第一篇：俄羅斯教材《代數引論》的啟迪

俄羅斯教材《代數學引論》的啟迪（初稿）

莊 瓦 金

（漳州師范學院，福建，363000）

二十年前，北京大學三位教授根據1982年斯普林格出版社的英文版翻譯了莫斯科大學A.И.柯斯特利金院士的《代數學引論》[1，2]，使得國內同行們對俄羅斯高水平的代數教材有所認識。但鑒于中國國情，至今還沒看到該書對中國大學本科代數教學有實質的影響。而今，在中國數學會、中國工業與應用數學學會、國家自然科學基金委員會的關注下，數學天元基金資助、高等教育出版社出版了慶祝莫斯科大學成立250周年而推出的一批優秀數學教材的中譯本，其中有A.И.柯斯特利金的《代數學引論》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下簡稱《引論》）。筆者看后，很受啟發，現根據這幾年來對高等代數研究的基礎[17~23]，對《引論》作些思索，為提升中國大學本科代數教學水平奉獻余力。

一

《引論》的特色

稍讀[3~5]，筆者認為，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。1 繼承性

[1]的英文版譯者指出：A.И.柯斯特利金“發展了莫斯科大學的代數課”，這從《引論》著者經歷就可以看出。A.И.柯斯特利金1959年獲莫斯科大學數理科學博士學位，1972年任莫斯科大學高等代數教研室主任，1976年升為教授，同年當選為蘇聯科學院通訊院士，1977－1980任莫斯科大學數學系主任，1991年起為莫斯科大學學術委員會成員，他的《引論》理所當然地繼承了А.Г.庫洛什等老一輩代數學家的代數教材，這還從[3~5]的補充文獻也得到進一步證實。

在注意《引論》繼承自己前輩工作之時，我們注意到《引論》三卷本與N.Jacobson的《抽象代數學》三卷本[6]在分卷上的相似性，這也多少說明[3~5]繼承了國際上代數教材的遺產，使得這三卷本能夠更好地貫串一條主線。因此，《引論》的繼承性不僅是莫斯科大學的，而且也包涵了全世界各著名大學的。

值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2004年出版，第三卷2001年出版，估計第一卷也是2001年出版，也就是說：這三卷本是在著者去世之后出版的。記得Φ.Ρ.甘特馬赫爾的《矩陣論》俄文第二版也是在著者去世后出版的?？磥恚@里說的繼承性是莫斯科學派集體繼承性，這是多么偉大的繼承性，它體現了俄羅斯數學家的優良品格。整體性

《引論》的特色不僅在于教材的系統性，更在于教材的整體性。首先是代數科學的整體性，中國的高等代數與抽象代數兩門課程，在[3~5]中則整合為一，使整個代數教材的水平提高了一個層次，讓學生盡早接觸抽象代數思想，推進了學生對代數結構的理解。這顯然對于學生的整個數學學習大有好處。其次是數學課程的整體性，《引論》第一卷的前言一開頭就寫到：“人們很早就感到有必要把代數、線性代數和幾何放到一個統一的教程中。而教科書《代數學引論》自出版后的22年來可以看作是這種統一處理的初步考試。”因此，《引論》突出了代數與幾何的統一；同時也注意了與分析的聯系，特別是注意到了線性代數的兩大后繼課程：計算數學與泛函分析，這不僅在教材中有交代，而且在基本術語上相一致，如“線性變換”稱為“線性算子”。再次是數學語言的整體性，在[1]中，著者就注

意了范疇論，在[4]中注意了范疇中的“態射”，這或許影響了丘維聲在[7]中前言的用詞。權威性

《引論》的第一版譯成英文，所加的譯者序就顯示其權威性，譯者稱A.И.柯斯特處金是“一位有獻身精神且有成就的”，從[3~5]的著者簡介：“主要從事李代數、有限群、非結合代數、上同調群、群和代數的組合理論、表示論、整數格的研究。1968年獲蘇聯國家獎?！笨梢?，柯斯特利金幾乎涉及整個代數深刻領域的研究，從而保證了他作為莫斯科大學代數學科帶頭人的權威性，也保證了《引論》的權威性。這種權威除了著者的實力外，還有著者長達三十年的實踐，還有著者繼承莫斯科大學250年的傳統。因此，這種權威是世界的，因而《引論》已譯成英文、保加利亞文、西班牙文、波蘭文、法文、中文。作為大學本科教材，沒有這種權威性，是不可能有如此多種譯本的。先進性

《引論》第一卷的前言中，對第三卷有個說明：這里的代數屬初等水平，但充分包含了當代每個數學家所需的代數系統。因此可以猜想：《引論》是以培養數學家為目標的。這在以后的各卷中都有明確的表露。在第一卷的第一章“代數的起源”中，在對高斯消元法作注時，提及了1969年的施特拉辛的研究，為第二卷的待解問題：施特拉辛問題作了伏筆。第一章§7的例1是費馬猜想，點出了費馬數的最新成果F1945；例2是歐拉研究的一個多項式：形如n2?n+41

?n?的數；§7的最后的例子是“給定圓周上任意n個點，確定由??2??條弦劃分的圓內的區域

???n??n?數Rn=1+?《引論》在闡述代數起源時就把人們帶?2??+??4??，則留給讀者完成。由此可見，????進了解決數學難題的王國，為貫徹培養數學家的宗旨打下基礎。

再看《引論》各卷之末，第一卷是“關于多項式的公開問題”，第二卷是“有待解決的問題”，第三卷是“未解決的問題”，都充分體現了《引論》培養數學家的宗旨。當然，《引論》沒有直接這么說，但在序言中明確寫到：“教科書應當成為創造性思維的推動力”。著者就是圍繞某些基本問題刻意安排大量習題，并與這些猜想相串通，以培養學生的創造性思維，為未來的數學家增進數學素質的。再加上教材內容之深刻，將之綜合，充分地體現了《引論》的先進性，與歐美教材相比較，這種先進性也是世界的。

二

中國的矛盾

為了從《引論》中吸收營養，這里不得不面對我們之現實。1 文革沖擊

中國的大學本科代數課程，文化大革命以前主要是高等代數，近世代數在一般高校僅選修張禾瑞著的《近世代數基礎》；五十年代高代講的是A.?.庫洛什《高等代數教程》的內容；

五、六十年代之交以來，由于蘇聯第一顆人造地球衛星上天的影響[8，9]，吉林大學、北京大學、復旦大學、南京大學、武漢大學、北京師大都編著出版了高代教材，中國的高等代數教材基本上與國際接軌，尤其是王湘浩、謝邦杰兩先生的《高等代數》，應該說已達到較高水平，特別是1964年的修訂本[10]，與A.И.柯斯特利金的三卷本的前兩卷，存在著一定相似性。[10]有闡述群、環、域概念的第七章，因而接下闡述了域上向量空間及其

線性變換的一般理論。為了使書中前面闡述的矩陣、多項式內容對于域上情形也適用，[10]還在第七章§4介紹域的特征之后用兩頁的篇幅回顧了“關于矩陣、行列式、線性方程組以及多項式的一般理論”，這與[3]第四章§3.6的“關于線性方程組的注記”是多么的吻合。我們設想，中國的《高等代數》教材如果能在20世紀六十年代[10]的基礎上鞏固、發展，或許其水平也可劑身于世界之列。但是，1966年的文化大革命，高等學校受到嚴重沖擊，抽象的數學更是受到了嚴重沖擊，《高等代數》幾乎處于消失狀態。不僅如此，文革還制造了數學家之間的隔核，大大削弱了集體攻關的力量。1977年恢復高考以來，《高等代數》才從死亡中復活，元氣至今難以復原。市場沖擊

