第一篇：高等數學等價無窮小替換_極限的計算

西南石油大學《高等數學》專升本講義

講義

無窮小 極限的簡單計算

【教學目的】

1、理解無窮小與無窮大的概念；

2、掌握無窮小的性質與比較 會用等價無窮小求極限；

3、不同類型的未定式的不同解法。【教學內容】

1、無窮小與無窮大；

2、無窮小的比較；

3、幾個常用的等價無窮小 等價無窮小替換；

4、求極限的方法。【重點難點】

重點是掌握無窮小的性質與比較

用等價無窮小求極限。難點是未定式的極限的求法。

【教學設計】首先介紹無窮小和無窮大的概念和性質（30分鐘），在理解無窮小與無窮大的概念和性質的基礎上,讓學生重點掌握用等價無窮小求極限的方法（20分鐘）。最后歸納總結求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習（15分鐘）。

【授課內容】

一、無窮小與無窮大

1.定義

前面我們研究了n??數列xn的極限、x??（x???、x???）函數f?x?的極限、x?x0（x?x0、x?x0）函數f(x)的極限這七種趨近方式。下面我們用

??西南石油大學《高等數學》專升本講義

x?＊表示上述七種的某一種趨近方式，即

＊?n??x??x???x???x?x0?x?x0?x?x0?

?定義：當在給定的x?＊下，f(x)以零為極限，則稱f(x)是x?＊下的無窮小，即limf?x??0。

x?＊.例如, ?limsinx?0, ?函數sinx是當x?0時的無窮小x?011?lim?0, ?函數是當x??時的無窮小.x??xx(?1)n(?1)n?lim?0, ?數列{}是當n??時的無窮小.n??nn【注意】不能把無窮小與很小的數混淆；零是可以作為無窮小的唯一的數，任何非零常量都不是無窮小。

定義： 當在給定的x?＊下，f?x?無限增大，則稱f?x?是x?＊下的無窮大，即limf?x???。顯然，n??時，n、n2、n3、?都是無窮大量，x?＊【注意】不能把無窮大與很大的數混淆；無窮大是極限不存在的情形之一。無窮小與無窮大是相對的，在不同的極限形式下，同一個函數可能是無窮小也可能是無窮大，如

limex?0，limex???，x???x???所以ex當x???時為無窮小，當x??? 時為無窮大。

2．無窮小與無窮大的關系：在自變量的同一變化過程中，如果f?x?為無窮大，則11為無窮小；反之，如果f?x?為無窮小，且f?x??0，則為無窮大。f?x?f?x?小結：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先應給出自變量的變化趨勢。

3.無窮小與函數極限的關系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x?x0xA+?(x),其中?(x)是自變量在同一變化過程x?x0（或x??）中的無窮小.證：（必要性）設limf(x)=A,令?(x)=f(x)-A,則有lim?(x)=0，x?x0x?x0?f(x)?A??(x).西南石油大學《高等數學》專升本講義

（充分性）設f(x)=A+?(x),其中?(x)是當x?x0時的無窮小，則

xx0limf(x)=lim(A+?(x))?A?lim?(x)?A.xx0x?x0【意義】

（1）將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);（2）給出了函數f(x)在x0附近的近似表達式f(x)?A,誤差為?(x).3.無窮小的運算性質

定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.【注意】無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.但n個之和為1不是無窮小.例如,n??時,是無窮小，nn定理3 有界函數與無窮小的乘積是無窮小.如：lim(?1)nn??111?0，limxsin?0，limsinx?0 x?0x??xnx推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮小的比較

例如，當x?0時,x,x2,sinx,x2sin都是無窮小，觀察各極限：

1xx2lim?0,x2比3x要快得多;x?03xsinx?1,sinx與x大致相同;

x?0x1x2sinx?limsin1不存在lim.不可比.2x?0x?0xxlim極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.1．定義: 設?,?是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小，且?10.?=0,就說?是比?高階的無窮小,記作?=o(?);??(2)如果lim?C(C?0),就說?與?是同階的無窮小;

??特殊地如果lim=1,則稱?與?是等價的無窮小，記作?~?;

