第一篇：高二數學概率習題(個人整理)

8.從1,2,3,4,5這5個數中任取兩個,則這兩個數正好相差1的概率是________。答案：42? 1059．口袋里裝有兩個白球和兩個黑球，這四個球除顏色外完全相同，四個人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個人摸到白球”的概率。

P(A)?121?。24210．袋中有紅、白色球各一個，每次任取一個，有放回地抽三次，寫出所有的基本事件，并計算下列事件的概率：（1）三次顏色恰有兩次同色；（2）三次顏色全相同；（3）三次抽取的球中紅色球出現的次數多于白色球出現的次數。

答案：（紅紅紅）（紅紅白）（紅白紅）（白紅紅）（紅白白）（白紅白）（白白紅）（白白白）（1）311（2）（3）44211．已知集合A?{0,1,2,3,4}，a?A,b?A；

（1）求y?ax2?bx?1為一次函數的概率；（2）求y?ax2?bx?1為二次函數的概率。答案：（1）44（2）

52512．連續擲兩次骰子，以先后得到的點數m,n為點P(m,n)的坐標，設圓Q的方程為x2?y2?17；

（1）求點P在圓Q上的概率；（2）求點P在圓Q外的概率。答案：（1）113（2）181813．設有一批產品共100件，現從中依次隨機取2件進行檢驗，得出這兩件產品均為次品的概率不超過1%，問這批產品中次品最多有多少件？ 答案：10件

5.設隨機變量X的分布列為P(X?i)?i,i?1,2,3，則P(X?2)?（）2aA.B.19111 C.D.63426.設隨機變量X~N(?,?)，且P(X?C)?P(X?C)，則P(X?C)?（）A.0 B.1 C.D.與?和?的取值有關 27.甲、乙兩人在相同條件下進行射擊，甲射中目標的概率為P1,乙射中目標的概率為P2，兩人各射擊1次，那么至少1人射中目標的概率為（）

A.P1?P2)1?P2 B.P1?P2 C.1?P1P2 D.1?(1?P1)(8.對同一目標獨立地進行四次射擊，已知至少命中一次的概率為（）

A.B.80，則此射手的命中率為8113211 C.D.3459.一個家庭中有兩個小孩，已知其中有一個是女孩，問這時另一個小孩也是女孩的概率為（）（假定一個小孩是男孩還是女孩是等可能的）A.1112 B.C.D.432310.某種燈泡的耐用時間超過1000小時的概率為0.2，有3個相互獨立的燈泡在使用1000小時以后，最多只有1個損壞的概率是（）

A.0.008 B.0.488 C.0.096 D.0.104 CDBBD 2.從5名演員中選3人參加表演，其中甲在乙前表演的概率為（）

3311(A)20(B)10(C)20(D)10

3.15名新生，其中有3名優秀生，現隨機將他們分到三個班級中去，每班5人，則每班都分到優秀生的概率是

．

5.甲、乙、丙3人一起參加公務員選拔考試，根據3 人的初試情況，預計他們被錄用的概率依次為0.7、0.8、0.8.求:(Ⅰ)甲、乙2人中恰有1 人被錄用的概率；(Ⅱ)3人中至少的2 人被錄用的概率.6.對5副不同的手套進行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．（Ⅰ）求下列事件的概率：①A：甲正好取得兩只配對手套；②B：乙正好取得兩只配對手套；（Ⅱ）A與B是否獨立？并證明你的結論．

7.從1，2，?，9這九個數中，隨機抽取3個不同的數，則這3個數的和為偶數的概率是（A）5 9（B）9（C）21（D）()21

2210.連續擲兩次骰子，以先后得到的點數m、n為點P（m，n）的坐標，那么點P在圓x+y＝17外部的概率應為（）

121113（A）（B）（C）（D）

33181816.甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，已知甲做對這道題的概率是

3，甲、丙兩人都做錯4的概率是11，乙、丙兩人都做對的概率是.124（Ⅰ）求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有兩人做對這道題的概率.34A3C12C842.A 3.5.(Ⅰ)0.38;(Ⅱ)0.416+0.448=0.864.55C15C106.(Ⅰ)①P?A??1,②P?B??1;(Ⅱ)P99?AB??63,P?A?P?B??P?AB?,故A與B是不獨立的．

7.C10.D 16.（Ⅰ）32,83（Ⅱ）

325、有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，則不同的排法種數有（A）A、2880 4 B、3080 C、3200 D、3600

