第一篇：趣味數學—數陣圖與幻方
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三年級奧數
--數陣圖與幻方 知識框架
一、數陣圖定義及分類：
定義：把一些數字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數陣圖.數陣：是一種由幻方演變而來的數字圖.數陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數陣圖：即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和復合型數陣圖.二、解題方法：
解決數陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手： 第一步：區分數陣圖中的普通點(或方格)和關鍵點(或方格)；
第二步：在數陣圖的少數關鍵點(一般是交叉點)上設置未知數，計算這些關鍵點與相關點的數量關系，得到關鍵點上所填數的范圍；
第三步：運用已經得到的信息進行嘗試．這個步驟并不是對所有數陣題都適用，很多數陣題更需要對數學方法的綜合運用．
三、幻方起源：
幻方也叫縱橫圖，也就是把數字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方．幻方起源于我國，古人還為它編撰了一些神話．傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都無濟于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數是3行，豎著數是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點點，正好湊成1至9的數字，可是誰也弄不清這些小點點是什么意思．一次，大烏龜又從河里爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點點不論橫著加、豎著加還是斜著加，結果都等于十五！”于是人們趕緊把十五份祭品獻給河神，說來也怪，河水果然從此不再泛濫了．這個神奇的圖案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個相等的和叫做“幻和”．“洛書”就是幻和為15的三階幻方．如下圖：
43951276
我國北周時期的數學家甄鸞在《算數記遺》里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央．”這段文字說明了九個數字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久．三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七
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六郎賞月半，周圍十五月團圓．”幻方的種類還很多，這節課我們將學習認識了解它們．
四、幻方定義：
幻方是指橫行、豎列、對角線上數的和都相等的數的方陣，具有這一性質的3?3的數陣稱作三階幻方，4?4的數陣稱作四階幻方，5?5的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標準式樣，834***51467495161011
3213。
五、解決這幻方常用的方法：
⑴適用于所有奇數階幻方的填法有羅伯法．口訣是：一居上行正中央，后數依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣．
⑵適用于三階幻方的三大法則有： ①求幻和： 所有數的和÷行數（或列數）
②求中心數：我們把幻方中對角線交點的數叫“中心數”，中心數＝幻和÷3． ③角上的數=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數和÷2．
六、數獨簡介：
數獨前身為“九宮格”，最早起源于中國。數千年前，我們的祖先就發明了洛書，其特點較之現在的數獨更為復雜，要求縱向、橫向、斜向上的三個數字之和等于15，而非簡單的九個數字不能重復。中國古籍《易經》中的“九宮圖”也源于此，故稱“洛書九宮圖”。而“九宮”之名也因《易經》在中華文化發展史上的重要地位而保存、沿用至今。
1783年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉發明了一種當時稱作“拉丁方塊”（Latin Square）的游戲，這個游戲是一個n×n的數字方陣，每一行和每一列都是由不重復的n個數字或者字母組成的。
