第一篇：第3章 2數(shù)學(xué)證明學(xué)案

§2數(shù)學(xué)證明

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性； 2.掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理.【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】運(yùn)用演繹推理進(jìn)行一些簡單的推理.【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】了解合情推理與演繹推理的聯(lián)系、區(qū)別和各自所起的作用.【問題導(dǎo)思】閱讀教材p58—59頁內(nèi)容，解決以下問題 1._________是最常見的演繹推理形式。2.演繹推理的模式

（1）演繹推理的模式采用“三段論”: ①大前提——已知的___________(M是P);②小前提——所研究的__________(S是M);③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷(S是P).（2）從集合的角度看演繹推理: ①大前提:x∈M且x具有性質(zhì)P;②小前提：y∈S且S?M ③結(jié)論__________.3.演繹推理的結(jié)論一定正確嗎? 4.合情推理與演繹推理的關(guān)系:(1)從推理形式上看,歸納推理是由________到_______，由個(gè)別到一般的推理,類比是由_________到______的推理;演繹推理是由________到________的推理.(2)從推理所得的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論_____________,有待進(jìn)一步證明;演繹推理在_______和___________都正確的前提下,得到的結(jié)論一定正確.【自學(xué)檢測】 1.填空

（1）所有的金屬都能夠?qū)щ姡~是金屬，所以

；

（2）太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，冥王星是太陽系的大行星，因此

；

（3）在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100?C，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100?C時(shí)，；

（4）一切奇數(shù)都不能被2整除，2007是奇數(shù)，所以

；（5）三角函數(shù)都是周期函數(shù)，sin?是三角函數(shù)，所以

；

（6）兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么

.2.下面的推理形式正確嗎？推理的結(jié)論正確嗎？為什么？ 所有邊長相等的凸多邊形是正多邊形，（大前提）菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，（小前提）菱形是正多邊形.（結(jié)

論）3.把下列演繹推理寫成三段論的形式.①所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱,鐵是導(dǎo)體,所以鐵通電時(shí)發(fā)熱;②平行四邊形的對(duì)角線互相平分,菱形是平行四邊形,所以菱形的對(duì)角線互相平分；

③一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù),函數(shù)y?3x?2是一次函數(shù),所以函數(shù)y?3x?2是單調(diào)函數(shù).4.求證:函數(shù)f(x)??x?2x在(-∞,1)上為增函數(shù).2

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

111.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y?ax是增函數(shù)，y?()x是指數(shù)函數(shù)，則y?()x是增函數(shù).這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?/p>

22（）

A.大前提錯(cuò)誤

B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤

D.非以上錯(cuò)誤

2.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)” 結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.大前提錯(cuò)誤

B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤

D.非以上錯(cuò)誤 3.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b??平面?，直線a??平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.大前提錯(cuò)誤

B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤

D.非以上錯(cuò)誤 ,f(an)?仍是等比數(shù)列，則4.定義在(??,0)?(0,??)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列?an??稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在(??,0)?(0,??)上的如下函數(shù)：①f(x)?x；②f(x)?2；③f(x)?|x|；④f(x)?ln|x|,則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為（）

A.①②； B.③④； C.①③； D.②④

5.設(shè)⊕是R的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集.若對(duì)于任意的a,b?A，有a⊕b?A，則稱A 對(duì)運(yùn)算⊕封閉.那么下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）A.自然數(shù)集

B.整數(shù)集

C.有理數(shù)集

D.無理數(shù)集

2xx2?1(x?0),有下列命題: 6.關(guān)于函數(shù)f(x)?lg|x|①其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;②當(dāng)x?0時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x?0時(shí)，f(x)是減函數(shù) ③f(x)的最小值是lg2； ④當(dāng)?1?x?0或x?1時(shí)，f(x)是增函數(shù)； ⑤f(x)無最大值，也無最小值.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____________ 7.用三段論證明：f(x)?x?x為奇函數(shù).8.函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镸，對(duì)于任意的x1,x2?M，若|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|，則稱函數(shù)為“平緩函數(shù)”，請(qǐng)判斷函數(shù)f(x)?3x2?1為平緩函數(shù)并說明理由

第二篇：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式導(dǎo)學(xué)案一

河北饒陽中學(xué)學(xué)案編制人使用日期審核高二數(shù)學(xué)組書山有路勤為徑 學(xué)海無涯苦作舟

選修4-5學(xué)案§4.1.1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式姓名☆學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟;

2.?

