第一篇：命題與證明5

14.2 命題與證明

一、教學目標

(一)知識目標

1.了解證明以及證明的必要性.

2.能將一些文字命題轉化為數學問題，并進行證明.

3.掌握證明的步驟，證明過程中使用規范性語言.

4.能用舉反例的方法證明或判斷簡單的假命題.

(二)能力目標

1.培養學生規范的數學解題能力.

2.培養學生分析問題、解決問題的能力.

(三)情感目標

培養學生具有敢于質疑的意識，同時又有尊重客觀事實的科學態度，培養學生勇于探索，創新，解疑的科學精神.

二、教學重點

將文字命題轉化為數學問題，并進行證明；證明過程中規范性語言的使用.三、教學難點

將文字命題轉化為數學問題，如何正確寫出“已知”、“求證”.六、教學過程：

(一)引入

一個同學在畫圖時發現，三角形的三條邊上的高的交點在三角形的內部，于是他得出結論：任何一個三角形的三條邊上的高的交點都在三角形的內部.他的結論正確嗎?

我們曾經計算過三角形、四邊形、五邊形、六邊形等的內角和，得到這樣一個結論：n邊形的內角和等于(n-2)×180°.這個結論正確嗎?是否有一個多邊形的內角和不滿足這個規律呢?

(二)新課

由上面的事例說明：通過特殊的事例或實踐活動得到的結論可能正確，也可能不正確，因此，這樣的結論需要進一步的證實.那么，怎樣來證實呢?那就是證明.

根據題設、定義、公理以及定理等、經過邏輯推理來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明.

下面，我們通過證明命題“兩直線平行，同旁內角互補”來了解什么是證明.例1 證明：兩直線平行，同旁內角互補.

分析：首先弄清命題的題設和結論，其次將命題的題設“兩條平行直線被第三條直線所截”轉化為數學的符號語言“已知：直線a∥b，直線c分別與直線a、b相交于點A、B”，再把結論“同旁內角互補”轉化為數學的符號語言“求證：∠1+∠2=180°”，同時要畫出圖形.

圖

1已知：如圖1，直線a∥b，直線c分別與直線a、b相交于點A、B.求證：∠1+∠2=180°.

證明：略

由例1可知以下兩點.

1.文字命題的證明要求：寫出“已知”、“求證”、“證明”，并畫出圖形.

2.證明的一般過程：由題設(已知條件)出發，經過一步步的邏輯推理，最后推出結論(求證)的正確過程.

注意：證明過程的每一步推理都要有理有據，也就是根據定義、公理和定理.例2 求證：等腰三角形兩腰上的中線相等.引導學生畫出符合條件的圖形，再試寫出“已知”、“求證”，并進行證明.分析：首先畫出符合條件的圖形，再寫出“已知”、“求證”，然后分析證明

思路，最后寫出證明的過程；由題意分析，可以先證明含中線的某兩個三角形全等，再證得中線相等.已知：如圖2，在△ABC中，AB=AC，點E、F分別是AC、AB的中點.求證：BE=CF.

證明：略

例3 求證：有一條直角邊及斜邊上的高分別對應相等的兩個直角三

角形全等.

分析：首先畫出符合條件的圖形，再寫出“已知”、“求證”，然后分

析證明思路，最后寫出證明的過程.

圖 3

已知：如圖3，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=

A′C′，CD⊥AB于D，C′D′⊥A′B′于D′，且CD=C′D′.

求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

分析：(1)Rt△ABC與Rt△A′B′C′中已滿足全等的什么條件?(AC=A′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°)

(2)還需補充什么條件兩三角形全等?(BC=B′C′，或AB=A′B′，或∠B=∠B′，或∠A=∠A′)

(3)選擇哪個條件?(∠A=∠A′)

(4)為什么?(已有條件AC=A′C′，CD=C′D′)

即先證明Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，再證明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.請小組同學共同完成證明過程.(略)

文字命題證明的一般過程：

首先畫出符合條件的圖形，再寫出“已知”、“求證”，然后分析證明思路，最后由題設(已知條件)出發，經過一步步的邏輯推理，寫出結論(求證)的正確證明過程.

練習教材第96頁練習第1題.

例4 試說明“兩個銳角的和等于直角”是假命題.

分析：對假命題的證明，用舉反例的方法證明.

