第一篇：高三數學知識點總結黃崗
高中數學知識點總結
1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。
如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？
2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集?的特殊情況。注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合A??x|x2?2x?3?0?，B??x|ax?1?
若B?A，則實數a的值構成的集合為??1??）3?
（答：??1，0，3.注意下列性質：
（1）集合?a1，a2，??，an?的所有子集的個數是2n；
（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；
（3）德摩根定律：
CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?
ax?5x?a
24.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）
如：已知關于x的不等式的取值范圍。
（∵3?M，∴a·3?53?aa·5?55?a22?0的解集為M，若3?M且5?M，求實數a
?05???a?1，???9，25?）?3???0
∵5?M，∴
5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”(?)，“且”(?)和
“非”(?).若p?q為真，當且僅當p、q均為真
若p?q為真，當且僅當p、q至少有一個為真
若?p為真，當且僅當p為假
6.命題的四種形式及其相互關系是什么？
（互為逆否關系的命題是等價命題。）
原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。
7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？
（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）
8.函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？
（定義域、對應法則、值域）
9.求函數的定義域有哪些常見類型？
例：函數y?x?4?x?lg?x?3?2的定義域是
（答：?0，2???2，3???3，4?）
10.如何求復合函數的定義域？
如：函數f(x)的定義域是?a，b?，b??a?0，則函數F(x)?f(x)?f(?x)的定 義域是_____________。
（答：?a，?a?）
11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？
如：f
令t??x?1?e?x，求f(x).x?1，則t?0
2?x
∴x?t?∴f(t)?et
∴f(x)?e2?1?t?1 ?x?1?x?0? 22x?1
212.反函數存在的條件是什么？
（一一對應函數）
求反函數的步驟掌握了嗎？
（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）
??1?x
如：求函數f(x)??2???x?x?0??x?0??x?0?的反函數
（答：f?1??x?1(x)??????x?x?1?）
13.反函數的性質有哪些？
①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱；
②保存了原來函數的單調性、奇函數性；
③設y?f(x)的定義域為A，值域為C，a?A，b?C，則f(a)=b?f?1(b)?a
?f?1?f(a)??f?1(b)?a，ff?1(b)?f(a)?b
14.如何用定義證明函數的單調性？
（取值、作差、判正負）
如何判斷復合函數的單調性？
（y?f(u)，u??(x)，則y?f??(x)?（外層）（內層）??
當內、外層函數單調性相同時f??(x)?為增函數，否則f??(x)?為減函數。）
如：求y?log1??x?2x?的單調區間
2（設u??x2?2x，由u?0則0?x?2
且log1u?，u???x?1??1，如圖： u O 1 2 x
2當x?(0，1]時，u?，又log1u?，∴y?
當x?[1，2)時，u?，又log1u?，∴y?
∴??）
15.如何利用導數判斷函數的單調性？
在區間?a，b?內，若總有f'(x)?0則f(x)為增函數。（在個別點上導數等于 零，不影響函數的單調性），反之也對，若f'(x)?0呢？
如：已知a?0，函數f(x)?x?ax在?1，???上是單調增函數，則a的最大
3值是（）
A.0 B.1
C.2
D.3
?
（令f'(x)?3x?a?3?x??2a????x?3??a???0 3?
則x??a3或x?a3
由已知f(x)在[1，??)上為增函數，則
∴a的最大值為3）
a3?1，即a?3
16.函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？
（f(x)定義域關于原點對稱）
若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數?函數圖象關于原點對稱
若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數?函數圖象關于y軸對稱
注意如下結論：
（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。
（2）若f(x)是奇函數且定義域中有原點，則f(0)?0。
a·2?a?22?1xx
如：若f(x)?為奇函數，則實數a?
（∵f(x)為奇函數，x?R，又0?R，∴f(0)?0
a·2?a?22?100
即?0，∴a?1）
又如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數，當x?(0，1)時，f(x)?求f(x)在??1，1?上的解析式。
2xx4?1，（令x???1，0?，則?x??0，1?，f(?x)??x24xx?x?x?1
又f(x)為奇函數，∴f(x)??24?x?1??21?4
x?2??x?4? 又f(0)?0，∴f(x)??x?2x??4?1x?(?1，0)x?0x??0，1?）
17.你熟悉周期函數的定義嗎？
（若存在實數T（T?0），在定義域內總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期 函數，T是一個周期。）
如：若f?x?a???f(x)，則
（答：f(x)是周期函數，T?2a為f(x)的一個周期）
又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x?a，x?b???
即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)
則f(x)是周期函數，2a?b為一個周期
如：
18.你掌握常用的圖象變換了嗎？
f(x)與f(?x)的圖象關于y軸對稱
f(x)與?f(x)的圖象關于x軸對稱
f(x)與?f(?x)的圖象關于原點對稱
f(x)與f?1(x)的圖象關于直線y?x對稱
f(x)與f(2a?x)的圖象關于直線x?a對稱
f(x)與?f(2a?x)的圖象關于點(a，0)對稱
y?f(x?a)左移a(a?0)個單位
將y?f(x)圖象???????? ??y?f(x?a)右移a(a?0)個單位y?f(x?a)?b上移b(b?0)個單位
???????? ??y?f(x?a)?b下移b(b?0)個單位
注意如下“翻折”變換：
f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)
如：f(x)?log2?x?1?
作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的圖象
y y=log2x O 1 x
19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？
(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a
（1）一次函數：y?kx?b?k?0?
（2）反比例函數：y?的雙曲線。
b??2
（3）二次函數y?ax?bx?c?a?0??a?x???2a?2?b4ac?b?b，頂點坐標為?? ?，對稱軸x??4a2a?2a?2kx?k?0?推廣為y?b?kx?a?k?0?是中心O'(a，b)
?4ac?b4a2圖象為拋物線
開口方向：a?0，向上，函數ymin?4ac?b4a22
a?0，向下，ymax?4ac?b4a
應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系——二次方程
ax?bx?c?0，??0時，兩根x1、x2為二次函數y?ax?bx?c的圖象與x軸 的兩個交點，也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端點值。
2②求閉區間［m，n］上的最值。
③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。
④一元二次方程根的分布問題。
???0??b2
如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于k????k
2a???f(k)?0 y(a>0)O k x1 x2 x
一根大于k，一根小于k?f(k)?0
（4）指數函數：y?ax?a?0，a?1?
（5）對數函數y?logax?a?0，a?1?
由圖象記性質！
（注意底數的限定?。?/p>
y y=a(a>1)(0 （6）“對勾函數”y?x?kx?k?0? 利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么？ y ?k O k x 1ap 20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？ 指數運算：a?1(a?0)，am?mn0?p?(a?0) an?nam(a?0)，a?1nam(a?0) 對數運算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0? logaMN?logM?logN，logaaaanM?1nlogM a 對數恒等式：alogx?x 對數換底公式：logab? 21.如何解抽象函數問題？ （賦值法、結構變換法） logcblogca?logambn?nmlogab 如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??） （2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)是偶函數。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??） （3）證明單調性：f(x2)?f??x2?x1??x2???? 22.掌握求函數值域的常用方法了嗎？ （二次函數法（配方法），反函數法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數單調性法，導數法等。） 如求下列函數的最值： （1）y?2x?3?2x?4x?313?4x （2）y? （3）x?3，y?2x2x?3 ?，???0，??? ?設x?3cos （4）y?x?4? （5）y?4x?9x9?x2，x?(0，1] 23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？ （l??·R，S扇?12l·R? 1弧度 O R R 12?·R） 24.熟記三角函數的定義，單位圓中三角函數線的定義 sin??MP，cos??OM，tan??AT y T B S P α O M A x 如：若??8???0，則sin?，cos?，tan?的大小順序是 又如：求函數y?1????2cos??x?的定義域和值域。 ?2? （∵1????2cos??x?）?1??2?222sinx?0 ∴sinx?，如圖： ∴2k??5?4?x?2k???4?k?Z?，0?y?1?2 25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數的圖象嗎？并由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎？ x?1，cosx?sin y x ? ? O 2 y?tgx ?2? 對稱點為?k????，0?，k?Z ?2 x的增區間為?2k?? y?sin?????2?2，2k?????k?Z? ?2?3???k?Z? ?2? 減區間為?2k??，2k?? 圖象的對稱點為?k?，0?，對稱軸為x?k?? y?cosx的增區間為?2k?，2k?????k?Z? ?2?k?Z? 減區間為?2k???，2k??2???k?Z? 圖象的對稱點為?k??????，0?，對稱軸為x?k??k?Z? ? y?tanx的增區間為?k?????2，k?????k?Z 2? 26.正弦型函數y=Asin??x+??的圖象和性質要熟記。?或y?Acos??x???? （1）振幅|A|，周期T?2?|?| 若f?x0???A，則x?x0為對稱軸。 若f?x0??0，則?x0，0?為對稱點，反之也對。 （2）五點作圖：令?x??依次為0，（x，y）作圖象。 （3）根據圖象求解析式。（求A、?、?值） ?2，?，3?2，2?，求出x與y，依點 ??(x1)???0? 如圖列出?? ?(x)???2?2? 解條件組求?、?值 ?正切型函數y?Atan??x???，T??|?| 27.在三角函數中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍。 如：cos?x? （∵??x?????23???，x???，????，求x值。6?22??3?2，∴7?6?x??6?5?3，∴x??6?5?4，∴x?1312?） 28.在解含有正、余弦函數的問題時，你注意（到）運用函數的有界性了嗎？ 如：函數y?sinx?sin|x|的值域是 （x?0時，y?2sinx???2，2?，x?0時，y?0，∴y???2，2?） 29.熟練掌握三角函數圖象變換了嗎？ （平移變換、伸縮變換） 平移公式： ??x'?x?ha?(h，k) （1）點P（x，y）????? ??P'（x'，y'），則?y'?y?k平移至?? （2）曲線f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程為f(x?h，y?k)?0 如：函數y?2sin?2x?圖象？ （y?2sin?2x???????1???橫坐標伸長到原來的2倍??1???????????y?2sin?2?x????1 4?4???2???????1的圖象經過怎樣的變換才能得到y?sinx的 4??個單位???上平移1個單位4?2sin?x???1????????y?2sinx?1????????y?2sinx ?4?左平移縱坐標縮短到原來的1倍2??y?sinx）????????? 30.熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎？ 如：1?sin??cos??sec??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan?sin?2?cos0???