第一篇：2015湖南中考三角形與四邊形

2015湖南中考三角形與四邊形

班級：

姓名：

1、【2015郴州】23．（8分）（2015?郴州）如圖，AC是?ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分別交AD，BC于點E，F．（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）當EF與AC滿足什么條件時，四邊形AFCE是菱形？并說明理由．

2、【2015懷化】17．（本題滿分8分）已知：如圖，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，其交點為O 求證：（1）△CDE≌△DBF（2）OA=OD

B D O E

第17題圖

F

C A

3、【2015懷化】19．（本題滿分8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2（1）求作⊙O，使它過點A、B、C（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圓中，求出劣弧BC ⌒

的長

C A 第19題圖

B

4、（2015?邵陽）21．（8分）如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．

（1）求證：DE=CF；（2）求EF的長．

5、【2015益陽】15．如圖5，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠

，求?2的度數.圖5

6、【2015益陽】18．如圖8，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．（1）求證：AC⊥BD；

（2）若AB=14，∠，求線段OE的長．

7、（2015?湘潭）22．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．（1）求證：△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．

8、（2015?永州）23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延長AD到E點，使DE=AB．

（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．

9、【2015岳陽】

22、（8分）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N（1）求證：△ABM∽△EFA（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的長

10、【2015長沙】19.如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，對角線AC、BD相交于點O，將對角線AC所在的直線繞點O順時針旋轉角α（0°<α<90°）后得直線l，直線l與AD、BC兩邊分別相交于點E和點F。求證：（1）△AOE≌△COF；

（2）當α=30°時，求線段EF的長度。

11、（2015?株洲）22．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一條角平分線．點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形．（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的長．

第二篇：《三角形與四邊形》的優秀教案設計

教學目標：

1、認知目標：能夠理解和辨別三角形、四邊形及多邊形。知道長方形、正方形是特殊的四邊形。

2、能力目標：通過動手操作和小組合作，培養學生的探究能力和初步的歸納能力。

3、情感目標：給學生足夠的空間讓學生自己形成表象，激發學習數學的興趣。

教學重點：

能使學生理解和辨別三角形、四邊形及多邊形的特征。

教學難點：

讓學生自己動手操作得出結論，提升認識。

教學準備：

多媒體課件、塑料圖形片。

教學過程：

一、引入新課

師：小朋友，今天我們一起去參觀圖形王國，愿意嗎？（播放多媒體課件）圖形博士說：“歡迎小朋友們來到圖形王國，我是圖形博士。”

二、合作探究

1.認識三角形、四邊形和多邊形的特征。

播放：“請跟隨圖形小精靈進入第一宮：辨別圖形宮” 出示各種各樣的圖形。

提問：這些圖形你認識嗎？說說它們的名稱。

學生回答：

6、14是正方形，1、3、13是長方形，4、8、11、12是三角形，2、5、7、9、10都見過，但不清楚它們叫什么，你知道嗎？

師：不知道名稱的我們先放在一邊，過一會兒再來解決這些問題，好嗎？ 播放：“送你們一張笑臉。請跟隨圖形小精靈進入第二宮：定義圖形宮”

2.了解三角形、四邊形及多邊形的概念。

師：請小朋友們為我們的圖形朋友找找它們的家。

（1）哪些圖形是由三條線段圍成的？4、8、11、1

2問：剛才我們已經知道了這些是什么圖形呢？ 三角形。

師：那也就是說由三條線段圍成的圖形是三角形。

（板書）這也是三角形的定義。

（2）哪些圖型是由四條線段圍成的？ 1、2、3、5、6、9、10、13、1

4師：這些由四條線段圍成的圖形我們通常叫它們四邊形。

小組討論：四邊形的定義。由四條線段圍成的圖形是四邊形。（板書）

師：找一找這些四邊形中有沒有我們非常熟悉的圖形？哪一些是？ 6、14是正方形，1、3、13是長方形 師：正方形和長方形是在四邊形中找到的，也就是說正方形和長方形是特殊的四邊形。（板書）師：小朋友，今天我們一起探討的是三角形與四邊形。（出示課題）誰能說說什么是三角形的定義，什么是四邊形的定義？

