第一篇：2018考研數學復習重點之定積分解析篇

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2018考研數學復習重點之定積分解析篇

2018考研數學大綱已發布，對于定積分部分，整體要求沒有什么出入，下面主要是根據2017年對定積分這一塊的考查，并結合今天出來的2018年考試大綱來給2018的同學們來聊聊，接下來這三個月，我們在2018年的考研備考中所要注意的問題：

首先，我們要結合剛剛出來的2018年考試大綱來明確這一部分的知識體系。

定積分這章包括：定積分的定義，性質;微積分基本定理;反常積分以及定積分的應用這幾個部分。這幾個部分各有各的側重點。而其中有關定積分的定義是要求我們掌握的重點，我們要充分理解微積分基本定理以及還要掌握定積分在幾何和物理上面的應用。至于反常積分這一塊，會計算簡單的反常積分，了解反常積分的概念就好了。

接下來，我們要挖掘考試大綱，以幫助我們更深刻理解這一章的知識點。

一、定積分

關于定積分的定義及性質。這里要求同學們一定要理解分割，近似以及求和還有取極限這幾個步驟。與此同時還要求同學們知道其幾何意義及定義中我們所要注意的地方。對定積分定義這一部分的考察在每年考研中幾乎都是必考內容。因此希望這一部分能引起同學們的一定的重視。關于定積分的性質這一塊，同學們關鍵主要在于理解。定積分中的區間可加性、積分中值定理、比較定理這幾個是同學要掌握的。而對于微積分基本定理這一塊的知識點是非常重要的。這里面有一個新的函數叫做變上限積分函數。關于變上限積分函數的兩個性質是我們一定要掌握的。關于切線與法線;以及單調性;極值;凹凸性的應用與變上限積分函數是可以相關聯的。有了變上限積分函數的定義后，我們就要注意變限積分求導問題了，有關變上限積分的求導，希望同學們能夠會證明，以前考研真題中也出現過此類問題。所以，應當值得我們重視。

二、反常積分

對反常積分這一塊內容，要求同學們了解反常積分的基本定義，會利用用定積分來判斷其收斂性，會計算反常積分就夠了。而關于反常積分的計算，同學們就當作定積分來求就可以了。

最后，就是有關定積分的應用部分了。這一塊應用希望童鞋們要掌握住，其主要就是利用微元法在幾何上應用，對于數一和數二的同學還要求掌握物理上面的應用。而這里，同學們一定要知道數學一、二、三的區別。數學三的同學要掌握用定積分求面積及簡單的體積。而對于數學一和數學二還要求掌握用定積分求曲線弧長、旋轉曲面面積。而數學一和數學二也要掌握物理方面的應用，這里主要要求數一數二的同學掌握用定積分求變力做功、抽水做功及液太靜壓力和質心問題。而這里最要的是同學們一定要掌握微元法這種思想方法。

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因此，關于定積分這一塊，希望同學們能夠結合上篇和下篇的全部內容，來完整的明晰有關定積分的知識。

總之，今天考研大綱剛出來，我們通過對2016年考研大綱的整體分析以及單塊知識點的分析，這里我希望同學們能夠全面掌握住相關知識點，為三個月后的2016考試做好充足的準備，希望同學們能夠學習好定積分這一部分內容，這樣可以為以后的高等數學的整體復習打好堅實的基礎，最后，還有幾個月，希望每個同學都能認認真真的學，希望每一位同學都能考出一個好的成績。

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第二篇：2014考研數學備考重點解析——定積分的計算和證明

2014考研數學備考重點解析——定積分的計算和證明

1.定義：?b

af(x)dx?lim?f(?k)?xk ??0k?1n

2.可積性：

1）必要條件：f(x)有界；

2）充分條件:f(x)連續或僅有有限個第一類間斷點；

3.計算1）?b

af(x)dx?F(b)?F(a)

2）換元法

3）分部積分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 ?n?1n?31????,n偶?nnnn?222(1)?2sinxdx??2cosxdx?? 00n?1n?32????,n奇?nn?23??

(2)

4.變上限積分：?π0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx ?x

af(t)dt

1)連續性：設f(x)在[a,b]上可積，則

2）可導性：設f(x)在[a,b]上連續，則

變上限求導的三個類型： ?xaxaf(t)dt在[a,b]上連續。f(t)dt醫學考研論壇在[a,b]上可導且(?f(t)dt)??f(x).ax?

