第一篇：2016考研數學大綱解析及復習重點--函數、極限、連續

凱程考研輔導班，中國最強的考研輔導機構

2016考研數學大綱解析及復習重點--函

數、極限、連續

9月18日這個在中國歷史上成為轉折點的一天，同樣也為2016年參加考研的同學帶來了重磅消息—2016年考研大綱正式發布，下面凱程教育數學教研室老師就按章節來分析大綱的要求以及復習該章節的重點：

一、大綱要求:函數、極限、連續

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系.2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念.4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系.6.掌握極限的性質及四則運算法則.7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.9.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質.二、復習重點

本部分重點是極限，前后內容交叉多，綜合性強，主要有兩個出題點，一個是計算極限，一個是對極限的定義的考查。主要求極限的方法有：

利用極限的四則運算法則、冪指函數運算、連續函數代入法

利用兩個重要極限求極限

利用洛必達法則

利用等價無窮小

極限存在準則：夾逼準則，單調有界準則

利用左右極限求分段函數分段點

利用導數定義

利用定積分定義

利用泰勒公式求極限

通過與2015年的數學一大綱比較，今年沒有做任何調整，同學們按照原計劃復習，夯實基礎，把握重點，重視總結、歸納解題思路、方法和技巧，提高解題計算能力必能在2016

凱程考研輔導班，中國最強的考研輔導機構 的考試中創造輝煌。最后祝同學們，金榜題名。

2016考研數學考試大綱對比—高等數學(數二)

大家翹首以待的2016年考研數學大綱終于出爐，凱程教育數學教研室第一時間為各位考生權威、詳盡解析大綱變化、預測命題趨勢，從而有的放矢地提供備考指導，以幫助同學們快速了解、把握今年的考試方向、復習重點，選擇適合的復習方法和策略，以利于同學們在今后復習中，高效學習，取得好成績。

在逐字逐句的比對后，發現2016年考研數學二大綱與2015年相比，沒有發生任何變化，經歷了多年統考實踐，考研數學的考試內容已趨于完善，因此，相應的考試大綱今年也沒有發生變化。考生可以通過研究真題來揣摩命題者的出題規律，從而把握今年命題的思路和趨勢，按部就班的進行分析復習，增加復習備考的針對性和有效性。盡管2016年考研數學大綱沒有變動，但是仍然需要考生提高橫向、縱向梳理考點的能力，只有這樣才能拿到高分，所以考生仍然需要扎實備考。

下面我們就看看今年數學二高等數學部分的大綱要求：

一、函數、極限、連續

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系.2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念.4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系.6.掌握極限的性質及四則運算法則.7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.9.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質.二、一元函數微分學

1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系.2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分.3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數.4.會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.5.理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.7.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數的最大值和最小值的求法及其應用.8.會用導數判斷函數圖形的凹凸性(注：在區間 內，設函數 具有二階導數.當 時，的圖形是凹的;當 時，的圖形是凸的)，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會

凱程考研輔導班，中國最強的考研輔導機構

描繪函數的圖形.9.了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑.三、一元函數積分學

1.理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念.2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.3.會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.4.理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式.5.了解反常積分的概念，會計算反常積分.6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數平均值.四、多元函數微積分學

1.了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義.2.了解二元函數的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元連續函數的性質.3.了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.4.了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.5.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標).五、常微分方程

1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程.3.會用降階法解下列形式的微分方程： 和.4.理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理.5.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程.6.會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程.7.會用微分方程解決一些簡單的應用問題.所以同學們繼續按照原計劃復習，夯實基礎，把握重點，重視總結、歸納解題思路、方法和技巧，提高解題計算能力必能在2016的考試中創造輝煌。最后祝同學們，金榜題名。

第二篇：高等數學函數極限連續練習題及解析

數學任務——啟動——習題

1一、選擇題：

(1)函數y??x?arccosx?1的定義域是()

2(A)x?1;(B)?3?x?1(C)??3,1?(D)xx?1?x?3?x?

1(2)函數y?xcosx?sinx是()

(A)偶函數(B)奇函數(C)非奇非偶函數(D)奇偶函數

(3)函數y?1?cos?????

2x的最小正周期是()

(A)2?(B)

(4)與y??(C)4(D)1 2x2等價的函數是()

(A)x;(B)?x?(C)x?(D)23x

?x?1?1?x?0(5)f?x???,則limf?x??()x0?x?1x?0?

