武漢外國語學校2009年自主招生考試數(shù)學試題

一:填空

1:如圖,甲乙兩動點分別從正方形ABCD的頂點A,C同時沿正方形的邊開始移動,甲按順時針方向環(huán)行,乙按逆時針方向環(huán)行,若乙的速度是甲的速度的4倍,則他們2000次相遇在正方形的____邊上.1題圖

2題圖

2把左圖的矩形折疊,B,C兩點恰好重合落在AD邊上的P點(如右圖),已知角MPN=90度,PM=3.PN=4.那么矩形紙片ABCD的面積為_____

3:若方程組a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.的解是x=3.y=4,則方程組3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2.的解是______

4:如圖,直線與x軸交于點A,與y軸交于點B,點A與點A1關(guān)于y軸對稱,過點A1作A1C垂直AB于點C,則點C的坐標是_______

4題圖

5題圖

5:已知圓O的半徑是1,以O(shè)為原點,建立如圖所示的直角坐標系.有一個等邊三角形ABC,頂點B的坐標為(-2,0),頂點A在X軸上方,頂點C在圓O上運動,設(shè)等邊三角形的面積為S,則S的最大值為______

6:將一矩形紙片ABCD和一個足夠大的直角三角形紙片EFG按照如圖所示的方式疊放在一起,直角邊EF,EG分別經(jīng)過點A,C.連結(jié)BE,BD.比較BE與BD的大小關(guān)系得BE____BD

6題圖

7題圖

7:對于三個數(shù)a,b,c用max{a,b,c}這三個數(shù)中最大的數(shù),例如:max{-3,1,2}=2,觀察y=x+1,y=3-x,y=-x2+2x+3在同一坐標系中的圖象,可以得max{x+1.-x2+2x+3,3-x}的最小值為________

8:在代數(shù)式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中,含x4的系數(shù)是______

9:電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23:50,每一時刻都由四個數(shù)字組成,則一天中,任意時刻時鐘顯示的四個數(shù)字之和為23的概率為______

10:如圖,點M為正五邊形邊BC上一點,BM/CM=2,連AM.,作角AMN=900,MN交CD于點N,則CN/ND=_________

10題圖

11題圖

11:已知三角形ABC的三個頂點A(3,6),B(1,4),C(1,0),則(1)中三角形ABC外接圓的圓心到弦AC的距離是___,(2)以BC為旋轉(zhuǎn)軸,將三角形ABC旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積之和為_________

12已知對所有的實數(shù)x,恒成立,則m的最大值為____

13:把正五邊形ABCDE的五個頂點染上紅,黃,藍,綠四中顏色中的一種,要求相鄰頂點所染顏色不同,且四種顏色都要用到,則不同的染色方法一共有_____種

14當時,函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍是___________

15:已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(1,2),且abc=4.，則=___

二、解答題

16四位數(shù)的百位數(shù)字是0,取掉0得到三位數(shù),若x9=,則稱這個四位數(shù)為“靈巧數(shù)“,所有四位“靈巧數(shù)“的和是多少?

17:如圖,直線y=(3/4)x+3與x軸交于點B,與y軸交于點A,半徑為r的9個等圓依次外切,且圓O1與AO,AB相

切,圓O9與BO,BC相切,圓O2,圓O3........圓O8均與AB相切,則r的值得是多少

18.如圖ABCD為正方形,以C為圓心,CD為半徑的圓,與以AD為直徑的半圓交于另一點M,連結(jié)BM,則tan∠ABM的值是多少?

19:善于思考的小剛發(fā)現(xiàn):半徑為a,圓心在原點的圓,如果固定直徑AB,把圓內(nèi)所有與y軸平行的弦都壓縮到原來的b/a倍,就得到一種新的圖形---橢圓.他手劉徽“割圓術(shù)“的啟發(fā),采用“化整為零,積零為整“,“化曲為直,以直代曲“的方法,正確地求出了橢圓的面積,他求得的結(jié)果是多少?

(2)

小剛把圖2中的橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周,得到一個“雞蛋型“的橢圓,已知半徑為a的球的體積為πa3則此橢圓的體積為多少？

答案

一、填空題

1.AD

2.144/5

3.x=5,y=10

4.(-6/5,8/5)

5.9/4

6.＜

7.3

8.－15

9.1/360

10.2/7

11.(4+4}

12.5

13.第一個頂點有4種顏色可染

第二個頂點有3種顏色可染

第三個頂點有3種顏色可染

第四個頂點有3種顏色可染

第五個頂點有2種顏色可染

4×3×3×*3×*2=72種

14.0≦y≦4

15.解：⑴由題意，a＋b＋c＝2，∵a＝1，∴b＋c＝1

拋物線頂點為A（－b2，c－b24）

設(shè)B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0

∴|BC|＝|

x1－x2|＝|

x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4

x1x2＝b2－4c

∵△ABC為等邊三角形，∴b24

－c＝

32b2－4c

即b2－4c＝23?b2－4c，∵b2－4c＞0，∴b2－4c＝23

∵c＝1－b，∴b2＋4b－16＝0，b＝－2±25

所求b值為－2±25

⑵∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，與a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．

∵b＋c＝2－a，bc＝4a

∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋4a＝0的兩實根．

∴△＝（2－a）2－4×4a≥0，∴a3－4a2＋4a－16≥0，即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.∵abc＞0，∴a、b、c為全大于0或一正二負．

①若a、b、c均大于0，∵a≥4，與a＋b＋c＝2矛盾；

②若a、b、c為一正二負，則a＞0，b＜0，c＜0,則|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，∵

a≥4，故2a－2≥6

當a＝4，b＝c＝－1時，滿足題設(shè)條件且使不等式等號成立．

故|a|＋|b|＋|c|的最小值為6．

16.12150

17.r=5/21

18.tan∠ABM=1/3

19.