第一篇：分式的第一節教案
一、教學目標：
二、(1)知識目標：理解分式的概念，并能判斷一個有理式是不是分式。掌握“如果分式的分母的值為零，則分式沒有意義”；“如果分式的分子為零，而分母不為零時，分式的值為零”。
(2)能力目標：能通過回憶分數的意義，類比地探索分式的意義及分式的值，滲透數學中的類比，分類等數學思想。培養學生分析、歸納、概括的能力。(3)情感目標：通過學習分式的意義，培養學生的逆向思維能力和學生的辯證唯物主義觀點。
二、重點、難點：
重點是正確理解分式的意義，分式是否有意義的條件及分式的值為零的條件，即是重點也是本節的難點。
三、教學方法
本節課教師將以引路的形式，運用啟發式的教學方法，帶著學生去發現和探究新知識，教師在實施教學的過程中注意學生的觀察能力和語言表達能力的培養，分析、歸納、概括，通過不斷的實踐和認識，讓學生全面地掌握分式的意義，讓學生體會到數學不是一門枯燥的學科，對學習數學充滿信心。
四、教學過程
先問學生兩個問題，幫助學生回憶分數。
思考：請各位同學將下列各題用一個恰當的分數來表示： 1．
矩形的面積是20m2，寬為3m，長為多少？
2、甲地到乙地的路程是180千米，一輛汽車從甲地到達乙地行駛了7小時，這輛汽車平均每小時的速度是多少? 然后再請學生看以下兩個問題。思考：
1．矩形的面積是20m2，寬為xm，長為多少？
2．甲地到乙地的路程是180千米，一輛汽車從甲地到達乙地行駛了x小時，這輛汽車平均每小時的速度是多少? 學生通過運算、比較，可以發現、是一種新的代數式。思考：
1、這些式子與分數有什么相同和不同之處?
2、上述式子有什么共同的特點？
接著，教師在此基礎上引導學生類比聯想，給出分式的概念，引出課題。
分式的概念：兩個整式A，B相除時，可以表示為的形式，如果分母B中含有字母，那么
叫做分式。
例
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.例
2、當x取什么值時，下列分式有意義？（1）；
（2）。
小結：分式要想有意義，分母必須不等于零。例
3、當x取什么數時，下列分式值為零（1）
（2）
小結：若使分式的值為零，需滿足兩個條件：①分子值等于零；②分母值不等于零． 課堂練習： 課堂小結：
1、分式的概念：一般地，形如 的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母
2、分式是否有意義的識別方法：當分式的分母為零時，分式無意義；當分式的分母不等于零時，分式有意義.3、分式的值是否為零的識別方法：當分式的分子是零而分母不等于零時，分式的值等于零.4、對整式、分式的正確區別：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必須含有字母，這是分式與整式的根本區別.布置作業：
教學反思：
在引入新概念或新問題時，把相關的舊概念及舊知識聯系起來，確立信任學生的觀念，大膽放手讓學生把某種情境用數學方法加以表征；在接觸新的知識點時，要留給學生充足的思維空間，多角度、全方位地提出有價值的問題，讓學生思考；指導學生自主的構建新概念以及如何去分析問題.在辨識概念和解決問題時，鼓勵學生質疑。
通過分數與分式的比較，培養學生良好的類比聯想的思維習慣和反思方法；通過分數與分式的類比，向學生滲透矛盾轉化的辯證唯物主義觀點，并培養學生嚴謹的科學態度。本節課對分式經過引入，掌握，熟練，提高的過程，既學習了知識，又獲得了知識，又獲得了思維能力的提高。
第二篇：初三數學第一節分式
初三數學第一節分式
yxxy?y2下列各式：（1）（2）2a+b(3)-(4)中是分式的有（）個 2x4?x2
2如果把分式2x中的x,y都擴大2倍，那么分式的值（）x?y2A 擴大2倍B 擴大4倍C 不變 D 縮小為原來的3在函數y=x?2中，自變量x的取值范圍是（）3x
A x≥-2且x≠0B x≤2且x≠0C x≠0D x≤-2
4不改變分式0.5x?1的值，把它的分子，分母的各項系數都化為整數，則所0.3x?2
得的結果為（）5x?15x?102x?1x?2ABCD3x?23x?203x?23x?20
3a的值是（）a?2 5當a=-1時，分式
6化簡分式?ab=（）22ab
7超市某品牌襯衫搞促銷活動，打a折銷售的售價為b元，則該品牌襯衫的原價是（）
x2?18當x=2008時，代數式-1的值為（）x?1
9當x為何值時，下列分式的值為0
x2?16x2?3x（1）（2）x?49?x2
10某公司有同一種襯衫共100件，將其分配給批發部和零售部，分別以批發和
零售價出售，批發部經理對零售部經理說，如果把你們分到的襯衫讓我們賣，可賣的1600元，零售部經理對批發部經理說，如果把你們分到的襯衫讓我們賣，可賣的3600元，若設零售部分到襯衫a件，問襯衫的零售價和批發價各是多少錢？
第三篇：分式教案
第1章 分 式
1．1 分 式
第1課時 分 式
1．理解分式的定義，能夠根據定義判斷一個式子是否是分式．
2．能寫出分式存在的條件，會求分式的值為0時字母的取值范圍．(重難點)
3．能根據字母的取值求分式的值．(重點)
4．能用分式表示現實情境中的數量關系．(重點)
知識模塊一 分式的概念
【合作探究】
教材P2動腦筋．
代數式，有什么共同點？
歸納：分式的概念：一般地，如果一個整式f除以一個非零整式g(g中含有__字母__)，所得商叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.【自主學習】
下列式子中是分式的有：__②⑥⑦__．
①；②；③；④3x2；⑤；⑥4x＋；
⑦－.知識模塊二 分式存在以及分式的值為0的條件
【自主學習】
閱讀教材P3例1和例2.【合作探究】
當x取什么值時，分式的值：(1)不存在；(2)等于0?
解：(1)當分母x－2＝0時，即x＝2時，分式的值不存在；(2)當分子x＋1＝0，即x＝－1時，分式的值等于＝0.歸納：分式存在的條件是__g≠0__；分式不存在的條件是__g＝0__．分式的值為0的條件是__f＝0且g≠0__.練習：
求下列條件下分式的值．
(1)x＝3；(2)x＝－2.解：(1)當x＝3時，＝＝；
(2)當x＝－2時，＝＝.活動1 小組討論
例1 列代數式表示下列數量關系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小時做x個零件，他做80個零件需多少小時；
(2)輪船在靜水中每小時走a千米，水流的速度是b千米/時，輪船的順流速度是多少千米/時，輪船的逆流速度是多少千米/時；
(3)x與y的差除以4的商是多少．
解：(1)；分式．(2)a＋b，a－b；整式．(3)；整式．
例2 當x取何值時，分式的值存在？當x取何值時，分式的值為零？
解：當的值存在時，x2－4≠0，即x≠±2；當的值為0時，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.【點撥】分式的值存在的條件：分式的分母不能為0，分式的值不存在的條件：分式的分母等于0.分式值為0的條件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值為零一定是在有意義的條件下成立的．
活動2 跟蹤訓練
1．下列各式中，哪些是分式？
①；②；③；④；⑤x2.解：①③是分式．
2．當x取何值時，分式的值存在．
解：3x－2≠0，即x≠時，存在．
3．求下列條件下分式的值．
(1)x＝1；(2)x＝－1.解：(1)當x＝1時，＝－；(2)當x＝－1時，＝－.活動3 課堂小結
1．分式的定義及根據條件列分式．
2．分式的值存在的條件，以及分式值為0的條件．
第2課時 分式的基本性質
1．理解并掌握分式的基本性質．(重點)
2．能運用分式的基本性質約分，并進行簡單的求值運算．(重難點)
知識模塊一 分式的基本性質
【合作探究】
教材P4說一說．
填空，并說一說下列等式從左到右變形的依據．
(1)＝＝；(2)＝＝
與分數類似，＝，＝成立嗎？
歸納：分式的分子與分母都乘__同一個非零整式__，所得分式與原分式__相等__．即對于分式，有＝(h≠0)．
【自主學習】
根據分式的基本性質填空：
(1)＝；(2)＝；
(3)＝
知識模塊二 分式的約分
【自主學習】
閱讀教材P5例4，P6例5.【合作探究】
1.＝＝，公因數是__2__；＝＝，公因式是__4abc__．
2.＝＝
歸納：把一個分式的分子與分母的公因式約去(即分子與分母都除以它們的公因式)，叫作分式的約分．
像、這樣，分式的分子分母沒有__公因式__，這樣的分式叫作最簡分式．
練習：
1．約分．
(1)；
解：原式＝＝；
(2).解：原式＝＝.2．下面變形是否正確？為什么？如果不正確應該怎樣改正？
＝.解：不正確．正確變形如下：＝＝.3．先約分，再求值：，其中m＝1，n＝3.解：＝＝.當m＝1，n＝3時，原式＝＝－.活動1 小組討論
例 約分．
(1)；(2)；(3).解：(1)＝－；(2)＝；(3)＝＝.【點撥】約分的過程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的應用．像(3)這樣的分子分母是多項式，應先分解因式再約分．
活動2 跟蹤訓練
1．約分．
(1)；(2).解：(1)＝；
(2)＝＝－.2．先約分，再求值．
(1)，其中m＝1，n＝2；
(2)，其中x＝2，y＝4.解：(1)＝＝＝1；
(2)＝＝＝＝－.活動3 課堂小結
1．分數的基本性質．
2．約分、化簡求值．
1.2 分式的乘法和除法
第1課時 分式的乘法和除法
1．理解分式的乘、除法運算法則．(重點)
2．會進行分式的乘除運算．(重難點)
知識模塊一 用類比思想探究分式乘除法運算法則
【合作探究】
類比分數的運算：(1)×；(2)÷(u≠0)怎樣計算呢？
(1)·＝；(2)÷＝·＝.歸納： 分式的乘除法法則．
__分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分別作為積的分子、分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．__
【自主學習】
計算．
(1)·；(2)(x＋2)÷；
(3)·；(4)÷.解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝(x＋2)·＝；
(3)原式＝；
(4)原式＝.知識模塊二 需要分解因式才能約分的分式乘除法
【自主學習】
閱讀教材P9例2，學習解題方法．
【合作探究】
1．計算：(1)·；(2)÷(x－y)．
解：(1)原式＝·＝；
(2)原式＝·＝.2．先化簡，再求值：÷·，其中a＝－1.解：原式＝··＝，當a＝－1時，原式＝＝1.活動1 小組討論
例1 計算．
(1)·；(2)÷.解：(1)原式＝＝＝；
(2)原式＝·＝＝.例2 計算．
(1)·；(2)÷.解：(1)原式＝·＝＝；
(2)原式＝·＝·＝＝.【點撥】整式與分式運算時，可以把整式看成分母是1的分式．注意變換過程中的符號．
活動2 跟蹤訓練
1．計算：
(1)·；(2)÷8x2y；(3)－3xy÷.解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝·＝＝；
(3)原式＝－3xy·＝－＝－.【點撥】(2)和(3)要把除法轉換成乘法運算，然后約分，運算結果要化為最簡分式．
2．計算：
(1)÷；
(2)÷(x＋3)·.解：(1)原式＝·＝·＝＝；
(2)原式＝··＝··＝－.【點撥】分式的乘除要嚴格按法則運算，除法必須先換算成乘法，如果分式的分子或分母是多項式，那么就把分子或分母分解因式，然后約分，化成最簡分式．運算過程一定要注意符號．
活動3 課堂小結
1．分式的乘、除法運算法則．
2．分式的乘、除法運算法則的運用．
第2課時 分式的乘方
1．理解分式乘方的運算法則．(重點)
2．熟練地進行分式乘方及乘、除、乘方混合運算．(重難點)
知識模塊一 探究分式乘方法則
【合作探究】
教材P10做一做．
1．()2＝×＝；()3＝××＝
2．類比分數的乘方計算．
()2＝×＝，()3＝××＝，()10呢？
歸納：()n＝×××……×,＼s＼do4(n個))＝.(其中n為正整數)
即：分式的乘方就是把__分子、分母分別乘方__．
【自主學習】
1．計算：
(1)()4；(2)()3.解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝＝.2．判斷下列各式是否成立，并改正：
(1)()2＝；錯，；
(2)()2＝；錯，；
(3)()3＝；錯，－；
(4)()2＝.錯，.知識模塊二 分式的乘除、乘方混合運算
【自主學習】
閱讀教材P10例4，注意計算過程．
【合作探究】
計算：
(1)()2·()3；
(2)()4·()3÷()5.解：(1)原式＝·(－)＝－；
(2)原式＝··(－)＝－.活動1 小組討論
例1 計算：
(1)()3；(2)()3.解：(1)()3＝；(2)()3＝＝
【點撥】分式的乘方運算將分式的分子、分母分別乘方，再根據冪的乘方進行運算．
例2 計算：
(1)m3n2÷()3；(2)(－)2÷()3·()3.解：(1)m3n2÷()3＝m3n2÷＝m3n2·＝n5；
(2)(－)2÷()3·()3＝÷·＝··＝.【點撥】分式混合運算，要注意：(1)化除法為乘法；(2)分式的乘方；(3)約分化簡成最簡分式．
活動2 跟蹤訓練
1．計算：
(1)·÷；
(2)÷·；
(3)()2÷(a－1)·.解：(1)原式＝··＝；
(2)原式＝··＝－；
(3)原式＝··＝.2．計算．
(1)()3；(2)()2÷·()3.解：(1)原式＝＝－；
(2)原式＝··＝－.3．化簡求值：÷()2·，其中a＝，b＝－3.解：化簡結果是ab，求值結果為－.【點撥】化簡過程中注意“－”．化簡中，乘除混合運算順序要從左到右．
活動3 課堂小結
1．分式乘方的運算．
2．分式乘除法及乘方的運算方法．
1.3 整數指數冪
1．3.1 同底數冪的除法
1．理解同底數冪的除法法則．(重點)
2．熟練進行同底數冪的除法運算．(重難點)
知識模塊一 探究同底數冪的除法法則
【合作探究】
教材P14動腦筋．
怎樣計算呢？＝＝(210)．類似地，設a≠0，m，n是正整數，且m>n，則＝＝(am－n)．
歸納：同底數冪相除，底數__不變__，指數__相減__．
【自主學習】
1．閱讀教材P15例1.2．計算：
(1)(－)15÷(－)12；(2)；
(3)(m是正整數)．
解：(1)原式＝(－)15－12＝(－)3＝－；
(2)原式＝(－x2y)7－4＝(－x2y)3＝－x6y3；
(3)原式＝a2m－1－m＝am－1.知識模塊二 底數是多項式的同底數冪的除法運算
【自主學習】
閱讀教材P15例2.【合作探究】
1．計算：(1)(a＋b＋1)4÷(a＋b＋1)3；
(2)(a－b)5÷(b－a)3.解：(1)原式＝(a＋b＋1)4－3＝a＋b＋1；
(2)原式＝(a－b)5÷[－(a－b)3]＝－(a－b)2.2．已知xa＝32，xb＝4，求xa－b的值．
解：因為xa＝32，xb＝4，所以xa－b＝xa÷xb＝32÷4＝8.3．化簡求值．
(2x－y)13÷[(2x－y)3]2÷[(y－2x)2]3，其中x＝2，y＝－1.解：原式＝(2x－y)13÷(2x－y)6÷(2x－y)6＝(2x－y)，當x＝2，y＝－1時，原式＝2×2－(－1)＝5.活動1 小組討論
例1 計算：
(1)；(2).解：(1)＝－x5－3＝－x2；
(2)＝＝－x3y3.例2 計算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y)．
解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.活動2 跟蹤訓練
1．計算：
(1)；(2)；
解：(1)原式＝a3；(2)原式＝1.2．計算：(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2.解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3]·(p－q)2＝－(p－q)·(p－q)2＝－(p－q)3.活動3 課堂小結
同底數冪的除法的運算．
1．3.2 零次冪和負整數指數冪
1．理解零次冪和整數指數冪的運算性質，并能解決一些實際問題．(重難點)
2．理解零指數冪和負整數指數冪的意義．(重點)
3．負整數指數冪在科學記數法中的應用．(重難點)．
知識模塊一 零次冪的意義
【合作探究】
教材P16說一說．
計算：82÷82＝__1__，103÷103＝__1__，am÷am＝__1__．又因為＝am－m＝a0，這啟發我們規定．
歸納：a0＝1(a≠0)，即任何不等于零的數的零次冪都等于__1__．
【自主學習】
填空：70＝__1__，(－13)0＝__1__，()0＝__1__，(π－3)0＝__1__．
知識模塊二 負整數指數冪
【合作探究】
教材P17動腦筋．