稱為1的代換。2222?4 “k·?2??”化為?的三角函數——“奇變，偶不變，符號看象限”，“奇”、“偶”指k取奇、偶數。 如：cos9??7???tan????sin?21????46?sin??tan?cos??cot?，則y的值為 又如：函數y? A.正值或負值 sin?? D.正值 sin?B.負值 2C.非負值 （y?cos??sin??cos??1?cos???0，∵??0）2cos?cos??sin??1?sin? 31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應用了嗎？ 理解公式之間的聯系： ?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos? sin??????sin令???令???22co?s?????cos?cos??sin?sin??????cos2??cos??sin? tan??????tan??tan?1?tan?·tan? ?2cos??1?1?2sin?? 22tan2??2tan?1?tan?2cos?? 21?cos2?2 1?cos2?2sin?? 2??bcos?? asina?bsin???????，tan22 ba sin??cos?????2sin???? ?4? sin?????3cos??2sin???? ?3? 應用以上公式對三角函數式化簡。（化簡要求：項數最少、函數種類最少，分母中不含三角函數，能求值，盡可能求值。） 具體方法： （1）角的變換：如?????????，???2?????????????????? ??2?? 2（2）名的變換：化弦或化切 （3）次數的變換：升、降冪公式 （4）形的變換：統一函數形式，注意運用代數運算。 如：已知sin?cos?1?cos2??1，tan????????cos?2sin?23，求tan???2??的值。 1（由已知得： 又tan??????sin?cos?2sin?232?1，∴tan?? 2tan???????tan1?tan??????·tan?2121?18） ∴tan???2???tan???????????31?·32 32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現邊、角轉化，而解斜三角形？ 余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?222b?c?a2bc222 （應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）?a?2RsinAabc? 正弦定理：???2R??b?2RsinB sinAsinBsinC?c?2RsinC? S??12a·bsinC ∵A?B?C??，∴A?B???C C，sin ∴sin?A?B??sinA?B2C?cos 如?ABC中，2sin （1）求角C； 2A?B2?cos2C?1 （2）若a?b?22c22，求cos2A?cos2B的值。 2（（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cosC?1?1 又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0 ∴cosC?12或cosC??1（舍） ?322 又0?C??，∴C? ?b?22 （2）由正弦定理及a22122c得： ?3?342 2sinA?2sinB?sinC?sin 1?cos2A?1?cos2B? ∴cos2A?cos2B??3434） 33.用反三角函數表示角時要注意角的范圍。 反正弦：arcsinx??，?2?，x???1，1?2?? 反余弦：arccosx??0，??，x???1，1? 反正切：arctanx??? 34.不等式的性質有哪些？ （1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc???2，???，?x?R? 2????? （2）a?b，c?d?a?c?b?d （3）a?b?0，c?d?0?ac?bd （4）a?b?0?1a?1b，a?b?0?n1a?1b （5）a?b?0?an?bn，na?b （6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a 如：若21a2?1b?0，則下列結論不正確的是（） A.a?bB.ab?b D.ab?ba?2 C.|a|?|b|?|a?b| 答案：C 35.利用均值不等式： a?b?2ab?a，b?R22????a?b?；a?b?2ab；ab???求最值時，你是否注 ?2?2意到“a，b?R”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a?b)其中之一為定 值？（一正、二定、三相等） 注意如下結論： a?b222?a?b2?ab?2aba?b?a，b?R? ? 當且僅當a?b時等號成立。 a?b?c?ab?bc?ca?a，b?R? 22 2當且僅當a?b?c時取等號。 a?b?0，m?0，n?0，則 ba?b?ma?m?1?a?nb?n?ab4x 如：若x?0，2?3x???的最大值為 （設y?2??3x?4???2?212?2?43 x?23 當且僅當3x?4x，又x?0，∴x?時，ymax?2?43） 又如：x?2y?1，則2x?4y的最小值為 （∵2x?22y?22x?2y?221，∴最小值為22） 36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？ （比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等） 并注意簡單放縮法的應用。 如：證明1?122122?132???1n2?2 （1??132????1n2?1?11?21n?12?3????1?n?1?n ?1?1?12?12?13????1n?1? ?2?1n ?2）37.解分式不等式f(x)g(x)?a?a?0?的一般步驟是什么？ （移項通分，分子分母因式分解，x的系數變為1，穿軸法解得結果。） 38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始 如：?x?1??x?1?2?x?2?3?0 39.解含有參數的不等式要注意對字母參數的討論 如：對數或指數的底分a?1或0?a?1討論 40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？ （找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x?3|?x?1?1 ??1??）2? （解集為?x|x? 41.會用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|證明較簡單的不等問題 如：設f(x)?x2?x?13，實數a滿足|x?a|?求證：f(x)?f(a)?2(|a|?1) 證明：|f(x)?f(a)|?|(x2?x?13)?(a2?a?13)| ?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1) ?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|?|x|?|a|?1 又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1 ∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2?|a|?1? （按不等號方向放縮） 42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉化為最值問題，或“△”問題） 如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值 例如：對于一切實數x，若x?3?x?2?a恒成立，則a的取值范圍是 （設u?x?3?x?2，它表示數軸上到兩定點?2和3距離之和 umin?3???2??5，∴5?a，即a?5 或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5） 43.等差數列的定義與性質 定義：an?1?an?d(d為常數)，an?a1??n?1?d 等差中項：x，A，y成等差數列?2A?x?y 前n項和Sn??a1?an?n2?na1?n?n?1?2d 性質：?an?是等差數列 （1）若m?n?p?q，則am?an?ap?aq； （2）數列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍為等差數列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等差數列； （3）若三個數成等差數列，可設為a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差數列Sn，Tn為前n項和，則ambm?S2m?1T2m?1； 2（5）?an?為等差數列?Sn?an?bn（a，b為常數，是關于n的常數項為 0的二次函數） 2Sn的最值可求二次函數Sn?an?bn的最值；或者求出?an?中的正、負分界 項，即： ?an?0 當a1?0，d?0，解不等式組?可得Sn達到最大值時的n值。 ?an?1?0?an?0 當a1?0，d?0，由?可得Sn達到最小值時的n值。 a?0?n? 1如：等差數列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，則n? （由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1 又S3??a1?a3?2·3?3a2?1，∴a2?13 ∴Sn??a1?an?n2??a2?an?1?·n2??1???1?n?3?2?18 ?n?27） 44.等比數列的定義與性質 定義：an?1an?q（q為常數，q?0），an?a1qn?1 等比中項：x、G、y成等比數列?G2?xy，或G??xy ?na1(q?1)???a11?qn（要注意!） (q?1)?1?q? 前n項和：Sn?? 性質：?an?是等比數列 （1）若m?n?p?q，則am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等比數列 45.由Sn求an時應注意什么？ （n?1時，a1?S1，n?2時，an?Sn?Sn?1） 46.你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎？ 例如：（1）求差（商）法 如：?an?滿足 解：n?1時，n?2時，121212a1?122a2????12nan?2n?5?1? a1?2?1?5，∴a1?14 122a1?a2????1an?2 12n?1an?1?2n?1?5?2? ?1???2?得： ∴an? 2∴an［練習］ n?12n ?14(n?1)??n?1 (n?2)?2 53數列?an?滿足Sn?Sn?1?an?1，a1?4，求an （注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1Sn?4 又S1?4，∴?Sn?是等比數列，Sn?4n n?2時，an?Sn?Sn?1????3·4n?（2）疊乘法 例如：數列?an?中，a1?3，an?1an23?nn?1，求an 解：a2a1·a3a2??anan?13n?12·??n?1n，∴ana1?1n 又a1?3，∴an? （3）等差型遞推公式 由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法 n?2時，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?兩邊相加，得： ?????an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)????f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)［練習］ n?1?an?1?n?2?，求an 數列?an?，a1?1，an?3 （an??321n?1）? （4）等比型遞推公式 an?can?1?d?c、d為常數，c?0，c?1，d?0? 可轉化為等比數列，設an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x???ddc?1 ∴?an?d?，c為公比的等比數列 ?是首項為a1?c?1?c? ∴an?d??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1d ??c?c?1c?1d ∴an??a1?［練習］ 數列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an （an?4??8????3?n?1?1） （5）倒數法 例如：a1?1，an?1?2anan?2，求an 由已知得：1an?1?12?an?22an?12?1an ∴1an?1?1an ?1?11?1，公差為 ???為等差數列，a12?an? ?1an?1??n?1?·2n?112?12?n?1? ∴an? 47.你熟悉求數列前n項和的常用方法嗎？ 例如：（1）裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。 n 如：?an?是公差為d的等差數列，求?k?11akak?1 解：由n1ak·ak?11n?1ak?ak?d??1?11?????d?0? d?akak?1? ∴?k?1akak?1??k?11?11???? d?akak?1? ?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1? ［練習］ 求和：1?11?2?11?2?3????1n?111?2?3????n） （an??????，Sn?2? （2）錯位相減法： 若?an?為等差數列，?bn?為等比數列，求數列?anbn?（差比數列）前n項 和，可由Sn?qSn求Sn，其中q為?bn?的公比。 如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1? ?2? 234n?1n?nx x·Sn?x?2x?3x?4x?????n?1?x2n?1n?nx ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x????x x?1時，Sn??1?x?n?1?x?2?nxn1?x x?1時，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2 （3）倒序相加法：把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。 ?Sn?a1?a2????an?1?an??相加 Sn?an?an?1????a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an??? ［練習］ 已知f(x)??1??1??1?，則f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????2?????4?231?x?1????x?2x2 x?1?? （由f(x)?f???2?x?1?x2?1?1????x?2?x221?x?11?x2?1 ∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f??? ?2????3????4??? ?12?1?1?1?312）??1????1????1?? 