第一篇：高等代數使用教材及輔導材料

高等代數使用教材及輔導材料

課程：高等代數

高等代數 北京大學數學系幾何與代數教研室 高等教育出版社 1978 高等代數 丘維聲 高等教育出版社 1996 高等代數 張禾瑞 郝炳新 高等教育出版社 1983 高等代數習題課教材 錢芳華 黎有高 卜淑云 鄧培民 廣西師范大學出版社 1997 高等代數解題方法 許甫華 張賢科 清華大學出版社 2001 高等代數習題課參考書 張均本 高等教育出版社 1991 線性代數試題選解 魏宗宣 中南工業大學出版社 1986 用MAPLEV學習線性代數 丘維聲（譯）高等教育出版社 施普林格出版社 2001

高等代數教學大綱

數學與應用數學專業《高等代數》教學大綱

一、課程說明：《高等代數》是河北師范大學數學與應用數學專業（數學系）的一門重要的基礎課，其主要任務是使學生獲得數學的基本思想方法和多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間等方面的系統知識。它一方面為后繼課程（如近世代數、數論、離散數學、計算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基礎理論和知識；另一方面還對提高學生的思維能力，開發學生智能、加強“三基”（基礎知識、基本理論、基本理論）及培養學生創造型能力等重要作用。

二、教學目的及要求：通過本課程教學的主要環節（講授與討論，習題課，作業，輔導等），使學生對多項式理論、線性代數的“解析理論”、與“幾何理論”及其思想方法有較深的認識和理解，從而有助于學生正確理解高等代數的基本概念和論證方法及提高分析問題解決問題的能力。

三、教學重點及難點：帶余除法、最大公因式的性質、不可約多項式的定義及性質、重因式、多項式的有理根等；計算行列式的一些方法；線性方程組及其相關理論的理解及應用；矩陣理論的靈活應用；正定二次型的等價條件及二次型的標準形；向量空間一些基本概念的理解及相關理論的靈活應用；線性變換與矩陣的聯系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量及子空間理論；一些基本概念(內積空間、歐氏空間、正交矩陣、酉空間)的理解。

四、與其它課程的關系：本課程為一門基礎課，是學習習近平世代數、數論、離散數學、計算方法、微分方程、泛涵分析等課程的基礎。

五、學時、學分：142學時，8學分

六、教學內容：

第1章 多項式（27學時）本章主要教學內容：１．１ 數域 １．２ 一元多項式 １．３ 整除的概念 １． ４ 最大公因式 １． ５ 因式分解定理 １． ６ 重因式 １． ７ 多項式函數

１． ８ 復系數與實系數多項式的因式分解 １． ９ 有理系數多項式 １． １０ 多元多項式 １．１１ 對稱多項式 本章教學目的及要求：

1．1 掌握數域的定義,并會判斷一個代數系統是否是數域。

1．2 正確理解數域P上一元多項式的定義,多項式相乘,次數,一元多項式環等概念。掌握多項式的運算及運算律。

1．3 正確理解整除的定義,熟練掌握帶余除法及整除的性質。

1．4 正確理解和掌握兩個(或若干個)多項式的最大公因式,互素等概念及性質。能用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式。

1．5 正確理解和掌握不可約多項式的定義及性質。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握標準分解式。

1．6 正確理解和掌握k重因式的定義。

1．7 掌握多項式函數的概念,余數定理,多項式的根及性質。正確理解多項式與多項式函數的關系。1．8 理解代數基本定理。熟練掌握復（實）系數多項式分解定理及標準分解式。

1．9深刻理解有理系數多項式的分解與整系數多項式分解的關系。掌握本原多項式的定義、高斯引理、整系數多項式的有理根的性質、Eisenstein判別法。

1．10 理解多元多項式、對稱多項式的定義，掌握對稱多項式基本定理。

本章教學重點及難點：整除概念、帶余除法及整除的性質、最大公因式、互素、輾轉相除法、不可約多項式概念、性質、因式分解及唯一性定理、k重因式與k重根的關系、復（實）系數多項式分解定理、本原多項式、Eisenstein判別法。第2章 行列式（15學時）本章主要教學內容： ２．１ 引言 ２．２ 排列 ２．３ n級行列式 ２．４ n級行列式的性質 ２．５ 行列式得計算

２．６ 行列是按一行（列）展開 ２．７ 克蘭姆法則 本章教學目的及要求：

2．1理解并掌握排列、逆序、逆序數奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對換的關系。2．2 深刻理解和掌握n級行列式的定義,能用定義計算一些特殊行列式。2．3 熟練掌握行列式的基本性質。