在am÷an中，當m＝n時，產生零次冪，即a0＝1(a≠0)，那么m (1)82÷85＝82－5＝8－3，82÷85＝＝，∴8－3＝(2)74÷78＝74－8＝7－4 74÷78＝＝，∴7－4＝ 思考：a－n＝？，a－n＝a0－n＝＝.歸納：a－n＝＝()n(a≠0，且n是正整數)．特別地，a－1＝(a≠0)． 【自主學習】 1．計算：(1)1－1；(2)5－2；(3)()－5.解：(1)1－1＝＝1；(2)5－2＝＝；(3)()－5＝25＝32.2．把下列各式寫成分式的形式． (1)2xy－5＝2x·＝； (2)－5x－2y3＝－5··y3＝－； (3)a3b－1c－3＝a3··＝.知識模塊三 科學記數法 【自主學習】 閱讀教材P18例5、例6.【合作探究】 用小數表示下列各數： (1)5.6×10－2＝__0.056__；(2)－2.08×10－5＝__－0.0000208__． 類似的，利用10的負整數次冪，我們可以用科學記數法表示一些絕對值較小的數，即將它們表示成__a×10－n__的形式，其中n是正整數，__1≤|a|≤10__，.當一個數的絕對值很小的時候，我們也能用科學記數法表示． 練習：用科學記數法表示． (1)0.00000405＝__4.05×10－6__； (2)－0.0026＝__－2.6×10－3__． 活動1 小組討論 例1 計算： (1)3－2；(2)(10)－3；(3)()－2.解：(1)3－2＝＝；(2)10－3＝＝0.001； (3)()－2＝()2＝.例2 把下列各式寫成分式的形式． (1)3x－3；(2)2x－2y－3.解：(1)3x－3＝；(2)2x－2y－3＝.例3 用科學記數法表示下列各數． (1)0.0003267；(2)－0.0011.解：(1)0.0003267＝3.267×10－4；(2)－0.0011＝－1.1×10－3.活動2 跟蹤訓練 1．計算；(－2)0＝__1__；3－1＝____． 2．把(－100)0，(－3)－2，(－)2按從大到小的順序排列為__(－100)0>(－)2＝(－3)－2__． 3．計算：(－1)2012×(3－π)0＋()－1.解：原式＝1×1＋2＝3.活動3 課堂小結 1．零次冪和整數指數冪的運算性質． 2．零次冪和負整數指數冪的意義． 3．負整數指數冪在科學記數法中的應用． 1.3.3 整數指數冪的運算法則 1．理解整數指數冪的運算法則．(重點) 2．熟練掌握整數指數冪的各種運算．(重難點) 知識模塊 整數指數冪的運算法則及運算 【自主學習】 閱讀教材P20例7、例8.【合作探究】 學習例7、例8的計算，你發現了什么？ 在前面我們已經把冪的指數從正整數推廣到了整數，可以說明：當a≠0，b≠0時，正整數指數冪的運算法則對于整數指數冪也成立． 歸納：＝am·＝am·a－n＝am＋(－n)＝am－n； ()n＝(a·b－1)n＝an·(b－1)n＝an·b－n＝.我們可以把正整數指數冪的5個運算法則推廣并歸納為整數指數冪的以下3個運算法則． ①am·an＝__am＋n__(a≠0，m，n都是整數) ②(am)n＝__amn__(a≠0，m，n都是整數) ③(ab)n＝__anbn__(a≠0，b≠0，n是整數) 練習： 1．設a≠0，b≠0，計算下列各式(結果不含負指數)． (1)a4·a－8；(2)(a－3)2；(3)[(－)－4]2； (4)(x－2y)－3 解：(1)原式＝a－4＝；(2)原式＝a－6＝；(3)原式＝(44)2＝48；(4)原式＝x6y－3＝.2．計算：(1)[(a＋b)－4]2(a＋b)2÷(a＋b)； 解：原式＝(a＋b)－8(a＋b)2÷(a＋b)＝(a＋b)－7＝； (2)(3x－2y－3)·(－2x2y)－3·(－xy2)－2.解：原式＝··＝－.歸納：對于含有負整數指數冪的運算，計算方法和整數指數冪的運算一樣，一般有兩種運算方法：一是首先把負整數次冪轉化為__正整數指數冪__的形式，然后再計算；二是直接根據__整數指數冪__的運算法則進行計算，但要注意結果中不能含有負整數指數冪的形式． 活動1 小組討論 例1 計算： (1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)原式＝a－3b6＝； (2)原式＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.例2 下列等式是否正確？為什么？ (1)am÷an＝am·a－n；(2)()n＝anb－n.解：(1)正確．理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n； (2)正確．理由：()n＝＝an·＝anb－n.活動2 跟蹤訓練 1．下列式子中，正確的有(D) ①a2÷a5＝a－3＝；②a2·a－3＝a－1＝；③(a·b)－3＝＝；④(a3)－2＝a－6＝.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．計算：[x(x2－4)]－2·(x2－2x)2＝____． 活動3 課堂小結 牢記整數指數冪的運算法則． 1.4 分式的加法和減法 第1課時 同分母分式的加減法 1．掌握同分母分式的加、減法則，并能運用法則進行同分母分式的加減運算．(重點) 2．會將分母互為相反數的分式化為同分母分式進行運算． 知識模塊一 同分母分式的加減法 【合作探究】 計算：＋＝____，－＝____，＋＝____，－＝____． 歸納：類似地，±＝____，即同分母的分式相加減，分母__不變__，把分子__相加減__． 【自主學習】 計算： (1)＋；(2)－； (3)＋－.解：(1)原式＝＝＝3x； (2)原式＝＝＝； (3)原式＝＋－＝＝＝1.知識模塊二 分式的符號法則在分式加減運算中的運用 【合作探究】 教材P24說一說． 歸納：＝＝－，＝.計算：－＋.解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝.【自主學習】 計算：(1)＋； (2)＋.解：(1)原式＝－＝＝；(2)原式＝－＝＝1.活動1 小組討論 例1 計算： (1)＋；(2)－.解：(1)原式＝＝＝1； (2)原式＝＝＝＝.例2 計算： (1)－；(2)－.解：(1)原式＝＋＝； (2)原式＝－＝＋＝＝.活動2 跟蹤訓練 1．化簡＋的結果是(D) A．x＋1 B．x－1 C．－x D．x 2．化簡－的結果是(A) A．a＋b B．a－b C．a2－b2 D．1 【點撥】在分式有關的運算中，一般總是先把分子、分母分解因式． 3．計算：(1)－；(2)＋－.解：(1)原式＝＝1；(2)原式＝＝0.活動3 課堂小結 1．分式相加減時，如果分子是一個多項式，要將分子看成一個整體，先用括號括起來，再運算，可減少出現符號錯誤． 2．分式加減運算的結果要約分，化為最簡分式(或整式)． 第2課時 通 分 1．了解什么是最簡公分母，會求最簡公分母．(重點) 2．了解通分的概念，并能將異分母分式通分．(重難點) 知識模塊一 怎樣確定最簡公分母 【合作探究】 教材P25做一做，完成下面的內容： 異分母分數相加減，要先找到分母的最小公倍數作為公分母，通分后化為同分母分數，再加減． 類似地，異分母分式進行加減運算時，也要先化成__同分母分式__，然后再加減． 歸納：1.根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式化成__同分母__的分式的過程，叫作分式的通分． 2．通分時怎樣確定公分母最簡便？ 【自主學習】，的最簡公分母是__36x2y2__；，的最簡公分母是__ab(a－b)__； 求與的最簡公分母． 分析：第一個分式的分母含有哪些因式？即x2－1＝__(x＋1)(x－1)__．第二個分式的分母含有哪些因式？即x2－x＝__x(x－1)__；因此，最簡公分母是__x(x＋1)(x－1)__． 知識模塊二 如何將異分母分式通分 【合作探究】 教材P25動腦筋． 【自主學習】 1．學習教材P26例3、例4.2．通分． (1)，；(2)，.解：(1)最簡公分母是：12x2y.＝＝，＝＝，＝＝.(2)最簡公分母是：(x＋2)2(x－2)，＝，＝.活動1 小組討論 例1 通分． (1)與；(2)與.解：(1)最簡公分母是2a2b2c.＝＝，＝＝； (2)最簡公分母是(x＋5)(x－5)． ＝＝，＝＝.例2 通分． (1)與；(2)與.解：(1)最簡公分母是4b2d.＝，＝； (2)最簡公分母是2(x＋2)(x－2)． ＝＝，＝＝＝－.活動2 跟蹤訓練 1．分式，的最簡公分母為(B) A．(x＋2)(x－2) B．2(x＋2)(x－2) C．2(x＋2)(x－2)2 D．－(x＋2)(x－2)2 2．分式，的最簡公分母是__x(x＋1)2(x－1)__． 3．通分． (1)與；(2)與；(3)與.解：(1)＝，＝； (2)＝，＝； (3)＝，＝.活動3 課堂小結 1．確定最簡公分母． 2．將異分母分式通分． 第3課時 異分母分式的加減法 1．熟練掌握求最簡公分母的方法． 2．能根據異分母分式的加減法則進行計算．(重難點) 知識模塊一 異分母分式的加減法 【合作探究】 教材P27動腦筋． 回顧：你是怎樣計算＋的？ 歸納：類似地，異分母的分式相加減時，要先__通分__，即把各個分式的__分子、分母__同乘一個適當的__整式__，化成__同分母分式__，然后再__加減__． 【自主學習】 1．學習教材P28例5、例6.2．計算： (1)＋＋；(2)－.解：(1)原式＝＋＋＝； (2)原式＝－ ＝ ＝ ＝－.知識模塊二 整式與分式的加減運算 【自主學習】 閱讀教材P29例7.【合作探究】 計算： (1)x－y＋；(2)－x＋1.解：(1)原式＝＋ ＝＋ ＝ ＝； (2)原式＝－(x－1) ＝－ ＝ ＝.活動1 小組討論 例1 計算． (1)＋；(2)－.解：(1)原式＝＋＝； (2)原式＝－＝.例2 計算． (1)(1－)÷；(2)＋.解：(1)原式＝·＝·＝a－b； (2)原式＝＋＝＝.活動2 跟蹤訓練 1．計算(＋)÷的結果為(A) A．a B．－a C．(a＋3)2 D．1 2．化簡(1＋)÷的結果是(A) A.B.C.D.3．化簡·＋的結果是____． 4．化簡(1－)(m＋1)的結果是__m__． 【點撥】1.在分式有關的運算中，一般總是先把分子、分母分解因式；2.注意：化簡過程中，分子、分母一般保持分解因式的形式． 活動3 課堂小結 分式加減運算的方法思路． 1．5 可化為一元一次方程的分式方程 第1課時 可化為一元一次方程的分式方程 1．理解分式方程的意義． 2．了解分式方程的基本思路和解法．(重點) 3．理解分式方程可能無解的原因，并掌握驗根的方法．(重點) 知識模塊一 分式方程的概念 【合作探究】 教材P32動腦筋． 歸納：分母中含有__未知數__的方程叫作分式方程． 【自主學習】 下列是分式方程的是：__④__(只填序號)． ①x＋y＝5；②＝；③；④＝2.知識模塊二 分式方程的解與解法 【自主學習】 閱讀教材P33例1、例2.【合作探究】 對于上面的分式方程如何求解呢？可以聯想一元一次方程的解法，通過去分母，將分式方程轉化為一元一次方程來求解． 解方程：－＝1.解：方程兩邊同乘以1.5x，得36－30＝1.5x，解得x＝4.檢驗：把x＝4代入原方程，得左邊＝－＝1＝右邊，因此x＝4是原方程的解． 歸納：解分式方程的關鍵是把含有未知數的分母去掉，這可以通過在方程的兩邊同乘以各個分式的__最簡公分母__而達到． 活動1 小組討論 例1 解方程：＝.解：方程兩邊同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3)．解得x＝9.檢驗：當x＝9時，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解為x＝9.例2 解方程：－1＝.解：方程兩邊同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.檢驗：當x＝1時，(x－1)(x＋2)＝0.所以x＝1不是原方程的解．所以，原方程無解． 活動2 跟蹤訓練 解方程：(1)＝；(2)＝＋1； (3)＝；(4)－＝0.解：(1)方程兩邊同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x，化簡得3x＝3.解得x＝1.檢驗：當x＝1時，2x(x＋3)≠0，所以x＝1是原方程的解； (2)方程兩邊同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－.檢驗：當x＝－時，3x＋3≠0.所以x＝－是原方程的解； (3)方程兩邊同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.檢驗：當x＝1時，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解．所以原方程無解； (4)方程兩邊同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0，解得x＝.檢驗：當x＝時，x(x＋1)(x－1)≠0.所以x＝是原方程的解． 【點撥】方程中分母是多項式，要先分解因式再找公分母． 活動3 課堂小結 解分式方程的思路是： ―→ 第2課時 分式方程的應用 能將實際問題中的相等關系用分式方程表示，并進行方法總結．(重難點) 知識模塊一 分式方程的應用——工程問題 【合作探究】 教材P34動腦筋． 【自主學習】 甲、乙兩個工程隊共同承包某一城市美化工程，已知甲隊單獨完成這項工程需要30天，若由甲隊先做10天，剩下的工程由甲、乙兩隊合作8天完成．問乙隊單獨完成這項工程需要多少天？ 解：設乙隊單獨完成這項工程需要x天，由題意可列方程：＋＝1，方程兩邊同乘以30x，得18x＋240＝30x，解得x＝20.檢驗：把x＝20代入30x中，它的值不等于0.因此x＝20是原方程的根，且符合題意．答：乙隊單獨完成這項工程需要20天． 知識模塊二 分式方程的應用——路程問題 【合作探究】 小明家和小玲家住同一小區，離學校3000 m，某一天早晨，小玲和小明分別于7：20，7：25離家騎車上學，在校門口遇上，已知小明騎車的速度是小玲的1.2倍，試問：小玲和小明騎車的速度各是多少？ 解：設小玲的速度為v m/s，則小明的速度為__1.2v__m/s.依題意得：__－＝300__． 去分母得：__3600－3000＝300×1.2v__，解得v＝.檢驗：__把v＝代入最簡公分母中，它不等于0，因此v＝是原方程的解．__ 答：小玲、小明的騎車速度分別是____m/s，__2__m/s.【自主學習】 一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60 km所需時間與逆水航行48 km所需時間相同，已知水流速度是2 km/h，求輪船在靜水中航行的速度，若設輪船在靜水中航行速度為x km/h，則依題意可列方程為__＝__． 知識模塊三 分式方程的應用——商品購買問題 【自主學習】 閱讀教材P35例3.【合作探究】 某商店第一次用600元購進2B鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但這次每支鉛筆的進價是第一次進價的倍，購進數量比第一次少了30支，求第一次每支鉛筆的進價． 解：設第一次每支鉛筆的進價為x元，由題意得－＝30，解得x＝4.經檢驗，x＝4是原方程的根，且符合題意．答：第一次每支鉛筆的進價為4元． 歸納：列分式方程解應用題的一般步驟：(1)分析題意，找等量關系；(2)設未知數；(3)列方程；(4)解方程；(5)檢驗(雙檢驗)、作答． 活動1 小組討論 例 甲、乙兩人分別從相距36千米的A，B兩地相向而行，甲從A出發到1千米時發現有東西遺忘在A地，立即返回，取過東西后又立即從A向B行進，這樣兩人恰好在AB中點處相遇，已知甲比乙每小時多走0.5千米，求二人的速度各是多少？ 分析： 路程 速度 時間 甲 18＋1×2 x＋0.5 乙 x 等量關系：t甲＝t乙． 解：設乙的速度為x千米/小時，則甲的速度為(x＋0.5)千米/小時．根據題意，列方程得＝.解得：x＝4.5.檢驗：當x＝4.5時，x(x＋0.5)≠0.所以x＝4.5是原方程的解，則x＋0.5＝5.答：甲的速度為5千米/小時，乙的速度為4.5千米/小時． 【點撥】等量關系是時間相等，那么就要找到相等時間里每個人所走的路程，甲的路程比乙的路程多兩個1千米． 活動2 跟蹤訓練 1．A、B兩地相距135千米，有大、小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘．已知大、小汽車速度的比為2∶5，求兩輛汽車的速度． 解：設大汽車的速度為2x千米/小時，則小汽車的速度為5x千米/小時． 根據題意，列方程得＝.解得x＝9.檢驗：當x＝9時，10x≠0.所以，x＝9是原方程的解．則2x＝18，5x＝45.答：大汽車的速度是18千米/小時，小汽車的速度是45千米/小時． 【點撥】等量關系是大汽車5小時后剩下路程所走的時間，等于小汽車去掉30分鐘路程所用的時間． 2．一項工程，需要在規定日期內完成，如果甲隊獨做，恰好如期完成，如果乙隊獨做，就要超過規定3天，現在由甲、乙兩隊合作2天，剩下的由乙隊獨做，也剛好在規定日期內完成，問規定日期是幾天？ 解：設規定日期是x天，則甲隊獨做需x天，乙隊獨做需(x＋3)天，根據題意，列方程得 ＋＝1.解得x＝6.檢驗：當x＝6時，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解． 答：規定日期是6天． 活動3 課堂小結 1．列分式方程解應用題，應該注意解題的步驟． 2．列方程的關鍵是要在準確設元(可直接設，也可間接設)的前提下找出等量關系． 3．解題過程注意畫圖或列表幫助分析題意找等量關系． 4．注意不要遺漏檢驗和寫答案． 第2章 三角形 2．1 三角形 第1課時 三角形的有關概念及三邊關系 1．通過具體實例，進一步認識三角形的概念及其基本要素． 2．學會三角形的表示及根據“是否有邊相等”對三角形進行的分類． 3．掌握三角形三條邊之間的關系．(重點) 知識模塊一 探究三角形中的基本概念 【自主學習】 閱讀教材P42，完成下面的填空． 1．__由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接而成的圖形__叫作三角形． 如圖：用線段連接不在同一直線上的三點D、E、F所組成的圖形叫作__三角形__，記用__△DEF__，它的三個頂點分別是點__D__、點__E__、點__F__．它的三個內角分別是__∠D__、__∠__E__、__∠F__． 2．其中，__兩條邊相等__的三角形叫作等腰三角形，__三邊都相等__的三角形叫作等邊三角形． 知識模塊二 三角形三邊的關系 【合作探究】 如圖，請量出線段AB、BC、AC的長度(精確到1 mm)，根據測量結果填空(選填“>”或“<”) AB＋BC__>__AC，BC＋AC__>__AB，AB＋AC__>__BC.AB－BC__<__AC，BC－AC__<__AB，AB－AC__<__BC.歸納：三角形任意兩邊之和__大于__第三邊，三角形任意兩邊之差__小于__第三邊． 【自主學習】 1．教材P43做一做． 2．閱讀教材P43例1.練習：有下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？ (1)4 cm、5 cm、10 cm；(2)5 cm、6 cm、11 cm； (3)6 cm、7 cm、12 cm.解：(1)因為4＋5<10，所以它們不能組成三角形；(2)因為5＋6＝11，所以它們不能組成三角形；(3)因為6＋7>12，所以它們能組成三角形． 活動1 小組討論 例 如圖，D是△ABC的邊AC上一點，AD＝BD，試判斷AC與BC的大小． 解：在△BDC中，有BD＋DC＞BC(三角形的任意兩邊之和大于第三邊)． 又因為AD＝BD，則BD＋DC＝AD＋DC＝AC，所以AC＞BC.活動2 跟蹤訓練 1．現有兩根木棒，它們的長度分別為20 cm和30 cm，若不改變木棒的長度，要釘成一個三角形木架，應在下列四根木棒中選取(B) A．10 cm的木棒 B．20 cm的木棒 C．50 cm的木棒 D．60 cm的木棒 2．看圖填空． (1)如圖中共有__4__個三角形，它們是__△ABC、△EBG、△AEF、△CGF__； (2)△BGE的三個頂點分別是__B、G、E__，三條邊分別是__BG、EG、BE__，三個角分別是__∠B、∠BEG、∠BGE__； (3)△AEF中，頂點A所對的邊是__EF__；邊AF所對的頂點是__E__； (4)∠ACB是△__ACB__的內角，∠ACB的對邊是__AB__． 3．用一根長為18厘米的細鐵絲圍成一個等腰三角形． (1)如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？ (2)能圍成有一邊的長為4厘米的等腰三角形嗎？ 解：(1)設底邊長為x厘米，則腰長為2x厘米．則x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.所以三邊長分別為3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米； (2)①當4厘米長為底邊，設腰長為x厘米，則4＋2x＝18.解得x＝7.所以等腰三角形的三邊長為7厘米、7厘米、4厘米；②當4厘米長為腰長，設底邊長為x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.因為4＋4＜10，所以此時不能構成三角形．即可圍成等腰三角形，且三邊長分別為7厘米、7厘米和4厘米． 活動3 課堂小結 1．由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形．三角形的邊、角、頂點及表示方法． 2．三角形的分類：按邊和角分類． 3．三角形的三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊． 第2課時 三角形的高、角平分線和中線 1．能找到一個三角形的高，知道三角形的角平分線和中線的含義，了解三角形的重心．(重點) 2．能應用三角形的高、角平分線和中線解決相關的問題．(難點) 知識模塊一 三角形中的三種線段的定義 【合作探究】 教材P44做一做． 1．從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的__高線__，簡稱三角形的__高__． 2．在三角形中，一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的__角平分線__． 