第一篇：高二數學不等式練習題及答案(經典)
不等式練習題
一、選擇題
1、若a,b是任意實數,且a＞b,則
（）（A）a2＞b
2（B）b11＜1
（C）lg(a-b)＞0
（D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是
（）
1+a≥2(a?0)at?111（C）＜(a＞b)
（D）a2≥at(t＞0,a＞0,a?1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 則(2?1)(2?1)的最小值為
（）
ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)
（B）
(A)6
(B)7
(C)8
(D)9
4、已給下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正確的個數為
（）
(A)0個
(B)1個
(C)2個
(D)3個
5、f(n)= n2?1－n , ?(n)=(A)f(n) (B)f(n) (D)g(n) （）2n 6、設x2+y2 = 1, 則x +y （） (A)有最小值1 (B)有最小值(C)有最小值－1 (D)有最小值－2 7、不等式|x＋5|＞3的解集是 （）(A){x|－8＜x＜8} (B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝ (D){x|x＜－8或x＞－2＝ 8、若a，b，c為任意實數，且a＞b，則下列不等式恒成立的是 （）(A)ac＞bc (B)|a＋c|＞|b＋c| (C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x?31x2?2x?329、設集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},則有 （）x?12（A）M?N=P （B）M?N?P （C）M=P?N （D）M=N=P 10、設a,b∈R,且a+b=3,則2a+2b的最小值是 （）（A）6 （B） 42（C）22 （D）26 11、若關于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是???,???1??1????,???，則ab等于（）2??3?(A)－24 (B)24 (C)14 (D)－14 12、如果關于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對一切實數x恒成立，則實數a 的取值范圍是 （）(A)(??,2] (B)(??,?2) (C)(?2,2] (D)(－2,2) 13、設不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集為?，則不等式 f(x)?0的解集是 （）g(x)(A)? (B)(??,1)?(2,??) (C)[1，2] (D)R 14、xx的解集是 （）?x?2x?(A)(－2,0) (B)(－2,0) (C)R (D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞) 15、不等式3?1?x?3的解集是 （） 3(A)(－∞,1) (B)(33,1) (C)(,1) (D)R 4 4二、填空題 1、若x與實數列a1,a2,…,an中各數差的平方和最小,則x=________.2、不等式xlog1x21?的解集是________.x3、某工廠產量第二年增長率是p1,第三年增長率是p2,第四年增長率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么這三年平均增長率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,則a1?b的最大值是________.225、若實數x、y滿足xy＞0且x2y=2,則xy＋x2的最小值是________.6、x＞1時，f(x)=x＋116x的最小值是________，此時x=________.?2xx?1 7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.?xx4?12? 329、命題①：關于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0對x?R恒成立;命題②：f(x)=－(12x－3a－a)是減函數.若命題①、②至少有一個為真命題,則實數a的取值范圍是________.10、設A={x|x≥ 三、解答題 1,x?R},B={x|2x?1＜3,x?R＝,則D=A∩B=________.xx2?9x?111、解不等式：2≥7.x?2x? 12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x?5≥－2.x2?5x?624、解不等式：9?x?26x?x2＞3.5、解不等式：x?3x?2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。 7、若x,y＞0，求x?yx?y的最大值。 8、已知關于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一個根比－1小，另一個根比1大，求參數m的取值范圍。 9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8?x?x?3.不等式練習答案 一、DADCB DDDAB BCBAB 二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3 4n31?5)8、0＜x＜log23 9、-3＜x≤2 6、8,2＋ 37、(0,log2210、－12≤x＜0或1≤x＜4 三、1、[－12,1]∪(1,43) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 5、(－∞,－2313)6、1，347、28、－2＜m＜0 9、解：(I)當a>1時，原不等式等價于不等式組：??x?1?a?0，?x?1?a?a.解得x>2a-1.(II)當0 當0 或(2)???8?x?0?8?x?(x?3)2?x?3?0 由(1)得3?x?5?212，由(2)得x＜3，故原不等式的解集為??x|x?5?21??2? ? 4、(0,3) 不等式基本性質練習 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）１．若a>0, b >0,則(a?b)（A． 21a?1b)的最小值是 D． 4（） B．22 C．42 2．分析法證明不等式中所說的“執果索因”是指尋求使不等式成立的 A．