“學好數理化，走遍天下都不怕”，這是文化大革命以前人們的口頭語，可時下，在市場經濟的沖擊下，已消失得無影無蹤，每年大學招生，不僅高考狀元無一人學習數業專業，而且連數學奧賽的優勝者也基本不念數學專業，新生質量較文革前大為下降，而且女生人數的比例在逐年增加。市場經濟的沖擊還遠不止于此。如教材、教學參考書，我們統計了1977以來出版的46種帶上高等代數帽子的各種圖書，習題解答類競多達一半，而教科書性質者，大多類同，較高水平又方便學生學習的是很少很少。因此，學生基本上停滯在單一的教材上苦學，難以提高自身的學習能力。更不少學生成了習題解答的奴隸，這樣一門著力培養學生創造思維能力的課程競有不少學生在背習題解答、應付考試，年復一年的這樣高師數學畢業生到中學任教，請大家想想，這對于中國后代的數學教育有多么大的危害？！

有個名牌大學教授，在國內著名出版社出了一套高代教材，還被評為國家級名師。后來由于年齡原因，他不上高代課了，這套教材在該校也不用了，其他學校充其量是作作教學參考書，于是，他在另一個出版社出的學習指導書，上冊已出版多年，可下冊市面上還沒看到，看來這位教授感到，這么好的教材人家都不用了，學習指導書還有什么出版的價值！市場的沖擊還穩函著人為的因素。一個小學老師去教經商，開了一家學生書店，專營中小學教參，可現在掛上××出版社華南片主管，工資、福利、醫保比我們在座的每個教授還優，可他還有書店的收入！中國式的市場經濟已嚴重沖擊大學教學，抽象的高等代數又如何是好？ 體制之疑

上面例子已涉及大學體制。熊丙奇先生在《教育熊視》[11]中有個標題：“大學最深刻的危機：體制化”，“官”太讓人無可奈何?。河袀€代數教授，他的老師好不容易爭取到一個出國名額，使他有機會跟一位國際代數名家讀碩、讀博、做博士后，回國后不久就評上教授，學校對他也十分關照，但中國的氣候畢竟與歐美有異，他深知，要在國內為先，在國內一級刊物發文是自然之事，可他投這些一級刊的文章老是被退回，因此就查起審稿人的為人來了，但得到的答復是中國代數老前輩們為人極佳。于是，隨著時間的流失，他想當 “院士”的雄心消失了，因而尋找機會，利用民主黨派參政人才之缺，離開學校去當個副廳長，這種還算真才實學者的當官之路，鉆體制的漏洞，一步步走上大學領導，利用手中的權力打扮自己，為數也不少，且黨內居多，而且反轉過來，欺壓你這些教授，你們又怎么樣？！這種現狀怎不引起人們的關注！

中國實施經濟改革，可教育不然。教育是在教育部的主導下進行的改革，體制問題左右一切，例如教材，鼓勵老師積極性，可本科評估，教材認定的是姓“高”，像北大代數

小組的《高等代數》，編著者都不好意思，第三版時加了“王萼芳、石生明修訂”，可人們只認是高等教育出版社出版，不管北京大學的現實情況如何，不少學校仍然把它認定為首選教材，考研用書！在這樣的體制下，丘維聲退位，藍以中日子也有擔憂。前幾天，藍先生通過北大出版社理學部主任給我寄來了他的新著《高等代數學習指南》[12]，這是一本編著目的正確、闡述簡潔、方便學習閱讀并達到一定深廣度的學習指導書，加上國家首批精品課程、北京大學的牌子，可在當今體制下，對市場、消路還是有擔心。環境混沌

上述表明，在當今體制下，環境受污染，已處于混沌。這類混沌的深廣度如何？我們不仿來看看教育部抓的質量工程吧！此下，四年一次的“教學成果獎”評選，每年評定的“教學名師”、“精品課程”、“教學團隊”，花樣不少，名堂也應有盡有！我還當省政協委員時，針對其中的“名堂”曾寫了個提案，教育廳可熱情啊，連處長都來電話，以示重視。其中，關鍵的建議是各種評優應有“答辯”環節，廳里也同意了，可至今未見實施。原因何在？五顏六色，色彩交混。就說“教學成果獎”，既無發表正式論文，又無實際成果推廣應用，單憑幾個人七措八拼，整理出一篇“綜述”，竟然可以評上省教學成果一等獎。最近試行“成果鑒定”，用一個鑒定專家的話說：問題不少(指所謂成果)，可在紙上這些都不會寫，因而結論是很漂亮的。有了教學成果一等獎，隨之帶來的好處有“教學名師”、所“主持”的課程是省精品課程(從來不上這門課)。而且還上了政府特殊津貼，有一個獲獎者，政府特殊津貼十幾年前就報，可以說是紛了十幾年，是評上了教學成果一等獎(其實他搞的是倒退教學)后才拿到津貼。如果能把所有獲省教學成果獎的申報書及附件都在網上公開供人們瀏覽評議，我看有意思的東西一定不少！

至于“教學名師”，不上課、少上課的領導更容易上，只要他想評。而“精品課程”，網評為主，學校的網頁慢點，你再好也沒用；且單看網頁，只要有錢、有權，我可以抄襲，可以找人做得漂漂亮亮的，還拍上不了？！因此，網評的材料必須是獨立自主的，否則是在鼓勵抄襲，其害無窮！

環境混沌，說到底是體制問題，教師在學校的地位。有個學校本科質量評審剛過不日，請來了一位名校校長報告，參加者是全校行政人員和副教授以上老師，人們不盡要問題：我們廣大的青年教師(其中大多至少是碩士畢業生)，還不如臨時工性質的行政人員嗎？！政治上的歧視，還何以調動廣大教師的教學積極性？高校是政客們主持的，危險！

三

《引論》的啟示

在困難面前，中國人是有骨氣的。陳省身先生生前曾倡導中國數學科學在21世紀率先趕上世界先進水平，為此，大學本科數學主干基礎課教學任重而道遠。下面結合《引論》的啟示，說四點想法。解放思想 提升水平

可能有人會說，高代難學，還要什么解放思想，提升水平？現在應該是實事求是！不錯，實事求是本身就是解放思想。前面已說到王湘浩、謝邦杰兩先生1964年的修訂本[10]，這就是實事求是，水平比現在高。再看許以超先生文革前在北京大學、中國科技大學授課基礎上的《代數學引論》[13]，其背景類似于A.И.柯斯特利金的[3~5]，但許先生的書只實踐5年，而柯斯特利金的書至少實踐22年，如果從他當教研室主任算起有30年(請注意，從他博士畢業到任教研室主任中間又有13年)。因此，只要不發生文化大革命，許先生的[13]將更為人愛，未必在[3~5]之下。萬哲先院士的新著值得國人關注[14]。從[14]的序言可

以看出，萬先生的工作條件是一般的，特別是教學實踐條件是缺乏的，如果有幾所名牌大學能向萬先生提供實踐合作條件，[14]在獨具特色的同時必將有更佳的深廣度。[10，13，14]表明，中國有非常好代數名家與教材，關鍵是我們的體制如何去創造條件，讓其順利發展，提升水平。因此，解放思想十分必要，特別是解放廣大教授的思想，讓他們在教學第一線有真正發言權，有教育創新的和諧環境(包括教授離退休的年齡限制)。

