第一篇：排列組合常見的解題策略

“排列組合常見的解題策略”課例

張玉華

一、教材分析

排列和組合是數學基礎知識的重要組成部分之一，它在解決實際問題以及科學技術的研究中都有廣泛的應用；在排列組合問題中充分體現了分類、化歸的數學思想。它應用性強，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復雜，問題交錯，易出現重復和遺漏以及不易發現錯誤等特征。因而在這部分教學中，應充分調動學生的積極性，強調學生的主體作用，明確基本原理，注重思維過程的分析，讓學生在問題解決的過程中不斷反思探索規律，體驗成功，從而提升學生的思維能力。而且是概率的基礎。

二、學情分析

高三(1)班的同學基礎差，但勤奮好學，有一定的潛力。

三、教學目的

1、認知目標：

使學生進一步理解并掌握處理排列組合問題的基本策略，進一步體會分類與化歸的數學思想方法以及分析與解決問題的能力，培養學生的探索創新意識。

2、技能目標：

充分發揮教師的主導和學生的主體作用，使學生的自主意識、自學能力、探索創新意識得到發展。

3、情感目標：

培養學生的自信心和學習興趣，樹立實事求是的科學態度和不怕困難的進取精神，積極探索，進而培養學生的創新能力。

四、教法分析

根據排列組合的知識特點“條件隱晦，思維抽象”，在教學中采用發現法，堅持“思路教學”，深鉆教材，注意從實驗入手，模擬發現，從特殊到一般，歸納出一般的規律，優化學生的思路，激活學生的思維。

五、教學過程分析

1、復習思考

（1）處理排列組合問題的常見解題策略(提問學生作答)問題

一、街道旁有編號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路燈，為節約用電又不影響照明，可以把其中的三只燈相滅，但不能同時熄滅相鄰兩只，在兩端的兩只路燈不熄滅的情況下，問不同的熄燈方法有多少種? ①通過復習提問總結解決排列組合問題的基本思路和方法。

②設置問題情景，激發學生的學習欲望。通過引導，學生得出多種解法，從而優化思維，發現規律為構造數學模型一做好鋪墊。

2、創設情景 練習（1）：四個相同蘋果分給三個人，沒人至少一個，有多少種分配方案?(提問，多解)，電腦演示。

（2）：把六個名額分給三個班級，沒班至少一個名額，有多少種分法?(提問多解)，電腦演示，介紹插板法。鞏固創設情景。

體現化歸思想，并將問題發散，從不同角度展示出問題的共性，給學生自主發現、探索的空間，引入“插板”這一解決問題的策略。

3、提出猜想

你能編一道與本題意思相近的習題或將本題推廣嗎? 學生是學習的主體，是課堂教學的探索者、發現者和創造者，讓他們的智慧火花充分閃亮。

4、探得索出分結析論 模型一：把n個相同的小球放入m個不同的盒子中，要求每盒至少有一個球，問有多少種不同的方法? 歸納出共性，推廣到一般，抽象出數學模型，使學生的思維得到提升。

5、問題解決進一步推廣 練習：(分組討論)（1）求方程x+y+z=16的正整數解的組數。

（2）15個蘋果分給三個人，每人至少兩個，有多少種分法?（3）把二十個相同的小球放入編號為1、2、3、4、的四個盒子中，要求每個盒子中的小球數目不少于編號數，求不同的放法種數。

弄清問題本質，將問題轉化為模型，并能應用模型解決問題。

6、新情境設計

（1）第二小題條件改為每人至少三個，有多少種分法?（2）學生總結規律。

（3）如果條件改為每人分得蘋果個數不限，有多少種分法種數?（4）你能將本題推廣嗎?（5）改變條件提出新問題，讓學生有一個再發現，再創造的過程。（6）培養學生自主探索創新意識。

7、探索分析

用電腦演示每人至少分得一個蘋果、二個蘋果和三個蘋果的情形，并由學生總結規律。體現從特殊到一般的思維方法，模擬發現，激勵探索，激活思路。

8、得出結論

模型

二、把n個相同的小球放入m個不同盒子(n≥m≥1)，每個盒子容量不限，有多少種不同方法? 比較差異，將模型一進一步推廣，使學生在“好奇”中產生“內驅力”，進而產生不斷探索的愿望。