3．在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫作三角形的__中線__．三角形的三條中線相交于一點，這一點叫作三角形的__重心__． 【自主學習】 1．如圖，在圖1中，∠BAD＝∠CAD，那么線段AD叫作△ABC的一條__角平分線__．在圖2中，AF＝FC，那么線段BF叫作△ABC的一條__中線__．在圖3中，BH⊥AC，垂足為H，那么線段BH叫作△ABC的一條__高__． 2．如圖． (1)AD是△ABC的角平分線，則∠__BAD__＝∠__DAC__＝∠__BAC__； (2)AE是△ABC的中線，則__BE__＝__EC__＝__BC__； (3)AF是△ABC的高，則∠__AFB__＝∠__AFC__＝90°.知識模塊二 動手畫一畫三角形的三種線段 【合作探究】 如圖，試分別畫出下列三角形的三條高． 解：如圖： 歸納：銳角三角形的三條高都在三角形的__內部__，直角三角形中有兩條高就是它的__兩條直角邊__，鈍角三角形有兩條高在三角形的__外部__． 【自主學習】 1．如圖，已知△ABC，試畫出它的三條中線． 解：如圖，線段AD、BE、CF就是△ABC的三條中線． 2．如圖，已知△ABC，試畫出它的三條角平分線． 解：如圖，線段AD、BE、CF就是△ABC的三條角平分線． 活動1 小組討論 例1 如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高． (1)圖中共有幾個三角形？請分別列舉出來． (2)其中哪些三角形的面積相等？ 解：(1)圖中有6個三角形，它們分別是△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.(2)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC.因為AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，又S△ABD＝BD·AE，S△ADC＝DC·AE.所以S△ABD＝S△ADC.活動2 跟蹤訓練 1．一定能將三角形面積平分成相等兩部分的是三角形的(B) A．高線 B．中線 C．角平分線 D．不確定 2．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直線AC翻折180°，使點B落在點B′的位置，則線段AC(D) A．是邊BB′上的中線 B是邊BB′上的高 C．是∠BAB′的角平分線 D．以上都對 第2題圖 第3題圖 3．如圖所示，在△ABC中，D、E分別是BC、AD的中點，SABC＝4 cm2，則S△ABE的面積是__1__cm2.活動3 課堂小結 三角形中幾條重要線段：高、角平分線、中線． 第3課時 三角形內角和定理 1．知道三角形的內角和是180°，能應用此性質解決相關問題． 2．知道三角形的分類，并會用數學符號表示直角三角形． 3．會找一個三角形的外角，能應用三角形外角的性質解決相關問題．(重點) 知識回顧： 如圖，在圖1中，已知過點A的直線DE∥BC，那么∠B＝∠__BAD__，∠C＝∠__CAE__．在圖2中，已知過點C的直線CE∥BA，那么∠B＝∠__ECD__，∠A＝∠__ACE__． 知識模塊一 探究三角形的內角和定理及三角形中的相關概念 【合作探究】 你能否由以上兩個圖形推出三角形的內角和為180°呢？ 如圖1，由∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，知∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，從而得出結論：三角形的內角和等于__180°__． 由于三角形內角和等于180°，而三角形的外角與它相鄰的內角和也為180°，由此可得：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的__和__． 【自主學習】 1．閱讀教材P46～P48，完成下面的填空： (1)__三個角都是銳角__的三角形叫銳角三角形；__有一個角是直角__的三角形叫直角三角形；__有一個角是鈍角__的三角形叫鈍角三角形． (2)直角三角形可以用符號“__Rt△__”表示，直角三角形ABC可以寫成__Rt△ABC__，在直角三角形中，夾直角的兩邊叫作__直角邊__，直角的對邊叫作__斜邊__．兩條直角邊相等的直角三角形叫作__等腰直角三角形__． (3)三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫作三角形的__外角__． 2．(1)在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，則∠C＝__60°__；∠B＋∠C＝__90°__． (2)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，則∠A＝__30°__；∠B＋∠A＝__90°__． (3)在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝85°，則∠A＝__5°__；∠C＋∠A＝__90°__． 知識模塊二 運用三角形內角和定理和外角和的性質解決問題 【自主學習】 閱讀教材P46例3.【合作探究】 如圖，直線DE分別交△ABC的邊AB，AC于點D，E，若∠B＝67°，∠C＝74°，∠AED＝48°，求∠BDE的度數． 解：∵∠B＝67°，∠C＝74°，∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－74°＝39°.又∵∠AED＝48°，∴∠BDE＝∠A＋∠AED＝39°＋48°＝87°.活動1 小組討論 例 在△ABC中，∠A的度數是∠B的度數的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度數． 解：設∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋15)°，從而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度數分別為99°，33°，48°.活動2 跟蹤訓練 1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5.則∠C的度數為(C) A．45° B．60° C．75° D．90° 2．如圖，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，則∠BED的度數是(A) A．63° B．83° C．73° D．53° 第2題圖 第3題圖 3．如圖，AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，∠B＝30°，∠DAE＝50°，則∠D的度數為__20°__，∠ACD的度數為__110°__． 活動3 課堂小結 ↑ Ｋ ↓ 2.2 命題與證明 第1課時 定義與命題 1．知道“定義”和“命題”，能判斷給出的語句哪些是命題． 2．能把簡單的命題寫成“如果……，那么……”的形式，能找到命題的條件和結論．(重點) 3．知道什么是“原命題”、“逆命題”和“互逆命題”，能寫出已知命題的逆命題．(重難點) 知識模塊一 掌握定義、命題的相關概念 【自主學習】 閱讀教材P50～P52，完成下面的填空： 1．對一個概念的含義加以描述說明或作出明確規定的語句叫作這個概念的__定義__． 2．對某一件事情作出判斷的語句(陳述句)叫__命題__． 3．命題通常可以寫成__“如果……，那么……”__的形式，其中“__如果__”引出的部分是條件、“__那么__”引出的部分是結論． 4．對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，我們把這兩個命題叫__互逆命題__．其中一個叫__原命題__，另一個叫__逆命題__． 【合作探究】 判斷下列語句哪些是命題？哪些不是？ (1)對頂角相等；(2)畫一個角等于已知角；(3)兩直線平行，同位角相等；(4)同位角相等，兩條直線平行嗎？(5)鳥是動物；(6)若x－5＝0，求x的值． 解：(1)(3)(5)是命題，(2)(4)(6)不是命題． 知識模塊二 探究命題的條件與結論的結構 【合作探究】 指出下列命題的條件和結論，并改寫成“如果……，那么……”的形式，寫出它們的逆命題． (1)垂直于同一直線的兩條直線平行； 解：條件是“垂直于同一直線的兩條直線”，結論是“這兩條直線平行”． 可以改寫成“如果兩條直線垂直于同一直線，那么這兩條直線平行．” 逆命題是：兩條直線平行，這兩條直線會垂直于同一直線． (2)對頂角相等． 解：條件是“兩個角是對頂角”，結論是“兩個角相等”． 可以改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”． 逆命題是：相等的角是對頂角． 【自主學習】 1．教材P51做一做． 2．寫出“兩直線平行，同位角相等”的條件和結論，并寫出它的逆命題． 解：條件是“兩直線平行”，結論是“同位角相等”． 可以改寫成“如果兩直線平行，那么同位角相等”． 逆命題是：同位角相等，兩直線平行． 活動1 小組討論 例 指出下列命題的條件和結論，并改寫成“如果……，那么……”的形式，并寫出它的逆命題． (1)兩直線平行，內錯角相等； 解：條件是“兩直線平行”，結論是“內錯角相等”． 可以改寫成“如果兩直線平行，那么內錯角相等．” 逆命題是：內錯角相等，兩直線平行． (2)同角的余角相等． 解：條件是“兩個角是同一個角的余角”，結論是“這兩個角相等”可以改寫成“如果兩個角是同一角的余角，那么這兩個角相等”． 逆命題是：余角相等的兩個角是同一個角． 活動2 跟蹤訓練 1．下列語句中，是命題的是(B) A．連接A、B兩點 B．銳角小于鈍角 C．作平行線 D．取線段AB的中點M 2．把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式． (1)能被2整除的數必能被4整除； 解：如果一個數能被2整除，那么這個數一定能被4整除． (2)異號兩數相加得零． 解：如果兩個數異號，那么這兩個數相加的和為零． 3．寫出下列命題的逆命題． (1)直角三角形的兩個銳角互余； 解：兩個銳角互余的三角形是直角三角形． (2)若a＝0，則ab＝0.解：若ab＝0，則a＝0.活動3 課堂小結 Ｋ 第2課時 真命題、假命題與定理 1．會判斷一個命題的真假，并且知道要判定一個命題是真命題需要證明；要判定一個命題是假命題，只需舉反例．(重點) 2．知道基本事實、定理和逆定理的含義，以及它們之間的內在聯系． 3．知道基本事實與定理的區別，認識基本事實是進行邏輯推理的基本依據． 知識模塊 探究真命題、假命題、基本事實的相關概念 【合作探究】 教材P53議一議． 1．我們把__正確__的命題叫真命題，把__錯誤__的命題叫假命題． 2．要判斷一個命題是真命題，常常要從命題的__條件__出發，通過__講道理__得出其結論__成立__，從而判斷這個命題為真命題，這個過程叫__證明__． 3．要判斷一個命題是假命題，只需舉出一個__反例__，它符合命題的__條件__，但不滿足命題的__結論__，從而就可以判斷這個命題為假命題． 4．我們把通過證明為真的命題叫__定理__，把人們長期實踐中總結出來的公認的真命題叫__公理__，又叫基本事實． 5．如果一個定理的逆命題被證明是真命題，那么就叫它是原定理的__逆定理__，這兩個定理叫作__互逆定理__． 【自主學習】 1．有下面命題： (1)直角三角形的兩個銳角互余；(2)鈍角三角形的兩個內角互補；(3)兩個銳角的和一定是直角；(4)兩點之間線段最短．其中，真命題有(B) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．判斷下列命題的真假，舉出反例． ①大于銳角的角是鈍角； ②如果一個實數有算術平方根，那么它的算術平方根是整數； ③如果AC＝BC，那么點C是線段AB的中點． 解：①②③都是假命題．①的反例：90°的角大于銳角，但不是鈍角．②的反例：5有算術平方根，但算術平方根不是整數．③的反例：如果AC＝BC，而點A、B、C三點不在同一直線上，那么點C就不是AB的中點． 活動1 小組討論 例1 下列命題中，哪些正確，哪些錯誤？ (1)每一個月都有31天； (2)如果a是有理數，那么a是整數； (3)同位角相等； (4)同角的補角相等． 解：(4)正確，(1)(2)(3)錯誤． 例2 舉反例說明下列命題是假命題． (1)若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等； (2)若ab＝0，則a＋b＝0.解：(1)如：兩條直線平行時的內錯角，這兩個角不是對頂角，但它們相等； (2)如：當a＝5，b＝0時，ab＝0，但a＋b≠0.活動2 跟蹤訓練 1．下列命題中，真命題是(D) A．相等的角是直角 B．不相交的兩條線段平行 C．兩直線平行，同位角互補 D．經過兩點有且只有一條直線 2．寫出你熟悉的一個定理：__兩直線平行，內錯角相等__，寫出這個定理的逆定理：__內錯角相等，兩直線平行__． 3．下列命題是真命題嗎？若不是請舉出反例． (1)只有銳角才有余角． 解：真命題． (2)若x2＝4，則x＝2； 解：假命題，如x＝－2.(3)a2＋1≥1； 解：真命題． (4)若|a|＝－a，則a＜0.解：假命題，如a＝0.活動3 課堂小結 第3課時 命題的證明 1．知道證明的含義及步驟，能用規范的語言進行證明． 2．會證明文字類證明題． 3．能利用反證法進行簡單的證明．(重點) 知識模塊一 探究對命題的證明的步驟 【合作探究】 1．教材P55做一做． 2．教材P56動腦筋． (1)如圖，△ABC的一邊BC延長，則∠ACD叫作△ABC的一個__外角__，∠ACB是與它__相鄰__的內角，∠A、∠B是與它__不相鄰__的內角． (2)三角形的一個外角等于__和它不相鄰的兩個內角的和__． (3)與三角形的一個內角相鄰的外角有__2__個，它們是一對__對頂角__．三角形的外角和等于__360°__． 【自主學習】 1．認真閱讀教材P57例1.2．已知，如圖，AD是△ABD和△ACD的公共邊． 求證：∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.證明：延長AD于E.∵∠BDE＝∠B＋∠BAD，∠CDE＝∠C＋∠CAD.∴∠BDE＋∠CDE＝∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CAD.而∠BDE＋∠CDE＝∠BDC.∠BAD＋∠CAD＝∠BAC.即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.知識模塊二 探究反證法的步驟 【自主學習】 閱讀教材P57例2，學習如何運用反證法． 【合作探究】 用反證法證明：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和． 已知：如圖，在△ABC中，∠ABD是△ABC的一個外角． 求證：∠ABD＝∠A＋∠C.證明：假設∠ABD≠∠A＋∠C.于是就有兩種情況： (1)∠ABD＞∠A＋∠C； 由鄰補角的定義可知：∠ABD＋∠ABC＝180°，則∠A＋∠C＋∠ABC＜180°，這與三角形內角和定理相矛盾，所以∠ABD＞∠A＋∠C不成立； (2)∠ABD＜∠A＋∠C.由鄰補角的定義可知：∠ABD＋∠ABC＝180°，則∠A＋∠C＋∠ABC＞180°，這與三角形內角和定理相矛盾，所以∠ABD＜∠A＋∠C不成立． 所以三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和． 活動1 小組討論 例1 已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點D在線段BA的延長線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.證明：因為∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，所以∠DAC＝2∠B.又因為AE平分∠DAC.所以∠DAC＝2∠DAE.所以∠DAE＝∠B.所以AE∥BC.例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內角． 求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°.證明：假設∠A，∠B，∠C中沒有一個角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A＋∠B＋∠C＜180°.這與“三角形的內角和等于180°”矛盾，所以假設不成立． 因此，∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°.活動2 跟蹤訓練 1．如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點P.求證：∠P＝90°.證明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.又∵∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點P，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°.∵∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°.∴∠P＝90° 2．用反證法證明：兩條直線相交只有一個交點． 已知：如圖兩條相交直線a、b.求證：a與b只有一個交點． 證明：假設a與b不止一個交點，不妨假設有兩個交點A和A′，因為兩點確定一條直線，即經過A和A′的直線有且只有一條，這與已知兩條直線矛盾，假設不成立． 所以a與b只有一個交點． 活動3 課堂小結 2.3 等腰三角形 第1課時 等腰三角形的性質 1．能用語言描述等腰三角形的性質，并會運用性質解決一些簡單的實際問題． 2．能用等腰三角形的性質推導出等邊三角形的性質．(重難點) 知識模塊一 探究等腰三角形和等邊三角形的性質 【合作探究】 教材P61探究． 通過探究，我們得到等腰三角形的性質： 等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角__平分線__所在的直線． 等腰三角形的底邊上的__高__、__中線__及頂角__平分線__重合(通常簡稱為“三線合一”)． 等腰三角形的兩底角__相等__(簡稱“等邊對__等角__”)． 【自主學習】 閱讀教材P62“動腦筋”，可得到等邊三角形的性質： 等邊三角形的三個內角__相等__，且都等于__60°__，有__三__條對稱軸． 知識模塊二 等腰三角形性質和等邊三角形性質的運用 【自主學習】 閱讀教材P62例1～P63“議一議”． 【合作探究】 1．已知：如圖，AB＝AC，F為AC上一點，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝155°.求∠EDF的度數． 解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠B＋∠1＝∠EDF＋∠1＝90°.∴∠B＝∠EDF＝∠C.又∵∠C＝∠AFD－∠FDC＝155°－90°＝65°，∴∠EDF＝65°.2．如圖，△ABC是等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使點B與點C重合，得到△DCE，連接BD，交AC于點F.