48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？ △零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型： 若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為： n?n?1???r???等差問題 Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n?2?? △若按復利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類） 若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復利），那么每期應還x元，滿足 p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x ?1??1?r?n ?x?1??1?r???n??1?r??1 ??xr?? ∴x?pr?1?r?n?1?r?n ? 1p——貸款數，r——利率，n——還款期數 49.解排列、組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。 （1）分類計數原理：N?m1?m2????mn （mi為各類辦法中的方法數） 分步計數原理：N?m1·m2??mn （mi為各步驟中的方法數） （2）排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數記為An.m An?n?n?1??n?2????n?m?1??mn!?n?m?!?m?n? 規定：0!?1 （3）組合：從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數記為Cn.m Cmn?AnmmAm?n?n?1????n?m?1?m!?n!m!?n?m?! 規定：C0?1 n （4）組合數性質： n?mmm?1m01nn Cm?Cn，Cn?Cn?Cn?1，Cn?Cn????Cn?2 n 50.解排列與組合問題的規律是： 相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數量不大時可以逐一排出結果。 如：學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績 xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且滿足x1?x2?x3?x4，?? 則這四位同學考試成績的所有可能情況是（） A.24 B.15 解析：可分成兩類： C.12 D.10 （1）中間兩個分數不相等，4有C5?5（種） （2）中間兩個分數相等 x1?x2?x3?x4 相同兩數分別取90，91，92，對應的排列可以數出來，分別有3，4，3種，∴有10種。 ∴共有5＋10＝15（種）情況 51.二項式定理 (a?b)?Cna?Cnan0n1n?1b?Cna2n?2b???Cnarn?rr2rn?rb???Cnb rnn 二項展開式的通項公式：Tr?1?Cnarb(r?0，1??n) Cn為二項式系數（區別于該項的系數） 性質： ?r （1）對稱性：Crn?Cn?r?0，1，2，??，n? n （2）系數和：Cn?Cn???Cn?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2135024n?101nn （3）最值：n為偶數時，n＋1為奇數，中間一項的二項式系數最大且為第 ?n?2；n為奇數時，(n?1)為偶數，中間兩項的二項式 ??1?項，二項式系數為Cn?2?n系數最大即第n?12項及第11n?12n?1n?1?1項，其二項式系數為Cn2?Cn2 如：在二項式?x?1?的展開式中，系數最小的項系數為表示） （∵n＝11 ∴共有12項，中間兩項系數的絕對值最大，且為第122（用數字 ?6或第7項 r11?rr 由C11x(?1)，∴取r?5即第6項系數為負值為最?。?/p> 5?C11??C11??426 又如：?1?2x?2004?a0?a1x?a2x????a2004x22004?x?R?，則 ?a0?a1???a0?a2???a0?a3??????a0?a2004??（用數字作答） （令x?0，得：a0?1 令x?1，得：a0?a2????a2004?1 ∴原式?2003a0??a0?a1????a2004??2003?1?1?2004） 52.你對隨機事件之間的關系熟悉嗎？ （1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0 （2）包含關系：A?B，“A發生必導致B發生”稱B包含A。 A B （3）事件的和（并）：A?B或A?B“A與B至少有一個發生”叫做A與B 的和（并）。 （4）事件的積（交）：A·B或A?B“A與B同時發生”叫做A與B的積。 （5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發生”叫做A、B互斥。 A·B?? （6）對立事件（互逆事件）： “A不發生”叫做A發生的對立（逆）事件，A A?A??，A?A?? （7）獨立事件：A發生與否對B發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。 A與B獨立，A與B，A與B，A與B也相互獨立。 53.對某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即 P(A)?A包含的等可能結果一次試驗的等可能結果的總數?mn （2）若A、B互斥，則P?A?B??P(A)?P(B) （3）若A、B相互獨立，則P?A·B??P?A?·P?B? （4）P(A)?1?P(A) （5）如果在一次試驗中A發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中A恰好發生 k次的概率：Pn(k)?Cnpkk?1?p?n?k 如：設10件產品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）從中任取2件都是次品； 2?C42? ?P1?2?? 15C10?? （2）從中任取5件恰有2件次品； 23?C4C610?? ?P2?? 521?C10? （3）從中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品” 213 ∴m?C2·46?4 3 ∴P3?C3·4·6?4103223?44125 （4）從中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有順序） 5223 ∴n?A10，m?C4A5A6 ∴P4?C4A5A6A105223?1021 分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復排列問題，（4）是無重復排列問題。 54.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數表法）常常用于總體個數較少時，它的特征是從總體中逐個抽?。幌到y抽樣，常用于總體個數較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現了抽樣的客觀性和平等性。 55.對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法： （1）算數據極差?xmax?xmin?； （2）決定組距和組數； （3）決定分點； （4）列頻率分布表； （5）畫頻率直方圖。 其中，頻率?小長方形的面積?組距×頻率組距 樣本平均值：x? 樣本方差：S2?1n1n?x1?x2????xn ?x???x2?x??????xn?x?222???x1? 如：從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為____________。 （C10C5C15642） 56.你對向量的有關概念清楚嗎？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 ? （2）向量的?！邢蚓€段的長度，|a| ??? （3）單位向量|a0|?1，a0???a? |a| （4）零向量0，|0|?0 ?長度相等??a?b （5）相等的向量???方向相同 在此規定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。 （6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 規定零向量與任意向量平行。 ?????? b∥a(b?0)?存在唯一實數?，使b??a （7）向量的加、減法如圖： ??? OA?OB?OC ??? OA?OB?BA （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） ??? e1，e2是平面內的兩個不共線向量，a為該平面任一向量，則存在唯一 ?????實數對? 1、?2，使得a??1e1??2e2，e1、e2叫做表示這一平面內所有向量 的一組基底。 （9）向量的坐標表示 ?? i，j是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實數x，y，使得 ?a?xi?yj，稱(x，y)為向量a的坐標，記作：a??x，y?，即為向量的坐標 ????表示。 設a??x1，y1?，b??x2，y2? 則a?b??x1，y1???y1，y2???x1?y1，x2?y2? ?a???x1，y1????x1，?y1? 若A?x1，y1?，B?x2，y2? ? 則AB??x2?x1，y2?y1? ? |AB|???????x2??x1???y2?y1?，A、B兩點間距離公式 2 257.平面向量的數量積 ????? （1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a與b的數量積（或內積）。 ?為向量a與b的夾角，???0，?? B ???b O ? ?a D A 數量積的幾何意義： ????? a·b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos?的乘積。 （2）數量積的運算法則 ???? ①a·b?b·a ??????? ②(a?b)c?a·c?b·c ③a·b??x1，y1?·?x2，y2??x1x2?y1y2 ???????? 注意：數量積不滿足結合律(a·b)·c?a·(b·c) （3）重要性質：設a??x1，y1?，b??x2，y2? ?????? ①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0 ?????????? ②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b| ??? ?a??b（b?0，?惟一確定） ?x1y2?x2y1?0 ?2? ③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b| ??22121???? ④cos??［練習］ a·b???x1x2?y1y2x?y·2121|a|·|b|x?y2222 ?????? （1）已知正方形ABCD，邊長為1，AB?a，BC?b，AC?c，則 ???|a?b?c|? 答案：22 （2）若向量a??x，1?，b??4，x?，當x? 答案：2 ??????時a與b共線且方向相同 （3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a?3b|? 答案：158.線段的定比分點 o?? 設P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，分點P?x，y?，設P1、P2是直線l上兩點，P點在 ??l上且不同于P1、P2，若存在一實數?，使P1P??PP2，則?叫做P分有向線段 ?P1P2所成的比（??0，P在線段P1P2內，??0，P在P1P2外），且 x1??x2x1?x2??x?x?????1?? ?，P為P1P2中點時，??y?y1??y2?y?y1?y2??1??2?? 如：?ABC，A?x1，y1?，B?x2，y2?，C?x3，y3? 則?ABC重心G的坐標是???x1?x2?x33，y1?y2?y3?? ? 3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎？ 59.立體幾何中平行、垂直關系證明的思路清楚嗎？ 平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化： 線∥線???線∥面???面∥面 ????線⊥線???線⊥面???面⊥面???? 線∥線???線⊥面???面∥面判定性質 線面平行的判定： a∥b，b?面?，a???a∥面? a b ?? 線面平行的性質： ?∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂線定理（及逆定理）： PA⊥面?，AO為PO在?內射影，a?面?，則 a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO O a P ?? 線面垂直： a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥? a O α b c 面面垂直： a⊥面?，a?面???⊥? 面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥? α a l β a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥? a b ?? 60.三類角的定義及求法 （1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ?＝0時，b∥?或b?? o （3）二面角：二面角??l??的平面角?，0o???180o （三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。） 三類角的求法： ①找出或作出有關的角。 ②證明其符合定義，并指出所求作的角。 ③計算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。［練習］ （1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內射影，OC為α內過O點任一直線。 證明：cos??cos?·cos? A θ O B β ????????????????????????C? D α （?為線面成角，∠AOC=?，∠BOC=?） （2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側面B1BCC1所成的為30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求異面直線BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。 