9、問題

（1）中日圍棋擂臺賽規定各國各出7名隊員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽?，直到有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一個比賽過程，試求中方獲勝的所有可能出現的比賽過程的種數?（2）從7個學校選出12人組成足球聯隊，要求每校至少有一個人參加，問各校名額分配共有多少種不同情況? 將問題綜合，讓學生分享探索帶來的成果，感受問題解決的成功喜悅，同時也使他們進一步掌握分類的數學思想和化歸的方法，激發探索的欲望。

10、小結

小結：回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應關系將一種不易直接求得其數目的計數模式轉化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應關系而化難為易的方法是數學中一種常用的方法，并且在代數問題發揮著極大的作用。另外，我們還推出了兩個模型，大家回去后希繼續對這個模型進行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規律可循了。

六、課題后記

1、本著堅持以學生是探索發現的主體這一教學原則，教師的角色從知識的傳播者轉化為學生主動學習，主動探索的引導者和促進者：學生以被動接受知識轉到主動參與，在討論探索中獲取知識。學生在教師的適時點撥下，通過自己動腦，探索出兩個模型。由于學生親自品嘗了自己發現的樂趣，更激起了他們強烈的求知欲和創造欲。

2、體現循序漸進原則。本課例的例題，練習題的安排體現了思維的階梯性，一步一個臺階，逐步引向深入。由于問題處在學生思維水平的“最近發展區”，因而為學生提供了自由想象的空間，最后指引學生進行變式練習，提出了新的探索目標，從而滿足了不同層次學生的需要，充分體現了數學素質教育的思想。同時充分肯定學生的每一點進步，使學生增強學好數學的信心。

3、通過現代化教育技術，以電腦動畫方式模擬思維的動態過程，將抽象內容形象化，激發學生興趣，培養學生觀察、分析和抽象概括能力。學生的“再發現”不是放任自流，而是在教師精心設計教學過程，創設問題情境，讓學生自己從知識的發生，發展過程中去發現新知識，認識新知識，從而積極主動地參與學習，充分體現教師的主導作用。

4、層層建構，分層遞進，引導學生逐步深入，符合學生的認知特點使學生易于理解，培養學生的創新精神，優化學生的思維品質。解決重點，突破難點，通過分層遞進，既可照顧后進生，又可促進優等生，達到面向全體學生的目的，使不同的學生都能得到發展。

七、點評

學習數學的過程是知識建構的過程，是思維訓練的過程。本節課充分發揮學生的主體作用，通過精心設計問題，讓學生去探索，發現從特殊到一般，歸納規律，構造數學模型，掌握分類的數學思想和化歸的方法，分層遞進不斷深化。課堂思維密度大，高潮迭起，是培養學生創新能力和課堂開展研究性學習的典型范例。

第二篇：排列組合問題的解題策略的教學設計

《排列組合問題的解題策略》教學設計

河北圍場一中 王嘉偉

一、整體設計思路、指導依據：

《數學新課程標準》中指出好的數學教育要從學習者的已有知識和實際生活經驗出發，提供給學生數學實踐和交流的機會。”數學是解決生活中一些實際問題的工具，同時還開發智力，培養學生的邏輯思維能力。面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略，是數學應用意識的重要體現。為學生后面學習排列組合問題打下基礎。

二、教學背景分析： “排列組合問題的解題策略”是人教版普通高中課程標準（實驗）教科書選修2-3第一章計數原理中的內容，排列和組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是學生學習概率統計的知識基礎，同時也是發展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。在高考中也是考點之一，本節重點在向學生滲透分類討論，轉化等數學思想方法，并初步培養學生有順序地、全面地思考問題的意識，為學生今后學習組合數學和學習概率統計奠定基礎。簡單的兩種計數原理和排列組合 基本掌握了，由于本班學生的基礎不是很好，數學水平參差不齊，所以采取小組合作學習的方式合理分配學生資源，借助集體的智慧來解決問題。本節課是在學生掌握簡單的排列組合問題的基礎上的，對排列組合問題的一個拓展。

三、教學目標：

知識目標：1.掌握加法原理和乘法原理，并能用這兩個計數原理解決簡單問題。2.掌握排列、組合問題應用的幾種常見方法。能力目標：掌握有限制條件的排列組合的應用題的常用分析方法。情感目標：體會解決排列組合問題中運用的數學思想。