??(3)如果limk=C(C?0,k0),就說?是?的k階的無窮小.?(1)如果lim3 西南石油大學《高等數學》專升本講義

例1 證明:當x?0時,4xtan3x為x的四階無窮小.4xtan3xtanx3?4lim()?4,故當x?0時,4xtan3x為x的四階無窮小證：lim.4x?0x?0xx例2 當x?0時,求tanx?sinx關于x的階數.解?limtanx?sinxtanx1?cosx1?lim(?)?,?tanx?sinx為x的三階無窮小.x?0x?0x3xx222．常用等價無窮小:當x?0時，（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1?x)～x；（6）ex?1～x

x2（7）1?cosx～（8）(1?x)??1～?x（9）ax-1～lna*x

2用等價無窮小可給出函數的近似表達式: ?lim?????1,?lim?0,即????o(?),于是有????o(?).??12例如sinx?x?o(x),cosx?1?x2?o(x2).3．等價無窮小替換 定理：設?~??,?~??且lim證：lim?????存在,則lim?lim.???????????????????lim(??)?lim?lim?lim?lim.?????????????2tan22xex?1.；

（2）lim例3（1）求lim x?01?cosxx?0cosx?112(2x)2解:（1）當x?0時,1?cosx~x,tan2x~2x.故原極限=lim= 8

x?012x22x2（2）原極限=lim2x?0x?2例4 求lim=?1

2tanx?sinx.3x?0sin2x錯解: 當x?0時,tanx~x,sinx~x.原式?lim4

x?x=0

x?0(2x)3西南石油大學《高等數學》專升本講義

正解: 當x?0時,sin2x~2x,tanx?sinx?tanx(1?cosx)~13x, 213x1故原極限=lim23?.x?0(2x)16【注意】和、差形式一般不能進行等價無窮小替換，只有因子乘積形式才可以進行等價無窮小替換。例5 求limtan5x?cosx?1.x?0sin3x12x?o(x2).2o(x)1o(x2)1225??x?5x+o(x)+x+o(x)x2x?5.2?lim原式=limx?0x?0o(x)33x+o(x)3?x解: ?tanx?5x?o(x),sin3x?3x?o(x),1?cosx?

三、極限的簡單計算

1.代入法：直接將x?x0的x0代入所求極限的函數中去，若f?x0?存在，2x5?3x4?2x?12?；若f?x0?不存在，我們也能知道屬即為其極限，例如limx?193x3?2x?4x2?9于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，lim就代不進去了，但

x?3x?3我們看出了這是一個

0型未定式，我們可以用以下的方法來求解。02.分解因式，消去零因子法

x2?9?lim?x?3??6。例如，limx?3x?3x?33.分子（分母）有理化法

x2?5?3x2?5?3x2?5?32x?1?5?lim例如，lim

2x?22x?1?5x?22x?1?52x?1?5x?5?3????????????x2? ?lim

x?22x?4

?lim?x?2??x?2? x?22?x?2?

?2 西南石油大學《高等數學》專升本講義

又如，limx????x22?1?x?lim?1x?1?x2x????0

4.化無窮大為無窮小法

13+-3x+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x這個無窮大量。由此不難得出

7x2=3，實際上就是分子分母同時除以x242x2?a0，n?m?ba0xm?a1xm?1???am?0lim??0，n?m x??bxn?bxn?1???b01n??，n?m??

1?x?limx?2x???1?1x（分子分母同除x）。?1，21?x又如，limx????2????1nn2?5?5??lim??1，再如，limn（分子分母同除5n）。nnn??3?5n???3????1?5?n例如，limxarctan?x?1??0，（無窮小量乘以有界量）。x??3x2?x?14x?1.又如，求lim2x?1x?2x?3解：?lim(x2?2x?3)?0,商的法則不能用

x?15.利用無窮小量性質、等價無窮小量替換求極限

x2?2x?30又?lim(4x?1)?3?0,?lim??0.x?1x?134x?1由無窮小與無窮大的關系,得lim4x?1??.x?1x2?2x?3再如，等價無窮小量替換求極限的例子見本節例3—例5。6.利用兩個重要極限求極限（例題參見§1.4例3—例5）7.分段函數、復合函數求極限 西南石油大學《高等數學》專升本講義

例如，設f(x)???1?x,x?0,求limf(x).2?x?1,x?0x?0,兩個單側極限為解: x?0是函數的分段點

x?02limf(x)?lim(1?x)limf(x)?lim(x?1)?1, ?1,????x?0x?0x?0左右極限存在且相等, 故limf(x)?1.x?0【啟發與討論】 思考題1：當x?0時,y11sin是無界變量嗎？是無窮大嗎？ xx

解：(1)取x0?12k???2(k?0,1,2,3,?)

y(x0)?2k??, 當k充分大時,y(x0)?M.無界，21(2)取x0?(k?0,1,2,3,?)

