第一篇：添平行線、利用相似三角形證明

平行線分線段成比例(添輔助線)

一、知識要點：

1、平行線分線段成比例的基本圖形；

2、構造基本圖形來解題。

二、例題簡析及練習：

例

1、已知FD與△ABC的邊AB交于F，與AC交于E，與BC的延長線交于D，且

DEAB?AF=CD，求證： EFBC

B C D

1EF2AF?練習

1、已知如圖BD=CD，求證： 2BEAC

C例

2、△ABC中AF∶FC=1∶2，G是BF的中點，AG的延長線交BC于E，求BE:EC

C E

練習

2、△ABC中D是BC上的一點，AE∶EC=3∶4，BD∶DC=2∶3，求BF∶FE

E

C D 1例

3、□ABCD中，E是AB的中點，AF=FD，連接FE交AC于G，求AG∶AC 2D C

B E A

練習

3、已知，如圖，△ABC中，E、F分別為BC的三等分點，D為AC的中點，BD分別與AE、AF交于點M、N，求BM:MN:ND

DE F C

三、鞏固練習：

1、△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AP=PD。求證：1）PB=3PF；2）如果AC=13，求

AF的長。

F

C D

2、如圖，D、F分別是△ABC的邊AB、AC上的點，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3 連DF交BC的延長線于E.求EF∶FD.3、已知OM∶MP=ON∶NR，求證：△PQR為等腰三角形。O4、直線截△ABC的邊AB、BC、AC或其延長線于D、E、F，求證：

5、在△ABC中AC=BC，F為底邊AB上的一點，的中點D，連接AD并延長交BC于E。1）求

R

ADBECF

???1 DBECFA

F

E

D

C

BFm

?，（m,n為正數）。取CFAFn

BE的值；2）如果BE=2EC，那么CFEC

所在的直線與邊AB有怎樣的位置關系？證明你的結論。3）E點能否為BC的中

m

點？如果能，求出相應的值，如果不能，說明理由。

n

利用相似三角形的證明

1、已知菱形ABCD中，F是BD上的一點，AF的延長線交BC于E，交DC的延長線于G，A

求證：CF?FE?FG

D

練習、如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點, E、F分別在AB、AC上，∠BDE＝∠CFD.試說明 : BD·DC = BE·CF

練習、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過點D作AC的平行線交BA延長線于E，求證：DE?DC?EA?BD

D

C2、已知如圖，∠A=90°，D是AB上任意一點，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB，求證：AD=BF3、已知等腰直角△ABC中，BD?

B

D

A

1AB,AE?AC，求證：∠ADE=∠EBC。3

3練習、已知等腰直角△ABC中，AM∶MN∶NC=3∶1∶2，求證：∠CBN=∠ABM

E

C

B4、已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別在CB和CB的延長線上，∠BAE＝∠ADB．求證：AB2＝CD·BE．

B

C

E

練習、已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

5、已知如圖，△ABC中AD是∠A的平分線，E是AB的中點，EF⊥AD交BC延長線于F，求證：DF?CF?BF

F D C

練習、△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上的一點，過點C作CF∥AB，延長BP

交AC于E，交CF于F，求證：BP?PE?PFF

D C6、已知如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，求證：BC2?2AC?CD

C

練習

3、已知：在△ABC中，∠

BAC＝90°，點D為BC上的中點，過點D作BC的垂線DF，交BA的延長線于點F，交AC于點E．求證：BC2＝4DE·DF．

A CE

鞏固練習

F1、如圖△ABC是等邊三角形，∠DAE=120°，D、B、C、E共線，則圖中有相似三角形的個數至少為（）(A)一對(B)二對(C)三對(D)四對

?

?ABC，?C?90,CD?AB于D，延長CB到E，使BE?CB。

2、已知：如圖，求證：?BAE??BED。

3、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE為AC的中線，延長線交AB的延長于F，求證：AB·AF=AC·DF。

4、已知：如圖，D、E是△ABC的邊BC上兩點，且∠BAD=∠C，∠DAE=∠EAC，求證：BD:BA=DE:EC5、已知：如圖，在△ABC中EF是BC的垂直平分線，AF、BE交于一點D，AB=AF。求證：AD=DF。

6、已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一點，CF⊥BE于F。求證：EB·DF=AE·DB7、如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，連接并延長DE交BC的延長線于點