四、教學重點、難點分析：

重點：有限制條件的排列組合問題的綜合應用。難點：解決較復雜的排列組合問題的思想與解題策略

五、教學過程設計：

1．課程引入：平安夜的故事：

“蘋果”是平平安安的諧音，象征著平安、祥和之意，所以說平安夜吃蘋果能保一年平安。時間：13年12月24日晚。地點：XX職校女生公寓樓302室。

人物：寢室所有成員，包括英亞、竹萍、陳燕、劉佳、徐紅、周甜、龔佳、錢麗共八人。在這個特別的夜晚，劉佳提議，準時在十二點吃蘋果，可大家發現沒有準備蘋果。陳燕說：“我這里有些蘋果。”她拿出一袋蘋果。大家一看，只有大小不一的五個。竹萍說：“我柜子里面還有幾個梨。”竹萍拿出來一清，有四個形狀各異的梨。大家說：“沒辦法了，拿三個梨來湊吧。”

出招：從四個形狀各異的梨中拿出三個，有多少種方法？ 竹萍從中拿出了三個最好看的梨。

徐紅說：“我不喜歡吃梨，我只喜歡吃蘋果，所以我一定要吃蘋果。” 英亞說：“好吧。我來負責分派。”

出招：要保證徐紅一定吃到蘋果，有多少種分派方法？ 周甜說：“我也要吃蘋果！平安夜當然吃蘋果。”

出招：，徐紅和周甜兩人都吃到蘋果，有多少種分派方法？

竹萍出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨分給八個人，每人一個，其中周甜吃蘋果，徐紅吃梨，有多少種分派方法？

有人說，你們倆只能有一個人吃蘋果。徐紅說：“那讓周甜吃蘋果吧，我吃梨好了。錢麗說：“這樣吧，我們把八個水果放在桌上排成一排，然后關燈，每人摸一個。” 出招：八個不同的水果排成一排，有多少種排方法？

劉佳說：“平安夜，第一個一定要放蘋果以示平安。”出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，第一個一定要放蘋果，有多少種排法？

陳燕說：“第一個放不放蘋果不要緊，大家只要盡量把蘋果和梨分開就好，就是不要讓任何兩個梨挨在一起。” 出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，其中梨不能挨在一起，有多少種排方法？ 徐紅說：“這樣不好，分梨分離。我們寢室每個人都應該團結，心不能分離。所以，應該把這些梨全放在一起。出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，其中梨必須放在一起有多少種排方法？ 正在大家討論得正熱烈的時間，響起了熄燈鈴聲。

“唉啊，快。”英亞低聲叫道：“睡覺時間到了！快去床上！”

英亞連忙關掉燈。黑暗中誰低聲叫了一句：“快拿水果！”大家連忙從桌上各自摸起一個水果，快速鉆入被窩。寢室迅速安靜下來。

漸漸地，八個同學都在安靜中睡著了。當然，最終她們沒有破壞寢室的紀律，沒有在半夜起來吃蘋果。故事新編:(課下思考）

對＜平安夜的故事＞進行重新編排，要求在故事里穿插至少三個有關排列，組合，或基本計數原理的問題。

從上面的故事中找出我們所運用到的排列組合這一章所學的知識和方法。

設計意圖：用一則小故事引出排列組合常見的問題：相鄰，不相鄰，特殊元素，特殊位置安排的問題。

2、典例分析：（分組討論，學生講解，教師指導幫助總結）

（1）特殊元素和特殊位置優先策略：

例

1、由0,1,2,3,4,5，可以組成多少個沒有重復數字的五位奇數。師：若改成偶數呢，又該如何分析？

變式：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少種不同的種法？

設計意圖： 位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，要求學生熟練掌握。（2）相鄰元素捆綁策略：

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法。練習：5個男生3個女生排成一排，3個女生要排在一起，有多少種不同的排法？ 設計意圖：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.（3）不相鄰問題插空策略: 例3.一個晚會的節目有4個舞蹈，兩個相聲，三個獨唱，舞蹈節目不能連續出場，則節目的出場順序有多少種？

變式：某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目，如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同的插法種數為________.師：元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端 拓展：請同學把上述兩個問題綜合在一起出道題，題中包含相鄰和不相鄰問題。