猜想AC與BD的位置關系，并證明你的結論． 解：AC⊥BD.∵△DCE是由△ABC平移得到的，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCE，又∵△ABC是等邊三角形∴DC＝AB＝BC，∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ACB＋∠DCE＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠ACD，又∵BC＝CD，∴AC⊥BD.活動1 小組討論 例 已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在邊BC上，且AD＝AE.求證：BD＝CE.證明：作AF⊥BC，垂足為點F，則AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線． ∴BF＝CF，DF＝EF.∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.【點撥】利用等腰三角形三線合一的性質求證． 活動2 跟蹤訓練 1．若等腰三角形的頂角為80°，則它的底角度數為(B) A．80° B．50° C．40° D．20° 2．如圖，△ABC是等邊三角形，則∠1＋∠2＝(C) A．60° B．90° C．120° D．180° 第2題圖 第3題圖 3．如圖，在△ABC中，點D是BC上一點，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，則∠C的度數為__25°__． 活動3 課堂小結 第2課時 等腰三角形的判定 1．能感知等腰三角形和等邊三角形判定定理的推導過程，能復述等腰三角形和等邊三角形的判定定理，會用幾何語言進行描述．(重點) 2．能運用判定定理解決一些實際問題．(難點) 知識模塊一 探究等腰三角形的判定定理 【合作探究】 教材P63探究． 通過探究，我們得到等腰三角形的判定定理： 有兩個角__相等__的三角形是等腰三角形．(簡稱為：__等角__對等邊) 思考：在三角形中，如果有三個角相等，你能得出什么結論呢？ 結合三角形內角和定理得出等邊三角形的判定定理： 三個角都是__60°__的三角形是等邊三角形． 【自主學習】 1．閱讀教材P64例2.2．如圖，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求證AB＝AC.證明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC(等角對等邊)． 知識模塊二 運用等腰三角形的判定定理進行證明和計算 【自主學習】 閱讀教材P65例3.【合作探究】 1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且BD平分∠ABC，判斷AB與AD是否相等，并說明理由． 解：相等．理由如下： ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.2．如圖，AB∥CE，AD∥FC，E、A、F在同一直線上，且∠EAD＝∠FAB.(1)△CEF是等腰三角形嗎？請說明理由； (2)想一想：△CEF的哪兩條邊之和等于四邊形ABCD的周長？并說明理由． 解：(1)△CEF是等腰三角形．理由如下：∵AB∥CE，∴∠FAB＝∠E.∵AD∥FC，∴∠EAD＝∠F.又∵∠EAD＝∠FAB，∴∠F＝∠E，∴△CEF是等腰三角形． (2)四邊形ABCD的周長＝FC＋EC.理由如下：∵∠FAB＝∠E，∠EAD＝∠FAB，∴∠E＝∠EAD，∴AD＝DE.∵∠EAD＝∠F，∠EAD＝∠FAB.∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF，∴四邊形ABCD的周長為：AB＋BC＋CD＋AD＝BF＋BC＋CD＋DE＝FC＋EC.活動1 小組討論 例1 已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC.求證：△ADE為等腰三角形． 證明：因為AB＝AC，所以∠B＝∠C.又因為DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.所以∠ADE＝∠AED.所以△ADE為等腰三角形． 例2 已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BA，CA的延長線上，且AD＝AE.求證：△ADE為等邊三角形． 證明：因為△ABC是等邊三角形，所以∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.所以∠EAD＝∠BAC＝60°.又因為AD＝AE，所以△ADE為等邊三角形(有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形)． 活動2 跟蹤訓練 1．已知a，b，c是三角形的三邊長，且滿足(a－b)2＋|b－c|＝0，則這個三角形一定是(B) A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．不等邊三角形 2．下列命題：①有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊三角形．其中正確的是__①__(只填序號)． 3．如圖，△ABC為等邊三角形，∠1＝∠2＝∠3，試判斷△DEF的形狀，并說明理由． 解：△DEF是等邊三角形．理由：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵∠FDB＝∠FDE＋∠1＝∠A＋∠2，∠1＝∠2.∴∠FDE＝∠A＝60°.同理：∠DEF＝60°，∠DFE＝60°.∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，∴△DEF是等邊三角形． 活動3 課堂小結 2．4 線段的垂直平分線 第1課時 線段垂直平分線的性質和判定 1．通過作圖，探究、總結、歸納垂直平分線的性質．識記并能用幾何語言描述線段的垂直平分線的性質定理及其逆定理．(重點) 2．會運用垂直平分線的性質定理及其逆定理解決實際問題．(難點) 知識模塊一 探究線段垂直平分線的性質定理及判定定理 【合作探究】 教材P68探究～P69動腦筋． 如果兩點A、A′關于直線l對稱，則l是線段__AA′__的垂直平分線；如果l是線段AA′的垂直平分線，則點__A__與點__A′__關于直線l對稱． 結合軸對稱的性質可以歸納得出線段的垂直平分線的性質定理與判定定理： 1．線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離__相等__． 2．到線段兩端距離相等的點在線段的__垂直平分線__上． 【自主學習】 1．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分線，請寫出圖中相等的線段：__BE＝CE，BD＝CD，AE＝AC＝EC＝BE__． 2．如圖，AD⊥BC于點D，D為BC的中點，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點O，連接OC，若∠AOC＝125°，則∠ABC＝__70°__． 知識模塊二 運用線段的垂直平分線的判定定理解決問題 【自主學習】 閱讀教材P69例題． 【合作探究】 1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交BC邊與點E，垂足為D，AC的垂直平分線交BC邊于點N，垂足為M.(1)求△AEN的周長； (2)求∠EAN的度數； (3)判斷△AEN的形狀． 解：(1)根據線段垂直平分線的性質定理得：AE＝BE，AN＝NC，因此△AEN的周長等于BC的長，即△AEN的周長為12； (2)在△ABC中，因為∠BAC＝120°，AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30°，再由題中條件易得∠AEN＝2∠B＝60°，∠ENA＝2∠C＝60°，所以∠EAN＝60°； (3)由(2)易知△AEN是等邊三角形． 活動1 小組討論 例 已知：如圖，在△ABC中，AB，BC的垂直平分線相交于點O，連接OA，OB，OC.求證：點O在AC的垂直平分線上． 證明：因為點O在線段AB的垂直平分線上． 所以OA＝OB.同理：OB＝OC.∴OA＝OC.所以點O在AC的垂直平分線上． 活動2 跟蹤訓練 1．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA＝5，則線段PB的長度為(B) A．6 B．5 C．4 D．3 第1題圖 第3題圖 2．在銳角△ABC內一點P滿足PA＝PB＝PC，則點P是△ABC的(D) A．三條角平分線的交點 B．三條中線的交點 C．三條高的交點 D．三邊垂直平分線的交點 3．如圖，在△ABC中，EF是AC的垂直平分線，AF＝12，BF＝3，則BC＝__15__． 4．到平面內不在同一直線上的三個點A、B、C的距離相等的點有__1__個． 活動3 課堂小結 第2課時 作線段的垂直平分線 1．知道尺規作圖法及其具體要求． 2．會用尺規作線段的垂直平分線以及會寫其作法，理解作圖的原理．(重難點) 3．會用尺規作直線的垂線以及會寫其作法，理解作圖的原理． 知識模塊一 利用直尺和圓規作已知線段的垂直平分線 【合作探究】 教材P70做一做． 1．要作出一條線段的垂直平分線，只要找到線段的垂直平分線上的任意__兩__點． 2．線段AB的垂直平分線的作法． (1)分別以點__A__和點__B__為圓心，以__大于AB__的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和點D； (2)過點C、D作直線__CD__，則直線__CD__就是線段AB的垂直平分線． 【自主學習】 1．已知線段AB，求作線段AB的中點O.分析：線段的__垂直平分線__經過線段的中點． 作法：作線段AB的垂直平分線CD，交線段AB于點O.點O就是線段AB的中點． 2．教材P72“練習1”． 知識模塊二 過已知點作已知直線的垂線 【合作探究】 教材P71動腦筋． 【自主學習】 1．已知直線l和l外一點P，利用尺規作l的垂線，使它經過點P。 作法：1.在直線l與點P的另一側任取一點M，以點P為圓心，以PM的長為半徑作弧交直線l于A、B兩點；2.分別以點A和點B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點Q；3.作直線PQ，則直線PQ為直線l的垂線． 2．在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圓規在AC上求作一點P，使點P到A、B兩點的距離相等．(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)． 活動1 小組討論 例1 如圖，已知線段AB，作線段AB的垂直平分線． 解：作法：①分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C和點D； ②過點C，D作直線CD，則直線CD就是線段AB的垂直平分線． 例2 如何過一點P作已知直線l的垂線呢？ 解：點P與已知直線l的位置關系有兩種：點P在直線l上或點P在直線l外． (1)當點P在直線l上．作法： ①在直線l上點P的兩旁分別截取線段PA，PB，使PA＝PB； ②分別以A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C； ③過點C，P作直線CP，則直線CP為所求作的直線． (2)當點P在直線l外．作法： ①以點P為圓心，大于點P到直線l的距離的線段長為半徑畫弧，交直線l于點A，B； ②分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C； ③過點C，P作直線CP，則直線CP為所求作的直線． 活動2 跟蹤訓練 1．下列作圖屬于尺規作圖的是(D) A．畫線段MN＝3 cm B．用量角器畫出∠AOB的平分線 C．用三角尺作過點A垂直于直線l的直線 D．已知∠α，用沒有刻度的直尺和圓規作∠AOB，使∠AOB＝2∠α 2．△ABC的邊AB的垂直平分線經過點C，則有(C) A．AB＝AC B．AB＝BC C．AC＝BC D．∠B＝∠C 活動3 課堂小結 →→ 2．5 全等三角形 第1課時 全等三角形及其性質 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的對應元素． 2．知道全等三角形的性質，能用符號正確地表示兩個三角形全等．(重難點) 知識模塊一 探究全等三角形的性質及讀法和寫法 【自主學習】 教材P74做一做． 1．能夠完全重合的兩個圖形叫作__全等圖形__，能夠完全重合的兩個三角形叫作__全等三角形__．用“≌”表示兩個三角形全等． 2．兩個全等三角形重合時互相重合的頂點叫作__對應頂點__，互相重合的邊叫作__對應邊__，互相重合的角叫作__對應角__． 【合作探究】 教材P74動腦筋． 能夠完全重合的兩個三角形叫作__全等三角形__． 全等三角形的對應邊__相等__；對應角__相等__． 如圖，已知△ABE≌△ACD，∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C，指出其他的對應邊和對應角． 解：AB與AC，AD與AE，BE與CD是對應邊； ∠BAE與∠CAD是對應角． 練習：如圖，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是對應頂點，說出這兩個三角形中的對應邊和對應角． 解：OA與OD，OC與OB，AC與DB是對應邊； ∠C與∠B，∠A與∠D，∠AOC與∠DOB是對應角． 知識模塊二 全等三角形性質的運用 【自主學習】 閱讀教材P75例1，注意全等三角形性質的運用． 【合作探究】 如圖所示，四邊形ABCD中，AM平分∠CAD，CN平分∠ACB，△ACB≌△CAD.請探究AM和CN的位置關系，并說明理由． 解：AM∥CN.理由：因為△ACB≌△CAD，所以∠ACB＝∠CAD.因為CN平分∠ACB，AM平分∠CAD，所以∠ACN＝∠ACB，∠CAM＝∠CAD，所以∠ACN＝∠CAM，所以AM∥CN.活動1 小組討論 例 如圖，已知△ABC≌△DCB，AB＝3，DB＝4，∠A＝60°.(1)寫出△ABC和△DCB的對應邊和對應角； (2)求AC，DC的長及∠D的度數． 解：(1)AB與DC、AC與DB、BC與CB是對應邊；∠A與∠D、∠ABC與∠DCB、∠ACB與∠DBC是對應角． (2)∵AC與DB、AB與DC是全等三角形的對應邊，∴AC＝DB＝4，DC＝AB＝3.∵∠A與∠D是全等三角形的對應角． ∴∠D＝∠A＝60°.活動2 跟蹤訓練 如圖，△ABC≌△CDA.求證：AB∥CD.證明：∵△ABC≌△CDA，∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥CD.【點撥】注意對應關系． 活動3 課堂小結 通過本節課學習，我們了解了全等的概念，發現了全等三角形的性質，并且利用性質可以找到兩個全等三角形的對應元素．這也是這節課大家要重點掌握的． 第2課時 全等三角形的判定1——SAS 1．體會從圖形的平移、軸反射、旋轉變換出發，得出三角形全等的基本事實——邊角邊． 2．能應用邊角邊證明兩個三角形全等．(重難點) 3．學會綜合應用邊角邊以及幾何的相關知識，進行簡單的推理論證． 知識模塊一 探索發現三角形全等的基本事實1 【合作探究】 教材P76探究． 每位同學在紙上的兩個不同位置分別畫兩個三角形，使它們都有一個角等于50°，且夾這個角的兩條邊分別都是2 cm和2.5 cm.將這兩個三角形剪下來疊在一起，你發現了什么？__完全重合__． 從而得出判定兩個三角形全等的基本事實： 有兩邊和這兩邊的__夾角__分別對應__相等__的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或__SAS__ 【自主學習】 如圖所示，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求證：△ABD≌△ACE.證明：∵∠BAC＝∠1＋∠2，∠DAE＝∠3＋∠2且∠BAC＝∠DAE，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠1＝∠3.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)． 知識模塊二 “邊角邊”的運用 【自主學習】 教材P78例2 【合作探究】 已知如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，連接BM、AN.求證：AN＝MB.證明：∵△ACM、△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB(SAS)． ∴AN＝MB.活動1 小組討論 例 已知：如圖，AB和CD相交于點O，且AO＝BO，CO＝DO.求證：△ACO≌△BDO.證明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO(SAS)． 【點撥】利用“SAS”證明兩個三角形全等，只要找到兩條邊及其夾角相等即可． 活動2 跟蹤訓練 1．已知：如圖，AB∥CD，AB＝CD.求證：AD∥BC.證明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠1.在△CDB與△ABD中，CD＝AB，∠2＝∠1，BD＝DB，∴△CDB≌△ABD(SAS)．∴∠4＝∠3.∴AD∥BC.【點撥】可從問題出發，要證線段平行只需證角相等即可(∠3＝∠4)，而證角相等可證角所在的三角形全等． 2．如圖，將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三點共線，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，連接AE、CD，試確定AE與CD的關系，并證明你的結論． 解：結論：AE＝CD，AE⊥CD.理由如下(提示)：可延長AE交CD于點F，先證△ABE≌△CBD，得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD.又∠AEB＝∠CEF，可得∠CFE＝90°，即AE⊥CD.【點撥】1.注意挖掘等腰直角三角形中的隱藏條件.2.線段的關系分數量與位置兩種關系． 活動3 課堂小結 1．利用對頂角、公共角、直角用SAS證明三角形全等． 2．用“分析法”尋找命題結論也是一種推理論證的方法，即從結論出發逐步遞推到題中條件，常以此作為分析尋求推理論證的途徑． 第3課時 全等三角形的判定2——ASA 1．從圖形的平移、軸反射、旋轉變換出發，探究三角形全等的判定定理——角邊角． 2．會應用角邊角證明兩個三角形全等。(重點) 3．學會綜合應用邊角邊、角邊角以及相關的幾何知識，解決較復雜的幾何問題．(難點) 知識模塊一 探索發現三角形全等的基本事實2 【合作探究】 教材P79探究． 歸納得出判定兩個三角形全等的基本事實2： 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形__全等__，簡寫為“角邊角”或“__ASA__”． 【自主學習】 1．