F，連接DC、BE，若∠BDE＋∠BCE＝180°。⑴寫出圖中3對相似三角形（注意：不得添加字母和線）⑵請在你所找出的相似三角形中選取1對，說明它們相似的理由。A、如圖，在△ABC中，DF經過△ABC的重心G，且DF∥AB，DE∥AC，連接EF，如果BC=5，AC=2AB.求證:△DEF∽△ABC

F

第二篇：利用相似三角形測高教學設計

《利用相似三角形測高》

教 學 設 計

教學目標

1、知識與技能

（1）.通過測量旗桿的高度的活動，鞏固相似三角形和三角函數有關知識，積累數學活動的經驗.（2）.熟悉測量工具的使用技能，了解小鏡子使用的物理原理.2、過程與方法

（1）.通過測量旗桿的高度，使學生運用所學知識問題，以分組合作活動的方法進行全班交流，進一步積累數學活動經驗。（2）.通過測量活動，使學生初步學會數學建模的方法.（3）.提高綜合運用知識的能力.3、情感態度與價值觀

（1）.理解數學模型來源生活，又為解決生活中的某一問題而服務，體會數學與實際生活的緊密聯系，從而增強學生的數學應用意識。（2）.通過問題情境的設置，培養學生積極的進取精神，增強學生數學學習的自信心。實現學生之間的交流合作，體現數學知識解決實際問題的價值。教學重點、難點

重點：綜合運用相似三角形判定條件，性質和三角函數知識解決實際問題。

難點：

1、解決學生在操作過程中如何聯系課本中的知識。

2、抓住測量方法，結合所學，進行問題的解決。教學過程：

一、問題導入

同學們，我們學校操場的旗桿很高，我們如何能知道它的高度呢？我們能否運用所學知識來解決這一問題呢？這就是這節課我們將要解決的問題。

二、探究新知

將全班分成4人一組，選出組長。活動1：利用太陽光下的影子

實驗原理：利用太陽光是平行光，得到△ABE∽△CDB 具體操作：小組選一名同學直立于旗桿影子的頂端處。需測量的數據：觀測者的身高AB、觀測者的影長BE、同一時刻旗桿的影長BD 計算方法：由△ABD∽△CDB得

ABBEAB?BD?從而求出CD?.CDBDBE優點：1測量簡便易行 2計算快捷 缺點：需要陽光，陰天不行

活動2：利用標桿，用眼睛觀測，觀測者的眼睛與標桿的頂端和旗桿的頂端“三點共線”

實驗原理：當旗桿頂部、標桿的頂端與眼睛恰好在一條直線上時,因為人所在直線AB與標桿、旗桿都平行,過眼睛所在點A作旗桿DC的垂線交旗桿DC于N,交標桿EF于M,于是得△AEM∽△ACN.具體操作：選一名同學作為觀測者，在觀測者與旗桿之間的地面上直立一根高度適當的標桿。觀測者適當調整自己所處的位置，當旗桿的頂部、標桿的頂端、觀測者的眼睛恰好在一條直線上。

需測量的數據：觀測者的眼睛到地面的距離AB、觀測者的腳到標桿底部的距離FB和到旗桿底部的距離BD、標桿的高EF.計算方法：可以得出△AME∽△ANC，列出比例式CN?AN?ME，再用CN+DN即求出旗桿的高度。AMAMME?,可得ANCN優點：1無需陽光 2有關數據易測量 3測量工具簡單 缺點：1需要工具 2要求標桿與地面垂直 “三點一線” 活動3：利用鏡子反射

實驗原理：根據光線的入射角等于反射角，得到△ABE∽△CDE 3 具體操作：小組選一名同學作為觀測者，在觀測者與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標記。觀測者看著鏡子來回移動，直至看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合。

需測量的數據：觀測者的身高AB、觀測者的腳到鏡子的距離BE和鏡子到旗桿底部的距離ED。計算方法：

根據△ABE∽△CDE，列出比例式

ABBEAE?DE?,可得CD? CDEDBE優點：1需要工具少且容易計量 2計算較簡單 缺點：1鏡子需要水平放置 2旗桿前無障礙物

三、實驗收獲與反思：

在此實踐活動中，學生的顯性收獲是學會了如何測量旗桿的高度，如何構建相似三角形，如何構建直角三角形，將相似三角形、直角三角形等有關知識體系進行一定程度地梳理；隱性收獲是體驗到哪些方法可行，哪些方法不可行，那些方法較容易操作，得出的結果比較精確，從而獲得構建幾何模型解決實際問題的方法與經驗。

