教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程.

(2)理解直線方程幾種形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，能在整體上把握直線的方程.

(3)掌握直線方程各種形式之間的互化.

(4)通過(guò)直線方程一般式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、周密地分析、討論問(wèn)題的能力.

(5)通過(guò)直線方程特殊式與一般式轉(zhuǎn)化的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn).

(6)進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解直線斜率的意義和解析幾何的思想方法.

教學(xué)建議1.教材分析

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

由直線方程的概念和直線斜率的概念導(dǎo)出直線方程的點(diǎn)斜式;由直線方程的點(diǎn)斜式分別導(dǎo)出直線方程的斜截式和兩點(diǎn)式;再由兩點(diǎn)式導(dǎo)出截距式;最后都可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為直線的一般式;同時(shí)一般式也可以轉(zhuǎn)化成特殊式.

(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

①本節(jié)的重點(diǎn)是直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，以及根據(jù)具體條件求出直線的方程.

解析幾何有兩項(xiàng)根本性的任務(wù)：一個(gè)是求曲線的方程;另一個(gè)就是用方程研究曲線.本節(jié)內(nèi)容就是求直線的方程，因此是非常重要的內(nèi)容，它對(duì)以后學(xué)習(xí)用方程討論直線起著直接的作用，同時(shí)也對(duì)曲線方程的學(xué)習(xí)起著重要的作用.

直線的點(diǎn)斜式方程是平面解析幾何中所求出的第一個(gè)方程，是后面幾種特殊形式的源頭.學(xué)生對(duì)點(diǎn)斜式學(xué)習(xí)的效果將直接影響后繼知識(shí)的學(xué)習(xí).

②本節(jié)的難點(diǎn)是直線方程特殊形式的限制條件，直線方程的整體結(jié)構(gòu)，直線與二元一次方程的關(guān)系證明.

2.教法建議

(1)教材中求直線方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程幾何特征明顯，但局限性強(qiáng);一般形式的方程無(wú)任何限制，但幾何特征不明顯.教學(xué)中各部分知識(shí)之間過(guò)渡要自然流暢，不生硬.

(2)直線方程的一般式反映了直線方程各種形式之間的統(tǒng)一性，教學(xué)中應(yīng)充分揭示直線方程本質(zhì)屬性，建立二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線方程”打下基礎(chǔ).

直線一般式方程都是字母系數(shù)，在揭示這一概念深刻內(nèi)涵時(shí)，還需要進(jìn)行正反兩方面的分析論證.教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)分析思路，還應(yīng)抓住這一有利時(shí)使學(xué)生學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的分類討論方法，從而培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、辯證、周密地分析、討論問(wèn)題的能力，特別是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)

(3)在強(qiáng)調(diào)幾種形式互化時(shí)要向?qū)W生充分揭示各種形式的特點(diǎn)，它們的幾何特征，參數(shù)的意義等，使學(xué)生明白為什么要轉(zhuǎn)化，并加深對(duì)各種形式的理解.

(4)教學(xué)中要使學(xué)生明白兩個(gè)獨(dú)立條件確定一條直線，如兩個(gè)點(diǎn)、一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向或其他兩個(gè)獨(dú)立條件.兩點(diǎn)確定一條直線，這是學(xué)生很早就接觸的幾何公理，然而在解析幾何，平面向量等理論中，直線或向量的方向是極其重要的要素，解析幾何中刻畫直線方向的量化形式就是斜率.因此，直線方程的兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式在直線方程的幾種形式中占有很重要的地位，而已知兩點(diǎn)可以求得斜率，所以點(diǎn)斜式又可推出兩點(diǎn)式(斜截式和截距式僅是它們的特例)，因此點(diǎn)斜式最重要.教學(xué)中應(yīng)突出點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式三個(gè)教學(xué)高潮.

求直線方程需要兩個(gè)獨(dú)立的條件，要依不同的幾何條件選用不同形式的方程.根據(jù)兩個(gè)條件運(yùn)用待定系數(shù)法和方程思想求直線方程.

(5)注意正確理解截距的概念，截距不是距離，截距是直線(也是曲線)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)，它是有向線段的數(shù)量，因而是一個(gè)實(shí)數(shù);距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)正實(shí)數(shù)(或非負(fù)實(shí)數(shù)).

(6)本節(jié)中有不少與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，是函數(shù)、不等式、三角與直線的重要知識(shí)交匯點(diǎn)之一，教學(xué)中要適當(dāng)選擇一些有關(guān)的問(wèn)題指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.

(7)直線方程的理論在其他學(xué)科和生產(chǎn)生活實(shí)際中有大量的應(yīng)用.教學(xué)中注意聯(lián)系實(shí)際和其它學(xué)科，教師要注意引導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力.

(8)本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能更好地掌握，而不是僅停留在觀念上.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

直線方程的一般形式教學(xué)目標(biāo)：

(1)掌握直線方程的一般形式，掌握直線方程幾種形式之間的互化.

(2)理解直線與二元一次方程的關(guān)系及其證明

(3)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思維的習(xí)慣和形成特殊與一般辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn).

