第一篇：平行線分三角形兩邊成比例(一)

課題：平行線分三角形兩邊成比例

（一）學習目標：

1．掌握平行線分三角形兩邊成比例的性質。2．會對照圖形寫出正確的比例式。

2．會利用性質解決相關的計算和證明。

一、平行線分三角形兩邊成比例的性質：

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段成比例。

（1）性質表示（如圖）：

DE//BC或DE//BC或DE//BC或DE//BC D

∴AEADAE?∴∴∴DBEC

（2）巧計性質，如右圖，性質可以寫成：

上

下?上

下，上

下?上

下，上

下?上上下全

下上=下=全

注意：性質中所涉及的線段不包括DE和BC BCA上上DE下BC

第二篇：比例線段;黃金分割;平行線分三角形兩邊成比例

比例線段；黃金分割；平行線分三角形兩邊成比例

【本講教育信息】

一.教學內容：

第十九章

相似形

第一節(jié) 比例線段

第二節(jié) 黃金分割

第三節(jié)平行線分三角形兩邊成比例

二.教學目標：

1.了解成比例線段的概念，會判斷已知線段是否成比例。

2.了解比例的性質，會運用比例的性質進行簡單的比例變形。

3.了解黃金分割。

4.掌握平行線截三角形兩邊成比例定理。

三.教學重點、難點：

平行線截三角形兩邊成比例定理

四.教學過程：

（一）知識要點：

1.線段的比：

一般地，用同一長度單位（如米或厘米或毫米）去度量線段a,b所得的量數(shù)分別為m,n，那么這兩條線段的比為a：b=m：n，或

am，其中a叫比的前項，b叫比的后項。?bn 注：①用同一長度單位去度量。

②兩條線段的比和所選用的長度單位無關。

③兩條線段的比總是正數(shù)。

2.成比例線段：

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。如ac?（或a：b=c：d）中，a、b、c、d叫四條線段成比例線段。a、b、c、d叫做bd組成比例的項，線段a、d叫比例外項，線段b、c叫做比例內項，線段d叫做a、b、c的第四比例項。

3.比例的性質：

（1）比例的基本性質：

如果a：b=c：d，那么ad=bc，反之，若ad=bc且bd≠0，那么a：b=c：d。

（2）合比性質：

如果aca?bc?d?，那么?。bdbdaca?bc?d?，那么?。bdbd（3）分比性質： 如果

補充：等比性質： 若acea?c?…?ea??…?，且b?d?…?f?0，則?。bdfb?d?…?fbACBC，那么稱線段AB被點C?ABACAC?1?5≈?AB

24.黃金分割： 若點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫黃金比，0.618。

注：黃金分割重在實際問題中的應用。

5.平行線截三角形兩邊成比例定理：

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應線段成比例。

如圖：△ABC中，EF//BC ∴AEAFAEAF?，?，… BEFCABAC A E B F C

【典型例題】

例1.已知：A、B兩地的實際距離AB=5000m，而畫在地圖上A、B兩點距離A＇B＇=5cm，求該地圖的比例尺（即圖上距離與實際距離的比）。

解：A B?5000mc?500000mA'B'?5cm

A'B'51 ???AB500000100000∴該地圖的比例尺為1：100000

例2.已知：a，求a。：2?3：5

例3.若解：∵a：2=3：5 ∴5a=6（比例的基本性質）∴a?6 5ab?，且a?4cm，c?3cm，求b。bc

解：∵ab ?，且a?4cm，c?3cmbc?b2?12 4b??b3?b??23∵b>0 ∴b?23 cm

例4.證明分比性質。

證明：∵ac? bdac??1??1 bda?bc?d ??bd

例5.證明等比性質。

證明：設ace ??…??kbdf ?a?bk，c?dk，…，e?fk a?c?…?ebk?dk?…?fk(b?d?…?f)k ????kb?d?…?fb?d?…?fb?d?…?fa?c?…?ea?? b?d?…?fb

例6.已知：

例7.已知：

aa?b5?，求。

bb7a?b5解：∵?

b7a?b?b5?7 ??b7a12?? b7aca?bc?d?（其中a?bc，）?d，求證：?。bda?bc?dac證法一：∵?

bdab?cd?ab?cd???，?