19世紀70年代，美國的一家數學邏輯游戲雜志《戴爾鉛筆字謎和詞語游戲》（Dell Puzzle Mαgαzines）開始刊登現在稱為“數獨”的這種游戲，當時人們稱之為“數字拼圖”（Number Place），在這個時候，9×9的81格數字游戲才開始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戲雜志《字謎通訊Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上出現了“數獨”游戲，提出了“獨立的數字”的概念，意思就是“這個數字只能出現一次”或者“這個數字必須是唯一的”，并將這個游戲命名為“數獨”（sudoku）。
一位前任香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德（Wayne Gould）在1997年3月到日本東京旅游時，無意中發現了。他首先在英國的《泰晤士報》上發表，不久其他報紙也發表，很快便風靡全英國，之后他用了6年時間編寫了電腦程式，并將它放在網站上，使這個游戲很快在全世界流行。從此，這個游戲開始風靡全球。后來更因數獨的流行衍生了許多類似的數學智力拼圖游戲，例如：數和、殺手數獨。
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中國大陸是在2007年2月28日正式引入數獨.2007年2月28日，北京晚報智力休閑數獨俱樂部(數獨聯盟sudokufederation前身)在新聞大廈舉行加入世界謎題聯合會的頒證儀式，會上謎題聯合會秘書長皮特-里米斯特和俱樂部會長在證書上簽字，這標志著北京晚報智力休閑俱樂部成為世界謎題聯合會的39個成員之一，這也標志著俱樂部走向國際舞臺，它將給數獨愛好者帶來更多與世界數獨愛好者們交流的機會。
七、解題技巧：
數獨游戲中最常規的辦法就是利用每一個空格所在的三個單元中已經出現的數字（大小數獨一個空格只位于兩個單元之內，但是同時多了一個大小關系作為限制條件）來縮小可選數字的范圍。總結4個小技巧：
1、巧選突破口：數獨中未知的空格數目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規則的限制來分析每一個空格的可選數字的個數，然后選擇可選數字最少的方格開始，一般來說，我們會選擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數字；而大小數獨中已知的數字往往非常少，這個時候大小關系更加重要，我們除了利用已知數字之外更加需要考慮大小關系的限制。
2、相對不確定法：有的時候我們不能確定2個方格中的數字，卻可以確定同一單元其他方格中肯定不會出現什么數字，這個就是我們說的相對不確定法。舉例說明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我們可以確定，1和2必定出現在A1和A2兩者之中，A行其他位置不可能出現1或者2.3、相對排除法：某一單元中出現好幾個空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個空格的可選數字進行對比分析來確定它們中的某一個或者幾個空格。舉例說明，A行中已經確定5個數字，還有4個數字（我們假設是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個空格所在的其他單元我們知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，這個時候我們可以分析，數字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4，我們就可以不用考慮A1，這樣就可以發現2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進行確定。
4、假設法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進行假設，當然，假設也是原則的，我們不能進行無意義的假設，假設的原則是：如果通過假設一個空格的數字，可以確定和這個空格處在同一個單元內的其它某一個或者某幾個空格的數字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設為佳。舉例說明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，這個時候我們就應該假設B3填入2，這樣就可以確定A3填入3，B4填入1，然后以這個為基礎進行推理。
