第十七章

勾股定理

基礎過關卷

一、單選題

1．直角三角形的兩邊長分別為6和8，那么它的第三邊長度為（）

A．8

B．10

C．8或2

D．10或2

【答案】D

【解析】

分8為直角邊、8為斜邊兩種情況，根據勾股定理計算．解：當8為直角邊時，斜邊==10，當8為斜邊時，另一條直角邊==2，故選：D．

【點睛】

本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．

2．已知，是三角形的三邊長，且，那么此三角形是（）

A．以為斜邊的直角三角形

B．以為斜邊的直角三角形

C．等腰直角三角形

D．銳角三角形

【答案】B

【解析】

根據絕對值、偶次方的非負性質，分別求出a，b，c的值；利用勾股定理的逆定理，判斷△ABC的形狀，即可得到答案.∵，根據絕對值、偶次方的非負性質，∴c

=13，b=12，a=5，∵52+122=132，∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形．

故選：B．

【點睛】

本題考查勾股定理的逆定理，絕對值、偶次方的性質，掌握勾股定理的逆定理，絕對值、偶次方的非負性質是解題的關鍵.3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D在邊BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于點E．若AC=12，BC=16，則AE的長為（）

A．6

B．8

C．10

D．12

【答案】C

【解析】

首先根據勾股定理求得斜邊AB的長度，然后結合等腰三角形的性質來求AE的長度．解：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：，∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于點E．

∴，故選：C．

【點睛】

本題主要考查了勾股定理和等腰三角形三線合一．在直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，則Rt△ABC的面積是()

A．24cm2

B．36cm2

C．48cm2

D．60cm2

【答案】A

【解析】

根據勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100，根據完全平方公式求出2AC?BC=96，得到

AC?BC=24，得到答案．∵∠C=90°，∴AC2+BC2=AB2=100，∵AC+BC=14，∴（AC+BC）2=196，即AC2+BC2+2AC?BC=196，∴2AC?BC=96，∴AC?BC=24，即Rt△ABC的面積是24cm2，故選：A．

【點睛】

此題考查勾股定理的應用，解題關鍵在于掌握直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．

5．如圖所示，在的正方形網格中，的頂點，均在格點上，則是（）

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰三角形

【答案】B

【解析】

首先依據勾股定理，結合圖中每個小方格的邊長，求得AC2，AB2，BC2的值；

接下來，依據勾股定理的逆定理可判斷出△ABC的形狀.∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴BC2

+AB2=

AC2，∴△ABC是直角三角形.故選B.【點睛】

本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關鍵是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.6．給出下列四個說法：

①由于0.3，0.4，0.5不是勾股數，所以以0.3，0.4，0.5為邊長的三角形不是直角三角形；

②由于以0.5，1.2，1.3為邊長的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股數；

③若，是勾股數，且最大，則一定有；

④若三個整數，是直角三角形的三邊長，則，一定是勾股數.其中正確的是

（）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

【答案】C

【解析】

根據勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股數的定義分別判斷各說法即可.①由于，所以以0.3，0.4，0.5為邊長的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整數，所以0.3，0.4，0.5不是勾股數，故①說法錯誤；

②雖然以0.5，1.2，1.3為邊長的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整數，所以0.5，1.2，1.3不是勾股數，故②說法錯誤；

③若，是勾股數，且最大，則一定有，故③說法正確；

④若三個整數，是直角三角形的三邊長，則，所以，所以，一定是勾股數故④說法正確.故選C.【點睛】

此題考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股數：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數．注意：

①三個數必須是正整數，例如：2.5、6、6.5滿足a2＋b2＝c2，但是它們不是正整數，所以它們不是勾股數．

②一組勾股數擴大相同的整數倍得到的三個數仍是一組勾股數．

③記住常用的勾股數再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．

7．如圖所示的是一種機器人行走的路徑，機器人從處先往東走，又往北走，遇到障礙后又往西走，再轉向北走后往東一拐僅走就到達了．則點與點之間的直線距離是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

過點B作于點C，先求出AC和BC的長，再用勾股定理求出AB的長．解：如圖，過點B作于點C，，在中，．

故選：D．

【點睛】

本題考查勾股定理，解題的關鍵是掌握用勾股定理解直角三角形的方法．

8．如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作正方形，面積分別為，；如圖2，分別以直角三角形三邊長為直徑向外作半圓，面積分別為，．其中，，則（）