2346．若?1?x??a0?a1x?a2x?a3x?a4x，則a1?a2?a3?a4的值為(B)A．0 B．15 C．16 D．17 7．從3名男生和2名女生中選出3名代表去參加辯論比賽，則所選出的3名代表中至少有1名女生的選法共有(A)A．9種 B．10種

C．12種

D．20種

8．三張卡片的正反面上分別寫有數字0與2，3與4，5與6，把這三張卡片拼在一起表示一個三位數，則三位數的個數為(B)A． 36

9、B．40

C．44

D．48 ?x?3x?12展開式中含x的正整數次冪的項共有（C）（A）1項（B）2項（C）3項（D）4項

10、從6人中選4人分別去北京，上海，廣州，重慶四個城市游覽，每人只去一個城市游覽，但甲，乙兩人都不去北京，則不同的選擇方案有（B）A、300種 B、240種 C、144種 D、96種

二、填空題（每小題4分，共20分）

11、在(x?a)的展開式中，x的系數是15，則實數a=-0.5 ； 10712、(1?x)(1?x)的展開式中，x 的系數是 207 ；（用數字作答）13、3名老師帶領6名學生平均分成三個小組到三個工廠進行社會調查，每小組有1名老師和2名學生組成，不同的分配方法有 540 種。（用數字作答）310514、體育老師把9個相同的足球放入編號為1、2、3的三個箱子里，要求每個箱子放球的個數不少于其編號，則不同的放法有____10____種。

15、一個口袋內有4個不同的紅球，6個不同的白球，若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于8分的取法有__66__種(用數字作答).條件概率練習題

2．由“0”、“1” 組成的三位數碼組中，若用A表示“第二位數字為0”的事件，用B表示“第一位數字為0”的事件，則P(A|B)=（）A.1111 B.C.D.23484．設某種動物有出生算起活20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4.現有一個20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是.５．一個口袋內裝有2個白球，3個黑球，則

（1）先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率？（2）先摸出1個白球后不放回，再摸出1個白球的概率？

６．某種元件用滿6000小時未壞的概率是

13，用滿10000小時未壞的概率是，現有一個42此種元件，已經用過6000小時未壞，求它能用到10000小時的概率

7．某個班級共有學生40人，其中有團員15人，全班分成四個小組，第一小組有學生10人，其中團員4人。如果要在班內任選一人當學生代表

（1）求這個代表恰好在第一小組內的概率（2）求這個代表恰好是團員代表的概率（3）求這個代表恰好是第一小組內團員的概率

（4）現在要在班內任選一個團員代表，問這個代表恰好在第一小組內的概率

8．市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70％，乙廠占30％，甲廠產品合格率是95％，乙廠合格率是80％，則(1)市場上燈泡的合格率是多少？

(2)市場上合格品中甲廠占百分之幾？（保留兩位有效數字）

9．一個家庭中有兩個小孩，已知其中一個是女孩，問這時另一個小孩也是女孩的概率？（每個小孩是男孩和女孩的概率相等）

10．在一批電子元件中任取一件檢查，是不合格品的概率為0.1，是廢品的概率為0.01，已知取到了一件不合格品，它不是廢品的概率是多少？

例1 設50件產品中有3件次品，從中任意抽取2件，若已知取到的2件產品中至少有1件次品，求2件都是次品的概率。

例2 市場上供應的燈泡中，甲廠產品占70%，乙廠產品占30%；甲廠產品的合格率是95%，乙廠產品的合格率是80%。買到一個產品是甲廠的，問它是合格品的概率？P(B|A)?95%

【實例1】3張獎券中只有1張能中獎，現分別由3名同學無放回地抽取，最后一名同學抽到中獎獎券的概率是多少？若第一個同學沒有抽到中獎獎券，則最后一名同學抽到中獎獎券的概率是多少？

【實例2】有5道快速搶答題，其中3道理科題，2道文科題，從中無放回地抽取兩次，每次抽取1道題，兩次都抽到理科題的概率是多少？若第一次抽到理科題，則第二次抽到理科題的概率是多少？

⒈已知5％的男人和2.5％的女人是色盲，現隨機地挑選一人 ⑴此人是色盲患者的概率是多少？

⑵若此人是色盲患者，則此人是男人的概率是多少？

⒉盒子里有7個白球，3個紅球，白球中有4個木球，3個塑料球；紅球中有2個木球，1個塑料球.現從袋子中摸出1個球，假設每個球被摸到的可能性相等，若已知摸到的是一個木球，問它是白球的概率是多少？