第三篇：4.6利用相似三角形測高 教學設計

“自·合＋”學習任務單

北師大版 九年級數學（上冊）

4.6利用相似三角形測高

主備：童嬌鳳

1． 【教學目標】

2． 能夠運用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區問題）等的一些實際問題．

3． 通過把實際問題轉化成有關相似三角形的數學模型，進一步了解數學建模的思想，培養分析問題、解決問題的能力．

【教學重點】

1．重點：運用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度．

2．難點：靈活運用三角形相似的知識解決實際問題（如何把實際問題抽象為數學問題）．

【教學過程】

一、檢查課前學習情況 出示學習目標

二、自·合探究1 任務：思考后回答以下列問題。

1.在陽光下，物體的高度與影長有有什么關系。2.你能有理由說明嗎？

要求：獨學2分鐘，對學2分鐘

（說明：了解太陽光本不是平行光，是離我們太遙遠了，所以近視的看作是平行光，利用相似三角形的性質不難證明）

三、自·合探究2 任務：思考后回答以下問題。

利用三角形相似，如何測量旗桿的高 要求：獨學5分鐘，對學3分鐘

四、歸納：

方法一：利用陽光下的影子 方法二：利用標桿 方法三：利用鏡面反射

五、目標檢測1 任務：

完成“學習單 目標檢測1” 要求：

1.獨立完成，答語完整，表述清晰； 2.獨學10分鐘.2.1有理數 1 “自·合＋”學習任務單

北師大版 九年級數學（上冊）

1，皮皮欲測樓房高度，他借助一長5m的標竿，當樓房頂部、標竿頂端與他的眼睛在一條直線 上時，其他人測出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛離地面1.6m.請你幫他算出樓房的高度。

2.小明要測量一座古塔的高度,從距他2米的一小塊積水處C看到塔頂的倒影,已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到積水處C的距離是40米.求塔高AB?

3.某同學想利用樹影測量樹高.他在某一時刻測得小樹高為1.5米時，其影長為1.2米，當他測量教學樓旁的一棵大樹影長時，因大樹靠近教學樓，有一部分影子在墻上.經測量，地面部分影長為6.4米，墻上影長為1.4米，那么這棵大樹高多少米?

4.有一棵高大的松樹，小麗想測算出它的高度。由于太高無法攀登，也不好砍倒它。如果此時小麗手中只有一卷的軟皮尺，你能幫幫她嗎？說說你的設計方案。

（說明：利用前面的三種方法靈活應用三角形相似，尋找對應邊的比）

2.1有理數 2 “自·合＋”學習任務單

北師大版 九年級數學（上冊）

六、課堂小結

1.掌握了利用相似三角形測高的方法 2.知道了如何測旗桿的高

【課后學習】

1． 在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例．在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米?

2.小明要測量一座古塔的高度，從距他2米的一小塊積水處C看到塔頂的倒影，已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到積水處C的距離是40米.求塔高?

3.如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落在離網5米的位置上，求球拍擊球的高度h．(設網球是直線運動)

4.小明想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長0.9m，但當他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測得留在墻上的影高1.2m，又測得地面部分的影長2.7m，他求得的樹高是多少？

2.1有理數 “自·合＋”學習任務單

北師大版 九年級數學（上冊）

2.1有理數 4

第四篇：【教案】 相似三角形及平行線分線段成比例

27.2.1 相似三角形及平行線分線段成比例

一、教學目標： 知識目標

理解并掌握相似三角形及平行線分線段成比例的基本事實及其推論，并會靈活應用。能力目標

通過應用，培養識圖能力和推理論證能力。情感態度與價值觀

（1）、培養學生積極的思考、動手、觀察的能力，使學生感悟幾何知識在生活中的價值。

（2）、在進行探索的活動過程中發展學生的探索發現歸納意識并養成合作交流的習慣。

二、重、難點

重點：平行線分線段成比例定理和推論及其應用。

難點：平行線分線段成比例定理及推論的靈活應用，平行線分線段成比例定理的變式。

三、教學過程

1、復習設疑，引入新課

內容：教師提問：（1）什么是成比例線段？（2）什么是相似多邊形？

（3）你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3？

目的：（1）復習成比例線段的內容，回顧上節課通過方格紙探究成比例線段性質的過程。（2）通過一個生活中的實例激發學生探究的欲望。效果：學生對不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3，這一問題很感興趣，急切想要知道解決辦法。

2、小組活動，探究定理

探究活動一：

內容：如圖（1）小方格的邊長都是1，直線a ∥b∥ c ,分別交直線m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。