設計意圖：幫助學生分析這兩類問題的解決辦法，并進行延伸，通過小組討論解決問題，形成思路。（4）、定序問題：空位，插入；倍縮策略

例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定，共有多少種不同的排法？

練習：學考考試6門科目，歷史要排在化學前面考，有多少種不同的安排順序？ 師：定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插入模型處理

設計意圖：通過演示，板書讓學生理解占位插入模型的含義，從而解決排列組合中相似的問題。（5）重排問題求冪策略：

例5.把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法？ 練習：

1、4人爭奪3個比賽項目的冠軍，問冠軍得主的可能性。

2、某8層大樓，一樓電梯上來8名乘客，他們到各自的一層下電 梯，下電梯的方法有（）種。師：一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為(6)排列組合混合問題先選后排策略：

種

例6.有5個不同小球，裝入4個不同的盒內，每盒至少裝一球，共有多少種不同的裝法。

練習：一個班有6名戰士，其中正副班長各1人，現在從中選4人完成四種不同的任務，每人完成一種任務，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有________種。師：解決排列組合的混合問題,先選后排是最基本的指導思想.設計意圖：近幾年高考中出現頻率較多的一類問題，通過典型例題找出解決問題的思路，引導學生尋求解題辦法。

(7)平均分組問題除法策略：

例8.6本不同的書，按如下方式分配，各有多少種不同的分法？ 1.分成一堆一本，一堆2本，一堆3本。2.甲得一本，乙得2本，丙得3本。3.一人得一本，一人得2本，一人得3本。4.平均分成3堆，每堆2本.5.分給甲乙丙三人，每人選2本。

練習：1.將13個球隊分成3組，一組5個隊，其他2組4個隊，有多少分法？

2.某校高二年級共有6個班級，現從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數為__________.師：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數)避免重復計數。

設計意圖：學生對于這類問題容易把幾個問題混淆，通過解決這個例題讓學生理解平均分組問題的解決方案。

（8）合理分類與分步策略：

例8.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能夠唱歌，5人會跳舞，現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目，有多少種選派方法？

師：請同學們選擇3個分類標準進行討論：

練習：從4名男生和3名女生中選4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有________.設計意圖：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

課堂檢測：(考題重現）

1、(2014年廣西）有6名男醫生，5名女醫生，從中選出2名男醫生，1名女醫生，組成一個醫療小組，則不同的選法共有____種。

2、（2013大綱卷）6個人排成一行，其中甲乙兩人不相鄰的不同排法有____種。

3、（2013北京）將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀卷，全部分給4人，每人至少一張，如果分給同一人的2張參觀卷連號，那么不同的分法種數是_____種。

4、（2014北京）把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有_____種。

5、（2014四川）6個人從左到右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法有_____種。

6、（2014重慶理）某次聯歡會要安排3個歌舞類節目，兩個小品和一個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是_____.小結：

回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應關系將一種不易直接求得其數目的計數模式轉化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應關系而化難為易的方法是數學中一種常用的方法，并且在代數問題發揮著極大的作用。另外，我們還推出了幾個模型，大家回去后希繼續對這個模型進行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規律可循了。

六、教學評價與反思：

學習數學的過程是知識建構的過程，是思維訓練的過程。本節課充分發揮學生的主體作用，通過精心設計排列組合中常見的問題，進行分類，讓學生去探索，發現規律，總結方法，并能構造數學模型，通過小組合作和教師的點撥，使學生的思維拓展，本節課堂容量較大，通過學生提前做學案預習基本能順利完成，本節課設計較合理，環環相扣比較連貫，是培養學生創新能力和課堂開展研究性學習的典型范例。

第三篇：高中數學教學論文 排列組合的解題策略（本站推薦）

高中數學教學論文：排列組合的解題策略

讓學生成為“演員”——也談排列組合的解題策略

排列組合作為高中代數課本的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學生的認知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應。從而導致學生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”.針對這一現象，筆者在日常教學過程中經過嘗試總結出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進行一下轉換，讓學生走進題目當中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發，逐步適應排列組合題的解題規律，從而做到以不變應萬變。當然，在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性，可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明：

