(精華版)國家開放大學電大本科《社會政策》《常微分方程》網絡課形考作業及答案(合集)

《社會政策》網絡課形考作業及答案

形考任務1

一、填空題（每小題5分，共25分）

題目1

政策是政府或其他社會組織為實現其目標而制定的、指導人們行動的各種（）。

答：規則體系

題目2

（）年，德國學者成立了“德國社會政策學會”。

答：1873

題目3

（）是社會政策早期形態，起源于1601年英國政府頒布的《濟貧法》。

答：社會救助政策

題目4

（）原則是整個封建傳統社會、專制王國、乃至轉型期社會的社會管理的核心原則。

答：父權主義

題目5

1884年，在英國倫敦，衛伯夫婦發起成立了（）。

答：費邊社

二、單項選擇題

（每題5分，共30分）

題目6

作為一個概念，社會政策最早是由（）學者提出的。

選擇一項：

B.德國

題目7

1601年，英國伊麗莎白女王頒布了（），規定地方教區可以通過征收稅收、接受捐贈、罰款等方式，對窮人實行救濟。

選擇一項：

C.《濟貧法》

題目8

1834年，英國政府通過了（），體現了自由主義思潮。

選擇一項：

B.新《濟貧法》

題目9

在經歷了大蕭條后，1935年，美國實施了（）。

選擇一項：

D.《社會保障法案》

題目10

第二次世界大戰后，（）奠定了英國20世紀40年代主要的社會福利模式。

選擇一項：

D.《貝弗里奇報告》

題目11

1948年，福利國家首先在（）宣布建立。

選擇一項：

A.英國

三、多項選擇題

（每題9分，共45分）

題目12

下列關于公共政策的特點，說法正確的是（）。

選擇一項或多項：

A.價值選擇

B.由政府和權威部門制定

C.公共性

D.權威性

題目13

1563年，英國頒布了《職工法》，它由（）構成。

選擇一項或多項：

A.七年的學徒制

B.強迫勞動

D.官員鑒定的工資制度

題目14

1880年代，德國政府頒行了（），標志著德國社會保險制度的建立。

選擇一項或多項：

B.疾病保險法

C.養老和殘疾保險法

D.工傷保險法

題目15

1834年，新《濟貧法》規定了（）原則，奠定了后來社會救助的基本模式。

選擇一項或多項：

A.政府統一管理原則

B.劣等處理原則

D.濟貧院檢查原則

題目16

艾斯平—安德森根據勞動力去商品化的程度，將西方資本主義福利國家體制劃分為（）。

選擇一項或多項：

A.自由主義的福利國家

B.社會民主主義的福利國家

C.保守主義的福利國家

形考任務2

我國政府關于社會辦醫方面還出臺了哪些政策？此次頒布的《關于促進社會辦醫加快發展的若干政策措施》都包括那些重要措施？

答：我國政府關于社會辦醫方面出臺的政策：《國務院關于促進健康服務業發展的若干意見》（國發〔2013〕40號）和《國務院辦公廳轉發發展改革委衛生部等部門關于進一步鼓勵和引導社會資本舉辦醫療機構意見的通知》（國辦發〔2010〕58號）

《關于促進社會辦醫加快發展的若干政策措施》包括的重要措施：

一、進一步放寬準入

（一）清理規范醫療機構設立審批。

明確并向社會公開公布舉辦醫療機構審批程序、審批主體和審批時限。各級相關行政部門要按照“非禁即入”原則，全面清理、取消不合理的前置審批事項，整合社會辦醫療機構設置、執業許可等審批環節，進一步明確并縮短審批時限，不得新設前置審批事項或提高審批條件，不得限制社會辦醫療機構的經營性質，鼓勵有條件的地方為申辦醫療機構相關手續提供一站式服務。完善社會辦醫療機構設立審批的屬地化管理，進一步促進社會辦醫，具體床位規模審批權限由各省（區、市）按照《醫療機構管理條例》自行確定。鼓勵社會力量舉辦中醫類專科醫院和只提供傳統中醫藥服務的中醫門診部、中醫診所，加快社會辦中醫類機構發展。