閱讀教材P79例3.2．如圖，已知∠A＝∠D，EF∥BC，那么要用ASA得到△ABC≌△DEF，還要添加條件__AC＝DF或AF＝DC__． 知識模塊二 “角邊角”的運用 【自主學習】 教材P80例4.【合作探究】 如圖，∠B＝∠C，點D、E、F分別在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B.求證：ED＝EF.證明：∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，又∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.在△EBD與△FCE中，∴△EBD≌△FCE(ASA)． ∴ED＝EF.活動1 小組討論 例1 已知：如圖，點A，F，E，C在同一條直線上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.求證：△ABE≌△CDF.證明：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(ASA)． 【點撥】根據兩直線平行可得出∠A＝∠C，再根據已知條件即可根據ASA判定兩三角形全等． 例2 如圖，為測量河寬AB，小軍從河岸的A點沿著AB垂直的方向走到C點，并在AC的中點E處立一根標桿，然后從C點沿著河AC的垂直方向走到D點，使點D，E，B恰好在一條直線上．于是小軍說：“CD的長就是河的寬度．”你能說出這個道理嗎？ 解：在△AEB和△CED中，∴△AEB≌△CED(ASA)． ∴AB＝CD.因此，CD的長度就是河的寬度． 【點撥】根據△AEB≌△CED即可得出CD的長就是河寬AB的長． 活動2 跟蹤訓練 1．如圖，AC、BD相交于點O，∠A＝∠D，由“ASA”判定△AOB≌△DOC，則需要添加的一個條件是__AO＝DO__.第1題圖 第2題圖 2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BDC＝∠BDA，∠ABD＝∠CBD，若AD＝3 cm，則CD＝__3__cm__.3．如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點，DF交AC于點E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，則AB的長為__7__． 第3題圖 第4題圖 4．如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AC＝AD.證明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，∴△ABC≌△ABD(ASA)．∴AC＝AD.活動3 課堂小結 本課時主要學習了哪些知識與方法？有何收獲和感悟？還有哪些疑惑？ 第4課時 全等三角形的判定3——AAS 1．會從全等三角形的角邊角推導出角角邊；并能區別角邊角與角角邊． 2．會應用角角邊證明兩個三角形全等．(重點) 3．會綜合應用邊角邊、角邊角、角角邊以及相關的幾何知識，解決較復雜的幾何問題．(難點) 如圖，在△ABC和△A′B′C′中，已知AC＝A′C′，∠C＝∠C′，根據我們學過的全等三角形的判定方法，還缺少一個條件，請你補充一個條件，使這兩個三角形全等．并說明根據是什么？ 解：補充：∠A＝∠A′(角邊角)，或者BC＝B′C′(邊角邊)，問題：如果填“∠B＝∠B′”能否判斷△ABC和△A′B′C′全等呢？ 知識模塊一 推出三角形全等的判定定理“角角邊”定理 【合作探究】 1．教材P81動腦筋． 2．探究上面的問題： 在△ABC和△A′B′C′中，AC＝A′C′，∠C＝∠C′，∠B＝∠B′.由三角形內角和定理可推出__∠A＝∠A′__，從而由“__ASA__”得出△ABC≌A′B′C′.歸納得出判斷兩個三角形全等的定理： 有兩角和其中一角的__對邊__對應__相等__的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“__AAS__”． 【自主學習】 1．閱讀教材P81例5.2．如圖，已知AC＝DF，EF∥BC，那么要用AAS得到△ABC≌△DEF，還要添加條件__∠B＝∠E__，并證明． 證明：∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE.在△ABC與△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)． 知識模塊二 “角角邊”定理的運用 【自主學習】 閱讀教材P82例6.【合作探究】 已知，BE、CD相交于F，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求證：DF＝EF.證明：∵∠ADF＝∠B＋∠3，∠AEF＝∠C＋∠4，且∠B＝∠C，∠3＝∠4，∴∠ADF＝∠AEF.在△AFD和△AFE中，∴△AFD≌△AFE(AAS)． ∴DF＝EF.活動1 小組討論 例1 已知：如圖，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△ADC.證明：因為∠1＝∠2，所以∠ACB＝∠ACD.在△ABC和△ADC中，所以△ABC≌△ADC(AAS)． 例2 已知：如圖，點B，F，C，E在同一條直線上，AC∥FD，∠A＝∠D，BF＝EC.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE.∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)． 活動2 跟蹤訓練 1．已知AC＝A′C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，則判定△ABC≌△A′B′C′的根據是(C) A．SAS B．ASA C．AAS D．不確定 2．如圖所示，∠CAB＝∠DBA，∠C＝∠D，AC、BD相交于點E，下列結論不正確的是(B) A．∠DAE＝∠CBE B．△DEA與△CEB不全等 C．CE＝DE D．EA＝EB 第2題圖 第3題圖 3．如圖，點B、E、F、C在同一直線上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要根據“AAS”判定△ABF≌△DCE，需要增加的一個條件是__BE＝CF或BF＝CE或AF＝DE__． 4．如圖，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2.求證：AB＝AD.證明：∵AC平分∠BAD.∴∠BAC＝∠DAC.∵∠1＋∠ABC＝180°，∠2＋∠ADC＝180°，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ADC.又AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴AB＝AD.活動3 課堂小結 本課時主要學習了哪些知識與方法？有何收獲和感悟？還有哪些疑惑？ 第5課時 全等三角形的判定4——SSS 1．理解邊邊邊的推導過程，并聯系生活說出三角形的穩定性在生產和生活中的應用． 2．會應用邊邊邊證明兩個三角形全等．(重點) 3．學會綜合應用邊角邊、角邊角、角角邊和邊邊邊以及相關的幾何知識，解決較復雜的幾何問題．(難點) 知識模塊一 通過實驗檢驗與推理得出“邊邊邊” 【合作探究】 教材P82探究． 推理探究“邊邊邊”： 如圖，在△ABC與△ABD中，AC＝AD，BC＝BD，AB＝AB.求證：△ABC≌△ABD.證明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.又∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ADC＋∠BDC，即∠ACB＝∠ADB.在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD(SAS)． 歸納得出判定兩個三角形全等的基本事實： 三邊分別相等的兩個三角形__全等__，簡寫為“__邊邊邊__”或“__SSS__”． 由“SSS”可知，只要三角形三邊的長度確定，那么這個三角形的形狀和大小也就固定了，三角形的這個性質叫作三角形的__穩定性__．一些大型的電線塔常常用三角形的結構去建造，這是運用三角形的__穩定性__． 【自主學習】 認真閱讀教材P83例7.知識模塊二 “邊邊邊”的運用 【自主學習】 認真閱讀教材P84例8，進一步體會證全等的一般步驟． 【合作探究】 已知，如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.求證：∠C＝∠A.證明：連接BD.在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SSS)． ∴∠C＝∠A.活動1 小組討論 例1 已知：如圖，AB＝CD，BC＝DA.求證：∠B＝∠D.證明：在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA(SSS)．∴∠B＝∠D.例2 已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在BC上，且AD＝AE，BE＝CD.求證：△ABD≌△ACE.證明：∵BE＝CD，∴BE－DE＝CD－DE，即BD＝CE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SSS)． 活動2 跟蹤訓練 1．如圖，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，則由“SSS”可以判定(B) A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不對 2．如圖，工人師傅制作了一個窗架，把窗架立在墻上之前，在上面釘了兩塊等長的木條GF與GE，釘這兩塊木條的原理是__三角形的穩定性__． 第2題圖 第3題圖 3．如圖，在△ADF和△CBE中，AE＝CF，AD＝CB，當添加條件__DF＝BE__時，就可根據“SSS”判定△ADF≌△CBE.4．如圖，已知AB＝DC，AC＝DB.求證：∠A＝∠D.證明：在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.∴∠A＝∠D.活動3 課堂小結 本課時主要學習了哪些知識與方法？有何收獲和感悟？還有哪些疑惑？ 第6課時 全等三角形判定方法的綜合運用 1．回顧證明兩個三角形全等的四種判定方法，理解判定三角形全等的條件． 2．學會根據題目條件靈活運用SAS，ASA，AAS，SSS解決問題．(重點) 3．綜合應用全等三角形的性質及判定，解決較為復雜的問題．(難點) 知識模塊一 通過實驗檢驗得出“邊邊角”、“角角角”不能判定三角形全等 【合作探究】 教材P85“議一議”． 探究1：在紙上分別畫如下兩個三角形，AB＝A′B′＝3 cm，AC＝A′C′＝2.5 cm，∠B＝∠B′＝45°.把它們剪下來，你發現它們能互相重合嗎？__不一定__． 由此得出結論： 兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等． 探究2：三個角相等的兩個三角形，如30°，70°，80°，它們一定全等嗎？__不一定__． 由此得出結論： 三個角分別相等的兩個三角形不一定全等． 【自主學習】 如圖，給出下列四組條件： ①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ②AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D； ③∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，∠A＝∠D； ④AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D.其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有(B) A．1組 B．2組 C．3組 D．4組 知識模塊二 運用已學方法判定兩個三角形全等 【自主學習】 閱讀教材P85例9～P86例10，進一步理解三角形全等判定方法的運用． 【合作探究】 如圖，(1)已知：AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求證：BD＝AC； (2)已知：AD＝BC，AC＝BD，求證：∠ACD＝∠BDC.證明：(1)在△ABD和△BAC中，∴△ABD≌△BAC(SAS)． ∴BD＝AC.(2)在△ADC和△BCD中，∴∠ACD＝∠BDC.活動1 小組討論 例1 已知，如圖，AC與BD相交于點O，且AB＝DC，AC＝DB.求證：∠A＝∠D.證明：連接BC.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SSS)． ∴∠A＝∠D.例2 某地在山區修建高速公路時需挖通一條隧道，為估測這條隧道的長度，需測出這座山A，B間的距離，結合所學知識，你能給出什么好方法嗎？ 解：選擇某一合適的地點O，使得從O點能測出AO，BO的長度．連接AO并延長至A′，使OA′＝OA；延長BO并延長至B′，使OB′＝OB，連接A′B′，這樣就構造出兩個三角形． 在△AOB和△A′OB′中，∴△AOB≌ △A′OB′(SAS)． ∴AB＝A′B′.因此只要測出A′B′的長度就能得到這座山A，B間的距離． 活動2 跟蹤訓練 1．下列條件能判定兩個三角形全等的是(D) A．有兩條邊對應相等的兩個三角形 B．有兩邊及一角對應相等的兩個三角形 C．有三角對應相等的兩個三角形 D．有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形 2．如圖，下列條件中，不能證明△ABC≌△DCB的是(D) A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠A＝∠D 3．把兩根鋼條A′B、B′A的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具(卡鉗)，如圖，若測得AB＝5 cm，則槽寬為__5__cm__． 4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求證：∠ABC＝∠CDA.證明：連接AC.在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝AD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SSS)． ∴∠ABC＝∠CDA.活動3 課堂小結 本課時主要學習了哪些知識與方法？有何收獲和感悟？還有哪些疑惑？ 2.6 用尺規作三角形 第1課時 已知三邊作三角形 掌握在已知三邊的條件下作三角形和已知底邊及底邊上的高作等腰三角形的方法步驟．(重難點) 知識模塊一 在已知三邊的條件下作三角形 【合作探究】 教材P89～P90.1．已知三邊作三角形．已知一個三角形三條邊分別為a，b，c，求作這個三角形． 解：圖略．作法：(1)先作線段BA＝c；(2)分別以點B，點A為圓心，以a，b為半徑畫弧交于點C；(3)連接AC，BC，則△ABC即為所求． 2．已知底邊和底邊上的高分別為a和h，作等腰三角形． 解：作法：(1)先作線段BC＝a；(2)作線段BC的垂直平分線MN交BC于點D；(3)在射線DM(或DN)上截取線段DA，使DA＝h；(4)連接AB，AC，則如圖△ABC為所求作的等腰三角形． 【自主學習】 如圖①所示，已知線段a，b，b＞a，求作△ABC，使AB＝AC，BC＝a，AB＋AC＝b.作法：(1)作線段__BC__＝a； (2)分別以__點B、點C__為圓心，以__b長__為半徑畫弧，兩弧交于__A__點； (3)連接__AB__、__AC__，__△ABC__就是所求作的三角形(如圖②)． 知識模塊二 作一個角的角平分線 【自主學習】 認真閱讀教材P90“做一做”，特別要注意作法． 已知一個角，求作這個角的平分線．(寫出已知、求作、作法) 解：已知：∠MON.求作：射線OC，使OC平分∠MON.作法：1.以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OM、ON于A、B； 2．分別以A、B為圓心，相等的長R(R＞AB)為半徑畫弧，兩弧相交于點C； 3．作射線OC，則射線OC即為所求作的角平分線． 【合作探究】 思考：你能用已學知識說一說上面作出的射線為什么是已知角的平分線嗎？ 解：連接BC、AC.由作圖可知，OB＝OA，BC＝AC.在△BOC和△AOC中，∴△BOC≌△AOC(SSS)． ∴∠BOC＝∠AOC，即所作射線OC是∠AOB的平分線． 活動1 小組討論 例1 如圖，已知線段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜邊AB＝a，直角邊AC＝b.(用尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法) 解：如圖，△ABC為所求作的直角三角形． 活動2 跟蹤訓練 1．在下列作圖題中，可直接用“SSS”條件作出三角形的是(A) A．已知腰和底邊，作等腰三角形 B．已知兩條直角邊，作直角三角形 C．已知高，作等邊三角形 D．已知腰長，作等腰直角三角形 2．如圖，已知∠AOB，按下列語句作圖： (1)用直尺和圓規作出∠AOB的平分線OP； (2)在射線OP上任取一點C，過點C作OA，OB的垂線，垂足分別為點D、點E； (3)試找出線段CD、線段CE的長度關系，并說明理由． 解：(1)如圖所示：OP即為所求． (2)如圖所示：CD，CE，即為所求． (3)DC＝EC，理由：∵OP平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴DC＝EC(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)． 活動3 課堂小結 本課時主要學習了已知三邊作三角形以及如何作一個角的平分線． 第2課時 已知邊、角作三角形 1．掌握已知邊、角作三角形的作圖方法．(重點) 2．利用基本作圖，掌握“已知兩邊及其夾角作三角形”和“已知兩角及其夾邊作三角形”的方法與步驟．(難點) 知識模塊一 基本作圖“作一個角等于已知角” 【合作探究】 教材P91動腦筋． 探究：已知∠AOB.求作一個角，使它等于∠AOB.作法：(1)作射線__O′A′__； (2)以O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交__OA__于點C，交__OB__于點D； (3)以O′為圓心，以__OC__的長為半徑畫弧，交O′A′于點C′； (4)以點C′為圓心，以__CD__的長為半徑畫弧，交前弧于點D′； (5)過D′作射線__O′B′__，則∠A′O′B′就是所求作的角． 【自主學習】 運用所學知識，說一說為什么∠A′O′B′為所求作的角？ 證明：∵在△C′O′D′和△COD中，∴△C′O′D′≌△COD(SSS)． ∴∠C′O′D′＝∠COD，即∠A′O′B′＝∠AOB，∴∠A′O′B′為所求作的角． 知識模塊二 已知邊、角作三角形 【自主學習】 閱讀教材P92，完成下題： 已知∠α和線段a，b，如何求作△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AC＝b呢？