A．10

B．9

C．8

D．7

【答案】A

【解析】

由題意可得S1+S2=S3，S5+S6=S4，然后根據S1=1，S2=3，S5=2，S6=4，然后求出S3+S4的值即可．解：如圖：

∵S1=a2，S2=b2，S3=c2，∴a2+b2=c2，即S1+S2=S3，同理可得：S5+S6=S4，∵S1=1，S2=3，S5=2，S6=4

∴S3+S4=（1+3）+（2+4）=4+6=10．

故答案為A．

【點睛】

本題主要考查勾股定理的應用以及正方形的面積、圓的面積的解法，審清題意、靈活運用數形結合的思想成為解答本題的關鍵．

9．如圖所示，在中，，于D，BE是的平分線，且交于，如果，則的長為（）

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】C

【解析】

先根據題目條件給出的角度證明是等邊三角形，得到，再根據含有角的直角三角形的性質和勾股定理求出AC的長．解：∵，∴，∵，∴

∵BE平分，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在中，∴，根據勾股定理，在中，∴，根據勾股定理，．

故選：C．

【點睛】

本題考查等邊三角形的性質和判定，含有角的直角三角形的性質和勾股定理，解題的關鍵是掌握這些性質定理進行求解．

10．如圖，要使寬為2米的矩形平板車ABCD通過寬為2米的等寬的直角通道，則平板車的長最多為（）

A．4

B．2

C．2

D．4

【答案】A

【解析】

設平板手推車的長度為x米，則當x為最大值時，平板手推車所形成的△CBP為等腰直角三角形，連接PO與BC交于點N，最后利用△CBP為等腰直角三角形的性質求解即可．解：設平板手推車的長度為x米，當x為最大值，此時平板手推車所形成的△CBP為等腰直角三角形，連接PO與BC交于點N

∵直角通道的寬為2

∴PO=4m，∴NP=PO-ON=4-2=2m

又∵△CBP為等腰直角三角形，∴AD=BC=2CN=2NP=4m．

故答案為A．

【點睛】

本題主要考查了勾股定理和等腰三角形的相關知識，根據題意得到當平板車最長時，△CBP為等腰直角三角形成為解答本題的關鍵．

11．如圖所示，已知中，，于，為上任一點，則等于（）．

A．9

B．25

C．36

D．45

【答案】D

【解析】

在和中，分別表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；在和中，，在和中，，．

故選D．

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的應用，準確分析計算是解題的關鍵．

12．如圖，是等邊三角形，點D．E分別為邊BC．AC上的點，且，點F是BE和AD的交點，垂足為點G，已知，則為（）

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】C

【解析】

結合等邊三角形得性質易證△ABE≌△CAD，可得∠FBG＝30°，BF＝2FG＝2，再求解∠ABE＝15°，進而兩次利用勾股定理可求解．∵△ABC為等邊三角形

∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝AC，CD＝AE

∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD

∴∠BFD＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAF＝∠BAC＝60°，∵BG⊥AD，∴∠BGF＝90°，∴∠FBG＝30°，∵FG＝1，∴BF＝2FG＝2，∵∠BEC＝75°，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠BAE＝15°，∴∠ABG＝45°，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝90°，∴AG=BG==，AB2=AG2+BG2=()2+()2=6．

故選C．

【點睛】

本題考查全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，勾股定理，證明△ABG為等腰直角三角形是解題關鍵．

二、填空題

13．直角三角形兩邊長分別為3和4，則它的周長為__________．

【答案】12或7+

【解析】

分兩種情況求出第三邊，即可求出周長．分兩種情況：

①當3和4都是直角邊時，第三邊長==5，故三角形的周長=3+4+5=12；

②當3是直角邊，4是斜邊時，第三邊長，故三角形的周長=3+4+=7+，故答案為：12或7+．

【點睛】

此題考查勾股定理的應用，題中不明確所給邊長為直角三角形的直角邊或是斜邊時，應分情況討論求解．

14．如圖，中，，邊上的中線，則________．

【答案】

【解析】

根據中線的性質及勾股定理的逆定理即可求出的度數．∵，邊上的中線，∴，∵，∴．

【點睛】

本題考查中線的性質勾股定理的逆定理的應用，掌握相應的性質定理是解答此題的關鍵．

15．如圖，圓柱形玻璃杯的高為，底面圓的周長為，在杯內離底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達蜂蜜所爬行的最短路程為________．

