第一篇：命題與證明 平行四邊形練習

典型例題剖析

例

1、將下列各句改寫成“如果……，那么……”的形式．

（1）對頂角相等；

（2）等角的余角相等；

（3）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；

（4）同旁內角互補，兩直線平行；

分析：

省略掉詞語的命題通常采取仔細分析，把省略掉的詞語重新補上，或根據命題畫出準確圖形，再根據圖形，把命題完整寫出來，根據這些方法研究，我們便可著手改寫了．

解：

（1）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

（2）如果兩個角是等角的余角，那么這兩個角相等；

（3）如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行；

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行；

例

2、指出下列命題的條件部分和結論部分

（1）直角都相等；

（2）互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直；

（3）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短；

（4）大于90°而小于180°的角是鈍角；

（5）兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角．

分析：

解答這類問題，必須弄清命題由哪兩部分組成，進一步弄明白條件與結論所表示的意思．便可找出條件與結論．對省略掉詞語的命題應先設法補上，再著手找題設與結論．命題的條件與結論不好用文字敘述時，要用符號寫出條件和結論，但必須說明符號所表示的意義．

解：（1）條件：兩個角都是直角；

結論：這兩個角相等．

（2）條件：互為鄰補角的兩個角的兩條平分線；

結論：這兩條角平分線互相垂直．

（3）條件：直線外一點與直線上各點連結的所有線段；

結論：垂線段最短．

（4）條件：90°＜∠

結論：∠＜180°； 是鈍角．

（5）條件：兩個角的和等于平角；

結論：這兩個角互補．

例

3、判斷下列命題的真假，如果是假命題，請說明理由．

（1）兩點之間，線段最短．

（2）如果一個數的平方是9，那么這個數是3．

（3）同旁內角互補．

（4）過一點有且只有一條直線與已知直線平行．

（5）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．

（6）兩個銳角的和是銳角．

分析：

要判定一個命題是假命題，只要舉出一個例子（反例）即可．于是以上各題真假便眉目分明了． 解：

（1）真命題，這是關于線段的一個公理．

（2）假命題，因為一個數的平方是9，這個數也可能是－3．

（3）假命題，任意二條直線被第三條直線所截，都有同旁內角產生，只有兩條平行線被第三直線所截，才有同旁內角互補的結論．

（4）假命題，如果這個點在已知直線上，就無法作出一條直線與已知直線平行．

（5）假命題，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a＝2≠0，b=－2≠0．

（6）假命題，如60°和50°的角都是銳角，但它們的和是鈍角．

例

4、區分下列語句中，哪些是定義，哪些是公理，哪些是定理：

（1）經過兩點有一條直線，并且只有一條直線；

（2）兩點之間，線段最短；

（3）有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角；

（4）對頂角相等；

（5）垂線段最短．

分析：

只要理解定義，公理，定理的意義，便可一一區分誰是定義，誰是公理，誰是定理．

解：(1)、(2)是公理；(3)是定義；(4)、(5)是定理．

例

5、完成以下證明，并在括號內填寫理由：

已知：如圖所示，∠1=∠2，∠A=∠3.求證：AC∥DE.例

6、如下圖，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E

．求證：

．

例

7、如圖，CE是△ABC的外角∠ACM的平分線，CE交BA的延長線于點E，試說明∠BAC＞∠B成立的理由

.例

8、已知：如圖AD為∠ABC的角平分線 E為BC的中點過E作EF∥ AD，交AB于M，交CA延長線于F。CN∥ AB交FE的延長線于N。

求證：

BM=CF

例

9、求證：沒有一個有理數的平方等于

3例

10、求證：三角形的三條邊的垂直平分線交于一點

例

11、求證：等腰三角形的底角是銳角

第二篇：命題與證明平行四邊形 教案

《命題與證明》

1、定義（一般地，能清楚地規定某一名稱或術語意義的句子叫做該名稱或術語的定義）

2、命題（一般地，判斷一件事情的句子叫做命題）命題是一個“判斷句”，判斷“是”或“非”．其中正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，如“對頂角相等”是真命題，“相等的角是對頂角”是假命題.注意：(1)命題是語句，而且必須是能判斷正確和錯誤的句子．(2)錯誤的命題也是命題．

過直線外一點做一條直線與已知直線垂直。

過直線外一點做一條直線，要么與已知直線相交，要么與已知直線平行。

3、每個命題是由條件（題設）和結論（題斷）兩部分組成．條件是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，命題常寫成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分是結論．（判斷清楚哪些是條件，哪些是結論）