（3）還有圖形7，你知道它叫什么嗎？（五邊形）

問：為什么叫做五邊形？由五條線段圍成的圖形是五邊形。

師：這里老師有一個疑問：五邊形是由五條線段圍成的，四邊形是由四條線段圍成的，三角形是由三條線段圍成的，那么這六邊形是由幾條線段圍成的？（六條線段）七邊形呢？八邊形呢？ 小組討論，得出結論：幾邊形是由幾條線段圍成的。

3.師：圖形小精靈說同學們真聰明，回答得太好了，夸夸自己。

三、動手操作

師：下面我們進入第三宮：動手宮

1.學生動手拼搭三角形和四邊形，抽生介紹自己拼搭的圖形是由幾條線段圍成的？ 學生作品在實物投影儀上展示，學生自己介紹自己的作品。

2.除了能拼搭三角形和四邊形之外，你還能拼搭其它的圖形嗎？ 學生自由拼搭，介紹。

3.你能寫出它們各自的名稱嗎？完成書上題2。

4.第四宮：游戲宮，完成書上題3。

四、總結下課

今天學習了什么本領？你有什么收獲？我們的生活中哪里有三角形和四邊形？

第三篇：三角形、四邊形知識點總結

相交線、平行線

一、相交線

1.線段的垂直平分線：

（1）定義：垂直且平分一條線段的直線，叫做線段的垂直平分線。

（2）性質：線段垂直平分線上的點，到線段兩端點的距離相等。

角的平分線性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

二、平行線

1.定義：在同一平面內不相交的兩條直線，叫平行線。

2.性質：（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內錯角相等（3）兩直線平行，同旁內角互補（4）平行線間的距離相等（5）平行線截相交兩條直線，對應線段成比例。

3.判定：（1）同位角相等，兩直線平行（2）內錯角相等，兩直線平行（3）同旁內角互補，兩直線平行

（4）平行于同一直線的兩直線平行。（5）垂直于同一直線的兩直線平行。第二節 三角形 一、三角形的分類 二、三角形的邊角關系 1.邊與邊的關系

（1）△兩邊之和大于第三邊（2）△兩邊之差小于第三邊 2.角與角關系

（1）△三個內角的和等于180°

（2）△的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

（3）△的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

五、特殊三角形 1.等腰△

（1）性質：1）兩腰相等2）兩個底角相等3）底邊上“三線合一”4）軸對稱圖形（1條對稱軸）

（2）判定：1）兩邊相等的三角形是等腰△ 2）兩個角相等的三角形是等腰△ 2.等邊△

性質：1）三邊相等2）三個角相等，都等于60° 3）三邊上都有“三線合一”4）軸對稱圖形（3條對稱軸）

3.Rt△

（1）性質：1）兩個銳角互余 2）勾股定理 3）斜邊上中線等于斜邊的一半 4）30°角所對的直角邊等于斜邊的一半

（2）判定：1）有一個角是直角的三角形 2）勾股定理逆定理

第三節 全等三角形

1.對應邊相等 2.對應角相等

3.對應線段（高線、中線、角平分線）相等 4.全等三角形面積相等

三、判定：（SAS）（AAS）（ASA）（SSS）（HL）

第四節 四邊形

一、特殊四邊形

二、平行四邊形

（1）性質：1）邊：對邊平行且相等2）角：對角相等，鄰角互補3）對角線：互相平分4）對稱性：中心對稱圖形

（2）判定：1）邊：兩組對邊分別平行 兩組對邊分別相等 一組對邊平行且相等 2）對角線：對角線互相平分 3）角：兩組對角分別相等。

三、矩形

1.性質：（1）具有平行四邊形的一切性質（2）4個角都是直角（3）對角線相等（4）既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

2.判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）有三個角是直角的四邊形是矩形（3）對角線相等的平行四邊形是矩形

四、菱形

1.性質：（1）具有平行四邊形的一切性質（2）四條邊都相等（3）對角線互相垂直，且平分內對角 2.判定：（1）鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）四邊都相等的四邊形是菱形（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