舉反例：就是要證明或判斷一個命題是假命題，只要舉出一個符合命題題設而不符合結論的例子即可.

解 設兩個銳角都為30°，則兩個銳角的和為60°，不等于90°，所以這個命題是假命題.

練習教材第96頁練習第2題.

(三)小結

1.證明的一般步驟；

2.用舉反例的方法證明或判斷簡單的假命題.

(四)作業

第二篇：命題與證明教學設計

八年級數學教學設計

肥東縣王城中學王合課題：14.2證明（2）

教材與學生現實的分析

1、本節內容是《命題與證明》的教學流程設計

八年級數學教學設計

八年級數學教學設計

八年級數學教學設計

八年級數學教學設計

八年級數學教學設計

第三篇：命題與證明平行四邊形 教案

《命題與證明》

1、定義（一般地，能清楚地規定某一名稱或術語意義的句子叫做該名稱或術語的定義）

2、命題（一般地，判斷一件事情的句子叫做命題）命題是一個“判斷句”，判斷“是”或“非”．其中正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，如“對頂角相等”是真命題，“相等的角是對頂角”是假命題.注意：(1)命題是語句，而且必須是能判斷正確和錯誤的句子．(2)錯誤的命題也是命題．

過直線外一點做一條直線與已知直線垂直。

過直線外一點做一條直線，要么與已知直線相交，要么與已知直線平行。

3、每個命題是由條件（題設）和結論（題斷）兩部分組成．條件是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，命題常寫成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分是結論．（判斷清楚哪些是條件，哪些是結論）

寫成“如果，那么”的形式

①在同一個三角形中 等角對等邊

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等

③同角的余角相等

3、公理、定理、推論

人們在長期實踐中檢驗所得的真命題，并作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做公理．如“過兩點有且只有一條直線”；“兩點之間，線段最短”等等．有些命題的正確性是通過推理證實的，并被選定作為判定其它命題真假的依據，這樣的真命題叫定理．由公理、定理直接得出的真命題叫做推論． 如 三角形內角和定理三角形的內角和等于180°．

推論1 直角三角形的兩銳角互余．

推論2 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．

推論3 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角．

4、證明真命題的方法

根據題設、定義、公理、定理等，經過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫證明.證明一個真命題一般按以下步驟進行：

（1）審題，分清命題的條件與結論.（2）畫圖，依題意畫出圖形，畫圖時應做到圖形正確且具有一般性，切忌將圖形特殊化.（3）寫“已知”“求證”，按照圖形，分析、探求解題思路，然后寫出證明過程，證明的每一步都要做到敘述清楚，而且要有理有據.5、證明假命題的方法

證明一個命題是假命題，只需舉一個“反例”即可，也就是舉出一個符合命題的條件而不符合結論的例子.用反證證明下列命題是假命題

有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等

任何三條線段都能組成三角形

6、重難點及歸納

①命題的理解：本節的一個難點是找出一個命題的題設和結論，它是后面證明中，書寫已知求證的基礎，對那些條件結論不明顯的命題．應在學習中多練，必要時結合圖形來區分．例如命題“如果兩條直線和

第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，其中“兩條直線和第三條直線平行”是條件，“這兩條直線也平行”是結論．再如命題，“對頂角相等”，它的條件和結論不明顯，應將它改成“如果兩個角為對頂角，那么這兩個角相等”，再指出條件和結論．

②定義、命題、公理和定理之間的聯系與區別

這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，只不過公理是最原始的依據，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其他命題真假的依據．

③證明真命題的方法和步驟，難點是分析證明思路，有條理地寫出推理過程．

④三角形內角和定理的三個推論常用來求角的大小和進行角的比較．

7、證明的思路： ①從已知出發，推出可能的結果，并與要證明的結論比較，直至推出最后的結果。②從

要證明的結論出發，探索要使結論成立，需要什么條件，并與已知條件對照，直到找到所需要的并且是已知的條件。

探索證明：在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60度

9、用反證法（證明的思路如何，苦李子的故事）

用反證法證明命題，一般有三個步驟：

反設 假設命題的結論不成立（即假設命題結論的反面成立）

歸謬 推出矛盾（和已知或學過的定義、定理、公理相矛盾，或者與假設所推出的任何一個已知相矛盾）結論 從而得出命題結論正確。

例如用反證法證明：

在同一個平面內，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于60度

例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行

已知：如圖∠1＝∠2A1B

求證：AB∥CD

證明：設AB與CD不平行C2D

那么它們必相交，設交點為MD

這時，∠1是△GHM的外角A

1∴∠1＞∠2G這與已知條件相矛盾

2∴AB與CD不平行的假設不能成立H

∴AB∥CDC

例2.求證兩條直線相交只有一個交點

證明：假設兩條直線相交有兩個交點，那么這兩條直線都經過相同的兩個點，這與“經過兩點有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設不能成立，因此兩條直線相交只有一個交點。