2k??當k充分大時,xk??, 但y(xk)?2k?sin2k? ?0?M.不是無窮大．

結論：無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.思考題2：若f(x)?0，且limf(x)?A，問：能否保證有A?0的結論？試舉例

x???說明.解：不能保證.例f(x)?11 ?x?0, f(x)??0 limf(x)?

x???xx1?A?0.x???xlim思考題3：任何兩個無窮小量都可以比較嗎？

解：不能．例如當x???時f(x)?,g(x)?1xsinx都是無窮小量 x7 西南石油大學《高等數學》專升本講義

但lim較.g(x)?limsinx不存在且不為無窮大，故當x???時f(x)和g(x)不能比x???x???f(x)【課堂練習】求下列函數的極限

ex?cosx（1）lim；

x?0xex?cosxex?11?cosx?lim?lim?1 解：原極限=limx?0x?0x?0xxx1x（2）求limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos【分析】 “”型，拆項。001?1???223sinx?xcosxcos???3sinx?3xx?=lim??= 解：原極限=lim??x?0?x?02x2x?2??2x????????5x5?4x4?3x2（3）lim ；

x??2x5?4x?1【分析】“抓大頭法”，用于

?型 ?355x55x解：原極限=lim=，或原極限=lim5=

x??2?412?52x2xx4x5?4x?3（4）lim(x2?x?x)；

x??【分析】分子有理化 解：原極限=limxx2?x?xx???=limx???11=

1?1x?12x21?)（5）lim(2x?2x?4x?2【分析】???型，是不定型，四則運算法則無法應用，需先通分，后計算。

x?13x2?x?2x21?)=lim2解：lim(2=lim=

x?2x?2x?2x?44x?2x?2x?48 西南石油大學《高等數學》專升本講義

（6）limx?0x2x?9?32

【分析】“子。0”型，是不定型，四則運算法則失效，使用分母有理化消零因0x2x2?9?3解：原極限=lim=6 2x?0x（7）求lim(n????12n????).222nnn和解:

n??時,是無窮小之先變形再求極限.1n(n?1)12n1?2???n1112?limlim(2?2???2)?lim?lim(1?)?.22n??n??nn??n??nnnn2n2【內容小結】

一、無窮小（大）的概念

無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內容: 兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:(1)

無窮小（大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；

（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.二、無窮小的比較: 1.反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較。高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階。

2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法, 注意適用條件.三、極限求法（不同類型的未定式的不同解法）;a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.

第二篇：大學高等數學等價無窮小

這個問題很多人都搞不明白，很多自認為明白的人也不負責任地說一句“乘除可以，加減不行”，包括不少高校教師。其實這種講法是不對的！關鍵是要知道其中的道理，而不是記住結論。

1.做乘除法的時候一定可以替換，這個大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x)= lim u(x)/v(x)。關鍵要記住道理 lim f(x)/g(x)= lim f(x)/u(x)* u(x)/v(x)* v(x)/g(x)其中兩項的極限是1，所以就順利替換掉了。2.加減法的時候也可以替換！但是注意保留余項。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，這個是很多人說不能替換的原因，但是如果你這樣看：

f(x)～u(x)等價于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意這里是等號，所以一定是成立的！

問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量，此時余項o(f(x))成為主導，所以不能忽略掉。當u(x)+g(x)的階沒有提高時，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替換的，因為 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此時發生了相消，余項o(x)成為了主導項。此時這個式子仍然是成立的！只不過用它來作為分子或分母的極限問題可能得到不定型而無法直接求出來而已。

碰到這種情況也不是說就不能替換，如果你換一個高階近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么

ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)這個和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意義的結果，此時余項o(x^2)可以忽略。也就是說用x-x^2/2作為ln(1+x)的等價無窮小量得到的結果更好。從上面的例子就可以看出來，余項很重要，不能直接扔掉，因為余項當中包含了一定的信息。而且只要保留余項，那么所做的就是恒等變換(注意上面我寫的都是等式)而不是近似，這種方法永遠是可行的，即使得到不定型也不可能得出錯誤的結論。等你學過帶余項的Taylor公式之后對這一點就會有更好的認識。

高數教了一段時間了，對于等價無窮小量代換法求極限為什么只能在乘除中使用，而不能在加減的情況下使用的條件感到有些疑惑，于是找了一些資料，仔細的研究了這個問題，整理如下：

等價無窮小的定義及常用的等價無窮小

無窮小量是指某變化過程中極限為0的變量。而等價無窮小量是指在某變化過程中比值極限為1的兩個無窮小量。

常用的等價無窮小有：

sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln(1+x)～x(x→0)

sin?x～tan?x～arctan?x～arcsin?x～ln?(1+x)～x(x→0)1?cosx～x22,1+x?????√n?1～xn(x→0)1?cos?x～x22,1+xn?1～xn(x→0)等價無窮小量在求極限問題中非常重要。恰當的使用等價無窮小量代換常常使極限問題大大簡化。但是有時卻不能使用等價無窮小量代換。

