第一篇：線段的垂直平分線教案

線段的垂直平分線教案

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m線段的垂直平分線

教學內容:

線段的垂直平分線

教學目的:、使學生理解線段的垂直平分線的性質定理及逆定理,掌握這兩個定理的關系并會用這兩個定理解決有關幾何問題。

2、了解線段垂直平分線的軌跡問題。

3、結合教學內容培養學生的動作思維、形象思維和抽象思維能力。

教學重點:

線段的垂直平分線性質定理及逆定理的引入證明及運用。

教學難點:

線段的垂直平分線性質定理及逆定理的關系。

教學關鍵:、垂直平分線上所有的點和線段兩端點的距離相等。

2、到線段兩端點的距離相等的所有點都在這條線段的垂直平分線上。

教具:投影儀及投影膠片。

教學過程:

一、提問、角平分線的性質定理及逆定理是什么?

2、怎樣做一條線段的垂直平分線?

二、新課、請同學們在課堂練習本上做線段AB的垂直平分線EF。

2、在EF上任取一點P,連結PA、PB量出PA=?,PB=?引導學生觀察這兩個值有什么關系?

通過學生的觀察、分析得出結果PA=PB,再取一點P'試一試仍然有P'A=P'B,引導學生猜想EF上的所有點和點A、點B的距離都相等,再請同學把這一結論敘述成命題。

定理:線段的垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等。

這個命題,是我們通過作圖、觀察、猜想得到的,還得在理論上加以證明是真命題才能做為定理。

已知:如圖,直線EF⊥AB,垂足為c,且Ac=cB,點P在EF上

求證:PA=PB

如何證明PA=PB學生分析得出只要證RTΔPcA≌RTΔPcB

證明:∵Pc⊥AB

∴∠PcA=∠PcB

在ΔPcA和ΔPcB中

∴ΔPcA≌ΔPcB

即:PA=PB。

反過來,如果PA=PB,P1A=P1B,點P,P1在什么線上?

過P,P1做直線EF交AB于c,可證明ΔPAP1≌PBP1

∴EF是等腰三角型ΔPAB的頂角平分線

∴EF是AB的垂直平分線

∴P,P1在AB的垂直平分線上,于是得出上述定理的逆定理。

逆定理:和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上。

根據上述定理和逆定理可以知道:直線mN可以看作和兩點A、B的距離相等的所有點的集合。

線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

三、舉例

例:已知,如圖ΔABc中,邊AB,Bc的垂直平分線相交于點P,求證:PA=PB=Pc。

證明:∵點P在線段AB的垂直平分線上

∴PA=PB

同理PB=Pc

∴PA=PB=Pc

由例題PA=Pc知點P在Ac的垂直平分線上,所以三角形三邊的垂直平分線交于一點P,這點到三個頂點的距離相等。

四、小結

正確的運用這兩個定理的關鍵是區別它們的條件與結論,加強證明前的分析,找出證明的途徑。定理的作用是可證明兩條線段相等或點在線段的垂直平分線上。

五、練習與作業

練習:第87頁1、2

作業:第95頁2、3、4

《教案設計說明》

線段的垂直平分線的性質定理及逆定理,都是幾何中的重要定理,也是一條重要軌跡。在幾何證明、計算、作圖中都有重要應用。我講授這節課是線段垂直平分線的第一節課,主要完成定理的引出、證明和初步的運用。

在設計教案時,我結合教材內容,對如何導入新課,引出定理以及證明進行了探索。在導入新課這一環節上我先讓學生做一條線段AB的垂直平分線EF,在EF上取一點P,讓學生量出PA、PB的長度,引導學生觀察、討論每個人量得的這兩個長度之間有什么關系:得到什么結論?學生回答:PA=PB。然后再讓學生取一點試一試,這兩個長度也相等,由此引導學生猜想到線段垂直平分線的性質定理。在這一過程中讓學生主動積極的參與到教學中來,使學生通過作圖、觀察、量一量再得出結論。從而把知識的形成過程轉化為學生親自參與、發現、探索的過程。在教學時,引導學生分析性質定理的題設與結論,畫圖寫出已知、求證,通過分析由學生得出證明性質定理的方法,這個過程既是探索過程也是調動學生動腦思考的過程,只有學生動腦思考了,才能真正理解線段垂直平分線的性質定理,以及證明方法。在此基礎上再提出如果有兩點到線段的兩端點的距離相等,這樣的點應在什么樣的直線上?由條件得出這樣的點在線段的垂直平分線上,從而引出性質定理的逆定理,由上述兩個定理使學生再進一步知道線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點距離的所有點的集合。這樣可以幫助學生認識理論于實踐又服務于實踐的道理,也能提高他們學習的積極性,加深對所學知識的理解。在講解例題時引導學生用所學的線段垂直平分線的性質定理以及逆定理來證,避免用三角形全等來證。最后總結點P是三角形三邊垂直平分線的交點,這個點到三個頂點的距離相等。為了使學生當堂掌握兩個定理的靈活運用,讓學生做87頁的兩個練習,以達到鞏固知識的目的。