中國地方大、發展不平衡。因此，解放思想，應該是國家一流大學先行，向《引論》學習把培養目標鎖定為培養高水平數學家，探索《引論》的內容、處理方法有哪些適合中國國情，編著有別于大眾化的較高水平的高代教材(北大[15]、清華[16]似乎已有所行動)。此外，一流大學的主干基礎課應有院士級的帶頭人，其培養在自然狀態下也是一件難事；一流大學的碩士研究生招生命題也應跟上，考出技巧、考出難度、考出特色。

至于一般大學的本科數學教學，大部分學生畢業后將要到中學任教，當然無法跟一流大學走。但也應該解放思想，在面向全體學生的同時注意提升自己的水平，注意有逐年增加的考上碩士研究生的學生，而高代教材，吸納[10]，酌情吸納[3~5]，適用的優秀教材，也應該擺上教改規劃，爭取早日面市。整體謀劃 協力實踐

美國有個《美國國家線性代數課程研究小組》，隸屬于國際線性代數學會。中國數學會下面有教育工作委員會，是否也應承擔高校數學主干基礎課改革的指導、組織工作？！教育部還有教材評審組這樣的構建，這是否能與數學會合力起來？因此，我建議構建全國性的高等代數教學研討會，在此會議形式下形成組織領導學術班子(這當然是民間性質的)。這樣，除了會上有高水平的研究報告、研究成果外，各個高校，首先是名牌大學有自己或合作的教材改革計劃與實踐成果；一般高校在全國大形勢下也有結合自己實際的計劃與實踐。

因此，體制也應相應跟上。高校質量工程有不少錢，教育部、各省應當增設優秀教材、教學參考書出版基金，高等教育出版社應劃出一些書號，用于高校主干基礎課的專列出版，如“精品課程教材系列”。突出主線 加寬認知

前面說的兩點是宏觀上的認識，下面說兩點具體的認知。主線問題在[15，18]中已有闡述，說了就是當然不是科學的態度，還得有爭論。最近一本“降低知識起點，加大教材使用彈性”的厚書[24]認為“矩陣??是線性代數的一條主線”。如果是工科高代，我看是可以商量的，但作為理科數學各專業的高等代數，鑒于學生在本科學習中必須認知20世紀抽象代數的概念、結構和方法，高代中應重視代數運算、代數結構的教學，以向量空間及其線性算子作為線性代數教學主線應該是順理成章之事，至于各章教材的編排當然可以有異，提倡百家共存。

講授要突出重點、重視難點分析，但認知量不宜減，酌情加寬基礎理論的知識面，如相抵標準形的應用，矩陣廣義逆例講、多項式根的分布，商空間，對偶空間，共軛變換，正交空間，辛空間，張量的概念。當然還可點講一些，讓學生多知道些背景與知識，特別是向優生介紹高水平的教材、教學參考書以及后繼課程的教材、專著，乃至國外名著，我在大學年代就看了不少國外代數名著，其基礎就得益于這些名著。夯實基礎，提高優生

一門主干基礎課的教學，面上的控制很重要，但是極其不容易，高代教了三十余年，自己感到這個控制真正做得好的才是過去的一年。這個控制有兩點，一是夯實全體學生的基礎，讓學生興趣學習高代，看學生考試成績如何？我上學年教兩個教學班，有差異，但總的優生數較多，沒有一定數量的優生數，夯實基礎是一句空話。補考學生數也是夯實基礎的重要指標，上學年兩個教學班第一學期共二人補考，第二學期只一人補考，為歷史上最少，試卷已掛在網上，大家可以查查看。要做到此，平時教學要抓實，比如計算，反復向學生強調作業要獨立完成，計算須自己一步一步去演算，否則考試是無處可抄的(不會出數據在書上的試題)。抓實教學，要了解差生，引導差生在平時學習中轉變。二是提高優生的質量和數量，我院數學專業學生報考外校碩士研究生，高代成績一般都考得較滿意，有些學生就是靠高代高分才上總分線的，這也說明我院的高代教學是保證質量的。但也有人說：報漳州師院數學，高代成績過關的不多，說明高代教學有問題，我看恰恰說明我們是重視質量，沒有問題。

綜上所述，《引論》給我們的啟迪是質量、水平，作為一門主干基礎課，要高質量、上水平，就必須有更多人的長期合作與努力。上述的發言或許是不合時宜的，請大家指正。

參

考

文

獻

[1]A.И.柯斯特利金．代數學引論(上冊)[M]．北京：高等教育出版社，1988． [2]A.И.柯斯特利金．代數學引論(下冊)[M]．北京：高等教育出版社，1988．

[3]A.И.柯斯特利金．代數學引論(第一卷)，基礎代數[M]．北京：高等教育出版社，2006． [4]A.И.柯斯特利金．代數學引論(第二卷)，線性代數[M]．北京：高等教育出版社，2008． [5]A.И.柯斯特利金．代數學引論(第三卷)，基本結構[M]．北京：高等教育出版社，2008．

[6]N.賈柯勃遜．抽象代數學，卷1，基本概念[M]，北京：科學出版社，1960；卷2，線性代數[M]，北京：科學出版社，1960；卷3，域論及伽羅瓦理論[M]，北京：科學出版社，1987． [7]丘維聲．高等代數學習指導書(上冊)[M]，北京：清華大學出版社，2005． [8]N.賈柯勃遜?；A代數(第一卷第一分冊)[M]．北京：高等教育出版社，1987．

[9]美國國家研究委員會．人人關心數學教育的未來[M]．北京：世界圖書出版公司，1993． [10]王湘浩、謝邦杰．高等代數(1964年修訂本)[M]，北京：人民教育出版社，1964． [11]熊丙奇．教育熊視——中國教育民間觀察[M]．上海：東方出版中心，2008． [12]藍以中．高等代數學習指南[M]．北京：北京大學出版社，2008． [13]許以超．代數學引論[M]．上海：上?？茖W技術出版社，1966． [14]萬哲先．代數導引[M]．北京：科學出版社，2004．

[15]藍以中．高等代數簡明教程(上冊，下冊)(第二版)[M]．北京：北京大學出版社，2007． [16]張賢科，許甫華．高等代數學(第二版)[M]．北京：清華大學出版社，2004．

[17]莊瓦金．跨世紀高等代數教材改革的思考與實踐[J]．數學教育學報，10(2)(2001)，80－83． [18]莊瓦金．三十年來中國《高等代數》教材(教學)之管見[J]．數學教育學報(將發表)．

[19]莊瓦金．重視教書育人

加強學法指導—高師《高等代數》素質教育的認識與實踐之一[J]．福建高教研究，1997.4，46－48．

[20]莊瓦金．面向全體學生

優化課程教學—高師《高等代數》素質教育的認識與實踐之二[J]．福建高教研究，1997.5，68－70．

[21]莊瓦金．突出主體地位

實踐教育創新—高師《高等代數》素質教育的認識與實踐之三[J]．漳州師院學報(自然科學版)，16(3)(2003)，88—92．

[22]莊瓦金．明確價值，潛心攻難—關于《高等代數》整體數學的研究[J]．漳州師院學報(自)(將發表)．

[23]莊瓦金．突出代數體性，加強內在聯系—從相似標準形談起[J](將發表)． [24]邱

森．高等代數[M]．武漢：武漢大學出版社，2008．

第二篇：高等代數使用教材及輔導材料

高等代數使用教材及輔導材料

課程：高等代數

高等代數 北京大學數學系幾何與代數教研室 高等教育出版社 1978 高等代數 丘維聲 高等教育出版社 1996 高等代數 張禾瑞 郝炳新 高等教育出版社 1983 高等代數習題課教材 錢芳華 黎有高 卜淑云 鄧培民 廣西師范大學出版社 1997 高等代數解題方法 許甫華 張賢科 清華大學出版社 2001 高等代數習題課參考書 張均本 高等教育出版社 1991 線性代數試題選解 魏宗宣 中南工業大學出版社 1986 用MAPLEV學習線性代數 丘維聲（譯）高等教育出版社 施普林格出版社 2001