等價無窮小替換原理

定理1：設α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一變化過程中的無窮小量，且α～α1,β～β1α～α1,β～β1，若limαβlimαβ存在，則limαβ=limα1β1limαβ=limα1β1。

例1： limx→0ln(1+3x)sin2x.limx→0ln?(1+3x)sin?2x.解：

limx→0ln(1+3x)sin2x=limx→03x2x=32.limx→0ln?(1+3x)sin?2x=lim

x→03x2x=32.例2：

limx→0tanx?sinxx3.limx→0tan?x?sin?xx3.錯誤解法：

limx→0tanx?sinxx3=limx→0x?xx3=0.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0x

?xx3=0.正確解法：

limx→0tanx?sinxx3=limx→0sinx(1?cosx)x3?cosx=limx→01?cosxx2?cosx=limx→012cosx=12.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0sin?x(1?cos?x)x3?cos?x=limx→01?cos?xx2?cos?x=limx→012cos?x=12.從上面的解法可以看出，該題分子不能直接用等價無窮小量替代來做，下面我們分析產生錯誤的原因：等價無窮小之間本身一般并不相等，它們之間一般相差一個較它們高階的無窮小，由函數f(x)f(x)在點x=0x=0處的泰勒公式，即麥克勞林公式：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!x2+?+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!

x2+?+f(n)(0)n!xn+o(xn)很容易有：

tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)tan?x=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)sinx=x+x33!+x55!+x77!+?+(?1)m?1x2m?1(2m?1)!+o(x2m?1).(x→0)sin?x=x+x33!+x55!+x77!+?+(?1)m?1x2m?1(2m?1)!+o(x2m?1).(x→0)由此可知，sin{x}與tan{x}相差一個較xx的三階無窮小，此三階無窮小與分母x3x3相比不可忽略，因為把上述結論代入原式得

limx→0tanx?sinxx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.由此，我們可以得出：加減情況下不能隨便使用等價無窮小。

下面我們給出一個在加減情況下使用等價無窮小的定理并加以證明。在這里我們只討論減的情況，因為我們知道加上一個數可以看成減去這個數的負數。為方便，首先說明下面的定理及推論中的無窮小量其自變量都是xx，其趨近過程都相同：x→0x→0，在有關的極限中都省去了極限的趨近過程。

定理2：設α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一變化過程中的無窮小量，且α～α1,β～β1α～α1,β～β1，則α?β～α1?β1α?β～α1?β1的充分必要條件是limαβ=k≠1limαβ=k≠1。

證明：

1°1°充分性：

α～α1,β～β1?limαα1=limββ1=1α～α1,β～β1?limαα1=limββ1=1

又

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1

則 limα?βα1?β1=limαβ1?ββ1α1β1?1=k?1k?1=1limα?βα1?β1=limαβ1?ββ

1α1β1?1=k?1k?1=1

即

α?β～α1–β1.α?β～α1–β1.2°2°必要性：

α～β,α1～β1?limα?βα1?β1=1α～β,α1～β1?limα?βα1?β1=1

即

lim(α?βα1?β1?1)=0lim(α?βα1?β1?1)=0

通分得

limα?α1α1?β1?limβ?β1α1?β1=0limα?α1α1?β1?limβ?β1α1?β1=0

所以

limαα1?11?βα1?lim1?ββ1α1β1?1=0limαα1?11?βα1?lim1?ββ1α1β1?1=0

又

limαα1=1,limββ1=1limαα1=1,limββ1=1

所以

lim01?βα1?lim0α1β1?1=0lim01?βα1?lim0α1β1?1=0

所以

limβ1α1=k≠1?limα1β1=k≠1limβ1α1=k≠1?limα1β1=k≠1

又

limαβ=limα1β1.limαβ=limα1β1.所以

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.由1°,2°1°,2°得，原命題成立。證畢。

這樣一來，就得到了差形式無窮小量等價代換的充要條件。例3：

limx→01?cosx+2sinxarcsin2x?sinx.limx→01?cos?x+2sin?xarcsin?2x

?sin?x.解：

1?cosx～x22,?2sinx～?2x,2arcsinx～2x,sinx～x(x→0)1?cos?x～x22,?2sin?x～?2x,2arcsin?x～2x,sin?x～x(x→0)所以

limx→01?cosx?2sinx=0≠1,limx→02arcsinxsinx=2≠1limx→01?cos?x?2sin?x=0≠1,limx→02arcsin?xsin?x=2≠1

由定理2得

limx→01?cosx+2sinxarcsin2x?sinx=limx→x22+2xx=2.limx→01?cos?x+2sin?xarcsin?2x?sin?x=limx→x22+2xx=2.例4：