(畫出草圖，寫作法) 作法：(1)作∠MCN＝__∠α__； (2)在射線CM，CN上分別截取__CB＝a__，CA＝b； (3)__連接AB__，則△ABC為所求作的三角形． 【合作探究】 已知兩條線段a，b.求作△ABC，使∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a.解：作法： 1．作直線MN，在直線MN上取點C； 2．作∠MCN的平分線CE； 3．在CE上截取CA＝b，在CM上截取CB＝a； 4．連接AB，則△ABC為所求作的三角形． 活動1 小組討論 例 已知∠α和線段a，b，如何求作△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AC＝b呢？(畫出草圖，寫作法) 圖略 (1)作∠MCN＝__∠α__； (2)在射線CM，CN上分別截取__BC＝a__，CA＝b； (3)__連接AB__，則△ABC為所求作的三角形． 活動2 跟蹤訓練 已知∠α和線段a.求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝a.解：圖略． 活動3 課堂小結 本課時主要學習了已知邊、角作三角形等基本尺規作圖的方法． 第3章 實 數 3．1 平方根 第1課時 平方根、算術平方根 1．能熟練地求出一個正數的平方根和算術平方根．(重難點) 2．理解開平方與平方兩者之間的聯系與區別． 3．認識非負數的平方根的特點．(重點) 知識模塊一 探究平方根及算術平方根的概念及其性質 【合作探究】 教材P105動腦筋和探究． 1．平方根及算術平方根的概念：如果有一個數r，使得r2＝a，那么我們把r叫作a的一個__平方根__，也叫作__二次方根__．一般地，如果r是正數a的一個平方根，那么a的平方根有且只有兩個：__r__與__－r__．我們把正數a的正平方根叫作a的__算術平方根__，記作____，讀作__根號a__；a的負平方根記作__－__，讀作__負根號a__．例如，9的平方根是__3__與__－3__，即__±＝±3__． 2．平方根的性質： (1)0的平方根就是__0__本身，記作____，即＝__0__； (2)任何一個數的平方都不會是負數，因此__負數沒有平方根__． 3．開平方的概念： 求一個非負數的平方根的運算，叫作__開平方__． 【自主學習】 1．36的平方根是__±6__；的平方根是__±__． 2．81的算術平方根是__9__；的算術平方根是____． 3．一個數的平方根包括它本身，這個數是__0或1__；一個數的平方根是它本身，這個數是__0__． 4.的算術平方根是__2__． 知識模塊二 平方根和算術平方根的計算 【自主學習】 認真閱讀教材P107例1、例2.【合作探究】 1．求下列各數的平方根： (1)196； 解：由于142＝196，因此196的平方根是14和－14，即±＝±14； (2)2.56.解：由于1.62＝2.56，因此2.56的平方根是1.6和－1.6，即±＝±1.6.2．若2m－4與3m－1是同一個正數的兩個平方根，則m為__1__． 3．求下列各數的算術平方根： (1)121； 解：由于112＝121，因此＝11； (2)6.25.解：由于2.52＝6.25，因此＝2.5.4．a的算術平方根是4，b是36的算術平方根，則a－b＝__10__． 活動1 小組討論 例1 分別求下列各數的平方根：36，1.21.解：由于62＝36，因此36的平方根是6與－6，即±＝±6.由于()2＝，因此的平方根是與－，即±＝±.由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1與－1.1，即±＝±1.1.【點撥】求一個數的平方根就是求平方等于這個數的數，一個正數的平方根有兩個且互為相反數． 例2 分別求下列各數的算術平方根：100，0.49.解：由于102＝100，因此＝10.由于()2＝，因此＝.由于0.72＝0.49，因此＝0.7.活動2 跟蹤訓練 1．下列說法不正確的是(C) A．－是2的平方根 B.是2的平方根 C．2的平方根是 D．2的算術平方根是 【點撥】一個正數的平方根有兩個，算術平方根是平方根中非負的平方根． 2．求下列各式的值： (1)±；(2)－；(3)； (4)±.解：(1)±1.7；(2)－；(3)；(4)±11.活動3 課堂小結 本節課學習了平方根、算術平方根的概念，理解了平方和開平方互為逆運算． 第2課時 無理數、用計算器求算術平方根 1．理解無理數的概念和它的本質特征．(重點) 2．正確使用計算器求一個數的算術平方根．(重點) 知識模塊一 探究無理數的概念和它的本質特征 【合作探究】 由教材P109“動腦筋”可猜想，面積為8 cm2的正方形，它的邊長是一個小數點后面的位數可以不斷__增加__的小數． 結論：我們把無限不循環小數叫作__無理數__． 1．根據實際需要，往往用一個__有限小數__來近似地表示一個無理數．例如，π＝3.14159265…，用四舍五入法精確到百分位的近似值是__3.14__，精確到0.001的近似值是__3.142__． 2．無理數分為正無理數和__負無理數__． 【自主學習】 1．寫出一個大于1且小于2的無理數__(答案不唯一)__． 2．在－5，－0.1，中，____是無理數． 3．有下列各數：3.14，π，0，3.1 .4 .，3.1414414441….其中__3.14，0，3.1__.4__.____是有理數，__π，3.1414414441…__是無理數． 知識模塊二 正確使用計算器求一個數的算術平方根 【自主學習】 1．認真閱讀教材P110例3，學習用計算器求一個無理數的值的方法． 2．用計算器求的近似值(精確到小數點后第三位)． 解：依次按鍵：，顯示：7.141428429，所以，≈7.141.【合作探究】 教材P111第10題． 用計算器分別計算：，，.你能發現什么規律？ 解：＝0.03，＝0.3，＝3，＝30，＝300.我發現：被開方數擴大100倍，它的算術平方根擴大10倍． 活動1 小組討論 例 用計算器求下列各式的值． (1)； (2) (精確到小數點后面第三位)． 解：(1)依次按鍵：，顯示：32，所以，＝32.(2)依次按鍵：，顯示：2.828427125，所以，≈2.828.活動2 跟蹤訓練 1．下列說法正確的是(B) A．無理數只是有限小數 B．無理數是無限不循環小數 C．無限小數是無理數 D.是分數 2．在，3.1415926，0.7070070007…(每兩個7之間0的個數逐次加1)，0.6，2π中，無理數有(B) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．用計算器求下列各數的值(精確到0.01)： ≈__2.50__； ≈__0.49__； ≈__11.11__； ≈__7.54__． 活動3 課堂小結 學生概括：1.什么是無理數？ 2．怎樣用計算器求算術平方根？ 3.2 立方根 1．通過對具體問題的分析，使學生感受到立方根在現實世界中的客觀存在，了解立方根的概念． 2．會求某些數的立方根，能用計算器求一個數的立方根及其近似值． 知識模塊一 立方根的概念 【自主學習】 認真閱讀教材P112，理解開立方與立方是互逆運算． 【合作探究】 體積為8 cm3的正方體，它的棱長是2 cm.在實際問題中，有時要找一個數，使它的立方等于給定的數，由此我們給出： 結論：如果一個數b，使得b3＝a，那么我們把b叫作a的一個__立方根__．也叫作__三次方根__．a的立方根記作，讀作__立方根號a__或__三次根號a__． 求__一個數的立方根的運算__，叫作開立方，開立方與立方互為__逆運算__． 因為33＝27，所以__3__是27的一個立方根，即＝__3__． 因為(－3)3＝－27，所以－3是__－27__的一個立方根，即＝__－3__． 練習： 1．－2013的立方根用符號表示，正確的是(A) A.B．＋ C．－ D.2．－8的立方根是(B) A．2 B．－2 C.D．－ 3.的絕對值是(A) A．3 B．－3 C.D．－ 知識模塊二 求一個數的立方根 【自主學習】 認真閱讀教材P113例1、例2、例3.【合作探究】 1．分別求下列各數的立方根： (1)；(2)－0.125.解：(1)由于()3＝，因此＝； (2)由于(－0.5)3＝－0.125，因此＝－0.5.2．用計算器求－1.728的立方根． 解：按鍵：，顯示：－1.2，所以：＝－1.2.3．用計算器求的近似值(精確到0.001)． 解：按鍵：，顯示：1.709975947，所以≈1.710.活動1 小組討論 例1 分別求下列各數的立方根：1，0，－0.064.解：由于13＝1，因此＝1； 由于()3＝，因此＝； 由于03＝0，因此＝0； 由于(－0.4)3＝－0.064，因此＝－0.4.【點撥】可根據開立方與立方互為逆運算來求立方根． 例2 用計算器求下列各數的立方根： 343，－1.331.解：按鍵 顯示：7，所以，＝7.按鍵：，顯示：－1.1，所以，＝－1.1.例3 用計算器求的近似值(精確到0.001)． 解：按鍵：，顯示：1.25992105，所以，≈1.260.【點撥】許多有理數的立方根都是無理數，如，…都是無理數，但我們可以用有理數來近似地表示它們． 活動2 跟蹤訓練 1．下列等式成立的是(C) A.＝±1 B.＝15 C.＝－5 D.＝－3 2．立方根等于它本身的數是__±1，0__． 3．求下列各數的立方根． (1)27；(2)；(3)－63.解：(1)3.(2).(3)－6.4．下列各式是否有意義？為什么？ (1)－；(2)；(3)；(4).解：(1)、(3)、(4)有意義，因為任何一個數都有立方根；(2)沒有意義，因為負數沒有平方根． 活動3 課堂小結 1．一個數只有一個立方根，且當a＞0時，＞0；a＝0時，＝0，a＜0時，＜0.2.＝－.3．立方與開立方互為逆運算，利用這種關系可以求一個數的立方根． 3.3 實數 第1課時 實數的有關概念 1．了解實數的概念，能對實數按要求進行分類．(重點) 2．了解實數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣．(重點) 3．了解實數和數軸上的點一一對應． 知識模塊一 實數的概念與分類 【合作探究】 教材P116說一說． 從教材“說一說”中我們可以知道： __0，1.414，－__是有理數，__，π，0.1010010001…__是無理數． 歸納：1.有理數和無理數統稱為__實數__． 2．實數 【自主學習】 把下列各數填入相應的集合內． －；3.14；－；；；；0.1010010001…(相鄰兩個1之間依次增加一個0)；0.3333… 有理數集合：__{－；3.14；－；0.3333…；…}__ 無理數集合：__{；；；0.1010010001…(相鄰兩個1之間依次增加一個0)；…}__ 仿例：下列說法中，正確的是(D) A.是分數 B.是負數 C.是有理數 D.是無理數 知識模塊二 實數與數軸的關系 【合作探究】 教材P116動腦筋． 通過教材的“動腦筋”我們可以知道： 以數軸的原點O為圓心，以正方形的__邊長__為半徑畫弧，與__正__半軸的交點M就可以表示，與__負__半軸的交點N就可以表示－.歸納：1.每一個實數都可以用數軸上__唯一__的一個點來表示，且數軸上每一個點都可以表示__唯一__的一個實數，即實數和__數軸上的點__一一對應． 2．規定正實數都__大于__0，負實數都小于0.數軸上表示正實數的點在原點__右__邊，表示負實數的點在原點左邊． 【自主學習】 1．已知數軸上的點有些表示有理數，有些表示無理數，請你在數軸上表示對應的點． 解：如圖所示： 2．如圖所示的數軸上，點B與點C關于點A對稱，A、B兩點對應的實數分別是和－1，則點C對應的實數是__2＋1__． 知識模塊三 實數的相反數和絕對值 【自主學習】 認真閱讀教材P117及P118例1.【合作探究】 1．下列結論中，不能由a＋b＝0得到的是(C) A．a2＝－ab B．|a|＝|b| C．a＝0，b＝0 D．a2＝b2 2．若|a|＝，則a＝__±__．－的絕對值是____．－的相反數是____． 3．若|x|＜π，則整數x的個數是__7__． 活動1 小組討論 例1 下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？，0，1.414，π，－，0.1010010001…(相鄰兩個1之間逐次增加一個0)． 解：0，1.414，－是有理數．，π，0.1010010001…是無理數． 【點撥】實數可以分為有理數和無理數，還可以分為正實數、零和負實數． 例2 求下列各數的相反數和絕對值： －，π－3.14.解：因為－(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π.所以－，π－3.14的相反數分別為，3.14－π.由絕對值的意義得：|－|＝，|π－3.14|＝π－3.14.活動2 跟蹤訓練 1．把下列各數填入相應的橫線上． 7．5，4，，0.31，－π，0.1 .5 ..(1)有理數：__{7.5，4，，0.31，0.1__.5__.，…}__； (2)無理數：__{，－π，…}__； (3)正實數：__{7.5，4，，0.31，0.1__.5__.，…}__； (4)負實數：__{，－π，…}__． 2．求下列各數的相反數和絕對值： (1)；(2)；(3).解：(1)的相反數是－，絕對值是.(2)的相反數是2，絕對值是2.(3)的相反數是－7，絕對值是7.活動3 課堂小結 學生回答：本節課我們學到了哪些知識？ 第2課時 實數的運算和大小比較 1．了解有理數范圍內的運算法則及運算律對于實數仍然成立，會進行實數范圍內的運算．(重難點) 2．會用計算器進行實數的運算，并能比較兩個實數的大小．(重點) 知識模塊一 探究實數的運算律、大小比較及其相關性質 【合作探究】 教材P118～P119做一做． 對于實數，我們可以得出： 1．每個正實數有且只有__兩__個平方根，它們互為__相反數__；在實數范圍內，負實數__沒有__平方根． 2．在實數范圍內，每個實數a有且只有__1__個立方根． 3．0的平方根是__0__． 4．實數也可以進行__加__、__減__、__乘__、__除__、__乘方__運算，而且非負數可以進行__開平方__運算，任意實數都可以進行__開立方__運算． 5．實數也可以比較大小：對于實數a、b，如果a－b>0，則稱a__>__b；對于實數a，b，如果a－b<0，則稱a__<__b.【自主學習】 1．下列計算正確的是(B) A．－(－3)2＝9 B.＝3 C．－(－8)0＝1 D．|－7|＝－7 2．在實數0，－，－，|－2|中，最小的是(B) A．－ B．－ C．0 D．|－2| 知識模塊二 實數的計算 【自主學習】 認真閱讀教材P120例2、例3，進一步掌握運算順序． 【合作探究】 1．計算． (1)(－)－ 解：原式＝－＋(－) ＝－＋0 ＝－(2)4－9 解：原式＝(4－9) ＝－5 2．用計算器計算：－(精確到小數點后面第二位)． 解：按鍵：，顯示：0.913700503，所以，－≈0.91.知識模塊三 估計兩個實數的大小 【合作探究】 1．教材P120動腦筋． 2．比大的實數是(C) A．－5 B．0 C．3 D.歸納：一般地，當a>0，b>0時，如果a>b，那么>.【自主學習】 比較下列兩數的大小． (1)與； 解：∵12<27，∴<； (2)2與3.解：∵(2)2＝48，(3)2＝54，∵48<54，∴(2)2<(3)2，∴2<3.活動1 小組討論 例1 計算下列各式的值： (1)(＋)－；(2)2－3.解：(1)(＋)－ ＝＋(－)(加法結合律) ＝.(2)2－3 ＝(2－3)(乘法對于加法的分配律) ＝－.例2 用計算器計算：×(精確到小數點后面第二位)． 解：按鍵： 顯示：3.16227766 精確到小數點后面第二位得3.16.所以，×≈3.16.【點撥】在實數運算中，如果遇到無理數，并且需要求出結果的近似值時，可按要求的精確度用相應的近似有限小數代替無理數，再進行計算． 活動2 跟蹤訓練 1．比較下列各組數的大小，正確的是(C) A．1.7＞ B．π＜3.14 C．－＞－ D．5＜ 2．計算． (1)3－5；(2)|1－|＋|－|＋|－2|.解：(1)－2；(2)1.3．用計算器計算(精確到0.01)． (1)π－＋；(2)＋×.解：(1)3.46；(2)4.74.活動3 課堂小結 本節課你有什么收獲？ 第4章 一元一次不等式(組) 4．1 不等式 1．通過對具體不等關系的分析，使學生感受到不等式是刻畫數量之間關系的有效模型． 2．會根據實際問題建立不等式模型．(重難點) 知識模塊一 不等式的概念 【合作探究】 教材P130動腦筋． 歸納： 用不等號(＞、＜、≥、≤、≠)連接而成的式子叫作不等式． 符號“≥”讀作“__大于或等于__”也可讀作“不小于”；符號“≤”讀作“小于或等于”，也可讀作“__不大于__”． 如a≥0表示a＞0或a＝0.【自主學習】 在數學表達式中：①－1＜0；②3m－2n＞0；③x＝4；④x≠7；⑤m＋n，其中是不等式的有__①②④__． 知識模塊二 用不等式表示數量關系 【自主學習】 認真閱讀教材P131例題，弄清不等數量關系之間有什么聯系． 【合作探究】 1．用不等式表示下列數量關系： (1)a－3是大于－3的數； (2)8與y的7%的差是負數； (3)x的與y的2倍的和是非負數； (4)a與b的平方和不大于3.解：(1)a－3＞－3； (2)8－7%y＜0； (3)x＋2y≥0； (4)a2＋b2≤3.2．教材P131做一做． 已知一支圓珠筆1.5元，簽字筆與圓珠筆相比每支貴2元．小華想要買x支圓珠筆和10支簽字筆．若付50元仍找回若干元，則如何用含x的不等式來表示小華所需支付的金額與50元之間的關系？ 解：1.5x＋(1.5＋2)×10＜50.活動1 小組討論 例 用不等式表示下列數量關系： (1)x的5倍大于－7； (2)a與b的和的一半小于－1； (3)長、寬分別為x cm，y cm的長方形的面積小于邊長為a cm的正方形的面積． 解：(1)5x＞－7； (2)＜－1； (3)xy＜a2.活動2 跟蹤訓練 1．某市今年5月份的最低氣溫是10 ℃，最高氣溫為27 ℃，已知該月某一天的氣溫為t ℃，則下面表示t的范圍，正確的是(C) A．10＜t＜27 B．10≤t＜2 C．10≤t≤27 D．10＜t≤27 2．高鈣牛奶的包裝盒上注明“每100克內含鈣≥150毫克”，它的含義是指(B) A．每100克內含鈣150毫克 B．每100克內含鈣不低于150毫克 C．每100克內含鈣高于150毫克 D．每100克內含鈣不超過150毫克 3．某次知識競賽共有30道選擇題，答對一題得10分，答錯或不答一題，則扣3分，要使總得分不少于70分則應該至少答對幾道題？若設答對x題，可列不等式為(D) A．10x－3(30－x)＞70 B．10x－3(30－x)≤70 C．10x－3x≥70 D．10x－3(30－x)≥70 4．用適當的符號表示下列關系． (1)y的一半不小于3； (2)x的與x的2倍的和是正數； (3)m除以4的商加上3至多為5.解：(1)y≥3.(2)x＋2x＞0.(3)＋3≤5.活動3 課堂小結 本節課你學到了什么？ 4.2 不等式的基本性質 第1課時 不等式基本性質1 1．經歷不等式基本性質1的探索過程，能利用它對不等式進行簡單變形．(重點) 2．能理解什么是“移項”，并能熟練地使用“移項”解決問題． 3．在學習過程中通過與等式基本性質1的比較，體會類比學習的思想． 知識模塊一 不等式的基本性質1 【合作探究】 教材P133探究． 1．探究： (1)水果店的小王從水果批發市場購進100千克梨和84千克蘋果，你能用“＞”或“＜”連接梨和蘋果的進貨量嗎？ 解：100千克＞84千克． (2)幾天后，小王賣出梨和蘋果各a千克，你能用“＞”或“＜”連接梨和蘋果的剩余量嗎？ 