第一篇：第2章 命題與證明 復習教案

第2章 命題與證明 復習教案

一、復習目標

1、梳理本章主要知識點；

2、比較深入地去認識命題；

3、對于較為簡單的命題能比較熟練地辨別真假，并能按規范的格式給予證明；

4、培養學生分析能力，發展學生的逆向思維能力；

5、對某些幾何命題分析、證明是有一定的經驗（套路），發展學生學會總結辨別的能力.二、重點難點

重點：證明的方法和表述是論證幾何的核心內容，對于培養我們的邏輯思維能力和邏輯表達能力有重要的作用，也是進一步學習后續幾何內容的必須的基礎知識和基本技能，是本章的重點

難點：證明的分析、表述格式

三、復習引入

知識梳理

四、教學過程

1.引入新課

說明：本章主要內容有定義、命題、證明、反例和反證法

1、能清楚地規定某一名稱或術語的 的句子叫做定義

2、對某一件事作出 的句子叫做命題； 叫做真命題，叫做假命題 要說明一個命題是假命題，常用的方法是舉出一個.要說明一個命題是真命題，常用 方法

數學中通常挑選一部分人們經過長期實踐后公認為正確的命題，作為判斷其他命題的依據，這些公認為正確的命題叫做

用推理的方法判斷為正確，并且可以作為判斷其他命題真假依據的真命題叫做定理

3、要判定一個命題是真命題，往往需要從命題的條件出發，依據已知的定義、定理、公理，一步一步推得結論成立，這樣的推理過程叫做證明.2.內容組織 1.例1 下列語句中哪些是命題？

（1）每單位面積所受到的壓力叫做壓強；（2）如果a是實數，那么a+1〉0；（3）兩個無理數的乘積一定是無理數；（4）偶數一定是合數嗎？（5）連接AB；（6）不相等的兩個角不可能是對頂角

說明：必須是對某件事作出正確或不正確的判斷 疑問句、命令性的語句不是命題

（2）如果a是實數，那么a+1〉0；（3）兩個無理數的乘積一定是無理數；（6）不相等的兩個角不可能是對頂角.中哪些是真命題？哪些是假命題？并說明理由

說明：（6）假設是對頂角，則這兩個角相等，這和已知兩個角相等矛盾，所以假設不成立，即原命題成立.“（6）不相等的兩個角不可能是對頂角”的條件是什么？結論是什么？你能改寫成“如果......，那么......”的形式

說明：“如果” 后跟的“......”是條件；“那么” 后跟的“......”是結論

例2 如圖，BI，CI分別是△ABC中∠ABC, ∠ACB的平分線.求證：?BIC?90??

221?A 2分析：充分利用角平分線和三角形內角和等于180° 把∠BIC和∠A聯系起來

證明：∵BI，CI分別是△ABC中∠ABC, ∠ACB的平分線

??IBC?11?ABC,?ICB??ACB 2212∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）?180??(?ABC?1?ACB)2111?180??(?ABC??ACB)?180??(180???A)?90???A

222例3 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE于F，過B作BD⊥BC，交CF的延長線于點D.求證：AE=CD 分析：要證明AE=CD，只要證明什么？（△ＡＥＣ≌ ＣＤＢ）

證明：∵∠ACB=90°，CF⊥AE ∴∠EAC+∠ACF=90°，∠DCB+∠ACF=90° ∴∠EAC=∠DCB ∵BD⊥BC ∴∠DBC =90°=∠ACB 又∵AC=BC ∴△ＡＥＣ≌ＣＤＢ ∴AE=CD 還可得出哪兩條線段相等？

說明：在三角形中，有多個垂直關系時，常利用“同角（或等角）的余角相等”來證明兩個角相等，從而證明三角形全等.例4如圖，已知AD是△ABD 和△ACD的公共邊.求證：

∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

證法三：延長AD ∵∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C ∴∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C 探索：（1）如圖(甲)，在五角星圖形中，求 ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數。