寫成“如果，那么”的形式

①在同一個三角形中 等角對等邊

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等

③同角的余角相等

3、公理、定理、推論

人們在長期實踐中檢驗所得的真命題，并作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做公理．如“過兩點有且只有一條直線”；“兩點之間，線段最短”等等．有些命題的正確性是通過推理證實的，并被選定作為判定其它命題真假的依據，這樣的真命題叫定理．由公理、定理直接得出的真命題叫做推論． 如 三角形內角和定理三角形的內角和等于180°．

推論1 直角三角形的兩銳角互余．

推論2 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．

推論3 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角．

4、證明真命題的方法

根據題設、定義、公理、定理等，經過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫證明.證明一個真命題一般按以下步驟進行：

（1）審題，分清命題的條件與結論.（2）畫圖，依題意畫出圖形，畫圖時應做到圖形正確且具有一般性，切忌將圖形特殊化.（3）寫“已知”“求證”，按照圖形，分析、探求解題思路，然后寫出證明過程，證明的每一步都要做到敘述清楚，而且要有理有據.5、證明假命題的方法

證明一個命題是假命題，只需舉一個“反例”即可，也就是舉出一個符合命題的條件而不符合結論的例子.用反證證明下列命題是假命題

有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等

任何三條線段都能組成三角形

6、重難點及歸納

①命題的理解：本節的一個難點是找出一個命題的題設和結論，它是后面證明中，書寫已知求證的基礎，對那些條件結論不明顯的命題．應在學習中多練，必要時結合圖形來區分．例如命題“如果兩條直線和

第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，其中“兩條直線和第三條直線平行”是條件，“這兩條直線也平行”是結論．再如命題，“對頂角相等”，它的條件和結論不明顯，應將它改成“如果兩個角為對頂角，那么這兩個角相等”，再指出條件和結論．

②定義、命題、公理和定理之間的聯系與區別

這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，只不過公理是最原始的依據，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其他命題真假的依據．

③證明真命題的方法和步驟，難點是分析證明思路，有條理地寫出推理過程．

④三角形內角和定理的三個推論常用來求角的大小和進行角的比較．

7、證明的思路： ①從已知出發，推出可能的結果，并與要證明的結論比較，直至推出最后的結果。②從

要證明的結論出發，探索要使結論成立，需要什么條件，并與已知條件對照，直到找到所需要的并且是已知的條件。

探索證明：在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60度

9、用反證法（證明的思路如何，苦李子的故事）

用反證法證明命題，一般有三個步驟：

反設 假設命題的結論不成立（即假設命題結論的反面成立）

歸謬 推出矛盾（和已知或學過的定義、定理、公理相矛盾，或者與假設所推出的任何一個已知相矛盾）結論 從而得出命題結論正確。

例如用反證法證明：

在同一個平面內，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60度

例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行

已知：如圖∠1＝∠2A1B

求證：AB∥CD

證明：設AB與CD不平行C2D

那么它們必相交，設交點為MD

這時，∠1是△GHM的外角A

1∴∠1＞∠2G這與已知條件相矛盾

2∴AB與CD不平行的假設不能成立H

∴AB∥CDC

例2.求證兩條直線相交只有一個交點

證明：假設兩條直線相交有兩個交點，那么這兩條直線都經過相同的兩個點，這與“經過兩點有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設不能成立，因此兩條直線相交只有一個交點。

（從以上兩例看出，證明中的三個步驟，最關鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設”也要認真對待）。

例3.已知：m2是3的倍數，求證：m 也是3的倍數

例4.求證：2不是有理數

《平行四邊形》

1、四邊形的定義

2、定理：四邊形的內角和等于360度

推論：四邊形的外角和等于360度

N邊形的內角和外角和（為什么）

正五邊形能鑲嵌平面嗎（為什么）

單獨和鑲嵌平面的正多邊形有哪幾種？為什么只有這幾種？

（2011浙江省，8，3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找一點M,N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數為（）（如何作輔助線，培養感覺）

A.100°B．110°C.120°D.130°

3、平行四邊形的定義性質

定理：平行四邊形的對角相等

定理1：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

推論1：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

推論1：夾在兩條平行線間的垂線段相等。

定理2：平行四邊形的對角線互相平分。

4、中心對稱圖形定義 對稱中心

性質：對稱中心平分兩個對稱點的線段。（在平面直角坐標系中，點（x，y）關于原點對稱的點的坐標是多少？為什么？）

5、平行四邊形的判定

①定義②定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形③定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形④定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6、三角形的中位線定理（如何證明？）

7、逆命題與逆定理

兩個命題，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。每個命題都有逆命題。每個定理都有逆命題。如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理。

因此，每個命題有逆命題；每個定理有逆命題，但不一定有逆定理。

1.（2011浙江金華，15，4分）如圖，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是

.3.（2011四川成都，20,10分）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點.5CD

1(1)若BK=2KC，求AB的值；(2)連接BE，若BE平分∠ABC，則當AE=2AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關系?請寫出你的結論并予以證明．再探究：當AE=nAD(n?2)，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關系?請直接寫出你的結論，不必證明．

6、如圖，已知△ABC中，?ABC?45，F是高AD和BE的交點，CD?4，則線段DF的長度為（）.A

．B． 4C

．D

．

?