高等代數教學大綱

數學與應用數學專業《高等代數》教學大綱

一、課程說明：《高等代數》是河北師范大學數學與應用數學專業（數學系）的一門重要的基礎課，其主要任務是使學生獲得數學的基本思想方法和多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間等方面的系統知識。它一方面為后繼課程（如近世代數、數論、離散數學、計算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基礎理論和知識；另一方面還對提高學生的思維能力，開發學生智能、加強“三基”（基礎知識、基本理論、基本理論）及培養學生創造型能力等重要作用。

二、教學目的及要求：通過本課程教學的主要環節（講授與討論，習題課，作業，輔導等），使學生對多項式理論、線性代數的“解析理論”、與“幾何理論”及其思想方法有較深的認識和理解，從而有助于學生正確理解高等代數的基本概念和論證方法及提高分析問題解決問題的能力。

三、教學重點及難點：帶余除法、最大公因式的性質、不可約多項式的定義及性質、重因式、多項式的有理根等；計算行列式的一些方法；線性方程組及其相關理論的理解及應用；矩陣理論的靈活應用；正定二次型的等價條件及二次型的標準形；向量空間一些基本概念的理解及相關理論的靈活應用；線性變換與矩陣的聯系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量及子空間理論；一些基本概念(內積空間、歐氏空間、正交矩陣、酉空間)的理解。

四、與其它課程的關系：本課程為一門基礎課，是學習習近平世代數、數論、離散數學、計算方法、微分方程、泛涵分析等課程的基礎。

五、學時、學分：142學時，8學分

六、教學內容：

第1章 多項式（27學時）本章主要教學內容：１．１ 數域 １．２ 一元多項式 １．３ 整除的概念 １． ４ 最大公因式 １． ５ 因式分解定理 １． ６ 重因式 １． ７ 多項式函數

１． ８ 復系數與實系數多項式的因式分解 １． ９ 有理系數多項式 １． １０ 多元多項式 １．１１ 對稱多項式 本章教學目的及要求：

1．1 掌握數域的定義,并會判斷一個代數系統是否是數域。

1．2 正確理解數域P上一元多項式的定義,多項式相乘,次數,一元多項式環等概念。掌握多項式的運算及運算律。

1．3 正確理解整除的定義,熟練掌握帶余除法及整除的性質。

1．4 正確理解和掌握兩個(或若干個)多項式的最大公因式,互素等概念及性質。能用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式。

1．5 正確理解和掌握不可約多項式的定義及性質。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握標準分解式。

1．6 正確理解和掌握k重因式的定義。

1．7 掌握多項式函數的概念,余數定理,多項式的根及性質。正確理解多項式與多項式函數的關系。1．8 理解代數基本定理。熟練掌握復（實）系數多項式分解定理及標準分解式。

1．9深刻理解有理系數多項式的分解與整系數多項式分解的關系。掌握本原多項式的定義、高斯引理、整系數多項式的有理根的性質、Eisenstein判別法。

1．10 理解多元多項式、對稱多項式的定義，掌握對稱多項式基本定理。

本章教學重點及難點：整除概念、帶余除法及整除的性質、最大公因式、互素、輾轉相除法、不可約多項式概念、性質、因式分解及唯一性定理、k重因式與k重根的關系、復（實）系數多項式分解定理、本原多項式、Eisenstein判別法。第2章 行列式（15學時）本章主要教學內容： ２．１ 引言 ２．２ 排列 ２．３ n級行列式 ２．４ n級行列式的性質 ２．５ 行列式得計算

２．６ 行列是按一行（列）展開 ２．７ 克蘭姆法則 本章教學目的及要求：

2．1理解并掌握排列、逆序、逆序數奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對換的關系。2．2 深刻理解和掌握n級行列式的定義,能用定義計算一些特殊行列式。2．3 熟練掌握行列式的基本性質。

2．4 正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質計算一些簡單行列式。2．5 正確理解元素的余子式、代數余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。掌握“化三角形法”，“遞推降階法”，“數學歸納法”等計算行列式的技巧。2．6 熟練掌握克萊姆(Cramer)法則。

2．7 正確理解和掌握行列式的一個k級子式的余子式等概念、熟練掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法規則。

本章教學重點及難點：n級行列式的定義、行列式的基本性質、矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換、行列式按一行（列）展開的公式、克萊姆(Cramer)法則、拉普拉斯(Laplace)定理。第3章 線性方程組（13學時）本章主要教學內容：３．１ 消元法 ３．２ n維向量組 ３．３ 線性相關性 3． 4 矩陣的秩

２． ５ 線性方程組有解判別定理 ３．６ 線性方程組解的結構 本章教學目的及要求：

3．1 正確理解和掌握一般線性方程組,方程組的解,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質。掌握階梯形方程組的特征及作用。會求線性方程組的一般解。

3．2 理解和掌握n維向量及兩個n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運算。深刻理解n維向量空間的概念。

3．3 正確理解和掌握線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質。掌握兩個向量組等價的定義及等價性質定理。深刻理解向量組的極大無關組、秩的定義，會求向量組的一個極大無關組。3．4 深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩、秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關系。3．5 熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。

3．6 正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎解系,解空間的維數與概念。熟練掌握基礎解系的求法、線性方程組的結構定理。會求一般線性方程組有解的全部解。

本章教學重點及難點：線性方程組的初等變換、求線性方程組的一般解、n維向量、線性組合、線性相關、線性無關、兩個向量組等價、極大無關組、向量組的秩、求向量組的一個極大無關組、矩陣的秩、線性方程組的有解判別定理、線性方程組的公式解、齊次線性方程組的基礎解系、基礎解系的求法、線性方程組的結構定理、求一般線性方程組有解的全部解。第4章 矩陣（15學時）本章主要教學內容：４．１ 矩陣的概念 ４．２ 矩陣的運算

４．３ 矩陣乘積的行列式與秩 ４．４ 矩陣的逆 ４．５ 矩陣得分塊 ４．６ 初等矩陣

４．７ 分塊矩陣的初等變換及應用舉例 本章教學目的及要求：

4．1 了解矩陣概念產生的背景。

4．2 掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置等運算及其計算規律。

4．3 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。

4．4 正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣。

4．5 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質。

4．6 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及其它們之間的關系，熟練掌握一個矩陣的等價標準形和矩陣可逆的充要條件；會用初等變換的方法求一個方陣的逆矩陣。

4．7 理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關系，會求分塊矩陣的逆。本章教學重點及難點：矩陣的運算、矩陣乘積的行列式定理、矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系、可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣、n階方陣可逆的充要條件、用公式法逆矩陣、分塊矩陣的意義及運算、初等矩陣、用初等變換的方法逆矩陣、分塊矩陣的逆。第5章 二次型（12學時）