⒊（選做題）對以往數據分析結果表明，當機器調整良好時，產品的合格率為95％，而當機器發生某種故障時，其合格率為55％，每天早上機器開動時，機器調整良好的概率為98％，試求：

(Ⅰ)某日早上第一個產品合格的概率是多少？

(Ⅱ)當某日早上第一個產品合格時，機器調整良好的概率是多少？

第二篇：概率習題及答案_第五章_第五章習題

第五章大數定律及中心極限定理練習題

1.在每次試驗中，事件A發生的概率為0.5 ,利用切比雪夫不等式估計：在1000次獨立試驗中，事件A發生的次數X在400~600之間的概率.2.每次射擊中，命中目標的炮彈數的均值為2，方差為1.52，求在100次獨立射擊中有180發到220發炮彈命中目標的概率．

3．設有30個同類型的電子器件D1,D2,?,D30，若Di(i?1,2,?,30)的使用壽命服

從參數為??0.1的指數分布，令T為30個器件各自正常使用的總計時間，求P{T?350}．

4．在天平上重復稱量一件物品,設各次稱量結果相互獨立且服從正態分布N(?,0.22)，若以Xn表示n次稱量結果的平均值，問n至少取多大，使得 P{|Xn??|?0.1}?0.05．

5．由100個相互獨立起作用的部件組成的一個系統在運行過程中，每個部件能正常工作的概率都為90% ．為了使整個系統能正常運行，至少必須有85%的部件在正常工作，求整個系統能正常運行的概率．

6．某單位設置的電話總機，共有200門電話分機，每門電話分機有5%的時間要用外線通話，假設各門分機是否使用外線通話是相互獨立的，問總機至少要配置多少條外線，才能以90%的概率保證每門分機要使用外線時，有外線可供使用．

7．計算機在進行加法運算時，對每個加數取整(取為最接近于它的整數).設所有的取整誤差相互獨立且都服從區間(?0.5,0.5)上的均勻分布.(1)求在1500個數相加時，誤差總和的絕對值超過15的概率.(2)欲使誤差總和的絕對值小于10的概率不小于90%，最多能允許幾個數相加？

8．設某公路段過往車輛發生交通事故的概率為0?0001? 車輛間發生交通事故與否相互獨立? 若在某個時間區間內恰有10萬輛車輛通過? 試求在該時間內發生交通事故的次數不多于15次的概率的近似值?

?

9．設某學校有1000名學生? 在某一時間區間內每個學生去某閱覽室自修的概率是0?05? 且設每個學生去閱覽室自修與否相互獨立? 試問該閱覽室至少應設多少座位才能以不低于0?95的概率保證每個來閱覽室自修的學生均有座位？

第三篇：概率習題五詳解(修)

習題五

（A）

1、設X為離散型的隨機變量，且期望EX、方差DX均存在，證明對任意??0,都有

?

2證明設P?X?xi??pii?1,2,...則

P?X?EX????

??iP?X?EX????DX xi?EX??X?x???P??ixi?EX??xi?EX?2p ?2i?xi?EX?2p=DX?2i?22、設隨機變量X和Y的數學期望都是2，方差分別為1和4，而相關系數為0.5，請利用切比雪夫不等式證明：

P?X?Y?6??

證E?X?Y??0 1。1

2cov?X,Y???DXDY?

1D?X?Y??DX?DY?2cov?X,Y??5?2?

3D?X?Y?1P?X?Y?6??P??X?Y??E?X?Y??6??? 26123、一枚均勻硬幣要拋多少次才能使正面出現的頻率與0.5之間的偏差不小于0.04的概率不超過0.01？

解設Xn為 n 次拋硬幣中正面出現次數，按題目要求，由切比雪夫不等式可得

?Xn?0.5?0.5P??0.5?0.04??n??n?0.042?0.01 ??

0.25?15625 從而有 n?0.01?0.0

42即至少連拋15625次硬幣，才能保證正面出現頻率與0.5的偏差不小于0.04的概率不超過0.01。

4、每名學生的數學考試成績X是隨機變量，已知EX?80，DX?25，（1）試用切比雪夫不等式估計該生成績在70分到90分之間的概率范圍；（2）多名學生參加數學考試，要使他們的平均分數在75分到85分之間的概率不低于90%，至少要有多少學生參加考試？

???0? ?

