第一篇：中 考 壓 軸 題 準 備

中 考 壓 軸 題 準 備

11.(2012.河南)如圖,在平面直角坐標系中,直線y?x?1與拋物線

2y?ax2?bx?3交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的縱坐標為3.點P是直線AB下方的拋物線上一動點(不與點A、B重合),過點P作x得垂線交直線AB于C,作PD⊥AB于點D.（1）求a、b及sin?ACP的值;（2）設點P的橫坐標為m.①用含m的代數式表示線段PD的長,并求出線段PD長的最大值;②連結PB,線段PC把△PDB分成兩個三角形,是否存在適合的m值,使這兩個三角形的面積之比為9:10?若存在,直接寫出m的值;若不存在,說明理由.yDAOCBxP

332.(2011.河南)如圖,在平面直角坐標系中,直線y?x?與拋物線

4212y??x?bx?c交于A、B兩點,點A在x軸上,點B的橫坐標為4-8.（1）求該拋物線的解析式;（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點D,作PE⊥AB于點E.①設△PDE的周長為l,點P的橫坐標為x,求l關于x的函數關系式,并求出l的最大值;②連結PA,以PA為邊作圖示一側的正方形APFG.隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點F或G恰好落在y軸上時,直接寫出對應的點P的坐標.yPCFBDOEGAx

yAOxB備用圖

3.(2010.河南)如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線經過A(?4,0), B(0,?4),C(2,0).（1）求拋物線的解析式;（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點,點M的橫坐標為m, △AMB的面積為S,求S關于m的函數關系式,并求出S的最大值;（3）若點P是拋物線上的動點,點Q是直線y??x上的動點,判斷有幾個位置能使以點P,Q,B,O為頂點的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應的點Q的坐標.yyAMOBCxAMOBCx

備用圖 4.(2009.河南)如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).拋物線y?ax2?bx過A、C兩點.（1）直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式;（2）動點P從點A出發,沿線段AB向終點B運動,同時點Q從點C出發,沿線段CD向終點D運動,速度均為每秒1個單位長度,運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.①過點E作EF⊥AD于點F,交拋物線于點G.當t為何值時,線段EG最長? ②連結EQ.在點P、Q運動的過程中,判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?直接寫出相應的t值.yAFGPECQxOPECDyAFGQxDOBB 5.(2012.河北)如圖①和圖②,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos?ABC= 5.13探究

如圖①,AH⊥BC于點H,則AH=_____,AC=______,△ABC的面積S△ABC=________.拓展

如圖②,點D在AC上(可與點A、C重合),分別過點A、C作直線BD的垂線,垂足為E、F,設BD=x,AE=m,CF=n.（當點D與點A重合時,我們認為S△ABD=0）

（1）用含x,m或n的代數式表示S△ABD及S△CBD;（2）求?m?n?與x的函數關系式,并求?m?n?得最大值與最小值;（3）對給定的一個x值,有時只能確定唯一的點D,指出這樣的x的取值范圍;發現

請你確定一條直線,使A、B、C三點到這條直線的距離之和最小(不必寫出過程),并求出這個最小值.AAFBHCED

BC

圖①

圖② 6.(2012.濟南)如圖甲,在菱形ABCD中,AC=2,BD=23,AC、BD相交于點O.（1）求邊AB的長;（2）如圖乙,將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處,繞點A左右旋轉,其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC、CD相交于點E、F,連結EF,與AC相交于點G.①判斷△AEF是哪一種特殊的三角形,并說明理由;②旋轉過程中,當點E為邊BC的四等分點時,求CG的長.AABOGECFDBOCD

圖甲

圖乙 7.(2012.成都)如圖所示,△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合,將△DEF繞點E旋轉,旋轉過程中,線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.（1）如圖①,點Q在線段AC上,且AP=AQ,求證:△BPE≌△CEQ;（2）如圖②,點Q在線段CA的延長線上,求證:△BPE∽△CEQ;并

9求當BP=a,CQ=a時,P、Q兩點間的距離（用含a的代數式表示）.2FDPBAQFQADPBECEC

圖①

圖② 8.(2011.山東濰坊)如圖,已知正方形ABCD的邊長為a,兩條對角線AC、BD相交于點O,P是射線AB上任意一點,過點P分別作直線AC、BD的垂線PE、PF,垂足為E、F.（1）如圖1,當點P在線段AB上時,求PE+PF的值;（2）如圖2,當點P在線段AB的延長線上時,求PE-PF的值.ADADEOEPOBCFBF圖1CP

圖2 9.(2012.樂山)如圖（1）,△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉??0????90??時,如圖（2）,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時,如圖（3）,延長BD交CF于點G.①求證:BD⊥CF;②當AB=4,AD=2時,求線段BG的長.CCCFAED圖（1）EFBDAB圖（2）GFAED圖（3）B 10.(2011.廣東)如圖1,△ABC與△DEF均為等腰直角三角形,AC與DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90°,固定△ABC,將△DEF繞點A順時針旋轉,當DF邊與AB邊重合時,旋轉終止.現不考慮旋轉開始和結束時重合的情況,設DE、DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G、H點,如圖2.（1）問:始終與△AGC相似的三角形是_______和________;（2）設CG=x,BH=y,求y關于x的函數關系式;（3）當x為何值時,△AGH為等腰三角形?