1、占位子問題例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

① 仔細審題：在轉換題目之前先讓學生仔細審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

② 轉換題目：在審題的基礎上，為了激發學生興趣進入角色，我將題目轉換為：讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準備好放在講臺前），要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

③ 解決問題：這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子（學生爭著上臺，積極性已經得到了極大的提高），班上其他同學也都積極思考（充分發揮了學生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學們有了統一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據乘法原理得到結果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④ 學生小結：接著我讓學生之間互相討論，根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤ 老師總結：對于這一類占位子問題，關鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2、分組問題例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數中分別選出3個和2個數組成五位數，問這樣的五位數有幾個？

用心

愛心

專心 1

（本題我是先讓學生計算，有很多同學得出的結論是P ×P）

① 仔細審題：先由學生審題，明確組成五位數是一個排列問題，但是由于這五個數來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

② 轉換題目：在學生充分審題后，我讓學生自己對題目進行等價轉換，有一位同學A將題目轉換如下：從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數學、英語、物理、化學競賽，問有多少種不同的選法？

③ 解決問題：接著我就讓同學A來提出選人的方案同學A說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P ×P 種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P ×P 種選法；最后由乘法原理得出結論為（P ×P）×（P ×P）（種）。（這時同學B表示反對）

同學B說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P ×P.（同學們都表示同意，但是同學C說太蘩）

同學C說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學科中排列，他列出的計算式是C ×C ×P（種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結果就“浮現”出來C ×C ×P（種）。

④ 老師總結：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進行排列。

以上是我一節課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學效果比較明顯），進一步活躍課堂氣氛，更全面地調動學生的學習積極性，發揮教師的主導作用和學生的主體作用，讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉換問題，解決問題。

用心

愛心

專心 2

第四篇：龔前祥 排列組合解題探究

排列組合解題探究

秭歸二中

龔前祥

排列組合歷來是高中學生認為難學的內容，原因之一是由于它們研究的對象不具體，而且結果不便于檢驗.而排列組合應用廣泛.如抽獎、比賽場次、任務安排、物品分配等都涉及到排列組合.很多涉及到排列組合的問題，只要加強類比分析和歸納，仍然有規律可循，收到多題一法，一法多用的效果.現就排列組合問題的求解策略做一下探究.一、排列組合應用題解法

解排列組合應用題，不能單靠現成的公式，更不能死套公式，首先需要認真審題，弄明確題中每一個字和每一句話的確切含義，弄明確題中所要做的“事情”是什么，以及怎樣的結果才算完成了這樣事情，然后緊緊抓住是排列問題還是組合問題，是乘法原理還是加法原理的問題進行分析，這樣不僅有助于尋找正確答案的解題途徑，而且還能培養我們細致深入思考問題的習慣和分析問題與解決問題的能力.例1 把4個男同學和4個女同學平均分成4組，到4輛公共汽車上勞動，如果同樣的2人在不同的汽車上勞動作為不同情況看待，問有幾種不同的分法？如果每個小組必須是一個男同學和一個女同學，問有幾種不同的分發？如果男同學、女同學分別分組，又有幾種分法？

解：（1）題中要做的“事情”是把男女8個同學混在一起平均分成4組，分配到4個汽車上去，我們把這個分配的總任務分成4個步驟來做，首先安排其中2人上第一

2輛車，有C82種分法，再由其余的6人中安排2人到第2輛車，有C6種分法，然后依次

22安排第3，4輛車分別有C4、C2種分法.由于各車分派人數是相關的，而且都必須安2222排好，由乘法原理，共有C8?C6?C4?C2?2520種分法.（2）要求每一個車上必須要有一男一女，我們不妨先把4個男同學分別派上4輛車上，這顯然是一個與順序有關的排列問題，有P44種不同的方法.再把4個女同學安排上這4輛車，這自然也是一個排列問題，有P44種不同的方法.男、女安排是相關的，而且每一輛車上的男女都必須搭配好，由乘法原理，共有：