五、正方形：

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。

六、梯形

1.等腰梯形的性質：（1）兩腰相等（2）兩底角相等（3）兩條對角線相等（4）軸對稱圖形 2.直角梯形的性質：一腰與底垂直 3.梯形中常用輔助線

七、多邊形

1.n邊形內角和（n-2）·180° 2.n邊形外角和為360° 3.n邊形對角線條數

例1 已知直線AB和CD相交于O點，射線OE⊥AB于O，射線OF⊥CD于O，且∠BOF=25°，求：∠AOC與∠EOD的度數。（畫出圖形，結合圖形計算）

1.如圖：在□ABCD中，M和N分別為AD、BC的中點，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。求證：四邊形ENFM是平行四邊形

2.如圖：在正方形ABCD中，AB=3，過邊AB上的一個三等分點N作NE//AD,交CD于E，以過A的一條直線為折痕，將點B折至NE上，這個落點為P，折痕與BC交于F,求：BF的長。

5.）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，EF分別是BC、AD上的點，∠1=∠2.求證：△ABE≌△CDF.【答案】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，AB=DC，又∵∠1=∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA）.２．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B.(1)求證：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的長.（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°

∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE= ∵△ADF∽△DEC ∴

AD2?AE2?(33)2?32?6

ADAF33AF AF=23 ∴??64DECD

第四篇：北師大中考數學復習專題_三角形四邊形的有關計算證明

三角形四邊形的有關計算證明

一、考點，熱點分析：

(1)了解多邊形的內角和與外角和公式，掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質，了解它們之間的關系．了解四邊形的不穩定性；

(2)掌握平行四邊形對邊相等、對角相等、對角線互相平分的性質，四邊形是平行四邊形的條件（一組對邊平行且相等，或兩組對邊分別相等，或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．了解中心對稱圖形及其基本性質；

(3)掌握矩形、菱形、正方形的有關性質和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件；

(4)了解等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對角線相等的性質，以及同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形的結論

5．進一步認識三角形的有關概念，了解三邊之間的關系以及三角形的內角和，了解三角形的穩定性。

6.了解圖形的全等，能利用全等圖形進行簡單的圖案設計。

7.經歷探索三角形全等條件的過程，掌握兩個三角形全等的條件，能應用三角形的全等解決一些實際問題。

8.在分別給出兩角夾邊、兩邊夾角和三邊的條件下，能夠利用尺規作出三角形（會寫已知、求作和作法，不要求證明）。

二、知識點歸納：

??三角形的概念及表示

??三角形的基本要素及基本性質?三邊的關系,三內角的關系????三角形的高,中線,角平分線?三角形?

?三角形全等的表示及特征?

?三角形的全等?探索三角形全等的條件?????三角形全等的應用?

三、【例題經典】

三角形內角和定理的證明

例1．如圖所示，把圖（1）中的∠1撕下來，拼成如圖（2）所示的圖形，從中你能得到什么結論？請你證明你所得到的結論．

點證：此題是讓學生動手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根據兩直線平行，?同旁內角互補，得到“三角形三內角的和等于180°”的結論，由于此題剪拼的方法很多，證明的方法也很多，注意對學生的引導．

探索三角形全等的條件

例2．如圖所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，給出

下列結論：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．

其中正確的結論是_________．

解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF

可判定△AEB≌△AFC，從而得∠EAB=∠FAC． ∴∠1=∠2，又可證出△AEM≌△AFN．

依此類推得①、②、③

點評：注意已知條件與隱含條件相結合．

全等三角形的應用

例3．（2006年重慶市）如圖所示，A、D、F、B在同一直線

上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求證：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．

【解析】（1）因為AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD

．（2）因為△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF

∥CD．

【點評】根據平行尋求全等的條件，由三角形全等的性質證兩直線平行．

利用平行四邊形的性質求面積

例4．（2006年河南省）如圖，在?ABCD中，E為CD的中點，連結AE并延長交BC的延長線于點F，求證：S△ABF=S?ABCD．

【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC．

∵E是DC的中點，∴DE=CE．

∴△AED≌△FEC．

∴S△AED =S△FEC．

∴S△ABF =S四邊形ABCE+S△CEF =S四邊形ABCE+S△AED =S?ABCD

會根據條件選擇適當方法判定平行四邊形

例5．（2005年山東省）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F?是對角線AC上的兩點，當E、F滿足下列哪個條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（）