2．4 正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質計算一些簡單行列式。2．5 正確理解元素的余子式、代數余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。掌握“化三角形法”，“遞推降階法”，“數學歸納法”等計算行列式的技巧。2．6 熟練掌握克萊姆(Cramer)法則。

2．7 正確理解和掌握行列式的一個k級子式的余子式等概念、熟練掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法規則。

本章教學重點及難點：n級行列式的定義、行列式的基本性質、矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換、行列式按一行（列）展開的公式、克萊姆(Cramer)法則、拉普拉斯(Laplace)定理。第3章 線性方程組（13學時）本章主要教學內容：３．１ 消元法 ３．２ n維向量組 ３．３ 線性相關性 3． 4 矩陣的秩

２． ５ 線性方程組有解判別定理 ３．６ 線性方程組解的結構 本章教學目的及要求：

3．1 正確理解和掌握一般線性方程組,方程組的解,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質。掌握階梯形方程組的特征及作用。會求線性方程組的一般解。

3．2 理解和掌握n維向量及兩個n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運算。深刻理解n維向量空間的概念。

3．3 正確理解和掌握線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質。掌握兩個向量組等價的定義及等價性質定理。深刻理解向量組的極大無關組、秩的定義，會求向量組的一個極大無關組。3．4 深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩、秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關系。3．5 熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。

3．6 正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎解系,解空間的維數與概念。熟練掌握基礎解系的求法、線性方程組的結構定理。會求一般線性方程組有解的全部解。

本章教學重點及難點：線性方程組的初等變換、求線性方程組的一般解、n維向量、線性組合、線性相關、線性無關、兩個向量組等價、極大無關組、向量組的秩、求向量組的一個極大無關組、矩陣的秩、線性方程組的有解判別定理、線性方程組的公式解、齊次線性方程組的基礎解系、基礎解系的求法、線性方程組的結構定理、求一般線性方程組有解的全部解。第4章 矩陣（15學時）本章主要教學內容：４．１ 矩陣的概念 ４．２ 矩陣的運算

４．３ 矩陣乘積的行列式與秩 ４．４ 矩陣的逆 ４．５ 矩陣得分塊 ４．６ 初等矩陣

４．７ 分塊矩陣的初等變換及應用舉例 本章教學目的及要求：

4．1 了解矩陣概念產生的背景。

4．2 掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置等運算及其計算規律。

4．3 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。

4．4 正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣。

4．5 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質。

4．6 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及其它們之間的關系，熟練掌握一個矩陣的等價標準形和矩陣可逆的充要條件；會用初等變換的方法求一個方陣的逆矩陣。

4．7 理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關系，會求分塊矩陣的逆。本章教學重點及難點：矩陣的運算、矩陣乘積的行列式定理、矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系、可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣、n階方陣可逆的充要條件、用公式法逆矩陣、分塊矩陣的意義及運算、初等矩陣、用初等變換的方法逆矩陣、分塊矩陣的逆。第5章 二次型（12學時）

本章主要教學內容：５．１ 二次型的矩陣表示 ５．２ 標準形 ５．３ 唯一性 ５．４ 正定二次型 本章教學目的及要求：

5．1 正確理解二次形和非退化線性替換的概念；掌握二次型的矩陣表示及二次型與對稱矩陣的一一對應關系；掌握矩陣的合同概念及性質。

5．2 理解二次型的標準形，掌握化二次型為標準型的方法（配方法、初等變換法）。5．3 正確理解復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性；掌握慣性定理。

5．4 正確理解正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念；熟練掌握正定二次型及半正定二次型的等價條件。

本章教學重點及難點：非退化線性替換、二次型的矩陣、二次型與其矩陣的一一對應關系、矩陣的合同、化二次型為標準型、復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性、慣性定理、正定二次型的判別條件、半正定二次型的等價條件。第6章 線性空間（16學時）本章主要教學內容：６．１ 集合 映射 ６．２ 線性空間的定義與簡單性質 ６．３ 維數，基與坐標 ６．４ 基變換與坐標變換 ６．５ 線性子空間 ６．６ 子空間的交與和 ６．７ 子空間的直和 ６．８ 線性空間的同構 本章教學目的及要求：

6．1 掌握映射、單射、滿射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。

6．2 正確理解和掌握線性空間的定義及性質；會判斷一個代數系統是否是線性空間。

6．3 理解線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念；正確理解和掌握n維線性空間及的概念及性質。

6．4 正確理解和掌握基變換與坐標變換的關系。

6．5 正確理解線性子空間的定義及判別定理；掌握向量組生成子空間的定義及等價條件。6．6 掌握子空間的交與和的定義及性質；熟練掌握維數公式。6．7 深刻理解子空間的直和的概念及和為直和的充要條件。