D1 C1 A1 B1 H G D C A B （①arcsin34；②60；③arcsino63） （3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。 P F D C A E B （∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線??） 61.空間有幾種距離？如何求距離？ 點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。 將空間距離轉化為兩點的距離，構造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉化法）。 如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，則： （1）點C到面AB1C1的距離為___________； （2）點B到面ACB1的距離為____________； （3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________； （4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________； （5）點B到直線A1C1的距離為_____________。 D C A B D1 C1 A1 B1 62.你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質？ 正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱 正棱錐——底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。 正棱錐的計算集中在四個直角三角形中： Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE 它們各包含哪些元素？ S正棱錐側? V錐?1312C·h'（C——底面周長，h'為斜高） 底面積×高 63.球有哪些性質？ （1）球心和截面圓心的連線垂直于截面r?R?d22 （2）球面上兩點的距離是經過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！ （3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經度角，它是面面成角。 （4）S球?4?R，V球?243?R 3（5）球內接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內切球半徑r之比為R：r＝3：1。 如：一正四面體的棱長均為2，四個頂點都在同一球面上，則此球的表面 積為（） A.3?B.4?C.33?D.6? 答案：A 64.熟記下列公式了嗎？ （1）l直線的傾斜角???0，??，k?tan??y2?y1???，x1?x2? ????x2?x1?2? P1?x1，y1?，P2?x2，y2?是l上兩點，直線l的方向向量a??1，k? （2）直線方程： 點斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在） 斜截式：y?kx?b 截距式：xa?yb?1 一般式：Ax?By?C?0（A、B不同時為零） （3）點P?x0，y0?到直線l：Ax?By?C?0的距離d?k2?k11?k1k2Ax0?By0?CA2?B2 （4）l1到l2的到角公式：tan?? l1與l2的夾角公式：tan??k2?k11?k1k2 65.如何判斷兩直線平行、垂直？ A1B2?A2B1???l1∥l2 A1C2?A2C1? k1?k2?l1∥l2（反之不一定成立） A1A2?B1B2?0?l1⊥lk1·k2??1?l1⊥l2 66.怎樣判斷直線l與圓C的位置關系？ 圓心到直線的距離與圓的半徑比較。 直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。 67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？ 聯立方程組?關于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相離 68.分清圓錐曲線的定義 ?橢圓?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2?? 第一定義?雙曲線?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2 ???拋物線?PF?PK 第二定義：e?PFPK?ca 0?e?1?橢圓；e?1?雙曲線；e?1?拋物線 y b O x?a2c F1 F2 a x 2222 xa?yb?1?a?b?0? ?a2?b2?c2? xa22 ?yb22?1?a?0，b?0? ?c2?a2?b2? k e>1 e =1P 0 69.與雙曲線xa22 ?yb22?1有相同焦點的雙曲線系為xa22?yb22?????0? 70.在圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數是否為零？△≥0的限制。（求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△≥0下進行。） 弦長公式P1P2??1?k???x21?x2??4x1x2 2? ?1?2??1?2??y1?y2??4y1y2 ?k??? 71.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？ 如： y P(x0,y0)K F1 O F2 x l xa22?yb22?1 PF2PK?e，PF22?a??e?x0???ex0?a c?? PF1?ex0?a y A P2 O F x P1 B y2?2px?p?0? 通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者；以焦點弦為直徑的圓與準線相切。 72.有關中點弦問題可考慮用“代點法”。 如：橢圓mx2?ny2?1與直線y?1?x交于M、N兩點，原點與MN中點連 22mn線的斜率為，則的值為 答案：mn?22 73.如何求解“對稱”問題？ （1）證明曲線C：F（x，y）＝0關于點M（a，b）成中心對稱，設A（x，y）為曲線C上任意一點，設A'（x'，y'）為A關于點M的對稱點。 （由a?x?x'2，b?y?y'2?x'?2a?x，y'?2b?y） 只要證明A'?2a?x，2b?y?也在曲線C上，即f(x')?y' ?AA'⊥l （2）點A、A'關于直線l對稱?? ?AA'中點在l上?kAA'·kl?? 1?? ?AA'中點坐標滿足l方程74.圓x?y22?x?rcos??r的參數方程為?（?為參數） y?rsin?? 2橢圓xa22?yb22?x?acos??1的參數方程為?（?為參數） ?y?bsin? 75.求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。 （直接法、定義法、轉移法、參數法） 76.對線性規劃問題：作出可行域，作出以目標函數為截距的直線，在可行域內平移直線，求出目標函數的最值。 高中數學知識點總結 1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？ 2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集?的特殊情況。 注重借助于數軸和文氏圖解集合問題?？占且磺屑系淖蛹?，是一切非空集合的真子集。 如：集合A?x|x2?2x?3?0，B??x|ax?1??? 若B?A，則實數a的值構成的集合為 3.注意下列性質： 1??（答：??1，0，?） 3??（1）集合?a1，a2，??，an?的所有子集的個數是2n； （2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （3）德摩根定律： CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB? 如：已知關于x的不等式（∵3?M，∴ 4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法） ax?5?0的解集為M，若3?M且5?M，求實數a x2?aa·3?5?032?aa·5?5?025?a的取值范圍。 5???a??1，???9，25?） 3??∵5?M，∴ 5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”(?)，“且”(?)和 “非”(?).若p?q為真，當且僅當p、q均為真 若p?q為真，當且僅當p、q至少有一個為真 若?p為真，當且僅當p為假 6.命題的四種形式及其相互關系是什么？ （互為逆否關系的命題是等價命題。） 原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。 7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？ （一對一，多對一，允許B中有元素無原象。） 8.函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？ （定義域、對應法則、值域） 9.求函數的定 義 域 有 哪 些 常 見 類 型？ 例：函數y?x?4?x?lg?x?3?2的定義域是（答：?0，2???2，3???3，4?） 10.如何 求 復 合函 數的定 義 域 ？ 如：函數f(x)的定義域是a，b，b??a?0，則函數F(x)?f(x)?f(?x)的定 義域是_____________。 ??（答：a，?a） ?? 11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？ 如：f?x?1?ex?x，求f(x).令t?x?1，則t?0 ∴x?t2?1 2? ∴f(t)?et?1?t2?∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0? 12.反函數存在的條件是什么？ （一一對應函數） 求反函數的步驟掌握了嗎？ （①反解x；②互換x、y；③注明定義域） ??1?x如：求函數f(x)??2???x奇函數性； ??x?0??x?1?x?1??1的反函數 （答：f(x)??） ?x?0?????x?x?0? 13.反函數的性質有哪些？ ①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱； ②保存了原來函數的單調性、③設y?f(x)的定義域為A，值域為C，a?A，b?C，則f(a)=b?f?1(b)?a ? 1?f?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b （y?f(u)，u??(x)，則y?f??(x)?（外層）（內層） 14.如何用定義證明函數的單調性？ （取值、作差、判正負） 如何判斷復合函數的單調性？ 當內、外層函數單調性相同時f??(x)?為增函數，否則f??(x)?為減函數。）如：求y?log1?x2?2x的單調區間 （設u??x2?2x，由u?0則0?x?2 2??且log1u?，u???x?1??1，如圖： u O 1 2 x 當x?(0，1]時，u?，又log1u?，∴y? 2當x?[1，2)時，u?，又log1u?，∴y? 215.如何利用導數判斷函數的單調性？ 在區間?a，b?內，若總有f'(x)?0則f(x)為增函數。（在個別點上導數等于 零，不影響函數的單調性），反之也對，若f'(x)?0呢？ 如：已知a?0，函數f(x)?x3?ax在?1，???上是單調增函數，則a的最大 B.1 C.2 D.3 值是（） A.0 2?a??a?（令f'(x)?3x?a?3?x???x???033????則x??a或x?3a3 由已知f(x)在[1，??)上為增函數，則a?1，即a? 3∴a的最大值為3）3 16.函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （f(x)定義域關于原點對稱）若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數?函數圖象關于原點對稱 若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數?函數圖象關于y軸對稱 注意如下結論： （1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。（2）若f(x)是奇函數且定義域中有原點，則f(0)?0。 a·2x?a?2如：若f(x)?為奇函數，則實數a?2x?1（∵f(x)為奇函數，x?R，又0?R，∴f(0)?0 a·20?a?2即?0，∴a?1）02?12x又如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數，當x?(0，1)時，f(x)?x，4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。2?x（令x???1，0?，則?x??0，1?，f(?x)??x 4?1 2?x2x 又f(x)為奇函數，∴f(x)??4?x?1??1?4x ?2x?x?(?1，0) 又f(0)?0，∴f(x)????4x?1x?0） ?2x??4x?1x??0，1? 17.你熟 悉 周期 函 數的定 義（若存在實數T（T?0），在定義域內總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期函數，T是一個周期。）如：若f?x?a???f(x)，則 （答：f(x)是周期函數，T?2a為f(x)的一個周期） 又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x?a，x?b??? 即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x) 則f(x)是周期函數，2a?b為一個周期 如： 18.你掌握常用的圖象變換了嗎？ f(x)與f(?x)的圖象關于y軸對稱 f(x)與?f(x)的圖象關于x軸對稱 f(x)與?f(?x)的圖象關于原點對稱 f(x)與f?1(x)的圖象關于直線y?x對稱 f(x)與f(2a?x)的圖象關于直線x?a對稱 f(x)與?f(2a?x)的圖象關于點(a，0)對稱 嗎 y?f(x?a) 將y?f(x)圖象?左移a(a?0)個單位右移???????a(a?0)個單位??y?f(x?a) ?上移b(b?0)個單位y?f(x?下移???????b(b?0)個單位??a)?by?f(x?a)?b 注意如下“翻折”變換： f(x)???f(x)f(x)???f(|x|) 如：f(x)?log2?x?1? 作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的圖象 y y=log2x O 1 x 19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？ (k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a （1）一次函數：y?kx?b?k?0? （2）反比例函數：y?kx?k?0?推廣為y?b?kx?a?k?0?