第一篇：初二數學講義命題與證明

初二數學講義（5）證明（3）

一、選擇題（每題3分）

1.下列語句：①若直線a∥b，b∥c，則a∥c；②生活在水里的動物是魚；③作兩條相交直線；④AB＝3，CD＝3，問AB與CD相等嗎？④連結A，B兩點； ⑤內錯角不相等，兩直線不平行。是命題的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個 2.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是（）

A.垂直B.兩條直線C.同一條直線D.兩條直線垂直于同一條直線

3.下列各組所述幾何圖形中，一定全等的是（）A.一個角是45°的兩個等腰三角形

B.腰長相等的兩個等腰直角三角形C.兩個等邊三角形D.各有一個角是40°，腰 長都為5㎝的兩個等腰三角形

4.若三角形的三個外角的度數之比為2：3：4，則與之對應的三個內角的度數之比為?（）

A.4：3：2B.3：2：4C.5：3：1D.3：1：

55．如圖，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之間的關系式為（）

A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°

6．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一點，連結AP，則AC2?AP2?（）A.CP?BPB.CP?BCC.BP?BCD.以上都不對

二、填空題（每題3分）

7．如圖，若AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點E、F,EP與?EFD的平分線相交于點P，且?EFD?60?，EP?FP，則?BEP?

8．若一個三角形的外角平分線與三角形的一邊平行，則這個三角形是三角形.9.用反證法證明“三角形三個內角中至少有兩個銳角”時應首先假設.10.如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，則∠C＝__________.11.把命題“在同一個三角形中，等角對等邊”改寫成“如

果??那么??”的形式：.12.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若?CAD=76°，則?CBD?度．

三、解答題：

13．如圖，在Rt?ABC中，∠

ACB＝90?，AC=BC,D是斜邊AB上的一點, AE⊥CD于E,BF⊥CD交

CD的延長線于F.求證：

?ACE≌?CBF.14．如圖，點B在AC上，△ABE與△DBC是等

邊三角形，M、N分別是AD、BC的中點，求證：△BMN是等邊三角形．E

ABC

15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、P分別在邊AC、AB上，且BD＝AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分別為點E、F．求證：PE＋PF＝BC．

A

EB

16.已知如圖，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分線，BH是∠ABC的平分線,∠BAC=58°.①求∠BHC.②求∠CAH

17．在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝DC，AC＝EF．求證：EF∥AB．A

F

CBED

18.如圖，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點．求證：CE⊥BE．

19．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，EP=3,求EF的值，20．操作：在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，將一塊等腰三角形板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點.圖①，②，③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況.三角板繞點P旋轉，觀察線段PD和PE之間有什么數量關系？請

選擇圖②、圖③中的一個加以證明.A

DC

AP

P

EB C①②

21．用反證法證明：設a，b，c是不全相等的任意實數，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab.求證：x，y，z中至少有一個大于零

E

B

D

第二篇：初二數學講義證明

初二數學春季講義（4）證明

一、識點歸類 知識點四證明

1、從一個命題的條件出發，通過講道理（推理），得出它的結論成立，這個過程叫作證明。

注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題是假命題。知識點五反證法

步驟：①假設原命題的結論不成立，得出“反面”②從“反面”出發，推出矛盾，因此否定“反面”③既然假設是錯誤的，所以原命題正確。舉反例（用來證明假命題）

1．要想說明一個命題是假命題，只需舉個反例。舉反例的要求是：命題的條件，而命題的結論。舉反例說明下列命題是假命題：

（1）對于不為零的實數c，關于x的方程

3．如圖，AB // CD，MP // AB，MN平分?AMD，?A?35?，?D?40?，求

4.點為O，E是AC?交BD于F，則OE=OF．（1）證明上述命題．

（2）對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其他條件不變，請畫出圖形，則結論“OE＝OF”還成立嗎？若成立，請你證明，若不成立請說明理由．

x?

c

?c?1的根是c。x

（2）有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等。

證明題（直接證明）2.已知：如圖，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延長線于E，∠1＝∠2．

求證：AD平分∠BAC.填寫分析和證明中的空白． 分析：要證明AD平分∠BAC，只要證明__________＝____________，而已知∠1＝∠2，所以應聯想這兩個角分別和∠

1、∠2的關系，由已知BC的兩條垂線可推出________∥_________，這時再觀察這兩對角的關系已不難得到結論． 證明：

5.在ΔABC中AB=AC,∠BAC=90,直角∠EPF的頂點P是BC的中點,兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F ⑴求證：PE=PF。

⑵已知AF=12,CF=5.求ΔPEF的面積。

6．如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以對角線BD為邊作正三角形BDE，過E作DA的延長線的垂線EF，垂足為F。