（2）把圖（乙）、（丙）叫蛻化的五角星，問它們的五角之和與五角星圖形的五角之和仍相等嗎？為什么？

3.課堂小結

談談你今天這節課有什么收獲？證明的格式，探索證明的分析思路 4.布置作業

第二篇：命題與證明平行四邊形 教案

《命題與證明》

1、定義（一般地，能清楚地規定某一名稱或術語意義的句子叫做該名稱或術語的定義）

2、命題（一般地，判斷一件事情的句子叫做命題）命題是一個“判斷句”，判斷“是”或“非”．其中正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，如“對頂角相等”是真命題，“相等的角是對頂角”是假命題.注意：(1)命題是語句，而且必須是能判斷正確和錯誤的句子．(2)錯誤的命題也是命題．

過直線外一點做一條直線與已知直線垂直。

過直線外一點做一條直線，要么與已知直線相交，要么與已知直線平行。

3、每個命題是由條件（題設）和結論（題斷）兩部分組成．條件是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，命題常寫成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分是結論．（判斷清楚哪些是條件，哪些是結論）

寫成“如果，那么”的形式

①在同一個三角形中 等角對等邊

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等

③同角的余角相等

3、公理、定理、推論

人們在長期實踐中檢驗所得的真命題，并作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做公理．如“過兩點有且只有一條直線”；“兩點之間，線段最短”等等．有些命題的正確性是通過推理證實的，并被選定作為判定其它命題真假的依據，這樣的真命題叫定理．由公理、定理直接得出的真命題叫做推論． 如 三角形內角和定理三角形的內角和等于180°．

推論1 直角三角形的兩銳角互余．

推論2 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．

推論3 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角．

4、證明真命題的方法

根據題設、定義、公理、定理等，經過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫證明.證明一個真命題一般按以下步驟進行：

（1）審題，分清命題的條件與結論.（2）畫圖，依題意畫出圖形，畫圖時應做到圖形正確且具有一般性，切忌將圖形特殊化.（3）寫“已知”“求證”，按照圖形，分析、探求解題思路，然后寫出證明過程，證明的每一步都要做到敘述清楚，而且要有理有據.5、證明假命題的方法

證明一個命題是假命題，只需舉一個“反例”即可，也就是舉出一個符合命題的條件而不符合結論的例子.用反證證明下列命題是假命題

有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等

任何三條線段都能組成三角形

6、重難點及歸納

①命題的理解：本節的一個難點是找出一個命題的題設和結論，它是后面證明中，書寫已知求證的基礎，對那些條件結論不明顯的命題．應在學習中多練，必要時結合圖形來區分．例如命題“如果兩條直線和

第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，其中“兩條直線和第三條直線平行”是條件，“這兩條直線也平行”是結論．再如命題，“對頂角相等”，它的條件和結論不明顯，應將它改成“如果兩個角為對頂角，那么這兩個角相等”，再指出條件和結論．

②定義、命題、公理和定理之間的聯系與區別

這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，只不過公理是最原始的依據，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其他命題真假的依據．

③證明真命題的方法和步驟，難點是分析證明思路，有條理地寫出推理過程．

④三角形內角和定理的三個推論常用來求角的大小和進行角的比較．

7、證明的思路： ①從已知出發，推出可能的結果，并與要證明的結論比較，直至推出最后的結果。②從

要證明的結論出發，探索要使結論成立，需要什么條件，并與已知條件對照，直到找到所需要的并且是已知的條件。

探索證明：在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60度

9、用反證法（證明的思路如何，苦李子的故事）

用反證法證明命題，一般有三個步驟：

反設 假設命題的結論不成立（即假設命題結論的反面成立）

歸謬 推出矛盾（和已知或學過的定義、定理、公理相矛盾，或者與假設所推出的任何一個已知相矛盾）結論 從而得出命題結論正確。

例如用反證法證明：

在同一個平面內，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60度

例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行

已知：如圖∠1＝∠2A1B

求證：AB∥CD

證明：設AB與CD不平行C2D

那么它們必相交，設交點為MD

這時，∠1是△GHM的外角A

1∴∠1＞∠2G這與已知條件相矛盾

2∴AB與CD不平行的假設不能成立H

∴AB∥CDC

例2.求證兩條直線相交只有一個交點

證明：假設兩條直線相交有兩個交點，那么這兩條直線都經過相同的兩個點，這與“經過兩點有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設不能成立，因此兩條直線相交只有一個交點。

