第一篇：新人教版數學八年級上冊教案 13.1.2 線段的垂直平分線的性質

13.1.2 線段的垂直平分線的性質

教學目標： 〔知識與技能〕

1． 探索作出軸對稱圖形的對稱軸的方法．掌握軸對稱圖形對稱軸的作法．

2．在探索的過程中，培養學生分析、歸納的能力．

〔過程與方法〕

1、在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發展學生的合情推理能力，逐步養成數學推理的習慣；

2、在靈活運用知識解決有關問題的過程中，體驗并掌握探索、歸納圖形性質的推理方法，進一步培說理和進行簡單推理的能力。〔情感、態度與價值觀〕

1、體會數學與現實生活的聯系，增強克服困難的勇氣和信心；

2、會應用數學知識解決一些簡單的實際問題，增強應用意識。教學重點：

軸對稱圖形對稱軸的作法． 教學難點：

探索軸對稱圖形對稱軸的作法． 教具準備：圓規、三角尺 教學過程

一．提出問題，引入新課

1.有時我們感覺兩個圖形是軸對稱的，如何驗證呢？不折疊圖形，?你能比較準備地作出軸對稱圖形的對稱軸嗎？

2.軸對稱圖形性質．如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線．軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線．

3.找到一對對應點，作出連結它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸了．

4.問題：如何作出線段的垂直平分線？ 二．導入新課

1.要作出線段的垂直平分線，根據垂直平分線的判定定理，到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，又由兩點確定一條直線這個公理，那么必須找到兩個到線段兩端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．

[例]如圖（1），點A和點B關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？

已知：線段AB[如圖（1）]．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：如圖（2）

(1)．分別以點A、B為圓心，以大于(2)．作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

2.[例]圖中的五角星有幾條對稱軸？作出這些對稱軸．

作法：

1．找出五角星的一對對應點A和A′，連結AA′．

2．作出線段AA′的垂直平分線L．

則L就是這個五角星的一條對稱軸．

用同樣的方法，可以找出五條對稱軸，所以五角星有五條對稱軸． 三．隨堂練習

（一）課本35練習1、2、3

如圖，與圖形A成軸對稱的是哪個圖形？畫出它們的對稱軸．

1AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C和D兩點；

2答案：與A成軸對稱的是圖形D（或B）． 四．課時小結

本節課我們探討了尺規作圖，作出線段的垂直平分線．并據此得到作出一個軸對稱圖形一條對稱軸的方法：找出軸對稱圖形的任意一對對應點，連結這對對應點，?作出連線的垂直平分線，該垂直平分線就是這個軸對稱圖形的一條對稱軸． 五．課后作業

課本P36-37習題12.1 5、10、11、12題．

第二篇：線段的垂直平分線的性質教案

13．1.2 線段的垂直平分線的性質第1課時 線段的垂直平分線的性質和判定

11．掌握線段垂直平分線的性質．(重點)

2．探索并總結出線段垂直平分線的性質，能運用其性質解答簡單的問題．(難點)

一、情境導入

如圖所示，有一塊三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分線ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周長為17m，你能幫測量人員計算BC的長嗎？

二、合作探究

探究點一：線段垂直平分線的性質

【類型一】 應用線段垂直平分線的性質求線段的長

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()

A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cm

解析：∵△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故選C.方法總結：利用線段垂直平分線的性質，可以實現線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．

【類型二】 線段垂直平分線的性質與全等三角形的綜合運用

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根據AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答．(2)根據線段垂直平分線的性質判斷出AB＝BF即可．

證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．

【類型三】 線段垂直平分線與角平分線的綜合運用

如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.(1)找出圖中相等的線段；

(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．

解析：(1)由垂直平分線的性質可得出相等的線段；

(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據角平分線的性質可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法總結：本題是線段垂直平分線的性質和角平分線的性質的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．

探究點二：線段垂直平分線的判定

如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關系．

解析：先利用角平分線的性質得出DE＝DF，再證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.方法總結：當一條直線上有兩點都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時常需利用此性質進行線段相等關系的轉化．

三、板書設計

線段的垂直平分線

1．線段的垂直平分線的作法．

2．線段的垂直平分線性質定理和逆定理．

3．三角形三邊的垂直平分線交于一點．

本節課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學方法，從而有效地增強了學生的感性認識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因此本節課的教學效果較好，學生對所學的新知識掌握較好，達到了教學的目的．不足之處是少數學生對線段垂直平分線性質定理的逆定理理解不透徹，還需在今后的教學和作業中進一步進行鞏固和提高．