（1）找出圖中與EF相等的線段，并證明你的結論；（2）求AF的長。

7．如圖，ΔABC中，∠A=60°，BE、CD分別平分

∠ABC和∠ACB，交點為P。請證明：BC=BE+CD。

A

E

B

D

C

8．如圖，等腰Rt△ABC的直角邊AB＝2，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，以相同速度作直線運動．已知點P沿線段AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動(當點P運動到點B時兩點即停止運動)，PQ與直線AC相交于點D．

(1)設AP的長為x，△PCQ的面積為S．求出S關于x的函數關系式；

(2)問是否存在x的值,使S△PCQ=S△ABC?若存在,請求出x的值;若不存在,說明理由.(3)作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變?證明你的結論．

2用反證法證明專題 14．求證：若n為自然數，則n?n?2不能被1

59．用反證法證明：“三角形中必有一個角不大于

整除 60°”，第一步先假設

10．已知：如右圖，直線l1，l2，l3在同一平面內，且l1∥

l2，13與11相交于點P.求證：13與l2相交．

證明：假設，即∥，又∵∥（已知），∴過直線12外一點有兩條直線11,13與直線12平行，這與“”

15.證明：2不是有理數

相矛盾，∴假設不成立，即求證的命題成立，∴13與12相交．

11．已知:a,b是實數,且滿足ab=0, 求證:a、b中至少有一個為0

12．求證:一個三角形中，至少有一個內角不小于

16.已知實數ｐ滿足不等式（2x?1)(x?2)?0,用反證法證明：關于x的方程x2?2x?5?p2?0無實根.17.求證：當x+bx+c=0有兩個不相等的非零實數根時，必有bc≠0．

13．求證：兩條相交直線只有一個交點.?

第三篇：初二數學講義統計與證明（模版）

1、頻數和頻率：頻數分布表的繪制步驟

（1）求出最大值和最小值的差（極差的概念。）

（2）確定組距、組數。x =94.5，下面是50名學生數學成績的頻數分布表．

極差2??5，為了使數據組距0.4不落在各組的邊界上，我們把數據分成6組，且邊界

值比實際數據多取一位小數。（特別指出：數據個數在100以內時，通常按數據的多少分成5—12組。）

2、介紹頻數和頻數分布表。

頻數：我們稱數據分組后落在各小組內的數據個

數為頻數；（結合表中數據）根據題中給出的條件回答下列問題：

頻數分布表：反映數據分布的統計表叫做頻數分（1）在這次抽樣分析的過程中，樣本是___________ 布表，也稱頻數表。（2）頻數分布表中的數據a= ____，b= __________．

頻數（3）估計該校初三年級這次升學考試的數學平均成績

3、頻率的概念：頻率＝數據總數約為 ___________分．

4、頻率分布直方圖和折線圖：（4）在這次升學考試中，該校初三年級數學成績在畫頻數分布直方圖的一般步驟： 90.5~100.5范圍內的人數約為 __________人．（1）畫頻數分布表（2）寫標題

8、某中學進行了一次演講比賽，分段統計參賽同學的（3）畫坐標：橫坐標是什么？縱坐標是什么？ 成績，結果如下（分數為整數，滿分為100分）

（4）畫小長方形：長是什么？ 寬是什么 請根據表中提供的信息，解答【練習】 下列問題：

1、一組數據的最大值為100，最小值為45，若選取組（1）參加這次演講比賽的同距為10，則這組數據可分成（?）學有；

A．5組B．6組C．8組D．4組（2）已知成績在91~100分的2、將50個數據分成5組列出頻數分布表，其中第一同學為優秀者，那么優勝率

組的頻數為6，?第二組與第五組的頻數和為20，那么為；

命題與證明綜合提高

一、識點歸類

注意：定義必須嚴密的，一般避免使用含糊不清的語

言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現。

例1 在下列橫線上，填寫適當的概念：（1）連結三角形兩邊中點的線段叫作三角形的；（2）能夠完全重合的兩個圖形叫做_____； 例2 敘述概念的定義

（1）數軸；（2）等腰三角形 知識點命題

知識點一命題的概念 注意：（1）命題必須是一個完整的句子。

（2）這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。

例 下列句子中不是命題的是()

A 明天可能下雨B 臺灣是中國不可分割的部分 C 直角都相等D 中國是2008年奧運會的舉辦國知識點二真命題與假命題

注意：真、假命題的區別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時，要注意把握這點。例 下列命題中的真命題是（）