是中心O'(a，b)雙 曲?ax?bx?c?a?0??a?b?24ac?b2（3）二次函數y2??x?2a???4a圖象為拋物線 頂點坐標為????b2a，4ac?b?b4a??，對稱軸x??2a 線 開口方向：a?0，向上，函數ymin4ac?b2?4a4ac?b2?4a a?0，向下，ymax 應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系——二次方程 ax2?bx?c?0，??0時，兩根x1、x2為二次函數y?ax2?bx?c的圖象與x軸 的兩個交點，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端點值。 ②求閉區間［m，n］上的最值。 ③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。 ④一元二次方程根的分布問題。 ???0??b2如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于k????k ?2a??f(k)?0 y(a>0)O k x1 x2 x 一根大于k，一根小于k?f(k)?0（4）指數函數：y?ax?a?0，a?1?（5）對數函數y?logax?a?0，a?1? 由圖象記性質！ （注意底數的限定?。?/p> y y=ax(a>1)(0 （6）“對勾函數”y?x?k?k?0? x 利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么？ y ?k O k x 20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？ 指數運算：a0?1(a?0)，a?p?amn1(a?0)pa ?nam(a?0)，a?mn?1nam(a?0) 對數運算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0? logaM1?logaM?logaN，loganM?logaM Nn對數恒等式：alogax?x logcbn?logambn?logab logcam （賦值法、結構變換法）對數換底公式：logab? 21.如何解抽象函數問題？如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??） （2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)是偶函數。（先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）（3）證明單調性：f(x2)?f?x2?x1??x2??? ?? 22.掌握求函數值域的常用方法了嗎？ （二次函數法（配方法），反函數法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數單調性法，導數法等。）如求下列函數的最值： （1）y?2x?3?13?4x（2）y?2x?4x?3 2x22（4）y?x?4?9?x（3）x?3，y?設x?3cos?，???0，??x?3?? （5）y?4x?9，x?(0，1] x 23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？ （l??·R，S扇?11l·R??·R2）22 24.熟記三角函數的定義，單位圓中三角函數線的定義 sin??MP，cos??OM，tan??AT y T B S P α O M A x 如：若?????0，則sin?，cos?，tan?的大小順序是8 ???又如：求函數y?1?2cos??x?的定義域和值域。 ?2????（∵1?2cos??x?）?1?2sinx?0 ?2? ∴sinx?2，如圖：2 ∴2k??5???x?2k???k?Z?，0?y?1?244 25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數的圖象嗎？并由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎？ sinx?1，cosx?1 ??2yy?tgxx?O? 2???對稱點為?k，0?，k?Z ?2???y?sinx的增區間為?2k??，2k??2????k?Z??2? ?3???減區間為?2k??，2k????k?Z? 22?? 圖象的對稱點為?k?，0?，對稱軸為x?k??y?cosx的增區間為?2k?，2k?????k?Z? ??k?Z? 2 減區間為?2k???，2k??2???k?Z? ???圖象的對稱點為?k??，0?，對稱軸為x?k??k?Z? ??2??y?tanx的增區間為?k??，k???2???k?Z 2? 26.正弦型函數y=Asin??x+??的圖象和性質要熟記。?或y?Acos??x????（1）振幅|A|，周期T?2? 若f?x0???A，則x?x0為對稱軸。|?| 若f?x0??0，則?x0，0?為對稱點，反之也對。 ?3?，?，2?，求出x與y，依點（2）五點作圖：令?x??依次為0，22（x，y）作圖象。（3）根據圖象求解析式。（求A、?、?值） ??(x1)???0 如圖列出?????(x2)???? 解條件組求?、?值 ?正切型函數y?Atan??x???，T??|?| 27.在三角函數中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍。 如：cos???x???2?3??6????2，x????，2??，求x值。 （∵??x?3?7??2，∴6?x?6?5?3，∴x??6?5?4，∴x?1312?） 28.在解含有正、余弦函數的問題時，你注意（到）運用函數的有界性了嗎？ 如：函數y?sinx?sin|x|的值域是 （x?0時，y?2sinx???2，2?，x?0時，y?0，∴y???2，2?） 29.熟練掌握三角函數圖象變換了嗎？ （平移變 換、伸 縮 變 換） 平 移 公 式如：函數y?2sin?????2x?4???1的圖象經過怎樣的變換才能得到y?sinx的 圖象？ ： ?（y?2sin?2x??????1???橫坐標伸長到原來的2倍??1???????????y?2sin?2?x????1 4???2?4?左平移個單位????1個單位4?2sin?x???1????????y?2sinx?1?上平移???????y?2sinx ?4?12?y?sinx）??????????縱坐標縮短到原來的倍 30.熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎？ 如：1?sin2??cos2??sec2??tan2??tan?·cot??cos?·sec??tan? 4?sin ??cos0???稱為1的代換。2?“k·??”化為?的三角函數——“奇變，偶不變，符號看象限”，29??7???tan????sin?21????6?4“奇”、“偶”指k取奇、偶數。 如：cos 又如：函數y?sin??tan?，則y的值為cos??cot?B.負值 C.非負值 D.正值 A.正值或負值 sin?sin2??cos??1?cos?（y???0，∵??0）cos?cos2??sin??1?cos??sin?sin?? 31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應用了嗎？ 理解公式之間的聯系： 令???sin??????sin?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos? 令???cos??????cos?cos??sin?sin??????cos2??cos2??sin2? tan??????tan??tan?22 ?2cos??1?1?2sin?? 1?tan?·tan?tan2?? 2tan? 1?tan2? 1?cos2?2 1?cos2?sin2??2cos2?? asin??bcos??a2?b2sin?????，tan???sin??cos??2sin??????? 4?b a ?sin??3cos??2sin???????3?可 應用以上公式對三角函數式化簡。（化簡要求：項數最少、函數種類最少，分母中不含三角函數，能求值，盡 能 求 值。） （1）角的變換：如?????????，（2）名的變換：化弦或化切 （3）次數的變換：升、降冪公式 ????????????????????? ??22?? 2（4）形的變換：統一函數形式，注意運用代數運算。 sin?cos?2?1，tan???????，求tan???2??的值。 1?cos2?3sin?cos?cos?1（由已知得：??1，∴tan??2sin?22sin2?2又tan?????? 321?tan??????tan?1∴tan???2???tan???????????32?） 2181?tan?????·tan?1?·32如：已知b2?c2?a2余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?2bc222 32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現邊、角轉化，而解斜三角形？ （應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。） ?a?2RsinAabc?正弦定理：???2R??b?2RsinB sinAsinBsinC?c?2RsinC? S??1a·bsinC 2∵A?B?C??，∴A?B???C ∴sin?A?B??sinC，sin如?ABC中，2sin2A?BC?cos 22A?B?cos2C?1 22 2c2（1）求角C；（2）若a?b?，求cos2A?cos2B的值。 2（（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cos2C?1?1 又A?B???C，∴2cos2C?cosC?1?0 1?或cosC??1（舍） 又0?C??，∴C? 231222 （2）由正弦定理及a?b?c得： 232222? 2sinA?2sinB?sinC?sin? 343 1?cos2A?1?cos2B? ∴cos2A?cos2B??） ∴cosC? 33.用反三角函數表示角時要注意角的范圍。 ????反正弦：arcsinx???，?，x???1，1? 2??2 反余弦：arccosx??0，??，x???1，1? ????反正切：arctanx???，?，?x?R? ?22? 34.不等式的性質有哪些？ （1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc（2）a?b，c?d?a?c?b?d （3）a?b?0，c?d?0?ac?bd （4）a?b?0? 1111?，a?b?0?? abab（5）a?b?0?an?bn，na?nb （6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a 如：若11??0，則下列結論不正確的是（abB.ab?b2） A.a2?b2C.|a|?|b|?|a?b|D.ab??2 ba均 值 2答案：C 35.22利用 ?不等式 ?a?b?a?b?2aba，b?R；a?b?2ab；ab???求最值時，你是否注 ?2???意到“a，b?R?”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a?b)其中之一為定 值？（一正、二定、三相等） 注意如下結論： a2?b2a?b2ab??ab?a，b?R?22a?b?? 當且僅當a?b時等號成立。 a2?b2?c2?ab?bc?ca?a，b?R? 當且僅當a?b?c時取等號。 a?b?0，m?0，n?0，則 bb?ma?na??1?? aa?mb?nb4如：若x?0，2?3x?的最大值為x4??（設y?2??3x???2?212?2?43 ?x?當且僅當3x? 423，又x?0，∴x?時，ymax?2?43）x3 又如：x?2y?1，則2x?4y的最小值為 （∵2x?22y?22x?2y?221，∴最小值為22） 36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？ （比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等） 并注意簡單放縮法的應用。 如：證明1?（1?111?????2 22223n 111111??????1?????? 1?22?3n?1n2232n2???1?1? 11111???????223n?1n1?2??2）n 37.解分式不等式f(x)?a?a?0?的一般步驟是什么？ g(x) （移項通分，分子分母因式分解，x的系數變為1，穿軸法解得結果。） 38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始 如：?x?1??x?1??x?2??0 2 339.解含有參數的不等式要注意對字母參數的討論 如：對數或指數的底分a?1或0?a?1討論 40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？ （找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x?3|?x?1?1 ?（解集為?x|x??1??）2? 41.會用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|證明較簡單的不等問題 如：設f(x)?x2?x?13，實數a滿足|x?a|?1 求證：f(x)?f(a)?2(|a|?1) f(a)|?|(x2?x?13)?(a2?a?13)| 證明：|f(x)??|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1) ?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|?|x|?|a|?1 又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1 ∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2?|a|?1? （按不等號方向放縮） 42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉化為最值問題，或“△”問題） 如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值 例如：對于一切實數x，若x?3?x?2?a恒成立，則a的取值范圍是（設u?x?3?x?2，它表示數軸上到兩定點?2和3距離之和 umin?3???2??5，∴5?a，即a?5 或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5） 43.等差數列的定義與性質 定義：an?1?an?d(d為常數)，an?a1??n?1?d 等差中項：x，A，y成等差數列?2A?x?y 前n項和Sn? ?a1?an?n?na21?n?n?1?2d 性質：?an?是等差數列 （1）若m?n?p?q，則am?an?ap?aq； （2）數列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍為等差數列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等差數列； （3）若三個數成等差數列，可設為a?d，a，a?d；（4）若an，bn是等差數列Sn，Tn為前n項和，則amS2m?1?