6．8 理解和掌握線性空間同構的定義、性質及兩個有限維空間同構的充要條件。

本章教學重點及難點：線性空間、判斷一個代數系統是否是線性空間、n維線性空間及的概念及性質、基變換與坐標變換的關系、線性子空間的定義及判別定理、向量組生成子空間的定義及等價條件、子空間的交與和、維數公式、子空間的直和、線性空間同構的定義、性質及兩個有限維空間同構的充要條件。第7章 線性變換（23學時）

本章主要教學內容：７．１ 線性變換的定義 ７．２ 線性變換的運算 ７．３ 線性變換的矩陣 ７．４ 特征值與特征向量 ７．５ 對角矩陣

７．６ 線性變換的值域與核 ７．７ 不變子空間 ７．８ 若當標準形介紹 ７．９ 最小多項式

本章教學目的及要求：

7．1 理解和掌握線性變換的定義及性質。

7．2 掌握線性變換的運算及運算規律，理解線性變換的多項式。

7．3 深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯系；掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質。

7．4 理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念和性質；會求一個矩陣的特征值和特征向量；掌握相似矩陣與它們的特征多項式的關系及哈密爾頓-凱萊定理。

7．5 掌握n 維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件。

7．6 掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系。

7．7 掌握不變子空間的定義；會判定一個子空間是否是A-子空間；深刻理解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系；掌握將空間V按特征值分解成不變子空間的直和表達式。7．8 掌握標準型的定義。

7．9 正確理解最小多項式的概念；掌握一個矩陣相似于一個對角陣與它的最小多項式的關系。本章教學重點及難點：線性變換的定義及性質、線性變換的運算、線性變換與矩陣的聯系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量、特征多項式、求矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣與它們的特征多項式的關系、哈密爾頓-凱萊定理、線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件、線性變換的值域、核、秩、零度、線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系、不變子空間的定義、判定一個子空間是否是A-子空間、不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系、將空間V按特征值分解成不變子空間的直和表達式、標準型的定義、最小多項式。第8章 －矩陣（3學時）本章主要教學內容：8.1 矩陣

8.2 矩陣在初等變換下的標準形不變因子 8.3 不變因子 8.4 矩陣相似的條件 8.5 初等因子

本章教學目的及要求：只介紹一些基本概念,一些簡單結論，對定理的證明不作要求。本章教學重點及難點： 矩陣及其標準形、行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關系。第9章 歐幾里得空間（18學時）本章主要教學內容：９．１ 定義與基本概念

９．２ 標準正交基

９．３ 同構

９．４ 正交變換

９．５ 子空間

９．６ 對稱矩陣的標準形

９．７ 向量刀子空間的距離，最小二乘法

９．８ 酉空間介紹 本章教學目的及要求： 9．1 深刻理解歐氏空間的定義及性質；掌握向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質，使學生掌握各種概念之間的聯系和區別。

9．2 正確理解正交向量組、標準正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關的向量化為單位正交的向量。

9．3 深刻理解兩個歐氏空間同構的定義。掌握兩個歐氏空間同構的意義及同構與空間維數之間的關系。9．4 正確理解和掌握正交變換的概念及幾個等價關系，讓學生掌握正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系。

9．5 正確理解和掌握兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關系，及歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質。

9．6 深刻理解并掌握任一個對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實二次型為標準型。

9．7、9．8 簡單介紹，只讓學生了解。

本章教學重點及難點：歐氏空間的定義及性質向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質、正交向量組、標準正交基的概念、施密特正交化、歐氏空間同構的意義及同構與空間維數之間的關系、正交變換的概念及幾個等價關系、正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系、兩個子空間正交的概念、正交與直和的關系、正交陣、用正交變換化實二次型為標準形。

七、教材及參考書

1、教材：《高等代數》北京大學數學系幾何與代數教研室小組 編，高等教育出版社，８８年３月。

2、教學參考書： 《高等代數》，張禾瑞，郝炳新 編，高等教育出版社，84年3月。

《高等代數》，丘維聲 編，高等教育出版社，96年12月。

高等代數考試大綱

數學與應用數學專業《高等代數》考試大綱

一、課程說明：《高等代數》是河北師范大學數學系的一門重要的基礎課，其主要任務是使學生獲得數學的基本思想方法和多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間等方面的系統知識。它一方面為后繼課程（如近世代數、數論、離散數學、計算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基礎理論和知識；另一方面還對提高學生的思維能力，開發學生智能、加強“三基”（基礎知識、基本理論、基本理論）及培養學生創造型能力等重要作用。