44P4?P4?576種不同的分法.2（3）男女分別分組，4個男同學平均分成兩組，有C4?3種方法（這是一個與順序無關的問題，這與把4個男同學平均分成兩組分別上甲、乙兩汽車的分法不同，222后者是與順序有關的，其分法為C4（或C4，同樣，4個女同學平均分C2）種分法）2成2組，也有C4/2?3種分法，由乘法原理，分組的方法就有3?3?9種，對于這樣的每一種分法中的4個小組分別上4輛不同的車，又有P44種分法，再由乘法原理，所以共有9?P44?216種不同的分法.例2 分配5個人分別擔任5種不同的工作，如果甲不能擔任第一種工作，乙不能擔任第5種工作，有多少種分配法？

為了明確起見，我們可以用a,b,c,d,e表示這5個人，那么這個問題就是5個不同 1 元素a,b,c,d,e全取的排列，求a不排在首位，b不排在末位的排列數.解法一：因a不能在首位，因此排在首位的只能是b或c,d,e，所以可將所求的排列數分為兩類：

一類是b在前位，此時余下的四個元素a,c,d,e不論怎么排都合要求，這種排列

1b有P44個，另一類是先想c,d,e三個元素之一排在首位，有P3種方法.次將排在中間133個位置上，又有P最后將其它3個元素排在其它3個位置上，有P3種方法，3種方法，3這3步是相關聯的，而且必須都完成，由乘法原理，這類排列共有3?3?P3個，再由43加法原理，所求的排列共有P4?3?3?P3?78個.故有78種合乎條件的排列法.（注）本題若不仔細分析，可能得出下面兩個錯誤的解法：一是錯誤的把題設條件理解為“a與b不同時排在首、末兩個位置上.”5個元素a,b,c,d,e的全排列有

3P55個，其中a排在首位，同時b排在末位的排列數有1?P3?1個，故所求的排列有53555個元素的全排列有P這PP5?P3?114種.第二種是計算的錯誤，5種，5種包括了a為首位的P44種，也包括了b排在末位的P44種，故所求的排列有：

544P5?P4?P4?72種.現把上述兩種錯誤解法加以改正，得到以下兩種正確的解法：

解法二： 前一解法的錯誤在于沒有把不合條件的排列都除去.因為在53bbP?P53?144種中，既包括a排在首位，但不能排在末位上，也包括排在末位，43但a不排在首位上，這兩類排列數均為P?P43，所以，正確的答案為：

5343P5?P3?2(P4?P3)?78種.解法三： 后一解法的錯誤在于忽略了在a排列首位的P44種排列中和b排在末位的P44種排列中有公共的部分，這公共的部分就是a排在首位，同時b排在末位的3排列，這種排列數P3被減去了兩次，應補加一次才行，故正確的答案為： 5443P5?P4?P4?P3?78種.（注）解法一的特點是將所要求的排列先分解成若干類，然后分別計算各類的排列數，最后相加，即分解法.使用這種解法的要點是使適合所求條件的每一個排列必須屬于而且只能屬于所分的某一類；解法二與解法三的特點都是從所有的排列中排除不合要求的排法，即排除法.使用這種解法的要點是必須把不合要求的排法排除干凈，既不能排除多了，也不能排除少了.例3 從1,2,3,?,100中取兩個數相乘，其積能被3除盡的有幾對？

“據兩數之積能被3除盡的充分必要條件是至少有一個因數是3的倍數”.必須調查在1，2，3，…，100這100個整數中有多少個是3的倍數.解法一：（分解法）

在1,2,3,?,100這100個數中3的倍數有33個，不是3的倍數的數有67個，兩數之積能被3整除的有而且只有下面的兩情況：

11（1）所取2個數中有一個是3的倍數，另一個不是3的倍數，故共有C33 對； C672（2）所取兩個數都是3的倍數，共有C33對.112由加法原理，能被3整除的數共有C33?C67?C33?2739對.解法二：（排除法）

22先由1,2,3,?,100這100個數中，任取其兩數之積有C100個，在這C100個整數中，222不能被3整除的有而且只有C67個必須排除，所以合乎條件的有C100?C67?2739對.二、“插空法”應用系列