重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.知識(shí)情景：

關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：

.驗(yàn)證n取時(shí)命題(即n＝n?時(shí)命題成立)(歸納奠基）20.假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題 歸納遞推）.30.由10、20知，對(duì)于一切n≥n?的自然數(shù)n命題！(結(jié)論）

要訣: 遞推基礎(chǔ), 歸納假設(shè), 結(jié)論寫明.☆ 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：

例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式sinn?≤nsin?.例2已知x> ?1，且x?0，n?N*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.例3 證明: 如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,?,an的乘積a1a2?an?1,那么它們的和a1?a2???an≥n.例4證明:1?

122?132???1n2?2?1n

(n?N,n≥2).第 1 頁；

例5.當(dāng)n≥2時(shí),求證

:1?

??

?

5、用數(shù)學(xué)歸納法證明

1?

11111111???????????2342n?12nn?1n?22n

2n6、.用數(shù)學(xué)歸納法證明4?1+3n+2能被13整除，其中n∈N

選修4-5練習(xí)§4.1.1值為()A.30

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（1）姓名

1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的B.26

C.36

D.62、.觀察下列式子：1?

3?,2

21?

115??,22323

1?

1117??? 223242

4…則可歸納出_____.7、求證：

3an13、已知a1?, an?1?,則a2,a3,a4,a5的值分別為，由此猜想

an?

32an?_________.111

5?????(n?2,n?N?)n?1n?23n64、用數(shù)學(xué)歸納法證明: An?5n?2?3n?1?1(n?N*)能被8整除.1118、已知，Sn?1?????,n?N?，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

23n

第 2 頁

S1n

2(n?2,n?N?

2n?)

9、.求證：用數(shù)學(xué)歸納法證明

2n?2?n2(n?N*)．

答案:

1.關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：10.驗(yàn)證n取第一個(gè)值時(shí)命題成立(即n＝n?時(shí)命題成立)(歸納奠基）；20.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立(歸納遞推）.30.由10、20知，對(duì)于一切n≥n?的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論）

要訣: 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.例1 ⑴當(dāng)n?1時(shí),上式左邊sin?

?右邊,不等式成立.⑵設(shè)當(dāng)n?k(k≥1)時(shí),不等式成立,即有sink?≤ksin?.那么,當(dāng)n?k?1時(shí),sin(k?1)?=

例2證明:(1)當(dāng)n=2時(shí)，左＝(1＋x)2=1+2x+x

2∵ x?0，∴ 1+2x+x2

>1+2x=右,∴n=2時(shí)不等式成立（2）假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，不等式成立，即(1+x)k

>1+kx當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤> ?1，所以1+x>0，于是左邊=(1+x)k+

1右邊=1+(k+1)x．

因?yàn)閗x2＞0，所以左邊＞右邊，即(1+x)k+1

>1+(k+1)x．這就是說，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．

根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立.例3 證明:⑴當(dāng)n?1時(shí),有a1?1，命題成立.⑵設(shè)當(dāng)n?k(k≥1)時(shí)，命題成立，即若k個(gè)正數(shù)a1,a2,?,ak的乘積a1a2?ak?1,那么它們的和a1?a2???ak≥k.那么當(dāng)n?k?1時(shí),已知k?1個(gè)正數(shù)a1,a2,?,ak,ak?1滿足a1a2?akak?1?1.若k?1個(gè)正數(shù)a1,a2,?,ak,ak?1都相等,則它們都是1.其和為k?1,命題成立.若這k?1個(gè)正數(shù)a1,a2,?,ak,ak?1不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)(否則與a1a2?akak?1?1矛盾).不妨設(shè)a1?1,a2?1.第 3 頁

例4證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1?

122?54 ,右邊=2?132?2 ,由于

534?2

故不等式成立.(2)假設(shè)n=k(k?N,k≥2)時(shí)命題成立,即1?1111

22?32???k2?2?k

.則當(dāng)n=k+1時(shí), 1?

122?11111

32???k2?(k?1)2?2?k?(k?1)

2?1k?1(k?1)2?2?1k?1k(k?1)?2?1k?(111

k?k?1)?2?k?1

.即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切n?N,n≥2都成立.例5（1）當(dāng)n?2時(shí)，左式?1?

1?1?

