第一篇：2014考研數學備考重點解析——定積分的計算和證明

2014考研數學備考重點解析——定積分的計算和證明

1.定義：?b

af(x)dx?lim?f(?k)?xk ??0k?1n

2.可積性：

1）必要條件：f(x)有界；

2）充分條件:f(x)連續或僅有有限個第一類間斷點；

3.計算1）?b

af(x)dx?F(b)?F(a)

2）換元法

3）分部積分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 ?n?1n?31????,n偶?nnnn?222(1)?2sinxdx??2cosxdx?? 00n?1n?32????,n奇?nn?23??

(2)

4.變上限積分：?π0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx ?x

af(t)dt

1)連續性：設f(x)在[a,b]上可積，則

2）可導性：設f(x)在[a,b]上連續，則

變上限求導的三個類型： ?xaxaf(t)dt在[a,b]上連續。f(t)dt醫學考研論壇在[a,b]上可導且(?f(t)dt)??f(x).ax?

??(x)??(1)??f(t)dt??f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)??(x)?

??(x)x??(2)??f(x,t)dt?例1:F(x)??(t?x)f(t)dx 0??(x)?

?bdx2??(3)??f(x,t)dt?例2:sin(x?t)dt?0?a?dx

3）奇偶性：i）若f(x)為奇函數，則?x

0f(t)dt為偶函數。

ii）若f(x)為偶函數，則5.性質：

?

x0

f(t)dt為奇函數。

1)不等式：i)若f(x)?g(x), 則

?

ba

f(x)dx??g(x)dx.a

b

ii)若f(x)在[a,b]上連續，則m(b?a)?iii)

?

ba

f(x)dx?M(b?a).?

ba

f(x)dx??|f(x)|dx.a

b

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上連續，則

?

ba

f(x)dx?f(c)(b?a),a?c?b

g(x)不變號，則

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上連續醫學考研論壇，?

ba

f(x)g(x)dx?f(c)?g(x)dx,a?c?b.a

b

【例1】I?

?

n?0

?x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n

?

?

?sin2

??

?

?

(cos?sin)2 cosx?sinx

(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)?22n.?

?40

?

【解法2】原式=n

5?4

??

5?4

?sin2xdx

=n

?

?

(cosx?sinx)2dx

45?4

=n

?

??

(sinx?cosx)dx?2.ex4

sinxdx;【例2】 I???

?1?ex2

?x?t

ee44

sinxdx??2?sintdt【解析】I??2?

x?t?1?e?1?e22

?

(x??t)

?

sin???1?ettdt

?

??

?1?2ex1442sinxdx???sinxdx?????

?1?ex2??21?ex

2?

??2?sinxdx

2?2

?

?

?

?

sin4xdx?

31?3?

海文考研鉆石卡 ???

42216

【例3】 已知f(x)連續，【解析】令x?t?u得

?

x0

?

tf(x?t)dt?1?cosx,求?2f(x)dx的值.?

x

tf(x?t)dt??(x?u)f(u)du?x?f(u)du??uf(u)du，xxx

xxxdx，從而有tf(x?t)dt?f(u)du?xf(x)?xf(x)?f(u)duf(u)du?sinx ????0000dx

令x?

?

?

得

?

f(u)du?sin

?

?1.1n

??1??2??n??

【例4】 求 lim??1?2?????1?n2?????1?n2???n???n????????

?1?1222n2?12n?

(?2)?ln1(?2)???ln1(?2)? 【解析】令yn??(1?2)(1?2)?(1?2)?，則lnyn??ln1nnnn?nnn???

n

2x2?

?ln2?2(1?)limlnyn??ln(1?x)dx?xln(1?x)0??01?x20n??4

原式?e

ln2?2(1?

?)

?

?2e

?2

.【例5】 求證:【解析】

?

sinx2dx?0.2?

?

2?

sinxdx =?

?

sint20

（令x2?t）

?

?

sint2t

??

2?

sint2t

?

而

??

2?

2?

??sinusint

=?du（令t???u）

2?u

則

?

sinxdx??

?0

sint?11?

??dt?0.2??t??