本章主要教學內容：５．１ 二次型的矩陣表示 ５．２ 標準形 ５．３ 唯一性 ５．４ 正定二次型 本章教學目的及要求：

5．1 正確理解二次形和非退化線性替換的概念；掌握二次型的矩陣表示及二次型與對稱矩陣的一一對應關系；掌握矩陣的合同概念及性質。

5．2 理解二次型的標準形，掌握化二次型為標準型的方法（配方法、初等變換法）。5．3 正確理解復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性；掌握慣性定理。

5．4 正確理解正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念；熟練掌握正定二次型及半正定二次型的等價條件。

本章教學重點及難點：非退化線性替換、二次型的矩陣、二次型與其矩陣的一一對應關系、矩陣的合同、化二次型為標準型、復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性、慣性定理、正定二次型的判別條件、半正定二次型的等價條件。第6章 線性空間（16學時）本章主要教學內容：６．１ 集合 映射 ６．２ 線性空間的定義與簡單性質 ６．３ 維數，基與坐標 ６．４ 基變換與坐標變換 ６．５ 線性子空間 ６．６ 子空間的交與和 ６．７ 子空間的直和 ６．８ 線性空間的同構 本章教學目的及要求：

6．1 掌握映射、單射、滿射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。

6．2 正確理解和掌握線性空間的定義及性質；會判斷一個代數系統是否是線性空間。

6．3 理解線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念；正確理解和掌握n維線性空間及的概念及性質。

6．4 正確理解和掌握基變換與坐標變換的關系。

6．5 正確理解線性子空間的定義及判別定理；掌握向量組生成子空間的定義及等價條件。6．6 掌握子空間的交與和的定義及性質；熟練掌握維數公式。6．7 深刻理解子空間的直和的概念及和為直和的充要條件。

6．8 理解和掌握線性空間同構的定義、性質及兩個有限維空間同構的充要條件。

本章教學重點及難點：線性空間、判斷一個代數系統是否是線性空間、n維線性空間及的概念及性質、基變換與坐標變換的關系、線性子空間的定義及判別定理、向量組生成子空間的定義及等價條件、子空間的交與和、維數公式、子空間的直和、線性空間同構的定義、性質及兩個有限維空間同構的充要條件。第7章 線性變換（23學時）

本章主要教學內容：７．１ 線性變換的定義 ７．２ 線性變換的運算 ７．３ 線性變換的矩陣 ７．４ 特征值與特征向量 ７．５ 對角矩陣

７．６ 線性變換的值域與核 ７．７ 不變子空間 ７．８ 若當標準形介紹 ７．９ 最小多項式

本章教學目的及要求：

7．1 理解和掌握線性變換的定義及性質。

7．2 掌握線性變換的運算及運算規律，理解線性變換的多項式。

7．3 深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯系；掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質。

7．4 理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念和性質；會求一個矩陣的特征值和特征向量；掌握相似矩陣與它們的特征多項式的關系及哈密爾頓-凱萊定理。

7．5 掌握n 維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件。

7．6 掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系。

7．7 掌握不變子空間的定義；會判定一個子空間是否是A-子空間；深刻理解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系；掌握將空間V按特征值分解成不變子空間的直和表達式。7．8 掌握標準型的定義。

7．9 正確理解最小多項式的概念；掌握一個矩陣相似于一個對角陣與它的最小多項式的關系。本章教學重點及難點：線性變換的定義及性質、線性變換的運算、線性變換與矩陣的聯系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量、特征多項式、求矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣與它們的特征多項式的關系、哈密爾頓-凱萊定理、線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件、線性變換的值域、核、秩、零度、線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系、不變子空間的定義、判定一個子空間是否是A-子空間、不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系、將空間V按特征值分解成不變子空間的直和表達式、標準型的定義、最小多項式。第8章 －矩陣（3學時）本章主要教學內容：8.1 矩陣

8.2 矩陣在初等變換下的標準形不變因子 8.3 不變因子 8.4 矩陣相似的條件 8.5 初等因子

本章教學目的及要求：只介紹一些基本概念,一些簡單結論，對定理的證明不作要求。本章教學重點及難點： 矩陣及其標準形、行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關系。第9章 歐幾里得空間（18學時）本章主要教學內容：９．１ 定義與基本概念

９．２ 標準正交基

９．３ 同構

９．４ 正交變換

９．５ 子空間

９．６ 對稱矩陣的標準形

９．７ 向量刀子空間的距離，最小二乘法

９．８ 酉空間介紹 本章教學目的及要求： 9．1 深刻理解歐氏空間的定義及性質；掌握向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質，使學生掌握各種概念之間的聯系和區別。

9．2 正確理解正交向量組、標準正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關的向量化為單位正交的向量。

9．3 深刻理解兩個歐氏空間同構的定義。掌握兩個歐氏空間同構的意義及同構與空間維數之間的關系。9．4 正確理解和掌握正交變換的概念及幾個等價關系，讓學生掌握正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系。

9．5 正確理解和掌握兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關系，及歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質。

9．6 深刻理解并掌握任一個對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實二次型為標準型。

9．7、9．8 簡單介紹，只讓學生了解。

本章教學重點及難點：歐氏空間的定義及性質向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質、正交向量組、標準正交基的概念、施密特正交化、歐氏空間同構的意義及同構與空間維數之間的關系、正交變換的概念及幾個等價關系、正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系、兩個子空間正交的概念、正交與直和的關系、正交陣、用正交變換化實二次型為標準形。

七、教材及參考書

1、教材：《高等代數》北京大學數學系幾何與代數教研室小組 編，高等教育出版社，８８年３月。

2、教學參考書： 《高等代數》，張禾瑞，郝炳新 編，高等教育出版社，84年3月。

《高等代數》，丘維聲 編，高等教育出版社，96年12月。

高等代數考試大綱

數學與應用數學專業《高等代數》考試大綱

一、課程說明：《高等代數》是河北師范大學數學系的一門重要的基礎課，其主要任務是使學生獲得數學的基本思想方法和多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間等方面的系統知識。它一方面為后繼課程（如近世代數、數論、離散數學、計算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基礎理論和知識；另一方面還對提高學生的思維能力，開發學生智能、加強“三基”（基礎知識、基本理論、基本理論）及培養學生創造型能力等重要作用。

二、與其它課程的關系：本課程作為一門基礎課，是學習習近平世代數、數論、離散數學、計算方法、微分方程、泛涵分析等課程的基礎。

三、學時、學分：142學時，8學分

四、考核內容及要求： 第1章 多項式（27學時）本章考核內容： １．１ 數域 １．２一元多項式 １．３ 整除的概念 １． ４最大公因式 １． ５因式分解定理 １． ６重因式 １． ７多項式函數

１． ８復系數與實系數多項式的因式分解 １． ９有理系數多項式 １． １０多元多項式 １．１１對稱多項式

二、本章考核要求：考核要求：

1.1識記：數域定義，一元多項式定義，整除定義，最大公因式定義，互素定義，不可約多項式定義，k重因式定義，本原多項式定義。

1.2理解：數域P上一元多項式的定義、多項式相乘、次數、一元多項式環等概念，整除的定義，兩個(或若干個)多項式的最大公因式,互素等概念及性質，不可約多項式的定義及性質，k重因式的定義，多項式與多項式函數的關系，代數基本定理，有理系數多項式的分解與整系數多項式分解的關系，多元多項式、對稱多項式的定義。