高二直線方程數(shù)學(xué)說(shuō)課稿教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線方程的一般式.直線與二元一次方程(、不同時(shí)為0)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其證明.

教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法

教學(xué)過(guò)程：

下面給出教學(xué)實(shí)施過(guò)程設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)要思路：

教學(xué)設(shè)計(jì)思路：

(一)引入的設(shè)計(jì)

前邊學(xué)習(xí)了如何根據(jù)所給條件求出直線方程的方法，看下面問(wèn)題：

問(wèn)：說(shuō)出過(guò)點(diǎn)(2，1)，斜率為2的直線的方程，并觀察方程屬于哪一類，為什么?

答：直線方程是，屬于二元一次方程，因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，它們的最高次數(shù)為一次.

肯定學(xué)生回答，并糾正學(xué)生中不規(guī)范的表述.再看一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)：求出過(guò)點(diǎn)，的直線的方程，并觀察方程屬于哪一類，為什么?

答：直線方程是(或其它形式)，也屬于二元一次方程，因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，它們的最高次數(shù)為一次.

肯定學(xué)生回答后強(qiáng)調(diào)“也是二元一次方程，都是因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè)，它們的最高次數(shù)為一次”.

啟發(fā)：你在想什么(或你想到了什么)?誰(shuí)來(lái)談?wù)?各小組可以討論討論.

學(xué)生紛紛談出自己的想法，教師邊評(píng)價(jià)邊啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)統(tǒng)一到如下問(wèn)題：

【問(wèn)題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎?”

(二)本節(jié)主體內(nèi)容教學(xué)的設(shè)計(jì)

這是本節(jié)課要解決的第一個(gè)問(wèn)題，如何解決?自己先研究研究，也可以小組研究，確定解決問(wèn)題的思路.

學(xué)生或獨(dú)立研究，或合作研究，教師巡視指導(dǎo).

經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的研究，教師組織開展集體討論.首先讓學(xué)生陳述解決思路或解決方案：

思路一：…

思路二：…

……

教師組織評(píng)價(jià)，確定最優(yōu)方案(其它待課下研究)如下：

按斜率是否存在，任意直線的位置有兩種可能，即斜率存在或不存在.

當(dāng)存在時(shí)，直線

的截距也一定存在，直線的方程可表示為，它是二元一次方程.

當(dāng)不存在時(shí)，直線的方程可表示為形式的方程，它是二元一次方程嗎?

學(xué)生有的認(rèn)為是有的認(rèn)為不是，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生，逐步認(rèn)識(shí)到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐標(biāo)系中直線上點(diǎn)的坐標(biāo)形式，與其它直線上點(diǎn)的坐標(biāo)形式?jīng)]有任何區(qū)別，根據(jù)直線方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的

綜合兩種情況，我們得出如下結(jié)論：

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一條表示這條直線的關(guān)于、的二元一次方程.至此，我們的問(wèn)題1就解決了.簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)就是：直線方程都是二元一次方程.而且這個(gè)方程一定可以表示成或的形式，準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)該是“要么形如這樣，要

么形如這樣的方程”.同學(xué)們注意：這樣表達(dá)起來(lái)是不是很啰嗦，能不能有一個(gè)更好的表達(dá)?

學(xué)生們不難得出：二者可以概括為統(tǒng)一的形式.

這樣上邊的結(jié)論可以表述如下：

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一條表示這條直線的形如(其中、不同時(shí)為0)的二元一次方程.

啟發(fā)：任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺(jué)得還有什么與之相關(guān)的問(wèn)題呢?

【問(wèn)題2】任何形如(其中、不同時(shí)為0)的二元一次方程都表示一條直線嗎?

不難看出上邊的結(jié)論只是直線與方程相互關(guān)系的一個(gè)方面，這個(gè)問(wèn)題是它的另一方面.這是顯然的嗎?不是，因此也需要像剛才一樣認(rèn)真地研究，得到明確的結(jié)論.那么如何研究呢?

師生共同討論，評(píng)價(jià)不同思路，達(dá)成共識(shí)：

回顧上邊解決問(wèn)題的思路，發(fā)現(xiàn)原路返回就是非常好的思路，即方程(其中、不同時(shí)為0)系數(shù)是否為0恰好對(duì)應(yīng)斜率是否存在，即

(1)當(dāng)時(shí)，方程可化為這是表示斜率為、在軸上的截距為的直線.

(2)當(dāng)時(shí)，由于、不同時(shí)為0，必有，方程可化為

這表示一條與軸垂直的直線.因此，得到結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，任何形如(其中、不同時(shí)為0)的二元一次方程都表示一條直線.為方便，我們把(其中、不同時(shí)為0)稱作直線方程的一般式是合理的【動(dòng)畫演示】

演示“直線各參數(shù).gsp”文件，體會(huì)任何二元一次方程都表示一條直線.