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例題練習
一、輻射型數陣圖
【例 1】 把1991，1992，1993，1994，1995分別填入圖2的5個方格中，使得橫排的三個方格中的數的和等于豎列的三個方格中的數的和。則中間方格中能填的數是____________。
【例 2】 請你把1～7這七個自然數，分別填在下圖（1）的圓圈內，使每條直線上的三個數的和都相等.應怎樣填？
（1）
【例 3】 將 1～11 十一個數字，填入下圖各○中，使每條線段上的數字和相等。
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二、封閉型數陣
【例 4】
把2、3、4、5、6、7六個數字，分別填入○中，使三角形各邊上的數字和都是12。
【例 5】 把1～9九個數字，分別填入下圖○中，使每邊上四個數的和都是21。
三、復合型數陣圖
【例 6】 右邊的一排方格中，除9、8外，每個方格中的字都表示一個數(不同的字可以表示相同的數)，已知其中任何3個連續方格中的數相加起來都為22，則“走”+“進”+“數”+“學”+“花”+“園”=
【例 7】 如圖所示，圓圈中分別填人0到9這10個數，且每個正方形頂點上的四個數之和都是18，則中間兩個數A與B的和是________。
AB
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【例 8】 把1～8的數填到下圖中，使每個四邊形中頂點的數字和相等。
四、數陣圖與數論
【例 9】 把0—9這十個數字填到右圖的圓圈內，使得五條線上的數字和構成一個等差數列，而且這個等差數列的各項之和為55，那么這個等差數列的公差有
種可能的取值．
五、數獨
【例 10】 在下圖中的每個□填入一位適當的數字，使每一行、每一列、每一宮中包含數字1到4，并且每個數字只出現一次。
六、幻方
【例 11】 3?3的正方形中，在每個格子里分別填入1~9的9個數字，要求每行每列及對角線上的三個數的和相等（請給出至少一種填法）．
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【例 12】 在圖的九個方格里，每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等，則N=。
861612N
作業練習
把1～5這五個數分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數之和與豎列三數之和都等于9。
把1～5這五個數填入右圖中的○里，使每條直線上的三個數之和相等。
將1～8這八個自然數分別填入下圖中的八個○內，使四邊形每條邊上的三個數之和都等于14，且數字1出現在四邊形的一個頂點上.應如何填？
（1）
用11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個三階幻方。
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第二篇：幻方問題
幻方問題
據說很早以前，夏禹治水時，河南洛陽附近的大河里浮出了一只烏龜，背上有一個很奇怪的圖形，古人認為是一種祥瑞，預示著洪水將被夏禹王徹底制服。后人稱之為“洛書”或“河圖”。
如果把圖形改成現在通行的阿拉伯數字，就成了下圖的樣子。
2 5 7
1 6
我們注意到左面的圖形中，九個數字正好是從1到9，既無重復，也沒有遺漏，所有橫豎線與對角線之和相等。此類圖形成為幻方圖形，圖中給出的為三階幻方。選擇合適算法，使用計算機生成不同階的幻方。
解法分析：
#include
⑴ N 為奇數時，最簡單
(1)將1放在第一行中間一列;
(2)從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放，按 45°方向行走，如向右上
每一個數存放的行比前一個數的行數減1，列數加1
(3)如果行列范圍超出矩陣范圍，則回繞。
(4)如果按上面規則確定的位置上已有數，或上一個數是第1行第n列時，則把下一個數放在上一個數的下面。
程序：int ABC1(int n)//當n為奇數的時候生成的幻方
{