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第二篇：線段的垂直平分線教案一

線段的垂直平分線

教學目標(一)教學知識點

1．經歷探索、猜測過程，能夠運用公理和所學過的定理證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理．

2．能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線．(二)思維訓練要求

1．經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力． 2．體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神． 3．學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果．(三)情感與價值觀要求

1．能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲．

2．在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心． 教學重點

1．能夠證明線段的垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論． 2．能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線． 教學難點

寫出線段垂直平分線的性質定理的逆命題． 教學方法

探索——交流——合作法 教具準備 多媒體演示 教學過程

Ⅰ．創設現實情境，引入新課 教師用多媒體演示：

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什么位置？

其中“到兩個倉庫的距離相等”三次閃爍，強調這幾個字在題中有很重要的作用． [生]碼頭應建在線段AB的垂直平分線與在A，B一側的河岸邊的交點上．

[師]你為什么要這樣做呢？

[生]我們在七年級時研究過線段的性質，線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們用折紙的方法，根據折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質就能完成．

[師]這位同學分析得很詳細，我們曾利用折紙的方法得到：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．你能用公理或學過的定理證明這一結論嗎？

教師演示線段垂直平分線的性質：

定理

線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等． 同時，教師板演本節的題目： §1．3．1 線段的垂直平分線(一)Ⅱ．講述新課

[師]我們從折紙的過程中得到了線段垂直平分線的性質定理，大家知道這是不夠的，還必須利用公理及已學過的定理推理、證明它．現在就請同學們自己思考證明的思路和方法，并嘗試寫出證明過程．遇到困難，請同學們大膽提出來，我會給你啟示．

[生]我有一個問題，要證“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”，可線段垂直平分線上的點有無數多個，需一個一個依次證明嗎？何況不可能呢．

[師]誰有辦法來解決此問題呢？

[生]我覺得一個圖形上每一點都具有某種性質，只需在圖形上任取一點作代表．

[師]我覺得這位同學的做法很好．我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可，因為線段垂直平分線上的點都具有相同的性質． [師生共析] 已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的點．

求證：PA＝PB．

分析：要想證明PA＝PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等． 證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的對應邊相等)．

教師用多媒體完整演示證明過程．同時，用多媒體呈現： 想一想

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

[生]這個命題不是“如果??那么??”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結論，將原命題寫成“如果??那么??”的形式，逆命題就容易寫出．

[師]誰來分析原命題的條件和結論呢？注意表述時要流暢，完整． [生]原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”．結論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”．

[師]有了這位同學的精彩分析，逆命題就很容易寫出來．

[生]如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點到線段兩個端點的距離相等．

[師]誰能把它描述得更簡捷？

[生]到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上． [師]當我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．請同學們自行在練習冊上完成． [生A]證法一：

已知：線段AB，點P是平面內一點且PA＝PB． 求證：P點在AB的垂直平分線上．

證明：過點P作已知線段AB的垂線PC．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P點在AB的垂直平分線上．

[生B]證法二：取AB的中點C，過PC作直線．

∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P點在AB的垂直平分線上．

[生C]證法三：過P點作∠APB的角平分線．

∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∴P點在線段AB的垂直平分線上．

[生D]證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC．

∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分線上．

[生]前三個同學的證明是正確的，而第四個同學的證明我有點弄不懂． [師]先請同學們看兩個圖．如圖(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB．這說明一般情況下：過P作AB的垂直平分線“是不可能實現的，所以第四個同學的證法是錯誤的．

[師]從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．

我們曾用折紙的方法折出過線段的垂直平分線．現在我們學習了線段垂直平分線的性質定理和判定定理，能否用尺規作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢？

教師多媒體演示： 做一做

用尺規作線段的垂直平分線．

[師]要作出線段的垂直平分線，根據垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．

下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據． [師生共析] 已知：線段AB(如圖)．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：1．分別以點A和B為圓心，以大于交于點C和D．

2．作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

[師]根據上面作法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請與同伴進行交流．

[生]從作法的第一步可知 AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)． ∴CD就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)．

[師]我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學習了線段垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法作線段的中點．