至此，我們的第二個(gè)問(wèn)題也圓滿解決，而且我們還發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)問(wèn)題其實(shí)是一個(gè)大問(wèn)題的兩個(gè)方面，這個(gè)大問(wèn)題揭示了直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)，直線方程的一般形式是對(duì)直線特殊形式的抽象和概括，而且抽象的層次越高越簡(jiǎn)潔，我們還體會(huì)到了特殊與一般的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

(三)練習(xí)鞏固、總結(jié)提高、板書和作業(yè)等環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)在此從略

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直線的方程（1）

【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線的點(diǎn)斜式方程，了解直線方程的斜截式是點(diǎn)斜式的特例；

2.能通過(guò)待定系數(shù)（直線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,y1)及斜率k，或者直線的斜率k及在y軸上的截距b）求直線方程； 3.掌握斜率不存在時(shí)的直線方程，即x?x1．

【教學(xué)重點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程的推導(dǎo)及運(yùn)用.【教學(xué)難點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式的推導(dǎo)。【教學(xué)過(guò)程】

（一）復(fù)習(xí)：（1）直線的傾斜角和斜率的概念；

（2）直線上兩個(gè)不同點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)，x1?x2，求此直線的斜率k．

（二）新課講解： 1．點(diǎn)斜式

問(wèn)題引入：已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k，求直線l的方程.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是直線l不同于點(diǎn)P1(x1,y1)的任意一點(diǎn)，根據(jù)直線的斜率公式，得：k?y?y1x?x1，可化為y?y1?k(x?x1)．

可以驗(yàn)證：直線l上每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上.這個(gè)方程就是過(guò)點(diǎn)P1，斜率為k的直線l的方程，叫做直線方程的點(diǎn)斜式．

2．兩種特殊的直線方程

（1）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1)的傾斜角為0?，則k?tan0??0，直線l的方程是y?y1；（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1)的傾斜角為90，則斜率不存在，因?yàn)橹本€l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，直線l的方程是x?x1．

此時(shí)不能使用直線方程的點(diǎn)斜式求它的方程，這時(shí)直線l的方程是x?x1。3．問(wèn)：k?y?y1x?x1?與y?y1?k(x?x1)表示同一直線嗎？．

（三）例題分析：

例1．一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(?2,3)，傾斜角為??45，求這條直線方程，并畫出圖形。

解：∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(?2,3)，且斜率k?tan45?1，代入點(diǎn)斜式，得：y?3?x?2，即x?y?5?0．

x?y?5?0

??y

?5 O x

例2．直線l斜率為k，與y軸的交點(diǎn)是P(0,b)，求直線l的方程。

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解：代入直線的點(diǎn)斜式，得：y?b?k(x?0)，即y?kx?b．

說(shuō)明：（1）直線l與x軸交點(diǎn)(a,0)，與y軸交點(diǎn)(0,b)，稱a為直線l在x軸上的截距，稱b為直線l在y軸上的截距；

（2）這個(gè)方程由直線l斜率k和它在y軸上的截距b確定，叫做直線方程的斜截式；

（3）初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)y?kx?b中，常數(shù)k是直線的斜率，常數(shù)b為直線在y軸上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且傾斜角等于直線y?2x?1的傾斜角的2倍，求直線l的方程．

解：設(shè)已知直線的傾斜角為?，則直線l的傾斜角為2?，2tan?4 ∵tan??2，∴k?tan2??，??21?tan?3又∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，∴直線l的方程為y?1??(x?2)，3即所求的直線方程為4x?3y?11?0． 4例4．求直線y??3(x?2)繞點(diǎn)(2,0)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30?所得的直線方程。

解：設(shè)直線y??3(x?2)的傾斜角為?，則tan???3，又∵??[0?,180?)，∴??120?，∴所求的直線的傾斜角為120??30??90?，所以，所求的直線方程為x?2．

例5：已知直線過(guò)點(diǎn)P（-2，3），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程。

分析：關(guān)鍵是求斜率k.解：因?yàn)橹本€與x軸不垂直，所以可設(shè)直線的方程為y-3=k(x+2)令x=0得y=2k+3;令y=0得x=?12（|2k?3）(?3k3k3k?2 ?由題意得：

?2)|?4，?2)?8,無(wú)解；若（2k?3）(?3k?2)??8,解得：k??12,k??92若（2k?3）(?

?所求直線的方程為y?3??12(x?2)和y?3??92(x?2)

即x?2y?4?0和9x?2y?12?0規(guī)律：已知直線過(guò)一個(gè)點(diǎn)常選用直線方程的點(diǎn)斜式。

（四）．課堂練習(xí)：1．課本第39頁(yè)練習(xí)1，2，3；

? 2．求直線y?x?cot??1,??(,?)的傾斜角； 3．求過(guò)點(diǎn)(2,1)且傾斜角?滿足sin??

45的直線方程.3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 教學(xué)資源集散地。可能是最大的免費(fèi)教育資源網(wǎng)！3eud教育網(wǎng)

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（五）．小結(jié)：要求直線方程，通過(guò)待定系數(shù)：直線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x1,y1)及斜率k，或者直線的斜

率k及在y軸上的截距b，代入點(diǎn)斜式或斜截式求出直線方程.（六）．作業(yè)：課本第44頁(yè)第1題（1）（3）（5）

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