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x.limx→0arctan?2x+arcsin?5xsin?3x.解：

arctan2x～2x,arcsin5x～5x,sin3x～3x(x→0)arctan?2x～2x,arcsin?5x

～5x,sin?3x～3x(x→0)又

limarctan2x?arcsin5x=?25≠1limarctan?2x?arcsin?5x=?25≠1

由定理2得

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx→0arctan?2x+ar

csin?5xsin?3x=2x+5x3x=73.總結

本文指出，在有加減的情況下不能隨便運用等價無窮小代換求極限，并且指出了在有加減的情況下能夠使用等價無窮小代換的充分必要條件。對于不滿足條件的情況，根據給出的泰勒展開公式，可以求出。

第三篇：三角函數、極限、等價無窮小公式

三角函數公式整合：

兩角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB 

cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化積

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差

sinαsinβ =-1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]

誘導公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

萬能公式

1.極限的概念

（1）數列的極限：???0，?N（正整數），當n?N時，恒有xn?A??

n??limxn?A 或 xn?A(n??)

幾何意義：在(A??,A??)之外，?xn?至多有有限個點x1,x2,?,xN

（2）函數的極限

x??的極限：???0，?X?0，當x?X時，恒有f(x)?A??

limf(x)?A 或 f(x)?A(x??)

x??幾何意義：在（?X?x?X)之外，f(x)的值總在(A??,A??)之間。

x?x0的極限：???0，???0，當0?x?x0??時，恒有f(x)?A??

x?x0limf(x)?A 或 f(x)?A(x?x0)

幾何意義：在x?(x0??,x0)?(x0,x0??)鄰域內，f(x)的值總在(A??,A??)之間。

（3）左右極限

左極限：???0，???0，當x0???x?x0時，恒有f(x)?A??

?x?x0limf(x)?A 或 f?(x0)?f(x0?0)?A

右極限：???0，???0，當x0?x?x0??時，恒有f(x)?A??

?x?x0limf(x)?A 或 f?(x0)?f(x0?0)?A

x?x0f(x)?A?lim?f(x)極限存在的充要條件：lim?x?x0（4）極限的性質

唯一性：若limf(x)?A，則A唯一

x?x0保號性：若limf(x)?A，則在x0的某鄰域內

x?x0A?0(A?0)? f(x)?0(f(x)?0)；f(x)?0(f(x)?0)? A?0(A?0)

有界性：若limf(x)?A，則在x0的某鄰域內，f(x)有界

x?x02.無窮小與無窮大

（1）定義：以0為極限的變量稱無窮小量；以?為極限的變量稱無窮大量；同一極限 過程中，無窮小（除0外）的倒數為無窮大；無窮大的倒數為無窮小。

注意： 0是無窮小量；無窮大量必是無界變量，但無界變量未必是無窮大量。例如當x??時，xsinx是無界變量，但不是無窮大量。

（2）性質：有限個無窮小的和、積仍為無窮小；無窮小與有界量的積仍為無窮小；x?x0limf(x)?A成立的充要條件是f(x)?A??（x?(x0??,x0??)，lim??0）

（3）無窮小的比較（設 lim??0，lim??0）： 若lim?則稱?是比?高階的無窮小，記為o(?)；特別?稱為??????o(?)?0，?的主部

???，則稱?是比?低階的無窮小； ??若lim?C，則稱?與?是同階無窮小；

??若lim?1，則稱?與?是等價無窮小，記為?~?；

??若limk?C，（C?0,k?0）則稱?為?的k階無窮小；

?若lim（4）無窮大的比較： 若limu??，limv??，且lim無窮大，記為o1(v)；特別u稱為u?v?o1(v)?v的主部

3.等價無窮小的替換

u??，則稱u是比v高階的v若同一極限過程的無窮小量?~??，?~??，且lim??存在，則 ??lim?f(x)??f(x)?lim?g(x)??g(x)???121?cos?~???2???1?1???1~???2 ?~? ?1??1??(1??)n?1~?n????a??1~?lna????????常用等價無窮小??(lim??0)??????sin?tan?arcsin?arctan?ln(1??)e??11???1??注意：（1）無論極限過程，只要極限過程中方框內是相同的無窮小就可替換；

（2）無窮小的替換一般只用在乘除情形，不用在加減情形；

（3）等價無窮小的替換對復合函數的情形仍實用，即

若limf(?)?f(0)，?~??，則f(?)~f(??)