第三篇：平行四邊形證明練習

數學練習題

平行四邊形證明練習

姓名

1.如圖，在?ABCD中，E，F為BD上的點，BF=DE，那么四邊形AECF是什么圖形？試用兩種方法證明。

2.在平行四邊形ABCD中，BN＝DM，BE＝DF，求證：四邊形MENF是平行四邊形

.3.如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且AE∥CF，AE與CF相等嗎？說明理由.4.如圖，在□ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：OE=OF.5如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交CD于點E，∠ADC的平分線交AB于F，試判斷AF與CE是否相等，并說明理由

6.已知□ABCD中，對角線AC、BD交于O，EF過O與AB、CD分別交于E、F。求證： OE=OF，AE=CF，BE=DF

7.已知?ABCD中，過對角線的交點O的直線交CB、AD的延長線于E和F，求證：

BE=DF

8.如圖，在□ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB．

(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形．

(2)若去掉已知條件的“∠DAB=60°，上述的結論還成立嗎?若成立，請寫出證明過程；

若不成立，請說明理由．

9.在□ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．

（1）試說明：AE⊥BF；

（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并予以說明．

10.在□ABCD中，AB=2AD，M為AB中點，求證：CM⊥DM

4CE.14．如圖19－1－29，?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作兩條直線分別與AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四點。求證：四邊形EGFH是平行四邊形。中，AB=2AD，延長AD到F,使DF=AD,再延長DA到E,使AE=AD,求證:BF⊥E A D F B

15．如圖19－1－30，分別以△ABC的三邊為邊長，在BC的同側作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角形ACF，連接DE，EF。求證：四邊形ADEF是平行四邊形。

四、思維拓展

16．如圖19－1－31，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點E，F，點G，H分別為AD，BC的中點，試證明EF和GH互相平分。

17．如圖19－1－32，△ABC是邊長為4cm的邊三角形，P是△ABC內的任意一點，過點P作EF∥AB分別交AC，BC于點E，F，作GH∥BC分別交AB，AC于點G，H，作MN∥AC分別交AB，BC于點M，N，試猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否隨P位置的改變而變化？并說明你的理由。

23．（1）如圖19－1－13，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O、EF過點O，且，EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，OE與OF相等嗎？試說明理由；

（2）若（1）中的EF為過點O的任意一條直線，且AD于E，交BC于F，則上述關系還成立嗎？試說明理由；

（3）如圖19－1－14，若將（2）中的EF，向兩端延長，分別交BA，DC的延長線于點M，N，則OM與ON相等嗎？試說明理由；

（4）如圖19－1－15，若把（1）中的已知條件為在?ABCD中，AC，BD相交于點O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，則（1）中的結論還成立嗎？試說明理由。

第四篇：平行四邊形練習證明

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，?A??B?70?，求平行四邊形各角的度數。

BC

2.如圖，在中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥BC，垂足為F．求

∠ADE，∠

EDF，∠FDC的度數．

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知對角線

AC和BD相交于點O，ΔAOB的周長為

15，AB＝6，那么對角線AC和BD的和是多少？

4.如圖所示，∠1=∠2，∠3=∠4，問四邊形ABCD是不是平行四邊形．

5.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F為對角線AC上的點，且AE=CF，求證：BE=DF．

6.已知：如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ上的兩點，且ＡＥ＝ＣＦ，ＡＦ，ＤＥ相交于點Ｍ，ＢＦ，ＣＥ相交于點Ｎ．

求證：四邊形ＥＭＦＮ是平行四邊形．（要求不用三角形全等來證）

7.已知：如圖，在△

ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD．求證：EF=AD．

8.如圖，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分別是

DE、BF的中點．

求證：四邊形MFNE是平行四邊形．

9．如圖所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中點，求證：BC=DE．

已知：如圖，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ的中點，Ｅ是ＡＣ上的一點，ＥＦ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＢＥ．