Ⅲ．隨堂練習課本P25

1．如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點．如果EC＝7cm，那么ED＝________cm；如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝________．

1AB的長為半徑作弧，兩弧相2

解：∵AB是線段CD的垂直平分線，∴EC＝ED．又∵EC＝7cm，∴ED＝7cm．

∴∠EDC＝∠ECD＝60°．

2．已知直線l和l上一點P，利用尺規作l的垂線，使它經過點P． 已知：直線l和l上一點P．

求作：PC⊥l．

作法：1．以點P為圓心，以任意長為半徑作弧，直線l相交于點A和B． 2．作線段AB的垂直平分線PC． 直線PC就是所求的垂線． Ⅳ．課時小結

本節課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質定理和判定定理，并學會用尺規作線段的垂直平分線．

Ⅴ．課后作業習題1．6第1、3題 Ⅵ．活動與探究

(1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；

(2)如果將(1)中的∠A的度數改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的大小．(3)你發現了什么樣的規律？試證明之；

(4)將(1)中的∠A改為鈍角，對這個問題的規律性認識是否需要修改． [過程]由(1)、(2)不難認識到∠BMN的大小是∠A的一半，但也容易認為點M一定在BC的延長線上，通過(4)也就是讓△ABC保持AB＝AC的前提下發生變化，認識就會更全面、更準確了．

[結果](1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB(等邊對等角)． ∴∠B＝11(180°－∠A)＝×(180°－40°)＝70°． 22∵∠BNM＝90°，∴∠M＝90°－∠B＝90°－70°＝20°〔如圖(1)〕．(2)如圖(2)，同(1)求得∠BMN＝35°．(3)如圖(3)，∠NMB的大小為∠A的一半． 證明：設∠A＝α．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對等角)． ∴∠B＝1(180°－α)． 211(180°－α)＝α，22∵∠BNM＝90°，∴∠BMN＝90°－∠B＝90°－即∠BMN等于頂角的一半．

(4)完整的敘述上述規律為：等腰三角形一腰上的垂直平分線與底邊或底邊的延長線相交，所成的銳角等于頂角的一半．

板書設計

§1．3．1 線段的垂直平分線(一)

一、線段垂直平分線的性質定理．

二、線段垂直平分線的判定定理．

三、用尺規作線段的垂直平分線．

第三篇：線段的垂直平分線的性質教案

13．1.2 線段的垂直平分線的性質第1課時 線段的垂直平分線的性質和判定

11．掌握線段垂直平分線的性質．(重點)

2．探索并總結出線段垂直平分線的性質，能運用其性質解答簡單的問題．(難點)

一、情境導入

如圖所示，有一塊三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分線ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周長為17m，你能幫測量人員計算BC的長嗎？

二、合作探究

探究點一：線段垂直平分線的性質

【類型一】 應用線段垂直平分線的性質求線段的長

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()

A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cm

解析：∵△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故選C.方法總結：利用線段垂直平分線的性質，可以實現線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．

【類型二】 線段垂直平分線的性質與全等三角形的綜合運用

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根據AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答．(2)根據線段垂直平分線的性質判斷出AB＝BF即可．

證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．

【類型三】 線段垂直平分線與角平分線的綜合運用

如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.(1)找出圖中相等的線段；

(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．

解析：(1)由垂直平分線的性質可得出相等的線段；

(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據角平分線的性質可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法總結：本題是線段垂直平分線的性質和角平分線的性質的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．

探究點二：線段垂直平分線的判定

如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關系．

解析：先利用角平分線的性質得出DE＝DF，再證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.方法總結：當一條直線上有兩點都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時常需利用此性質進行線段相等關系的轉化．

三、板書設計

線段的垂直平分線

1．線段的垂直平分線的作法．

2．線段的垂直平分線性質定理和逆定理．

3．三角形三邊的垂直平分線交于一點．

本節課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學方法，從而有效地增強了學生的感性認識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因此本節課的教學效果較好，學生對所學的新知識掌握較好，達到了教學的目的．不足之處是少數學生對線段垂直平分線性質定理的逆定理理解不透徹，還需在今后的教學和作業中進一步進行鞏固和提高．

第四篇：線段垂直平分線教學反思

《線段的垂直平分線》教學反思

一、構建嶄新的交互環境，師生互動性更強

本節課我采用了電子白板授課，改變了以往PPT課件授課模式，PPT課件的程序是預先設定好的，伴隨著一步步的點擊，投影出幻燈片，教師與學生的交互性很受局限。通過使用交互式電子白板，教師操作課件可以直接在觸屏上進行，例如：在電子白板上演示用尺規作線段的垂直平分線等，避免了在講臺與黑板之間來回走動過程中分散學生注意力。白板教學環境下加強了集體共同參與的學習過程，師生之間的交流更直接，例如：探究新知2中方法的多樣性可以讓學生在電子白板上盡情的展示自己的方法，而不會出現黑板不夠用的狀況。電子白板的使用，可以真正實現人與人之間的交流，而不是人與課件之間的交流。同時，白板課件每個頁面中的素材都可以根據學生的具體情況來靈活處理。