2又 P?70?X?90??P?70?EX?X?EX?90?EX??P??10?X?EX?10? 解(1)由切比雪夫不等式PX?EX???1?=PX?80?10?1???DX??25?0.75 100

即該生的數學考試成績在70分到90分之間的概率不低于75%

(2)設有n個學生參加考試(獨立進行)，記第i個學生的成績為Xi ?i?i,2...n?，則平均成績1251n1n

為??Xi，又E??EXi?80, D?DX? nnni?1ni?

11?2

5n?1則由切比雪夫不等式可得：P?75??85??P?80?5?1??2

5n

n?1

?0.9，解得n?10，即有10個以上的學生參加考試，就要使上述要求不低于90%，只需n

?

可以達到要求。

5、設800臺設備獨立的工作，它們在同時發生故障的次數X~B?800,0.01?，現由2名維修工看管，求發生故障不能及時維修的概率。

解P?X?2??1?P?X?2??1?

?C

i?0

i800

0.01i0.99800?i

在二項分布表（附表1）中不能查出。np?8，使用正態分布近似計算： 若使用正態分布近似計算：X ~N?8,7.92?,近似

?X?8?

P?X?2??1?P?X?2??1?P???2.132?

?7.92?

???2.132??0.98346、對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長來、有1名家長來、有2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15。若學校共有400名學生，設每個學生參加會議的家長數相互獨立且服從同一分布，求：(1)參加會議的家長數X超過450的概率；(2)每個學生有一名家長來參加會議的學生數不多于340的概率。

解(1)以Xi ?i?1,2...400?表示第i個學生來參加會議的家長數，則Xi的分布律為:

而X?

所以EXi?1.1，DXi?，?X

i?

1400

i

近似

由中心極限定理知：X~N?440,76?

P?X?450??1???1.147??0.1257

(2)以Y表示每個學生有一名家長來參加會議的個數，則Y~B?400,0.8?

由中心極限定理知：Y~N?320,64?

則P?Y?340????2.5??0.9938

7、射手打靶得10分的概率為0.5，得9分的概率為0.3，得8分、7分和6分的概率分別0.1、0.05和0.05，若此射手進行100次射擊，至少可得950分的概率是多少？

解設Xi為射手第i次射擊的得分，則有

近似

且X?

?X

i?

1100

i，EXi?9.15，EX?84.95，DX?1.227

5由中心極限定理得：

?100??950?915?P??Xi?950??1?????1???3.159??0.0008

??1.2275??i?1?

8、某產品的不合格率為0.005，任取10000件中不合格品不多于70件的概率為多少？

解依題意，10000件產品中不合格品數X~B?10000,0.005?，由np?50，n?1?p??5，故可用二項分布的正態近似，所求概率為

??70?50?P?X?70?????1?0.005????2.8355??0.9977 ??

9、某廠生產的螺絲釘的不合格品率為0.01，問一盒中應裝多少只螺絲釘才能使盒中含有100

只合格品的概率不小于0.95？

解設 n 為一盒裝有的螺釘數，其中合格品數記為X，則有X~B?n,0.99?，該題要求n，使得下述概率不等式成立。

P?X?100??0.95或P?X?100??0.0

5利用二項分布的正態近似，可得：??

?100?0.99n?

??0.05????1.645?

0.0099n??

因此，100?0.99n??1.0.0099n

解得，n?103.19

這意味著，每盒應裝104只螺釘，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0.95。

（B）

1、為確定一批產品的次品率要從中抽取多少個產品進行檢查，使其次品出現的頻率與實際次品率相差小于0.1的概率不小于0.95。

解：依題意，可建立如下概率不等式

PP??P?0.1?0.9

5其中P是這實際的次品率，如抽取n個產品則次品的頻率P??定理，P?近似服從正態分布：

??

x1?x2?...xn，由中心極限

n

N?P,P?1?P?/n?或P??P~N?0,P?1?P?/n?

?0.n?1?0.95

??0.975 從而有 ???P1?P??2??

查表可得 ：

0.1n

?1.96 或n?19.6P1?P

P1?P由于P未知，只得放大抽檢量，用1/2代替

P1?P，可得：n?9.8

n?96，可見，需抽查96個產品才能使其次品率與實際次品率相差0.1小于的概率不小于

0.95。

2、假設批量生產的某產品的優質品率為60%，求在隨機抽取的200件產品中有120到150件優質品的概率?．

解記?n——隨機抽取的200件產品中優質品的的件數，則?n服從二項分布，參數為n=200，p=0.60；np?120，np(1?p)?48．由于n=200充分大，故根據棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理，近似地

Un?