解：(100－a)千克＞(84－a)千克． 2．學生活動： (1)自己寫一個不等式，在它的兩邊同時加上或減去同一個數，看看有什么結果． (2)交流討論，大膽說出自己的“發現”． 歸納：不等式的基本性質1：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(或式子)，__不等號的方向__不變． 用字母表示：若a＞b，則a＋c__＞__b＋c，a－c__＞__b－c.【自主學習】 1．教材P133例題． 2．已知a＜b，用“>”或“<”填空． (1)a＋12__<__b＋12； (2)b－10__>__a－10； (3)a－(－7)__<__b－(－7)； (4)a＋m__<__b＋m.3．按下列條件寫出仍成立的不等式． (1)已知－2<1，兩邊都減去1：__－3<0__； (2)已知3x－2y>3x－8，兩邊都減去3x：__－2y>－8__． 知識模塊二 不等式中的移項 【自主學習】 認真閱讀教材P134例2，注意不等式性質的運用． 【合作探究】 把下列不等式化為x>a，或x (1)1＋x>3； 解：不等式的兩邊都減去1，得1＋x－1>3－1，即x>2； (2)2x 解：不等式兩邊都減去x，得2x－x<－3，即x<－3.觀察：由不等式2x 歸納：把不等式一邊的某一項__變號__后移到另一邊，這種變形稱為移項． 練習： 在下列不等式的變形中，屬于移項的是(C) A．由3x≤－4，得x≤－ B.≤7，得x≤21 C．由5x－10≥0，得5x≥10 D．由2＋3x≤0，得3x＋2≤0 知識模塊三 三角形的任意兩邊之差小于第三邊 【合作探究】 教材P134動腦筋． 我們知道三角形中任意兩邊之和大于第三邊，在△ABC中，AB＋BC>AC，BC＋AC>AB，AC＋AB>BC.那么根據不等式的基本性質1，三角形中任意兩邊之差與第三邊又有怎樣的關系呢？ 解：把不等式AB＋BC>AC中的BC移到右邊，得AB>AC－BC，即AC－BC 活動1 小組討論 例1 用“>”或“<”填空： (1)已知a>b，則a＋3________b＋3.(2)已知a (1)x＋6>5；(2)3x<2x－2.解：(1)不等式的兩邊都減去6，由不等式基本性質1，得x＋6－6>5－6，即x>－1.(2)不等式的兩邊都減去2x，由不等式基本性質1，得3x－2x<2x－2－2x，即x<－2.活動2 跟蹤訓練 1．已知m>n，下面四個不等式中，不正確的是(D) A．m＋1>n＋1 B．m－1>n－1 C．m>n－1 D．m－1>n＋1 2．若2x＋3y－1>3x＋2y，則x，y的大小關系為(A) A．x B．x>y C．x＝y D．不能確定 3．如果a－3>－3，那么a>0，其變形依據是__不等式基本性質1__． 4．把下列不等式化為“x>a”或“x (1)－2x－1>－3x＋1；(2)2x－1≤x＋1； (3)2(x－1)≥3x.解：(1)x>2；(2)x≤2；(3)x≤－2.活動3 課堂小結 本節課你有哪些收獲？ 第2課時 不等式基本性質2、3 1．經歷不等式基本性質2、3的探索過程，理解不等式基本性質2、3，并會利用不等式基本性質2、3將不等式進行簡單變形．(重難點) 2．在學習過程中進一步通過與等式的基本性質的比較，體會類比思想． 知識模塊一 不等式的基本性質2、3 【合作探究】 教材P135探究． 自己任寫一個不等式，分別在它的兩邊都乘(或除以)同一個正數或負數，看看是否有相同的結論？ 歸納：1.不等式基本性質2：不等式的兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向__不變__．即：如果a>b，c>0，那么ac__>__bc，且__＞__.2．不等式基本性質3：不等式的兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號的方向__改變__．即：如果a>b，c<0，那么ac__<__bc，且__<__.【自主學習】 說出下列不等式的變形是根據不等式的哪一條基本性質． (1)由x>－3得：x>－6；__根據性質2，兩邊同時除以__； (2)由3＋x≤5得：x≤2；__根據性質1，兩邊同時減去3__； (3)由－2x<6得：x>－3；__根據性質3，兩邊同時除以－2__； (4)由3x≥2x－4得：x≥－4.__根據性質1，兩邊同時減去2x__． 知識模塊二 利用不等式的基本性質將不等式變形 【自主學習】 教材P136例3.【合作探究】 1．把下列不等式化為x>a或x (1)6x－7<0；(2)－x＋4>； 解：(1)移項，得6x<7，兩邊同時除以6，得x<； (2)移項，得－x>－4，合并同類項，得－x>－，兩邊同時乘以(－4)，得x<14.2．小明在不等式－1<0的兩邊都乘－1，得1<0，錯在哪里？ 解：錯在不等式－1<0的兩邊都乘－1時，不等號的方向沒有改變．正確的結果應是1>0.活動1 小組討論 例 用“<”或“>”填空： (1)已知a>b，則3a________3b； (2)已知a>b，則－a________－b； (3)已知a 1．若x A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0 2．用“＜”“>”填空． (1)若3x>3y，則x__>__y； (2)若－2x<－2y，則x__>__y.(3)若5x＋1<5y＋1，則x__<__y.3．判斷下列各題的結論是否正確？并說明理由． (1)若ax＞b，且a>0，則x>； (2)若ax>b，且a<0，則x>； (3)若a>b，則ac2>bc2； (4)若ac2>bc2，則a>b.解：(1)正確； (2)錯誤，不等式兩邊除以一個負數時，不等號方向要改變； (3)錯誤，如果c＝0，那么不成立； (4)正確． 4．把下列不等式化為x>a或x (1)2x＋5>3；(2)－3x＋2>4.解：(1)x>－1；(2)x<－.活動3 課堂小結 本節課你有哪些收獲？ 4.3 一元一次不等式的解法 第1課時 一元一次不等式的解法 1．理解一元一次不等式，不等式的解與解集的概念，會正確判斷一元一次不等式． 2．掌握解一元一次不等式的基本方法，并會熟練地解一元一次不等式．(重點) 知識模塊一 一元一次不等式的概念 【合作探究】 1．教材P139動腦筋． 75＋25x≤1200① 歸納：不等式①的特點：含有__1__個未知數，且含未知數的項的次數是__1__，這樣的不等式稱為__一元一次不等式__． 2．已知(a－2)xa2－3－3>0是關于x的一元一次不等式，則a＝__－2__． 【自主學習】 下列不等式中一元一次不等式的個數有(A) ①x≥－2；②x－≤2－；③2－5x<8－6x；④3x＋y<0；⑤5y2－2>3；⑥5x－6＝9.A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 知識模塊二 不等式的解與解集 【合作探究】 如何解一元一次不等式75＋25x≤1200①呢？ 與解一元一次方程類似，我們利用不等式的基本性質進行如下步驟： 將①式移項得25x≤1200－75，即25x≤1125②，將②式兩邊都除以25(將x的系數化為1)得：x≤45，因此，升降機最多裝載45件25 kg重的貨物． 我們把滿足一個不等式的未知數的每一個值稱為不等式的__一個解__，把一個不等式的解的全體稱為這個不等式的__解集__． __求一個不等式的解集的過程__稱為解不等式． 【自主學習】 1．認真閱讀教材P140例1.類比一元一次方程的解法，它與一元一次方程的解法有什么聯系？ 2．解下列不等式． (1)3x－1>2(2－5x)；(2)≥.解：(1)去括號，得3x－1>4－10x，移項，得3x＋10x>4＋1，合并同類項，得13x>5，兩邊都除以13，得x>； (2)去分母，得2(x＋2)≥3(2x－3)，去括號，得2x＋4≥6x－9，移項，得2x－6x≥－9－4，合并同類項，得－4x≥－13，兩邊同時除以－4，得x≤.活動1 小組討論 例 解下列一元一次不等式： (1)2－5x<8－6x；(2)＋1≤x.解：(1)移項，得－5x＋6x<8－2，即x<6； (2)去分母，得2(x－5)＋1×6≤9x，去括號，得2x－10＋6≤9x.移項，得2x－9x≤10－6.合并同類項，得－7x≤4.兩邊都除以－7，得x≥－.【點撥】解一元一次不等式與解一元一次方程類似，有分母要去分母，有括號要去括號． 活動2 跟蹤訓練 1．不等式1－2x>3的解集是(D) A．x>1 B．x>－1 C．x<1 D．x<－1 2．下列解不等式>的步驟中，錯誤的是(D) A．去分母，得5(2＋x)>3(2x－1) B．去括號，得10＋5x>6x－3 C．移項、合并同類項，得－x>－13 D．系數化為1，得x>13 3．若3x2a＋3－9>6是關于x的一元一次不等式，則a＝__－1__． 4．解下列不等式： (1)5x－1>3(x＋1)；(2)≤.解：(1)去括號，得5x－1>3x＋3，移項，得5x－3x>3＋1，合并同類項，得2x>4，兩邊都除以2，得x>2.(2)去分母，得2(2x－1)≤3x－4，去括號，得4x－2≤3x－4，移項，得4x－3x≤－4＋2，合并同類項，得x≤－2.活動3 課堂小結 本節課你學到了什么？ 第2課時 在數軸上表示不等式的解集 通過探索與交流，掌握不等式的解集在數軸上的表示方法，能正確地在數軸上表示不等式的解集． 知識模塊一 在數軸上表示不等式的解集 【合作探究】 教材P141動腦筋． 不等式3x>6的解集是__x>2__，先在數軸上找出表示2的點，則它右邊所有的點表示的數都大于2，如圖在數軸上表示為： 把表示2的點畫成__空心圓圈__，表示不等式的解集不包括2.歸納：在以向右為正方向的數軸上的點，其右邊的點表示的數比該點表示的數__大__，其左邊的點表示的數比該點表示的數__小__． 【自主學習】 1．教材P142例2.2．解不等式9－6x≤3(4－x)，并把它的解集在數軸上表示出來． 解：去括號，得9－6x≤12－3x，移項，得－6x＋3x≤12－9，合并同類項，得－3x≤3，兩邊都除以－3，得x≥－1.原不等式的解集在數軸上表示為： 知識模塊二 利用數軸確定不等式的整數解 【自主學習】 認真閱讀教材P142例3，注意題目要求． 【合作探究】 當x取什么值時，代數式的值不小于x－2的值？將它的解集在數軸上表示出來，并求它的非負整數解． 解：由題意，得≥x－2，解這個不等式，得x≤1，所以，當x≤1時，代數式的值不小于x－2的值，解集在數軸上表示如圖所示： 由圖可知滿足條件的非負整數解有0、1.活動1 小組討論 例1 解不等式12－6x≥2(1－2x)，并把它的解集在數軸上表示出來． 解：去括號，得12－6x≥2－4x，移項，得－6x＋4x≥2－12，合并同類項，得－2x≥－10，兩邊都除以－2，得x≤5.原不等式的解集數軸上表示如圖所示． 【點撥】解集x≤5中包含5，所以在數軸上將表示5的點畫成實心圓點． 例2 當x取什么值時，代數式－x＋2的值大于或等于0？并求出所有滿足條件的正整數． 解：根據題意，得－x＋2≥0，解這個不等式，得x≤6.所以，當x≤6時，代數式－x＋2的值大于或等于0.x≤6在數軸上表示如圖所示． 由圖可知，滿足條件的正整數有1、2、3、4、5、6.活動2 跟蹤訓練 1．一元一次不等式x＋1≥2的解集在數軸上表示為(A) 2．若代數式x－的值小于0，則x的取值范圍是(D) A．x<－ B．x>－ C．x> D．x< 3．不等式2x<4x－6的最小整數解為__4__． 4．解不等式2x－1>，并把它的解集在數軸上表示出來． 解：4x－2>3x－1，x>1.這個不等式的解集在數軸上表示如下： 活動3 課堂小結 本節課你有什么收獲？ 4.4 一元一次不等式的應用 能根據實際問題中的數量關系，列出一元一次不等式，并解決問題．(重難點) 知識模塊 一元一次不等式的應用 【合作探究】 教材P144動腦筋． 歸納：應用一元一次不等式解決實際問題的步驟為： 實際問題―→設未知數―→找出不等關系―→列不等式―→解不等式―→結合實際確定答案． 【自主學習】 1．教材P144例1.2．教材P145例2.練習：在一次知識競賽中，有10道搶答題，答對一題得10分，答錯一題扣5分，不答得0分，小玲有一道題沒有答，成績仍然不低于60分，她至少答對幾道題？ 分析：不等關系：__答對題得分－答錯題扣分≥60__． 解：設小玲答對的題數是x，則她答錯的題數為(10－1－x)，根據題意得10x－5(9－x)≥60，解這個不等式，得x≥7.答：她至少答對7道題． 活動1 小組討論 例1 某童裝店按每套90元的價格購進40套童裝，應繳納的稅費為銷售額的10%，如果要獲得不低于900元的純利潤，每套童裝的售價至少是多少元？ 分析：本題涉及的數量關系是：銷售額－成本－稅費≥純利潤(900元) 解：設每套童裝的售價是x元，則 40×x－90×40－40×x×10%≥900.解這個不等式，得x≥125.答：每套童裝的售價至少是125元． 例2 當一個人坐下時，不宜提舉超過4.5 kg的重物，以免受傷，小明坐在書桌前，桌上有兩本各重1.2 kg的畫冊和一批每本重0.4 kg的記事本，如果小明想坐著搬動這兩本畫冊和一些記事本．問他最多只應搬動多少本記事本？ 分析：本題的數量關系是：畫冊的總重＋記事本的總重≤4.5 kg.解：設小明可搬動x本記事本，則 1．2×2＋0.4x≤4.5.解這個不等式，得x≤5.25.由于記事本的數目必須是整數，所以x的最大值為5.答：小明最多只應搬動5本記事本.活動2 跟蹤訓練 1．用甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素C含量如下表： 原料種類 甲種原料 乙種原料 維生素C含量(單位/千克) 500 200 現配制這種飲料10 kg，要求至少含有4100單位的維生素C，若所需甲種原料的質量為x kg，則x應滿足的不等式為(A) A．500x＋200(10－x)≥4100 B．200x＋500(100－x)≤4100 C．500x＋200(10－x)≤4100 D．200x＋500(100－x)≥4100 2．小明用30元錢買筆記本和練習本共30本，已知每個筆記本4元，每個練習本4角，那么他最多能買筆記本的數量為(C) A．7本 B．6本 C．5本 D．4本 3．水果店進了某種水果1噸，進價7元/千克，售價為11元/千克，銷去一半后為盡快銷完，準備打折出售，如果要使總利潤不低于3450元，那么余下水果可按原定價打________折出售(D) A．7折 B．8折 C．8.5折 D．9折 4．鐵路部門規定旅客免費攜帶行李箱的長、寬、高之和不超過160 cm，某廠家生產符合該規定的行李箱，已知行李箱的高為30 cm，長與寬的比為3∶2，則該行李箱的長的最大值為多少厘米？ 解：設長為3x，寬為2x，由題意，得5x＋30≤160，解得x≤26.故行李箱的長的最大值為3x＝78.答：行李箱的長的最大值為78厘米． 活動3 課堂小結 本節課你有什么收獲？ 4.5 一元一次不等式組 1．了解一元一次不等式組的概念． 2．會解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，會用數軸確定解集．(重難點) 知識模塊一 一元一次不等式組的有關概念 【合作探究】 教材P147動腦筋． 一個長方形足球場的寬為70米，如果它的長為x米，(1)周長大于350米，用不等式表示為__2(70＋x)>350__； (2)面積小于7630平方米，用不等式表示為__70x<7630__； (3)如果需要同時滿足(1)(2)，又該如何表示呢？ 歸納：像這樣，把幾個__含有相同未知數的一元一次不等式__組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組． __一元一次不等式解集的公共部分__，叫作一元一次不等式組的解集． __求不等式組的解集的過程__叫作解不等式組． 知識模塊二 一元一次不等式組的解法 【自主學習】 認真閱讀教材P148～P149例1、例2、例3.【合作探究】 1．解決知識模塊一的問題． 解：解不等式①得x>105，解不等式②得x<109，∴不等式組的解集就是x>105與x<109的公共部分． 活動1 小組討論 例1 解不等式組： 解：解不等式①，得x≤3，解不等式②，得x<－3.把不等式①、②的解集在數軸上表示出來，如圖所示． 所以不等式組的解集為x＜－3.例2 解不等式組： 解：解不等式①，得x>－2，解不等式②，得x>6.把不等式①、②的解集在數軸上表示出來，如圖所示． 由圖可知，不等式①、②的解集的公共部分是x>6，所以這個不等式組的解集是x>6.例3 解不等式組： 解：解不等式①，得x<－2，解不等式②，得x>3.把不等式①、②的解集在數軸上表示出來，如圖所示． 所以不等式組無解． 活動2 跟蹤訓練 1．如圖，將某不等式組中兩個不等式的解集表示在數軸上，則這個不等式組可能是(B) A.B.C.D.2．把不等式組的解集表示在數軸上，正確的是(B) 3．不等式組的整數解是__－1，0，1__． 4．解下列不等式組，并把解集在數軸上表示出來． (1)(2) 解：(1)解不等式x＋3<4，得x<1.解不等式3(2－x)－9>6，得x<－3.∴不等式組的解集為x<－3.將不等式組的解集表示在數軸上如下： (2)解不等式2x＋5≤3(x＋2)，得x≥－1，解不等式2x－<1，得x<3，∴原不等式組的解集是－1≤x<3.將不等式組的解集在數軸上表示如下： 活動3 課堂小結 本節課你學到了什么？ 第5章 二次根式 5．1 二次根式 第1課時 二次根式的概念及性質 1．了解二次根式的概念． 2．理解并掌握二次根式的性質：()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)．(重點) 知識模塊一 探究二次根式的概念及有意義的條件 【自主學習】 認真閱讀教材P155內容，完成下面的填空： (1)形如____的式子叫作二次根式，被開方數是指__根號下的數__． (2)當a為正數時，是a的__算術平方根__，而0的算術平方根是__0__，負數__沒有平方根__，只有非負數才有平方根．所以，在二次根式中，字母a必須是__非負__實數，才在實數范圍內有意義． 練習：判斷下列各式：，－，，哪些是二次根式？哪些不是？為什么？ 解：，－，是二次根式；，不是二次根式．因為的根指數不是2，的被開方數不是非負數． 【合作探究】 求下列二次根式中字母x的取值范圍． (1)； 解：由3x＋1≥0，解得x≥－.(2)； 解：由5－2x≥0，解得x≤； (3).解：由x－5>0，解得x>5.知識模塊二 二次根式的性質及其運用 【合作探究】 1．因為是__2__的一個平方根，所以()2＝__2__；因為是__3__的一個平方根，所以()2＝__3__．根據上述結果，當a≥0時，我猜測()2＝__a__． 2．由于22＝4，因此＝2，即＝＝__2__；由于32＝9，因此＝3，即＝＝3；根據上述結果，當a≥0時，我猜測＝__a__． 3．當a<0時，＝a是否還成立？為什么？ 計算＝____＝__2__； ＝____＝__3__． 根據上述結果，當a<0時，我猜測＝__－a__．由此，我們可以概括：＝|a|＝ 【自主學習】 1．認真閱讀教材P156例2例3，進一步鞏固二次根式的性質． 2．計算． (1)＝__8__；(2)＝__3__． (3)(－)2＝__3__； (4)()2＝____． 活動1 小組討論 例1 當x是怎樣的實數時，二次根式在實數范圍內有意義？ 解：由x－1≥0，解得x≥1.因此，當x≥1時，在實數范圍內有意義． 例2 計算： (1)()2；(2)(2)2.解：(1)()2＝5；(2)(2)2＝22×()2＝4×2＝8.例3 計算： (1)；(2) 解：(1)＝＝2；(2)＝＝1.2.活動2 跟蹤訓練 1．若＝a－3，則a的取值范圍是(D) A．a<3 B．a≤3 C．a>3 D．a≥3 2．