【答案】．

【解析】

過N作NQ⊥EF于Q，作M關于EH的對稱點M′，連接M′N交EH于P，連接MP，則MP+PN就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，求出M′Q，NQ，根據勾股定理求出M′N即可．解：如圖：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH，過N作NQ⊥EF于Q，作M關于EH的對稱點M′，連接M′N交EH于P，連接MP，則MP+PN就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，∵ME=M′E，M′P=MP，∴MP+PN=M′P+PN=M′N，∵NQ=×10cm=5cm，M′Q=12cm-4cm+2cm=10cm，在Rt△M′QN中，由勾股定理得：M′N=cm．

故答案為：．

【點睛】

本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應用，關鍵是找出最短路線．

16．如圖，在鈍角中，已知為鈍角，邊，的垂直平分線分別交于點，若，則的度數為________．

【答案】

【解析】

如圖中，連接AD、AE．首先證明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，根據三角形內角和定理可得，推出，由此即可解決問題．解：如圖，連接，．

∵，的垂直平分線分別交于點，∴，∴，．

∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．

故答案為：．

【點睛】

本題考查了線段垂直平分線的性質和三角形內角和定理，根據線段垂直平分線作出輔助線，根據三角形內角和定理解決問題是關鍵．

17．如圖，在中，點、、分別在、、上，且，，，則______度．

【答案】80．

【解析】

根據，，利用勾股定理可得，利用SSS可證，則有，利用外角的性質可求得，根據三角形的內角和定理，可以求出的度數．解：∵，∴，∵，∴，即

在和中

∴

∴，∵，∴，∴，故答案是：80．

【點睛】

此題主要考查了全等三角形的性質和判定，外角的性質以及三角形內角和定理，關鍵是掌握三角形內角和為．

18．如圖，在等腰中，高，平分，則三角形的面積為_______．

【答案】

【解析】

連接EC，證明，可得它們面積相等，用勾股定理算出AD長，然后設，用面積法列式求出DE的長，就可以算出結果．解：如圖，連接EC，∵AE平分，∴，在和中，∴，∴，在中，設，，解得，∴．

故答案是：．

【點睛】

本題考查全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是利用三角形面積相等列式求出對應邊長．

19．如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘C，而另一只爬到樹頂D后直撲池塘C，結果兩只猴子經過的距離相等，這棵樹有的高是______________

．

【答案】15米

【解析】

根據題意確定已知線段的長，再根據勾股定理列方程進行計算．設BD=米，則AD=（）米，CD=（）米，∵，∴，解得．

即樹的高度是10+5=15米．

故答案為：15米．

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的應用，把實際問題轉化為數學模型，構造直角三角形，然后利用勾股定理解決．

20．如圖，在中，，將折疊，使點與點重合，得到折痕，則的長為_____．

【答案】

【解析】

在中利用勾股定理建立方程求解即可．在中，由勾股定理可得，根據折疊的性質可知，設，則，在中，得方程，解得，故答案為：．

【點睛】

本題考查了三角形的翻折與勾股定理計算邊長，能夠抓住翻折前后圖形的基本性質，并結合勾股定理進行準確計算是解決問題的關鍵．

21．如圖，在中，，平分，垂足為，則__________．

【答案】

【解析】

先利用勾股定理可得，再根據角平分線的性質可得，然后根據直角三角形全等的判定定理與性質可得，從而可得，設，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．在中，，，平分，，在和中，，，設，則，在中，即，解得，即，故答案為：．

【點睛】

本題考查了角平分線的性質、直角三角形全等的判定定理與性質、勾股定理等知識點，熟練掌握角平分線的性質是解題關鍵．

22．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形ABCD，中間陰影的部分是一個小正方形EFGH，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”．若AB＝13，AE＝12，則正方形EFGH的面積為___________．

【答案】49

【解析】

根據正方形EFGH的面積＝大正方形面積﹣4個直角三角形面積即可求得正方形EFGH的面積．直角三角形直角邊的較短邊為=5，正方形EFGH的面積＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49．