A 銳角大于它的余角B 銳角大于它的補角 C 鈍角大于它的補角D 銳角與鈍角等于平角 知識點三命題的結構

每個命題都有條件和結論兩部分組成。條件是已知的事項，結論是由已知事項推斷出的事項。一般地，命題都可以寫出“如果------，那么-------”的形式。有的命題表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對頂角相等”，改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”。例 把下列命題改寫成“如果------，那么-------”的形式，并指出條件與結論。

1、同角的余角相等

2、兩點確定一條直線

知識點四證明

1、從一個命題的條件出發，通過講道理（推理），得

出它的結論成立，這個過程叫作證明。

注意：證明一個命題是假命題的方法是舉反例，即找出一個例子，它符合命題條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題是假命題。

證明題 1.已知：（如圖）MN//PQ，AC⊥PQ，BD、AC相交于點E，且DE＝2AB． 求證：∠DBC＝

∠ABC．

3MDAN

2.如圖，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC，求證：∠B＝2∠C．

BDC

3.如圖，△ABC中，AD平分∠

BAC，BE＝CE，過點E作GH⊥AD，交AC、以及AD、AB的延長線于H、F、G．求證：AC＝2BG+AB

A

DH

F

C

4求證：?

5.DC（2）?

6．如圖，已知AB // CD，?B?100?，EF平分?BEC，EG?EF，求?BEG和?DEG的度數。

9.求證：形如4n+3的整數P（n為整數）不能化為兩個整數的平方和．

第四篇：初二數學教案：命題與證明

初二數學教案：命題與證明

第二十四章 證明與命題(一)復習

一、教學目標：

1、了解定義、命題、定理的含義，會區分命題的條件(題設)和結論。

2、會在簡單情況下判斷一個命題的真假。理解反例的作用，知道利用反例可證明一個命題是錯誤的。、了解證明的 含義，理解證明的必要性，體會證明的過程要步步有據。

4、會根據一些基本事實證明簡單命題。

5、通過實例，體會反證法的含義。了解反證法的基本步驟。

6、初步會綜合運用命題、證明以及相關知識解決簡單的實際問題。

二、本章知識結構框架圖：

三、教 學過程：

(一)知識回顧

1、一 般地，對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。

命題分為真命題與假命題。

2、說明一個命題是假命題,通常只用找出一個反例,但要說明一個命題是真命題,就必須用推理的方法,而不能光憑一個例子。

(二)說一說

1.指出下列句子，哪些是命題，哪些不是命題?

(1)有兩個角和夾邊對應相等的三角形是全等的三角形;

(2)有兩條邊對應相等的兩個三角形全等;

(3)作A的平分線;

(4)若a=b 則 a2= b2

(5)同位角相等 嗎?

2.說出一個已學過 定理:

說出一個已學過公理:

3、下列把命題改寫成如果，那么的形式。并判斷下列命題的真假.(1)不相等的角不可能是對頂角.(2)垂直于同一條直線的兩直線平行;

(3)兩個無理數的乘積一定是無理數.(三)練一練 1.用反例證明下列命題是假命題：

(1)若x(5-x)=0，則x=0;

(2)等腰三角形一邊上的中線就是這條邊上的高;

(3)相等的角是內錯角;

(4)若x2,則分式 有意義.(四)例題分析

例1求證:全等三角形對應角的平分線相等.證明命題的一般步驟:

(1)根據題意,畫出圖形;

(2)用符號語言寫出已 知和求證

(3)分析證明思路;(4)寫出證明過程;

例2已知：如圖，△ABC中,C=2B，BAD=DAC.求 證：AB=AC+CD

還有其他方法嗎? A A E

B D C B D C

(第三題)(第二題)

例3已知 ：如圖D,E分別是BC,AB上的一點,BC、BD的長度之比為3:1, △ECD的面積是△ABC的面積的一半.求證： BE=3AE[來源:學|科|網]

例

4、已知：如圖，直線AB，CD，EF在同一平面內，且AB ∥ EF，CD ∥ EF，[來源:學科網]

求證：AB ∥ CD。

證明：假設AB∥CD,那么AB與CD一定相交于一點P

∵AB ∥ EF，CD ∥ EF(已知)

過點P有兩條直線AB，CD都與直線EF平行。

這與經過直線外一點，有一條而且只有一條直線和這條直線平行矛盾。[來源:學科網]

AB ∥ CD不能成立。

AB ∥ CD

反證法的一般步驟：[來源:學科網]

1.反設(否定結論);

2.歸謬(利用已知條件和反設，進行推理，得出與已學過的公理、定理、定義或與已知條件矛盾);