A．OE=OFB．DE=BFC．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF

【分析】雖然判別平行四邊形可從“邊、角、對角線”三個角度來考慮，但此例圖中已有對角線，所以最適當方法應是“對角線互相平分的四邊形為

平行四邊形”．

能利用平行四邊形的性質進行計算

例6．（2005年西寧市）如圖，在?ABCD中，已知對角線AC和BD相交于點O，△AOB?的周長為15，AB=6，那么對角線AC+BD=_______

．

【分析】本例解題依據是：平行四邊形的對角線互相平分，先求出

AO+BO=9，?再求得AC+BD=18．

四、【考點精練】

（一）、基礎訓練

1．如圖1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，則∠OAD=_______．

（1）（2）（3）

2．如圖2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D?點到直線AB的距離是_______cm．

3．如圖3，AD、AF分別是△ABC的高和角平分線，已知∠B=36°，∠C=?76?°，則∠DAF=______度．

4．（2006年煙臺市）如圖4，∠A=65°，∠B=75°，將紙片的一角折疊，使點C?落在△ABC內，若∠1=20°，則∠2的度數為______．

（4）（5）（6）

．如圖

5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD?交于點O，?且AO?平分∠BAC，那么圖中全等三角形共有________對．

6．（2006年河南省）如圖6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊的中點，E?是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是________．

7．以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cm

C．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm

8．（2006年紹興市）若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，?則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有（）

A．2對B．3對C．4對D．6對

（7）（8）（9）

9．（2006年德陽市）已知△ABC的三邊長分別為20cm，50cm，60cm，現要利用長度分別為30cm和60cm的細木條各一根，做一個三角形木架與△ABC相似．?要求以其中一根為一邊，將另一根截成兩段（允許有余料）作為另外兩邊．那么另外兩邊的長度（單位：cm）分別為（）

A．10，25B．10，36或12，36

C．12，36D．10，25或12，36

10．（2005年黃岡市）如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=

12S△ABC；④EF=AP．當∠EPF在△ABC內繞頂點P

旋轉時（點E?不與A、B重合），上述結論中始終正確的有（）

A．①④B．①②C．①②③D．①②③④

11．如圖1，該多邊形的內角和為_______度．

(1)(2)(3)

12．如圖2，E、F是?ABCD對角線BD上的兩點，請你添加一個適當的條件：__________，使四邊形AECF是平行四邊形．

13．（2006年長沙市）如圖3，四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則應添加的條件是__________（添加一個條件即可）．

14．（2006年揚州市）?ABCD的對角線交于點O，下列結論錯誤的是（）

A．?ABCD是中心對稱圖形B．△AOB≌△COD

C．△AOD≌△BOCD．△AOB與△BOC的面積相等

15．（2005年天津市）如圖4，在?ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF與GH交于點O，則該圖中的平行四邊形的個數共有（）

A．7個B．8個C．9個D．11個

16．（2006年廣東省）如圖5所示，在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，下列式子中一定成立的是（）

A．AC⊥BDB．OA=OCC．AC=BDD．AO=OD

(4)(5)(6)

17．（2006年淄博市）如圖6，在△MBN中，BM=6，點A，C，D分別在MB，NB，MN?上，?四邊形ABCD為平行四邊形，∠NDC=∠MDA，則?ABCD的周長是（）

A．24B．18C．16D．1

218．（2006年懷化市）如圖7，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，若用剪刀沿AD剪開，?則最多能拼出不同形狀的四邊形個數是（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

19．如圖8，?ABCD中，點E、F分別是AD、AB的中點，EF交AC于點G，那么AG：GC的值為（?）

A．1：2B．1：3C．1：4D．2：

(7)(8)(9)