A(D)FB圖1C(E)A(D)FBGE圖2CH 11.(2011.武漢)（1）如圖1,在△ABC中,點D、E、F分別在邊AB、DPPEAC、BC上,且DE∥BC,AQ交DE于點P.求證:;?BQQC（2）如圖,∠BAC=90°,正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上.連結AG、AF,分別交DE于M、N兩點.①如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長;②如圖3,求證:MN2=DM·EN.AADEDEPMNBQC圖1BGC圖2F

ADMNEBG圖3FC 12.若x1,x2是關于x的一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）的兩

2個根,則方程的兩個根x1,x2和系數a,b,c有如下關系: bcx1?x2??,x1?x2?.把它們稱為一元二次方程根與系數關系aa定理.如果設二次函數y?ax2?bx?c(a?0)的圖象與x軸的兩個交點為A?x1,0?,B?x2,0?.利用根與系數關系定理可以得到A,B兩個交點間的距離為: AB?x1?x2??x1?x2?2b24cb2?4ac?4x1x2?(?)??aaa參考以上定理和結論,解答下列問題: 設二次函數y?ax2?bx?c(a?0)與x軸的兩個交點為A?x1,0?和

B?x2,0?,拋物線的頂點為C,顯然△ABC為等腰三角形.（1）當△ABC為等腰直角三角形時,求b?4ac的值;

2（2）當△ABC為等邊三角形時,求b?4ac的值.2yOACBx 13.(2012.湖北黃石)如圖1所示,在等邊△ABC中,線段AD為其內角角平分線,過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1.ACCDAC1C1D（1）請你探究:是否都成立? ?,?ABDBAB1DB1（2）請你繼續探究:若△ABC為任意三角形,線段AD為其內角角平ACCD?分 線,請問一定成立嗎?并證明你的判斷;ABDB40（3）如圖2所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=,E為AB

3DF上一點且AE=5,CE交其內角角平分線AD于F,試求的值.FACC1DFCDA圖1BB1AEB圖2 14.(2012.洛陽)如圖所示,在平面直角坐標系中,矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm,點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,拋物線y?ax2?bx?c經過點A、B,且18a?c?0.（1）求拋物線的解析式;（2）如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動,同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動.①移動開始后第t秒時,設△PBQ的面積為S,試寫出S與t之間的函數關系式,并寫出t的取值范圍;②當S取得最大值時,在拋物線上是否存在點R,使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出點R的坐標;如果不存在,請說明理由.yyOCQxOCQxAPBAPB備用圖 15.(2012.內蒙古呼和浩特)如圖,拋物線y?ax2?bx?c?a?0?與雙k曲線y?相交于點A、B,且拋物線經過坐標原點,點A的坐標為x(-2,2),點B在第四象限內.過點B作直線BC∥x軸,點C為直線BC與拋物線的另一個交點,已知直線BC與x軸之間的距離是點B到y軸的距離的4倍.記拋物線的頂點為E.（1）求拋物線與雙曲線的解析式;（2）計算△ABC與△ABE的面積;（3）在拋物線上是否存在點D,使△ABD的面積等于△ABE的面積的8倍?若存在,請求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.yAEOxCB 16.(2012.山西)綜合與研究:如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y??x2?2x?3與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.（1）求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標;（2）點P是x軸上一個動點,過P作直線l∥AC交拋物線于點Q.試探究:隨著P點的運動,在拋物線上是否存在點Q,使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出符合條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由;（3）請在直線AC上找一點M,使△BDM得周長最小,求出點M的坐標.yDCAOBx 17.(2011.河北)如圖,在平面直角坐標系中,點P從原點O出發,沿x軸向右以每秒1個單位長度的速度運動t秒?t?0?,拋物線y?x2?bx?c經過點O和點P.已知矩形ABCD的三個頂點為A(1,0)、B(1,-5)、D(4,0).（1）求c,b（用含t的代數式表示）;（2）當4?t?5時,設拋物線分別與線段AB,CD交于點M,N.①在點P的運動過程中,你認為∠AMP的大小是否發生變化?若變化,說明理由;若不變,求出∠AMP的值;

21②求△MPN的面積S與t的函數關系式,并求t為何值時,S=.1218.(2012.貴陽)如圖,二次函數y?x?x?c的圖象與x軸分別交

2于A、B兩點,頂點M關于x軸的對稱點為M′.（1）若A(-4,0),求二次函數的關系式;（2）在（1）的條件下,求四邊形AMBM′的面積;

12（3）是否存在拋物線y?x?x?c,使得四邊形AMBM′為正方

2形?若存在,請求出此拋物線的函數關系式;若不存在,請說明理由.yyAOBxAOB備用圖x

第二篇：中考數學壓軸題整理

【運用相似三角形特性解題，注意分清不同情況下的函數會發生變法，要懂得分情況討論問題】

【分情況討論，抓住特殊圖形的面積，多運用勾股定理求高，構造梯形求解】

【出現邊與邊的比，構造相似求解】

【當圖形比較復雜的時候，要學會提煉出基礎圖形進行分析，如此題中可將兩個三角形構成的平行四邊形提取出來分析，出現兩個頂點，結合平行四邊形性質和函數圖像性質，找出不變的量，如此題中N點的縱坐標不變，為-3，為突破口從而求解】

已知△ABC是等邊三角形．

（1）將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O．

①如圖a，當θ=20°時，△ABD與△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②當△ABC旋轉到如圖b所在位置時，求∠BOE的度數；

【旋轉，平移，軸對稱的題目，要將動態轉化為靜態求解，運用全等和相似的方法】

【通過旋轉把條件進行轉移，利用與第一題相同的方法做輔助線，采用構造直角三角形的方法求解】

如下數表是由從1開始的連續自然數組成，觀察規律并完成各題的解答．

（1）表中第8行的最后一個數是_________，它是自然數_______的平方，第8行共有________個數；

（2）用含n的代數式表示：第n行的第一個數是_______，最后一個數是_________，第n行共有個數__________；

（3）求第n行各數之和．

【利用三角函數求解】

如圖所示，已知A點從（1，0）點出發，以每秒1個單位長的速度沿著x軸的正方向運動，經過t秒后，以O、A為頂點作菱形OABC，使B、C點都在第一象限內，且∠AOC=60°，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t=_____________．

【提取基礎圖形，此題將三角形提取出來，構造直角三角形，利用30°所對的邊是斜邊的一半，設未知數求解】

【要求是否能構造成直角三角形，構造包含欲求三角形的三邊的另外三個直角三角形，利用勾股定理求出三條邊，再運用勾股定理，分三種情況求解】

如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞頂點A旋轉，在旋轉過程中，當BE=DF時，∠BAE的大小可以是___________．