bdbd

?a?b?0，c?d?0a?ba?bcd?cd?????

bbdda?bc?d即 ?a?bc?dac證法二：設??k

bd∴a=bk，c=dk ∵a≠b，c≠d ∴k≠1 ab?bkb?b(k?1)k?1???? ab?bkb?b(k?1)k?1cd?dkd?d(k?1)k?1??? cd?dkd?d(k?1)k?1a?bc?d ??a?bc?dace。求：ace。???5，且bdf???7??bdface解：????5

bdfac?e ????5bd?fa?c?e??5 b?d?f ?b?d?f?7a?c?e??5 ?a?c?e?5?7?35

例8.已知：

例9.已知：

xyzxyz?? ??，求??234xxyz解：∵??

234x?y?zx?? 2?3?42x?y?z9??

x2ADBF?。DBFC

例10.已知：如圖，△ABC中，DE//BC，EF//AB，求證：

證明：在△ABC中，∵DE//BC ∵EF//AB ∴

ADAE ?DBACAEBF∴ ?ECFC∴ADBF ?DBFC 小結：本周研究了成比例線段、黃金分割、平行線截三角形兩邊成比例定理，這些內容都是很好地研究后續(xù)課的基礎。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

1.求下列各式中的x：

（1）x：6=2：5

（3）3：5=x：4

2.已知：

（2）1：x=2：7（4）2：5=3：x a5a?ba?b（2）（3）?，則（1）?_________，?_________，b3bba?b?_________。a?bace

3.已知：???2，且ac，則b???df_________。??e?5bdf

4.已知：

5.已知：ace2a?c?3e???，則?_________。bdf3b?d?3fabca?2bc?_________。??，則?123b

6.已知：如圖，△ABC中，DE//BC，AD=4，DB=3，AC=10。求AE、EC。

A D E

7.已知：如圖，△ABC中，DE//AC，DF//AB，AE=2，BE=3，F(xiàn)C=3。求AF。

B C

A E F B D C

【試題答案】

12712

1.（1）x?（2）x?

（3）x?

52582

2.（1）（2）（3）4 335

3.22

4.3

5.1

6.AE?（4）x?15 24030，EC?（提示：利用平行線截三角形兩邊成比例定理，有比例式77ADAE，設AE=x）?DBEC9

7.AF?

第三篇：九年級數(shù)學上冊18.3平行線分三角形兩邊成比例教案

18.3平行線分三角形兩邊成比例

一、教學目標

1.理解平行線分三角形兩邊成比例定理；

2.進一步熟悉平行線分三角形兩邊成比例定理的應用

二、課時安排 1課時

三、教學重點 定理的應用。

四、教學難點

成比例的線段中比例線段的確認

五、教學過程

（一）導入新課

1、平行線分三角形兩邊成比例定理的內容？

2、幾何語言如何表示？

（二）講授新課

1、實踐

如圖，直線L1//L2//L3，直線L4被L1，L2，L3所截，其中截得的兩條線段分別為AB，BC，L5是另外一條被L1，L2，L3所截的直線，其中截得的兩條線段分別是DE，EF。

(1)度量線段AB，BC，DE，EF的長，并計算 ,你有什么發(fā)現(xiàn)？

(2)移動直線L1，L2，L3，并保持L1//L2//L3，前面發(fā)現(xiàn)的結論是否仍然成立？ 我們發(fā)現(xiàn)，當L1//L2//L3時，都可得到 總結：

基本事實：兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊,所得的對應線段成比例.議一議：

如圖，AD是△ABC的中線，E是AC上任一點，BE交AD于點O，數(shù)學興趣小組的同學在研究這個圖形時，得到如下結論：

AO1AE1?時，?； AD2AC3AO1AE1?時，?；（2）當AD3AC5AO1AE1?時，?（3）當AD4AC7AEAO1?猜想，當時，（n是正整數(shù)），的一般結論，并說明理由。

ACADn?1（1）當

分析：

應用比例關系，需創(chuàng)造平行線，因此需要添加輔助線解決問題。輔助線添加方法：

過D點作DF∥BE交AC于點F

重難點精講

例

1、已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，AD=4，DB=3，AC=10.求AE，EC的長。