??(x)??(1)??f(t)dt??f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)??(x)?

??(x)x??(2)??f(x,t)dt?例1:F(x)??(t?x)f(t)dx 0??(x)?

?bdx2??(3)??f(x,t)dt?例2:sin(x?t)dt?0?a?dx

3）奇偶性：i）若f(x)為奇函數，則?x

0f(t)dt為偶函數。

ii）若f(x)為偶函數，則5.性質：

?

x0

f(t)dt為奇函數。

1)不等式：i)若f(x)?g(x), 則

?

ba

f(x)dx??g(x)dx.a

b

ii)若f(x)在[a,b]上連續，則m(b?a)?iii)

?

ba

f(x)dx?M(b?a).?

ba

f(x)dx??|f(x)|dx.a

b

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上連續，則

?

ba

f(x)dx?f(c)(b?a),a?c?b

g(x)不變號，則

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上連續醫學考研論壇，?

ba

f(x)g(x)dx?f(c)?g(x)dx,a?c?b.a

b

【例1】I?

?

n?0

?x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n

?

?

?sin2

??

?

?

(cos?sin)2 cosx?sinx

(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)?22n.?

?40

?

【解法2】原式=n

5?4

??

5?4

?sin2xdx

=n

?

?

(cosx?sinx)2dx

45?4

=n

?

??

(sinx?cosx)dx?2.ex4

sinxdx;【例2】 I???

?1?ex2

?x?t

ee44

sinxdx??2?sintdt【解析】I??2?

x?t?1?e?1?e22

?

(x??t)

?

sin???1?ettdt

?

??

?1?2ex1442sinxdx???sinxdx?????

?1?ex2??21?ex

2?

??2?sinxdx

2?2

?

?

?

?

sin4xdx?

31?3?

海文考研鉆石卡 ???

42216

【例3】 已知f(x)連續，【解析】令x?t?u得

?

x0

?

tf(x?t)dt?1?cosx,求?2f(x)dx的值.?

x

tf(x?t)dt??(x?u)f(u)du?x?f(u)du??uf(u)du，xxx

xxxdx，從而有tf(x?t)dt?f(u)du?xf(x)?xf(x)?f(u)duf(u)du?sinx ????0000dx

令x?

?

?

得

?

f(u)du?sin

?

?1.1n

??1??2??n??

【例4】 求 lim??1?2?????1?n2?????1?n2???n???n????????

?1?1222n2?12n?

(?2)?ln1(?2)???ln1(?2)? 【解析】令yn??(1?2)(1?2)?(1?2)?，則lnyn??ln1nnnn?nnn???

n

2x2?

?ln2?2(1?)limlnyn??ln(1?x)dx?xln(1?x)0??01?x20n??4

原式?e

ln2?2(1?

?)

?

?2e

?2

.【例5】 求證:【解析】

?

sinx2dx?0.2?

?

2?

sinxdx =?

?

sint20

（令x2?t）

?

?

sint2t

??

2?

sint2t

?

而

??

2?

2?

??sinusint

=?du（令t???u）

2?u

則

?

sinxdx??

?0

sint?11?

??dt?0.2??t??

【例6】 設f(x)在[a,b]上連續，單調增。求證:【證法1】令F(x)?

b?ab

?axf(x)dx?2?af(x)dx

b

?

xa

tf(t)?

x?ax

f(t)dt ?a2

只要證明F(b)?0，顯然F(a)?0

2?a1x

f(x)??f(t)dt 22a

x1

=?(x?a)f(x)??f(t)dt?

?a??2?