?17.?2?右式?當(dāng)n?2時(shí)，不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n?k（?2)時(shí)，不等式成立，即1?

???

?則當(dāng)n?k?

1時(shí)，左式?1?

??

?

?

?

??右式

?當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式成立。

由（1）（2）可知，對(duì)一切n?N，且n?2，不等式都成立。

練習(xí)

1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－

2(k≥2)

?f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

1?

12、解析：

22?32即1?1(1?1)

2?

2?1?

11?1 1?

11511222?32?3,即1?(1?1)2?(2?1)2

?

?2?1

2?1 歸納為1?

122?132???1(n?1)2

?

2n?1

n?1(n∈N*)答案:1?

122?132???1(n?1)2

?

2n?1

n?1(n∈N*)3?

3.解析:a?3a12a?3?

?3?3同理,1?372?52

a3a233333333?a???5,a4?9?4?5,a5?10?5?5,猜想an?

2?383n?

5答案:337、8、39、310

3n?

54、證:(1)當(dāng)n=1時(shí),A1=5+2+1=8,命題顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),Ak能被8整除,即Akk?5?2?3k?1?1是8的倍數(shù).那么: A?

1k?1?

5k?2?3k?1?5(5k?2?3k?1?1)?4(3k?1?1)?5Ak?4(3k?1?1)

因?yàn)锳k是8的倍數(shù),3k-1+1是偶數(shù)即4(3k-1+1)也是8的倍數(shù),所以Ak+1也是8的倍數(shù),即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由(1)、(2)知對(duì)一切正整數(shù)n, An能被8整除.111

15．證明： 1?當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-2=2，右邊=1?1=2，所以等式成立。

2?假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，1?

1111即

2?3?4???2k?1?12k?1k?1?1k?2???12k。

第 4 頁

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，1?11112?3?4???2k?1?12k?112k?1?2k?2 ?1?1???111k?1k?

22k?2k?1?

2k?2 1?1?1?1????111111234k?2?k?3???2k?2k?1?(k?1?2k?2)

?

k?2?1k?3???12k?12k?1?1

2(k?1)

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。

綜上所述，等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立。6．證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，42×1+1+31+2=91能被13整除

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.111．???1?

7證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，右邊=34566，不等式成立．

1?1???1?

5（2）假設(shè)當(dāng)n?k(k?2,k?N*)時(shí)命題成立，即k?1k?2

3k6．則當(dāng)n?k?1時(shí)，1(k?1)?1?1(k?1)?2???1111

3k?3k?1?3k?2?

3(k?1)?1k?1?1k?2???111113k?(3k?1?3k?2?3k?3?k?1)?516?(3k?1?13k?2?13k?3?1k?1)?511116?(3k?3?3k?3?3k?3?k?1)?56?(3?13k?3?1k?1)?56.所以則當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切n?2,n?N*

均成立．

8.證明：

S?1?

12?13?14?1?1312?1?2

（1）當(dāng)n=2時(shí)，222，∴命題成立．

n?k(k?2,k*

S（2）假設(shè)當(dāng)

?N)時(shí)命題成立，即 2k?1?

112?3???1k

2k?1?2．

則當(dāng)n?k?1時(shí)，S?1?12?13???1111

?1

2k2k?2k?1?2k?2???2k?1

?1?

k2?12?1?11k111

k2k?2???2k?1?1?2?2k?1?2k?1???2k?1?1?k?2k1k1k?12?2k?1?1?2?2?1?2.所以則當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切n?2,n?N*

均成立．

9、證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，21?2?12，不等式成立；當(dāng)n=2時(shí)，22?2?22，不等式成立；當(dāng)n=3時(shí)，23?2?32，不等式成立．

（2）假設(shè)當(dāng)

n?k(k?3,k?N*)時(shí)不等式成立，即 2k?2?k2．則當(dāng)n?k?1時(shí)，2k?1?2?2(2k?2)?2?2k2?2?(k?1)2?k2

?2k?3，∵k?3，∴k2

?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）

第 5 頁

k?12222?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)從而，k?122?2?(k?1)∴．

即當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立．

由（1），（2）可知，2n?2?n2對(duì)一切n?N*

都成立．

第 6 頁

第三篇：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式鞏固學(xué)案

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式鞏固學(xué)案

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“111111?????≥,(n∈N+)”時(shí)，由n=k到n=k+1n?1n?2n?3n?n2

4時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A.1111111111??????B.C D.2k?12k?2k?1k?22(k?1)2k?12k?22k?12k?2k?