A1A2B1B2,（１）計算

你有什么發現？ A2A3B2B3（２）將ｂ向下平移到如下圖2的位置，直線ｍ，ｎ與直線ｂ的交點分別為A2，B2。你在問題（１）中發現的結論還成立嗎？如果將ｂ平移到其他位置呢？

(圖2）

（３）在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的線段成比例嗎？

歸納：平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；

目的：讓學生通過觀察、度量、計算、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，達到對平行線分線段成比例定理的意會、感悟。

效果：學生在以前的學習中，尤其是本章前兩節的探究也是通過表格中的多邊形來完成的。所以學生有種熟悉感，并不感到困難。

2.議一議： 內容：教師提問： 1.如何理解“對應線段”？

2.平行線分線段成比例定理的符號語言如何表示？ 3.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？

A1A2B1B2=若a ∥b∥ c，則

A2A3B2B3。

A1A2BBA2A3B2B3=12=AAB1B3，A1A2B1B2，由比例的性質還可以得到：13A2A3B2B3=A1A3B1B3等。

目的：讓學生在探究得出結論的基礎上，對平行線分線段成比例定理的有進一步的理解。并掌握定理的符號語言，進一步發展推理能力。

效果：學生從幾何直觀上很容易找出“對應線段”。利用比例的性質寫出成比例線段時，感覺結論很多，老師這時可以引導總結出成比例線段的特點，那就是都體現了“對應”二字。探究活動二：

內容：如圖3，直線a ∥b∥ c，分別交直線m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。過點A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點C2，C3。（如圖4），圖4中有哪些成比例線段？

（圖3）

(圖4）

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。目的：讓學生脫離表格，不通過計算，運用平行四邊形的性質推理得出平行線等分線段定理的推論。

效果：學生已經學習過特殊四邊形的性質與證明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，進而得出推論。而且讓學生歸納表述結論，可培養學生的抽象概括能力及語言表達能力。

目的：加深對平行線分線段成比例定理及其推論的理解，發展學生的應用能力。效果：經過這一環節的變式應用，學生能夠歸納出平行線分線段成比例定理及其 推論的本質特征。3.探究活動三：

內容:直線l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC則圖中還有哪些線段相等？

l4

l6

C

O F

l3

B

N E

l2

A D M l思考：當平行線之間的距離相等時，對應線段的比是多少？

2.如何不通過測量，運用所學知識，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2:3? 目的：讓學生體會平行線等分線段定理可看作是平行線分線段成比例定理的特例。解決課堂引入時提出的問題。

效果：學生很容易得出此時的對應線段的比值為1，也為后面探究相似與全等的關系做了鋪墊。

3、靈活應用

內容：例

1、如圖，在△ABC中，E、F分別是AB和AC上的點，且 EF∥BC,（1）.如果AE = 7, FC = 4，那么AF的長是多少？

（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5，那么FC的長是多少？

課堂練習： B

C

E

F A

1、如圖，已知l1//l2//l3,（1）.在圖（1）中AB = 5, BC = 7，EF=4，求DE的長。

（2）.在圖（2）中DE = 6, EF = 7，AB=5，求AC的長。

2、如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC上的點，且 DE∥BC,（1）.如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm，AE=2.4cm,那么EC的長是多少？

（2）.如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm，那么EC的長是多少？

目的：通過對平行線分線段成比例定理的簡單應用，規范書寫格式，培養學生嚴謹的邏輯推理能力，深化對知識的理解。

效果：由學生直觀操作得出的結論與簡單推理進行有機結合，是對探索活動的自然延續和必要發展，實現理性升華，培養語言表達能力。

4、課堂小結：

內容：本節課你有哪些收獲？ 目的：

通過師生反思評價，實理知識的系統歸納，對知識和方法進行總結，并通過作業和考題全面鞏固平行線分線段成比例定理及其推論。效果：

學生都能歸納出：

1、兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例； B D

E

A C（1）

F

C F B E A D

D A

E B

（2）

C

2、平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。

5、布置作業：

第五篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教學設計

一、課題

相似三角形的判定（1）（選自2013年人教版數學九年級下冊27.2.1，第1課時）

二、教材分析

1.內容要點

本節課讓學生利用相似三角形的定義來進一步探索相似三角形的判定條件，從而讓學生在學習新知里發展思維，加強與前面已學過的知識：圖形的相似、相似多邊形的主要特征（相似多邊形對應的角相等，對應邊的比相等），相似比甚至引導學生聯系八年級上冊所學的相等三角形的判定定理和平行從對比探索中增強學生的推理歸納和類比應用的能力。2.地位