必要條件 C．充要條件 1a 1b （） 1a 1b B．充分條件 D．必要或充分條件 3．設a、b為正數，且a+ b≤4，則下列各式中正確的一個是 A． ? ? 1D． 1a?1b ? 2（） B．??1 C． 1a ? 1b ?2 4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，則下列各式中，一定正確的是 A．ac≥b 5．設a=2，b=7? A．a>b>c B．ab≥c 3，c? 6? （） C．bc≥a D．ab≤c （） 2，則a、b、c間的大小關系是 B．b>a>c a?mb?m C．b>c>a ?ab D．a>c>b （） 6．已知a、b、m為正實數，則不等式 A．當a< b時成立C．是否成立與m無關 B．當a> b時成立D．一定成立 （） 7．設x為實數，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，則P、Q之間的大小關系是 A．P≥Q ab B．P≤Q ab C．P>Q ab D． P ab? 18．已知a> b且a+ b <0，則下列不等式成立的是 A． ?1 （） B． ?1 C． ?1 D． 9．設a、b為正實數，P=aabb，Ｑ=abba，則P、Q的大小關系是 A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q （） D．不能確定 10．甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以 速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，則甲、乙兩人到達指定地點的情況是 A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同時到 （） D．不能確定 二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 11．若正數a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是．12．已知a>1，a=100，則lg(ab)13．使不等式a>b?1，lg(a－b)>0，2> 2b 2lgb a ab- 1同時成立的a、b、1的大小關系是． 14．建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為 120元和80元． 三、解答題（本大題共6題，共76分） 15．若a、b、c都是正數，且a+b+c=1，求證：(1–a)(1–b)(1–c)≥8abc．（12分） 16．設a?0,a?1,t?0,試比較 17．已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)2（12分） 18．已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd．（12分） 12log a t與log t? 1a的大?。?2分） 19．設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm，畫面的寬與高的比為λ（λ<1），畫面的上下各 留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最??？（14分） 20．數列{xn}由下列條件確定：x1?a?0,xn?1? 2(xn? axn),n?N． （Ⅰ）證明：對n≥2，總有xn≥a；（Ⅱ）證明：對n≥2，總有xn≥xn?1．（14分） 參考答案 一．選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分） 二．填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11．x≥912．2213．a>b>114．1760 三、解答題（本大題共6題，共76分）15．（12分） [證明]：因為a、b、c都是正數，且a+b+c=1，所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2 16．（12分）[解析 ]： log t?1 a ·2·2ab=8abc． ?log a t?log a t?1 2t ?t?0,t?1?2t（當且僅當t=1時時等號成立）? t?12tt?12t ?1 （1）當t=1時，log t?1 a t?1 ?log a t（2）當t?1時，t?1 12? ?1，若a?1,則log a 2t a ?0,log a a ?log12 a t t 若0?a?1,則log 17．（12分） t?12t ?0,log t?12 log a [證明]：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比數列，b 又∵a，b，c都是正數，所以0?b? ?ac ac≤a?c?a?c∴a?c?b ∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0 ∴a2?b2?c2?(a?b?c)2 18．（12分） [證法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數∴要證：xy≥ac + bd 只需證：(xy)2≥(ac + bd)2即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c2≥2abcd由基本不等式，顯然成立∴xy≥ac + bd [證法二]：（綜合法）xy =a2?b2 c?d ?ac?bc?ad?bd (ac?bd) 22222222 ≥a2c2?2abcd?b2d2?[證法三]：（三角代換法） ?ac?bd ∵x2 = a2 + b2，∴不妨設a = xsin?,b = xcos? y2 = c2 + d2c = ysin?,d = ycos? ∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy 19．（14分） [解析]：設畫面高為x cm，寬為?x cm 則?x2=4840． 設紙張面積為S，有 S=（x +16）(?x +10)=? x 2+(16?+10)x +160,S=5000+44(??5).? 當8 ?? ?,即?? 4840 (?1)時S取得最小值.88 ?88cm,寬： 此時，高：x? ? ?x? ?88?55cm,答：畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最小． 20．