當遇到求是否構成等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形，直角三角形時，在坐標軸中，設未知數求解；如設點A為（x,y）或設點A為（0，m），多尋找可用相似表示的邊，運用相似的面積比，周長比，高之比，邊之比求解

求坐標軸上有多少個圖形能夠構成面積為多少，周長為多少的三角形四邊形等時，注意坐標點可能在正半軸或負半軸，注意加絕對值符號，計算多邊形面積可采用割補法

第三篇：2018年中考菱形壓軸題

2018年中考菱形 壓軸題

一．解答題（共19小題）

1．如圖，兩個全等的△ABC和△DFE重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進行如下變換：

（1）如圖1，△DEF沿直線CB向右平移（即點F在線段CB上移動），連接AF、AD、BD．請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關系；

（2）如圖2，當點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應滿足什么條件？請給出證明；

（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DF折疊，點E落在FA的延長線上的點G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值．

2．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以這兩個交點和該拋物線的頂點、對稱軸上一點為頂點的菱形稱為這條拋物線的“拋物菱形”．（1）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為（﹣1，0）、（3，0），且這條拋物線的“拋物菱形”是正方形，求這條拋物線的函數解析式；（2）如圖，四邊形OABC是拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）的“拋物菱形”，且∠OAB=60° ①求“拋物菱形OABC”的面積．

②將直角三角板中含有“60°角”的頂點與坐標原點O重合，兩邊所在直線與“拋物菱形OABC”的邊AB、BC交于E、F，△OEF的面積是否存在最小值，若存在，求出此時△OEF的面積；若不存在，說明理由．

3．如圖，二次函數圖象的頂點為坐標原點O，y軸為對稱軸，且經過點A（3，3），一次函數的圖象經過點A和點B（6，0）．（1）求二次函數與一次函數的解析式；

（2）如果一次函數圖象與y軸相交于點C，E是拋物線上OA段上一點，過點E作y軸平行的直線DE與直線AC交于點D，∠DOE=∠EDA，求點E的坐標；（3）點M是線段AC延長線上的一個動點，過點M作y軸的平行線交拋物線于F，以點O、C、M、F為頂點的四邊形能否為菱形？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由．

4．如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點Q在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．（1）求拋物線的解析式；

（2）點E′是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？

5．如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點B．動點P從點D出

發，沿DC邊向點C運動，同時動點Q從點B出發，沿BA邊向點A運動，點P、Q運動的速度均為每秒1個單位，運動的時間為t秒．過點P作PE⊥CD交BD于點E，過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

（3）動點P、Q運動過程中，在矩形ABCD內（包括其邊界）是否存在點H，使以B，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時菱形的周長；若不存在，請說明理由．

6．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點，交y的正半軸于點C，連接BC，且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點D為第一象限拋物線上一點，過點D作DE⊥BC于點E，設DE=d，點D的橫坐標為t，求d與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，點F為拋物線的頂點，對稱軸交x軸于點G，連接DF，過D作DH⊥DF交FG于點H，點M為對稱軸左側拋物線上一點，點N為平面上一點且tan∠HDN=，當四邊形DHMN為菱形時，求點N的坐標．

7．已知拋物線y=ax2+bx+8（a≥1）過點D（5，3），與x軸交于點B、C（點B、C均在y軸右側）且BC=2，直線BD交y軸于點A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在坐標軸上是否存在一點N，使△ABN與△BCD相似？若存在，求出點A、N的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在直線BD上是否存在一點P和平面內一點Q，使以Q、P、B、C四點為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

8．已知，如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）設點G是對稱軸上一點，求當△GAB周長最小時，點G的坐標；

（3）若拋物線對稱軸交x軸于點P，在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點Q的坐標，并選擇其中一個的加以說明；若不存在，說明理由；

（4）設點M是x軸上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．

9．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）連接BD，F為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQ=MN時，求菱形對角線MN的長．

10．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；

（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內一點，當以點B，F，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標．

11．如圖，?ABCD的兩個頂點B，D都在拋物線y=tan∠ACB=．

（1）求拋物線的解析式；

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，（2）在拋物線上是否存在點E，使以A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）動點P從點A出發向點D運動，同時動點Q從點C出發向點A運動，運動速度都是每秒1個單位長度，當一個點到達終點時另一個點也停止運動，運動時間為t（秒）．當t為何值時，△APQ是直角三角形？

12．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經過B點，且頂點在直線x=上（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，若M點是CD所在指向下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為L，求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點M的坐標；

（3）△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，當四邊形ABCD是菱形時，連接BD，點P在拋物線上，若△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，請求出此時P點的坐標．

13．如圖，直線y=x+1與y軸交于A點，過點A的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+

（其中a、b為常數，a≠0）經過點A（﹣1，0）和點B（3，0），且與y軸交于點C，點D為對稱軸與直線BC的交點．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）拋物線上存在點P，使得△DPB∽△ACB，求點P的坐標；

（3）若點Q為點O關于直線BC的對稱點，點M為直線BC上一點，點N為坐標平面內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以Q、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

15．如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．（1）求

拋物線解析式及頂點坐標；

（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）①當四邊形OEAF的面積為24時，請判斷OEAF是否為菱形？

②是否存在點E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）在（3）①的條件下，當四邊形OEAF為菱形時，設動點P在直線OE下方的拋物線上移動，則點P到直線OE的最大距離是

．

16．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三個點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點E（m，n）是拋物線上一個動點，且位于第四象限，四邊形OEBF是以OB為對角線的平行四邊形，求四邊形OEBF的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當四邊形OEBF的面積為24時，請判斷四邊形OEBF是否為菱形？

17．如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）兩點．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）若點D是直線l下方拋物線上的一動點，過點D作DE∥y軸交直線l于點E，求DE的最大值，并求出此時D的坐標；

（3）在（2）的條件下，DE取最大值時，點P在直線AB上，平面內是否存在點Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