（二）公開區域醫療資源規劃情況。

各地要定期公開公布區域內醫療機構數量、布局以及床位、大型設備等資源配置情況，并將社會辦醫納入相關規劃，按照一定比例為社會辦醫預留床位和大型設備等資源配置空間，在符合規劃總量和結構的前提下，取消對社會辦醫療機構的具體數量和地點限制。出臺或調整區域衛生規劃和醫療機構設置規劃，須及時向社會公開公布，并詳細說明本區域可新增或擬調整的醫療資源的規模和布局。對涉及新增或調整醫療資源的，包括新建城區等，政府必須落實保基本的責任，同時支持由社會力量舉辦和運營醫療機構。未公開公布規劃的，不得以規劃為由拒絕社會力量舉辦醫療機構或配置醫療設備。

（三）減少運行審批限制。

不將社會辦醫療機構等級、床位規模等作為確定配置大型設備的必要前置條件，重點考核機構人員資質與技術服務能力等指標。優化大型設備配置使用程序，簡化流程。嚴控公立醫院超常配置大型醫用設備；社會辦醫療機構配置大型醫用設備，凡符合規劃條件和準入資質的，不得以任何理由加以限制。

（四）控制公立醫院規模，規范公立醫院改制。

按照總量控制、結構調整、規模適度的原則，合理控制公立醫療機構數量和規模，拓展社會辦醫發展空間。總結地方實踐經驗，引導和規范公立醫院改制，避免國有資產流失。各地要結合區域衛生規劃和醫療機構設置規劃制訂工作，明確政府辦醫的范圍和數量，落實政府投入責任，嚴格限制公立醫院特需服務規模。在縣域內，社會辦醫要和縣級公立醫院改革相結合，發揮公立醫院主體作用和社會辦醫補充作用，相輔相成。在此基礎上，在公立醫療資源豐富的地區，有序引導和規范包括國有企業辦醫院在內的部分公立醫院改制。推動國有企業辦醫院分離移交或改制試點，建立現代法人治理結構。積極引入社會力量參與國有企業辦醫療機構重組改制。

二、拓寬投融資渠道

（五）加強財政資金扶持。

將提供基本醫療衛生服務的社會辦非營利性醫療機構納入政府補助范圍，在臨床重點專科建設、人才培養等方面，執行與公立醫療機構同等補助政策。通過政府購買服務方式，支持符合條件的社會辦醫療機構承接當地公共衛生和基本醫療服務以及政府下達的相關任務，并逐步擴大購買范圍。將符合條件的社會辦醫療機構納入急救網絡，執行政府下達的指令性任務，并按與公立醫療機構同等待遇獲得政府補償。鼓勵地方探索建立對社會辦非營利性醫療機構舉辦者的激勵機制。

（六）豐富籌資渠道。

通過特許經營、公建民營、民辦公助等模式，支持社會力量舉辦非營利性醫療機構，健全法人治理結構，建立現代醫院管理制度。鼓勵地方通過設立健康產業投資基金等方式，為社會辦醫療機構提供建設資金和貼息補助。鼓勵社會辦醫療機構以股權融資、項目融資等方式籌集開辦費和發展資金。支持符合條件的社會辦營利性醫療機構上市融資或發行債券，對接多層次資本市場，利用多種融資工具進行融資。

（七）優化融資政策。

鼓勵金融機構根據醫療機構特點創新金融產品和服務方式，擴大業務規模。拓寬信貸抵押擔保物范圍，探索允許社會辦醫療機構利用有償取得的用于非醫療用途的土地使用權和產權明晰的房產等固定資產辦理抵押貸款。鼓勵社會辦醫療機構在銀行間債券市場注冊發行非金融企業債務融資工具籌集資金，鼓勵各類創業投資機構和融資擔保機構對醫療領域創新型業態、小微企業開展業務。

