習題一（P13）

2.設(shè)是向量值函數(shù)，證明：

（1）常數(shù)當且僅當；

（2）的方向不變當且僅當。

（1）證明：常數(shù)常數(shù)常數(shù)。

（2）注意到：，所以的方向不變單位向量常向量。

若單位向量常向量，則。

反之，設(shè)為單位向量，若，則。

由為單位向量。

從而，由常向量。

所以，的方向不變單位向量常向量

。即的方向不變當且僅當。

補充：

定理

平行于固定平面的充要條件是。

證明：：若平行于固定平面，設(shè)是平面的法向量，為一常向量。

于是。

：若，則。若

則方向固定，從而平行于固定平面。

若，則。令則

3.證明性質(zhì)1.1與性質(zhì)1.2。

性質(zhì)1.1（1）證明：設(shè)，則

（2）證明：設(shè)，則

（3）證明：設(shè)，則

同理，所以。

性質(zhì)1.2

證明：（1）

證明：（2）

4.設(shè)是正交標架，是的一個置換，證明：

（1）是正交標架；

（2）與定向相同當且僅當是一個偶置換。

（1）證明：當時，；

當時，所以，是正交標架。

（2）證明：

A)當

B)當

C)當

D)

當，此時，；

E)

當

F)

當

所以，與定向相同當且僅當是一個偶置換。

習題二（P28）

1.求下列曲線的弧長與曲率：

（1）

解：

所以，2.設(shè)曲線，證明它的曲率為

證明：

3.設(shè)曲線C在極坐標下的表示為，證明曲線C的曲率表達式為

證明：

所以，；；

。

因此，4.求下列曲線的曲率與撓率：

（4）

解：。

所以，。

5.證明：的正則曲線的曲率與撓率分別為。

證明：

根據(jù)弗雷內(nèi)特標架運動方程，得：

所以。

6．證明：曲線

以為弧長參數(shù)，并求出它的曲率，撓率與Frenet標架。

證明：1）

所以，該曲線以為弧長參數(shù)。

由及

得

所以，2）。

3）所求Frenet標架是，其中。

10.設(shè)是中的一個合同變換。是中的正則曲線。求曲線與曲線的弧長參數(shù)、曲率、撓率之間的關(guān)系。

解：（1）

可見，與曲線除相差一個常數(shù)外，有相同的弧長參數(shù)。

（2）

可見，與曲線有相同的曲率。

（3）

可見，與曲線的曲率相差一個符號。

13.（1）求曲率（是弧長參數(shù)）的平面曲線。

解：設(shè)所求平面曲線因為是弧長參數(shù)，所以

可設(shè)，由曲率的定義，知

所以，所求平面曲線。

20.證明：曲線與曲線是合同的。

證明：1）對曲線作參數(shù)變換，則。

可知是圓柱螺線()，它的曲率和撓率分別為。因此，只要證明曲線的曲率，撓率，從而根據(jù)曲線論基本定理，它們可以通過剛體運動彼此重合。

2）下面計算曲線的曲率與撓率。

由，進而。

21.證明：定理4.4

定理4.4

設(shè)是連續(xù)可微函數(shù)，則

（1）

存在平面的曲線，它以為弧長參數(shù)，為曲率；

（2）

上述曲線在相差一個剛體運動的意義下是唯一的。

證明：先證明（1），為此考慮下面的一階微分方程組

給定初值，其中是中的一個與自然標架定向相同的正交標架，以及，則由微分方程組理論得，有唯一一組解滿足初始條件：。

若為所求曲線，則必是它的Frenet標架。因此，我們首先證明

均是與自然定向相同的正交標架。

將微分方程組改寫成其中。

是一個反對稱矩陣，即令

對求導，并利用有：

表明是微分方程組的解。

定義則

且

即

所以，是微分方程組的解。

注意到：，所以是微分方程組

滿足初始條件的唯一解。從而

所以，均是正交標架。

由于是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，且。故由

知。

可見，均是與自然定向相同的正交標架。

于是由微分方程組有：，這表明為弧長參數(shù)。從而由推出是單位切向量。由推出是曲線的曲率，從而由推出由，即是單位正法向量。

可見，微分方程組的滿足初始條件：

唯一一組的確表明：存在平面的曲線，它以為弧長參數(shù)，為曲率，當是連續(xù)可微函數(shù)時。