（從以上兩例看出，證明中的三個步驟，最關鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設”也要認真對待）。

例3.已知：m2是3的倍數，求證：m 也是3的倍數

例4.求證：2不是有理數

《平行四邊形》

1、四邊形的定義

2、定理：四邊形的內角和等于360度

推論：四邊形的外角和等于360度

N邊形的內角和外角和（為什么）

正五邊形能鑲嵌平面嗎（為什么）

單獨和鑲嵌平面的正多邊形有哪幾種？為什么只有這幾種？

（2011浙江省，8，3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找一點M,N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數為（）（如何作輔助線，培養感覺）

A.100°B．110°C.120°D.130°

3、平行四邊形的定義性質

定理：平行四邊形的對角相等

定理1：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

推論1：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

推論1：夾在兩條平行線間的垂線段相等。

定理2：平行四邊形的對角線互相平分。

4、中心對稱圖形定義 對稱中心

性質：對稱中心平分兩個對稱點的線段。（在平面直角坐標系中，點（x，y）關于原點對稱的點的坐標是多少？為什么？）

5、平行四邊形的判定

①定義②定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形③定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形④定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6、三角形的中位線定理（如何證明？）

7、逆命題與逆定理

兩個命題，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。每個命題都有逆命題。每個定理都有逆命題。如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理。

因此，每個命題有逆命題；每個定理有逆命題，但不一定有逆定理。

1.（2011浙江金華，15，4分）如圖，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是

.3.（2011四川成都，20,10分）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點.5CD

1(1)若BK=2KC，求AB的值；(2)連接BE，若BE平分∠ABC，則當AE=2AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關系?請寫出你的結論并予以證明．再探究：當AE=nAD(n?2)，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關系?請直接寫出你的結論，不必證明．

6、如圖，已知△ABC中，?ABC?45，F是高AD和BE的交點，CD?4，則線段DF的長度為（）.A

．B． 4C

．D

．

?

第四篇：初中數學命題與證明

命題與證明

一、選擇題

1、（2012年上海黃浦二模）下列命題中，假命題是（）

A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B．一組鄰邊相等的矩形是正方形；

C．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；

D．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形.答案：C2、(2012溫州市泰順九校模擬)下列命題，正確的是()

A.如果｜a｜=｜b｜，那么a=b

B.等腰梯形的對角線互相垂直

C.順次連結四邊形各邊中點所得到的四邊形是平行四邊形

D.相等的圓周角所對的弧相等

答案：C

3（2012年中考數學新編及改編題試卷）下列語句中，屬于命題的是（）．．

(A)作線段的垂直平分線(B)等角的補角相等嗎

(C)平行四邊形是軸對稱圖形(D)用三條線段去拼成一個三角形

答案：C4、（2012年上海市黃浦二模）下列命題中，假命題是(▲)

A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B．一組鄰邊相等的矩形是正方形；

C．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形；

D．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形.答案：C5、（2012年上海金山區中考模擬）在下列命題中，真命題是……………………………………………………………………………………………（）

（A）兩條對角線相等的四邊形是矩形

（B）兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

（C）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（D）兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

答案：C

二、填空題

1、三、解答題

1．（2012年江蘇海安縣質量與反饋）已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

⑴求證：點D是AB的中點；

⑵證明DE是⊙O的切線．

答案：22．（1）略;（2）略．

2.（2012年江蘇通州興仁中學一模）如圖，在□ABCD中，E為BC的中點，連接DE．延長DE交AB的延長線于點F．求證：AB=BF．

E C

答案：由□ABCD得AB∥CD，∴∠CDF=∠F，∠CBF=∠C．

又∵E為BC的中點，∴△DEC≌△FEB．

∴DC=FB．

由□ABCD得AB=CD，∵DC=FB，AB=CD，∴AB=BF．

3、（鹽城地區2011～2012學適應性訓練）（本題滿分10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點A、C、D在⊙O上，過D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.（1）判斷直線BP和⊙O的位置關系，并說明你的理由；