?n?np

np(1?p)

??

?n?120

~N(0, 1)；?

?

?

4848?

?P?0?Un?4.33???(4.33)??(0)?0.5．

3、設隨機變量X服從參數為?的泊松分布，X1,X2,?,Xn是獨立與X同分布隨機變量，證明：對任意??0，都有

??P?120??n?150??P?0?

?n?120150?120?

1n2

limP{?Xi?(???2)??}?0 n??nk?1

證明由于X1,X2,?,Xn獨立同泊松分布，可見X12,X2也獨立同分布，而且數學,?,Xn期望存在：

EXi2?DXi?(EXi)2????2．

因此，根據辛欽大數定律，有

1n2

limP{?Xi?(???2)??}?0． n??nk?1

第四篇：高二數學推理與證明習題

高二數學推理與證明單元測試卷

一、選擇題：

1、下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2、下面使用類比推理正確的是（）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab” ??（c≠0）ccc

nnD.“（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線 b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤?的，這是因為（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

4、用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（）。

(A)假設三內角都不大于60度；(B)假設三內角都大于60度；

(C)假設三內角至多有一個大于60度；(D)假設三內角至多有兩個大于60度。

5、在十進制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進制中數碼2004折合成十進制為（）

A.29B.254C.602D.20046、利用數學歸納法證明“1＋a＋a＋?＋a2n＋11?an?

2=，(a≠1，n∈N)”時，在驗證n=11?a

成立時，左邊應該是（）

(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a37、某個命題與正整數n有關，如果當n?k(k?N?)時命題成立，那么可推得當n?k?1時命題也成立.現已知當n?7時該命題不成立，那么可推得

8、用數學歸納法證明“(n?1)(n?2)?(n?n)?2?1?2???(2n?1)”（n?N?）時，/ 6

n（）A．當n=6時該命題不成立 C．當n=8時該命題不成立 B．當n=6時該命題成立 D．當n=8時該命題成立

從 “n?k到n?k?1”時，左邊應增添的式子是

9、已知n為正偶數，用數學歸納法證明1?

A．2k?

1B．2(2k?1)

C．

D．

（）

2k?1

k?12k?

2k?1

1111111??????2(????)時，若已假設n?k(k?2為偶 234n?1n?2n?42n

（）

B．n?k?2時等式成立 D．n?2(k?2)時等式成立

數）時命題為真，則還需要用歸納假設再證

A．n?k?1時等式成立 C．n?2k?2時等式成立

10、數列?an?中，a1=1，Sn表示前n項和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數列，通過計算S1，S2，S3，猜想當n≥1時，Sn=

（）

2n?

1A．n?1

22n?1B．n?1

C．

n(n?1)

n

D．1－

2n?111、根據下列圖案中圓圈的排列規律，第2008個圖案的組成情形是()．

A．其中包括了l003×2008 +1個◎B．其中包括了l003×2008 +1個●C．其中包括了l004×2008個◎D．其中包括了l003×2008個●

12、在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“當a＜b時，.則函數

”如下：當a≥b時，；的最大值等于（）

A．―1B．1C．6D．1

2填空題：

13、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規律繼續下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數是。

14、類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為.15、從1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,推廣到第n個等式為_________________________.16、設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數，則f(4)=； 當ｎ＞４時，三、解答題：

17、（8分）求證：(1)6+7>22+

5(2)a2?b2?3?ab?a?b)

18、用數學歸納法證明：n?5n能被6整除；

19、若a,b,c均為實數，且錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。,求證：a，b，c中至少有一個大于0。

20、用數學歸納法證明： 1?

f(n)＝（用含n的數學表達式表示）。

1111?????n?n；2342?

121、觀察（1）tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1;

（2）tan5tan10?tan10tan75?tan75tan5?1 由以上兩式成立，推廣到一般結論，寫出你的推論并加以證明。

000000

00000022、已知正項數列?an?和{bn}中，a1 = a（0＜a＜1），b1?1?a 當n≥2時，an?an?1bn，bn?

n?

1(1)證明：對任意n?N，有an?bn?1；(2)求數列?an?的通項公式；

(3)記cn?anbn?1，Sn為數列?cn?的前n項和，求Sn

*

高二數學選修2-2《推理與證明測試題》答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.DCABBCABBB AC

二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.13、1414、錯誤！未找到引用源。15、16、5三、解答題：本大題共6題，共58分。

17、證明：（1）∵a2?b2?