所謂“插空法”，是指先排定某些元，再用余下的元插空的排法，這是大家很熟悉的方法.根據其應用的廣泛性，可以歸納出十個系列.（1）相鄰排列與插空

例

七人排一排，要求甲、乙兩人之間正好隔兩人的不同排法共有多少種？ 解：先在甲、乙兩人之間插入兩人排定，然后將這四人視作一個元，與其余三

24人一起排列，共有P22P5P4?960種.（2）不全相鄰排列與插空

例

由1，2，3，4，5組成的無重復數字的五位數中，1，2，3不全相鄰的五位數有多少個？

解：先排1，2，3成四個空，再用4，5去插空，分為4與5連在一起或單個兩種情況去插空.且不把4，5同時排在首末兩位.故所排的五位數共有3212P3[P2P2?(P4?2)]?84.本題的間接求解是：在1，2，3，4，5的全排列中去掉1，2，3全相鄰的那些全

533排列，所排的五位數個數是P5?P3P3?84.（3）全不相鄰與插空

例

要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈節目不得相鄰，問有多少種不同的排法？

解：先排6個歌唱節目的不同排法有P66種；再用4個舞蹈節目插空，共有P66P74種排法.（4）部分有序排列與插空

E例

A,B,C,D,五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（可以不相鄰），那么不同的排法有多少種？

3解：先排定C,D,E三人有P然后由A,B分單個或兩個并一起插4個空，3種方法；21321共有C4種插空方法.由乘法原理，共有排法P?C43(C4?C4)?60種.（5）重復排列與插空

例

由1，2，3，4，5組成的含三個相同數字的五位數共有多少個？

3解：先取3個不重復的數字，取法有C5種，令某一個數字重復3次且排成一排1的排法是C3種；然后用不重復的兩個數字插4個空，分單個或兩個并一起插的方法31221有P42?P42P41種，由乘法原理，共有五位數C5C3(P4?P2P4)?600個.（6）圓排列與插空

例

四個大人和四個小孩圍坐一圓桌，大人之間，小孩之間各不相鄰的坐法有幾種？

4解：四個小孩的圓排列為3!?6種；大人插空方法有P4?24種.共有坐法 3 6?24?144種.（7）相間抽取與插空

例

在前100個自然數中抽取互不相鄰的20個數，抽取方法共有多少種？ 解：取80個相同的黑球排成一排，又取20個相同的白球去插黑球相間（含兩端）20的81個空，有C81種.對于每種插法，把這100個球從左到右賦值為1，2，3，……，20100，便得一個合條件的抽法.故共有C81種.（8）不定方程與插空

例

已知方程x?y?z?15，求自然數解的個數.解：?x,y,z?N，且其和為15，構造如下模型：把15個1排成一排成14個相間空（不含兩端），用兩個“0”插空，分15個1成3組，每組里分得1的個數依次記為x,y,z.每個分法唯一對應著一個自然數解.2故自然數解的個數共有C14?91個.（13）有序分拆與插空

例

上一個有10級的臺階，每步可上1級或者2級，共有多少種上臺階的方法？ 解：這一實際問題就是把10寫成1或2之和，且加數（含順序）不全相同.求共有多少個分拆方法.以含有1的個數分類：

含10個1時，有1種分拆方法；

1含8個1時，則含一個2，用2去插9個空的插法有C9種，每個插法對應一個分拆，此時有9種分法；

含6個1時，則有2個2，用2個2去插7個空且分單一或并一起插，得分法12C7?C7?28種；

123含4個1時，則有3個2，得分法C5?P?C55?35種；

1含2個1和4個2時，得分法C5?C52?15種； 含5個2時，有1種分法.則共有1?9?28?35?15?1?89種.可見,只要我們抓住問題的本質,找準突破口,解起題來就得心應手了.

第五篇：集合常見解題思路

1、設集合M?{x|m?x?m?}，N?{x|n??x?n}，并且M N都是集合{x|0?x?1} 的子集,如果b-a叫做集合{x|a?x?b}的長度,那么集合M3413N長度的最小值是多少? 解：首先，M、N均是{x/0＜=x＜=1}的子集，則有m=>0,m+3/4=<1,n-1/3>=0,n＜=1.從而有0<=m<=1/4,1/3<=n<=1.假設m>=n-1/3,則有m+3/4>n.故M,N交集為{x/m＜=x＜=n},其長度為n-m.取m最大，n最小即可。n=1/3,m=1/4.長度為1/12

同理，設m<=n-1/3，此時無法比較m+3/4和n的大小。繼續假設m+3/4>n，M,N交集為{x/n-1/3＜=x＜=n},長度為1/3.再假設m+3/4

故最小為1/12