第三篇：線段垂直平分線幾何語言(數學八年級上冊)

1.線段垂直平分線的性質定理：

線段垂直平分線上的點與這條線段兩端點的距離相等

幾何語言∵PO是線段AB的垂直平分線，點P在PO上（已知）

∴ PA=PB（線段垂直平分線上的點和這條線段兩端點的距離相等）2.線段垂直平分線的逆定理：與一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 AO

幾何語言∵ PA=PB（已知）

∴點P在AB的垂直平分線上（和一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）

B

第四篇：【新人教版】八年級數學上冊教案第十三章軸對稱13.1軸對稱13.1.2線段的垂直平分線的性質[范文模版]

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教學設計

第十三章 13.1.2線段的垂直平分線的性質

知識點：線段垂直平分線的性質

(1)線段垂直平分線的定義:經過線段的中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.(2)線段垂直平分線的性質: ①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.②與一條線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.如圖所示,直線l是線段AB的垂直平分線,P在直線l上,則AP=BP.用幾何符號表示: ∵ l是線段AB的垂直平分線,∴ AP=BP.如果反過來,也是成立的.若AP=BP,則點P在線段AB的垂直平分線上.用幾何語言表示: ∵ AP=BP,∴ 點P在線段AB的垂直平分線上.反思：線段垂直平分線的兩個性質是定理及逆定理的關系,有時也將性質“與一條線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”看作是線段垂直平分線的判定定理.借助于線段垂直平分線的兩條性質,可以對其用集合進行定義,線段垂直平分線可以看成是到線段兩個端點的距離相等的所有點的集合.這一定義揭示了線段垂直平分線的本質.考點1：線段垂直平分線的性質應用

【例1】如圖(1),有分別過A,B兩個加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于點O,現準備在∠AOB內建一個油庫,要求油庫的位置點P滿足到A,B兩個加油站的距離相等,而且P到兩個公路l1,l2的距離也相等.請用尺規作圖,作出點P.(不寫作法,保留作圖痕跡)

教學資料

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解:作出的點P如圖(2)所示.(1)

(2)

點撥：到兩點距離相等的點,在這兩點所連線段的垂直平分線上.在角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.這兩條線的交點就是加油站的位置.考點2：利用線段垂直平分線的性質及判定解題

【例2】如圖,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分別為A,B.下列結論中不一定成立的是()A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 答案:D 點撥：∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴在△AOP與△BOP中,BOP,∴結論A,B,C均正確,故選D.?

∴△AOP≌△

教學資料

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第五篇：1.3 線段的垂直平分線教案(八年級下冊)

1.3線段的垂直平分線（教案）

教學目標

(一)教學知識點

1．經歷探索、猜測過程，能夠運用公理和所學過的定理證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理．

2．能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線．(二)思維訓練要求

1．經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力． 2．體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力和創新精神． 3．學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果．(三)情感與價值觀要求

1．能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲．

2．在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心． 教學重點

1．能夠證明線段的垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論． 2．能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線．

教學難點 寫出線段垂直平分線的性質定理的逆命題并證明它． 教具準備 多媒體演示、直尺、圓規

教學過程

Ⅰ．創設現實情境，引入新課 教師用多媒體演示：

如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應

建在什么位置？

[生]碼頭應建在線段AB的垂直平分線與在A，B一側的河岸邊的交點上．

[師]同學們認同他的看法嗎？ [生]是的

[師]認為對的說說你的理由是什么呢？

[生]（回憶定理）我們以前曾學過線段垂直平分線的一個性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在“A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質就能完成．

[師]（邊說邊用折紙的方法再現定理）這位同學分析得很好，我們在七年級時研究過線段的性質，線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸．我們曾經像這樣利用折紙的方法得到“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”這一簡單事實，但是用這種觀察的方式是很難說服別人的，你能用公理或學過的定理來證明這一結論嗎？

教師演示線段垂直平分線的性質：

定理

線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等． Ⅱ．講述新課

[第一部分] 線段垂直平分線的性質定理

[師]我們從折紙的過程中得到了線段垂直平分線的性質定理，大家知道這是

１

不夠的，還必須利用公理及已學過的定理推理、證明它．那么如何證明呢？

[師]（引導）

問題一：①要證“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”，可線段垂直平分線上的點有無數多個，需一個一個依次證明嗎？