int i,j,k;int **a=new int*[n];for(i=0;i for(i=0;i for(j=0;j } } j++;if(i==n-1&&j==n-1){ i++;a[i][j]=k;} if(i<0)i=n-1;if(j>n-1)j=0;if(a[i][j]==0)a[i][j]=k;else { } i++;if(i>n-1)i=0;j--;if(j<0) j=n-1;i++;if(i>n-1)i=0;a[i][j]=k;break;} for(i=0;i } for(j=0;j ⑵ N為4的倍數時（采用對稱元素交換法。） 首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣 然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上位置的數關于方陣中心作對 稱交換，即a(i,j)與a(n-1-i,n-1-j)交換，所有其它位置上的數不變。 (或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)程序：int ABC2(int n)//當n不是奇數但是能被4整除的數生成的幻方 { } ⑶ N 為其它偶數時 當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階)子方陣。按上述奇數階魔方給分解的4個子方陣對應賦值。上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)，即4個子方陣對應元素相差v，其中v＝n*n/4 四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③ ④ ②然后作相應的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(j } for(i=0;i printf(“%4d”,a[i][j]);} cout< a[i][j]=k++;k=n*n+1;for(i=0;i<4;i++)for(j=0;j<4;j++) if((i==j)||(i+j==3))for(W=0;W for(D=0;D a[i+W*4][j+D*4]=k-a[i+W*4][j+D*4];return 0;程序：int ABC3(int n)//當n是偶數且不能被4整除的數； { int i,j,k;int **a=new int*[n];for(i=0;i a[i]=new int[n];if(n%2!=1&&n%4!=0){ for(i=0;i for(j=0;j i=0;j=n/2-1;k=1;a[i][j]=k++;a[i][j+1]=k++;a[i+1][j]=k++;a[i+1][j+1]=k++;for(k=5;k<=n*n;){ i-=2;j+=2;if(i==n-2&&j==n-2){ i+=2;a[i][j]=k++;a[i][j+1]=k++;a[i+1][j]=k++;a[i+1][j+1]=k++;break;a[i][j]=0;} if(i<0)i=n-2;if(j>n-2)j=0;if(a[i][j]==0){ } else { i+=2;if(i>n-2)i=0;j-=2;if(j<0)a[i][j]=k++;a[i][j+1]=k++;a[i+1][j]=k++;a[i+1][j+1]=k++; } } j=n-2;i+=2;if(i>n-2)i=0;a[i][j]=k++;a[i][j+1]=k++;a[i+1][j]=k++;a[i+1][j+1]=k++;for(i=0;i { k=a[i][j];a[i][j]=a[i+1][j];a[i+1][j]=k;} k=a[n/2-1][n/2-1];a[n/2-1][n/2-1]=a[n/2][n/2-1];a[n/2][n/2-1]=k;k=a[n/2-1][n-1];a[n/2-1][n-1]=a[n/2][n-1];a[n/2][n-1]=k;for(j=0;j { } k=a[i][j];a[i][j]=a[i][j+1];a[i][j+1]=k;k=a[n/2][n/2-1];a[n/2][n/2-1]=a[n/2][n/2];a[n/2][n/2]=k;k=a[n-1][n/2-1];a[n-1][n/2-1]=a[n-1][n/2];a[n-1][n/2]=k;k=a[n-2][n-2];a[n-2][n-2]=a[n-2][n-2+1];a[n-2][n-2+1]=k;k=a[n-1][n-2];a[n-1][n-2]=a[n-1][n-2+1];a[n-1][n-2+1]=k; } for(i=0;i { } for(j=0;j int n;int i;cout<<“請輸入幻方階數:”;cin>>n;int **a=new int*[n];for(i=0;i ABC1(n);cout<<“是否繼續(Y/N)：”;cin>>aa;if(aa=='y'||aa=='Y')goto begin;return 0;} else if(n%4==0) { } else { ABC3(n);cout<<“是否繼續(Y/N)：”;cin>>aa;if(aa=='y'||aa=='Y') goto begin;}return 0 ABC2(n);cout<<“是否繼續(Y/N)：”;cin>>aa;if(aa=='y'||aa=='Y')goto begin; ｝ 運行結果顯示： 一年級奧數題及答案：巧填數陣圖 1.