二、與其它課程的關系：本課程作為一門基礎課，是學習習近平世代數、數論、離散數學、計算方法、微分方程、泛涵分析等課程的基礎。

三、學時、學分：142學時，8學分

四、考核內容及要求： 第1章 多項式（27學時）本章考核內容： １．１ 數域 １．２一元多項式 １．３ 整除的概念 １． ４最大公因式 １． ５因式分解定理 １． ６重因式 １． ７多項式函數

１． ８復系數與實系數多項式的因式分解 １． ９有理系數多項式 １． １０多元多項式 １．１１對稱多項式

二、本章考核要求：考核要求：

1.1識記：數域定義，一元多項式定義，整除定義，最大公因式定義，互素定義，不可約多項式定義，k重因式定義，本原多項式定義。

1.2理解：數域P上一元多項式的定義、多項式相乘、次數、一元多項式環等概念，整除的定義，兩個(或若干個)多項式的最大公因式,互素等概念及性質，不可約多項式的定義及性質，k重因式的定義，多項式與多項式函數的關系，代數基本定理，有理系數多項式的分解與整系數多項式分解的關系，多元多項式、對稱多項式的定義。

1.3簡單應用：判斷一個代數系統是否是數域，多項式的運算及運算律，用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式，不可約多項式的定義及性質，標準分解式，k重因式，多項式函數的概念、余數定理、多項式的根及性質，對稱多項式基本定理。

1.4綜合應用：帶余除法及整除的性質，因式分解及唯一性定理，復（實）系數多項式分解定理及標準分解式，本原多項式的定義、高斯引理、整系數多項式的有理根的性質、Eisenstein判別法。第2章 行列式（15學時）本章考核內容： ２．１引言 ２．２排列 ２．３n級行列式 ２．４n級行列式的性質 ２．５行列式得計算

２．６行列是按一行（列）展開 ２．７克蘭姆法則 本章考核要求：

2.1識記：排列、逆序、逆序數奇偶排列的定義，n級行列式的定義，矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，元素的余子式、代數余子式等概念。

2.2理解：排列的奇偶性與對換的關系，n級行列式的定義，矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，元素的余子式、代數余子式等概念，行列式的一個k級子式的余子式等概念，行列式的乘法規則。2.3簡單應用：用定義計算一些特殊行列式，利用行列式性質計算一些簡單行列式，行列式按一行（列）展開的公式。掌握“化三角形法”、“遞推降階法”、“數學歸納法”等計算行列式的技巧。2.4綜合應用：克萊姆(Cramer)法則。第3章 線性方程組（13學時）本章考核內容： ３．１消元法 ３．２n維向量組 ３．３線性相關性 3． 4 矩陣的秩

3.５線性方程組有解判別定理 ３．６線性方程組解的結構 本章考核要求：

3.1 識記：n維向量及兩個n維向量相等的定義。

3.2 理解：一般線性方程組,方程組的解,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質，階梯形方程組的特征及作用，線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質，兩個向量組等價的定義及等價性質定理，向量組的極大無關組、秩的定義，矩陣的行秩、列秩、秩的定義。

3.3 簡單應用：線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質，兩個向量組等價的定義及等價性質定理，求向量組的一個極大無關組，求矩陣的秩，求齊次線性方程組的基礎解系。3.4 綜合應用：求一般線性方程組有解的全部解。

第4章 矩陣（15學時）本章考核內容：

４．１矩陣的概念 ４．２矩陣的運算

４．３矩陣乘積的行列式與秩 ４．４矩陣的逆 ４．５矩陣得分塊 ４．６初等矩陣

４．７分塊矩陣的初等變換及應用舉例

本章考核要求：

4.1識記：矩陣的加法、數乘、乘法、轉置等運算及其計算規律，可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念。4.2理解：矩陣乘積的行列式定理，分塊矩陣的意義，分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關系。4.3簡單應用：矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系，n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣，分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質，4.4綜合應用：一個矩陣的等價標準形和矩陣可逆的充要條件，會用初等變換的方法求一個方陣的逆矩陣，求分塊矩陣的逆。

第5章 二次型（12學時）

本章考核內容： ５．１二次型的矩陣表示 ５．２標準形 ５．３唯一性 ５．４正定二次型 本章考核要求：

5.1識記：二次型的矩陣表示,正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念。

5.2理解：二次形和非退化線性替換的概念, 二次型與對稱矩陣的一一對應關系,合同概念及性質, 復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性。

5.3簡單應用：化二次型為標準型的方法（配方法、初等變換法）, 5.4綜合應用：正定二次型及半正定二次型的等價條件。第6章 向量空間（16學時）本章考核內容： ６．１集合 映射 ６．２線性空間的定義與簡單性質 ６．３維數，基與坐標 ６．４基變換與坐標變換 ６．５線性子空間 ６．６子空間的交與和 ６．７子空間的直和 ６．８線性空間的同構 本章考核要求：