（強調）我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可，因為線段垂直平分線上的點都具有相同的性質．（開始讓學生有這樣的數學思想）

②你能根據定理畫圖并寫出已知和求證嗎？ ③誰能幫老師分析一下證明思路？ [生]（思考回答）

[師生共析] 已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的點．

求證：PA＝PB．

分析：要想證明PA＝PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等． 證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的對應邊相等)．

[第二部分] 線段垂直平分線的判定定理

教師用多媒體完整演示證明過程．同時，用多媒體呈現： 想一想

你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？ [師]（引導、并提問兩學生）

問題二：①這個命題是否屬于“如果??那么??”的形式？

②你能分析原命題的條件和結論，將原命題寫成“如果??那么??”的形式嗎？

③最后再把它的逆命題寫出來 [生A]（思考分析）原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”．結論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”．

[師]有了這位同學的精彩分析，逆命題就很容易寫出來．

[生B]如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上．

[師]很好，能否把它描述得更簡捷呢？

[生B]到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上． [師]good!當我們寫出逆命題時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．請同學們類比原命題自己獨立寫出已知、求證．

（給學生思考空間）

已知：線段AB，點P是平面內一點且PA＝PB． 求證：P點在AB的垂直平分線上．（分組討論，鼓勵學生多想證明方法，并派代表上黑板寫寫本組的證明過程）

２

[師]看學生的具體情況，做適當的引導

證法一：

證明：過點P作已知線段AB的垂線PC． ∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P點在AB的垂直平分線上．

證法二：

證明：取AB的中點C，過PC作直線． ∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P點在AB的垂直平分線上．

證法三：

證明：過P點作∠APB的角平分線． ∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對應角相等，對應邊相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∴P點在線段AB的垂直平分線上

．

[師]先肯定學生的思考，再對證明過程嚴謹的小組加以表揚，不足的加以點評和糾正。

[師]從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．到現在我們已經學習了線段垂直平分線的性質定理和判定定理，下面小試牛刀 教師多媒體演示：

P26隨堂練習（搶答）：

如圖：已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點，如果EC=7cm，那么ED=_____cm，如果∠ECD＝60°,那么∠EDC＝___°

３

（讓學生說出理由）

[第三部分] 用尺規作線段垂直平分線

答對了上面的題，咱們來輕松一下，一起來欣賞一組美麗的數學圖。

教師多媒體演示： 做一做

用尺規作線段的垂直平分線．

[師]（邊演示圖邊講講作圖有關的數學史）大家知道這些圖是用什么工具作出來的嗎？

（資料：古希臘以來，平面幾何中的作圖工具習慣上限用直尺和圓規兩種.其中，直尺假定直而且長，但上面無任何刻度，圓規則假定其兩腿足夠長并能開閉自如.作圖工具的這種限制，最先大概是恩諾皮德斯(Oenopides，約公元前465年)提出的，以后又經過柏拉圖(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉圖非常重視數學，強調學習幾何對訓練邏輯思維能力的特殊作用，主張對作圖工具要有限制，反對使用其他機械工具作圖.之后，歐幾里得(Euclid，約公元前330—275)又把它總結在《幾何原本》一書中。于是，限用尺規進行作圖就成為古希臘幾何學的金科玉律。）

[師]其實同學們也能用圓規、直尺畫出優美的圖形，下面咱們就一起來學用尺規作線段的垂直平分線。

（分析：要作出線段的垂直平分線，根據垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．）

類似于證明題要寫出已知、求證和證明，作圖題也要根據條件寫出已知、求作和作法，下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據．

[教師示范，請學生同時練習] 已知：線段AB(如圖)．

求作：線段AB的垂直平分線．

1作法：1．分別以點A和B為圓心，以大于AB

2的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．

2．作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

[師]根據上面作法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請與同伴進行交流．

[生]從作法的第一步可知

４

AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)． ∴CD就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)．

[師]我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學習了線段垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法作線段的中點．

Ⅲ．隨堂練習

解決引例（假如要把碼頭的具體位置準確的畫出來，你會畫了嗎？）看時間是否允許，可讓學生完成P27試一試，同桌之間相互檢查批改，加深理解。

Ⅳ．課時小結

本節課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質定理和判定定理，并學會用尺規作線段的垂直平分線．

Ⅴ．課后作業 第1、3題 Ⅵ．板書設計

1.3 線段的垂直平分線

一、線段垂直平分線的性質定理．

二、線段垂直平分線的判定定理．

三、用尺規作線段的垂直平分線．

５