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空題：

(1)若f????1?

?t?5?2t2,則f?t??_________,ft2?1?__________.t??

??

1(2)??t????sinx??????3，則??????______。???______,??6??6?x?

30,1?，則fx2的定義域為______，f?sinx?的定義域為x??(3)若f?x?的定義域為??

______，f?x?a??a?0?的定義域為___，f?x?a??f?x?a??a?0?的定義域為______。

1?4x

2(4)lim。?__________

12x?1x??2

(5)無窮小量皆以______為極限。

三、計算題

(1)證明函數y?11sin在區間?0,1?上無界，但當x??0時，這個函數不是無窮大。xx

(2)求下列極限(1)lim2x3?3x2?5

x??7x3?4x2?1

(3)lim?tanx?tan2x

x??

(5)limex?1

x

x?0

(7)lim?xsinx?1

x?0x2arctanx

(2)lim1?cos2x x?0xsinx(4)lim?1?2n?3n1n n??(6)limtanx?sinxx?0sin32x ?1(8)limx??ex?1??x?????

(3)設f?x???

?1?xx?0，求limf?x?。2x?0?x?1x?0

(4)證明數列2,2?2,2?2?2,??的極限存在，并求出該極限。

f(x)?2x3f(x)?2,lim?3, 求f(x)(5)設f(x)是多項式, 且lim2x??x?0xx

(6)證明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一個正根，并且它不超過a?b。

x2?ax?b?2,求:a,b.(7).lim2x?2x?x?2

第三篇：函數極限與連續

函數、極限與連續

一、基本題

1、函數f?

x??ln?6?x?的連續區間?ax2?x?2x?

12、設函數f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設limx?1x?

17、設函數f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當x?0時，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續區間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續，則a?1，b?1x?010、函數f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數z?ln?

2?x2?y2??的定義域為 {(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數f?x??的間斷點，并判定類型。2xx?1駐點x=0,x=1,x=-

11）當x=0+時，f(x)=-1；當x=0-時，f(x)=1 跳躍間斷點

2）當x=1時，f(x)=oo;第二類間斷點

3）當x=-1時，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點

?sin2x?x??

4、設函數f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內連續，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內有唯一的實根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因為f(0).f(1)<0所以在（0,1）內存在一個實根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內為單調減函數

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內有唯一的實根。

第四篇：函數極限連續試題

····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________業_姓_____ _號_____ _：：___級_ ____別年專______學

· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································

函數 極限 連續試題

1.設f(x)?

求

(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2

;(3)lim

f(x)x?0x

.2.試證明函數f(x)?x3e?x2

為R上的有界函數.3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2

n)

(1?nn)].4.設在平面區域D上函數f(x,y)對于變量x連續，對于變量y 的一階偏導數有界，試證：f(x,y)在D上連續.（共12頁）第1頁

5.求lim（2x?3x?4x1

x?03)x.1(1?x)x

6.求lim[

x?0e]x.7.設f(x)在[?1,1]上連續，恒不為0，求x?0

8.求lim(n!)n2

n??

.9.設x??

ax?b)?2,試確定常數a和b的值.（共12頁）第2頁

10.設函數f(x)=limx2n?1?ax?b

n??1?x

2n連續，求常數a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0，求lim)

x?0x2

.12.設lim

ax?sinx

x?0?c(c?0),求常數a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt

13.判斷題：當x?0時，?x

1?cost2

0t

是關于x的4階無窮小量.114.設a為常數，且lim（ex

??x?0

2?a?arctan1

x)存在，求a的值，并計算極限.ex?1

（共12頁）第3頁

215.設lim[

ln(1?ex)x?0

1?a?[x]]存在，且a?N?，求a的值，并計算極限.ln(1?ex)

16.求n(a?0).?n

17.求limn?????2(a?0,b?0).?

ln(1?

f(x)

18.設lim)

x?0

3x?1

=5，求limf(x)x?0x2.19.設f(x)為三次多項式，且xlim

f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1，求xlim(x)

?3ax?3a的值.（共12頁）第4頁

24.設連續函數f(x)在[1,??)上是正的，單調遞減的，且

dn??f(k)??f(x)dx，試證明：數列?dn?收斂.n

n

20.設x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n

n??)

(1?x2).21.試證明：(1)?（?1n111?1+n)?1?