6.1識記：映射、單射、滿射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念，線性空間的定義，子空間的定義，6.2理解：線性空間的定義及性質，線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念，基變換與坐標變換的關系，子空間的交與和的定義及性質，子空間的直和的概念，線性空間同構的定義。

6.3簡單應用：判斷一個代數系統是否是線性空間，基變換與坐標變換的關系，向量組生成子空間的定義及等價條件，維數公式。

6.4綜合應用：子空間為直和的充要條件，兩個有限維空間同構的充要條件。第7章 線性變換（23學時）本章考核內容：７．１線性變換的定義 ７．２線性變換的運算 ７．３線性變換的矩陣 ７．４特征值與特征向量 ７．５對角矩陣

７．６線性變換的值域與核 ７．７不變子空間 ７．８若當標準形介紹 ７．９最小多項式

本章考核要求：

7.1識記：線性變換的定義及性質，矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念，線性變換的值域、核、秩、零度等概念，不變子空間的定義，最小多項式的概念。

7.2理解：線性變換與矩陣的聯系，矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質，矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念和性質，不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系，掌握標準型的定義，最小多項式的概念。

7.3簡單應用：求一個矩陣的特征值和特征向量，相似矩陣與它們的特征多項式的關系及哈密爾頓-凱萊定理，n 維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件，線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系，判定一個子空間是否是A-子空間。

7.4綜合應用：不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系，一個矩陣相似于一個對角陣與它的最小多項式的關系。

第8章 －矩陣（3學時）本章考核內容： 8.1 矩陣

8.2 矩陣在初等變換下的標準形不變因子 8.3不變因子 8.4矩陣相似的條件 8.5初等因子 本章考核要求：

2.1識記： 矩陣，行列式因子、不變因子、初等因子。

2.2理解： 矩陣的標準形、行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關系。第9章 歐氏空間（18學時）

本章考核內容： ９．１定義與基本概念

９．２標準正交基

９．３同構

９．４正交變換

９．５子空間

９．６對稱矩陣的標準形

９．７向量刀子空間的距離，最小二乘法

９．８酉空間介紹 本章考核要求： 2.1識記：歐氏空間的定義，兩個歐氏空間同構的定義，向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念，正交變換的概念。

2.2理解：歐氏空間的性質，向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣的基本性質，正交向量組、標準正交基的概念，正交變換的概念及幾個等價關系，正交與直和的關系。

2.3簡單應用：施密特正交化過程，把一組線性無關的向量化為單位正交的向量，兩個歐氏空間同構的意義及同構與空間維數之間的關系，正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系，歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質。

2.4綜合應用：任一個對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，求正交陣的方法，用正交變換化實二次型為標準型。

五、教材及參考書

1、教材：《高等代數》北京大學數學系幾何與代數教研室小組編，高等教育出版社，８８年３月。

2、教學參考書：《高等代數》，張禾瑞，郝炳新 編，高等教育出版社，84年3月。《高等代數》，丘維聲 編，高等教育出版社，96年12月。

第二篇：高等代數課程試卷及參考答案

《高等代數》自測題（2）

一、計算（20分）

3?21?4

?57?46

1?2?13

x?a

ax?a?a

????

aa?x?a

52?3

a?a

1）2）

二、證明：（20分）

1）若向量組?1??n線性無關，則它們的部分向量組也線性無關。2）若向量組?1??n中部分向量線性相關，則向量組?1??n必線性相關

三、（15分）已知A為n階方陣A為A的伴隨陣，則|A|=0，A的秩為1或0。

四、（10分）設A為n階陣，求證，rank（A+I）+rank（A-I）≥n

五、（15分）求基礎解系

?x1?x2?x3?x4?0

?

?x1?x2?x3?3x4?0 ?x?x?2x?3x?0

234?1

~

~

六、（10分）不含零向量的正交向量組是線性無關的七、（10分）設A是n×n正定矩陣，證明A6也是正定的。

第三篇：高等代數與高等數學

高等代數與高等數學的區別

高等代數、數學分析是數學專業中更細的數學研究的分類。高等代數是代數方向的究，而數學分析使用極限方法研究函數特性的數學。而高等數學是對非數學專業的人學習的區別于初等數學的數學，應當包括高等代數和數學分析部分。

高等代數是代數學發展到高級階段的總稱，它包括許多分支。現在大學里開設的高等代數，一般包括兩部分：線性代數初步、多項式代數。高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁復。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的運算對象已經不只是數，而是向量了，其運算性質也有很大的不同了。