1111++…+1)時(shí)，第一步需證（）232n?1

1111A.1<2B.1+<2C.1++<2D.1+<2 223

31113.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+n1)”時(shí)，由n=k（k>1）不等式成立，232?12.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+

推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）

A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1

4.關(guān)于正整數(shù)n的不等式2n>n2成立的條件是（）

A.n∈N+B.n≥4C.n>4D.n=1或n>4

5、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,對(duì)任意n∈N,都使m整除f(n)，則最大的m為()

A.306、若不等式B.26C.36D.6 111m?????對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的n?1n?22n2

4最大值為（）

A.12B.13C.14D.不存在7、設(shè)n為正整數(shù)，f(n)=1+111357++…+,計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,觀23n222察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論（）

2n?1n?2n?2B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不對(duì) 22218、如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)對(duì)一切正整數(shù)n都成立，4A.f(2n)>

a，b的值應(yīng)該等于（）

A.a=1,b=3B.a=-1,b=1C.a=1,b=2D.a=2,b=

3an?bna?bn?()（A.，B.是非負(fù)實(shí)數(shù)，n∈N）時(shí)，假設(shè)n=k命題

9、用數(shù)學(xué)歸納法證明2

2成立之后，證明n=k+1命題也成立的關(guān)鍵是__________.10、用數(shù)學(xué)歸納法證明11111??????，假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立之2222n?223(n?1)

15?(n?2,n?N?)3n6后，證明n=k+1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_______________.11、求證：11??n?1n?2?

12、互不相等正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*，試證明：an+cn＞2bn.1113、已知，Sn?1???2

314.證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式（1+

立.15.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an+n?1??,n?N，證明：S2n?1?(n?2,n?N)2n1112n?1）（1+）…（1+）>成532n?121(n=1,2,3,…)求證：an>2n?1對(duì)一切正整數(shù)n成立.an

na?2x?a?216.設(shè)f(x)=是奇函數(shù)如果g(n)=(n∈N+)，比較f(n)與g(n)的大小（n∈N+).xn?12?

1n(n?1)(n?1)

2??2?2?3???n(n?1)?17.求證：(n∈N+)22

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式拓展--數(shù)列、不等式中數(shù)學(xué)歸納法

1、已知數(shù)列{A.n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：A.0=1,A.n+1=1A.n(4-A.n),n∈N.證明：

2A.n

（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于719a,如果b=a,972那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年？（取lg2=0.30）.3、已知數(shù)列{B.n}是等差數(shù)列，B.1=1,B.1+B.2+…+B.10=145.(1)求數(shù)列{B.n}的通項(xiàng)公式B.n;

(2)設(shè)數(shù)列{A.n}的通項(xiàng)A.n=logA.(1+1)(其中A.＞0且A.≠1)，記Sn是數(shù)列{A.n}的前n項(xiàng)和.bn

試比較Sn與

1logA.B.n+1的大小，并證明你的結(jié)論.34、已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145(n∈N+)

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng).（2）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+1)(其中a>0且a≠1),記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比bn

較Sn與

1logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.35、已知函數(shù)f(x)=x?3(x≠-1).設(shè)數(shù)列{A.n}滿足A.1=1,A.n+1=f(A.n)，數(shù)列{B.n}滿足x?

1B.n=|A.n-3|,Sn=B.1+B.2+…+B.n(n∈N*).(?1)n

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明:B.n≤;2n?1

（2）證明:Sn<23.36、已知曲線Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,)．從點(diǎn)P(?1,0)向曲線Cn引斜率kn(kn?0)的切線ln，切點(diǎn)為Pn(xn,yn)．

（1）求數(shù)列{xn}與{yn}的通項(xiàng)公式；（2）

證明：x1?x3?x5?

?x2n?1?xn.yn

x?3f(x)?(x??1), 設(shè)數(shù)列{a}滿足a?1,a?f(a)，7、已知函數(shù)n1n?1nx?

1{b

n}滿足bn?|an|,Sn?b1?b2??bn(n?N*)

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn?（Ⅱ）證明Sn?.8、已知不等式2?3???n?2[log2n],其中n為大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足a1?b(b?0),an?