巧填數陣圖 把1 ～ 9這九個數字填入下列圓圈內，使每條橫線、豎線、斜線連接起來的三個圓圈內的數之和都等于15。 解答： 【小結】這些數中1+9=2+8=3+7=4+6=10，那么可以判斷中間的公共數填5，這樣每行、每列、每一斜行的數相加都是15。 2.單雙數的性質 一堆小棒，4根4根的數，最后還剩下一根，猜一猜這堆小棒的根數是單數還是雙數？ 解答：這堆小棒的總數是單數。 【小結】4是雙數，所以不管拿幾次都是雙數。而最后卻留下了一根，所以這堆小棒的總是是單數。 幻 方 教學目標： 1.初步認識幻方，了解幻方的起源，激發熱愛祖國的思想感情。 2.能正確計算每一個九宮格中8個三數之和。 3.探索幻方的規律，并能運用規律靈巧地找出幻方中的缺數。 4.培養自主探究的能力和團結協作的能力。 教學重、難點： 1.能正確計算每一個九宮格中8個三數之和。 2.探索幻方的規律，并能運用規律靈巧地找出幻方中的缺數。 教具準備： 教學課件 教學過程： 一、故事引入 （大禹治水的故事） 今天這節課我們一起來研究一下這個奇特的圖案。 二、認識幻方 1.從烏龜背上的9種花點圖案引到九宮圖。 仔細觀察，你看到了什么？你又看懂了什么？ 2.出示第9頁幻方 介紹名字：九宮圖 3.計算幻方8個三數之和（分組計算） 橫行：4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15 豎行：4+3+8=15 9+5+1=15 2+7+6=15 斜行：4+5+6=15 8+5+2=15 4.將上一個幻方90度、180度、270度及對角交換成下列四個幻方。 （1） （2） （3） （4） 分組計算。 仔細觀察上面五個幻方你發現了什么？ 小結：（1）都是由1到9九個數排成的。 （2）橫行、豎行、斜行的三個數的和都是15。 （3）5在中間。 （4）5相對的兩個端點的兩個數的和是10。 （5）雙數在四個角上，單數在中間。 5.判斷。 下列是幻方嗎？ 三、靈巧計算幻方 1.這只龜姐妹背上的有些圖案已經看不清了，你能幫它找出來嗎？ 2.看！又來了一只龜爺爺，背上的圖案缺得更多了，請你幫幫它好嗎？ 數學思維四年級“三階幻方”教學案例 背景介紹： 本節教材是我校校本課程《數學思維拓展》中四年級的教學內容。校本課程與原來老教材有所不同，更進一步從學生探究的角度出發，充分發揮學生是的主動性。選用這節課是因為這節課囊括了課堂活動、學生探究和師生完美配合等方面。當時這是一節常態課，授課方式為普通的啟發式教學，所采用的上課方式是組討論式。希望通過這節課同過去的課進行比較。考慮到本堂課的情況，未安排學生進行預習。教學目標： 1．通過學生自主探究，得出“三階幻方”的規律。 2．通過做一做，看一看，培養學生的操作能力，觀察能力，判斷能力，語言表達能力。 3．通過小組討論培養學生合作交流的意識。4．讓學生體會到數學的無窮樂趣。教學重難點： 通過討論，分析出“三階幻方”的規律和做“三階幻方”的方法和技巧嗎。教具學具： Ppt、習題卡 教學過程： 一、創設情境，探求新知 師：同學們，我們學校的數學思維，玩轉數學部分都包括什么？ 生: 魔方、魔尺、數獨、24點、圍棋?? 師：那誰能說一說數獨的特點？ 生：數獨有四宮格、六宮格、九宮格。 生：我們四年級學的六宮數獨很特殊，它有六個宮，每行、每列、每個宮內都填入數字1、2、3、4、5、6，并且不能重復。 師：嗯，這位同學真是一個善于總結、善于表達的好孩子！的確，數獨有六個宮，行、列、宮之間都存在很獨特的關系，今天，我們將學習和數獨非常相像的內容——三節幻方。 板書：三階幻方 點評：用回顧數獨的特點導入本節課，很容易讓孩子們把二者有機地聯系起來，一是能把對數獨的喜愛傳遞給“三階幻方”；二是能通過回憶數獨的做題方法聯系到“三階幻方”，有助于學生全力投入到課堂中，創設這種情境，激發了學生的學習興趣和求知欲望，放飛了學生的思維，使學生積極地投入到學習活動之中，為學好這節課起到了很好的鋪墊作用。 二、聯系課堂實際，探究發掘規律 1、大屏幕上出示3×3的方格布陣圖，讓學生充滿想象。