(1)猜想：ＤＦ與ＡＥ間的關系是＿＿＿＿＿＿．

(2)證明你的猜想．

第五篇：初一數學命題、定理與證明練習

智立方教育初一數學“命題、定理與證明”練習

1、判斷下列語句是不是命題

（1）延長線段AB（不是）

（2）兩條直線相交，只有一交點（是）

（3）畫線段AB的中點（不是）

（4）若|x|=2，則x=2（是）

（5）角平分線是一條射線（是）

2、選擇題

（1）下列語句不是命題的是（C）

A、兩點之間，線段最短B、不平行的兩條直線有一個交點

C、x與y的和等于0嗎？D、對頂角不相等。

（2）下列命題中真命題是（C）

A、兩個銳角之和為鈍角B、兩個銳角之和為銳角

C、鈍角大于它的補角D、銳角小于它的余角

（3）命題：①對頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對頂角；④同位角相等。其中假命題有（B）

A、1個B、2個C、3個D、4個

3、分別指出下列各命題的題設和結論。

（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c

（2）同旁內角互補，兩直線平行。

（1）題設：a∥b，b∥c結論：a∥c

（2）題設：兩條直線被第三條直線所截的同旁內角互補。

結論：這兩條直線平行。

4、分別把下列命題寫成“如果??，那么??”的形式。

（1）兩點確定一條直線；

（2）等角的補角相等；

（3）內錯角相等。E

C（1）如果有兩個定點，那么過這兩點有且只有一條直線 D（2）如果兩個角分別是兩個等角的補角，那么這兩個角相等。

（3）如果兩個角是內錯角，那么這兩個角相等。

5、已知：如圖AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求證：BE∥CF

證明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直定義）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠EBC=∠BCF（等式性質）∴BE∥CF（內錯角相等，兩直線平行）

6、已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角。求證：∠ACD=∠B。

證明：∵AC⊥BC（已知）

A D∴∠ACB=90°（垂直定義）

∴∠BCD是∠DCA的余角

∵∠BCD是∠B的余角（已知）∴∠ACD=∠B（余角定義，同角的余角相等）；

7、已知，如圖，BCE、AFE是直線，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AD∥BE。

D

證明：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠BAE（兩直線平行同位角相等）∵∠3=∠4（已知）

∴∠3=∠BAE（等量代換）∵∠1=∠2（已知）C E

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式性質）即∠BAE=∠CAD∴∠3=∠CAD（等量代換）

∴AD∥BE（內錯角相等，兩直線平行）

8、已知，如圖，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°。F

求證：AE∥FD。

B

證明：∵AB∥CD

D

∴∠AGD+∠FDC=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∵∠EAB+∠FDC=180°（已知）∴∠AGD=∠EAB（同角的補角相等）∴AE∥FD（內錯角相等，兩直線平行）

9、已知：如圖，DC∥AB，∠1+∠A=90°。

求證：AD⊥DB。證明：∵DC∥AB（已知）

B

∴∠A+∠ADC=180°（兩直線平行，同旁內角互補）即∠A+∠ADB+∠1=180°∵∠1+∠A=90°（已知）∴∠ADB=90°（等式性質）∴AD⊥DB（垂直定義）

10、如圖，已知AC∥DE，∠1=∠2。求證：AB∥CD。

證明：∵AC∥DE（已知）

∴∠2=∠ACD（兩直線平行，內錯角相等）∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠ACD（等量代換）

∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）

11、已知，如圖，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D。求證：BE⊥DE。

B

C

EB

D、證明：作EF∥AB∵AB∥CD B

∴∠B=∠3（兩直線平行，內錯角相等）∵∠1=∠B（已知）

∴∠1=∠3（等量代換）

D∵AB∥EF，AB∥（已作，已知）

∴EF∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠4=∠D（兩直線平行，內錯角相等）∵∠2=∠D（已知）∴∠2=∠4（等量代換）

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角定義）∴∠3+∠4=90°（等量代換、等式性質）即∠BED=90°

∴BE⊥ED（垂直定義）

12、求證：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角的平分線互相平行。已知：AB∥CD，EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線。求證：EG∥FR。

B 證明：∵AB∥CD（已知）

1∴∠BEF=∠EFC（兩直線平行，內錯角相等）G

∵EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線（已知）F

∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC（角平分線定義）∴2∠1=2∠2（等量代換）∴∠1=∠2（等式性質）

∴EG∥FR（內錯角相等，兩直線平行）

13、如圖，點E在DF上，點B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D． 試說明：∠A=∠F．

考點：平行線的判定與性質． 專題：證明題．

分析：先根據對頂角相等結合∠1=∠2推出∠3=∠4，然后根據內錯角相等，兩直線平行證明BD∥CE，再根據兩直線平行，同位角相等得到∠5=∠C，從而推出∠5=∠D，再根據內錯角相等，兩直線平行證明AC∥DF，然后根據兩直線平行，內錯角相等即可得證．

解答：∴∠3=∠4，∴BD∥CE，∴∠5=∠C，∵∠C=∠D，∴∠5=∠D，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．

證明：如圖，∵∠1=∠3，∠2=∠4，∠1=∠2，