教學目標

(1)掌握由一點和斜率導出直線方程的方法，掌握直線方程的點斜式、兩點式和直線方程的一般式，并能根據條件熟練地求出直線的方程.

(2)理解直線方程幾種形式之間的內在聯系，能在整體上把握直線的方程.

(3)掌握直線方程各種形式之間的互化.

(4)通過直線方程一般式的教學培養學生全面、系統、周密地分析、討論問題的能力.

(5)通過直線方程特殊式與一般式轉化的教學，培養學生靈活的思維品質和辯證唯物主義觀點.

(6)進一步理解直線方程的概念，理解直線斜率的意義和解析幾何的思想方法.

教學建議1.教材分析

(1)知識結構

由直線方程的概念和直線斜率的概念導出直線方程的點斜式;由直線方程的點斜式分別導出直線方程的斜截式和兩點式;再由兩點式導出截距式;最后都可以轉化歸結為直線的一般式;同時一般式也可以轉化成特殊式.

(2)重點、難點分析

①本節的重點是直線方程的點斜式、兩點式、一般式，以及根據具體條件求出直線的方程.

解析幾何有兩項根本性的任務：一個是求曲線的方程;另一個就是用方程研究曲線.本節內容就是求直線的方程，因此是非常重要的內容，它對以后學習用方程討論直線起著直接的作用，同時也對曲線方程的學習起著重要的作用.

直線的點斜式方程是平面解析幾何中所求出的第一個方程，是后面幾種特殊形式的源頭.學生對點斜式學習的效果將直接影響后繼知識的學習.

②本節的難點是直線方程特殊形式的限制條件，直線方程的整體結構，直線與二元一次方程的關系證明.

2.教法建議

(1)教材中求直線方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程幾何特征明顯，但局限性強;一般形式的方程無任何限制，但幾何特征不明顯.教學中各部分知識之間過渡要自然流暢，不生硬.

(2)直線方程的一般式反映了直線方程各種形式之間的統一性，教學中應充分揭示直線方程本質屬性，建立二元一次方程與直線的對應關系，為繼續學習“曲線方程”打下基礎.

直線一般式方程都是字母系數，在揭示這一概念深刻內涵時，還需要進行正反兩方面的分析論證.教學中應重點分析思路，還應抓住這一有利時使學生學會嚴謹科學的分類討論方法，從而培養學生全面、系統、辯證、周密地分析、討論問題的能力，特別是培養學生邏輯思維能力，同時培養學生辯證唯物主義觀點

(3)在強調幾種形式互化時要向學生充分揭示各種形式的特點，它們的幾何特征，參數的意義等，使學生明白為什么要轉化，并加深對各種形式的理解.

(4)教學中要使學生明白兩個獨立條件確定一條直線，如兩個點、一個點和一個方向或其他兩個獨立條件.兩點確定一條直線，這是學生很早就接觸的幾何公理，然而在解析幾何，平面向量等理論中，直線或向量的方向是極其重要的要素，解析幾何中刻畫直線方向的量化形式就是斜率.因此，直線方程的兩點式和點斜式在直線方程的幾種形式中占有很重要的地位，而已知兩點可以求得斜率，所以點斜式又可推出兩點式(斜截式和截距式僅是它們的特例)，因此點斜式最重要.教學中應突出點斜式、兩點式和一般式三個教學高潮.

求直線方程需要兩個獨立的條件，要依不同的幾何條件選用不同形式的方程.根據兩個條件運用待定系數法和方程思想求直線方程.

(5)注意正確理解截距的概念，截距不是距離，截距是直線(也是曲線)與坐標軸交點的相應坐標，它是有向線段的數量，因而是一個實數;距離是線段的長度，是一個正實數(或非負實數).

(6)本節中有不少與函數、不等式、三角函數有關的問題，是函數、不等式、三角與直線的重要知識交匯點之一，教學中要適當選擇一些有關的問題指導學生練習，培養學生的綜合能力.

(7)直線方程的理論在其他學科和生產生活實際中有大量的應用.教學中注意聯系實際和其它學科，教師要注意引導，增強學生用數學的意識和能力.

(8)本節不少內容可安排學生自學和討論，還要適當增加練習，使學生能更好地掌握，而不是僅停留在觀念上.

教學設計示例

直線方程的一般形式教學目標：

(1)掌握直線方程的一般形式，掌握直線方程幾種形式之間的互化.