2ab,a2?3?,b2?3?;

將此三式相加得

2(a2?b2?3)?2ab??,∴a2?b2?3?aba?b).（2）要證原不等式成立，2

2只需證（6+7）>（22+5），即證242?240。∵上式顯然成立,∴原不等式成立.18、可以用綜合法與分析法---略

19、可以用反證法---略

20、（1）可以用數學歸納法---略（2）當n?k?1時，左邊?(1?

1111???k)?(k???k?1)?k? 22?122?

11111

（k?k???k）?k?2k?k?k?1=右邊，命題正確 22

22k項

21、可以用數學歸納法---略

22、解：

（1）證明：用數學歸納法證明

① 當n=1時，a1+b1=a+（1-a）=1，命題成立：②假設n=k（k≥1且k?N*）時命題成立，即ak+bk=1，則當n?k?1時，ak?1?bk?1?akbk?1=

akbk

21?ak

?

bk

21?ak

?

bk?1?ak?

21?ak

?

bkb

?k?1 1?akbk

∴當n?k?1時，命題也成立綜合①、②知，an?bn?1對n?N*

（2）解；∵an?1?anbn?1?1an?1

anbn

21?an

?

an?1?an?

21?an

?

1?anan11???1，即，∴

an?1anan1?an

?

?1?1

?1③∴數列??是公差為1的等差數列，其首項是an?an?

1111∴ ?，???n?1??1，從而an?

a1aana2

（3）解：∵cn?anbn?1?an?anbn?1??anan?1，③式變形為anan?1?an?an?1，∴cnan?an?1，∴Sn?c1?c2???cn??a1?a2???a2?a3?????an?an?1??a1?an?1?a?∴limSn?lim?a?

n??

a

1?na

?n???a?

?? 1?na?