18．如圖，拋物線y=﹣x2﹣

x+1與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．（1）求直線AB的函數關系式；

（2）動點E在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點E作EG⊥x軸，交直線AB于點F，交拋物線于點G．設點E移動的時間為t秒，GF的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

（3）設在（2）的條件下（不考慮點E與點O、C重合的情況），連接CF，BG，當t為何值時，四邊形BCFG為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCFG是否菱形？請說明理由．

19．如圖，已知拋物線y=ax2+c過點（﹣2，2），（4，5），過定點F（0，2）的直線l：y=kx+2與拋物線交于A、B兩點，點B在點A的右側，過點B作x軸的垂線，垂足為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點B在拋物線上運動時，判斷線段BF與BC的數量關系（＞、＜、=），并證明你的判斷；

（3）P為y軸上一點，以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，設點P（0，m），求自然數m的值；

（4）若k=1，在直線l下方的拋物線上是否存在點Q，使得△QBF的面積最大？若存在，求出點Q的坐標及△QBF的最大面積；若不存在，請說明理由．

2018年04月19日191****7496的初中數學組卷

參考答案與試題解析

一．解答題（共19小題）

1．如圖，兩個全等的△ABC和△DFE重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進行如下變換：

（1）如圖1，△DEF沿直線CB向右平移（即點F在線段CB上移動），連接AF、AD、BD．請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關系；

（2）如圖2，當點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應滿足什么條件？請給出證明；

（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DF折疊，點E落在FA的延長線上的點G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值．

【解答】解：（1）S△ABC=S四邊形AFBD，理由：由題意可得：AD∥EC，則S△ADF=S△ABD，故S△ACF=S△ADF=S△ABD，則S△ABC=S四邊形AFBD；

（2）△ABC為等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，理由如下：∵F為BC的中點，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四邊形AFBD為平行四邊形，∵AB=AC，F為BC的中點，∴AF⊥BC，∴平行四邊形AFBD為矩形，∵∠BAC=90°，F為BC的中點，∴AF=BC=BF，∴四邊形AFBD為正方形；

（3）如圖3所示：

由（2）知，△ABC為等腰直角三角形，AF⊥BC，設CF=k，則GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=sin∠CGF===

k，．

2．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以這兩個交點和該拋物線的頂點、對稱軸上一點為頂點的菱形稱為這條拋物線的“拋物菱形”．（1）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為（﹣1，0）、（3，0），且這條拋物線的“拋物菱形”是正方形，求這條拋物線的函數解析式；（2）如圖，四邊形OABC是拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）的“拋物菱形”，且∠OAB=60° ①求“拋物菱形OABC”的面積．

②將直角三角板中含有“60°角”的頂點與坐標原點O重合，兩邊所在直線與“拋物菱形OABC”的邊AB、BC交于E、F，△OEF的面積是否存在最小值，若存在，求出此時△OEF的面積；若不存在，說明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為（﹣1，0）、（3，0），四邊形OABC是正方形，∴A（1，2）或（1，﹣2），當A（1，2）時，解得：

當A（1，﹣2）時解得

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣；（2）①∵由拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）可知OB=b，∵∠OAB=60°，∴A（，b），b=﹣（）2+b，解得：b=

2，代入y=﹣x2+bx得：∴OB=2，AC=6，∴“拋物菱形OABC”的面積=OB?AC=6②存在；

；

當三角板的兩邊分別垂直與AB和BC時三角形OEF的面積最小，∵OE⊥AB，∴∠EOB==30°，同理∠BOF=30°，∵∠EOF=60°

∴OB垂直EF且平分EF，∴三角形OEF是等邊三角形，∵OB=2∴OE=3，∴OE=OF=EF=3，∴△OEF的面積=

3．如圖，二次函數圖象的頂點為坐標原點O，y軸為對稱軸，且經過點A（3，3），一次函數的圖象經過點A和點B（6，0）．（1）求二次函數與一次函數的解析式；

（2）如果一次函數圖象與y軸相交于點C，E是拋物線上OA段上一點，過點E作y軸平行的直線DE與直線AC交于點D，∠DOE=∠EDA，求點E的坐標；（3）點M是線段AC延長線上的一個動點，過點M作y軸的平行線交拋物線于F，以點O、C、M、F為頂點的四邊形能否為菱形？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由．

．，【解答】解：（1）設二次函數的解析式為y=ax2，把點A（3，3）代入得3=a×32，解得a=； 設一次函數的解析式為y=kx+b，把點A（3，3）、點B（6，0）代入得，解得，所以二次函數與一次函數的解析式分別為y=x2，y=﹣x+6；

（2）C點坐標為（0，6），∵DE∥y軸，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC?DE，設E點坐標為（a，a2），則D點坐標為（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E是拋物線上OA段上一點，∴0＜a＜3，∴a=，∴點E坐標為（，）；

（3）以點O、C、M、F為頂點的四邊形不能為菱形．理由如下：

如圖，過O點作OF∥AC交拋物線于F，過F點作FM∥y軸交AC延長線于M點，交x軸于H點，則四邊形OCMF為平行四邊形，∵OC=OB=6，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF為等腰直角三角形，∴HO=HF，設F點坐標為（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF=OH=3，而OC=6，∴四邊形OCMF不為菱形．

4．如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點Q在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．（1）求拋物線的解析式；

（2）點E′是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？

【解答】解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點，∴設y=ax2+2，∵點C（3，0），在拋物線上，∴9a+2=0，解得：a=﹣，∴拋物線為；y=﹣x2+2；

（2）如果四邊形OEAE′是菱形，則AO與EE′互相垂直平分，∴EE′經過AO的中點，∴點E縱坐標為1，代入拋物線解析式得： 1=﹣x2+2，解得：x=±，∵點E在第一象限，∴點E為（，1），設直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，∴BC的解析式為：y=﹣x+3，將E點代入y=ax，可得出EO的解析式為：y=由，x，得：，∴Q點坐標為：（∴當Q點坐標為（，0），0）時，四邊形OEAE′是菱形；