4.極限運算法則（設 limf(x)?A，limg(x)?B）（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B（2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B

特別地，lim?Cf(x)??Climf(x)，lim?f(x)???limf(x)??An

nn（3）limf(x)limf(x)A??(B?0)g(x)limg(x)B5.準則與公式（lim??0，lim??0）準則1：（夾逼定理）若?(x)?f(x)??(x)，則

lim?(x)?lim?(x)?A ? limf(x)?A

準則2：（單調有界數列必有極限）

若?xn?單調，且xn?M（M?0），則limxn存在（?xn?收斂）

n??準則3：（主部原則）

lim??o(?)o(?)??o(?)??lim； lim111?lim11

?2?o1(?2)o1(?2)??o(?)?公式1： limsin?sinx? 1?1

? limx?0x?1??xlim(1?x)???x?0?公式2： ???e

?

1?lim(1?)n??n??n????1???lim(??1?lim(?1???1??)????e

??)??公式3： lim(1??)??elim???，一般地，lim(1??)f?elim??f

?0?anxn?an?1xn?1???a0anxn?an公式4：lim?lim??m?1x??bxm?bx??bxmx???bmm?10m?bm???6.幾個常用極限(a?0,a?1)（1）limnn?mn?m n?mn??a?1，limnn?1；（2）lim?xx?1，limxx???；

n??x?0x???（3）limex???，limex?0；（4）lim?lnx???； ??x?0x?0x?011?0q?11??lim?arctan???q?1x????0x2n（5）?；（6）limq??

n??q?1?limarctan1????1??x2?x?0??不存在q??1

第四篇：高等數學等價替換公式

無窮小 極限的簡單計算

【教學目的】

1、理解無窮小與無窮大的概念；

2、掌握無窮小的性質與比較 會用等價無窮小求極限；

3、不同類型的未定式的不同解法。【教學內容】

1、無窮小與無窮大；

2、無窮小的比較；

3、幾個常用的等價無窮小 等價無窮小替換；

4、求極限的方法。【重點難點】

重點是掌握無窮小的性質與比較

用等價無窮小求極限。難點是未定式的極限的求法。

【教學設計】首先介紹無窮小和無窮大的概念和性質（30分鐘），在理解無窮小與無窮大的概念和性質的基礎上,讓學生重點掌握用等價無窮小求極限的方法（20分鐘）。最后歸納總結求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習（15分鐘）。

【授課內容】

一、無窮小與無窮大

1.定義

前面我們研究了n??數列xn的極限、x??（x???、x???）函數f?x?的極限、x?x0（x?x0、x?x0）函數f(x)的極限這七種趨近方式。下面我們用

??x?＊表示上述七種的某一種趨近方式，即

＊?n??x??x???x???x?x0?x?x0??x?x0

?定義：當在給定的x?＊下，f(x)以零為極限，則稱f(x)是x?＊下的無窮小，即limf?x??0。

x?＊例如, ?limsinx?0, ?函數sinx是當x?0時的無窮小.x?0?lim11?0, ?函數是當x??時的無窮小.x??xx(?1)n(?1)n?lim?0, ?數列{}是當n??時的無窮小.n??nn【注意】不能把無窮小與很小的數混淆；零是可以作為無窮小的唯一的數，任何非零常量都不是無窮小。

定義： 當在給定的x?＊下，f?x?無限增大，則稱f?x?是x?＊下的無

?都是無窮大量，窮大，即limf?x???。顯然，n??時，n、n2、n3、x?＊【注意】不能把無窮大與很大的數混淆；無窮大是極限不存在的情形之一。無窮小與無窮大是相對的，在不同的極限形式下，同一個函數可能是無窮小也可能是無窮大，如

limex?0，limex???，x???x???所以ex當x???時為無窮小，當x??? 時為無窮大。

2．無窮小與無窮大的關系：在自變量的同一變化過程中，如果f?x?為無窮大，則11為無窮小；反之，如果f?x?為無窮小，且f?x??0，則為無窮大。f?x?f?x?小結：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先應給出自變量的變化趨勢。

3.無窮小與函數極限的關系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x?x0xA+?(x),其中?(x)是自變量在同一變化過程x?x0（或x??）中的無窮小.證：（必要性）設limf(x)=A,令?(x)=f(x)-A,則有lim?(x)=0，x?x0x?x0?f(x)?A??(x).（充分性）設f(x)=A+?(x),其中?(x)是當x?x0時的無窮小，則

xx0limf(x)=lim(A+?(x))?A?lim?(x)?A.xx0x?x0【意義】

（1）將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);（2）給出了函數f(x)在x0附近的近似表達式f(x)?A,誤差為?(x).3.無窮小的運算性質

定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.【注意】無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.但n個之和為1不是無窮小.例如,n??時,是無窮小，nn定理3 有界函數與無窮小的乘積是無窮小.如：lim(?1)n111?0，limxsin?0，limsinx?0 n??x?0x??xnx推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮小的比較