本節課處于承上啟下的位置，既增強了對圖形的相似和相似多邊形定義聯系和運用，又為下一課時相似三角形的判定2以及以后的幾何證明奠定了基礎。3.作用

從初步認識相似三角形到探索如何利用平行線的特點判定兩個三角形相似，從無到有的知識萌發，讓學生由探究得到的平行線分線段成比例定理初步返回去嚴謹地認識兩個圖形的相似，在探索過程中掌握自主探究、類比、歸納以及轉化的思想方法，增強推理能力，進而讓學生感受到數學圖形之美。經過對平行線分線段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究學習，使學生的合情推理意識和主動探究的學習習慣得到發展。

三、學情分析 1.認知基礎

學生在八年級上冊中已經全面地認識了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行線同位角等性質，并且在上一節課已學過了圖形的相似以及相似多邊形的主要特征，為本節課的學習相似三角形打下了基礎。學生在觀察、想象、合作探究、歸納概括等方面有了初步的體驗，再加上學生會做輔助線，這為本課的學習奠定了一定的基礎，但學生對轉化思想，幾何論證推理能力還在初步形成階段，這使本節課的學習還有一定的困難。2.情意基礎

學生是九年級的學生，對于新知識有一定的接受能力，且數形結合思想，轉化思想都相對成熟，對探索學習饒有興趣，但是思維容易固化，對問題看待不夠全面。

四、教學目標

1.理解相似三角形不因位置改變而改變，書寫三角形相似時對應角的字母順序對應；

2.能運用平行線和三角形中線比例關系證明“A字型”三角形相似，能運用三角形全等的方法將“X字型”三角形轉化為“A字型”三角形證明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正確找出相似三角形的對應邊和對應角； 4.能掌握并運用相似三角形判定的“預備定理”； 5.讓學生參與探索，獲取相似三角形判定條件，感受數學的魅力，體會到數學的充滿探索與創造,在學習中發現數學的樂趣并在數學學習生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教學重難點

1.教學重點

相似三角形判定的“預備定理”的探索； 2.教學難點

探索過程中的各種三角形相似的有關證明；

六、教學方法和手段 1.教學方法 引導探究法 2.教學媒體 PPT

七、教學設計思想

探究式的教學方法是新課改的一個重要內容，布魯納主張學習的目的是以發現學習的方式使學科的基本結構轉變為學生頭腦中的認知結構，并且指出學生的知識學習是通過類別化信息的加工過程，積極主動地形成認知結構。利用學生的好奇心，設疑，解疑，組織互動，有效的教學活動，鼓勵學生積極參與，大膽猜想，使學生在自主探究與合作交流中理解和掌握本節課的內容，增強直觀效果，提高課堂效率。其次，數形結合思想，化歸思想以及歸納法和分析法的應用，讓學生對新知的認識更加透徹，對問題的探索思路更加明確，并從中讓思維得到進一步的提升。

八、教學過程

（一）復習引入（5分鐘）1.復習概念性質（3分鐘）

T：同學們還記得相似圖形的概念是什么嗎？ S：對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形相似。T：相似的兩個圖形會隨它們位置的改變而改變嗎？ S：不會。

T：很好，大家先記著我們剛剛回憶的內容。下面我們來了解一下最簡單的多邊形----三角形的相似情況。

T：剛才我們回憶了相似圖形的一些性質，那現在我手頭上有根據相似圖形性質畫出來的兩個相似三角形，不論它們之間的相對位置如何，乃至處于不同的平面，這兩個三角形仍然是相似的。（老師拿出兩個相似三角形并在同一平面變換兩個三角形紙片的位置，然后讓兩紙片處于不同平面變換位置）（老師將兩紙片貼在黑板上并標明字母）T：同學們我們要用字母表示這兩個三角形相似，應該怎么寫呢？我們一起來寫，首先把兩個三角形表示出來，分別是?ABC?DEF，同學在寫的時候還要注意對應的頂點字母相對應，那中間用什么符號來表示兩個三角形相似呢？有同學可以告訴我嗎？