三、促進資源流動和共享

（八）促進大型設備共建共享。

探索以公建民營或民辦公助等多種方式，建立區域性檢驗檢查中心，面向所有醫療機構開放。大型設備配置飽和的區域不允許包括公立醫療機構在內的所有醫療機構新增大型設備，鼓勵地方通過各種方式整合現有大型設備資源，提高使用效率。鼓勵公立醫療機構與社會辦醫療機構開展合作，在確保醫療安全和滿足醫療核心功能前提下，實現醫學影像、醫學檢驗等結果互認和醫療機構消毒供應中心（室）等資源共享。

（九）推進醫師多點執業。

加快推進和規范醫師多點執業，鼓勵和規范醫師在不同類型、不同層級的醫療機構之間流動，鼓勵醫師到基層、邊遠山區、醫療資源稀缺地區和其他有需求的醫療機構多點執業，醫務人員在學術地位、職稱晉升、職業技能鑒定、專業技術和職業技能培訓等方面不因多點執業受影響。各地要根據實際，對開展醫師多點執業涉及的人事管理、收入分配、社會保險等工作盡快研究制訂試點方案，取得經驗后逐步推開。鼓勵探索區域注冊和多點執業備案管理試點。

（十）加強業務合作。

鼓勵地方探索公立醫療機構與社會辦醫療機構加強業務合作的有效形式和具體途徑。鼓勵公立醫療機構為社會辦醫療機構培養醫務人員，提高技術水平，并探索開展多種形式的人才交流與技術合作。鼓勵具備醫療機構管理經驗的社會力量通過醫院管理集團等多種形式，在明確責權關系的前提下，參與公立醫療機構管理。

四、優化發展環境

（十一）落實醫療機構稅收政策。

積極落實社會辦醫療機構各項稅收政策。對社會辦醫療機構提供的醫療服務，免征營業稅；對符合規定的社會辦非營利性醫療機構自用的房產、土地，免征房產稅、城鎮土地使用稅；對符合規定的社會辦營利性醫療機構自用的房產、土地，自其取得執業登記之日起，3年內免征房產稅、城鎮土地使用稅。社會辦醫療機構按照企業所得稅法規定，經認定為非營利組織的，對其提供的醫療服務等符合條件的收入免征企業所得稅。企業、個人通過公益性社會團體或者縣級以上人民政府及其部門對社會辦非營利性醫療機構的捐贈，按照稅法規定予以稅前扣除。

（十二）將社會辦醫納入醫保定點范圍。

將符合條件的社會辦醫療機構納入醫保定點范圍，執行與公立醫療機構同等政策。不得將醫療機構所有制性質作為醫保定點的前置性條件，不得以醫保定點機構數量已滿等非醫療服務能力方面的因素為由，拒絕將社會辦醫療機構納入醫保定點。規范各類醫療收費票據，非營利性醫療機構使用統一的醫療收費票據，營利性醫療機構使用符合規定的發票，均可作為醫療保險基金支付憑證，細化不同性質醫療機構收費和票據使用與醫保基金的結算辦法。

（十三）提升臨床水平和學術地位。

鼓勵社會辦醫療機構引進新技術、開展新項目，提供特色診療服務。支持社會辦醫療機構積極引進中高端人才，組織開展多方面的科技交流與合作。社會辦醫在職稱評定、科研課題招標和成果評價等方面與公立醫療機構享有同等待遇。鼓勵符合條件的社會辦醫療機構申報認定住院醫師規范化培訓基地、醫師定期考核機構、醫學高（中）等院校臨床教學基地等。支持社會辦醫療機構參與各醫學類行業協會、學術組織、職稱評定和醫療機構評審委員會，在符合標準的條件下，不斷提高其人員所占比例，進一步保障社會辦醫療機構醫務人員享有擔任與其學術水平和專業能力相適應的職務的機會。