（3）法一：設t為m秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO，∴=，由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，又∵點D在直線y=﹣x+3上，∴DQ=3m，因此：=，解得：m=，經檢驗：m=是原分式方程的解，∴當t=秒時，PB∥OD．

法二：作BH⊥OC于H，則BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，易知DQ=CQ，設t為m秒時PB∥OE，則△ABP∽△QOD，∴∴==，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，解得m=，經檢驗m=是方程的解，∴當t為秒時，PB∥OD．

5．如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點B．動點P從點D出發，沿DC邊向點C運動，同時動點Q從點B出發，沿BA邊向點A運動，點P、Q運動的速度均為每秒1個單位，運動的時間為t秒．過點P作PE⊥CD交BD于點E，過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

（3）動點P、Q運動過程中，在矩形ABCD內（包括其邊界）是否存在點H，使以B，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時菱形的周長；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由題意得，頂點D點的坐標為（﹣1，4）． 設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4（a≠0），∵拋物線經過點B（﹣3，0），代入y=a（x+1）2+4 可求得a=﹣1

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．

（2）由題意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC． ∴==2，∴PE=DP=t．

∴點E的橫坐標為﹣1﹣t，AF=2﹣t．

將x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4． ∴點G的縱坐標為﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t． 如圖1所示：連接BG．

S四邊形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四邊形BDGQ=BQ?AF+EG?（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t． =﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．

∴當t=2時，四邊形BDGQ的面積最大，最大值為2．（3）存在． ∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=，BD=2∴cos∠BDC=∵BQ=DP=t，∴DE=t． ．

．

如圖2所示：當BE和BQ為菱形的鄰邊時，BE=QB．

∵BE=BD﹣DE，∴BQ=BD﹣DE，即t=

2﹣

t，解得t=20﹣8．

．

∴菱形BQEH的周長=80﹣32如圖3所示：當BE為菱形的對角時，則BQ=QE，過點Q作QM⊥BE，則BM=EM．

∵MB=cos∠QBM?BQ，∴MB=∴BE=t． t．

∵BE+DE=BD，∴t+t=2，解得：t=

．

或80﹣32

．

．

∴菱形BQEH的周長為綜上所述，菱形BQEH的周長為

6．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點，交y的正半軸于點C，連接BC，且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點D為第一象限拋物線上一點，過點D作DE⊥BC于點E，設DE=d，點D的橫坐標為t，求d與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，點F為拋物線的頂點，對稱軸交x軸于點G，連接DF，過D作DH⊥DF交FG于點H，點M為對稱軸左側拋物線上一點，點N為平面上一點且tan∠HDN=，當四邊形DHMN為菱形時，求點N的坐標．

【解答】解：（1）對于拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．設D（t，﹣t2+2t+3）．

∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER是等腰直角三角形，∵直線BC的解析式為y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DR?cos45°=﹣

t2+

t．

（3）如圖3中，∵四邊形DHMN是菱形，點H在對稱軸上，∴D、M關于對稱軸對稱，點N在對稱軸上，設DM交FH于Q，作HK⊥DN于K． ∵tan∠HDK==，設HK=12k，DK=5k，則DH=

=13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK中，NH=∴QN=QH=2k，=

=

4k，∵S△DNH=?NH?DQ=?DN?HK，∴DQ=3，=，∴tan∠QDH=

∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ==，∵拋物線的頂點F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴解得t=，∴D（，），∴DQ=﹣1=，∵=，=，∴QN=1，∴N（1，7．已知拋物線y=ax2+bx+8（a≥1）過點D（5，3），與x軸交于點B、C（點B、C均在y軸右側）且BC=2，直線BD交y軸于點A．（1）求拋物線的解析式；

（2）在坐標軸上是否存在一點N，使△ABN與△BCD相似？若存在，求出點A、N的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在直線BD上是否存在一點P和平面內一點Q，使以Q、P、B、C四點為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．）．

【解答】解：

（1）設B點坐標為（x1，0），C點坐標為（x2，0），則x1、x2是方程ax2+bx+8=0的兩根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵BC=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴﹣=4①，把D點坐標代入拋物線解析式可得25a+5b+8=3②，由①②可解得或（舍去），∴拋物線解析式為y=x2﹣6x+8；

（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，∴B（2，0），C（4，0），設直線BD解析式為y=kx+s，把B、D坐標代入可得∴直線BD解析式為y=x﹣2，∴A（0，﹣2），①當點N在x軸上時，設N（x，0），則點N應在點B左側，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2，BD=3，解得，∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，當△BCD∽△BNA時，則有（，0）；

=，即

=，解得x=，此時N點坐標為

當△BCD∽△BAN時，則有為（﹣4，0）；

=，即=，解得x=﹣4，此時N點坐標②當點N在y軸上時，設N（0，y），則點N應在A點上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，當△BCD∽△ABN時，則有（0，4）；

當△BCD∽△ANB時，則有為（0，）；

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；

=，即=，解得y=4，此時N點坐標為

=，即=，解得y=﹣，此時N點坐標（3）∵點P在直線BD上，∴可設P（t，t﹣2），∴BP=

=

|t﹣2|，PC=

=，∵以Q、P、B、C四點為頂點的四邊形為菱形，∴有BC為邊或BC為對角線，當BC為邊時，則有BP=BC，即坐標為（2+，）或（2﹣

|t﹣2|=2，解得t=2+，）； |t﹣2|=，解得t=3，此時P或t=2﹣，此時P點當BC為對角線時，則有BP=PC，即點坐標為（3，1）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（2+1）．，）或（2﹣，）或（3，8．已知，如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）設點G是對稱軸上一點，求當△GAB周長最小時，點G的坐標；

（3）若拋物線對稱軸交x軸于點P，在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點Q的坐標，并選擇其中一個的加以說明；若不存在，說明理由；