（14分） （I）證明：由x1?a?0,及x 從而有x axn n?1 ? a (xn? axn),可歸納證明xn ?0（沒有證明過程不扣分） a成立.n?1 ? (xn?)? xn? xn ?a(a?N).所以，當n?2時,x? axn) （II）證法一：當n?2時,因為x? n 所以x a a?0,xn?1? (xn? n?1 1a?xn ?xn?(xn?)?xn???0,故當n?2時,xn?xn?1成立.2xn2xn ?2時,因為x? a?0,xn?1? 12(xn? axn) 證法二：當n 所以xn?1 xn ? (xn?xn axn)? xn?a2x n ? xn?xn 2n ?1 故當n?2時,xn?xn?1成立. 不等式的證明訓練題及解答 一、選擇題 (1)若logab為整數,且loga1122>logablogba,那么下列四個結論①>b>a②logab+logba=0bb ③0 x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|= 1+(3)若x,y∈R,且x≠y,則下列四個數中最小的一個是（）11 ?)xy (4)若x>0,y>0,且x?y≤ax?y成立,則a的最小值是（） 2(5)已知a,b∈R,則下列各式中成立的是（） 22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb 222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b +(6)設a,b∈R,且ab-a-b≥1,則有（）++b≥2(2+1)+b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1) 二、填空題 22(7)已知x+y=1,則3x+4y2(8)設x=?y,則x+y(9)若11≤a≤5,則a+5a(10)A=1+111????與n(n∈N)2n (11)實數x=x-y,則xy 三、解答證明題 2422(12)用分析法證明:3(1+a+a)≥(1+a+a) (13)用分析法證明:ab+cd≤ a2?c2?(14)用分析法證明下列不等式: (1)求證:?7?1?(2)求證:x?1?(3)求證:a,b,c∈R,求證:2（+ x?2?x?3?x?4(x≥4) a?ba?b?c?)?3(?abc)23 (15)若a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c>ab；（2）c-c2?ab + 1?x1?y 與中至少有一個小于yx (17)設a,b,c∈R,證明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥(18)已知1≤x+y≤2,求證: 122 ≤x+xy+y≤2 n(n?1)(n?1)2 ?an?(19)設an=?2?2?3???n(n?1)(n∈N),求證:對所有n(n22 * ∈N)2 (20)已知關于x的實系數二次方程x+ax+b=0,有兩個實數根α,β,證明:(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的證明訓練題參考答案： 1．A2．B3．D4．B5．A6．A * 7．58．-19．［2,26 ］10．A≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5 12．證明:要證3(1+a+a)≥(1+a+a) 222222222 只需證3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即證3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a)≧1+a+a=(a+ 123)+>0 24 只需證3(1+a-a)≥1+a+a，展開得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422 故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．證明:①當ab+cd<0時,ab+cd ②當ab+cd≥0時,欲證ab+cd≤a?c?b?d 2222 只需證(ab+cd)≤(a2?c2?b2?d2) 展開得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d) ***2 即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc 22222 只需證ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0 因為(ad-bc)≥0ab+cd≥0時,ab+cd≤a2?c2?b2?d22 22222222 綜合①②可知:ab+cd≤a2?c2?b2?d214．證明:(1)欲證?7?1? 只需證(?)2?(1?)2 展開得12+235>16+2,即2>4+2 只需證(2)>(4+2)，即4>這顯然成立 故?7?1?(2)欲證x?1?只需證x?1?即證(x?1? x?2?x?3?x?4(x≥4)x?4?x?3?x?2(x≥4) x?4)2?(x?3?x?2)2(x≥4) 展開得2x-5+2x?1?x?4?2x?5?2x?3?x?2 即x?1)(x?4)?(x?3)(x?2) 只需證［x?1)(x?4)］<［(x?3)(x?2)］ 即證x-5x+4 x?1?x?2?x?3?x?4(x≥4)(3)欲證2（a?ba?b?c?ab)≤3(?abc)23 只需證a+b-2ab≤a+b+c-3 即證c+2ab≥3 + ≧a,b,c∈R，?c+2ab=c+ab+ab≥3c?ab?ab?3 ?c+2ab≥3abc15．證明:（1）≧ab≤（a?b222) （2）欲證c-c2?ab 只需證-c2?ab 只需證a(a+b)<2ac ≧a>0,只要證a+b<2c(已知)16．證明:(反證法):假設 1?y1?x1?y1?x 與均不小于2,即≥2,≥2,?1+x≥2y,1+y≥2xyxy 兩式相加得:x+y≤2,與已知x+y>2矛盾, 故 1?x1?y 與中至少有一個小于yx 17．證明:目標不等式左邊整理成關于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222 判別式Δ=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0 222 當Δ=0時,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02 18．證明:設x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2 sin2θ)2 13212222 ≧sin2θ∈［-1,1］?k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222 n(n?1)2 19．