1.3簡單應用：判斷一個代數系統是否是數域，多項式的運算及運算律，用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式，不可約多項式的定義及性質，標準分解式，k重因式，多項式函數的概念、余數定理、多項式的根及性質，對稱多項式基本定理。

1.4綜合應用：帶余除法及整除的性質，因式分解及唯一性定理，復（實）系數多項式分解定理及標準分解式，本原多項式的定義、高斯引理、整系數多項式的有理根的性質、Eisenstein判別法。第2章 行列式（15學時）本章考核內容： ２．１引言 ２．２排列 ２．３n級行列式 ２．４n級行列式的性質 ２．５行列式得計算

２．６行列是按一行（列）展開 ２．７克蘭姆法則 本章考核要求：

2.1識記：排列、逆序、逆序數奇偶排列的定義，n級行列式的定義，矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，元素的余子式、代數余子式等概念。

2.2理解：排列的奇偶性與對換的關系，n級行列式的定義，矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，元素的余子式、代數余子式等概念，行列式的一個k級子式的余子式等概念，行列式的乘法規則。2.3簡單應用：用定義計算一些特殊行列式，利用行列式性質計算一些簡單行列式，行列式按一行（列）展開的公式。掌握“化三角形法”、“遞推降階法”、“數學歸納法”等計算行列式的技巧。2.4綜合應用：克萊姆(Cramer)法則。第3章 線性方程組（13學時）本章考核內容： ３．１消元法 ３．２n維向量組 ３．３線性相關性 3． 4 矩陣的秩

3.５線性方程組有解判別定理 ３．６線性方程組解的結構 本章考核要求：

3.1 識記：n維向量及兩個n維向量相等的定義。

3.2 理解：一般線性方程組,方程組的解,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質，階梯形方程組的特征及作用，線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質，兩個向量組等價的定義及等價性質定理，向量組的極大無關組、秩的定義，矩陣的行秩、列秩、秩的定義。

3.3 簡單應用：線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質，兩個向量組等價的定義及等價性質定理，求向量組的一個極大無關組，求矩陣的秩，求齊次線性方程組的基礎解系。3.4 綜合應用：求一般線性方程組有解的全部解。

第4章 矩陣（15學時）本章考核內容：

４．１矩陣的概念 ４．２矩陣的運算

４．３矩陣乘積的行列式與秩 ４．４矩陣的逆 ４．５矩陣得分塊 ４．６初等矩陣

４．７分塊矩陣的初等變換及應用舉例

本章考核要求：

4.1識記：矩陣的加法、數乘、乘法、轉置等運算及其計算規律，可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念。4.2理解：矩陣乘積的行列式定理，分塊矩陣的意義，分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關系。4.3簡單應用：矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系，n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣，分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質，4.4綜合應用：一個矩陣的等價標準形和矩陣可逆的充要條件，會用初等變換的方法求一個方陣的逆矩陣，求分塊矩陣的逆。

第5章 二次型（12學時）

本章考核內容： ５．１二次型的矩陣表示 ５．２標準形 ５．３唯一性 ５．４正定二次型 本章考核要求：

5.1識記：二次型的矩陣表示,正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念。

5.2理解：二次形和非退化線性替換的概念, 二次型與對稱矩陣的一一對應關系,合同概念及性質, 復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性。

5.3簡單應用：化二次型為標準型的方法（配方法、初等變換法）, 5.4綜合應用：正定二次型及半正定二次型的等價條件。第6章 向量空間（16學時）本章考核內容： ６．１集合 映射 ６．２線性空間的定義與簡單性質 ６．３維數，基與坐標 ６．４基變換與坐標變換 ６．５線性子空間 ６．６子空間的交與和 ６．７子空間的直和 ６．８線性空間的同構 本章考核要求：

6.1識記：映射、單射、滿射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念，線性空間的定義，子空間的定義，6.2理解：線性空間的定義及性質，線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念，基變換與坐標變換的關系，子空間的交與和的定義及性質，子空間的直和的概念，線性空間同構的定義。

6.3簡單應用：判斷一個代數系統是否是線性空間，基變換與坐標變換的關系，向量組生成子空間的定義及等價條件，維數公式。

6.4綜合應用：子空間為直和的充要條件，兩個有限維空間同構的充要條件。第7章 線性變換（23學時）本章考核內容：７．１線性變換的定義 ７．２線性變換的運算 ７．３線性變換的矩陣 ７．４特征值與特征向量 ７．５對角矩陣

７．６線性變換的值域與核 ７．７不變子空間 ７．８若當標準形介紹 ７．９最小多項式

本章考核要求：

7.1識記：線性變換的定義及性質，矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念，線性變換的值域、核、秩、零度等概念，不變子空間的定義，最小多項式的概念。

7.2理解：線性變換與矩陣的聯系，矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質，矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念和性質，不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系，掌握標準型的定義，最小多項式的概念。

7.3簡單應用：求一個矩陣的特征值和特征向量，相似矩陣與它們的特征多項式的關系及哈密爾頓-凱萊定理，n 維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件，線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系，判定一個子空間是否是A-子空間。

7.4綜合應用：不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系，一個矩陣相似于一個對角陣與它的最小多項式的關系。

第8章 －矩陣（3學時）本章考核內容： 8.1 矩陣

8.2 矩陣在初等變換下的標準形不變因子 8.3不變因子 8.4矩陣相似的條件 8.5初等因子 本章考核要求：

2.1識記： 矩陣，行列式因子、不變因子、初等因子。

2.2理解： 矩陣的標準形、行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關系。第9章 歐氏空間（18學時）

本章考核內容： ９．１定義與基本概念

９．２標準正交基

９．３同構

９．４正交變換

９．５子空間

９．６對稱矩陣的標準形

９．７向量刀子空間的距離，最小二乘法

９．８酉空間介紹 本章考核要求： 2.1識記：歐氏空間的定義，兩個歐氏空間同構的定義，向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念，正交變換的概念。

2.2理解：歐氏空間的性質，向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣的基本性質，正交向量組、標準正交基的概念，正交變換的概念及幾個等價關系，正交與直和的關系。

2.3簡單應用：施密特正交化過程，把一組線性無關的向量化為單位正交的向量，兩個歐氏空間同構的意義及同構與空間維數之間的關系，正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系，歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質。

2.4綜合應用：任一個對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，求正交陣的方法，用正交變換化實二次型為標準型。

五、教材及參考書

1、教材：《高等代數》北京大學數學系幾何與代數教研室小組編，高等教育出版社，８８年３月。

2、教學參考書：《高等代數》，張禾瑞，郝炳新 編，高等教育出版社，84年3月。《高等代數》，丘維聲 編，高等教育出版社，96年12月。

第三篇：三十年來中國《高等代數》教材(教學)之管見

三十年來中國《高等代數》教材（教學）之管見

莊 瓦 金

（漳州師院數學與信息科學系）

《高等代數》已教了30年，接觸過不少教材，也進行了教改探索，現借助于廈門大學研討會的講臺，說說自己的兩方面想法。

一、基本認知

自恢復高考以來的三十年間，高等代數經歷了由文革期間的被打入冷宮到現在的主干基礎課的根本轉變，其教材狀況(含教學)有以下八方面感受。國外影響前輩奠基

中國現行高等代數教材體系、內容大致形成于20世紀五、六十年代之交，蘇聯、美國的影響皆有[1~3]。在此影響下，中國代數學界的老前輩段學復、王湘浩、張禾瑞、謝邦杰、張遠達、周伯塤都參加了教材編寫，其中[4]是在1961年《高等代數》基礎上修改而成的，[5]于1964年定稿，現行的[6]是在1966年的《高等代數簡明教程》基礎上根據1977年大綱修訂的，[7]也是在作者1966年的《高等代數簡明教程》基礎上修改的，[8]則是作者與熊全淹的合編本《線性代數》之后的力作，[9]的第一版是1954年的部頒大綱的產物，1979年增加了線性代數內容出了第二版，1983年根據師專教學大綱修改出了第三版。綜觀[4~9]，共性大大超過個性。因此，我們感到十分高興，中國的代數老前輩為其《高等代數》教材建設打下了良好基礎。名校主導總體穩定