S：大寫字母S橫著寫。

T：很好，這跟我們曾經學過的什么符號很像呢？ SSS：全等符號。

T：那課后大家思考全等三角形與相似三角形之間有什么聯系，下節課我再叫同學回答這個問題。2.創設情境（2分鐘）

（老師利用這組相似三角形紙片，將兩個三角形的一個對應頂點重疊，貼在黑板上）

T：同學們你們看，相似三角形?ABC和?DEF的?ABC的頂點A與?DEF的頂點D重合并且∠BAC與∠EDF重合，那邊EF和邊BC有什么關系嗎？

S：平行。

T：為什么呢？

S：同位角相等兩直線平行。

T：嗯，AEB三點共線，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分鐘）

T：如果平行于?ABCBC邊的直線與其他兩邊AB、AC相交與點E、F，所構成的?AEF是否與?ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同學都說相似，接下來我們該做些什么去證明這兩個三角形相似呢？

T：首先我們從我們學過的類似的圖形出發，假設這條平行線是三角形中位線，我們來證明看看。同學們自行思考，待會來分享思路。[PPT顯示相應題目和圖形]（2min過去了，期間教師下臺觀察學生情況，選一名寫完了的同學上臺分享思路）

S1：（在黑板上畫△ABC并取分別AB、AC中點D、E，連接DE）∵DE是△ABC的中位線∴DE＝1/2BC（由三角形中位線定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵兩直線平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同學們覺得S1的解答對嗎？ S：對。

T：S1的解答充分運用了已學的三角形中位線的知識，找出來隱含在三角形ADE和三角形ABC中邊的比例關系，依照定義證明出了這兩個三角形相似，證明過程很完整，是對的，讓我們給他一些掌聲鼓勵。（解析S1的做法，并給予肯定）

（老師和學生一起鼓掌）T：接下來加大難度咯，“如圖過點D作DE∥BC交AC于點E，那么△ADE與△ABC相似嗎？”，請同學們自行思考，待會請同學上來分享思路。[PPT顯示相應題目和圖形]（4min過去了）

S2：由同位角相等可知三個角對應相等，只需證明對應邊成比例.因為DE∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需證明DE/BC=k.過點D作DF∥AC交BC于點F，則由兩組對邊分別平行，得四邊形DFCE為平行四邊形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2將問題轉化為了求三角形的一邊對應成比例，通過作輔助線DF，構造出了平行四邊形，并靈活運用平行四邊形和相似的性質，得到了三邊對應相等，從而證明了兩個三角形相似，做的很棒，讓我們把掌聲送給他！（和同學們一起鼓掌）T：以上都是平行線與邊AB和邊AC相交的情況，現在我們延長AB和AC，如圖當DE與三角形兩邊延長線交于邊BC下方時，所構成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT顯示相應題目和圖形] S：相似。

T：要怎樣證明呢？ S：和上一題一樣。

T:對，沒錯。像這種平行線位于點A下方的，我們統稱為“A字型”，凡是擁有這種形狀的三角形和平行線，都隱藏著相似三角形。那如果DE與三角形兩邊延長線交于邊點A上方時，所構成的三角形和原三角形是否相似呢？請同學們自行思考。[PPT顯示相應題目和圖形]（T下臺觀察、指點。2min后）

T：老師剛剛發現，大部分同學都不再用定義進行繁瑣的證明了，而是直接由“A字型”的結論出發，將新圖形轉換為“A字型”加以證明。有哪位同學愿意上臺分享一下，你是怎樣轉化的呢？

S3：分別在邊AB和邊AC作點N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由對頂角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，從而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！讓我們給他掌聲鼓勵！（和同學們一起鼓掌）我們稱這種圖形為“X字型”，通過“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我們現在可以總結得出我們一開始要證明的結論了，同學們還記得是什么嗎？

S：逆命題（剛剛的猜想）。

T：沒錯，我們給這個剛剛證明的猜想一個名稱“預備定理”，大家請看屏幕，一齊朗讀一邊[PPT顯示預備定理] S：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似；

T：預備定理比定義要簡便的多，它的幾何語言也是相當簡潔 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知識遷移（7分鐘）（備注：此環節題目讓學生以同桌為單位交流完成，老師再請同學發言說明思路）

（四）總結反思（7分鐘）

定義：??。要求三邊三角滿足對應關系，非常嚴謹但證明過程過于繁瑣且使用條件有限。

預備定理：??。只要求有找到原三角形一邊的平行線，構成“A字型”或“X字型”，極大簡化了證明過程。

（備注：以上總結，老師說整體性語言，關鍵字引導學生說出）

（五）布置作業（1分鐘）

1.常規作業（第幾頁第幾題）

2.探索作業：請以本節課所學知識，“測量”教室天花板的高度，寫一測量方案。

九、板書設計

十、反思