例如，當x?0時,x,x2,sinx,x2sinx2lim?0,x2比3x要快得多;x?03xsinx?1,sinx與x大致相同;

x?0x1x2sinx?limsin1不存在.不可比.limx?0x?0xx2極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.lim1都是無窮小，觀察各極限： x1．定義: 設?,?是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小，且?10.?=0,就說?是比?高階的無窮小,記作?=o(?);??(2)如果lim?C(C?0),就說?與?是同階的無窮小;

??特殊地如果lim=1,則稱?與?是等價的無窮小，記作?~?;

??(3)如果limk=C(C?0,k0),就說?是?的k階的無窮小.?(1)如果lim例1 證明:當x?0時,4xtan3x為x的四階無窮小.tanx34xtan3x?4lim()?4,故當x?0時,4xtan3x為x的四階無窮小證：lim.4x?0x?0xx例2 當x?0時,求tanx?sinx關于x的階數.解?limx?0tanx?sinxtanx1?cosx1?lim(?)?,?tanx?sinx為x的三階無窮小.x?0x3xx222．常用等價無窮小:當x?0時，（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1?x)～x；（6）ex?1～x

x2（7）1?cosx～（8）(1?x)??1～?x（9）ax-1～lna*x

2用等價無窮小可給出函數的近似表達式: ?????lim?1,?lim?0,即????o(?),于是有????o(?).??1例如sinx?x?o(x),cosx?1?x2?o(x2).23．等價無窮小替換 定理：設?~??,?~??且lim證：lim?????存在,則lim?lim.???????????????????lim(??)?lim?lim?lim?lim.?????????????2tan22xex?1.；

（2）lim例3（1）求lim x?01?cosxx?0cosx?112(2x)2解:（1）當x?0時,1?cosx~x,tan2x~2x.故原極限=lim= 8

x?012x22x2（2）原極限=limx?0x2?2=?1

2例4 求limx?0tanx?sinx.sin32x錯解: 當x?0時,tanx~x,sinx~x.原式?limx?x=0

x?0(2x)313x, 2正解: 當x?0時,sin2x~2x,tanx?sinx?tanx(1?cosx)~13x12?.故原極限=limx?0(2x)316【注意】和、差形式一般不能進行等價無窮小替換，只有因子乘積形式才可以進行等價無窮小替換。

tan5x?cosx?1.例5 求limx?0sin3x1解: ?tanx?5x?o(x),sin3x?3x?o(x),1?cosx?x2?o(x2).12o(x)1o(x2)25x+o(x)+x+o(x)5??x?2x2x?5.原式=lim?limx?0x?0o(x)3x+o(x)33?x

三、極限的簡單計算

1.代入法：直接將x?x0的x0代入所求極限的函數中去，若f?x0?存在，2x5?3x4?2x?12?；若f?x0?不存在，我們也能知道屬即為其極限，例如limx?193x3?2x?4x2?9于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，lim就代不進去了，但

x?3x?3我們看出了這是一個

0型未定式，我們可以用以下的方法來求解。02.分解因式，消去零因子法

x2?9?lim?x?3??6。例如，limx?3x?3x?33.分子（分母）有理化法 例如，limx?2x2?5?32x?1?5??limx?2?x2?5?32x?1???2x?1?5?

5??2x?1?5??x?5?3?x2?5?32??x2? ?lim

x?22x?4

?lim?x?2??x?2? x?22?x?2?1x?1?x

2?2 又如，limx????x2?1?x?lim?x????0

4.化無窮大為無窮小法

1-3x2+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x這個無窮大量。由此不難得出

3+7x2=3，實際上就是分子分母同時除以x242x25

?a0，n?m?ba0xm?a1xm?1???am?0lim??0，n?m x??bxn?bxn?1???b01n??，n?m??

1?xx?21??limx???又如，limx???1x（分子分母同除x）。?1，21?x?2????12n?5n?5?n5?lim??1再如，limn，（分子分母同除）。nn??3?5nn???3????1?5?n5.利用無窮小量性質、等價無窮小量替換求極限

xarctan?x?1??0，例如，lim（無窮小量乘以有界量）。x??3x2?x?14x?1.又如，求lim2x?1x?2x?3解：?lim(x2?2x?3)?0,商的法則不能用

x?1x2?2x?30又?lim(4x?1)?3?0,?lim??0.x?1x?134x?14x?1??.x?1x2?2x?3再如，等價無窮小量替換求極限的例子見本節例3—例5。由無窮小與無窮大的關系,得lim6.利用兩個重要極限求極限（例題參見§1.4例3—例5）7.分段函數、復合函數求極限

?1?x,x?0例如，設f(x)??2,求limf(x).x?0?x?1,x?0解: x?0是函數的分段點,兩個單側極限為

x?0limf(x)?lim(1?x)?1,limf(x)?lim(x2?1)?1, ????x?0x?0x?0左右極限存在且相等, 故limf(x)?1.x?0【啟發與討論】 思考題1：當x?0時,y11sin是無界變量嗎？是無窮大嗎？ xx6

解：(1)取x0?12k???2(k?0,1,2,3,?)