； bmT2m?（5）?an?為等差數列?Sn?an2?bn（a，b為常數，是關于n的常數項為 Sn的最值可求二次函數Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、負分界 0的二次函數） 項，即： ?an?0當a1?0，d?0，解不等式組?可得Sn達到最大值時的n值。 a?0?n?1?an?0當a1?0，d?0，由?可得Sn達到最小值時的n值。 a?0?n? 如：等差數列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，則n?（由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1 又S3??a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?1 3?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3??∴Sn????18 2?n?27） 44.等比數列的定義與性質 定義：an?1?q（q為常數，q?0），an?a1qn?1 an 等比中項：x、G、y成等比數列?G2?xy，或G??xy ?na1(q? 前n項和：S?1)n??a?1?1?qn?（要注意!?1?q(q?1)） 性質：?an?是等比數列 （1）若m?n?p?q，則am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍為等比數列 45.由Sn求an時應注意什么？ （n?1時，a1?S1，n?2時，an?Sn?Sn?1） 46.你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎？ 例如：（1）求差（商）法 如：?a111n?滿足2a1?22a2????2nan?2n? 解：n?1時，12a1?2?1?5，∴a1?14 n?2時，12a111?22a2????2n?1an?1?2n?1?5 ?1???2?得：12nan?2 ∴an?2n?1 ∴a?14(n?1)n???2n?1(n?2) ［練習］ 數列?an?滿足Sn?Sn?1?53an?1，a1?4，求an （注意到a?SSn?1n?1?Sn?1n代入得：S?4 n 又S1?4，∴?Sn?是等比數列，Sn?4n ?1? ?2? n?2時，an?Sn?Sn?1????3·4n?1 （2）疊乘法 例如：數列?an?中，a1?3，an?1n?，求an ann? 1解：a2aaa12n?11·3??n?·??，∴n? a1a2an?123na1n 又a1?3，∴an?3 n （3）等差型遞推公式 由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法 n?2時，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)??兩邊相加，得： ?????an?an?1?f(n)??an?a1?f(2)?f(3)????f(n)∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n) ［練習］ 數列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an （an?1n3?1）2?? （4）等比型遞推公式 an?can?1?dc、d為常數，c?0，c?1，d?0?? 可轉化為等比數列，設an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?d c? d?d?∴?an?是首項為a?，c為公比的等比數列 ?1c?1c?1??∴an?dd??n?1??a1??·c c?1?c?1? d?n?1d? ∴an??a1?c????c?1c?1［練習］ 數列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an ?4?（an?8????3?n?1 ?1） 2an，求an an?2 （5）倒數法 例如：a1?1，an?1?1an?1an?211??2an2an 由已知得：1an?1? ∴?11? an ???1?11為等差數列，?1，公差為 ?a12?an?111?1??n?1?·??n?1? an22 ? ∴an?2 n?1 47.你熟悉求數列前n項和的常用方法嗎？ 例如：（1）裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。 如：?an?是公差為d的等差數列，求?1k?1akak?1n 解：由111?11???????d?0? ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1? n11?11?∴??????aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?n ?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1? ［練習］ 求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n （an??????，Sn?2?1）n?1 （2）錯位相減法： 若?an?為等差數列，?bn?為等比數列，求數列?anbn?（差比數列）前n項 和，可由Sn?qSn求Sn，其中q為?bn?的公比。 如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1? x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn?2? ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1時，Sn1?x?nx???nn ?1?x?21?x x?1時，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2 （3）倒序相加法：把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。 Sn?a1?a2????an?1?an???相加 Sn?an?an?1????a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an??? ［練習］ x2?1??1??1?已知f(x)?，則f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f????????2??3??4?1?x2 x?1?（由f(x)?f?????x?1?x22x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1????x?2 ??1????1????1??∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f??? ?2????3????4??? ?11?1?1?1?3）22 48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？ △零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型： 若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為： n?n?1???Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n?r???等差問題 2?? △若按復利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類） 若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復利），那么每期應還x元，滿足 p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x ?1??1?r?n??1?r?n?1 ?x???x1?1?rr??????nn ∴x?pr?1?r??1?r??1 p——貸款數，r——利率，n——還款期數 49.解排列、組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。 （1）分類計數原理：N?m1?m2????mn（mi為各類辦法中的方法數）分步計數原理：N?m1·m2??mn（mi為各步驟中的方法數） （2）排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數記為Amn.Amn?n?n?1??n?2????n?m?1??n!?m?n? ?n?m?! 規定：0!?1 （3）組合：從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數記為Cmn.n?n?1????n?m?1?Amn!C?n?? mm!m!?n?m?!Ammn 規定：C0n?1 （4）組合數性質： n?mm?101nnCm，Cm?Cmn?Cnn?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2 50.解排列與組合問題的規律是： 相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數量不大時可以逐一排出結果。 如：學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績 xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且滿足x1?x2?x3?x4，則這四位同學考試成績的所有可能情況是（） A.24 B.15 C.12 D.10 解析：可分成兩類： ??（1）中間兩個分數不相等，4有C5?5（種） （2）中間兩個分數相等 x1?x2?x3?x4 相同兩數分別取90，91，92，對應的排列可以數出來，分別有3，4，3種，∴有10種。 ∴共有5＋10＝15（種）情況 51.二項式定理 n1n?1n?22n(a?b)n?C0b?C2b???Crnan?rbr???Cnna?Cnananb 二項展開式的通項公式：Tr?1?Crnan?rbr(r?0，1??n)Crn為二項式系數（區別于該項的系數） ?r（1）對稱性：Crn?Cnr?0，1，2，??，nn 性質： ?? 1nn（2）系數和：C0n?Cn???Cn?2 35024n?1 C1n?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??? 2（3）最值：n為偶數時，n＋1為奇數，中間一項的二項式系數最大且為第 ?n?2；n為奇數時，(n?1)為偶數，中間兩項的二項式 ??1?項，二項式系數為Cn?2?n?1n?1系數最大即第項及第?1項，其二項式系數為Cn2?Cn222n?1n?1n 如：在二項式?x?1?的展開式中，系數最小的項系數為表示） 11（用數字 （∵n＝11 ∴共有12項，中間兩項系數的絕對值最大，且為第12?6或第7項 2r由C11x11?r(?1)r，∴取r?5即第6項系數為負值為最小： 65?C11??C11??426 又如：?1?2x?2004?a0?a1x?a2x2????a2004x2004?x?R?，則 （用數字作答）?a0?a1???a0?a2???a0?a3??????a0?a2004?? （令x?0，得：a0?1 令x?1，得：a0?a2????a2004?1 ∴原式?2003a0?a0?a1????a2004?2003?1?1?2004） ?? 52.你對隨機事件之間的關系熟悉嗎？ （1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0 （2）包含關系：A?B，“A發生必導致B發生”稱B包含A。 A B （3）事件的和（并）：A?B或A?B“A與B至少有一個發生”叫做A與B 的和（并）。 （4）事件的積（交）：A·B或A?B“A與B同時發生”叫做A與B的積。 （5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發生”叫做A、B互斥。 A·B?? （6）對立事件（互逆事件）： “A不發生”叫做A發生的對立（逆）事件，A A?A??，A?A?? （7）獨立事件：A發生與否對B發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。 A與B獨立，A與B，A與B，A與B也相互獨立。 53.對某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即 P(A)?A包含的等可能結果m? 一次試驗的等可能結果的總數n （2）若A、B互斥，則P?A?B??P(A)?P(B)（3）若A、B相互獨立，則PA·B?P?A?·P?B? ?? （4）P(A)?1?P(A) （5）如果在一次試驗中A發生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中A恰好發生 kk次的概率：Pn(k)?Cknp?1?p?n?k 如：設10件產品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）從中任取2件都是次品； ?C22?4P???1? 2C1015??3?C210?4C6?P2?5??21?C10? （2）從中任取5件恰有2件次品； （3）從中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴m?C·46?423213 23C2443·4·6?4∴P3?? 125103 （4）從中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽?。ㄓ许樞颍?/p> ∴n?A，m?CAA510242536 23C2104A5A6 ∴P4??521A10 分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復排列問題，（4）是無重復排列問題。 54.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數表法）常常用于總體個數較少時，它的特征是從總體中逐個抽??；系統抽樣，常用于總體個數較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現了抽樣的客觀性和平等性。 55.對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法： （1）算數據極差?xmax?xmin?； （2）決定組距和組數；（3）決定分點；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率直方圖。 其中，頻率?小長方形的面積?組距×頻率 組距 1x1?x2????xn n1222樣本方差：S2??x1?x???x2?x??????xn?x?n樣本平均值：x????? 如：從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為____________。 42C10C5（）6C1 556.你對向量的有關概念清楚嗎？（1）向量——既有大小又有方向的量。 ?（2）向量的模——有向線段的長度，|a| ? （3）單位向量|a0|?1，a0???a|a| ? （4）零向量0，|0|?0 ?? ?