3.寫出結論(肯定原命題成立)。

練習：

如圖,已知:AB=AE，BC=DE，AFCD于F.求證:CF=DF.(五)小結：

(六)作業布置：練習一份

B= E,

第五篇：初中數學命題與證明

命題與證明

一、選擇題

1、（2012年上海黃浦二模）下列命題中，假命題是（）

A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B．一組鄰邊相等的矩形是正方形；

C．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；

D．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形.答案：C2、(2012溫州市泰順九校模擬)下列命題，正確的是()

A.如果｜a｜=｜b｜，那么a=b

B.等腰梯形的對角線互相垂直

C.順次連結四邊形各邊中點所得到的四邊形是平行四邊形

D.相等的圓周角所對的弧相等

答案：C

3（2012年中考數學新編及改編題試卷）下列語句中，屬于命題的是（）．．

(A)作線段的垂直平分線(B)等角的補角相等嗎

(C)平行四邊形是軸對稱圖形(D)用三條線段去拼成一個三角形

答案：C4、（2012年上海市黃浦二模）下列命題中，假命題是(▲)

A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B．一組鄰邊相等的矩形是正方形；

C．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；

D．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形.答案：C5、（2012年上海金山區中考模擬）在下列命題中，真命題是……………………………………………………………………………………………（）

（A）兩條對角線相等的四邊形是矩形

（B）兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

（C）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（D）兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

答案：C

二、填空題

1、三、解答題

1．（2012年江蘇海安縣質量與反饋）已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

⑴求證：點D是AB的中點；

⑵證明DE是⊙O的切線．

答案：22．（1）略;（2）略．

2.（2012年江蘇通州興仁中學一模）如圖，在□ABCD中，E為BC的中點，連接DE．延長DE交AB的延長線于點F．求證：AB=BF．

E C

答案：由□ABCD得AB∥CD，∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C．

又∵E為BC的中點，∴△DEC≌△FEB．

∴DC=FB．

由□ABCD得AB=CD，∵DC=FB，AB=CD，∴AB=BF．

3、（鹽城地區2011～2012學適應性訓練）（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點A、C、D在⊙O上，過D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判斷直線BP和⊙O的位置關系，并說明你的理由；

（2）當⊙O5，AC=2，BE=1時，求BP的長.(1)直線BP和⊙O相切.……1分

理由：連接BC,∵AB是⊙O直徑,∴∠ACB=90°.……2分

∵PF∥AC,∴BC⊥PF, 則∠PBH+∠BPF=90°.……3分

P

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分

所以直線BP和⊙O相切.……5分

(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分

∴ACBC解得BP=2.即BP的長為2.……10分 BEBP

4.（鹽城市第一初級中學2011～2012學年期中考試）（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于P點，CP交⊙O于D；

（1）求證：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的長．

答案（1）證明過程略；（5分）

（2）3

35(徐州市2012年模擬)（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F為BC上兩點，且BE?CF，AF?DE．

求證：（1）△ABF≌△DCE；

（2）四邊形ABCD是矩形． A D

B C E F

（第21題）答案：解：（1）?BE?CF，BF?BE?EF，CE?CF?EF，······························· 1分 ?BF?CE．

?四邊形ABCD是平行四邊形，?AB?DC． ······························ 2分 在△ABF和△DCE中，?AB?DC，BF?CE，AF?DE，?△ABF≌△DCE． ··························· 3分

△ABF≌△DCE，（2）解法一：?

??B??C． ······························ 4分 ?四邊形ABCD是平行四邊形，?AB∥CD．

??B??C?180?．

??B??C?90?． ···························· 5分

·························· 6分 ?四邊形ABCD是矩形．

解法二：連接AC，DB．

?△ABF≌△DCE，??AFB??DEC．

??AFC??DEB． ··························· 4分 在△AFC和△DEB中，?AF?DE，?AFC??DEB，CF?BE，?△AFC≌△DEB．

?AC?DB． ······························ 5分 ?四邊形ABCD是平行四邊形，·························· 6分 ?四邊形ABCD是矩形．

6.（鹽城地區2011～2012學適應性訓練）（本題滿分12分）如圖,△AEF中,∠

EAF=45°,AG⊥EF于點G,現將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點C．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM2，求AG、MN的長．

AHBENFDC(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分

由AB=AD，得四邊形ABCD是正方形.……3分

222(2)MN=ND+DH.……4分

理由：連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,……6分

再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分

222∴MN=ND+DH.……8分

(3)設AG=x，則EC=x-4,CF=x-6,22由Rt△ECF，得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,222設NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52.……12分

7.（鹽城地區2011～2012學適應性訓練）(本題滿分8分)如圖，已知E、F分別是□

ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長．

AFD

BEC

證：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分

由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE.……3分

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.∴BE=AE=EC，BE=5.……4分 ……5分 ……7分 ……8分