二、建立符合學生的認知結構

在進行創設情境中，我沒有采用課本上的形式，而是改用七年級學習過的建水電站問題，即將水電站建在何處到在河同一側的兩個村莊的距離之和最短？在學生回憶并解決后將問題變為“建在何處到兩個村莊的距離相等？”，這樣的設計避免了死板的套入教學內容，不但符合學生的元認知結構，還可以極大的調動學生的學習積極性，使學生快速融入到教學之中，而且題目設計實現知識的縱向遷移，加深了學生對知識的理解、內化，形成自我知識體系，教學實踐證明效果顯著。

三、充分發揮教師在教學中的的主導性

在這一節中，所介紹的定理實際是在七年級曾經探索過的命題，如線段垂直平分線的性質定理，當時采用的方法是折紙法，作為探索活動的自然延續和必要發展，我們作為老師要善于引導學生從問題出發，根據觀察、實驗的結果，先得出猜想，然后再進行證明，要求學生掌握證明的基本要求和方法，注意數學思想方法的強化和滲透，例如：歸納法、數形結合思想和分類討論在教學中的應用。

四、創新性的使用教材

線段垂直平分線性質定理的證明，我沒有直接采用課本中的方法，而是在教學設計時引入分類思想，從兩個方面進行證明：(1)當點P在線段AB 上，即點P與垂足重合時，顯然點P是線段的中點，因此有PA=PB；(2)當點P不在線段AB上，同教材中的證明，分兩種情況考慮這個定理的證明。還有在逆定理的說理過程中，課本上沒有給出證明，我也引入了分類思想，分兩種情況證明：(1)如果點P滿足PA=PB，且在線段AB上，那么，點P顯然是線段AB的中點，而線段的中點自然在線段的垂直平分線上．(2)如果點P不在線段AB上，且滿足PA=PB。讓學生探究和展示方法，體現學生在學習中的主體地位，從而突破本節課的難點。

五、實際教學效果：

在實現教學活動中，學生有較好的參與意識 和求知欲望，同時能夠跟隨著老師的提問而不斷的進行更深入的思考。在探究2的方法的多樣性上，學生能積極探究，在電子白板上盡情展現自己的成果；在尺規作圖上，學生能積極自主探究，并通過電子白板演示，提高學生動口、動手、動腦的綜合能力。通過鞏固達標訓練，提高學生解決問題的能力，從而實現本節課的目標，教學效果良好。

《線段的垂直平分線》教學反思

古交十一中

秦 云 峰

2013年9月

第五篇：1.3 線段的垂直平分線教案(八年級下冊)

1.3線段的垂直平分線（教案）

教學目標

(一)教學知識點

1．經歷探索、猜測過程，能夠運用公理和所學過的定理證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理．

2．能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線．(二)思維訓練要求

1．經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力． 2．體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神． 3．學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果．(三)情感與價值觀要求

1．能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲．

2．在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心． 教學重點

1．能夠證明線段的垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論． 2．能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線．

教學難點 寫出線段垂直平分線的性質定理的逆命題并證明它． 教具準備 多媒體演示、直尺、圓規

教學過程

Ⅰ．創設現實情境，引入新課 教師用多媒體演示：

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應

建在什么位置？

[生]碼頭應建在線段AB的垂直平分線與在A，B一側的河岸邊的交點上．

[師]同學們認同他的看法嗎？ [生]是的

[師]認為對的說說你的理由是什么呢？

[生]（回憶定理）我們以前曾學過線段垂直平分線的一個性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質就能完成．

[師]（邊說邊用折紙的方法再現定理）這位同學分析得很好，我們在七年級時研究過線段的性質，線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們曾經像這樣利用折紙的方法得到“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”這一簡單事實，但是用這種觀察的方式是很難說服別人的，你能用公理或學過的定理來證明這一結論嗎？

教師演示線段垂直平分線的性質：

定理

線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等． Ⅱ．講述新課

[第一部分] 線段垂直平分線的性質定理

[師]我們從折紙的過程中得到了線段垂直平分線的性質定理，大家知道這是

１

不夠的，還必須利用公理及已學過的定理推理、證明它．那么如何證明呢？

[師]（引導）

問題一：①要證“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”，可線段垂直平分線上的點有無數多個，需一個一個依次證明嗎？