（從以上兩例看出，證明中的三個步驟，最關鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設”也要認真對待）。

例3.已知：m2是3的倍數，求證：m 也是3的倍數

例4.求證：2不是有理數

《平行四邊形》

1、四邊形的定義

2、定理：四邊形的內角和等于360度

推論：四邊形的外角和等于360度

N邊形的內角和外角和（為什么）

正五邊形能鑲嵌平面嗎（為什么）

單獨和鑲嵌平面的正多邊形有哪幾種？為什么只有這幾種？

（2011浙江省，8，3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找一點M,N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數為（）（如何作輔助線，培養感覺）

A.100°B．110°C.120°D.130°

3、平行四邊形的定義性質

定理：平行四邊形的對角相等

定理1：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

推論1：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

推論1：夾在兩條平行線間的垂線段相等。

定理2：平行四邊形的對角線互相平分。

4、中心對稱圖形定義 對稱中心

性質：對稱中心平分兩個對稱點的線段。（在平面直角坐標系中，點（x，y）關于原點對稱的點的坐標是多少？為什么？）

5、平行四邊形的判定

①定義②定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形③定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形④定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6、三角形的中位線定理（如何證明？）

7、逆命題與逆定理

兩個命題，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。每個命題都有逆命題。每個定理都有逆命題。如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理。

因此，每個命題有逆命題；每個定理有逆命題，但不一定有逆定理。

1.（2011浙江金華，15，4分）如圖，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是

.3.（2011四川成都，20,10分）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點.5CD

1(1)若BK=2KC，求AB的值；(2)連接BE，若BE平分∠ABC，則當AE=2AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關系?請寫出你的結論并予以證明．再探究：當AE=nAD(n?2)，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關系?請直接寫出你的結論，不必證明．

6、如圖，已知△ABC中，?ABC?45，F是高AD和BE的交點，CD?4，則線段DF的長度為（）.A

．B． 4C

．D

．

?

第三篇：命題定理證明教案

5、3命題定理證明教案

學習目標：

（1）了解命題的概念以及命題的構成（如果……那么……的形式）．

（2）知道什么是真命題和假命題．

(3）理解什么是定理和證明．

（4）知道如何判斷一個命題的真假．

學習重點：

對命題結構的認識．理解證明要步步有據

一、自學基礎：（看書20頁---22頁）

1、對一件事情___________________的語句，叫做命題。

2、命題由______和________組成。__________是已知事項，__________是由已知事項推出的事項。

3、命題常可以寫成__________________的形式。“_______”后接的部分是題設，“________”后面接的部分是結論。

4、_________________叫真命題，_______________叫假命題。

二、探究新知

問題1 什么叫做命題？

像這樣判斷一件事情的語句，叫做命題（proposition）.問題2思考命題是由幾部分組成的？

命題是由題設和結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。

問題3 下列語句是命題嗎？如果是，請將它們改 寫成“如果??，那么??”的形式.問題4 什么樣的命題叫做真命題？什么樣的命題叫做假命題？ 真命題：如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫做真命題．