中國的《高等代數》，國內名校起了主導作用，不少高校使用北大前代數小組編著的[6]長達二、三十年之久。20世紀九十年代，北京大學推出了教材[10]，2000年代又推出了教材[11]。在高師院校，不少學校長期使用教材[9]，北師大自己也使用過新編教材[12]，還編寫了習作課教材[13]。此外，復旦大學的教材[14，15]在國內的影響也較大，清華大學的教材[16]在國內也有一定影響；同時，隨著不同專業的需求，還編寫出版了計算數學使用的線性代數教材[17，18]，也是名校之作。在名校主導下，高師院校使用過教材[19，20]，且出版了高代與抽代相溶合的教材[21]；適合民族地區使用的高代教材[22]是西北師大之作。福建省師專的高代教學，20世紀八、九十年代，陳昭木教授曾多次指導，由他與三位年青教師編著的教材[23]在省內有一定影響。應當看到，上述各教材有各自的特色，但大致與[6]、[9]較為接近，[6]、[9]在出版新的版次時也有不同更新，但總體仍然較為穩定的。教學主線日趨明確

教材[9]的開章第一句話 “作為大學數學基礎課程的代數，是中學代數的繼續與提高。”為高等代數教材與教學的主線定了基調。但如何介定“代數”？筆者在教材[24]的緒論中講了“代數學的起源與發展”，對“代數”一詞的三次變更使用了《中國大百科全書》數學卷上段學復院士寫的代數詞條。因此，[9]、[24]的闡述基本上體現了高等代數教材與教學的主線。對主線明確提出的是丘維聲的學習指導書[25]。此書的前言寫道：“我們根據信息時代的需要，運用現代數學的觀點，遵循學生的認知規律，改革了高等代數課程的教學內容體系，使其貫穿一條主線，分成五個模塊，具有時代氣息。一條主線是：研究代數結構及其態射(即保持運算的映射)的觀點?！彼{以中則在[11]的前言中詳盡地闡述了“什么是貫穿高等代數教學的主干線?！碧貏e需要提出的是：[11]是北京大學獲2003年國家精品課程的教材，曾多次邀請美籍華裔著名數學家項武義教授參加座談、討論。重視價值激勵學習

在明確教學主線的同時，人們往往會困于抽象、難學。如何解決這個問題？重視有用，展示價值非常重要，這在20世紀七、八十年代的莫斯科大學的代數教材[26]中已經注意到了，丘維聲在[10]中也編進了一些應用資料，并在第二版的前六章之末編入了“應用與實驗課題”。筆者在[24]的緒論中闡述了學習高等代數的四方面意義及現行高等代數教學內容的當代科學技術進步背景[1，2]，并編入了“應用參考”，較充分地闡述了高等代數的教學價值。這方面，在泉州師院的研討會上已作闡述，現在已整理成文[27]。此外，山東王文省等編著的高等代數教材也編進了一些應用資料[28]；美國國家“線性代數課程研究小組”的核心成員D.C.Lay著的《Linear Algebra and Its Applications》已譯成中文[29]，其中有豐富的應用素材。筆者認為，闡述有用，闡述價值，激勵學生主動學習是高等代數教學中的極其重要的工作，這首先需要教材的支撐。突出基礎嚴格訓練

[11]在前言中專門論及“在高等代數課程中，學生應受到哪些最基本的訓練”，提出了五方面的意見。統觀北京大學的三本教材[6，10，11]，僅矩陣計算，習題較多，我認為體現了突出基礎訓練，從德國著名代數學家C.Ringel1999年在北師大的報 告[30]可以看出這樣的訓練是很必要的；而且從[11]的前言還可以看到，北京大學在教學時間上給予了充分的保證，課堂講授與習題課的比例是2：1。復旦大學突出基礎訓練有自己的特色，姚慕生[31]的“基礎訓練”確有不少好題，其中的“單選”、“填空”不僅平時單元復習好用，筆者認為而且對于學生備考碩士研究生的第一階段復習也是好用的，可惜這方面的參考書太少了。雖然[32]中也有單選、填空，但該書主要是供師專使用的，且受到師專的要求應低于本科的認知支配，存在著多而雜、水平不高的實況，與[31]是不能相比擬的。精品建設正在深入

自2003年以來，教育部在高校質量功程下開展了精品課程評選，由之也推動了教材建設。吉林大學、中國科技大學、蘇州大學的高代教材已在高教出版社出版[33~35]，有百花齊放之味，尤其是李尚志的[34]，前言就有九千余字，可見編著者之用心。再看[34]中關于多項式中f(x)的未定元x之引入，在“從未知數到未定元”下花了二頁半的篇幅。因此，人們期望隨著精品課程建設的深入，能有更多的不同風格、又較深刻的高等代數教材、教學參考書與廣大師生見面；同時，高等教育出版社也應支持“第三世界”的高代教材出版。其實，從北京大學的三本教材[6，9，10]，人們更看到這樣支持的必要性。參考圖書類別不多

教材以外的高等代數教學參考書，這里收集了22本[36~57]，將其分類，大致有：1)教材分析研究，如[36~38]，總體看來不夠深入、活力缺少；2)解題方法，如[25，31，39~44]，其中有北大、復旦、清華教材的配套解題方法，但非習題解答，[39]的作者之一周士藩先生此作前曾有另作出版，對高代教學與科研的結合有獨到之處；3)習題集[45，46]，系譯蘇的出版物；4)習題解答，如[47~50]，其中楊子胥、錢吉林(華中師大前代數教研室主任)是人們熟悉的；5)研究生試題解答，如[51，52]；6)配套復習及習題解答，如[6，9，10]的習題解答有[53~57]，值得注意的是[6]的修訂者為何出了[57]，因為文革前段先生是極力反對出習題解的。綜合上述圖書，我們不難發現，當今中國的高代教學參考書類別不多，且題解類占絕對地位，這是喜，還是憂？！難學問題仍然存在

比較[10，16]兩教材的第一、二版的差異，筆者的印象是第二版后退了，原因何在？看來是第一版的難度受到市場經濟的約束。高代難學仍然存在，這從[11，34]的前言似乎也可以看出。難學，對一門基礎課是必然存在的。因此，筆者認為 問題在于如何看待難學，又如何使之不太難學？要求與標準化能否為之效力？這些都值得探索。

二、若干探索（提綱）

1、統一與自主問題

僅教學課時數，按[11]計，北京大學為18×6×2(含習題課)；我省普通高校，在第二、三學期開設，大致為17×5×2(含習題題)，若是第一、二學期開設，不僅學生的認知能力較之差些，而且課時數少了10學時或更多點。因此，這里就有統一與自主的矛盾問題，而且統一又是必要的，因為如果學生將來要報考碩士研究生，上課少就會受到影響。當然，統一與自主的問題還不至這方面。