（十四）規范收費政策。

堅決執行國家行政事業收費相關政策，對社會辦非營利性醫療機構免征行政事業性收費，對營利性醫療機構減半征收行政事業性收費。進一步清理和取消對社會辦醫療機構不合理、不合法的收費項目，在接受政府管理的各類收費項目方面，對社會辦非營利性醫療機構執行與公立醫療機構相同的收費政策和標準。

（十五）完善監管機制。

加強對社會辦醫療機構負責人及有關管理人員的培訓，促進規范管理，提高經營水平。加大醫療機構信息公開力度，各級衛生計生行政部門定期公開公布區域內醫療機構服務情況及日常監督、處罰信息，接受社會監督。加強監管體系和能力建設，嚴厲打擊非法行醫，嚴肅查處租借執業證照開設醫療機構和出租承包科室等行為，嚴懲經查實的惡性醫療事故、騙取醫保資金、虛假廣告宣傳、過度醫療、推諉患者等行為，探索建立醫療機構及其從業人員退出機制。建立健全醫療機構及其從業人員信用記錄，依法推進信息公開并納入國家統一的信用信息共享交換平臺，對嚴重違規失信者依法采取一定期限內行業禁入等懲戒措施。加強醫療安全管理，引導參加醫療責任險。完善醫療機構分類管理政策，出臺非營利性醫療機構管理細則，明確對經營性質、資金結余使用等的監管辦法。

（十六）營造良好氛圍。

充分利用報紙、廣播、電視、網絡等媒體，大力宣傳各地鼓勵、引導社會辦醫療機構發展的方針政策，宣傳社會辦醫療機構在醫療服務體系中的重要地位和作用，宣傳和表彰社會辦醫療機構中涌現出的先進典型，擴大社會辦醫療機構的影響，形成有利于社會辦醫療機構發展的良好社會氛圍。

各地區、各有關部門要高度重視，把發展社會辦醫放在重要位置，加強溝通協調，密切協作配合，形成工作合力。各有關部門要根據本通知要求，及時制訂或完善配套措施，同時為地方開展差別化、多樣化改革探索留出空間。各省級人民政府要結合實際制定具體工作方案，細化政策措施，確保落到實處。各級發展改革委、衛生計生委等部門要對政策落實情況進行監督檢查和跟蹤分析，建立重點工作跟蹤機制和定期督導制度，確保促進社會辦醫加快發展取得成效。

形考任務3

請同學們瀏覽學習本網絡課程的“熱點話題”欄目，選擇其中一個話題，發表自己的看法，完成500—800字的小文。

中國新型社會保險體系的特點：

答：與計劃經濟體制下，國家一單位保險體制相比，新型社會保險體系具有五個基本特點。

第一，確立了責任共擔的籌集機制。新型社會保險體系改變了國家單方面負擔的局面，建立了以企業和職工個人繳費為主，國家稅收優惠和財政補貼為輔助的三方共擔機制。這種三方共擔的機制，一方面分散了國家財政的壓力，擴大了籌資渠道，另一方面建立了個人權利和責任的對等機制，有利于激勵個人繳納保險費和約束個人的社會保險浪費行為。

第二，建立了多層次的保障體系。除了國家社會保險體系這一基本保障外，同時還?規定了企業補充保險，個人儲蓄保險等保障層次。在國家、企業和個人之間建立了不同的保障責任劃分，既體現了國家基本保障的公平原則，也體現了企業和個人保障的效率原則，有利于中國社會保障的多樣化發展。