(2)理解直線與二元一次方程的關系及其證明

(3)培養學生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思維的習慣和形成特殊與一般辯證統一的觀點.

高二直線方程數學說課稿教學重點、難點：直線方程的一般式.直線與二元一次方程(、不同時為0)的對應關系及其證明.

教學用具：計算機

教學方法：啟發引導法，討論法

教學過程：

下面給出教學實施過程設計的簡要思路：

教學設計思路：

(一)引入的設計

前邊學習了如何根據所給條件求出直線方程的方法，看下面問題：

問：說出過點(2，1)，斜率為2的直線的方程，并觀察方程屬于哪一類，為什么?

答：直線方程是，屬于二元一次方程，因為未知數有兩個，它們的最高次數為一次.

肯定學生回答，并糾正學生中不規范的表述.再看一個問題：

問：求出過點，的直線的方程，并觀察方程屬于哪一類，為什么?

答：直線方程是(或其它形式)，也屬于二元一次方程，因為未知數有兩個，它們的最高次數為一次.

肯定學生回答后強調“也是二元一次方程，都是因為未知數有兩個，它們的最高次數為一次”.

啟發：你在想什么(或你想到了什么)?誰來談談?各小組可以討論討論.

學生紛紛談出自己的想法，教師邊評價邊啟發引導，使學生的認識統一到如下問題：

【問題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎?”

(二)本節主體內容教學的設計

這是本節課要解決的第一個問題，如何解決?自己先研究研究，也可以小組研究，確定解決問題的思路.

學生或獨立研究，或合作研究，教師巡視指導.

經過一定時間的研究，教師組織開展集體討論.首先讓學生陳述解決思路或解決方案：

思路一：…

思路二：…

……

教師組織評價，確定最優方案(其它待課下研究)如下：

按斜率是否存在，任意直線的位置有兩種可能，即斜率存在或不存在.

當存在時，直線

的截距也一定存在，直線的方程可表示為，它是二元一次方程.

當不存在時，直線的方程可表示為形式的方程，它是二元一次方程嗎?

學生有的認為是有的認為不是，此時教師引導學生，逐步認識到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐標系中直線上點的坐標形式，與其它直線上點的坐標形式沒有任何區別，根據直線方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的

綜合兩種情況，我們得出如下結論：

在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一條表示這條直線的關于、的二元一次方程.至此，我們的問題1就解決了.簡單點說就是：直線方程都是二元一次方程.而且這個方程一定可以表示成或的形式，準確地說應該是“要么形如這樣，要

么形如這樣的方程”.同學們注意：這樣表達起來是不是很啰嗦，能不能有一個更好的表達?

學生們不難得出：二者可以概括為統一的形式.

這樣上邊的結論可以表述如下：

在平面直角坐標系中，對于任何一條直線，都有一條表示這條直線的形如(其中、不同時為0)的二元一次方程.

啟發：任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺得還有什么與之相關的問題呢?

【問題2】任何形如(其中、不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線嗎?

不難看出上邊的結論只是直線與方程相互關系的一個方面，這個問題是它的另一方面.這是顯然的嗎?不是，因此也需要像剛才一樣認真地研究，得到明確的結論.那么如何研究呢?

師生共同討論，評價不同思路，達成共識：

回顧上邊解決問題的思路，發現原路返回就是非常好的思路，即方程(其中、不同時為0)系數是否為0恰好對應斜率是否存在，即

(1)當時，方程可化為這是表示斜率為、在軸上的截距為的直線.

(2)當時，由于、不同時為0，必有，方程可化為

這表示一條與軸垂直的直線.因此，得到結論：在平面直角坐標系中，任何形如(其中、不同時為0)的二元一次方程都表示一條直線.為方便，我們把(其中、不同時為0)稱作直線方程的一般式是合理的【動畫演示】

演示“直線各參數.gsp”文件，體會任何二元一次方程都表示一條直線.

至此，我們的第二個問題也圓滿解決，而且我們還發現上述兩個問題其實是一個大問題的兩個方面，這個大問題揭示了直線與二元一次方程的對應關系，同時，直線方程的一般形式是對直線特殊形式的抽象和概括，而且抽象的層次越高越簡潔，我們還體會到了特殊與一般的轉化關系.