21(2)取x0?2k?y(x0)?2k???, 當k充分大時,y(x0)?M.無界，(k?0,1,2,3,?)

當k充分大時,xk??, 但y(xk)?2k?sin2k? ?0?M.不是無窮大． 結論：無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.思考題2：若f(x)?0，且limf(x)?A，問：能否保證有A?0的結論？試舉例

x???說明.解：不能保證.例f(x)?lim1 ?x?0, xf(x)?1?0 limf(x)?

x???x1?A?0.x???x思考題3：任何兩個無窮小量都可以比較嗎？

1sinx解：不能．例如當x???時f(x)?,g(x)?都是無窮小量

xx但lim較.x???g(x)?limsinx不存在且不為無窮大，故當x???時f(x)和g(x)不能比f(x)x???【課堂練習】求下列函數的極限

ex?cosx（1）lim；

x?0xex?cosxex?11?cosx?lim?lim?1 解：原極限=limx?0x?0x?0xxx7

1x（2）求limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos0【分析】 “”型，拆項。

01?1???22?3sinx?xcos??3sinxxcos?3x?=lim?x?= ?解：原極限=lim?x?0?2x2x?2?x?0?2x????????5x5?4x4?3x2（3）lim ；

5x??2x?4x?1【分析】“抓大頭法”，用于

?型 ?5?4?3355x55xx解：原極限=lim=，或原極限=lim5= x??41222?x2x4?5xx（4）lim(x2?x?x)；

x??【分析】分子有理化 解：原極限=limxx2?x?xx???=limx???1=

1?1x?121x21?)（5）lim(2x?2x?4x?2【分析】???型，是不定型，四則運算法則無法應用，需先通分，后計算。

x?13x2?x?2x21lim?)=lim解：lim(2== 2x?2x?2x?4x?2x?24x?2x?4（6）limx?0x2x?9?32

【分析】“子。0”型，是不定型，四則運算法則失效，使用分母有理化消零因0解：原極限=limx?0x2?x2?9?3x2?=6（7）求lim(n??12n????).222nnn8

解:

n??時,是無窮小之先變形再求極限.和1n(n?1)12n1?2???n1112lim(2?2???2)?lim?lim(1?)?.?lim2n??nn??n??n??nnn22n2n【內容小結】

一、無窮小（大）的概念

無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內容: 兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:(1)

無窮小（大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；

（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.二、無窮小的比較: 1.反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較。高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階。

2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法, 注意適用條件.三、極限求法（不同類型的未定式的不同解法）;a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.

第五篇：差函數的等價無窮小替換

差函數的等價無窮小替換

這里介紹一些求極限等問題的特殊技巧，基本上可以涵蓋所有的求極限題目，因為，我們所學的初等函數有五類，反三角函數，對數函數，冪函數，三角函數，指數函數，簡稱反對冪三指，以下是這五類函數的無窮小代換。以下x均趨近于0

常見代換：x～sin x～tan x～arctan x～arcsin x

冪函數代換：(1+x)λ～λx+1λ可以取整數也可以取分數

指數函數代換：ex ～ x + 1ax ～ lna ·x----- + 1

對數代換：ln(1+x)～ xloga(1+x)～ x/lna

差代換：1.二次的：1－cos x ～ x-------2/2x－ln(1+x)～ x-------2/2

2三次的：(1)三角的：x － sin x ～ x3/6tan x － x ～ x3/3tan x －sin x ～ x3/2

(2)反三角的：arcsin x － x ～ x3/6x －arctan x ～ x3/3arcsin x － arctan x ～ x3/2

下面來舉幾個例子簡單的說一下這些技巧怎么用

例如：求：當x→0時，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。

當求這個極限的值的時候，如果用洛必達法則，計算量則會很大，這里不再贅述運用洛必達法則如何求解，只介紹如何使用上述技巧。

lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2

大家可以自己做一下洛必達法則的方法，對比一下兩者之間的差別。

需要注意的是，等價無窮小的運用往往不止一次，只要發現運用洛必達法則運算困難，則可以嘗試等價無窮小代換。