其研究對象不僅是數，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算，雖然也叫做加法或乘法，但是關于數的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數學的內容可以概括稱為帶有運算的一些集合，在數學中把這樣的一些集合，叫做代數系統。比較重要的代數系統有群論、環論、域論。群論是研究數學和物理現象的對稱性規律的有力工具。現在群的概念已成為現代數學中最重要的，具有概括性的一個數學的概念，廣泛應用于其他部門。高等數學比初等數學“高等”的數學。廣義地說，初等數學之外的數學都是高等數學，也有將中學較深入的代數、幾何以及簡單的集合論邏輯稱為中等數學，作為小學初中的初等數學與本科階段的高等數學的過渡。通常認為，高等數學是將簡單的微積分學，概率論與數理統計，以及深入的代數學，幾何學，以及他們之間交叉所形成的一門基礎學科，主要包括微積分學，其他方面各類課本略有差異。

第四篇：復旦大學2000年高等代數

復旦大學高等數2000

1． 求方陣

?10?1????11?1?

?110???的逆陣。

2． 設A為一個n階方陣且A的秩等于A的秩。證明A的秩等于A的秩。

3． 設A為一個n階正交陣，x1,x2,?,xn?1為一組線性無關的列向量，對于1?i?n?1都

有Axi?xi。如果A的行列式等于1，證明A是單位矩陣。

4． 設n是一個自然數，V是由所有n?n實矩陣構成的n2維實向量空間，U和W分別為

由所有n?n對稱矩陣和反對稱矩陣構成的空間。證明V?U?W，既V是U和W的直和。

5． 設K為一個數域，K[x]為K上以x作為不定元的多項式全體所組成的集合。設23

?f(x)g(x)?其中f(x),g(x),h(x),q(x)?K[x]。假定f(x)q(x)?g(x)h(x)是A???h(x)q(x)??，??

K中的一個不等于零的數。證明A可以表示成有限多個以下類型的矩陣的乘積：?10??1s(x)??a0???r(x)1??,??01??,??0b??,其中a,b是K中的非零數，而r(x),s(x)?K[x].??????

第五篇：教學大綱-廈門大學高等代數

教學大綱

一． 課程的教學目的和要求

通過這門課的學習，使學生掌握高等代數的基本知識，基本方法，基本思路，為進一步學習專業課打下良好的基礎，適當地了解代數的一些歷史，一些背景。

要突出傳授數學思想和數學方法，讓學生盡早地更多地掌握數學的思想和方法。突出高等代數中等價分類的思想，分解結構的思想，同構對應的思想，揭示課程內部的本質的有機聯系。

二．課程的主要內容：

代數學是研究代數對象的結構理論與表示方法的一門學科。代數對象是在一個集合上定義若干運算，且滿足若干公理所構成的代數系統，線性空間則是數學類專業本科生所接觸和學習的第一個代數對象。本課程力求突出代數學的思想和方法。

《高等代數》分為兩個部分主要內容。一部分是基本工具性質的，包括多項式，行列式，矩陣初步，二次型。既然是工具性質的，因而除了多項式內容外，也是數學專業以外的理科、工科、經管類《線性代數》的內容，以初等變換為靈魂的矩陣理論是這部分內容的核心。另外一部分是研究線性空間的結構，這是研究代數結構的起點和模型，也是《高等代數》有別于《線性代數》之所在。《高等代數》從三個角度進行研究。從元素的角度看，研究向量間的線性表示，線性相關性，基向量；從子集角度看，研究子空間的運算和直和分解；從線性空間之間的關系來研究線性空間結構，就是線性映射，線性變換，線性映射的像與核，Jordan標準形對應的空間分解。而歐氏空間則是具體的研究空間的例子。在研究線性空間中，始終貫穿著幾何直觀和矩陣方法的有機結合，矩陣的相似標準形和對應的線性空間分解則是這種有機結合的生動體現和提升，因而是本課程的精華內容。

本課程力求突出幾何直觀和矩陣方法的對應和互動。我們強調矩陣理論，把握簡潔和直觀的代數方法，同時重視線性空間和線性映射（變換）的主導地位和分量，從幾何觀點理解和把握課程內容。

三．課程教材和參考書：

教材：林亞南編著，高等代數，高等教育出版社，第一版

參考書：1.姚慕生編著，高等代數（指導叢書），復旦大學出版社，第二版 2.北京大學數學系編，高等代數，高等教育出版社，北京（1987）3.張禾瑞、郝炳新，高等代數，高等教育出版社，北京（1999）4.樊惲、鄭延履、劉合國，線性代數學習指導，科學出版社，北京（2003）5.林亞南編：高等代數方法選講，2002年，見廈門大學精品課程“高等代數”網站 四．課程內容及學時分配