（4）設點M是x軸上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．

【解答】解：（1）由題意可求，A（0，2），B（﹣1，0），點C的坐標為（4，0）． 設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），把點A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣4）（x+1）=（2）如圖1，物線y=的對稱軸為：x=，由點C是點B關于直線：x=的對稱點，所以直線AC和直線x=的交點即為△GAB周長最小時的點G，設直線AC的解析式為：y=mx+n，把A（0，2），點C（4，0）代入得：．，解得：所以：y=，x+2，當x=時，y=，所以此時點G（，）；（3）如圖2

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點Q的坐標：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），證明Q1：過點Q1作Q1M⊥x軸，垂足為M，由題意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP和△MPQ1中，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP=，∴OM=，此時點Q的坐標為：（，）；（4）存在

點N的坐標為：（0，﹣2），（9．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）連接BD，F為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQ=MN時，求菱形對角線MN的長．，2），（﹣，2），（，2）．

【解答】解：（1）∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣6，∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴點D的坐標為（2，﹣8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，設F（x，x2﹣2x﹣6），則FG=|x2﹣2x﹣6|，在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，則AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，當∠FAB=∠EDB時，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴=，即

==，當點F在x軸上方時，則有點坐標為（7，）；

=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此進F當點F在x軸下方時，則有F點坐標為（5，﹣）；

=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此進綜上可知F點的坐標為（7，）或（5，﹣）；

（3）∵點P在x軸上，∴由菱形的對稱性可知P（2，0），如圖2，當MN在x軸上方時，設T為菱形對角線的交點，∵PQ=MN，∴MT=2PT，設PT=n，則MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M在拋物線上，∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=+1；

或n=

（舍去），當MN在x軸下方時，同理可設PT=n，則M（2+2n，﹣n），∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=﹣1；

+1或

﹣1．

或n=

（舍去），綜上可知菱形對角線MN的長為

10．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；

（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內一點，當以點B，F，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標．

【解答】解：（1）將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式得：解得：a=1，c=﹣8．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．

（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴拋物線的對稱軸為x=1，∴E（1，0）．

∵將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，∴EP為∠BEF的角平分線． ∴∠BEP=45°．

設直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點E的坐標代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．

將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=x=．

或，∵點P在第四象限，∴x=∴y=． ．

∴P（，）．

（3）設CD的解析式為y=kx﹣8，將點D的坐標代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．

設直線CB的解析式為y=k2x﹣8，將點B的坐標代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2． ∴直線BC的解析式為y=2x﹣8．

將x=1代入直線BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．

設點M的坐標為（a，﹣a﹣8）．

當MF=MB時，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．，）． ∴點M的坐標為（﹣當FM=FB時，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．

∴點M的坐標為（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）． 綜上所述，點M的坐標為（﹣

11．如圖，?ABCD的兩個頂點B，D都在拋物線y=tan∠ACB=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點E，使以A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）動點P從點A出發向點D運動，同時動點Q從點C出發向點A運動，運動速度都是每秒1個單位長度，當一個點到達終點時另一個點也停止運動，運動時間為t（秒）．當t為何值時，△APQ是直角三角形？

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

【解答】解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5． ∴tan∠ACB=∴． =，由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（∴）2+OC2=52，解得OC=±4（負值舍去）．，OB=OC=4，AD=BC=8．

∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．

∴

解之得，x2+x+5； ∴拋物線的解析式為y=

（2）存在．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC=AB=CD． 又∵AD≠CD，∴當以A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，AC=CD=DE=AE． 由對稱性可得，此時點E的坐標為（4，6）當x=4時，y=x2+x+5=6，所以點（4，6）在拋物線y=

x2+x+5上．

∴存在點E的坐標為（4，6）；

（3）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．

∴當△APQ是直角三角形時，∠APQ=90°或∠AQP=90°． ∵∴．，由題意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5． 當∠APQ=90°時，∴解得，．，．，當∠AQP=90°時，∴∵∴或，解得，．

12．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經過B點，且頂點在直線x=上（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，若M點是CD所在指向下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為L，求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點

M的坐標；

（3）△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，當四邊形ABCD是菱形時，連接BD，點P在拋物線上，若△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，請求出此時P點的坐標．

【解答】解：（1）∵拋物線頂點在直線x=上，∴﹣=，解得b=﹣∵拋物線y=x2+bx+c經過點B（0，4），∴c=4，∴拋物線對應的函數關系式為y=x2﹣

x+4；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），則 解得，所以，直線AB的解析式為y=x+4，當過點M平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時，點M到CD的距離最大，此時MN的值最大，此時，設過點M的直線解析式為y=x+m，聯立，消掉y得，x2﹣x+4=x+m，整理得，2x2﹣14x+12﹣3m=0，△=b2﹣4ac=（﹣14）2﹣4×2×（12﹣3m）=0，解得m=﹣此時，x=﹣y=×﹣，=，=，）使MN的值最大． 所以，點M（（3）四邊形ABCD是菱形時，點C、D在該拋物線上． 理由如下：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=5，∴D（2，0），∴直線BD的解析式為y=﹣2x+4，①當B為Rt△PBD 直角頂點時，直線PB的解析式為y=x+4，由解得或，∴P（，）．

②當D為Rt△PBD 直角頂點時，直線PD的解析式為y=x﹣1，由解得或，∴P（，），）或（，）． 綜上所述，滿足條件的點P坐標為（13．如圖，直線y=x+1與y軸交于A點，過點A的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）．（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

【解答】解：（1）∵BC⊥x軸，垂足為點C，C（3，0），∴B的橫坐標為3．

將x=3代入y=x+1得：y=． ∴B（3，）．

將x=0代入y=x+1得：y=1． ∴A（0，1）．

將點A和點B的坐標代入得：∴拋物線的解析式為y=﹣x2+，解得：b=

x+1．，c=1．

（2）設點P的坐標為（t，0），則N（t，﹣t2+∴S=（﹣t2+

t+1），M（t，t+1）．

t+1）﹣（t+1）=﹣t2+

t．（0＜t＜3）．

（3）∵MN∥BC，∴當MN=NB時，四邊形BCMN為平行四邊形． ∴﹣t2+t=，解得t=1或t=2．

∴當t=1或t=2時，四邊形BCMN為平行四邊形． 當t=1時，M（1，）．

依據兩點間的距離公式可知：MC=∴MN=MC．

∴四邊形BCMN為菱形． 當t=2時，M（2，2），則MC=∴MC≠MN．

∴此時四邊形BCMN不是菱形．

綜上所述，當t=1時，四邊形BCMN為菱形．

14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+

（其中a、b為常數，a≠

=

． =．

0）經過點A（﹣1，0）和點B（3，0），且與y軸交于點C，點D為對稱軸與直線BC的交點．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）拋物線上存在點P，使得△DPB∽△ACB，求點P的坐標；