【例6】 設f(x)在[a,b]上連續，單調增。求證:【證法1】令F(x)?

b?ab

?axf(x)dx?2?af(x)dx

b

?

xa

tf(t)?

x?ax

f(t)dt ?a2

只要證明F(b)?0，顯然F(a)?0

2?a1x

f(x)??f(t)dt 22a

x1

=?(x?a)f(x)??f(t)dt?

?a??2?

=?(x?a)f(x)?(x?a)f(c)?(a?c?x)

而F?(x)?xf(x)??0 則F(b)?F(a)?0 原式得證.【證法2】由于f(x)在[a,b]上單調海文考研鉆石卡增，則

(x?

a?ba?b)(f(x)?f())?0 22

從而有即又則即

b

?

ba

(x?

a?b?a?b?)?f(x)?f()?dx?0 2?2?

a?ba?bba?b

(x?)f(x)dx?f()(x?)dx?0 ?a

22?a2ba?b(x?)dx?0 ?a

2ba?b(x?)f(x)dx?0 ?a

2ba?bbxf(x)dx?f(x)dx.?a?a2

第二篇：2018考研數學復習重點之定積分解析篇

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

2018考研數學復習重點之定積分解析篇

2018考研數學大綱已發布，對于定積分部分，整體要求沒有什么出入，下面主要是根據2017年對定積分這一塊的考查，并結合今天出來的2018年考試大綱來給2018的同學們來聊聊，接下來這三個月，我們在2018年的考研備考中所要注意的問題：

首先，我們要結合剛剛出來的2018年考試大綱來明確這一部分的知識體系。

定積分這章包括：定積分的定義，性質;微積分基本定理;反常積分以及定積分的應用這幾個部分。這幾個部分各有各的側重點。而其中有關定積分的定義是要求我們掌握的重點，我們要充分理解微積分基本定理以及還要掌握定積分在幾何和物理上面的應用。至于反常積分這一塊，會計算簡單的反常積分，了解反常積分的概念就好了。

接下來，我們要挖掘考試大綱，以幫助我們更深刻理解這一章的知識點。

一、定積分

關于定積分的定義及性質。這里要求同學們一定要理解分割，近似以及求和還有取極限這幾個步驟。與此同時還要求同學們知道其幾何意義及定義中我們所要注意的地方。對定積分定義這一部分的考察在每年考研中幾乎都是必考內容。因此希望這一部分能引起同學們的一定的重視。關于定積分的性質這一塊，同學們關鍵主要在于理解。定積分中的區間可加性、積分中值定理、比較定理這幾個是同學要掌握的。而對于微積分基本定理這一塊的知識點是非常重要的。這里面有一個新的函數叫做變上限積分函數。關于變上限積分函數的兩個性質是我們一定要掌握的。關于切線與法線;以及單調性;極值;凹凸性的應用與變上限積分函數是可以相關聯的。有了變上限積分函數的定義后，我們就要注意變限積分求導問題了，有關變上限積分的求導，希望同學們能夠會證明，以前考研真題中也出現過此類問題。所以，應當值得我們重視。

二、反常積分

對反常積分這一塊內容，要求同學們了解反常積分的基本定義，會利用用定積分來判斷其收斂性，會計算反常積分就夠了。而關于反常積分的計算，同學們就當作定積分來求就可以了。

最后，就是有關定積分的應用部分了。這一塊應用希望童鞋們要掌握住，其主要就是利用微元法在幾何上應用，對于數一和數二的同學還要求掌握物理上面的應用。而這里，同學們一定要知道數學一、二、三的區別。數學三的同學要掌握用定積分求面積及簡單的體積。而對于數學一和數學二還要求掌握用定積分求曲線弧長、旋轉曲面面積。而數學一和數學二也要掌握物理方面的應用，這里主要要求數一數二的同學掌握用定積分求變力做功、抽水做功及液太靜壓力和質心問題。而這里最要的是同學們一定要掌握微元法這種思想方法。

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因此，關于定積分這一塊，希望同學們能夠結合上篇和下篇的全部內容，來完整的明晰有關定積分的知識。