本課程開課時間：一學年（共兩學期），共170學時，其中課堂講授122學時,習題討論課42學時，考試6學時。具體安排為：第一學期，80學時，其中課堂講授60學時，習題討論課18學時，半期考2學時；第二學期，90學時，其中課堂講授62學時，習題討論課24學時，單元考4學時；以上不包括期末考。課堂講授有全程教學錄像，習題討論課不錄像。

第一章 矩陣（28學時）

1、教學內容：矩陣定義與運算，分塊矩陣，行列式的定義，行列式的性質，行列式的基本計算方法，Laplace定理，可逆矩陣，矩陣的初等變換與初等矩陣，矩陣的相抵標準形，矩陣的秩。

2、教學目的和要求：使學生正確掌握矩陣的運算和運算法則，熟練掌握矩陣的初等變換這一矩陣論的核心內容和方法，掌握分塊矩陣的運算，掌握矩陣的逆、矩陣的秩，掌握矩陣相抵的等價分類，化標準形的思想方法，理解行列式的歸納法定義，熟練掌握行列式的性質，熟練掌握計算行列式基本方法，了解和應用Laplace定理，了解行列式的等價定義。

3、各節教學時間分配及進度安排:§1數域（1學時）；§2 矩陣和運算（3學時）；§3分塊矩陣（2學時）；§4 行列式（6學時）；§5 行列式的展開式和Laplace定理（2學時）；§6可逆矩陣（2學時）；§7 初等變換和初等矩陣（4學時）；§8矩陣的秩（2學時）；習題討論課（6學時）。

第二章 線性方程組（14學時）

1、教學內容：數域，列向量的線性關系，向量組的秩，線性方程組解的結構。

2、教學目的和要求：使學生正確理解數域的概念，正確判斷和證明列向量的線性關系，掌握證明向量組的秩的命題的方法，熟練掌握線性方程組的解的判斷、計算和解的結構。

3、各節教學時間分配及進度安排:§1消元法（2學時）；§2 n維列向量（3學時）；§3向量組的秩（4學時）；§4 線性方程組解的結構（2學時）；習題討論課（3學時）。

第三章 線性空間（14學時）

1、教學內容：線性空間的定義，線性相關性：線性相關和線性無關，線性表示，線性等價的向量組，極大線性無關組，基與維數，基的變換與過渡矩陣，線性空間的同構，子空間的定義與判斷，子空間分解，關于子空間的交空間和和空間的維數公式。

2、教學目的及要求：使學生正確理解線性空間的定義，從定義出發正確判斷和證明向量組的線性關系，把握一批重要實例的基與維數，掌握計算矩陣的秩的初等變換方法和子式方法，培養學生嚴謹的邏輯推理能力和準確簡明的表達能力，熟悉同構的思想，等價分類的思想，直和分解的思想。

3、各節教學時間分配進度安排：§1線性空間（2學時）；§2基和維數（2學時）；§3坐標（2學時）；§4 子空間（2學時）；§5 直和分解（2學時）；習題討論課（4學時）。

第四章 線性映射（22學時）

1、教學內容：線性映射和線性變換，兩個線性空間的線性映射（變換）的全體構成集合的代數結構，線性映射與矩陣的同構對應，線性映射的核與像 以及維數公式，線性變換的不變子空間和導出變換。

2、教學目的及要求：使學生準確理解和掌握線性映射（變換）的概念，理解線性映射由基的像唯一確定及其應用；掌握兩個線性空間之間的線性映射（變換）的全體在定義了加法、數乘（和乘法）運算后構成線性空間（代數）；熟練掌握用核空間與像空間刻畫單滿線性映射，熟練掌握維數公式；學會在同構意義下線性映射的命題與矩陣的命題之間的轉化；學會以上內容在具體例子的實現和計算。

3、各節教學時間分配進度安排：§1映射（2學時）；§2 線性映射和運算（4學時）；§3 同構（3學時）；§4像與核（3學時）；§5 線性變換（3學時）；§6 不變子空間（2學時）；習題討論（5學時）。

第五章 多項式（24學時）

1、教學內容：一元多項式的概念，多項式的運算，整除的概念與性質，帶余除法，最大公因式的唯一性、存在性，Euclidean輾轉相除法，互素的性質及判定；中國剩余定理；不可約多項式及其性質，標準分解式，重因式的判定與求法；多項式函數的根，余數定理，根的個數；代數基本定理，復數域上多項式的分解，Vieta定理；實系數多項式的不可約多項式，實系數多項式的分解；有理系數多項式的根，本原多項式，Gauss引理，Eisenstein判別法；多元多項式的基本概念，多元多項式中單項式的排列次序，關于乘積首項和次數；對稱多項式，初等對稱多項式，對稱多項式的基本定理。