（3）若點Q為點O關于直線BC的對稱點，點M為直線BC上一點，點N為坐標平面內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以Q、B、M、N為頂點的四

邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+

中，得：，解得：，∴該拋物線的表達式為y=﹣

x2+

x+．

（2）當x=0時，y=∴C（0，），．

∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4，AC=2，BC=2∵AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴△ABC為直角三角形．且∠ABC=30°，設直線BC的解析式為y=kx+將點B（3，0）代入y=kx+得：0=3k+，解得：k=﹣，中，x+

．，∴直線BC的解析式為y=﹣當x=1時，y=∴D（1，）．，設點P的坐標為（m，﹣

m2+

m+），如圖1，過點P作PE⊥OB于點E，則BE=3﹣m，PE=﹣在Rt△ABC中，∵△DPB∽△ACB，∴∠ABC=∠DBP=30°，∴∠PBE=60°，則tan∠PBE=，即

m2+

m+，=，解得：m=2或m=3（舍），∴點P的坐標為（2，）．

（3）根據題意，如圖2，直線BC垂直平分OQ，且kBC=﹣，∴kOQ=，x，點Q的坐標為（a，a），a），設直線OQ解析式為y=則OQ的中點F坐標為（a，將點Q代入直線BC的解析式為y=﹣解得：a=，∴Q（，則BQ=），=3，x+，得：﹣a+=a，①當BQ是四邊形BQNM的邊時，∵四邊形BQNM是菱形，∴NQ∥BC，且NQ=BQ，∴kNQ=kBC=﹣，（x﹣）+，即y=﹣

x+

2，∴直線NQ解析式為y=﹣設N（m，﹣m+2），由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣解得：m=，）、（m+2﹣）2=9，此時點N的坐標為（若MQ∥BN，且BN=BQ，）；

根據菱形的性質可知BM垂直平分NQ，∴點N與點O重合，即N（0，0）； ②當BQ為四邊形BMQN的對角線時，∵四邊形BMQN是菱形，∴BQ、MN互相垂直平分，由B（3，0）、Q（，∴kMN=則yMN=，（x﹣）+

=

x，）可得yBQ=﹣

x+

3，BQ中點H（，），由可得點M（，），設點N坐標為（m，n），由M、N的中點H（，）可得：，解得：，即點N的坐標為（3，綜上，點N的坐標為（（3，）．），）或（，）或（0，0）或15．如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．（1）求拋物線解析式及頂點坐標；

（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）①當四邊形OEAF的面積為24時，請判斷OEAF是否為菱形？

②是否存在點E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）在（3）①的條件下，當四邊形OEAF為菱形時，設動點P在直線OE下方的拋物線上移動，則點P到直線OE的最大距離是 0.1 ．

【解答】解：（1）由題可設拋物線的解析式為y=a（x﹣）2+k，∵拋物線經過點A（6，0）和B（0，4），∴．

解得；．

∴拋物線的解析式為y=（x﹣）2﹣，此時頂點坐標為（，﹣）．

（2）過點E作EH⊥OA，垂足為H，如圖1，由（x﹣）2﹣=0得x1=1，x2=6．

∵點E（x，y）是拋物線上位于第四象限一動點，∴1＜x＜6，﹣≤y＜0．

∵四邊形OEAF是平行四邊形，∴△OAE≌△AOF．

∴S=2S△OAE=2×OA?EH=OA?EH =﹣6y

=﹣6×[（x﹣）2﹣=﹣4（x﹣）2+25．

∴四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式為S=﹣4（x﹣）2+25，其中1＜x＜6．

]

（3）①當S=24時，﹣4（x﹣）2+25=24，解得x1=4，x2=3． Ⅰ．當x=4時，y=×（4﹣）2﹣

=﹣4，則點E（4，﹣4）．

過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，則有OH=4，EH=4，AH=2． ∵EH⊥x軸，∴OE=4，AE=2．

∴OE≠AE．

∴平行四邊形OEAF不是菱形． Ⅱ．當x=3時，y=×（3﹣）2﹣

=﹣4，則點E（3，﹣4）．

過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖3，則有OH=3，EH=4，AH=3． ∵EH⊥x軸，∴OE=5，AE=5． ∴OE=AE．

∴平行四邊形OEAF是菱形．

綜上所述；當點E為（4，﹣4）時，平行四邊形OEAF不是菱形；當點E為（3，﹣4）時，平行四邊形OEAF是菱形． ②不存在點E，使四邊形OEAF為正方形． 理由如下：

當點E在線段OA的垂直平分線上時，EO=EA，則平行四邊形OEAF是菱形，如圖4，此時，xE==3，yE=﹣4，點E為（3，﹣4）．

則有OA=6，EF=8． ∵OA≠EF，∴菱形OEAF不是正方形．

∴不存在點E，使四邊形OEAF為正方形．

（4）在（3）①的條件下，當四邊形OEAF為菱形時，點E的坐標為（3，﹣4）． 設直線OE的解析式為y=mx，則有3m=﹣4，解得m=﹣． ∴直線OE的解析式為y=﹣x．

