和相對的面內的對應部分平行，所以，它們都和相對的面平行．

（四）總結

這節(jié)課我們學習了直線和平面的三種位置關系及直線和平面平行的兩種判定方法．學習直線和平面平行的判定定理，關鍵是要會把線面平行轉化為線線平行來解題．

五、作業(yè)

P.22中習題三1、2、3、4．

六、板書設計

一、直線和平面的位置關系直線在平面內——有無數(shù)個公共點． 直線在平面外

二、直線和平面平行的判定 1．根據(jù)定義：一般用反證法．

2．根據(jù)判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．

直線和平面的位置關系：