把下列非負數寫成一個非負數的平方的形式； (1)5＝__()2__；(2)3.4＝__()2__； (3)＝__()2__；(4)x＝__()2__(x≥0)． 3．當x是怎樣的實數時，下列二次根式有意義？ (1)；(2)；(3).解：(1)由－x≥0，得x≤0，因此，當x≤0時，有意義． (2)由5－2x≥0，得x≤.因此，當x≤時，有意義． (3)由x2＋1≥0，得x為任意實數，因此，當x為任意實數時，都有意義． 4．計算： (1)()2；(2)；(3)(－2)2； (4)－2.解：(1)11；(2)6；(3)20；(4)－.活動3 課堂小結 本節課你有什么收獲？ 第2課時 二次根式的化簡 1．了解最簡二次根式的概念． 2．會利用積的算術平方根的性質化簡二次根式．(重點) 知識模塊一 探究積的算術平方根的性質 【合作探究】 教材P157動腦筋． 1．計算：①×＝__6__；＝__6__．②＝__12__，×＝__12__． 2．觀察以上式子及其運算結果，看看其中有什么規律？并用表達式表示你發現的規律：＝·(a≥0，b≥0)． 3．驗證結果 (1)×＝__50__；＝__50__； __＝__× (2)×與.解：∵×＝×＝，＝＝，∴＝×.知識模塊二 二次根式的化簡 【自主學習】 認真閱讀教材P158例4、例5，進一步掌握積的算術平方根的性質． 【合作探究】 1．化簡下列二次根式． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)(a≥0，b≥0)． 解：(1)＝2；(2)＝5；(3)＝2； (4)＝4；(5)＝5； (6)＝3；(7)＝3ab.2．化簡下列二次根式． (1)；(2)；(3)；(4)(a>0)． 解：(1)＝；(2)＝； (3)＝；(4)＝.結論：我們把被開方數中不含__開得盡方__的因數、被開方數中不含__分母__的二次根式叫作最簡二次根式． 活動1 小組討論 例1 化簡下列二次根式： (1)；(2)；(3).解：(1)＝＝×＝3.(2)＝＝×＝2.(3)＝＝＝2×3＝6.例2 化簡下列二次根式： (1)；(2).解：(1)＝＝＝.(2)＝＝＝.活動2 跟蹤訓練 1．下列二次根式中是最簡二次根式的是(A) A.B.C.D.2．實數0.5的算術平方根等于(C) A．－3 B.C.D.3．化簡二次根式得(B) A．－3 B．3 C.D.4．化簡下列二次根式． (1)；(2)；(3)；(4).解：(1)2；(2)3；(3)8；(4).活動3 課堂小結 本節課你有什么收獲？ 5.2 二次根式的乘法和除法 第1課時 二次根式的乘法 會逆用積的算術平方根的性質進行二次根式的乘法運算．(重難點) 知識模塊一 探究二次根式的乘法運算法則 【合作探究】 教材P161說一說． 我們把＝·(a≥0，b≥0)從右至左看，就可以得到__·＝(a≥0，b≥0)__．利用這個公式，可以進行二次根式的乘法運算． 討論如何計算2·3？ 解：2·3＝2×3×＝6＝96.【自主學習】 計算下列各題． (1)×；(2)×；(3)2×2×；(4)×(－)；(5)5·(－4)(a≥0，b≥0)． 解：(1)原式＝＝＝3； (2)原式＝＝＝6； (3)原式＝2×2×＝4＝40； (4)原式＝－＝－＝－＝－12； (5)原式＝5×(－4)×＝－20a2b.知識模塊二 二次根式的乘法的運用 【自主學習】 認真閱讀教材P162例3，分析二次根式的乘法是怎樣在實際問題中運用的？ 【合作探究】 1．已知n是一個正整數，是整數，則n的最小值是(C) A．3 B．5 C．15 D．25 2．一個直角三角形的兩條直角邊分別為a＝2 cm，b＝3 cm，那么這個直角三角形的面積是__9__ cm2.活動1 小組討論 例1 計算： (1)×；(2)×.解：(1)×＝＝＝3； (2)×＝＝＝＝2.例2 計算： (1)2×5；(2)3×(－)． 解：(1)2×5＝2×5×＝10＝30； (2)3×(－)＝3×(－)××＝－＝－.例3 已知一張長方形圖片的長和寬分別是3 cm和 cm，求這張長方形圖片的面積． 解：3×＝3×7＝21 (cm2)． 答：這張長方形圖片的面積為21 cm2.活動2 跟蹤訓練 1．計算×的結果是(B) A.B.C．2 D．3 2．下列各等式成立的是(D) A．4×2＝8 B．5×4＝20 C．4×3＝7 D．5×4＝20 3.·的值是一個整數，則正整數a的最小值是(B) A．1 B．2 C．3 D．5 4．一個直角三角形的兩條直角分別為a＝2 cm，b＝3 cm，那么這個直角邊三角形的面積為__9__cm2.5．計算下列各題． (1)×；(2)×；(3)×；(4)3×2；(5)××；(6)6×(－3)． 解：(1)；(2)6；(3)2；(4)6；(5)30； (6)－72.活動3 課堂小結 本節課你有什么收獲？ 第2課時 二次根式的除法 1．理解商的算術平方根的性質＝(a≥0，b>0)，并能運用于二次根式的化簡．(重點) 2．能熟練運用二次根式的除法法則＝(a≥0，b>0)進行二次根式的除法運算．(重難點) 知識模塊一 探究商的算術平方根的性質 【合作探究】 教材P162動腦筋． (1)＝____，＝____ (2)＝____，＝____． 觀察上面的式子，將得到的結論用字母表示為__＝(a>0，b≥0)__．利用這個等式可以化簡二次根式． 【自主學習】 教材P163例4.化簡下列二次根式． (1)；(2)；(3).解：(1)原式＝＝； (2)原式＝＝； (3)原式＝＝.知識模塊二 二次根式的除法法則的探究與運用 【自主學習】 認真閱讀教材P164例5，注意計算過程． 【合作探究】 通過例5的計算理解由＝(a＞0，b≥0)反過來可得：＝(a＞0，b≥0)． 結論：二次根式相除，__先把被開方數相除，再把所得的商化簡__． 1．計算下列各題：(1)；(2)3÷；(3)×÷.解：(1)原式＝＝＝3； (2)原式＝＝3＝3； (3)原式＝＝＝＝12.2．若＝成立，則x的取值范圍是__x>2__． 知識模塊三 二次根式除法的應用 【自主學習】 閱讀教材P164例6，進一步理解二次根式的除法運算． 活動1 小組討論 例1 化簡下列二次根式： (1)；(2).解：(1)＝＝.(2)＝＝＝＝.例2 計算： (1)÷；(2)；(3).解：(1)÷＝＝＝； (2)＝＝； (3)＝＝＝＝.例3 電視塔越高，從塔頂發射出的電磁波傳播得越遠，從而能接收到電視節目信號的區域就越廣．已知電視塔高h (km)與電視節目信號的傳播半徑r (km)之間滿足r＝(其中R是地球半徑)．現有兩座高分別為h1＝400 m，h2＝450 m的電視塔，問它們的傳播半徑之比等于多少？ 解：設兩座電視塔的傳播半徑分別為r1，r2.因為r＝，400 m＝0.4 km，450 m＝0.45 km，所以＝＝＝＝＝＝.活動2 跟蹤訓練 1．下列運算正確的是(D) A.÷＝10 B.÷2＝2 C.＝3＋4＝7 D.÷＝3 2．計算：＝__2__． 3．如果一個三角形的面積為，一邊長為，那么這邊上的高為__2__． 4．計算． (1)÷；(2)；(3)；(4)÷.解：(1)2；(2)4；(3)；(4).活動3 課堂小結 1．商的算術平方根的性質． 2．二次根式的除法法則． 5.3 二次根式的加法和減法 第1課時 二次根式的加法和減法 1．理解二次根式的加、減運算法則． 2．會進行簡單的二次根式的加、減運算．(重難點) 你能否用分配律計算下列各題： (1)2＋3；(2)5－3.解：(1)原式＝(2＋3)＝5； (2)原式＝(5－3)＝2.知識模塊一 探究被開方數相同的二次根式的識別方法 【合作探究】 1．上述的運算是什么運算？計算的依據是什么？ 2．教材P167動腦筋． ＋＝2＋3＝(2＋3)＝5 歸納：經過化簡后，__被開方數相同__的二次根式，可以直接進行加減，加減時，只把系數相加減，被開方數不變． 【自主學習】 1．下列各組數中，化簡后被開方數相同的是(B) A.與 B.與4 C.與 D.與 2．下列二次根式中能與－5合并的是(D) A.B.C.D.知識模塊二 二次根式的加法和減法 【自主學習】 認真閱讀教材P168例1、例2，與有理數加減法則進行比較，有什么聯系？ 【合作探究】 計算下列各題，并歸納二次根式加減法法則． (1)10＋3－7；(2)5－3－2.解：(1)原式＝10＋6－7 ＝(10＋6－7) ＝9； (2)原式＝10－6－6 ＝(10－6)－6 ＝4－6.結論：一般地，只有化簡后被開方數相同的二次根式才能合并，只將__系數__相加減，__被開方數__不變． 活動1 小組討論 例1 計算： (1)5－2＋；(2)2－＋.解：(1)原式＝10－6＋3＝13－6.(2)原式＝6－5＋＝＋.【點撥】二次根式的加減與合并同類項類似，進行二次根式的加減運算時，必須先將各個二次根式化簡，再合并被開方數相同的二次根式． 例2 如圖是某土樓的平面剖面圖，它是由兩個相同圓心的圓構成．已知大圓和小圓的面積分別為763.02 m2和150.72 m2，求圓環的寬度d(π取3.14)． 解：設大圓和小圓的半徑分別為R，r，面積分別為S1，S2，由S1＝πR2，S2＝πr2可知R＝，r＝，則d＝R－r ＝－ ＝－ ＝－ ＝9－4 ＝5.答：圓環的寬限d為5 m.活動2 跟蹤訓練 1．下列二次根式中，不能與合并的是(C) A.B.C.D.2．下列計算是否正確？為什么？ (1)－＝；(2)＋＝；(3)3－＝2.解：(1)不正確．此式結果為2－.(2)不正確．此式結果為5.(3)正確． 3．計算． (1)＋；(2)2＋；(3)－＋；(4)＋(－)；(5)(－)－(－)． 解：(1)5；(2)7；(3)3；(4)10－3；(5)－.活動3 課堂小結 怎樣進行二次根式的加減計算． 第2課時 二次根式的混合運算 會正確快速地進行二次根式的混合運算．(重難點) 知識模塊一 仿照多項式乘法運算法則進行二次根式的計算 【合作探究】 教材P169動腦筋． 歸納：二次根式的混合運算是根據有理數的運算律進行的． 【自主學習】 1．認真閱讀教材P170例3.2．計算下列各題． (1)(＋)÷； (2)－(＋2)； (3)(＋3)(＋5)． 解：(1)原式＝(4＋)÷3＝(4＋)÷3＝； (2)原式＝2－2－2＝－2； (3)原式＝2＋5＋3＋15＝17＋8.知識模塊二 仿照乘法公式進行二次根式的計算 【自主學習】 閱讀教材P170例4并與有理數的乘法公式運算進行比較． 【合作探究】 已知：a＝－1，求a3＋2a2＋a的值． 解：a3＋2a2＋a＝a(a2＋2a＋1)＝a(a＋1)2，當a＝－1時，原式＝(－1)(－1＋1)2＝(－1)·3＝3－3.知識模塊三 仿照多項式除法法則和分式運算法則進行計算 【自主學習】 閱讀教材P171例5進一步理解二次根式的運算． 活動1 小組討論 例1 計算： (1)(－)×；(2)(2＋)(1－)． 解：(1)(－)×＝×－×＝－＝2－＝.(2)(2＋)(1－)＝2－2＋－×＝2－2＋－2＝－.例2 計算： (1)(＋1)(－1)；(2)(－)2.解：(1)(＋1)(－1)＝()2－12＝1.(2)(－)2＝()2－2×＋()2＝2－2＋3＝5－2.例3 計算： (1)(＋)÷；(2)＋.解：(1)(＋)÷＝(4＋)÷＝5÷＝5.(2)＋＝＋＝＝＝4.活動2 跟蹤訓練 1．化簡－(－2)的結果是(D) A．－2 B.－2 C．2 D．4－2 2．估計×＋的運算結果應在(C) A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間 3．計算：(－)×＝__8__． 4．計算． (1)(＋)(－)；(2)(＋)2 解：(1)－2；(2)8＋2.5．計算． (1)(－)－－|－3|； (2)÷×－.解：(1)原式＝－3－2＋－3＝－6； (2)原式＝－＝－＝0.活動3 課堂小結 如何進行二次根式的混合計算？ 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高級中學 韓璽 一、教學內容分析 簡單的分式不等式解法是高中數學不等式學習的一個基本內容.對一個不等式通過同解變形轉化為熟悉的不等式是解不等式的一個重要方法.這兩類不等式將在以后的數學學習中不斷出現，所以需牢固掌握.二、教學目標設計 1、掌握簡單的分式不等式的解法.2、體會化歸、等價轉換的數學思想方法.三、教學重點及難點 重點 簡單的分式不等式的解法.難點 不等式的同解變形.四、教學過程設計 一、分式不等式的解法 1、引入 某地鐵上，甲乙兩人為了趕乘地鐵，分別從樓梯和運行中的自動扶梯上樓（樓梯和自動扶梯長度相同），如果甲的上樓速度是乙的2倍，他倆同時上樓，且甲比乙早到樓上，問甲的速度至少是自動扶梯運行速度的幾倍.設樓梯的長度為s，甲的速度為v，自動扶梯的運行速度為v0.于是甲上樓所需時間為 s，乙上樓所需時間為vsvv0?2.由題意，得ss.?vvv?02整理的12?.v2v0?v 由于此處速度為正值，因此上式可化為2v0?v?2v，即v?2v0.所以，甲的速度應大于自動扶梯運行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x?1?2.3x?2 1 解：（化分式不等式為一元一次不等式組） ?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2?x?1?x?1?x?1?0?x?1?02???x?1或x不或?或?????2?233x?2?03x?2?0x?x????3?3??存在.所以，原不等式的解集為??2??2?,1???，即解集為?,1?.?3??3?注意到 x?1?03x?2??x?1?0??3x?2?0或?x?1?0??3x?2??x?1??0，可以簡化上述解法.??3x?2?0另解：（利用兩數的商與積同號（為一元二次不等式） aa?0?ab?0，?0?ab?0）化bb?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2??3x?2??x?1??0?2?2??x?1，所以，原不等式的解集為?,1?.3?3?由例1我們可以得到分式不等式的求解通法： （1）不要輕易去分母，可以移項通分，使得不等號的右邊為零.（2）利用兩數的商與積同號，化為一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分為兩類： f?x?（1）； ?0（?0）?f?x?g?x??0（?0）g?x?（2） ?f?x??f?x?g?x??0??0?.?0（?0）??g?x???g?x??0 2 [說明] 解不等式中的每一步往往要求“等價”，即同解變形，否則所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常為無限集，所以很難像解無理方程那樣，對解進行檢驗，因此同解變形就顯得尤為重要.例2 解下列不等式 ?x?1?0.x?52?3.（2）3?5xx?8?2.（3）2x?2x?3x?1?0??x?1??x?5??0?1?x?5，解（1）原不等式?x?5（1）所以，原不等式的解集為?1,5?.（2）原不等式?215x?715x?7?3?0??0??0 3?5x3?5x5x?3????15x?7??5x?3??0???5x?3?0?3?7?x???155??x?3?5??73?x?，155所以，原不等式的解集為??73,155?2??.?2（3）分母：x?2x?3??x?1??1?1?0，則 原不2等式?x?82?2?xx????x?2??3?x4x?? ??2x22?6?x??2或x??1??,?2????,????.?2?1，所以，原不等式的解集為2 3 例3 當m為何值時，關于x的不等式m?x?1??3?x?2?的解是（1）正數？ （2）是負數？ 解：m?x?1??3?x?2? ??m?3?x?m?6（*）當m?3時，（*）?0?x?9?x不存在.當m?3時，（*）?x?（1）原 m?6.m?3方 程的解 為 正 數?x?（m?6?0?(m?m?3）原 方 m6?程 ?)?m??6或m?3.的解 為 負 數2?x?m?6?0?(m?m?3m6??)??6?m?3.所以，當m????,?6???3,???時，原方程的解為正數.當m???6,3?時，原方程的解為負數.四、作業布置 選用練習2.3（1）（2）、習題2.3中的部分練習.五、課后反思 解分式不等式關鍵在于同解變形.通過同解變形將其轉化為熟悉的不等式來加以解決，這種通過等價變形變“未知”為“已知”的解決問題的方法是教學的重點也是難點，需在課堂教學中有所強調.整個教學內容需讓學生共同參與，特別是在“同解變形”這一點上，應在學生思考、討論的基礎上教師、學生共同進行歸納小結. 分式的概念: 一般的，用A,B表示兩個整式，A?B就可以表示成式子ABAB的形式．如果B中含有字母，就叫做分式．其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.分式和整式通稱為有理式． 注意： (1)分母中含有字母是分式的一個重要標志，它是分式與分數、整式的根本區別；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值為零，則分式無意義；(3)當分子等于零而分母不等于零時，分式的值才是零． 分式的相關概念： 把一個分式的分子與分母的公因式約去，把分式化成最簡分式，叫做分式的約分． 一個分式約分的方法是：當分子、分母是單項式時，直接約分；當分子、分母是多項式時，把分式的分子和分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式． 一個分式的分子和分母沒有公因式時，叫做最簡分式，也叫既約分式． 把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母． 分式的基本性質： 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是： 分式的變號法則： 分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變．如： AB??A?B??A?B???ABAB?A?MB?M?A?MB?M(其中M是不等于零的整式)． ． 分式的運算法則 1、分式的乘除法則：分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．用式子表示是： ab?cd?acbd； ab?cd?ab?dc?adbc． 2、分式的乘方法則：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是： ?a????b?n?abnn(n為整數)． 3、分式的加減法則： ①同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．用式子表示是： ac?bc?a?bc； ②異分母的分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減．用式子表示是： ab?cd?ad?bcbd． 例、計算x?2x?1?x?4x?3?x?6x?5?x?8x?7． 分析：對于這道題，一般采用直接通分后相加、減的方法，顯然較繁，注意觀察到此題的每個分式的分子都是一個二項式，并且每個分子都是分母與1的和，所以可以采取“裂項法” ． 解：原式?x?1?1x?1?x?3?1x?3?x?5?1x?5?x?7?1x?7 ?1?1??1??1????1????1????1?? x?1?x?3??x?5??x?7?1??1???? x?3?x?5x?7?11 ?1x?1? ?2?x?1??x?3??x?5??x?7??x?1??x?3??x?5??x?7??2 ?2?x?5??x?7??2?x?1??x?3?第四篇：分式不等式教案
第五篇：王老師整理分式教案
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