假命題：如果題設成立時，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題．

問題 請同學們舉例說出一些真命題和假命題． 問題5公理定理

有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，這樣的真命題叫做公理。

有些命題的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫做定理。問題6證明

三、課堂小結

四、當堂檢測

五、布置作業

第四篇：《命題+定理與證明》教案

《命題、定理與證明》教案

教學目標

知識與技能：

1、了解命題、定義的含義；對命題的概念有正確的理解；會區分命題的條件和結論；知道判斷一個命題是假命題的方法；

2、了解命題、公理、定理的含義；理解證明的必要性.過程與方法：

1、結合實例讓學生意識到證明的必要性，培養學生說理有據，有條理地表達自己想法的良好意識；

2、結合實例讓學生意識到證明的必要性，培養學生說理有據，有條理地表達自己想法的良好意識.情感、態度與價值觀：

初步感受公理化方法對數學發展和人類文明的價值.重點

找出命題的條件（題設）和結論； 知道什么是公理，什么是定理.難點

命題概念的理解； 理解證明的必要性.教學過程

【一】

一、復習引入

BADC教師：我們已經學過一些圖形的特性，如“三角形的內角和等于180度”，“等腰三角形兩底角相等”等.根據我們已學過的圖形特性，試判斷下列句子是否正確.1、如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

2、兩直線平行，同位角相等；

3、同旁內角相等，兩直線平行；

4、平行四邊形的對角線相等；

5、直角都相等.二、探究新知

（一）命題、真命題與假命題

學生回答后，教師給出答案：根據已有的知識可以判斷出句子1、2、5是正確的，句子3、4是錯誤的.像這樣可以判斷出它是正確的還是錯誤的句子叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題.教師：在數學中，許多命題是由題設（或已知條件）、結論兩部分組成的.題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項，這樣的命題常可寫成“如果.......，那么.......”的形式.用“如果”開始的部分就是題設，而用“那么”開始的部分就是結論.例如，在命題1中，“兩個角是對頂角”是題設，“這兩個角相等”就是結論.有的命題的題設與結論不十分明顯，可以將它寫成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的題設和結論了.例如，命題5可寫成“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等.”

（二）實例講解

1、教師提出問題1（例1）：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果.......，那么.......”的形式，并分別指出命題的題設和結論.學生回答后，教師總結：這個命題可以寫成“如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形”.這個命題的題設是“一個三角形的三個角都相等”，結論是“這個三角形是等邊三角形”.2、教師提出問題2：把下列命題寫成“如果.....，那么......”的形式，并說出它們的條件和結論，再判斷它是真命題，還是假命題.（1）對頂角相等；

（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；（3）菱形的四條邊都相等；（4）全等三角形的面積相等.學生小組交流后回答，學生回答后，教師給出答案.（1）條件：如果兩個角是對頂角；結論：那么這兩個角相等，這是真命題.（2）條件：如果a＞b，b＞c；結論：那么a=c；這是假命題.（3）條件：如果一個四邊形是菱形；結論：那么這個四邊形的四條邊相等.這是真命題.（4）條件：如果兩個三角形全等；結論：那么它們的面積相等，這是真命題.（三）假命題的證明

教師講解：要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設而不符合該命題結論的例子就可以了，在數學中，這種方法稱為“舉反例”.例如，要證明命題“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只要舉出一個反例：60度角是銳角，100度角是鈍角，但它們的和不是180度即可.三、隨堂練習

課本P55練習第1、2題.四、總結

1、什么叫命題？什么叫真命題？什么叫假命題？

2、命題都可以寫成“如果.....，那么.......”的形式.3、要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例就行了.【二】

一、復習引入

教師講解：前一節課我們講過，要證明一個命題是假命題，只要舉出一個反例就行了.這節課，我們將探究怎樣證明一個命題是真命題.二、探究新知

（一）公理

教師講解：數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理.我們已經知道下列命題是真命題：

一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行； 全等三角形的對應邊、對應角相等.在本書中我們將這些真命題均作為公理.（二）定理

教師引導學生通過舉反例來說明下面兩題中歸納出的結論是錯誤的.從而說明證明的重要性.1、教師講解：請大家看下面的例子： 當n=1時，（n2-5n+5)2=1； 當n=2時，（n2-5n+5)2=1； 當n=3時，（n2-5n+5)2=1.我們能不能就此下這樣的結論：對于任意的正整數（n2-5n+5)2的值都是1呢？ 實際上我們的猜測是錯誤的，因為當n=5時，（n2-5n+5)2=25.2、教師再提出一個問題讓學生回答：如果a=b，那么a2=b2.由此我們猜想：當a＞b時，a2＞b2.這個命題是真命題嗎？