（強調）我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可，因為線段垂直平分線上的點都具有相同的性質．（開始讓學生有這樣的數學思想）

②你能根據定理畫圖并寫出已知和求證嗎？ ③誰能幫老師分析一下證明思路？ [生]（思考回答）

[師生共析] 已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的點．

求證：PA＝PB．

分析：要想證明PA＝PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等． 證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的對應邊相等)．

[第二部分] 線段垂直平分線的判定定理

教師用多媒體完整演示證明過程．同時，用多媒體呈現： 想一想

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？ [師]（引導、并提問兩學生）

問題二：①這個命題是否屬于“如果??那么??”的形式？

②你能分析原命題的條件和結論，將原命題寫成“如果??那么??”的形式嗎？

③最后再把它的逆命題寫出來 [生A]（思考分析）原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”．結論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”．

[師]有了這位同學的精彩分析，逆命題就很容易寫出來．

[生B]如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．

[師]很好，能否把它描述得更簡捷呢？

[生B]到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上． [師]good!當我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．請同學們類比原命題自己獨立寫出已知、求證．

（給學生思考空間）

已知：線段AB，點P是平面內一點且PA＝PB． 求證：P點在AB的垂直平分線上．（分組討論，鼓勵學生多想證明方法，并派代表上黑板寫寫本組的證明過程）

２

[師]看學生的具體情況，做適當的引導

證法一：

證明：過點P作已知線段AB的垂線PC． ∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P點在AB的垂直平分線上．

證法二：

證明：取AB的中點C，過PC作直線． ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P點在AB的垂直平分線上．

證法三：

證明：過P點作∠APB的角平分線． ∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∴P點在線段AB的垂直平分線上

．

[師]先肯定學生的思考，再對證明過程嚴謹的小組加以表揚，不足的加以點評和糾正。

[師]從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．到現在我們已經學習了線段垂直平分線的性質定理和判定定理，下面小試牛刀 教師多媒體演示：

P26隨堂練習（搶答）：

如圖：已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點，如果EC=7cm，那么ED=_____cm，如果∠ECD＝60°,那么∠EDC＝___°

３

（讓學生說出理由）

[第三部分] 用尺規作線段垂直平分線

答對了上面的題，咱們來輕松一下，一起來欣賞一組美麗的數學圖。

教師多媒體演示： 做一做

用尺規作線段的垂直平分線．

[師]（邊演示圖邊講講作圖有關的數學史）大家知道這些圖是用什么工具作出來的嗎？

（資料：古希臘以來，平面幾何中的作圖工具習慣上限用直尺和圓規兩種.其中，直尺假定直而且長，但上面無任何刻度，圓規則假定其兩腿足夠長并能開閉自如.作圖工具的這種限制，最先大概是恩諾皮德斯(Oenopides，約公元前465年)提出的，以后又經過柏拉圖(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉圖非常重視數學，強調學習幾何對訓練邏輯思維能力的特殊作用，主張對作圖工具要有限制，反對使用其他機械工具作圖.之后，歐幾里得(Euclid，約公元前330—275)又把它總結在《幾何原本》一書中。于是，限用尺規進行作圖就成為古希臘幾何學的金科玉律。）

[師]其實同學們也能用圓規、直尺畫出優美的圖形，下面咱們就一起來學用尺規作線段的垂直平分線。

（分析：要作出線段的垂直平分線，根據垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．）

類似于證明題要寫出已知、求證和證明，作圖題也要根據條件寫出已知、求作和作法，下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據．

[教師示范，請學生同時練習] 已知：線段AB(如圖)．

求作：線段AB的垂直平分線．

1作法：1．分別以點A和B為圓心，以大于AB

2的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．

2．作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

[師]根據上面作法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請與同伴進行交流．

[生]從作法的第一步可知

４

AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)． ∴CD就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)．

[師]我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學習了線段垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法作線段的中點．

Ⅲ．隨堂練習

解決引例（假如要把碼頭的具體位置準確的畫出來，你會畫了嗎？）看時間是否允許，可讓學生完成P27試一試，同桌之間相互檢查批改，加深理解。

Ⅳ．課時小結

本節課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質定理和判定定理，并學會用尺規作線段的垂直平分線．

Ⅴ．課后作業 第1、3題 Ⅵ．板書設計

1.3 線段的垂直平分線

一、線段垂直平分線的性質定理．

二、線段垂直平分線的判定定理．

三、用尺規作線段的垂直平分線．

５