(三)練習鞏固、總結提高、板書和作業等環節的設計在此從略

3eud教育網

http://www.3edu.net 50多萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

直線的方程（1）

【教學目標】1.掌握由一點和斜率導出直線方程的方法，掌握直線的點斜式方程，了解直線方程的斜截式是點斜式的特例；

2.能通過待定系數（直線上的一個點的坐標(x1,y1)及斜率k，或者直線的斜率k及在y軸上的截距b）求直線方程； 3.掌握斜率不存在時的直線方程，即x?x1．

【教學重點】直線的點斜式、斜截式方程的推導及運用.【教學難點】直線的點斜式的推導。【教學過程】

（一）復習：（1）直線的傾斜角和斜率的概念；

（2）直線上兩個不同點(x1,y1),(x2,y2)，x1?x2，求此直線的斜率k．

（二）新課講解： 1．點斜式

問題引入：已知直線l經過點P1(x1,y1)，且斜率為k，求直線l的方程.設點P(x,y)是直線l不同于點P1(x1,y1)的任意一點，根據直線的斜率公式，得：k?y?y1x?x1，可化為y?y1?k(x?x1)．

可以驗證：直線l上每一個點的坐標都是方程的解，以方程的解為坐標的點都在直線l上.這個方程就是過點P1，斜率為k的直線l的方程，叫做直線方程的點斜式．

2．兩種特殊的直線方程

（1）直線l經過點P1(x1,y1)的傾斜角為0?，則k?tan0??0，直線l的方程是y?y1；（2）直線l經過點P1(x1,y1)的傾斜角為90，則斜率不存在，因為直線l上每一點的橫坐標都等于x1，直線l的方程是x?x1．

此時不能使用直線方程的點斜式求它的方程，這時直線l的方程是x?x1。3．問：k?y?y1x?x1?與y?y1?k(x?x1)表示同一直線嗎？．

（三）例題分析：

例1．一條直線經過點P1(?2,3)，傾斜角為??45，求這條直線方程，并畫出圖形。

解：∵直線經過點P1(?2,3)，且斜率k?tan45?1，代入點斜式，得：y?3?x?2，即x?y?5?0．

x?y?5?0

??y

?5 O x

例2．直線l斜率為k，與y軸的交點是P(0,b)，求直線l的方程。

3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！3eud教育網

http://www.3edu.net 50多萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

解：代入直線的點斜式，得：y?b?k(x?0)，即y?kx?b．

說明：（1）直線l與x軸交點(a,0)，與y軸交點(0,b)，稱a為直線l在x軸上的截距，稱b為直線l在y軸上的截距；

（2）這個方程由直線l斜率k和它在y軸上的截距b確定，叫做直線方程的斜截式；

（3）初中學習的一次函數y?kx?b中，常數k是直線的斜率，常數b為直線在y軸上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直線l經過點P(2,1)，且傾斜角等于直線y?2x?1的傾斜角的2倍，求直線l的方程．

解：設已知直線的傾斜角為?，則直線l的傾斜角為2?，2tan?4 ∵tan??2，∴k?tan2??，??21?tan?3又∵直線l經過點P(2,1)，∴直線l的方程為y?1??(x?2)，3即所求的直線方程為4x?3y?11?0． 4例4．求直線y??3(x?2)繞點(2,0)按順時針方向旋轉30?所得的直線方程。

解：設直線y??3(x?2)的傾斜角為?，則tan???3，又∵??[0?,180?)，∴??120?，∴所求的直線的傾斜角為120??30??90?，所以，所求的直線方程為x?2．

例5：已知直線過點P（-2，3），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程。

分析：關鍵是求斜率k.解：因為直線與x軸不垂直，所以可設直線的方程為y-3=k(x+2)令x=0得y=2k+3;令y=0得x=?12（|2k?3）(?3k3k3k?2 ?由題意得：

?2)|?4，?2)?8,無解；若（2k?3）(?3k?2)??8,解得：k??12,k??92若（2k?3）(?

?所求直線的方程為y?3??12(x?2)和y?3??92(x?2)

即x?2y?4?0和9x?2y?12?0規律：已知直線過一個點常選用直線方程的點斜式。

（四）．課堂練習：1．課本第39頁練習1，2，3；

? 2．求直線y?x?cot??1,??(,?)的傾斜角； 3．求過點(2,1)且傾斜角?滿足sin??

45的直線方程.3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！3eud教育網

http://www.3edu.net 50多萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

（五）．小結：要求直線方程，通過待定系數：直線上的一個點的坐標(x1,y1)及斜率k，或者直線的斜

率k及在y軸上的截距b，代入點斜式或斜截式求出直線方程.（六）．作業：課本第44頁第1題（1）（3）（5）

3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！