第三，實現了社會化的管理和經辦體系。型社會保險體系運行于企業之外，建立?一套社會化的管理和經辦體系，徹底減輕了企業的負擔，也切實維護了企業職工的保障權益。

第四，確立了低水平、廣覆蓋的基本方針。這有助于維護廣大人民的基本生活保障權益，也有助于這項制度的推行和可持續發展，避免引起福利剛性和造成福利負擔過重。

第五，確立了社會統籌和個人賬戶相結合的基本模式。社會統籌有利于維護公平原則，保障所有參保職工的基本權益，個人賬戶體現了效率原則，鼓勵個人多繳費、多保障。

形考任務4

城市最低生活保障制度是我國非常重要、推行非常普遍的社會救助政策。試從您所在的社區了解低保制度的運行、效果、存在的問題等問題出發，撰寫一份800字左右的調查報告。

答：

關于低保制度運行、效果、存在的問題的調查報告

2020年5月上旬，區民政局聯合組織對全區城鄉低保的運行進行調查，現將調查情況報告如下：

一、全區社會救助制度運行情況

城鄉低保工作。2020年1-5月份，全區累計發放城市低保7975戶11884人次433.03萬元，累計新增41戶74人，停發106戶163人，5月份共有低保對象1297戶1917人，月發放保障金72.43萬元。保障人數占全區城市常住總人口32萬人的0.63%。累計發放農村低保6265戶10161人次215.27萬元，累計新增35戶81人，停發55戶78人，5月份共有農村低保對象1032戶1682人，月發放保障金37.99萬元。全區農村困難群眾享受社會救助政策人數3337人，占全區農村常住總人口5.2萬人的6.41%（含失地農民享受城市低保的192戶323人，農村五保429人，區政府兜底救助903人）。全省農村低保人數占農村常住總人口的4.3%，全市農村低保人數占農村常住總人口的4.7%，XX區農村低保人數占農村常住總人口的1%。

醫療救助和臨時救助工作。上半年累計醫療救助5853人次（含資助城鄉居民醫保人數），發放救助金198萬元。臨時救助累計293人次，發放臨時救助金53.27萬元。鄉鎮預撥臨時救助資金使用情況：2019年7月先行預撥給鄉鎮街道（開發區）220萬元救助資金，其中XX路街道30萬元、XX路街道30萬元、XX街道30萬元、XX街道30萬元，XX鄉20萬元、XX鄉20萬元、XX鎮20萬元、XX鎮30萬元、XX開發區10萬元。各鄉鎮街道（開發區）可按每戶每次1800元以下予以及時救助。截止日前，XX路街道已救助108人次15.69萬元、XX路街道30人次4.29萬元、XX街道59人次7.68萬元、XX街道100人次13.22萬元、XX鄉89人次8.92萬元、XX鄉139人次13.02萬元、XX鎮41人次5.14萬元、XX鎮194人次20.55萬元、XX開發區25人次3.75萬元。從2019年7月至今全區共救助777人次91.12萬元。

五保供養工作。全區累計發放五保對象2539人次，發放五保供養資金168.65萬元，5月份發放429人，月發放資金30.75萬元。其中集中供養167人，分散供養262人。集中供養率38.9%。

孤兒救助工作。全區累計發放孤兒救助78人次9.23萬元，5月份實有孤兒13人，月發放孤兒救助金1.64萬元。

兜底保障工作。2019年上半年對低保對象、五保對象以外的精準扶貧戶中的失能半失能老人、重度殘疾人、重病患者等三類對象進行兜底，共保障903人，發放兜底保障金170.6萬元。

二、走訪入戶調查情況

低保調查情況。XX街道提供了4戶相對比較困難的家庭，調查組逐戶深入走訪，4戶中有1戶按家庭收入計算基本符合低保條件，但戶主（近日已因病過世）名下有一輛車，不能申報城市低保，待其配偶辦完車輛過戶手續后，可以申請享受低保，其它3戶均不符合現行的低保政策。

三、存在的問題

（一）社會救助對象動態信息掌握不及時，城鄉低保覆蓋面還有擴大的空間。

調查中發現，由于村、社區一級社會救助對象居住分散，負責民政工作人員不足、交通等軟硬件條件不完善、市區兩級之間社會救助信息無法及時準確有效進行核對，導致社會救助對象動態管理和信息掌握不及時，新出現的困難戶（尤其是農村困難戶）情況未及時掌握，給城鄉低保擴面工作帶來困難，下一步，全區進一步擴大城鄉低保覆蓋面尚存在空間。