注意引導學生使用適當?shù)谋壤剑? 練習：

1、如圖1：已知L1∥L2∥L3，AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米.則EF=（），DE=（）.2、如圖2：△ABC中，DE ∥BC，如果AE ：EC=7 ：3，則DB ：AB=（）

例

2、已知：如圖，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，試問成立嗎？為什么？

引導學生分析，應用中間比解決問題，類比等量代換

練一練：

1、如圖： △ABC中, DE ∥BC，DF ∥AC，AE=4，EC=2，BC=8，求線段BF,CF之長.（三）歸納小結

基本事實：兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊,所得的對應線段成比例.（四）鞏固練習

1．如圖，⊿ABC中，DE∥BC，AD = 3k，BD = 3k，那么DE:BC? ；

2．如圖，在△ABC中，∠C的平分線交AB于D，過點D作DE∥BC交AC于E，若AD:DB=3:2，則EC:BC=______

3．如圖，DF//AB，EF//BC，AE=5，EB=3，CD=2，求BD的長。

AEFBDC

4.已知DE∥BC,EF∥CD, 求證:

ADAB? AFAD

六、板書設計

平行線分三角形兩邊成比例

基本事實：兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊,所得的對應線段成比例.七、作業(yè)布置

如圖F為平行四邊形ABCD的AD延長線上一點，BF分別交CD、AC于G、E，若 EF=32，GE=8，求BE.八、教學反思

第四篇：【教案】 相似三角形及平行線分線段成比例

27.2.1 相似三角形及平行線分線段成比例

一、教學目標： 知識目標

理解并掌握相似三角形及平行線分線段成比例的基本事實及其推論，并會靈活應用。能力目標

通過應用，培養(yǎng)識圖能力和推理論證能力。情感態(tài)度與價值觀

（1）、培養(yǎng)學生積極的思考、動手、觀察的能力，使學生感悟幾何知識在生活中的價值。

（2）、在進行探索的活動過程中發(fā)展學生的探索發(fā)現(xiàn)歸納意識并養(yǎng)成合作交流的習慣。

二、重、難點

重點：平行線分線段成比例定理和推論及其應用。

難點：平行線分線段成比例定理及推論的靈活應用，平行線分線段成比例定理的變式。

三、教學過程

1、復習設疑，引入新課

內容：教師提問：（1）什么是成比例線段？（2）什么是相似多邊形？

（3）你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3？

目的：（1）復習成比例線段的內容，回顧上節(jié)課通過方格紙?zhí)骄砍杀壤€段性質的過程。（2）通過一個生活中的實例激發(fā)學生探究的欲望。效果：學生對不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3，這一問題很感興趣，急切想要知道解決辦法。

2、小組活動，探究定理

探究活動一：

內容：如圖（1）小方格的邊長都是1，直線a ∥b∥ c ,分別交直線m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。

A1A2B1B2,（１）計算

你有什么發(fā)現(xiàn)？ A2A3B2B3（２）將ｂ向下平移到如下圖2的位置，直線ｍ，ｎ與直線ｂ的交點分別為A2，B2。你在問題（１）中發(fā)現(xiàn)的結論還成立嗎？如果將ｂ平移到其他位置呢？

(圖2）

（３）在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的線段成比例嗎？

歸納：平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；

目的：讓學生通過觀察、度量、計算、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動，達到對平行線分線段成比例定理的意會、感悟。

效果：學生在以前的學習中，尤其是本章前兩節(jié)的探究也是通過表格中的多邊形來完成的。所以學生有種熟悉感，并不感到困難。

2.議一議： 內容：教師提問： 1.如何理解“對應線段”？

2.平行線分線段成比例定理的符號語言如何表示？ 3.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？

A1A2B1B2=若a ∥b∥ c，則

A2A3B2B3。

A1A2BBA2A3B2B3=12=AAB1B3，A1A2B1B2，由比例的性質還可以得到：13A2A3B2B3=A1A3B1B3等。

目的：讓學生在探究得出結論的基礎上，對平行線分線段成比例定理的有進一步的理解。并掌握定理的符號語言，進一步發(fā)展推理能力。

效果：學生從幾何直觀上很容易找出“對應線段”。利用比例的性質寫出成比例線段時，感覺結論很多，老師這時可以引導總結出成比例線段的特點，那就是都體現(xiàn)了“對應”二字。探究活動二：