第五篇：高二數學教案：頻率與概率教案

本節通過一個課堂實驗活動，讓學生逐步計算一個隨機事件發生的實驗頻率，并觀察其規律性，從而歸納出實驗頻率趨近于理論概率這一規律性，同時進一步介紹一種計算概率的方法列表法.實驗頻率穩定于理淪概率是本節乃至本章的教學重點及難點之一，第二個重點則為能運用樹狀圖或列表法計算簡單事件發生的概率.因此在教學過程中應注意：(1)注重學生的合作和交流活動，在活動中促進知識的學習，并進一步發展學生的合作交流意識和能力.這是社會迅猛發展的要求.同時.在本節中.要歸納出實驗頻率穩定于理論概率這一規律，必須借助于大量重復實驗，而課堂時間是有限的，靠一個學生完成實驗次數自然不可能.因此必須綜合多個學生甚至全班學生的實驗數據，這就需要全班學生合作交流來完成.(2)注重引導學生積極參加實驗活動，在實驗中體會頻率的穩定性，感受實驗頻率與理論概率之間的關系，并形成對概率的全面理解.發展學生的初步辯證思維能力，突破實驗頻率穩定于理論概率這一難點，進一步體會概率是描述隨機現象的數學模型.(3)關注學生對知識技能的理解和應用，借助列表和樹狀圖計算簡單事件發生的概率.教學目標(一)教學知識點通過實驗.理解當實驗次數較大時實驗頻率穩定于理論概率，并據此估計某一事件發生的概率.(二)能力訓練要求經歷實驗、統計等活動過程，在活動中進一步發展學生合作交流的意識和能力.(三)情感與價值觀要求1.積極參與數學活動.通過實驗提高學生學習數學的興趣.2.發展學生的辯證思維能力.教學重點 1.通過實驗.理解當實驗次數較大時。實驗頻率穩定于理論概率.并據此估計某一事件發生的概率.2.在活動中發展學生的合作交流意識和能力.教學難點辯證地理解當實驗次數較大時，實驗頻率穩定于理淪概率.教學方法實驗交流合作法.教具準備每組準備兩組相同的牌，每組牌都有兩張;多媒體演示：教學過程Ⅰ.創設問題情境，引入新課[師]我們在七年級時，曾用擲硬幣的方法決定小明和小麗誰去看周末的電影：任意擲一枚均勻的硬幣.如果正面朝上，小麗去;如果反面朝上，小明去.這樣決定對雙方公平嗎?[生]公平!因為我們做過這樣的試驗，歷史上的數學家也做過擲硬幣的實驗，經過實驗發現當次數很大時，任意擲一枚硬幣.會出現兩種可能的結果：正面朝上、反面朝上.這兩種結果出現的可能性相同.都是[師]很好!我們再來看一個問題：任意擲一枚均勻的小立方體(立方體的每個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6).6朝上的概率是多少?[生]任意擲一枚均勻的小立方體，所有可能出現的結果有6種：1朝上，2朝上。3朝上，4朝上，5朝上，6朝上，每種結果出現的概率都相等，其中6朝上的結果只有一種，因此P(6朝上)=.[師]上面兩個游戲涉及的是一步實驗.如果是連續擲兩次均勻的硬幣。會出現幾種等可能的結果.出現一正一反的概率為多少呢?如果將上面均勻的小立方體也連續擲兩次，會出現幾種等可能的結果，兩次總數都是偶數的概率為多少呢?從這一節開始我們將進一步學習概率的有關知識.我們用實驗的方法估計出了任意擲一枚硬幣正面朝上和反面朝上的概率.同樣的我們也可以通過實驗活動.估計較復雜事件的概率.Ⅱ.分組實驗，進一步理解當實驗次數較大時，實驗頻率穩定于理論概率.1.活動一：活動課題通過摸牌活動，探索出實驗次數很大時，實驗的頻率漸趨穩定這一規律.活動方式分組實驗，全班合作交流.活動步驟準備兩組相同的牌，每組兩張。兩張牌的牌面數字分別是1和2.從每組牌中各摸出一張，稱為一次實驗.(1)估計一次實驗中。兩張牌的牌面數字和可能有哪些值?(2)以同桌為單位，每人做30次實驗，根據實驗結果填寫下面的表格：牌面數字和 2 3 4頻數頻率(3)根據上表，制作相應的頻數分布直方圖.(4)根據頻數分布直方圖.估計哪種情況的頻率最大?(5)計算兩張牌的牌面數字和等于3的頻率是多少?(6)六個同學組成一組，分別匯總其中兩人、三人、四人、五人、六人的實驗數據，相應得到實驗60次、90次、120次、150次、180次時兩張牌的牌面數字之和等于3的頻率，填寫下表.并繪制相應的折線統計圖.實驗次數 60 90 120 150 180兩張牌面數字和等于3的頻數兩張牌面數字和等于3的頻率(在具體實驗活動的展開過程中.要力圖體現各個步驟的漸次遞進.(1)在一次實驗中，兩張牌的牌面數字和可能為2，3，4：(2)學生根據自己的實驗結果如實填寫實驗數據;(3)制作相應的頻數分布直方圖，一方面為了復習鞏固八年級下冊有關頻數、頻率的知識，同時也便于學生更為直觀地獲得(4)的結論;(4)一般而言，學生通過實驗以及上面(2)(3)的圖表容易猜想兩張牌的牌面數字和為3的頻率最大.理論上.兩張牌的牌面數字和為2，3，4的概率依次為，應該說，經過30次實驗，學生基本能夠猜想兩張牌的牌面數字和為3的頻率最大.當然，這里一定要保證實驗的次數，如果實驗次數太少，結論可能會有較大出入;(5)有了(4)中的結淪.自然過渡到研究其頻率的大小.當然，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率因各組實驗結果而異.正是有了學生結論的差異性，才順理成章地展開問題(6)，匯總組內每人的實驗數據;(6)目的在于通過逐步匯總學生的實驗數據，得到實驗60次、90次、120次、150次、180次時的頻率.