證明:an?

nan?1,n?2,3,4,? n?an?111112b,n?3,4,5,? 2?b[log2n]

第四篇：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案

§2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟;

2.重、難點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.一、知識(shí)情景：

關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：

10.驗(yàn)證n取時(shí)命題(即n＝n?時(shí)命題成立)(歸納奠基）

20.假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題(歸納遞推）.30.由10、20知，對(duì)于一切n≥n?的自然數(shù)n命題！(結(jié)論）

要訣: 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：

例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式sinn?≤nsin?.（n?N?）

例2證明貝努力（Bernoulli）不等式:

已知x?R,且x> ?1，且x?0，n?N*，n≥2．求證：(1+x)n>1+nx.1；

例3 證明: 如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,?,an的乘積a1a2?an?1,那么它們的和a1?a2???an≥n.三、當(dāng)堂檢測

1、（1）不等式2n?n4對(duì)哪些正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論。

（2）求滿足不等式(1?1n

n)?n的正整數(shù)n的范圍。

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明

2n?2?n2(n?N*)．

§2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式作業(yè)紙班級(jí)姓名

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明3≥n(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4

2、觀察下面兩個(gè)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起an始終小于bn？證明你的結(jié)論。

｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… k

2n3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，不等式122?132???1n?1n

?n都成立。

4、若a、b、c三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，公差d?0，自然數(shù)n?2，求證：an?cn?2bn。

第五篇：數(shù)學(xué)選修4-5學(xué)案 §2.1.3不等式的證明

§2.1.3不等式的的證明(3)學(xué)案姓名☆學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.理解并掌握反證法、換元法與放縮法;

2.?知識(shí)情景：

1.不等式證明的基本方法：10.比差法與比商法(兩正數(shù)時(shí))．

20.綜合法和分析法．

30.反證法、換元法、放縮法

2.綜合法：從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導(dǎo)法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：A?B1?B2???Bn?B 3.分析法：從要證的結(jié)論出發(fā), 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)索.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系： 結(jié)(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

?新知建構(gòu)：

1.反證法：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立.例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0.2.換元法：一般由代數(shù)式的整體換元、三角換元，換元時(shí)要注意等價(jià)性.常用的換元有三角換元有： 1．已知x?y?a，可設(shè)，； 022

220．已知x2?y2?1，可設(shè)，0?r?1)； 22xy30．已知a2?b2?1，可設(shè)，.例2 設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2?(y?1)2?1，當(dāng)x?y?c?0時(shí)，c的取值范圍是（）A.1,??)B.(??1]C.1,??)D.(??1] 例3 已知x2?y2?

1，求證：?y?ax?

3.放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小

由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.a2?1?a，n(n?1)?n，0?a111 ?2?n(n?1)nn(n?1)?bm?0a?a?m

bb?m

④利用基本不等式，如：lg3?lg5?(⑤利用函數(shù)的單調(diào)性)2???lg4；

⑥利用函數(shù)的有界性：如：sinx≤1?x?R?；

⑦絕對(duì)值不等式：a?b≤a?

b≤a?b；

???

2n?k?N,k?

1?，*?2?k?N,k?1? * ⑨應(yīng)用貝努利不等式：(1?x)?1?nx?n(n?1)2x???xn?1?nx.1?2

例4當(dāng) n > 2 時(shí)，求證：logn(n?1)?log(n?1)n

例5求證：1??

1111?????3.11?21?2?31?2?3???n

例6 若a, b, c, d?R+，求證：1?

abcd????2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

§2.1.3不等式的證明(3)練習(xí)姓名

11、設(shè)二次函數(shù)f(x)?x2?px?q，求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個(gè)不小于.212、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時(shí)大于

43、已知a?b?0，求證：a?（n?N且n?1）.4、若x, y > 0，且x + y >2，則

1?y1?x和中至少有一個(gè)小于2。xy5、已知 1≤x2?y2≤2，求證：≤x2?xy?y2≤3

26、設(shè)f(x)?x2?x?13，x?a?1，求證：f(x)?f(a)?2?a?1?；

7、求證：?1?

8、求證

x?11? x2?x?13a?b1?a?b?a1?a?b1?b.9、設(shè)n為大于1的自然數(shù)，求證

11111??????.n?1n?2n?32n210、若n是自然數(shù)，求證

1111??????2.122232n

231111?1?2?????2?2?(n≥2)

11、求證：?2n?12nn12、求證：2?1??n?N? *