故答案為：49．

【點睛】

此題考查勾股定理的運用，掌握勾股定理的推導過程是解決問題的關鍵．

23．已知ABC為等邊三角形，且邊長為4，P為BC上一動點，且PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E兩點，則PD＋PE＝______________．

【答案】

【解析】

作出底邊上的高AF，連接AP，分等邊三角形為△APB和△APC，根據三角形的面積不變可求得PD＋PE的值．連接AP，作AF⊥BC于點F，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴CF＝BF＝2，AF＝，∵，∴，∴，故填：．

【點睛】

本題考查等邊三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是“等面積法”．

24．如圖，P為射線上任意一點（點P和點B不重合），分別以，為邊在內部作等邊和等邊，連結并延長交于點F，若，則______．

【答案】2

【解析】

連接，過點E作，由題意可得，可得，可求，根據勾股定理可求，，可求，，由，可得．解：如圖：連接，過點E作，∵，是等邊三角形，∴，，∴且，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵

∴，∵

∴，∴，故答案為2．

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，勾股定理，構造直角三角形用勾股定理求線段的長度是本題的關鍵．三、解答題

25．如圖，在中，，點是外一點，連接，且，．

（1）求證：

（2）求：四邊形的面積．

【答案】（1）見解析；（2）36

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC2的值，進而可求出BC的長，再根據勾股定理的逆定理得出△DBC是直角三角形即可得證；

（2）利用三角形的面積公式可求出S△DBC及S△ABC的值，將其代入S四邊形ABCD=S△ABC+S△DBC中即可求出四邊形ABDC的面積．解：（1）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，∴BC2=AB2-AC2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD2+BD2=42+32=25，∵BC=5，即BC2=25，∴CD2+BD2=BC2，∴△DBC是直角三角形，∴∠D=90°．

（2）∵△DBC是直角三角形，且∠D=90°，∴，∵在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5，∴，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△DBC=30+6=36．

【點睛】

本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面積，解題的關鍵是：（1）利用勾股定理，求出BC的長；（2）利用三角形的面積計算公式，求出S△ABC和S△DBC的值．

26．已知：如圖，四邊形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四邊形ABCD的面積．

【答案】1+．

【解析】

先根據勾股定理求出AC的長度，再根據勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀，再利用三角形的面積公式求解即可．如圖，連接AC．

∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，∴AC2+CD2＝AD2．

∴△ACD是直角三角形，∴S四邊形ABCD＝AB?BC+AC?CD，＝×1×2+××2，＝1+．

故四邊形ABCD的面積為1+．

【點睛】

本題考查勾股定理和勾股定理逆定理．利用勾股定理逆定理判斷△ACD是直角三角形是解答本題的關鍵．

27．中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現了數學研究中的繼承和發展．現用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．中，若，請你利用這個圖形說明；

【答案】見解析

【解析】

根據題意，可在圖中找出等量關系，由大正方形的面積等于中間的小正方形的面積加上四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式．解：∵大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為，∴，即．

【點睛】

本題考查了對勾股定理的證明，解決問題的關鍵是在圖中找出等量關系．

28．如圖，中，的垂直平分線分別交，于點，且．

求證：；

若，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）連接CD，根據中垂線的性質可得CD=BD，從而結合題意運用勾股定理得逆定理即可證明；

（2）根據題意先求出AD，BD，再由（1）的結論在中運用勾股定理計算即可．證明：連結．的垂直平分線分別交，于點，．，，是直角三角形，且．

解：，，，．

【點睛】

本題考查中垂線的性質，勾股定理及其逆定理，理解勾股定理的逆定理和中垂線的性質是解題關鍵．

29．如圖，點D為AB上的一點，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2．

（1）試說明△AED是直角三角形；

（2）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）根據全等三角形的性質可得AE=BD，然后根據勾股定理的逆定理即可證出結論；

（2）根據（1）的結論可得∠EAC＋∠CAB=90°，然后根據全等三角形的性質可得AC=BC，∠EAC=∠DBC，從而證出∠DBC＋∠CAB=90°，從而證出結論．證明：（1）∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD

∵AD2+DB2=DE2

∴AD2+

AE

2=DE2

∴△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；

（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下

∵△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；

∴∠EAC＋∠CAB=90°

∵△ACE≌△BCD，∴AC=BC，∠EAC=∠DBC

∴∠DBC＋∠CAB=90°

∴△ABC是等腰直角三角形．

【點睛】

此題考查的是全等三角形的性質和等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的性質和勾股定理的逆定理是解題關鍵．