證明:≧n(n?1)?n=n,?an>1+2+3+…+n= 1?22?3n?(n?1)2(1?2???n)?nn(n?1)n又an???????? 222222 ?x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+ n(n?2)n2?2n?1(n?1)2 ???,故命題對n∈N222 20．證明:依題設及一元二次方程根與系數的關系(韋達定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等價 于證明|α|<2,|β|<2?2|α+β|<4+αβ,且|αβ???????4??4??4 ???22??2222 ???????4??4??16?0?4(???)?(4???)?2???4??????4 ??2 ??(??4)(??4)?0 ??4??4 ???2? ????4或??2?4??2?4??2?4??4??4 ?? ???2或??2????4 ?? ??2??2,??2.? ???2 ?????2???2 ?? 高二數學不等式的證明(二) [本周學習內容]不等式證明中的綜合證明方法： 1.換元法：通過適當的換元，使問題簡單化，常用的有三角換元和代數換元。 2.放縮法：理論依據：a>b,b>ca.c，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。 3.反證法：理論依據：命題“p”與命題“非p”一真、一假，證明格式 [反證]：假設結論“p”錯誤，“非p”正確，開始倒推，推導出矛盾(與定義，定理、已知等等矛盾)，從而得 到假設不正確，原命題正確。 4.數學歸納法：這是一種利用遞推關系證明與非零自然數有關的命題，可以是等式、不等式、命題。 證明格式： (1)當n=n0時，命題成立； (2)假設當n=k時命題成立； 則當n=k+1時，證明出命題也成立。 由(1)(2)知：原命題都成立。 [本周教學例題] 一、換元法： 1.三角換元： 例1.求證： 證一：(綜合法) 即： 證二：(換元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π] 則 ∵-1≤sin2≤1 例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求證： 分析：由于條件給出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1這一特點是解決問題的重要環節。由本題中x>0，y>0,2x+y=1的條件也可用三角代換。 證一： 證二：由x>0,y>0，2x+y=1，可設 則 例3.若x2+y2≤1，求證： 證：設 則 例4.若x>1，y>1，求證： 證：設 則 例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求證： 證：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設 則 小結：若0≤x≤1，則可令 若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π) 若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π) 若x≥1，則可令 2.代數換元：，若xR，則可令 例6：證明：若a>0，則 證：設 則 即 ∴原式成立 小結：還有諸如“均值換元”“設差換元”的方法。 二、放縮法： 例7.若a,b,c,dR+，求證： 證：記 ∵a,b,c,dR+ ∴1 例8.當n>2時，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1 證：∵n>2 ∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0 ∴n>2時，logn(n-1)logn(n+1)<1 例9.求證： 證： 三.反證法 例10.設0 證：設 則三式相乘： ① 又∵0 同理： 以上三式相乘： ∴原式成立 與①矛盾 例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0 證：設a<0，∵abc>0，∴bc<0 又由a+b+c>0，則b+c=-a>0 ∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 與題設矛盾 又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0 同理可證：b>0，c>0 四.構造法： 1.構造函數法 例12.已知x>0，求證： 證：構造函數 由 顯然 ∴上式>0 ∴f(x)在 上單調遞增，∴左邊 例13.求證： 證：設 用定義法可證：f(t)在上單調遞增，令：3≤t1 例14.已知實數a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個不小于2。 證：由題設：顯然a,b,c中必有一個正數，不妨設a>0 則有兩個實根。 例15.求證： 證：設 當y=1時，命題顯然成立，當y≠1時，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0 綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法) 例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd 證一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正數 ∴要證：(xy)≥ac+bd 只需證 即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd 展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd 即：a2d2+b2c2≥2abcd 由基本不等式，顯然成立 ∴xy≥ac+bd 證二：(綜合法) 證三：(三角代換法) ∵x2=a2+b2，∴不妨設 y2=c2+d 2五.數學歸納法： 例17.求證：設nN，n≥2，求證： 分析：關于自然數的不等式常可用數學歸納法進行證明。 證：當n=2時，左邊，易得：左邊>右邊。 當n=k時，命題成立，即：成立。 當n=k+1時，左邊 又 ；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)； 于是可得： 即當n=k+1時，命題也成立； 綜上所述，該命題對所有的自然數n≥2均成立。 [本周參考練習] 證明下列不等式： 1.提示：令，則(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情況討論。 2.已知關于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，對任意實數x恒成立，求證： 提示：分 3.若x>0，y>0，x+y=1，則 提示：左邊 令t=xy，則 在 上單調遞減 4.已知|a|≤1，|b|≤1，求證：，提示：用三角換元。 5.設x>0，y>0，求證：a 放縮法 6.若a>b>c，則 10.左邊 11.求證：高二數學不等式的應用 三.關于不等式的應用： 不等式的應用主要圍繞著以下幾個方面進行： 1.會應用不等式的證明技巧解有關不等式的應用題：利用不等式求函數的定義域、值域；求函數的最值；討論方程的根的問題。 (求極值的一個基本特點：和一定，一般高，乘積撥了尖；積不變，兩頭齊，和值得最低。)在使用時，要注意以下三個方面：“正數”、“定值”、“等號”出現的條件和成立的要求，其中“構造定值”的數學思想方法的應用在極值使用中有著相當重要的作用。 2.會把實際問題抽象為數學問題進而建立數學模型，培養分析問題、解決問題的能力和運用數學的意識。 3.通過不等式應用問題的學習，進一步激發學數學、用數學的興趣。 四、不等式的應用問題舉例： 例10.已知a、b為正數，且a+b=1，求 最大值。 分析：在一定的條件限制下出現的最值問題，在變式的過程中，如何減少變形產生的錯誤也是必不可少的一個環節。 解：由可得； 小結：如果本題采用 兩式相加而得：號是否取到，這是在求極值時必須堅持的一個原則。 ；則出現了錯誤：“=” 例11.求函數的最小值。 分析：變形再利用平均值不等式是解決問題的關鍵。 解： 即f(x)最小值為-1 此類問題是不等式求極值的基本問題；但如果再改變x的取值范圍(當取子集時)，要則要借助于函數的基本性質解決問題了。 例12.若4a2+3b2=4，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一個 分析：在解決此類問題時，如何把4a2+3b2=4拆分成與(2a2+1),(b2+2)兩個式子的代數和則是本問題的關鍵。 解： 當且僅當：4a2+2=3b2+6，即 時取等號，y的最大值為8。 小結：此問題還有其它不同的解法，如三角換元法；消元轉化法等等。但無論使用如何種廣泛，都必須注意公式中的三個運用條件(一正，二定，三等號) 例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此時的x、y的值。 分析：考查分式的最值時，往往需要把分式拆成若干項，然后變形使用平均值不等式求解。 解：∵x>y>0 ∴x-y>0 又∵x·y=1，也即：；當且僅當時取等號。 也即；時，取等號。 例14.設x，y，z∈R+，x+y+z=1，求證：的最小值。 分析：此類問題的關鍵是如何使用平均值不等式，兩條途徑1.利用進而進行類加。 2.另一個途徑是直接進行1的構造與轉化。但無論如何需要注意的是驗證“=”號成立。本題使用1的構造代入。 解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1 當且僅當時，取“=”號，的最小值為9。 小結：本題如果采用三式類加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得： 。進而言之，的最小值為5，則出現了一個錯誤的結果，其關鍵在于三個“=”號是否同時成立。 例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較 a，b，c的大小。 分析：此問題只給出了幾何簡單的不等式關系，故要判斷大小必須在這幾個不等式中進行變形分析才可解決問題。 解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac 又∵a>0,∴b≥c,(當且僅當a=c時，取等號)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式變形為：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，結合：b>c可得：b>c>0 又由b>a可得：2ab>2a2，綜上所述，可得：b>c>a 小結：本題中熟練掌握不等式的基本性質和變形是解決問題的關鍵。 例16.某村計劃建造一個室內面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內，沿左，右兩側與后側內墻各保留1m寬的通道，沿前側內墻保留3m寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？ 分析：如何把實際問題抽象為數學問題，是應用不等式等基礎知識和方法解決實際問題的基本能力。 解：設矩形溫室的左側邊長為am，后側邊長為bm，則ab=800 蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b) 所以 當a=2b，即a=40(m),b=20(m)時，=648(m2) 答：當矩形溫室的左側邊長為40m，后側邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.例17.某企業2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業的生產能力將逐年下降，若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為 (Ⅰ)設從今年起的前n年，若該企業不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術改造資金)，求An、Bn的表達式； (Ⅱ)依上述預測，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？ 分析：數學建模是解決應用問題的一個基本要求，本問題對建立函數關系式、數列求和、不等式的基礎知識，運用數學知識解決實際問題的能力都有著較高的要求。 解：(Ⅰ)依題設，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2； (Ⅱ) 因為函數上為增函數，當1≤n≤3時，當n≥4時，∴僅當n≥4時，Bn>An。 答：至少經過4年，該企業進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤。 小結：如何進行數學建模最基本的一個方面就是如何把一個實際中的相關因素進行分析，通過文字說明轉化為等量關系或者是相互關系，再把文字關系處理為數學關系。 