20．（2006年南通市）如圖9，?ABCD的周長是28cm，△ABC的周長是22cm，則AC的長為（）

A．6mB．12cmC．4cmD．8cm

（二）、能力提升

21．已知：如圖，點C、D在線段AB上，PC=PD．請你添加一個條件，?使圖中存在全等三角．．

形，并給予證明．所添條件為________．你得到的一對全等三角形是△_______≌△_____．

22．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG∥BC，交AC于點G，?在GD的延長線上取點E，使DE=DB，連結AE、CD．

（1）求證：△AGE≌△DAC；

（2）過點E作EF∥DC，交BC于點F，請你連結AF，并判斷△AEF是怎樣的三角形，試證明你的結論．

23．（2005年大連市）如圖，AB∥CD，AB=CD，點B、E、F、D在一條直線上，∠A=∠C，求證：AE=CF．（說明：證明過程中要寫出每步的證明依據）．

24．（2006年內江市）如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：

①AB=AC②AD=AE③∠1=∠2④BD=CE．

請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題（?

要求寫出已知，求證及證明過程）

25．如圖，在?ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點，AE=CF，求證：BE=DF．

26．（2006年德陽市）如圖，已知點M、N分別是?ABCD的邊AB、DC的中點，?求證：?∠DAN=∠BCM．

27．（2006年臨安市）已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD?的對角線AC?上的兩點，AE=CF．

求證：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．

28．如圖，DB∥AC，且DB=

12AC，E是AC的中點，求證：BC=DE．

（三）、應用與探究

29．（2006年浙江省）如圖，△ABC與△ABD中，AD與BC

相交于O點，∠1=∠2，?請你添加一個條件（不再添加其

它線段，不再標注或使用其他字母），使AC=BD，并給出證明．

你添加的條件是：__________．

30．（2006年江陰市）已知平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上．

（1）若AB=10，AB與CD間距離為8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面積．

（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面積分別為5、3、4，求△DEF的面積．

答案：

考點精練

1．95°2．33．20°4．60°5．4對6

7．B8．B9．D10．C

11．答案不唯一，比如：∠A=∠B，△PAC≌△PBD

12．（1）證略（2）連接AF，?則△AEF是等邊三角形．證略

13．∵AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA）?，?

∴AE=CF（全等三角形對應邊相等）

14．①②③為題設④為結論，證略

15．∠C=∠D，證略．

例題經典

例2．B

考點精練

1．9002．答案不唯一，如BE=DF等3．答案不唯一，如AB=CD等?

4．D5．C6．C7．D8．D9．B10．D

11．證△ABE≌△CDF（SAS），即可得到BE=?DF

12．證△BCM≌△DAN（SAS），即可得∠DAN=∠BCM

13．（1）根據（?SAS）?證△ADF?≌△CBE

（2）連接BF、DE、DB，?根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

證四邊形BEDF是平行四邊形即可

14．證四邊形BCED是平行四邊形即可

15．（1）S△DEF =30（2）S△DEF =68

第五篇：2018中考專題相似三角形

相似形

1．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點A旋轉，當∠EAC=90°時，求PB的長；

2．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．

（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；

（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．

3．如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．

（1）求證：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值．

4．如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連結DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交CD于G．

（1）求證：BG=DE；

（2）若點G為CD的中點，求的值．

5．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，AE⊥BF于點M，求證：AE=BF；

（2）如圖2，將

（1）中的正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于點M，探究AE與BF的數量關系，并證明你的結論．

6．如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點P是AC延長線上一點，且PD⊥AD．

（1）證明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC與BD相交于點E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．

7．△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．

（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP=2，CQ=9時BC的長．

8．如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，EC平分∠DEB，F為CE的中點，連接AF，BF，過點E作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點．

（1）求證：DE=DC；

（2）求證：AF⊥BF；

（3）當AF?GF=28時，請直接寫出CE的長．

9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．

（1）如圖1，當∠ABC=45°時，求證：AD=DE；

（2）如圖2，當∠ABC=30°時，線段AD與DE有何數量關系？并請說明理由．

10．如圖1，邊長為2的正方形ABCD中，E是BA延長線上一點，且AE=AB，點P從點D出發，以每秒1個單位長度沿D→C→B向終點B運動，直線EP交AD于點F，過點F作直線FG⊥DE于點G，交AB于點R．