（2）當⊙O5，AC=2，BE=1時，求BP的長.(1)直線BP和⊙O相切.……1分

理由：連接BC,∵AB是⊙O直徑,∴∠ACB=90°.……2分

∵PF∥AC,∴BC⊥PF, 則∠PBH+∠BPF=90°.……3分

P

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分

所以直線BP和⊙O相切.……5分

(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分

∴ACBC解得BP=2.即BP的長為2.……10分 BEBP

4.（鹽城市第一初級中學2011～2012學年期中考試）（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于P點，CP交⊙O于D；

（1）求證：AP=AC；

（2）若AC=3，求PC的長．

答案（1）證明過程略；（5分）

（2）3

35(徐州市2012年模擬)（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F為BC上兩點，且BE?CF，AF?DE．

求證：（1）△ABF≌△DCE；

（2）四邊形ABCD是矩形． A D

B C E F

（第21題）答案：解：（1）?BE?CF，BF?BE?EF，CE?CF?EF，······························· 1分 ?BF?CE．

?四邊形ABCD是平行四邊形，?AB?DC． ······························ 2分 在△ABF和△DCE中，?AB?DC，BF?CE，AF?DE，?△ABF≌△DCE． ··························· 3分

△ABF≌△DCE，（2）解法一：?

??B??C． ······························ 4分 ?四邊形ABCD是平行四邊形，?AB∥CD．

??B??C?180?．

??B??C?90?． ···························· 5分

·························· 6分 ?四邊形ABCD是矩形．

解法二：連接AC，DB．

?△ABF≌△DCE，??AFB??DEC．

??AFC??DEB． ··························· 4分 在△AFC和△DEB中，?AF?DE，?AFC??DEB，CF?BE，?△AFC≌△DEB．

?AC?DB． ······························ 5分 ?四邊形ABCD是平行四邊形，·························· 6分 ?四邊形ABCD是矩形．

6.（鹽城地區2011～2012學適應性訓練）（本題滿分12分）如圖,△AEF中,∠

EAF=45°,AG⊥EF于點G,現將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點C．

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM2，求AG、MN的長．

AHBENFDC(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分

由AB=AD，得四邊形ABCD是正方形.……3分

222(2)MN=ND+DH.……4分

理由：連接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,……6分

再證△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分

222∴MN=ND+DH.……8分

(3)設AG=x，則EC=x-4,CF=x-6,22由Rt△ECF，得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,222設NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52.……12分

7.（鹽城地區2011～2012學適應性訓練）(本題滿分8分)如圖，已知E、F分別是□

ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長．

AFD

BEC

證：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分

由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE.……3分

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.∴BE=AE=EC，BE=5.……4分 ……5分 ……7分 ……8分

第五篇：命題與證明導學案

命題與證明（2）

學習目標：

1、會區分定理，公理和命題。

2、了解證明的含義，體驗證明的必要性。

重點：證明的含義和表述格式。

難點：按照規定格式表述證明的過程。

一、獨學（課本77~78頁）

1、所有推理的原始共同出發點是_________________________________。

2、幾何推理中，把那些從長期實踐中總結出來的，不需要再作證明的____________叫做公理。（舉例證明）

3、有些命題。它們的正確性已經過推理得到證實，并被選定作為判定其它命題真假的依據，這樣的命題叫做_____________，推理的過程叫做_________________。

二、對學（要探究出因與果，會填寫理由，會使用“∵”“∴”）

例1：已知直線c與直線a、b相交，且?1??2，求證ab。

=180,OE平分?AOB，OF平分?BOC，求證例2：已知，如圖?AOB??BOC

OE?OF.注：

1、做題時要寫“證明”二字，不能寫“解”。

2、結對雙方要共同探究各步的因果關系，一定要寫出每一步的理由（即根據題目使用“∵”“∴”）。

3、對文字說明題，一定要根據題意寫出“已知”、“求證”和“畫出圖形”最后給出證明。

三、群學（組內交流展示）

1、課本78頁練習（1）（2）.2、第79~80頁練習（1）（2）.四、拓展練習.證明：如圖ABCD,DF平分?CDB，BE平分?ABD，求證：?1??2。

五、小結收獲.六、作業：第83頁第5題（1）（2）。