五、本周參考練習 1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，證明： 2.如果△ABC的三內角滿足關系式：sin2A+sin2B=sin2C，求證： 3.已知a、b、c分別為一個三角形的三邊之長，求證： 4.已知x，y是正數，a，b是正常數，且滿足：，求證： 5.已知a，b，c∈R+，求證： 6.已知a>0，求的最值。(答最小值為) 7.證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。 8.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積8m2，問x、y分別為多少(精確到0.001m)時用料最省？ (答：當x為2.34m，y為2.828m時，用料最省。)高二數學練習三 1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一個充分不必要條件是() A.|x|<1 B.x<1 C.|x|>1 D.x<-1或|x|<1 2.已知實數a，b，c滿足：a+b+c=0，abc>0，則：的值() A.一定是正數 B.一定是負數 C.可能是0 D.無法確定 3.已知a,b,c是△ABC的三邊，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（） A.有兩個不相等的實根 B.有兩個相等的實根 C.沒有實數根 D.要依a，b，c的具體取值確定 4.設0 A.C.5.設a,bR+，則A，B的大小關系是（） B.D.A.A≥B B.A≤B C.A>B D.A 6.若實數m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值是（） A.B.C.D.7.設a，b，cR+，則三個數 A.都大于2 B.都小于2 （） C.至少有一個不大于2 D.至少有一個不小于2 8.若a，bR+，滿足a+b+3=ab，則 9.設a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，則的取值范圍是_____ 的最大值為_____ 10.使不等式 答案： 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1 都成立的a與b的關系是_____ 高考網 www.tmdps.cn 高二強調句練習題-英語 1.My bike is missing.I can't find ____ anywhere.A.one B.ones C.it D.that 2.—— Who's that？ ____ Professor Li.A.That's B.It's C.He's D.This's 3.____ was Jane that I saw in the library this morning.A.It B.He C.She D.That 4.—— Have you ever seen a whale alive？ Yes, I've seen ____.A.that B.it C.such D.one 5.The color of my coat is different from ____ of yours.A.this B.that C.it D.one 6.____ will do you good to do some exercise every morning.A.It B.There C.Those D.You 7.We think ____ our duty to pay taxes to our government.A.that B.this C.its D.it 8.The climate of Shanghai is better than ____ of Nanjing.A.that B.it C.which D.what 9.____ four years since I joined the Army.A.There was B.There is C.It was D.It is 10.How long ____ to finish the work？ A.you'll take B.you'll take it C.will it take you D.will take you 高考網 www.tmdps.cn 高考網 www.tmdps.cn 11.It was through Xiao Li ____ I got to know Xiao Wang.A.who B.whom C.how D.that 12.It was in the rice fields ____ we had our league meeting.A.where B.that C.in which D.on which 13.It was on October 1st ____ new China was founded.A.which B.when C.as D.that 14.Was it because he was ill ____ he asked for leave？ A.and B.that C.that's D.so 15.Mary speaks in a low voice； ____ is difficult to know what she is saying.A.it B.that C.so D.she 16.It was ____ I met Mr.Green in Shanghai.A.many years that B.many years before C.many years ago that D.many years when 17.____ is not everybody ____ can draw so well.A.It，all B.It，that C.There，who D.There，that 18.So ____ that no fish can live in it.A.shallow is the lake B.the lake is shallow C.shallow the lake is D.is the lake shallow 高二強調句練習題-英語（答案） 高考網 www.tmdps.cn 高考網 www.tmdps.cn 1-5 CBADB 6-10 ADADC 11-15 DBDBA 16-18 CBA 高考網 www.tmdps.cn第二篇：不等式練習題(帶答案)
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第四篇：高二數學不等式的證明
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