［答案：不正確，因為3＞-5，但32＜（-5）2］

教師總結：在前面的學習過程中，我們用觀察、驗證、歸納、類比等方法，發現了很多幾何圖形的性質.但由前面兩題我們又知道，這些方法得到的結論有時不具有一般性.也就是說，由這些方法得到的命題可能是真命題，也可能是假命題.教師講解：數學中有些命題可以從公理出發用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為推斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理.(三）例題與證明

例如，有了“三角形的內角和等于180°”這條定理后，我們還可以證明刻畫直角三角形的兩個銳角之間的數量關系的命題：直角三角形的兩個銳角互余.教師板書證明過程.教師講解：此命題可以用來作為判斷其他命題真假的依據，因此我們把它也作為定理.定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的依據.三、隨堂練習

課本P58練習第1、2題.四、課時總結

1、在長期實踐中總結出來為真命題的命題叫做公理.2、用邏輯推理的方法證明它們是正確的命題叫做定理

第五篇：數學八年級下《命題與證明》復習測試題(答案)

命題與證明

一、選擇題

1．下列語句中，屬于命題的是（）．

（A）直線AB和CD垂直（B）過線段AB的中點C畫AB的垂線

（C）同旁內角不互補，兩直線不平行（D）連結A，B兩點

2．下列命題中，屬于假命題的是（）

（A）若a⊥c，b⊥c，則a⊥b（B）若a∥b，b∥c，則a∥c

（C）若a⊥c，b⊥c，則a∥b（D）若a⊥c，b∥a，則b⊥c

3．下列四個命題中，屬于真命題的是（）．

（A）互補的兩角必有一條公共邊（B）同旁內角互補（C）同位角不相等，兩直線不平行（D）一個角的補角大于這個角

4．命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是（）．

（A）垂直（B）兩條直線

（C）同一條直線（D）兩條直線垂直于同一條直線

5．已知△ABC的三個內角度數比為2：3：4，則這個三角形是（）．

（A）銳角三角形（B）直角三角形

（C）鈍角三角形（D）等腰三角形

6．若三角形的三個外角的度數之比為2：3：4，則與之對應的三個內角的度數之比為（）．

（A）4：3：2（B）3：2：4（C）5：3：1（D）3：1：

57．若等腰三角形的一個外角為110°，則它的底角為（）．

（A）55°（B）70°（C）55°或70°（D）以上答案都不對

二、填空題

8．如圖，∠A+∠D=180°（已知），∴______∥_______（）．

∴∠1=_________（）．

∵∠1=65°（已知），∴∠C=65°（）．

9．“兩直線平行，同位角互補”是______命題（填“真”或“假”）．

10?．?把命題“等角的補有相等”改寫成“如果??那么??”的形式是結果_________，那么__________．

11．命題“直角都相等”的題設是________，結論是____________．

12．在△ABC中，∠B=45°，∠C=72°，那么與∠A相鄰的一個外角等于______．

13．在△ABC中，∠A+∠B=110°，∠C=2∠A，則∠A=________，∠B=_______．

14．在直角三角形中，兩個銳角的差為20°，則兩個銳角的度數分別為_____．

三、解答題

15．判斷下列命題的真假，若是假命題，舉出反例．

（1）若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；

（2）若a+b=0，則ab=0；

（3）若ab=0，則a+b=0．

16．用“如果??那么??”改寫命題．

（1）有三個角是直角的四邊形是矩形；

（2）同角的補角相等；

（3）兩個無理數的積仍是無理數．

17．如圖，BC⊥ED，垂足為O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB與∠B的度數．

18.已知：如圖，AD ∥BC，BD平分∠ABC。求證：△ABD是等腰三角形