（1）求證：AF=AR；

（2）設點P運動的時間為t，①求當t為何值時，四邊形PRBC是矩形？

②如圖2，連接PB．請直接寫出使△PRB是等腰三角形時t的值．

11．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；

（2）猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明．

12．將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．

（1）將圖1中△A1B1C繞點C順時針旋轉45°得圖2，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1=CQ；

（2）在圖2中，若AP1=a，則CQ等于多少？

（3）將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉到△A2B2C（如圖3），點P2是A2C與AP1的交點．當旋轉角為多少度時，有△AP1C∽△CP1P2？這時線段CP1與P1P2之間存在一個怎樣的數量關系？

．

13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）．

（1）用含t的代數式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；

（2）連接PE，設四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；

（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形．

14．△ABC，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，一條直線DE與邊AC相交于點D，與邊AB相交于點E．

（1）如圖①，若DE將△ABC分成周長相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）

（2）如圖②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，求AD；

（3）如圖③，若DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，且DE∥BC，則a、b、c滿足什么關系？

15．已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，將∠PAQ繞著正方形的頂點A旋轉，使它與正方形ABCD的兩個外角∠EBC和∠FDC的平分線分別交于點M和N，連接MN．

（1）求證：△ABM∽△NDA；

（2）連接BD，當∠BAM的度數為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以證明．

16．如圖，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點，F為AC上一點，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．

（1）點G在BE上，且∠BDG=∠C，求證：DG?CF=DM?EG；

（2）在圖中，取CE上一點H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的長．

17．△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．

（1）如圖1，求證：DE?CD=DF?BE

（2）D為BC中點如圖2，連接EF．

①求證：ED平分∠BEF；

②若四邊形AEDF為菱形，求∠BAC的度數及的值．

18．如圖，在△ABC

中，點P是AC邊上的一點，過點P作與BC平行的直線PQ，交AB于點Q，點D在線段

BC上，聯接AD交線段PQ于點E，且=，點G在BC延長線上，∠ACG的平分線交直線PQ于點F．

（1）求證：PC=PE；

（2）當P是邊AC的中點時，求證：四邊形AECF是矩形．

19．如圖，已知△ABC中，AC=BC，點D、E、F分別是線段AC、BC、AD的中點，BF、ED的延長線交于點G，連接GC．

（1）求證：AB=GD；

（2）如圖2，當CG=EG時，求的值．

20．如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，線段BE、CD相交于點O，且∠DCB=∠EBC=∠A．

（1）求證：△BOD∽△BAE；

（2）求證：BD=CE；

（3）若M、N分別是BE、CE的中點，過MN的直線交AB于P，交AC于Q，線段AP、AQ相等嗎？為什么？

21．如圖，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE與AC交于點M，EF與AC交于點N，動點P從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，伴隨點P的運動，矩形PEFG在射線AB上滑動；動點K從點P出發沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個單位長的速度勻速運動．點P、K同時開始運動，當點K到達點F時停止運動，點P也隨之停止．設點P、K運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）當t=1時，KE=，EN=；