?

?

為遞減數列；(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn

22.求n??3nn!

.23.已知數列：a1

11?2，a2?2?2，a3?2?，2?2

a4?2?

12?

1的極限存在，求此極限.2?2

（共12頁）第5頁

k?1

25.設數列?xn?，x0?a，x1?b，求limn??

xn.26.求lima2n

n??1?a2n

.28.求limx???

.x1

n?2

(xn?1?xn?2)(n?2)，（共12頁）第6頁

29.設函數f(x)是周期為T(T?0)的連續函數，且f(x)?0,試證：

xlim1x???x?0f(t)dt?1T?T0f(t)dt.30.求lim?1

1n??0

x.en

(1?x)n

n

31.設lim（1?x)?x

???tetx??x

??dt，求?的值.32.判斷函數f(x)?limxn?1

n??xn?1的連續性.33.判斷函數f(x.（共12頁）第7頁

34.設f(x)為二次連續可微函數，f(0)=0，定義函數

?g(x)??

f?(0)當x?0?，試證：g(x)?f(x)

?x當x?0連續可微.35.設f(x)在[a,b]上連續，f(a)?f(b)，對x?(a,b)，g(x)?lim

f(x?t)?f(x?t)

t?0

t

存在，試證：存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續函數，如果?b

a[f(x)]2dx?0，試證：

f(x)?0(a?x?b).37.設函數f(x)在x=0處連續，且lim

f(2x)?f(x)

x?0

x

?A，試證：f?(0)=A.（共12頁）第8頁

38.設f(x)在[a,b]上二階可導，過點A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線

y?f(x)相交于C(c,f(c))，其中a?c?b.試證：至少存在一點??(a,b)，使得f??(?)=0.39.設f(x)，g(x)，h(x)在a?x?b上連續，在(a,b)內可導，試證：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一點??(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并說明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)

定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數.41.設函數f(x)=nf(x)的不可導點的個數.（共12頁）第9頁

42.設f(x(0?x?

?),求f?(x).43.設xn?1?(n?1,2,3,)，0?x1?3，試說明數列?xn?的極限存在.?x?0

44.求函數f(x)=??sin1?

x2?1

?x(??2x)的間斷點.??2cosx

x?0

45.求曲線??

3???的斜漸近線.（共12頁）第10頁

??1?

46.求數列?nn?的最小項.??

50.求lim

x.x?0

sin1

x

47.求limtan(tanx)?sin(sinx)

x?0tanx?sinx

.48.設f(x)在[0,2]上連續，在（0,2)內有二階導數，且lim

f(x)

x?1(x?1)2

?1，?

f(x)dx?f(2)，試證：存在??(0,2)，使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證：若函數f(x)在點a處連續，則函數f+(x)=max?f(x),0?與

f-(x)=min?f(x),0?在點a處都連續.（共12頁）第11頁

12頁）第12頁

（共

第五篇：考研大綱第一章函數與極限

2013年試卷內容結構： 高等教學 約56% 線性代數 約22% 概率論與數理統計22%

試卷題型結構： 單選題8小題每題4分共32分；填空題6小題每題4分共24分； 解答題包括證明題9小題共94分高等數學

一、函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法 函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 復合函數、反函數、分段函數和隱函數 基本初等函數的性質及其圖形 初等函數 函數關系的建立 數列極限與函數極限的定義及其性質 函數的左極限與右極限 無窮小量和無窮大量的概念及其關系 無窮小量的性質及無窮小量的比較 極限的四則運算 極限存在的兩個準則單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限函數連續的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續性 閉區間上連續函數的性質。

考試要求

1理解函數的概念掌握函數的表示法會建立應用問題的函數關系.2了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性

3理解復合函數及分段函數的概念了解反函數及隱函數的概念

4掌握基本初等函數的性質及其圖形了解初等函數的概念.5理解極限的概念理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系

6掌握極限的性質及四則運算法則.7掌握極限存在的兩個準則并會利用它們求極限掌握利用兩個重要極限求極限的方法

8理解無窮小量、無窮大量的概念掌握無窮小量的比較方法會用等價無窮小量求極限

9理解函數連續性的概念含左連續與右連續會判別函數間斷點的類型

10了解連續函數的性質和初等函數的連續性理解閉區間上連續函數的性質有界性、最大值和最小值定理、介值定理并會應用這些性質函數、極限、連續