2、教學目的及要求：使學生掌握多項式全體作為線性空間的代數結構的運算法則；熟練掌握和應用帶余除法定理；熟練掌握最大公因式和互素的判別方法和基本性質；熟練掌握和應用因式分解定理，掌握不可約多項式的基本性質，了解重因式與重根的聯系，掌握復系數與實系數的標準分解式，掌握有理系數多項式的Gauss引理，Eisenstein判別法；了解多元多項式與了解多元多項式函數的關系，理解和掌握對稱多項式的基本定理和Newton公式。

3、各節教學時間分配及進度安排：§1一元多項式和運算（1.5學時）；§2 整除（2學時）；§3 最大公因式（2.5學時）；§4 標準分解式（2學時）；§5 多項式函數（2學時）；§6復系數和實系數多項式（1.5學時）；§8 有理系數和整系數多項式（2.5學時）；§9 多元多項式（1.5學時）；§10 對稱多項式（2.5學時）；習題討論課（6學時）。第一單元考試（2學時）。

第六章 特征值（16學時）

1、教學內容：特征值和特征向量，特征多項式及其性質，特征值、特征向量的求法；復方陣相似于上三角陣及其應用；矩陣可對角化的判定和計算，特征子空間，特征值的代數重數、幾何重數，完全特征向量系；零化多項式和極小多項式，Cayley-Hamilton定理。

2、教學目的及要求：使學生掌握特征值、特征向量、特征多項式、特征子空間、極小多項式的定義和基本性質；清楚零化多項式和極小多項式的關系，掌握Cayley-Hamilton定理；熟練掌握計算特征值與特征向量，可對角化的判定和計算。

3、各節教學時間分配及進度安排：線性空間線性映射知識回顧（4學時）；§1 特征值和特征向量（3學時）；§2 可對角化（2.5學時）；§3 極小多項式（2.5學時）；習題討論課（4學時）。

第七章 相似標準形（22學時）

1、教學內容：多項式矩陣和矩陣多項式，λ-矩陣的相抵，初等λ-矩陣；λ-矩陣的法式；矩陣的行列式因子，不變因子，初等因子；不變因子和Frobenius型；初等因子和Jondan小塊，矩陣相似的全系不變量；Jordan標準形：Jordan 標 準形對應的不變子空間分解；根子空間，循環子空間。

2、教學目的及要求：使學生了解多項式矩陣與矩陣多項式的關系，λ－矩陣的相抵與矩陣相似的關系．掌握行列式因子、不變因子、初等因子的概念與計算，掌握不變因子與Frobenius型的對應，初等因子組與Jordan標準形的對應，Jordan 標準形對應的不變子空間分解。

3、各節教學時間分配及進度安排： §1 λ-矩陣的法式（2學時）；§2 特征矩陣（1.5學時）；§3 不變因子和Frobenius標準形（2.5學時）；§4 初等因子組和廣義Jordan標準形（2學時）；§5 Jordan標準形（2學時）；§6 Jordan 標準形的進一步討論（6學時）；習題討論課（6學時）。第二單元考試（2學時）。

第八章 歐氏空間(14學時)

1、教學內容：內積和內積空間的概念，向量的長度，夾角，平行和正交，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式；單位向量，正交基，標準正交基，標準正交基的過度矩陣，Schmidt正交化，正交補空間，度量矩陣，Bessel不等式；正交變換與正交陣的判別及性質；正交相似，對稱變換的性質，實對稱矩陣正交相似的全系不變量，實對稱矩陣的正交相似標準形。

2、教學目的及要求：使學生掌握歐氏空間的度量概念與度量性質，掌握正交相似關系，掌握正交變換和正交矩陣的對應，對稱變換與對稱矩陣的對應，從矩陣的正交相似關系進一步熟練掌握等價分類的思想。

3、各節教學時間分配進度安排：§1內積和歐氏空間（1學時）；§2標準正交基（4.5學時）；§3 對稱變換和對稱矩陣（0.5學時）；§4 正交變換和正交矩陣（4學時）；習題討論課（4課時）。

第九章 二次型（10學時）

1、教學內容：二次型與對稱矩陣的對應，二次型的非退化線性替換與對稱陣的合同關系；二次型化簡的配方法和初等變換法；復二次型的規范標準形，慣性定理，正慣性指數，負慣性指數，符號差，實二次形的規范標準形；正定型與正定矩陣；半正定型與半正定陣、負定型與負定陣。

2、教學目的及要求：使學生掌握用非退化線性替換，化二次型為標準形和規范形，掌握判斷二次型的正定性的方法，從對稱矩陣的合同關系理解等價分類的思想。

3、各節教學時間分配進度安排：§1二次型與矩陣的合同（2學時）；§2規范形（1.5學時）；§3正定二次型（2.5學時）；習題討論課（4學時）。