（2）當t為何值時，△APM的面積與△MNE的面積相等？

（3）當點K到達點N時，求出t的值；

（4）當t為何值時，△PKB是直角三角形？

22．如圖（1），在△ABC中，AD是BC邊的中線，過A點作AE∥BC與過D點作DE∥AB交于點E，連接CE．

（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形．

（2）連接BE，AC分別與BE、DE交于點F、G，如圖（2），若AC=6，求FG的長．

23．已知：在正方形ABCD中，點E、F分別是CB、CD延長線上的點，且BE=DF，聯結AE、AF、DE、DE交AB于點M．

（1）如圖1，當E、A、F在一直線上時，求證：點M為ED中點；

（2）如圖2，當AF∥ED，求證：AM2=AB?BM．

24．已知，如圖1，點D、E分別在AB，AC上，且=．

（1）求證：DE∥BC．

（2）已知，如圖2，在△ABC中，點D為邊AC上任意一點，連結BD，取BD中點E，連結CE并延長CE交邊AB于點F，求證：=．

（3）在（2）的條件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．

25．已知△ABC，AC=BC，點E，F在直線AB上，∠ECF=∠A．

（1）如圖1，點E，F在AB上時，求證：AC2=AF?BE；

（2）如圖2，點E，F在AB及其延長線上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的長．

26．如圖，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．

（1）求證：AD2=BG?DH；

（2）求證：CE=DG；

（3）求證：EF=HG．

27．如圖，C為線段BD上一動點，過B、D分別作BD的垂線，使AB=BC，DE=DB，連接AD、AC、BE，過B作AD的垂線，垂足為F，連接CE、EF．

（1）求證：AC?DF=BF?BD；

（2）點C運動的過程中，∠CFE的度數保持不變，求出這個度數；

（3）當點C運動到什么位置時，CE∥BF？并說明理由．

28．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上（不與A，B重合），DE∥BC交AC于點E，將△ADE沿直線DE翻折，得到△A′DE，直線DA′，EA′分別交直線BC于點M，N．

（1）求證：DB=DM．

（2）若=2，DE=6，求線段MN的長．

（3）若=n（n≠1），DE=a，則線段MN的長為

（用含n的代數式表示）．

29．如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點A、D、G在同一直線上，且AD=3，DE=1，連接AC、CG、AE，并延長AE交OG于點H．

（1）求證：∠DAE=∠DCG．

（2）求線段HE的長．

30．如圖，△ABC中，點E、F分別在邊AB，AC上，BF與CE相交于點P，且∠1=∠2=∠A．

（1）如圖1，若AB=AC，求證：BE=CF；

（2）若圖2，若AB≠AC，①（1）中的結論是否成立？請給出你的判斷并說明理由；

②求證：=．

31．如圖1，在銳角△ABC中，D、E分別是AB、BC的中點，點F在AC上，且滿足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點M．

（1）證明：DM=DA；

（2）點G在BE上，且∠BDG=∠C，如圖2，求證：△DEG∽△ECF；

（3）在圖2中，取CE上一點H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的長．

32．如圖，正方形ABCD中，邊長為12，DE⊥DC交AB于點E，DF平分∠EDC交BC于點F，連接EF．

（1）求證：EF=CF；

（2）當=時，求EF的長．

33．如圖，已知在△ABC中，P為邊AB上一點，連接CP，M為CP的中點，連接BM并延長，交AC于點D，N為AP的中點，連接MN．若∠ACP=∠ABD．

（1）求證：AC?MN=BN?AP；

（2）若AB=3，AC=2，求AP的長．

34．如圖，已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內，∠CAE+∠CBE=90°，當四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF．

（1）求證：△CAE∽△CBF；

（2）若BE=1，AE=2，求CE的長．

35．如圖①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉，PM交邊AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當PN旋轉至PC處時，∠MPN的旋轉隨即停止．

（1）特殊情形：如圖②，發現當PM過點A時，PN也恰巧過點D，此時，△ABP

△PCD（填“≌”或“～”）；

（2）類比探究：如圖③，在旋轉過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

36．如圖，點M是△ABC內一點，過點M分別作直線平行于△ABC的各邊，所形成的三個小三角形△1、△2、△3（圖中陰影部分）的面積分別是1、4、25．則△ABC的面積是

．

37．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于點O，D是線段OB上一點，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），連接BE、CD．設BE、CD的中點分別為P、Q．

（1）求AO的長；

（2）求PQ的長；

（3）設PQ與AB的交點為M，請直接寫出|PM﹣MQ|的值．

38．尤秀同學遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設BC=a，AC=b，AB=c．

求證：a2+b2=5c2

該同學仔細分析后，得到如下解題思路：

先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證

（1）請你根據以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程．

（2）利用題中的結論，解答下列問題：

在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E，F分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值．

39．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且．

（1）求證：△ADF∽△ACG；

（2）若，求的值．

40．如圖，四邊形中ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，P為對角線AC延長線上的任意一點，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．

求證：K是線段MN的中點．