設與直線OE平行且與拋物線y=（x﹣）2﹣x+n，相切的直線l的解析式為y=﹣

∴方程（x﹣）2﹣=﹣x+n即2x2﹣10x+12﹣3n=0有兩個相等的實數根．

∴（﹣10）2﹣4×2×（12﹣3n）=0． 解得：n=﹣．

∴直線l的解析式為y=﹣x﹣．

設直線l與x軸、y軸分別相交于點M、N，過點O作OG⊥MN．垂足為G，如圖5，由﹣x﹣=0得x=﹣，則點M（﹣，0）；由x=0得y=﹣，則點N（0，﹣）． 在Rt△MON中，∵OM=，ON=，∴MN=∴OG===0.1．

．

∴直線OA與直線l之間的距離是0.1． ∴點P到直線OE的最大距離是0.1． 故答案為：0.1．

16．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三個點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點E（m，n）是拋物線上一個動點，且位于第四象限，四邊形OEBF是以OB為對角線的平行四邊形，求四邊形OEBF的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當四邊形OEBF的面積為24時，請判斷四邊形OEBF是否為菱形？

【解答】（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4）代入y=ax2+bx+c得：解得：a=，b=﹣，c=4，x+4．，∴拋物線的解析式是y=x2﹣

（2）解：∵E在拋物線y=x2﹣

x+4上，E（m，n），∴E的坐標是（m，m2﹣

m+4），∵E在第四象限，且四邊形OEBF是平行四邊形，OB為對角線，∴平行四邊形OEBF的面積等于2S△OBE，即S=2××OB×（﹣n），∴S=2××6×（﹣m2+∵A（1，0），B（6，0），∴m的范圍是1＜m＜6，答：四邊形OEBF的面積S與m之間的函數關系式是S=﹣4m2+28m﹣24，自變量m的取值范圍是1＜m＜6．

m﹣4）=﹣4m2+28m﹣24，（3）解：根據題意得：S=﹣4m2+28m﹣24=24，即m2﹣7m+12=0，解得：m=3，m=4，當m=3時，y=x2﹣當m=4時，y=x2﹣

x+4=﹣4，x+4=﹣4，=5，∵當O（0，0），E（3，﹣4），B（6，0）時，由勾股定理得：OE=BE=即OE=BE，∴此時四邊形OEBF是菱形；

∵當O（0，0），E（4，﹣4），B（6，0）時，由勾股定理得：OE=BE==

2，=4=5，即OE和BE不相等，∴此時四邊形OEBF不是菱形；

綜合上述，當四邊形OEBF的面積為24時，四邊形OEBF不是菱形．

17．如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）

兩點．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）若點D是直線l下方拋物線上的一動點，過點D作DE∥y軸交直線l于點E，求DE的最大值，并求出此時D的坐標；

（3）在（2）的條件下，DE取最大值時，點P在直線AB上，平面內是否存在點Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）兩點，∴，λ

解得：，．

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣1，直線的解析式為：y=x﹣1；

（2）設點D的坐標為：（x，x2﹣x﹣1），則點E的坐標為：（x，x﹣1），∴ED=（x﹣1）﹣（x2﹣x﹣1）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∴DE的最大值為：2，∴此時D的坐標為：（2，﹣）；

（3）當DE取最大值時，E的坐標為：（2，），∴DE=2，

第四篇：如何應對中考數學壓軸題

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如何應對中考數學壓軸題

作者：玉孔總

來源：《中學教學參考·理科版》2013年第07期

近幾年的中考試題，一些題型靈活、設計新穎、富有創意的壓軸題涌現出來，其中一類以平移、旋轉、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角.以圖形運動中的函數關系問題為例，這部分壓軸題的主要特征是在圖形運動變化的過程中，探求兩個變量之間的函數關系.現談談筆者十年來指導中考復習的一些感悟.一、解數學壓軸題的策略

解數學壓軸題可分為五個步驟：1.認真默讀題目，全面審視題目的所有條件和答題要求，注意挖掘隱蔽的條件和內在聯系，理解好題意；2.利用重要數學思想探究解題思路；3.選擇好解題的方法正確解答；4.做好檢驗工作，完善解題過程；5.當思維受阻、思路難覓時，要及時調整思路和方法，并重新審視題意，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄.二、解動態幾何壓軸題的策略

近幾年的數學中考試卷中都是以函數和幾何圖形的綜合作為壓軸題，用到圓、三角形和四邊形等有關知識，方程與圖形的綜合也是常見的壓軸題.動態幾何問題是一種新題型，在圖形的變換過程中，探究圖形中某些不變的因素，把操作、觀察、探求、計算和證明融合在一起.動態幾何題解決的策略是：把握運動規律，尋求運動中的特殊位置；在“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規律.通過探索、歸納、猜想，獲得圖形在運動過程中是否保留或具有某種性質.簡析：本題是一個雙動點問題，是中考動態問題中出現頻率最高的題型，這類題的解題策略是化動為靜，注意運用分類思想.三、巧用數學思想方法解分類討論型壓軸題

數學思想和方法是數學的靈魂，是知識轉化為能力的橋梁.近幾年的各省市中考數學試題，越來越注重數學思想和數學方法的考查，這已成為大家的共識，為幫助讀者更好地理解和掌握常用的基本數學思想和數學方法，特用一例說明.

第五篇：寧波中考壓軸題四個解題技巧

寧波中考壓軸題四個解題技巧，力爭140以上

各類題型的中考數學壓軸題在近幾年的中考中慢慢涌現出來，比如設計新穎、富有創意的，還有以平移、旋轉、翻折等圖形變換為解題思路的。中考數學壓軸題，解題需找好四大切入點。

切入點一：做不出、找相似，有相似、用相似

壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉化的難度較高。學生往往不知道該怎樣入手，這時往往應根據題意去尋找相似三角形。

切入點二：構造定理所需的圖形或基本圖形

在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構造定理所需的圖形或構造一些常見的基本圖形。

切入點三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結論

在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應的位置或數量關系不發生改變。切入點四：在題目中尋找多解的信息

圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反復認真的審題。

總之，中考數學壓軸題的切入點有很多，考試時并不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個就行了，關鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學往往想想覺得不行就放棄了，其實絕大多數的題目只要想到上述切入點，認真做下去，問題基本都可以得到解決。