內容：如圖3，直線a ∥b∥ c，分別交直線m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。過點A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點C2，C3。（如圖4），圖4中有哪些成比例線段？

（圖3）

(圖4）

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。目的：讓學生脫離表格，不通過計算，運用平行四邊形的性質推理得出平行線等分線段定理的推論。

效果：學生已經(jīng)學習過特殊四邊形的性質與證明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，進而得出推論。而且讓學生歸納表述結論，可培養(yǎng)學生的抽象概括能力及語言表達能力。

目的：加深對平行線分線段成比例定理及其推論的理解，發(fā)展學生的應用能力。效果：經(jīng)過這一環(huán)節(jié)的變式應用，學生能夠歸納出平行線分線段成比例定理及其 推論的本質特征。3.探究活動三：

內容:直線l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC則圖中還有哪些線段相等？

l4

l6

C

O F

l3

B

N E

l2

A D M l思考：當平行線之間的距離相等時，對應線段的比是多少？

2.如何不通過測量，運用所學知識，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2:3? 目的：讓學生體會平行線等分線段定理可看作是平行線分線段成比例定理的特例。解決課堂引入時提出的問題。

效果：學生很容易得出此時的對應線段的比值為1，也為后面探究相似與全等的關系做了鋪墊。

3、靈活應用

內容：例

1、如圖，在△ABC中，E、F分別是AB和AC上的點，且 EF∥BC,（1）.如果AE = 7, FC = 4，那么AF的長是多少？

（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5，那么FC的長是多少？

課堂練習： B

C

E

F A

1、如圖，已知l1//l2//l3,（1）.在圖（1）中AB = 5, BC = 7，EF=4，求DE的長。

（2）.在圖（2）中DE = 6, EF = 7，AB=5，求AC的長。

2、如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC上的點，且 DE∥BC,（1）.如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm，AE=2.4cm,那么EC的長是多少？

（2）.如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm，那么EC的長是多少？

目的：通過對平行線分線段成比例定理的簡單應用，規(guī)范書寫格式，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Γ罨瘜χR的理解。

效果：由學生直觀操作得出的結論與簡單推理進行有機結合，是對探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，實現(xiàn)理性升華，培養(yǎng)語言表達能力。

4、課堂小結：

內容：本節(jié)課你有哪些收獲？ 目的：

通過師生反思評價，實理知識的系統(tǒng)歸納，對知識和方法進行總結，并通過作業(yè)和考題全面鞏固平行線分線段成比例定理及其推論。效果：

學生都能歸納出：

1、兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例； B D

E

A C（1）

F

C F B E A D

D A

E B

（2）

C

2、平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。

5、布置作業(yè)：

第五篇：平行線分線段成比例證明題

例1：已知：△ABC中，DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E 求證：

ADAEDE?? ABACBC

例2：已知：△ABC中，E、G、D、F分別是邊AB、CB上的一點，且GF∥ED∥AC，EF∥AD BGBD求證： BE?BC.例

3、已知：△ABC中，AD為BC邊上的中線，過C任作一直線交AD于E，交AB于F。AE2AF?求證： EDFB

例4：如圖，已知：D為BC的中點，AG∥BC，求證：

例5：已知：△ABC中，AD平分∠BAC，求證：

例6：△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD交AD于E，交AB于M，求證：

EGAF? EDFC

ABBD?（過C作CE∥AD交BA的延長線于E）.ACDCBDAB? DCAM

練習：

1、已知：如圖，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF=1.5，AB=2.5，F(xiàn)B=2.2 BD=3.6，求CD的長。

2、已知：如圖，四邊形AEDF為菱形，AB=12，BC=10，AC=8，求：BD、DC及AF的長。

3、已知：如圖，B在AC上，D在BE上，且AB:BC=2:1，ED:DB=2:1 求AD:DF

4、已知，如圖，E在BC上，F(xiàn)在AC的延長線上，且AF=BE，ACDE?BCDF

求證： 方法1：過E作EG∥AF交AB于G 方法2：過E作EF∥AB交AC于F

5、已知：如圖，平行四邊形 ABCD中，EF∥AD求證：GH∥AB