長度相等??（5）相等的向量??a?b 方向相同? 在此規定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。 （6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 規定零向量與任意向量平行。 ?????? b∥a(b?0)?存在唯一實數?，使b??a （7）向量的加、減法如圖： ???OA?OB?OC ???OA?OB?BA ??? （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e1，e2是平面內的兩個不共線向量，a為該平面任一向量，則存在唯一 ?????實數對? 1、?2，使得a??1e1??2e2，e1、e2叫做表示這一平面內所有向量 的一組基底。 （9）向量的坐標表示 設a??x1，y1?，b??x2，y2? 則a?b??x1，y1???y1，y2???x1?y1，x2?y2? ?a???x1，y1????x1，?y1? ????? 若A?x1，y1?，B?x2，y2? ?則AB??x2?x1，y2?y1? ? |AB|???x2?x1?2??y2?y1?2，A、B兩點間距離公式 ????? 57.平面向量的數量積 （1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a與b的數量積（或內積）。 ?為向量a與b的夾角，???0，?? B ??? b O ? ?a D A 數量積的幾何意義： ????? a·b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos?的乘積。 ???? （2）數量積的運算法則 ①a·b?b·a ②(a?b)c?a·c?b·c ???????③a·b??x1，y1?·?x2，y2??x1x2?y1y2 ????????注意：數量積不滿足結合律(a·b)·c?a·(b·c) （3）重要性質：設a??x1，y1?，b??x2，y2? ①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0 ②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b| ?a??b（b?0，?惟一確定）?x1y2?x2y1?0 ?22121??????????????????????? ? ③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b| ? ④cos??a·b??|a|·|b|??x1x2?y1y2x?y·x?y21212222 ??????［練習］（1）已知正方形ABCD，邊長為1，AB?a，BC?b，AC?c，則 |a?b?c|? 答案：2 ??? ??（2）若向量a??x，1?，b??4，x?，當x?時a與b共線且方向相同 ?? 答案：2 （3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a?3b|?13 ??o?? 答案： 58.線段的定比分點 設P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，分點P?x，y?，設P1、P2是直線l上兩點，P點在 ??l上且不同于P1、P2，若存在一實數?，使P1P??PP2，則?叫做P分有向線段 ?P1P2所成的比（??0，P在線段P1P2內，??0，P在P1P2外），且 x1??x2x1?x2??x?x?????1??2，P為P1P2中點時，???y?y1??y2?y?y1?y2??1??2?? 如：?ABC，A?x1，y1?，B?x2，y2?，C?x3，y3? y?y2?y3??x?x2?x3則?ABC重心G的坐標是?1，1? ??3 3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內心及其性質嗎？ 59.立體幾何中平行、垂直關系證明的思路清楚嗎？ 平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化： 線∥線???線∥面???面∥面 判定性質????線⊥線???線⊥面???面⊥面???? 線∥線???線⊥面???面∥面 線面平行的判定： a∥b，b?面?，a???a∥面? a b ?? 線面平行的性質： ?∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂線定理（及逆定理）： PA⊥面?，AO為PO在?內射影，a?面?，則 a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO 線面垂直： P ??O a a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥? a O α b c 面面垂直： a⊥面?，a?面???⊥? 面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥? α a l β a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥? a b ?? 60.三類角的定義及求法 （1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ?＝0o時，b∥?或b?? （3）二面角：二面角??l??的平面角?，0o???180o （三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。） 三類角的求法： ①找出或作出有關的角。 ②證明其符合定義，并指出所求作的角。③計算大小（解直角三角形，或用余弦定理）［練習］ （1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內射影，OC為α內過O點任一直線。 證明：cos??cos?·cos? A θ O β B ????????????????????????C? D α （?為線面成角，∠AOC=?，∠BOC=?） （2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側面B1BCC1所成的為30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求異面直線BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。 D1 C1 A1 B1 H G D C A B 36（①arcsin；②60o；③arcsin） 43（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。 P F D C A E B （∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線??） 61.空間有幾種距離？如何求距離？ 點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。 將空間距離轉化為兩點的距離，構造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉化法）。如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，則：（1）點C到面AB1C1的距離為___________； （2）點B到面ACB1的距離為____________； （3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________； （4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________； （5）點B到直線A1C1的距離為_____________。 D C A B D1 C1 A1 B1 62.你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質？ 正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱 正棱錐——底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。 正棱錐的計算集中在四個直角三角形中： 它們各包含哪些元素？ Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE S正棱錐側?63.1C·h'（C——底面周長，h'為斜高） 2有 哪 些 性 質 ？ V錐?1底面積×高 3球（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面r?R2?d2 （2）球面上兩點的距離是經過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！ （3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經度角，它是面面成角。 （4）S球?4?R2，V球?4?R3 3 （5）球內接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內切球半徑r之比為R：r＝3：1。 如：一正四面體的棱長均為2，四個頂點都在同一球面上，則此球的表面 積為（） A.3?熟B.4?記 下 C.33?列 D.6? 答案：A 公 式 了 嗎 ？ 64.（1）l直線的傾斜角???0，??，k?tan?? y2?y1??????，x1?x2? ?x2?x1?2?P1?x1，y1?，P2?x2，y2?是l上兩點，直線l的方向向量a??1，k? 點斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在） 斜截式：y?kx?b （2）直線方程： 截距式：xy?? 1一般式：Ax?By?C?0（A、B不同時為零）abAx0?By0?CA?B2（3）點P?x0，y0?到直線l：Ax?By?C?0的距離d? （4）l1到l2的到角公式：tan??k2?k11?k1k2 l1與l2的夾角公式：tan??k2?k11?k1k2 65.如何判斷兩直線平行、垂直？ A1B2?A2B1???l1∥lk1?k2?l1∥l2（反之不一定成立）A1C2?A2C1? A1A2?B1B2?0?l1⊥l2 k1·k2??1?l1⊥l2 66.怎樣判斷直線l與圓C的位置關系？ 圓心到直線的距離與圓的半徑比較。 直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。 67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？ 聯立方程組?關于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相離 68.分清圓錐曲線的定義 ?橢圓?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2??第一定義?雙曲線?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2???拋物線?PF?PK? 第二定義：e? y PFPKc 0?e?1?橢圓；e?1?雙曲線；e?1?拋物線 a b c O F1 F2 a x x?a2 x2y2??1?a?b?0? a2b2 ?a2?b2?c2? x2y2?2?1?a?0，b?0? c2?a2?b22ab?? e>1 e=1 P 0 x2y2x2y269.與雙曲線2?2?1有相同焦點的雙曲線系為2?2?????0? abab 70.在圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數是否為零？△≥0的限制。（求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△≥0下進行。） 弦長公式P1P2??1?k22x?x????12?4x1x2? 1?2???1?2??y1?y2??4y1y2?k??? 71.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？ 如： PF2?a2?x2y2?e，PF2?e?x0???ex0?a PF1?ex0?a ?? 1PKc?a2b2? y A P2 O F x P1 B y2?2px?p?0? 通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者；以焦點弦為直徑的圓與準線相切。 有關中點 弦 問 題 可 考 慮 用 “ 代 點 法 ”。 72.如：橢圓mx2?ny2?1與直線y?1?x交于M、N兩點，原點與MN中點連 線的斜率為2m，則的值為2n 答案： m2?n2A 73.“對稱”問題？（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關于點M（a，b）成中心對稱，設A（x，y）為曲線C上任意一點，設 A'（x'，y'）為 關于點 M的對稱點。 （由a?x?x'y?y'，b??x'?2a?x，y'?2b?y）22只要證明A'?2a?x，2b?y?也在曲線C上，即f(x')?y'?AA'⊥l（2）點A、A'關于直線l對稱???AA'中點在l上?kAA'·kl??1???AA'中點坐標滿足l方程?x?rcos?74.圓x?y?r的參數方程為?（?為參數） y?rsin??222 ?x?acos?x2y2橢圓2?2?1的參數方程為?（?為參數） y?bsin?ab? 75.求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。 （直接法、定義法、轉移法、參數法） 76.對線性規劃問題：作出可行域，作出以目標函數為截距的直線，在可行域內平移直線，求出目標函數的最值。 1．理解分子、原子、離子、元素； 理解物質分類：混合物和純凈物、單質和化合物、金屬和非金屬等概念； 理解同素異形體和原子團的概念； 理解酸、堿、鹽、氧化物的概念及其相互聯系；（見高中第一鄰課筆記） 2．掌握有關溶液的基本計算；有關化學方程式的基本計算；根據化學式計算等；（用物質的量進行計算） 3．常見氣體（氧氣、氫氣、二氧化碳）的發生、干燥、收集裝置；（見鹽酸補充提綱）常見物質酸（鹽酸、硫酸）、堿（氫氧化鈉、氫氧化鈣）、鹽（碳酸鈉、氯化鈉）檢驗與鑒別； 過濾、蒸發等基本操作。（見2.1提綱中粗鹽提純） 第一章 打開原子世界的大門 1．1從葡萄干面包模型到原子結構的行星模型 1．2原子結構和相對原子質量 1．3揭開原子核外電子運動的面紗 1．對原子結構認識的歷程： 古典原子論：惠施、墨子、德謨克利特； 近代原子論：道爾頓； 葡萄干面包模型：湯姆孫； 原子結構行星模型：盧瑟福； 電子云模型：波爾?！私?/p> 2．重要人物及成就： 道爾頓（原子論）、湯姆孫（發現電子及葡萄干面包模型）、倫琴（X射線）、貝克勒爾（元素的放射放射性現象）、盧瑟福（α粒子的散射實驗及原子結構行星模型）。 3．原子的構成；（看第一章例題） 原子核的組成：質子數、中子數、質量數三者關系；原子、離子中質子數和電子數的關系； ①原子 原子核 質子（每個質子帶一個單位正電荷）——質子數決定元數種類 AZ X（+）中子（不帶電）質子與中子數共同決定原子種類 核外電子（-）（帶一個單位負電荷） 對中性原子：顧電荷數 = 質子數 = 核外電子數 = 原子垿數 對陽離子： 核電荷數 = 質子數＞核外電子數，∴電子數=質子數-陽離子所帶電荷數 如：ZAn+ e=Z-n，Z=e+n 對陰離子： 核電荷數 = 質子數＜核外電子數，∴電子數=質子數+陰離子所帶電荷數 如：ZBm+ e=Z+m，Z=e-m ②質量數（A）= 質子數（Z）+ 中子數（N）。