=?(x?a)f(x)?(x?a)f(c)?(a?c?x)

而F?(x)?xf(x)??0 則F(b)?F(a)?0 原式得證.【證法2】由于f(x)在[a,b]上單調海文考研鉆石卡增，則

(x?

a?ba?b)(f(x)?f())?0 22

從而有即又則即

b

?

ba

(x?

a?b?a?b?)?f(x)?f()?dx?0 2?2?

a?ba?bba?b

(x?)f(x)dx?f()(x?)dx?0 ?a

22?a2ba?b(x?)dx?0 ?a

2ba?b(x?)f(x)dx?0 ?a

2ba?bbxf(x)dx?f(x)dx.?a?a2

第三篇：2016考研數學：定積分的證明

2016考研數學：定積分的證明

定積分及其應用這部分內容在歷年真題的考察中形式多樣，是考試的重點內容。啟航考研龍騰網校老師希望同學們要加以重視！

定積分的證明是指證明題目中出現積分符號的一類題目，一般的解題思路和常見的證明題大同小異，但是由于積分符號的出現，往往使得同學們有這樣那樣的不適應，在這里呢，和同學們一起總結下關于這類題目的一般解題思路。常見的關于定積分的證明，主要包括以下幾

類

問

題。

2、定積分中值定理命題的證明。一般利用連續函數的介值定理、微分中值定理、積分中值定理等來證明，其關鍵是構造輔助函數。

3、定積分不等式的證明。一般有三種方法。①利用被積函數的單調性、定積分的保序性和估值定理證明。

②將定積分的上(下)限改為變量，從而將定積分不等式化為函數不等式，再用微分學方法證明。

③利用微分中值定理、積分中值定理(適用于已知條件中有連續性和一階可導性)與泰勒公式(適用于題設中有二階以上可導性)。

第四篇：2016考研數學大綱解析及復習重點--函數、極限、連續

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2016考研數學大綱解析及復習重點--函

數、極限、連續

9月18日這個在中國歷史上成為轉折點的一天，同樣也為2016年參加考研的同學帶來了重磅消息—2016年考研大綱正式發布，下面凱程教育數學教研室老師就按章節來分析大綱的要求以及復習該章節的重點：

一、大綱要求:函數、極限、連續

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系.2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念.4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系.6.掌握極限的性質及四則運算法則.7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.9.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質.二、復習重點

本部分重點是極限，前后內容交叉多，綜合性強，主要有兩個出題點，一個是計算極限，一個是對極限的定義的考查。主要求極限的方法有：

利用極限的四則運算法則、冪指函數運算、連續函數代入法

利用兩個重要極限求極限

利用洛必達法則

利用等價無窮小

極限存在準則：夾逼準則，單調有界準則

利用左右極限求分段函數分段點

利用導數定義

利用定積分定義

利用泰勒公式求極限

通過與2015年的數學一大綱比較，今年沒有做任何調整，同學們按照原計劃復習，夯實基礎，把握重點，重視總結、歸納解題思路、方法和技巧，提高解題計算能力必能在2016

凱程考研輔導班，中國最強的考研輔導機構 的考試中創造輝煌。最后祝同學們，金榜題名。

2016考研數學考試大綱對比—高等數學(數二)

大家翹首以待的2016年考研數學大綱終于出爐，凱程教育數學教研室第一時間為各位考生權威、詳盡解析大綱變化、預測命題趨勢，從而有的放矢地提供備考指導，以幫助同學們快速了解、把握今年的考試方向、復習重點，選擇適合的復習方法和策略，以利于同學們在今后復習中，高效學習，取得好成績。

在逐字逐句的比對后，發現2016年考研數學二大綱與2015年相比，沒有發生任何變化，經歷了多年統考實踐，考研數學的考試內容已趨于完善，因此，相應的考試大綱今年也沒有發生變化。考生可以通過研究真題來揣摩命題者的出題規律，從而把握今年命題的思路和趨勢，按部就班的進行分析復習，增加復習備考的針對性和有效性。盡管2016年考研數學大綱沒有變動，但是仍然需要考生提高橫向、縱向梳理考點的能力，只有這樣才能拿到高分，所以考生仍然需要扎實備考。

下面我們就看看今年數學二高等數學部分的大綱要求：

一、函數、極限、連續

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系.2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念.4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系.6.掌握極限的性質及四則運算法則.7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.9.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.10.了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質.二、一元函數微分學

1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系.2.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式.了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分.3.了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數.4.會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.5.理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.7.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數的最大值和最小值的求法及其應用.8.會用導數判斷函數圖形的凹凸性(注：在區間 內，設函數 具有二階導數.當 時，的圖形是凹的;當 時，的圖形是凸的)，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會

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描繪函數的圖形.9.了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑.三、一元函數積分學