并繪制相應的折線統計圖，從而動態地研究頻率隨著實驗次數的變化而變化的情況)2.議一議[師]在上面的實驗中，你發現了什么?如果繼續增加實驗次數呢?與其他小組交流所繪制的圖表和發現的結論.[生]在與各組交流圖表的過程中，我發現：在各組的折線統計圖中，隨著實驗次數的增加，頻率的波動較小了.[生]隨著實驗次數的增加，實驗結果的差異較小。實驗的數據即兩張牌的牌面數字和等于3的頻率比較穩定.[生]一個人的實驗數據相差可能較大，而多人匯總后的實驗數據即兩張牌的牌面數字和等于3的頻率相差較小.[師]也就是說，同學們從實驗中都能體會到實驗次數較大時，實驗頻率比較穩定.請問同學們估計一下，當實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率大約是多少?[生]大約是.[師]很好!準能將實驗次數更進一步增加呢?越大越好.[生]可以把全班各組數據集中起來，這樣實驗次數就會大大增加.[師]太棒了!眾人拾柴火焰高，我們集小全班的實驗數據，交流合作，可以使實驗次數達到一千多次.下面我們匯總全班的實驗次數及兩張牌的牌面數字和為3的頻數，求出兩張牌的牌面數字和等于3的頻率.(可讓各組一一匯報，然后清同學們自己算出)[生]約為.[師]與你們的估計相近嗎? [生]相近.3.做做[師]你能用我們學過的知識計算出兩張牌的牌面數字和為3的概率嗎?[生]每組牌中，每張牌被摸到的可能性是相同的，因此.一次實驗中.兩張牌的牌面數字的和等可能的情況有：1+1=2;1+2=3;2+1=3;2+2=4.共有四種情況.而和為3的情況有2種，因此，P(兩張牌的牌面數字和等于3)= =.[生]也可以用樹狀圖來表示，即兩張牌的牌面數字的和有四種等可能的情況，而兩張牌的牌面數字和為3的情況有2次，因此.兩張牌的牌面數字的和為3的概率為 =.4.想一想[師]我們在前面估算出了當實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率約為.接著又用樹狀圖計算出了兩張牌的牌面數字和等于3的概率也為.比較兩者之間的關系，你可以發現什么呢?同學們可相互交流意見.[生]可以發現實驗頻率穩定于理論概率這一結論.[生]也就是說，當實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率穩定在相應的概率附近.[師]很好!由于實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率穩定在相應的概率附近，因此我們可以通過多次實驗，用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的概率.當實驗次數很大時，兩張牌的牌面數字和等于3的頻率穩定在相心的概率附近是否意味著。實驗次數越大。就越為靠近?應該說.作為一個整體趨勢，上述結論是正確的，但也可能會出現這樣的情形：增加了幾次實驗，實驗數據與理論概率的差距反而擴大了.同學們可從繪制的折線統計圖中發現.Ⅲ.隨堂練習活動二：活動課題利用學生原有的實驗數據統計兩張牌的牌面數字和為2的頻率，進步體會當實驗次數很大時，頻率的穩定性及其與概率之間的關系.活動方式小組活動，全班討論交流.活動步驟(1)六個同學組成一個小組，根據原來的實驗分別匯總其中兩人、二人、四人、五人、六人的數據，相應得到實驗60次、90次、120次、150次、180次時兩張牌的牌面數字和等于2的頻率.(2)根據上面的數據繪制相應的統計圖表，如折線統計圖.(3)根據統計圖表估計兩張牌的牌面數字和等于2的概率.(活動完成后，討論、總結)[生]由我們組繪制的折線統計圖可以發現隨著實驗次數的增加，實驗的頻率在 處波動.而且波動越來越小.[生]由此可估計兩張牌的牌面數字和等于2的概率為.[師]你能用樹狀圖計算出它的理論概率嗎?[生]可以，如下圖：因此，P(兩張牌的牌面數字和為2)=.Ⅳ.課時小結本節課通過實驗、統計等活動，進一步理解當實驗次數很大時，實驗頻率穩定于理論概率這一重要的概率思想.Ⅴ.課后作業習題6.1Ⅵ.活動與探究 下列說法正確的是()A.某事件發生的概率為，這就是說：在兩次重復實驗中，必有一次發生B.一個袋子里有100個球，小明摸了8次，每次都只摸到黑球，沒摸到白球，結論：袋子里只有黑色的球C.兩枚一元的硬幣同時拋下，可能出現的情形有：①兩枚均為正;②兩枚均為反;③一正一反，所以出現一正一反的概率是D.全年級有400名同學，一定會有2人同一天過生日[過程]當實驗次數很大時，實驗頻率穩定于理論概率并不意味著，實驗次數越大，就越為靠近，應該說，作為一個整體趨勢，上述結論是正確的，更不能某某事件的概率為，在兩次重復試驗中.就一定有一次發生、因此A不正確，B也不正確而對于C，兩枚硬幣同時拋下，等可能的情況由樹狀圖可知有四種：因此，出現一正一反的概率為 即，對于D，根據抽屜原理可知是正確的.[結果]應選D.板書設計6.1.1 頻率與概率活動一：活動目的[活動方式活動步驟：(1)(2)(3)(4)(5)(6)活動結果：當實驗次數很大時，實驗頻率穩定于理論概率.注：對上述結果的正確理解.應該說作為一種整體趨勢是正確的.活動二：活動目的活動方式：分組、全班交流討論.