總之，今天考研大綱剛出來，我們通過對2016年考研大綱的整體分析以及單塊知識點的分析，這里我希望同學們能夠全面掌握住相關知識點，為三個月后的2016考試做好充足的準備，希望同學們能夠學習好定積分這一部分內容，這樣可以為以后的高等數學的整體復習打好堅實的基礎，最后，還有幾個月，希望每個同學都能認認真真的學，希望每一位同學都能考出一個好的成績。

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第三篇：2016考研數學：定積分的證明

2016考研數學：定積分的證明

定積分及其應用這部分內容在歷年真題的考察中形式多樣，是考試的重點內容。啟航考研龍騰網校老師希望同學們要加以重視！

定積分的證明是指證明題目中出現積分符號的一類題目，一般的解題思路和常見的證明題大同小異，但是由于積分符號的出現，往往使得同學們有這樣那樣的不適應，在這里呢，和同學們一起總結下關于這類題目的一般解題思路。常見的關于定積分的證明，主要包括以下幾

類

問

題。

2、定積分中值定理命題的證明。一般利用連續函數的介值定理、微分中值定理、積分中值定理等來證明，其關鍵是構造輔助函數。

3、定積分不等式的證明。一般有三種方法。①利用被積函數的單調性、定積分的保序性和估值定理證明。

②將定積分的上(下)限改為變量，從而將定積分不等式化為函數不等式，再用微分學方法證明。

③利用微分中值定理、積分中值定理(適用于已知條件中有連續性和一階可導性)與泰勒公式(適用于題設中有二階以上可導性)。

第四篇：2018考研數學必看重點：定積分證明三大解題思路_斃考題

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2018考研數學必看重點：定積分證明三大解題思路

在考研數學中，定積分及其應用這部分知識點考察形式多樣，是每年考察的重點，而定積分證明就是常見形式之一，大家需要加以重視，下面一起來看看這類題目的解題思路吧。

2、定積分中值定理命題的證明。一般利用連續函數的介值定理、微分中值定理、積分中值定理等來證明，其關鍵是構造輔助函數。

3、定積分不等式的證明。一般有三種方法。

①利用被積函數的單調性、定積分的保序性和估值定理證明。

②將定積分的上(下)限改為變量，從而將定積分不等式化為函數不等式，再用微分學方法證明。

③利用微分中值定理、積分中值定理(適用于已知條件中有連續性和一階可導性)與泰勒公式(適用于題設中有二階以上可導性)。

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第五篇：利用定積分證明數列和型不等式

利用定積分證明數列和型不等式

我們把形如(為常數)或的不等式稱之為數列和型不等式，這類不等式常見于高中數學競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達到以簡馭繁、以形助數的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數)型

例1(2007年全國高中數學聯賽江蘇賽區第二試第二題)已知正整數，求證

.分析

這是一邊為常數另一邊與自然數有關的不等式，標準答案是用數學歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構造函數數圖象可知，在區間

并作圖象如圖1所示.因函數在上是凹函數，由函

上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因為，所以.所以

.例2 求證

.證明 構造函數

而函數在，又，上是凹函數，由圖象知，在區間上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖

2即，所以.例3 證明。

證明 構造函數可知，在區間 上，因，又其函數是凹函數，由圖

3個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3

即

.所以

.二、型

例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為前項之和，中間的的數列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當的數列的時這三個數

可當作是某數列的前列的通項不等式

成立即可.構造函數，因為，作的圖象，由圖4知，在區間上曲邊梯形的面積大小在以區間長度1為一邊長，以左右端點對應的函數值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成立.圖4

例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數處的切線方程為

（Ⅰ）用表示出 ；

.的圖象在點（Ⅱ）若 在內恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明:

.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結論證明也可用定積分來證明.證明（Ⅲ）不等式數列的前項之和，我們也可把右邊當作是通項為

左邊是通項為的數列的前項之和，則當的時，此式適合，故只要證當 時，即，也就是要證

.由此構造函數，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即

.圖

5而，所以，故原不等式成立.點評 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構造函數利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強，但由于數形結合解法直觀便于操作.積分法是在新課標下證明不等式的一個新方法新亮點，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復雜問題的關鍵是要善于聯想善于分析問題和轉化問題，這樣才能化繁為簡、化難為易，