即 A = Z + N 質量數（A）（原子核的相對質量取整數值被稱為質量數）。 ——將原子核內所有的質子和中子相對質量取近似整數值，加起來所得的數值叫質量數。 4．知道同位素的概念和判斷；同素異形體；（看第一章例題） 同位素——質子數相同而中子數不同的同一元素的不同原子互稱為同位素。 ①同位素討論對象是原子。②同位素原子的化學性質幾乎完全相同。 ③在天然存在的某種元素里，不論是游離態還是化合態，也不論其來源如何不同，各種同位素所占的原子個數百分比保持不變。（即豐度不變） （見1.2提綱） 5．相對原子質量：原子的相對原子質量、元素的相對原子質量（簡單計算）； a（設某原子質量為a g） ①同位素原子的相對原子質量 m12c×1/2 此相對質量不能代替元素的相對質量。②元素的相對原子質量（即元素的平均相對原子質量） ——是某元素各種天然同位素的相對原子質量與該同位素原子所占的原子個數百分比（豐度）的乘積之和。 即：M = Ma×a% + Mb×b% + Mc×c% + ③元素的近似相對原子質量——用質量數代替同位素的相對原子質量計算，所得結果為該元素的近似相對原子質量。（看第一章例題） 6．核外電子排布規律：能量高低；理解電子層（K、L、M、N、O、P、Q）表示的意義； ①電子按能量由低到高分層排布。②每個電子層上最多填2n2個電子。 ③最外層不超過8個電子，次外層不超過18個電子，依次類推，（第一層不超過2個）④最外層電子數為8或第一層為2的原子為穩定結構的稀有氣體元素。 7．理解原子結構示意圖（1~18號元素）、電子式的含義； 原子、離子的結構示意圖； 原子、離子、分子、化合物的電子式。（見1~20號元素和第三章提綱） 第一章 拓展知識點 P173 常用的稀型離子有氖型微粒（電子層結構相同微粒的含義）： 氖型離子：原子核外為10電子，包括N3&#;、O2－、F－、Na+、Mg2+、Al3+。NH4+； 常見10電子微粒：分子（CH4、NH3、H2O、HF）；原子（Ne）；離子（N3&#;、O2－、F－、OH-、Na+、Mg2+、Al3+、NH4+、H3O+） 第二章 開發海水中的化學資源 2．1以食鹽為原料的化工產品 2．2海水中的氯 2．3從海水中提取溴和碘 1．海水利用： 海水曬鹽：原理、方法、提純；（見2.1提綱） 海水提溴：主要原理和步驟，三個步驟——濃縮、氧化、提取；（見2.3提綱） 海帶提碘：簡單流程步驟、儀器操作、原理；（見2.3提綱） 2．以食鹽為原料的化工產品（氯堿工業）： 電解飽和食鹽水：化學方程式、現象，氯氣的檢驗；氫氧化鈉用途 制HCl和鹽酸：氯化氫的物理性質、化學性質；鹽酸的用途；（見2.1提綱） 漂粉精：主要成分、制法和漂白原理；制“84”消毒液（見2.2提綱） 漂粉精漂白、殺菌消毒原理：Ca（ClO）2+2CO2+2H2O—→Ca（HCO3）2 +2HClO 2HClO—→2HCl+O2↑ 3．氯氣的性質：（見2.2提綱及鹵素中的有關方程式） 物理性質：顏色、狀態、水溶性和毒性； 化學性質：①與金屬反應、②與非金屬反應、③與水反應、④與堿反應、⑤置換反應 4．溴、碘鹵素單質的性質；（見2.3提綱） 溴的特性：易揮發 碘的特性：升華、淀粉顯色、碘與人體健康 5．結構、性質變化規律：（見2.3提綱中幾個遞變規律） Cl2、Br2、I2單質的物理性質、化學性質遞變規律； Cl—、Br—、I—離子及其化合物的化學性質遞變規律； 6．氧化還原反應：概念；根據化合價升降和電子轉移判斷反應中的氧化劑與還原劑；氧化還原反應方程式配平（基本）（見2.1提綱） 氧化還原反應——凡有電子轉移（電子得失或電子對偏移）的反應叫化還原反應。反應特征：有元素化合價升降的反應。 氧化劑： 降 得 還 還原劑：失 高 氧 具有 化合價 得到 本身被還原 具有 失去 化合價 本身被氧化 氧化性： 降低 電子 發生還原反應 還原性：電子 升高 發生氧化反應 （特征）（實質）（實質）（特征） （注意：最高價只有氧化性，只能被還原；最低價只有還原性，只能被氧化）（中間價：既有氧化性，又有還原性；既能被還原，又能被氧化） 氧化性強弱：氧化劑＞氧化產物（還原劑被氧化后的產物） 還原劑強弱：還原劑＞還原產物（氧化劑被還原后的產物） 7．電離方程式： ①電解質——在水溶液中或者熔化狀態下能夠導電的化合物叫做電解質；反之不能導電的（化合物）化合物稱為非電解質。 ②電離——電解質在水分子作用下，離解成自由移動的離子過程叫做電離。③強電解質——在水溶液中全部電離成離子的電解質。（強酸6個、強堿4個、大部分鹽） 弱電解質——在水溶液中部分電離成離子的電解質。（弱酸、弱堿） ④電離方程式——是表示電解質如酸、堿、鹽在溶液中或受熱熔化時離電成自由移動離子的式子。強電解質電離用“→”表示，弱電解質電離用“ ”表示 H2SO4 → 2H++SO42-H2SO4 H++HSO3-HSO3-H++SO32- （多元弱酸電離時要寫分步電離方程式，幾元酸寫靖步電離方程式。） ⑤電荷守恒——在溶液中或電離方程式，陽離子帶的電荷總數等于陰離子帶的電荷總數。⑥離子方程式——用實際參加反應的離子符號來表示離子反應的式子叫做離子方程式。離子方程式：置換反應與復分解反應的離子方程式書寫 （凡是①難溶性物質②揮發性物質③水及其弱電解質④單質⑤氧化物⑥非電解質⑦濃H2SO4均寫化學式）離子共存，出現①沉淀②氣體③弱電解質④氧化還原反應不能共存。 第二章 拓展知識點 P181 1．Cl2與還原性物質反應：H2S、SO2（H2SO3）、HBr、HI 2．氧還反應有關規律： ①電子守恒規律； ②性質強弱規律；③價態轉化規律；④反應先后規律； 3．氧化性或還原性強弱比較： ①相同條件下，不同的氧化劑與同一種還原劑反應，使還原劑氧化程度大的(價態高的)氧化性強。 例如：2Fe+3Br2△2FeBr3 Fe+S△FeS，由于相同條件下，Br2將Fe氧化為Fe3+ 知識點總結： 1.obviously=clearly（adv.）明顯地，清楚地2.for example= for instance 例如，舉例子 3.look after=take care of 照顧，照料4.litter(n.)垃圾（v.）亂扔垃圾 5.kind(adj.)和藹的，親切的（n.）種類all kinds of =different kinds of 各種各樣的kind of 有幾分6.obey(v.)遵守，遵循7.traffic regulations=traffic rules 交通規則 8.tell sb to do sth 告訴某人做某事tell sb not to do sth 告訴某人不要做某事 9.avoid(v.)避免avoid doing sth 避免做某事10.cyclist(n.)騎自行車的人 11.signal(n.)信號traffic signals 交通信號12.prevent（v.）防止，預防 13.stop(v.)停止stop doing sth 停止正在做的事情stop to do sth 停下來去做另外一件事 14.follow(v.)跟隨15.without(prep.)沒有without doing sth 沒有做某事 16.take …into consideration 把。。納入考慮之中consider doing sth 考慮做某事 17.true(adj.)真實的（n.）truth 真相，真話18 lie(v.)說謊lie—lay—lainlying 19.ever 曾經never 從不20.accept(v.)接受acceptable(adj.)可接受的unacceptable 不可接受的21.live in 居住make a living 謀生22.stick to 堅持 23.mean(v.)意味著24.steal(v.)偷東西25.argue(v.)爭論，辯論 argument(n.)論證，論據26.however(prep.)然而27.different(adj.)不同的 Be different from….與。。不同differ in 不同于 28.other 其他的others 別人，其他人another 另外一個one ….the other… 一個。。另一個。。29.decide to do sth 決定做某事decide on sth 決定某事 30.get into trouble 陷入麻煩 詩歌鑒賞知識的儲備 一①體裁分類：古體詩：四言、五言、七言、雜言古詩、樂府詩（題目上有的加 “歌”“行”“吟”“引”等名稱）。 絕句（四句），律詩（八句:首聯、頷聯、頸聯、尾聯）。 二②題材分類：寫景抒情、詠物言志、邊塞征戰、即事感懷、懷古詠史、羈旅生活、惜春傷春、閨怨詩、愛國詩、愛情詩、鄉愁詩等。 三考點分析: 1人物形象類答題模式蓋帽子;找依據;析感情 2意境答題步驟描繪詩中展現的圖景畫面;概括景物所營造的氛圍特點;分析感情意境一般由雙音節詞構成四字短語： 寥廓、雄奇、開闊、曠遠悲壯、悲涼、凄清、陰冷 幽靜、蕭條、荒涼、冷寂衰敗、孤寂、恬靜、閑適纏綿、清新、明麗、絢麗壯麗、秀美、恬淡、淡雅煉字類答題 答題步驟：煉字：動詞、形容詞、副詞、數量詞、疊詞。 1、解釋該字在句中的含義。 2、展開聯想，把該字放入原句中描述景象。引述關鍵詞語+分析用法用意+表達效果 3、點出該字烘托的意境或表達的情感。 4.表達技巧：表達方式有敘述、議論、抒情、描寫。 ①抒情手法:直抒胸臆、間接抒情(借景抒情、情景交融、托物言志、寓情于景、用典抒情、詠史抒懷、借古諷今、借古傷今等) ②描寫方法：襯托，分正襯和反襯 反襯又有動襯靜，聲寂襯，樂景襯哀情，以哀景寫樂。 動靜結合、白描、細節描寫、正面描寫、側面描寫、虛實結合，以景襯情，描寫順序有：所見、所聞、所感； 描寫角度：感覺、聽覺、視覺、味覺、觸覺的變化。 ③修辭手法:有賦、比、興 比興。如“關關雎鳩，在河之洲。窈窕淑女，君子好逑”。先言它物引起所詠之物。 比喻——生動形象 擬人——生動形象的寫出了事物......的特點，把......寫活了，使描寫的事物具有了人的感情，使文章更具有情趣 排比——增強語言氣勢和表達效果。 設問（自問自答）——提出問題，引起注意，啟發思考 反問（問而不答）——加強語氣，能夠表達作者強烈的感情。 對偶、用典、反語、夸張、借代、互文、雙關、頂真 疊詞：增添音樂性，瑯瑯上口，余味無窮。 4.語言風格： 平淡、絢麗、莊重、幽默、清新自然、簡潔明快、樸素直白、豪放俊逸、沉郁頓挫、雄渾豪邁、委婉含蓄，耐人尋味等。 5情感表達 哀情 :思鄉懷人之情孤獨寂寞之情懷才不遇、壯志難酬的苦悶不平貶謫的愁苦 對世俗的蔑視人世滄桑的嘆息國運衰敗的哀嘆國破家亡的苦痛 樂情: 自己對某種品德節操的堅守與傲岸對自然的喜愛與回歸遠離世俗的恬淡之情 看淡榮辱成敗的曠達精忠報國的忠心 古典詩歌常見意象 花草類 (1)菊：隱逸 高潔 脫俗(2)梅：傲雪 堅強 不屈不撓 逆境(3)蘭：高潔(4)牡丹：富貴 美好 (5)禾黍：黍離之悲(國家的今盛昔衰)(6)花開：希望 青春 人生的燦爛(7)花落：凋零 失意 人生、事業的挫折 惜春 對美好事物的留戀、追懷(8)草：生命力強生生不息 希望 荒涼 偏僻 離恨 身份、地位的卑微 樹木類 (1)樹的曲直：事業、人生的坎坷、順利(2)黃葉：凋零 美人遲暮 新陳代謝(3)綠葉：生命力 希望 活力(4)松柏：堅挺 傲岸 堅強 生命力(5)竹：氣節 積極向上(6)梧桐：凄苦(7)柳：送別留戀 傷感 春天的美好 風霜雨雪水云類 (1)海浪：人生的起伏(2)東風：春天 美好(3)春風：曠達歡愉 希望(4)露：人生的短促 生命的易逝(5)天陰：壓抑 愁苦寂寞(6)海浪的洶涌：人生兇險 江湖詭譎(7)狂風：作亂 摧毀舊世界的力量(8)西風：落寞 惆悵 衰敗 游子思歸(9)雪：純潔 美好 環境的惡劣 惡勢力的猖狂(10)小雨：春景 希望 生機 活力 潛移默化式的教化(11)煙霧：情感的朦朧、慘淡前途的迷惘、渺茫 理想的落空、幻滅(12)暴雨：殘酷 熱情 政治斗爭 掃蕩惡勢力的力量 蕩滌污穢的力量(13)霜：人生易老 社會環境的惡劣 惡勢力的猖狂 人生途路的坎坷、挫折(14)江水：時光的流逝歲月的短暫 綿長的愁苦 歷史的發展趨勢 動物類 (1)子規：悲慘 凄惻(2)魚：自由 愜意(3)鴻鵠：理想追求(4)猿猴：哀傷 凄厲(5)烏鴉：小人 俗客庸夫(6)沙鷗：飄零 傷感(7)狗、雞：生活氣息 田園生活(8)(瘦)馬：奔騰 追求 漂泊(9)(孤)雁：孤獨 思鄉 思親 音信 消息(10)鷹：剛勁 自由 人生的搏擊 事業的成功 器物類 (1)玉：高潔 脫俗(2)簪纓(冠)：官位 名望 散文閱讀知識的儲備 一 含義題標題的含義(表 層深層) 題目本義╃文本內容 ╃ 主旨 2含義題 ：看上下文 +看核心詞語+看中心 二 作用題目 ：（內容結構主旨） 景物描寫的作用——交代故事發生的時間、地點；渲染氣氛，烘托人物心情；表現人物性格；推動情節的發展 篇章結構作用 ： 標題的作用： ①引起讀者閱讀興趣；②提出或暗示主旨，幫助讀者認識和理解作品的內容；③表明文章的線索 不同位置的句子在文中所起的作用： ①首句——統領全文、提綱挈領，首尾呼應，引出下文，設置懸念，激發讀者的閱讀興趣，為后文做鋪墊，埋下伏筆，與下文進行對比，反襯出??。 ②尾句——總結全文，深化主題，照應上文，前后呼應，首尾呼應，篇末點題，回味深長。③轉承句——過渡，承上啟下，承接上文，引出下文。 不同位置的段落在文中所起的作用： 開頭段： 總括全文，點明題旨，開啟（引出）下文；渲染氣氛，奠定基調；設置懸念，引起興趣，或為后文作鋪墊、作對比。 中間段：承上啟下、或引出下文； 或襯托（對比），擴展思路，豐富內涵，深化主題或照應前文。 結尾段：總結全文；呼應前文（開頭）；深化中心，點明題旨；言有盡而意無窮，回味深長。設問 ? 先提出問題，接著自己把看法說出。 問題引入，帶動全篇，中間設問，承上啟下，結尾設問，深化主題，令人回味。 （引起注意） 反問 ? 用疑問的形式表達確定意思。用來加強語氣，表達強烈感情。 人稱： 表達效果與優點。第一人稱：增加對事情對人物敘述的真實性，適于心理描寫。 第二人稱：增加親切感，拉近了與讀者的距離，便于感情交流，進行抒情，還能起擬人化的作用。第三人稱：顯得比較客觀公正，不受時空限制，便于敘事和議論。 三 概括題目 ? 先有篩選，后有歸納 ? 歸納前要理清文章或段落內層次結構 ? 歸納要注意表層和深層兩個方面 ? 要分條陳述 四 賞析題目 ? 常見的問題是有什么好處，有什么效果，有什么作用 1詞語的鑒賞重點考查修辭 ? 格式：用了（）修辭，寫出了（），表達了（突出）了（）情感思想態度一個語句表現手法的鑒賞三方面（表達方式、藝術表現手法、修辭）都要考慮.? 格式：用了（），寫出了（），表達了（突出）了（）情感思想態度。 修辭 ：：化深奧為淺顯，化平淡為生動，化抽象為具體，化繁冗為簡潔。 ?：提示本質,給人以啟示;突出特征，強化感情；;烘托氣氛，增強感染力。? ：化物為人，親切自然；生動活潑，具體形象。 ? ：結構對稱，形式整齊；節奏鮮明，音節和諧；高度概括，富有表現力。：結構緊湊，文意貫通；增強文章的氣勢，增強文章的感染力,層層推進的闡說事理.? ：在于強調，既使形象鮮明思想突出感情強烈，強烈的節奏感和旋律美。?: 使語言含蓄、簡練,委婉.? ：加強語氣，加重語勢；激發感情，加深印象。 ? ：提出問題，引起注意；啟發思考，加深理解。 ? ：言在此而意在彼。表達含蓄，語義豐富。 情感 ： 喜愛、敬佩、欣賞、憤怒、憂慮、批判、思考、呼吁第二篇：高三數學知識點總結（范文模版）
第三篇：高三化學知識點總結
第四篇：高三英語知識點總結
第五篇：高三語文知識點總結
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