2、主線與體系問題

3、標準化與解難問題

4、理論與應用(價值)問題

5、精品課程建設與教學團隊問題

6、學習國外經驗問題

參 考 文 獻

[1]N.Jacobson，基礎代數(第一卷第一分冊)，高等教育出版社，1987 [2]美國國家研究委員會，人人關心數學教育的未來，世界圖書出版公司，1993 [3]А.И.馬力茨夫，線性代數原理，人民教育出版社，1957 [4]王湘浩、謝邦杰，高等代數(1964年修訂本)，1961，人民教育出版社；第二版，1964；1983第7次印刷 [5]周伯塤，高等代數，人民教育出版社，1966，1978第二次印刷

[6]北京大學前代數小組，高等代數，高等教育出版社，1978；第二版，1988；第三版，2003 [7]謝邦杰，線性代數，人民教育出版社，1978 [8]張遠達，線性代數原理，上海教育出版社，1980 [9]張禾瑞、郝鈵新，高等代數(第二版)，高等教育出版社，1979；第三版，1983；第四版，1999，第五版，2007 [10]丘維聲，高等代數(上、下冊)，高等教育出版社，1996；第二版，2003.8 [11]藍以中，高等代數簡明教程(上、下冊)，北京大學出版社，2002；第二版，2007 [12]曹錫皞、張益敏、黃登航，高等代數，北京師范大學出版社，1987 [13]劉云英等，高等代數習作課講義，北京師范大學出版社，1987 [14]屠伯塤等，高等代數，上海科學技術出版社，1987 [15]姚慕生，高等代數學，復旦大學出版社，2003 [16]張賢科、許甫華，高等代數學，清華大學出版社，1998；第二版，2004 [17]蔣爾雄等，線性代數，人民教育出版社，1978 [18]南京大學數學系計算數學專業，線性代數，科學出版社，1978 [19]陳重穆，高等代數，高等教育出版社，1990 [20]楊子胥，高等代數(高師專科教材)，高等教育出版社，1990 [21]田孝貴等，高等代數，高等教育出版社，1991 [22]劉仲奎等，高等代數，高等教育出版社，2003 [23]陳昭木、陳清華、王華雄、林亞南，高等代數(上、下冊)，福建教育出版社，1992 [24]莊瓦金，高等代數教程，國際華文出版社，2002 [25]丘維聲，高等代數學習指導書(上冊)，清華大學出版社，2005 [26] А.И.柯斯特利金，代數學引論(上冊)，高等教育出版社，1988 [27]莊瓦金，明確價值

潛心攻難——關于《高等代數》整體教學的研究(將發表)[28]王文省等，高等代數，山東大學出版社，2004 [29]D.C.Lay，線性代數及其應用(原書第3版)，機械工業出版社，2005 [30]張繼平，新世紀代數學，北京大學出版社，2002 [31]姚慕生，高等代數(學習方法指導)，復旦大學出版社，2003 [32]徐德余，高等代數評估與測試，四川科學技術出版社，1990 [33]牛鳳文、杜現昆、原永久，高等代數，高等教育出版社，2006 [34]李尚志，線性代數(數學專業用)，高等教育出版社，2006 [35]施武杰、戴桂生，高等代數，高等教育出版社，2005 [36]趙興杰，高等代數教學研究，西南師大出版社，2006 [37]蔣忠樟，高等代數典型問題研究，高等教育出版社，2006 [38]王正文，高等代數分析與研究，山東大學出版社，1994 [39]王向東、周士藩，高等代數常用方法，科學出版社，1989 [40]屠伯塤，線性代數方法導引，復旦大學出版社，1986 [41]許南華、張賢科，高等代數解題方法，清華大學出版社，2001；第二版，2005 [42]王品超，高等代數新方法(上冊)，山東教育出版社，1989；下冊，中國礦業大學出版社，2003 [43]李師正，高等代數解題方法與技巧，高等教育出版社，2004 [44]蘇仲陽、王玉行，高等代數方法，天津科學技術出版社，1995 [45]И.В.普羅斯庫烈柯夫，線性代數習題集，人民教育出版社，1981

[46]Д.К.法杰耶夫、И.С.索明斯基，高等代數習題集，高等教育出版社，1987 [47]楊子胥，高等代數習題解(上、下冊)，山東科學技術出版社，1982 [48]樊惲，錢吉林、岑嘉評，代數學辭典，華中師大出版社，1994 [49]錢吉林，高等代數題解精粹，中央民族大學出版社，2002 [50]蔡劍芳、線吉林、李桃生，高等代數綜合題解，湖北科學技術出版社，1986 [51]線吉林、蔡劍芳、李桃生，高等代數研究生試題集錦，湖北科學技術出版社，1987 [52]侯國榮等，高等代數(1980－1984全國高等院校碩士研究生入學試題解答)，天津科學技術出版社，1986 [53]徐仲等，高等代數導教、導學、導考，西北工業大學出版社，2004 [54]劉丁酉，高等代數習題精解，中國科學技術大學出版社，2004 [55]滕加俊等，高等代數輔導及習題精解(上、下冊)，陜西師大出版社，2005 [56]陳光大，高等代數習題詳解，華中科技大學出版社，2006 [57]王萼芳，石生明，高等代數輔導與習題解答，高等教育出版社，2007 [58]M.Postnikov，幾何講義，第二學期，線性代數和微分幾何，高等教育出版社，1992 [59]N.Jacobson，抽象代數學，卷2，線性代數，科學出版社，1960 [60]L.W.Johnson、R.O.Riess、J.T.Arnod，Introducton to Linear Algebra(Fifth edition)，機械工業出版社；2002(時代教育·國外高校優秀教材精選)

第四篇：六年級數學下冊 數與代數教材分析 蘇教版

數與代數

六年級第二學期是小學階段最后一個學期，教材從促進學生的發展，為學生進入第三學段的學習打好基礎出發，把六年級（下冊）的教學內容分成兩部分編排。在前七個單元里教學新知識，全面完成《標準》規定的第二學段的教學內容和具體目標。在第八單元有重點地系統復習小學階段教學的主要知識，在深化理解的同時組織更合理的認知結構，通過適當的練習形成必要的技能，應用知識解決實際問題，培養數學素養。

教學百分數的應用，比例的有關知識，成正比例和成反比例的量，解決問題的策略。百分數的應用是在六年級（上冊）認識百分數的基礎上編排的，是本冊教材的重點內容之一。要聯系實際解決一些求一個數比另一個數多（或少）百分之幾的問題，解決較簡單的有關納稅、利息、折扣的問題，解決已知一個數的百分之幾是多少，求這個數的問題。通過這些內容的教學，能讓學生進一步理解百分數的意義，學會在日常生活中應用百分數。教學正比例和反比例，著重理解正比例的意義和反比例的意義，讓學生在現實的情境中作出相應的判斷。根據《標準》的精神，教材適當加強了正比例關系圖像的教學，不再安排解答正比例或反比例的應用題。比例的知識有比例的意義、比例的基本性質和解比例。這些知識有助于理解圖形的放大與縮小，能用來解決有關比例尺的問題。在解決問題的策略里，教學轉化的思想和方法。轉化能使復雜的問題變得簡單，能把未知的內容變成已知的內容。所以，轉化是重要的認知策略，也是常用的解決問題策略。對于轉化思想，學生在前面的學習中已經有較豐富的體驗。本冊教材繼續教學轉化，讓學生進一步體會和應用，通過具體的轉化活動，發展思維的靈活性。

愛心用心專心 1