師：同學們，這九個方格可不是數獨，但是我們也把它稱之為九個宮，中間這一宮稱作中宮。 生：老師，因為它每行、每列都有三個格子，所以叫“三階幻方”。 2、大屏幕上出示兩道已經完成的三階幻方題目。師：同學們，仔細觀察這兩個方陣圖，小組同學互相討論，你發現了什么? 第一小組代表：我們發現中宮數字都是15。 第二小組代表：我們發現宮里的數字都是小于30的。 第三小組代表：我們發現第八宮數-中宮數=第四宮數-第三宮數。第二組同學補充：我發現第一宮數-中宮數=第三宮數-第四宮數。[學生回答，教師評價補充，讓學生體會尋找共同規律要按照一定的標準，初步體會三階幻方規律的存在。] 點評：充分發揮小組合作交流的優勢，通過生生之間的交流，讓學生思維互補，都能感知什么是三階幻方，并且可以提高學生的觀察能力，判斷能力和語言表達能力。 3、師啟發，學生進一步觀察。 師：同學們，再從數字的角度出發，觀察觀察三階幻方的規律。學生討論得熱火朝天，紛紛發表自己的見解。生：老師，我發現了，每行的三個數的和相等！同學們好像都瞬時間明白了什么，紛紛舉起手來。生：老師，我發現了每列的三個數的和相等!生：老師，還有，斜著看三個數字的和也相等。 [教師讓各小組發表各自見解之后，讓學生說明發現的規律的理由，教師及時地給予肯定和評價。] 師：同學們，你們從行、列、斜線的角度觀察到和相等，還有什么補充嗎？ [教師讓學生再一次進行觀察，把剛剛得到的結果在進行補充，從而使分析的過程細化，讓學生體會數學中的奧秘。] 各小組學生討論完后，小組代表匯報結果： 生：剛才三個同學說的三種和也相等，都是45。 師：好，好多同學沒有聽清，請你把你的想法完整地說出來。生：我們又神奇地發現，每行、每列、每條斜線上的三個數字之和都相等，都是45。 生：哦，原來是這樣?? 生：對對對，我們也是這么想的?? [教師在學生回答的過程中，給予評價肯定和補充。] 師： 今天同學們通過自己討論和觀察得出了這么多結論，你們總結得很正確，也很全面，觀察很仔細，其實，這些規律就是三階幻方的規律，把這些規律統一起來就叫做三階幻方。那誰來總結一下什么是三階幻方？ 生：每行、每列、每條斜線上的三個數字之和都相等的布陣圖就是三階幻方。 師：很正確，誰能說的再完整一些？ 生：?? 點評：教師放手讓學生自己合作探究發現規律，給學生提供了一個合作觀察、自主探究的平臺，引導學生通過觀察、探索、合作、交流、經歷的過程與方法，自主構建知識，符合中年級學生的認知規律。 三、實際運用，鞏固發展 強化新知，鞏固練習。 （1）出示課本44頁第一題：完成三階幻方。 （學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正，然后集體訂正。）（2）出示課本第44第2題：數字越來越少，難度越來越大。（小組討論，學生代表回答，教師再集體訂正。） 點評：數學來源于探究，探究讓數學充滿魅力和神奇。教師注重學生的自主探究，通過課堂上合作與交流的方式讓學生發現新知，通過自我體驗進一步鞏固體驗分類的方法，讓數學走進學生的思維，讓學生在探究中看到數學，喜愛上數學，培養了學生的探索精神和創新意識。 四、拓展延伸，知識遷移 師：同學們已經掌握了三階幻方的規律，那同學們能不能自己創作一個符合規律的三階幻方？ 我們今天的作業有兩項，第一就是自己根據三階幻方的規律，自己創作兩組三階幻方；第二，同桌之間互相出題，然后解答，看哪組同桌最默契。 點評：積極倡導和實踐學生學習方式的個性化，鼓勵學生用自己合作探究的方式學習數學，充分張揚了學生的個性，有利于學生個性的發展。 總評： 1、數學思維的教學，要緊密聯系學生的實際特點，從學生的經驗和已有的知識出發，創設生動有趣的情境。”在本節課的教學中，教師注重學生已有的知識，引導學生全身心地投入數學思維學習活動中，學生興趣盎然地自主探索、發現規律，合作交流體驗，理解掌握了本課的重點，獲取學習數學思維的經驗，成為數學學習活動中的探索者、發現者、創造者。 2、在本節課的教學中，教師力求遵循知識的發展規律和學生的認知規律，較好地貫徹“教師為主導，學生為主體，思維為核心，培養學生能力，發展學生智力”的教學理念。充分調動學生思維的積極性，教學中由于讓學生自己發現、自己分析總結，參與知識的形成過程和發展過程，促進了思維的發展和能力的形成。 3、在本節課的教學中，突出“合作、探究”四個字，讓學生在交流中放飛思維，激發學習興趣，自主探究與合作交流獲取知識，發展了能力。 鶴祥實驗小學 張 麗第三篇：一年級奧數題及答案：巧填數陣圖
第四篇：二年級上冊數學教案 數學廣場——幻方滬教版
第五篇：“三階幻方”教學案例—張麗
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