1.理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念.2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.3.會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.4.理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式.5.了解反常積分的概念，會計算反常積分.6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數平均值.四、多元函數微積分學

1.了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義.2.了解二元函數的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元連續函數的性質.3.了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.4.了解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.5.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標).五、常微分方程

1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程.3.會用降階法解下列形式的微分方程： 和.4.理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理.5.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程.6.會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程.7.會用微分方程解決一些簡單的應用問題.所以同學們繼續按照原計劃復習，夯實基礎，把握重點，重視總結、歸納解題思路、方法和技巧，提高解題計算能力必能在2016的考試中創造輝煌。最后祝同學們，金榜題名。

第五篇：2018考研高數定積分復習的三大要點

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2018考研高數定積分復習的三大要點

2018考研初試時間臨近，積分是考研數學中非常重要的考點也是容易丟分的部分。本文就和考生來說說最后這段時間要怎么復習定積分。

我們可以看到：在學習定積分之前，我們首先學習了不定積分。很多同學把不定積分與定積分搞混淆。其實不定積分是導數的逆運算，本質還是導數的延伸。而真正的積分部分是定積分。在此，向考生提出如下學習建議，供考生參考。

1.復習知識體系

在講定積分的時候，我又回歸到原來的講法：從知識體系講起。因為定積分這章非常重要，考試考查的內容多而廣。這章包括：定積分的定義，性質;微積分基本定理;反常積分;定積分的應用。這四個部分各有側重點。其中定積分的定義是重點;要理解微積分基本定理;要掌握定積分在幾何和物理上面的應用。至于反常積分大家了解就行了。

2.深刻回顧知識點

在掌握了知識體系之后，自然就需要明確具體的重點知識點了。首先是定積分的定義及性質。大家需要深刻理解定積分的定義。我覺得同學們不僅要會用自己的話來表述定義，而且要一步一步的寫出精髓。比如說從定義中體現的思想：微元法。同學們要理解分割，近似，求和，取極限這四個步驟。同時要知道其幾何意義及定義中需要注意的方面。對定積分定義的考察在每年考研中是必考內容。所以希望引起大家的足夠重視。至于性質，大家關鍵也在于理解。特別是區間可加性;比較定理;積分中值定理。對這三個性質大家一定要知道是怎么來的?？佳兄杏嘘P積分的證明題多多少少會用到這三個性質。所以大家只有理解了才懂得在什么時候用。然后是微積分基本定理。這個知識點非常重要。因為它定義了一種新的函數：積分上限函數。而且在一定的條件下，它的導數就是f(x)。所以我們擴展了函數類型。那么導數應用中的切線與法

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線;單調性;極值;凹凸性等應用就可以與積分上限函數聯系了。同時提出了牛頓-萊布尼茨公式，使得我們可以用不定積分來計算定積分。希望同學們要掌握牛頓-萊布尼茨公式的證明過程。補充說一點：求定積分常用的方法是基本積分公式;換元積分法(湊微分法和換元積分法);分部積分法。其中換元積分法和分部積分法是重點。大家要理解換元積分法的思想。即我們通過復合函數求導公式推出了湊微分法;通過三角代換，根式代換等提出了換元積分法。而我們通過相乘函數的導數公式推出了分部積分法。所以大家只有知道這些方法是怎么來的才能更好的使用這些方法。接著大家要注意變限積分求導了，最好請大家自己證明下。第三個要說的是反常積分。對這一部分，同學們了解基本定義，會用定積分判斷是否收斂就夠了。最后，是定積分的應用。其實就是微元法在幾何以及物理上面的應用。同樣的，同學們要知道數學一，數學二，數學三的區別。在幾何上，數學三只用掌握用定積分求面積和簡單幾何體的體積。而數學一和數學二還要求掌握用定積分求曲線弧長，旋轉曲面面積。在物理應用方面，數學一和數學二主要掌握用定積分求變力沿直線做功，抽水做功，液太靜壓力和質心問題。但核心是，同學們一定要掌握微元法的思想。

3.大量做題

在大家理解了重點知識以及明確了考試重點后就需要做題鞏固了。關鍵是做真題，反復做真題，反復練習。

總之，希望大家經過這三個步驟能夠學號臨門一腳，祝大家成功