30．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE//AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．

（1）求∠F的度數．

（2）若CE＝1，求EF的長．

【答案】（1）30°；（2）．

【解析】

（1）由等邊三角形可得：，利用平行線的性質證明：

再由直角三角形的兩銳角互余可得答案；

（2）先證明△是等邊三角形，再證明：

再利用勾股定理可得答案．解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴，∵DE//AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；

（2）∵∠ECD＝∠EDC＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CD＝CE＝DE＝1，∵∠F＝30°，∴∠CEF＝∠ECD﹣∠F＝30°，∴CE＝CF＝1，∴DF＝2；

∴在Rt△DEF中，EF．

【點睛】

本題考查的是平行線的性質，等腰三角形的判定，等邊三角形的性質與判定，勾股定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．

31．如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點，其中，由于某種原因，電C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（在同一條直線上），并新修一條路，已知千米，千米，千米．

（1）是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．

（2）求新路比原路少多少干米？

【答案】（1）是，證明見解析；（2）千米．

【解析】

(1)根據勾股定理的逆定理驗證△CHB為直角三角形，進而得到CH⊥AB，再根據點到直線的距離垂線段最短即可解答；

(2)在△ACH中根據勾股定理解答即可．（1）∵在中，又，是以為直角的直角三角形，∵點到直線垂線段的長度最短，是村莊C到河邊的最近路．

（2）設，千米，千米，在中，由勾股定理得：，解得，千米，比少千米．

【點睛】

此題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本題的關鍵．

32．如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x．

（1）請求出AC+CE的最小值．

（2）請構圖求出代數式+的最小值．

【答案】（1）10；（2）+的最小值為13

【解析】

（1）根據兩點之間線段最短可知：AE的長即為AC+CE的最小值，然后利用勾股定理求值即可；

（2）先將代數式利用配方法變形，如解圖所示，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC、AE，已知AB=2，DE=3，BD=12，設BC=x，則CD=12－x，根據勾股定理可證+的最小值即為AC＋CE的最小值，過點A作AF⊥ED，交ED延長線于F，利用勾股定理求出AE即可．解：（1）過點E作EF⊥AB，交AB的延長線于F，連接AE

根據題意可得BF=DE=1，EF=BD=8

∴AF=AB＋BF=6

根據兩點之間線段最短可得：AC+CE≥AE，即AE的長即為AC+CE的最小值，在Rt△AEF中，AE=

即AC+CE的最小值為10；

（2）+

=+

=+

如下圖所示，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC、AE，已知AB=2，DE=3，BD=12，設BC=x，則CD=12－x

∴AC=，CE=

∴+的最小值即為AC＋CE的最小值

由（1）可知：AE即為AC＋CE的最小值

過點A作AF⊥ED，交ED延長線于F

∴AF=BD=12，DF=AB=2

∴EF=DF＋DE=5

在Rt△AEF中，AE=

即+的最小值為13．

【點睛】

此題考查的是最短路徑問題和勾股定理的應用，利用數形結合，構造適當的直角三角形是解題關鍵．

33．在等腰中，．

（1）如圖1，D為線段的延長線上一點，連接，過點B作，已知，求和的長．

（2）如圖2，點F是線段上一點，連接，過點B作于點G，過點C作于點H，連接．

①若，求的值．

②求證：．

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析．

【解析】

（1）在中，由勾股定理．求出，利用面積橋求；

（2）①在等腰直角三角形中求，由設，則，在中，由勾股定理，求出，利用面積公式求．

②在上截取，取BG與CH的交點為N，連接，先求出，再推出，證，可知是等腰直角三角形，推出即可．（1）在中，∴．

∵，∴，∵．

∴；

（2）①∵，∴，∴．

∵

設，則，∵，在中，∴，∴，∴，∴．

②在上截取，取BG與CH的交點為N，連接，∵，∴．

∵，∴，∵∠HNB=∠GNC，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．

【點睛】

本題考查勾股定理，等腰直角三角形判定與性質，三角形全等，掌握勾股定理，等腰直角三角形判定與性質，三角形全等知識，利用輔助線準確構圖是解題關鍵．