國開(中央電大)本科《復變函數》網上形考(任務1至3)試題及答案

形考任務1

試題及答案

一、選擇題

1.若z1=（a，b），z2=（c，d），則z1·z2=（）。

[答案]（ac-bd，bd+ad）

2.若R>0，則N（∞，R）={z：（）}。

[答案]丨z丨>R

3.若z=x+iy，則y=（）。

[答案]

4.若，則丨A丨=（）。

[答案]1

二、填空題

5.若z=x+iy，w=z2=u+iv，則v=_______.[答案]2xy

6.復平面上滿足

Rez=4的點集為_______.[答案]{x：x=4，x∈R}

7._______稱為區域。

[答案]連通的開集

8.設z0=x0+iy0，zn=xn+iyn（n=1，2，…），則{zn}以z0為極限的充分必要條件是=_______且=_______。

[答案]x0，y0

三、計算題

9.求復數

-1-i的實部、虛部、模與主輻角.[答案]

解：Re(-1-i)=-1

Im(-1-i)=-1

|-1-i|=

10.寫出復數

-i的三角式.[答案]

11.寫出復數的代數式.[答案]

解：

12.求根式的值.[答案]

四、證明題

13.證明：若，則a2+b2=1.證明：

14.證明：

證明：

形考任務2

試題及答案

一、選擇題

1.若f（z）=x2-y2+2xyi，則=（）。

[答案]

2x+2yi

2.若f（z）=u（x，y）+iv（x，y），則柯西—黎曼條件為（）。

[答案]

3.若f（z）=z+1，則f（z）在復平面上（）。

[答案]處處解析

4.若f（z）在復平面解析，g（z）在復平面上連續，則f（z）+g（z）在復平面上（）。

[答案]連續

二、填空題

5.若f（z）在點a_______，則稱a為f（z）的奇點.[答案]不解析

6.若f（z）在點z=1_______，則f（z）在點z=1解析.[答案]不解析

7.若f（z）=z2+2z+1，則f＇(z)=

_______.[答案]

2z+2

8.若，則f＇(1)=

_______.[答案]

三、計算題

9.設f（z）=zRe（z），求。

解：

=

10.設f（z）=excos

y

+

iexsin

y，求f＇(z)。

解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy

u=excosy

v=exsiny

f(z)=u+iv

∴f(z)在復平面解析，且

=excosy+iexsiny

11.設f（z）=u+iv在區域G內為解析函數，且滿足u=x3-3xy2，f（i）=0，試求f（z）。

解：依C-R條件有Vy=ux=3x2-3y2

則V（x1y）=3x2y-y3+c(c為常數)

故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic

=z3+ic，為使f(i)=0,當x=0,y=1時，f(i)=0,有f(0)=-i+ic=0

∴c=1

∴f(z)=Z3+i

12.設f（z）=u+iv在區域G內為解析函數，且滿足u=2（x-1）y，f（2）=-i，試求f（z）。

解：依C-R條件有Vy=ux=2y

∴V=

=y2+(x)

∴Vx=

∴(x)=

V=y2-x2+2x+c(c為常數)

∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)

為使f(z)=-i,當x=2

y=0時,f(2)=ci=-i

∴c=-1

∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)

=-(z-1)2i

四、證明題

13.試在復平面討論的解析性。

解：令f(z)=u+iv

z=x+iy

則iz=i(x+iy)=-y+ix

∴u=-y

v=x

于是ux=0

uy=-1

Vx=1

Vy=0

∵ux、uy、vx在復平面內處處連接

又Ux=Vy

Uy=-Vx。

∴f(z)=iz在復平面解析。

14.試證：若函數f（z）在區域G內為解析函數，且滿足條件f＇(z)=0，z∈G，則f（z）在G內為常數。

證：設f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G

∵f(z)在G內解析，Ux=Vy,Uy=-Vx

又

（z）=0,（z）=Ux+iVx

Ux=0

Vx=0

Uy=-Vx=0

Ux=Vy=0

U為實常數C1，V也為實常數C2，f(z)=C1+iC2=Z0

f(z)在G內為常數。

形考任務3

試題及答案

一、選擇題

1.z=（）是根式函數的支點。

[答案]0

2.z=（）是函數的支點

[答案]0

3.ei=（）。

[答案]cos1+isin1

4.sin1=（）。

[答案]

二、填空題

5.cosi=_______。

[答案]

6.=_______。

[答案]e(cos1+isin1)

7.=_______。

[答案]

8.=_______。

[答案]

k為整數

三、計算題

9.設z=x+iy，計算

解:

∴

∴

=

=

10.設z=x+iy，計算

解:

∵

z

=

x+iy

∴

∴

∴

11.求方程2

Inz

=

πi的解。

解:

∵

lnz

=

∴

由對數函數的定義有:

Z=

∴

所給方程的解為z

=

i

12.求方程的解。

解:

∵

=

根據指數函數的定義有:

z=Ln(1+)

四、證明

13.試證：sin

2z

=

sin

z·cos

z。

證明：根據正弦函數及余弦正數定義有：

∴

sin2z=2sinz·cosz

14.證明：

證明:

令A=

B=sinx+sin2x+…sinnx

∴

=

∴