再證明（2）：設(shè)與是平面中兩條以為弧長參數(shù)的曲線，且定義在同一個參數(shù)區(qū)間上。則存在剛體運動

把曲線變?yōu)椋础?/p>

證明開始：設(shè)，考慮兩條曲線在處的Frenet標架

與。

則存在平面中一個剛體運動把第二個標架變?yōu)榈谝粋€標架，即與在處的Frenet標架重合。因此我們只須證明當曲線與在處的Frenet標架重合時。

曲線Frenet標架的標架運動方程為

這是一個關(guān)于向量值函數(shù)的常微分方程。曲線的Frenet標架與的Frenet標架都是微分方程組的解。它們在處重合就意味著這兩組解在的初值相等，由解對初值的唯一性定理立即得到。定理證明完成。

習題三（P68）

2（1）是什么曲面？

解：

4.證明：曲面的切平面過原點。

證明：無妨假定方程確定一個的隱函數(shù)，于是

設(shè)，則

所以，處的切平面為

易見，當時，有：

所以結(jié)論為真。

6.證明：曲面在點的切平面等于曲面上過點的曲線在點的切向量的全體。

證明：設(shè)曲面的參數(shù)方程為。令為參數(shù)區(qū)域中過則的參數(shù)曲線，為曲面上過點的曲線。于是

這表明曲線過點的切向量都可由與線性表出。可見過點的切向量都在過點的切平面上。另一方面，對于任意切向量，在參數(shù)區(qū)域中取過且方向為的參數(shù)曲線

則此時，從而。

這表明：在點的切平面中每一個向量都是過點的某一曲線的位于點的切向量。

于是：曲面在點的切平面等于曲面上過點的曲線在點的切向量的全體。

25.求雙曲拋物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它們所對應的主方向.解：

由，。，其中。

由。

于是Gauss曲率：，平均曲率：。

因為，所以，所以主曲率：

對應的主方向為，其中

.所以。

同理，另一個主曲率：，對應的主方向為。

注：設(shè)為外恩格爾登變換，則。

補充：定理

（1）函數(shù)是主曲率的充要條件是。

（2）方向

d

=

du:dv

是主方向的充要條件是。

證明：（1）設(shè)是對應的主方向，則有，即。

分別用與上式兩邊作內(nèi)積，得。

所以主方向滿足

由于不全為零，可得

（2）在臍點。

從而由可知，，中的兩個方程成為恒等式。此時，任何方向都是主方向。

在非臍點，分別用和代入

得到相應的主方向

和。

將

改寫成由于不全為零，有。

28．曲面上的一條曲線稱為曲率線，如果曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向。證明：曲線是曲率線當且僅當沿著，與平行。

證明：

設(shè)為外恩格爾登變換，則。

所以，曲線是曲率線當且僅當沿著，與平行。

29.設(shè)是曲面的一個參數(shù)表示，證明：曲面的參數(shù)曲線和

是曲率線的充要條件是。

證明：曲面的參數(shù)曲線，記是曲率線等價于曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向曲線在每一點，同理，曲面的參數(shù)曲線，記是曲率線等價于曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向曲線在每一點，顯然，（假若，則矛盾！）。從而。

所以，曲面的參數(shù)曲線和是曲率線的充要條件是。

35.若曲面是極小曲面，證明：除相差一個常數(shù)外，它可以寫成，這個曲面稱為Scherk面。

證明：設(shè)曲面的參數(shù)方程為，則。

因此，。

由得到，即。

上式可化為

(1)

由于上式左邊是的函數(shù)，右邊是的函數(shù)，故只能是常數(shù)，設(shè)此常數(shù)為。

當時，由(1)可知，其中是常數(shù)。

于是該極小曲面是平面，其中。(不是Scherk曲面)

下面設(shè)。由(1)得，令，即。則有。

于是。在軸方向作一平移，可設(shè)，從而，積分得。

同理，由可得。

于是。