（二）鄉鎮、村（社區）民政工作人員少且對城鄉低保政策研究的還不夠透徹，政策把握還不夠精準。

（三）社會救助政策性強，部分困難群眾無法得到有效救助。

（四）容錯機制不健全。

四、建議與對策

（一）對接建立覆蓋市、區、鄉鎮街道、村（社區）的四級社會救助對象動態信息網絡。

（二）加大對鄉鎮街道（村）社區民政干部的培訓力度。

（三）探索開展城鄉低保工作政府購買服務。

（四）積極主動做好全區農村低保、五保政策與精準扶貧脫貧摘帽政策的銜接工作，確保精準脫貧不落一人。

（五）加大臨時救助力度。

（六）積極與區衛計委溝通協調。

（七）積極探索低保審批權委托鄉鎮審批工作

《常微分方程》網絡課形考任務1-6試題及答案

形考任務1

題目1

本課程的教學內容共有五章，其中第三章的名稱是（）．

選擇一項：

A.一階線性微分方程組

題目2

本課程安排了6次形成性考核任務，第2次形成性考核作業的名稱是（）．

選擇一項：

C.初等積分法中的方程可積類型的判斷

題目3

網絡課程主頁的左側第3個欄目名稱是：（）．

選擇一項：

A.課程公告

D.系統學習

題目4

網絡課程的“系統學習”欄目中第一章初等積分法的第4個知識點的名稱是（）．

選擇一項：

D.常數變易法

題目5

網絡課程的“視頻課堂”欄目中老師講課的電視課共有（）講．

選擇一項：

A.18

題目6

網絡課程主頁的左側“考試復習”版塊中第二個欄目名稱是：（）．

選擇一項：

B.復習指導

題目7

請您按照課程的學習目標、學習要求和學習方法設計自己的學習計劃，并在下列文本框中提交，字數要求在100—1000字．

答：常微分方程是研究自然現象，物理工程和工程技術的強有力工具，熟練掌握常微分方程的一些基本解法是學習常微分方程的主要任務，凡包含自變量，未知函數和未知函數的導數的方程叫做微分方程。滿足微分方程的函數叫做微分方程的解，含有獨立的任意常數的解稱為微分方程的通解。確定通解中任意常數后所得的解稱為該方程的特解。

一階微分方程的初等解法中把微分方程的求解問題化為了積分問題，這類初等解法是，與我們生活中的實際問題密切相關的值得我們好好探討。

在高階微分方程中我們學習的線性微分方程，作為研究線性微分方程的基礎，它在物理力學和工程技術，自然科學中時存在廣泛運用的，對于一般的線性微分方程，我們又學習了常系數線性微分

變量的方程，其中涉及到復值與復值函數問題，相對來說是比較復雜難懂的。

至于后面的非線性微分方程，其中包含的穩定性，定性基本理論和分支，混沌問題及哈密頓方程，非線性方程絕大部分的不可解不可積現象導致了我們只能通過從方程的結構來判斷其解的性態問題，在這一章節中，出現的許多概念和方法是我們從未涉及的，章節與章節中環環相扣，步步深入，由簡單到復雜，其難易程度可見一斑。

由此，常微分方程整體就是由求通解引出以后的知識點，以求解為基礎不斷拓展，我們所要學習的就是基礎題解技巧，培養自己機制與靈活性，多反面思考問題的能力，敏銳的判斷力也是不可缺少的。

形考任務2

初等積分法中的方程可積類型的判斷（1）

題目1

答：（一階線性非齊次微分）方程.題目2

答：（可降階的高階）方程

題目3

答：（克萊洛）方程

題目4

答：（伯努利）方程

題目5

答：（一階線性非齊次微分）方程

題目6

答：（恰當導數）方程

題目7

答：（變量可分離）方程

題目8

答：（一階隱式微分）方程

題目9

答：（全微分）方程

題目10

答：

（齊次微分）方程

形考任務3

常微分方程學習活動3

第一章

初等積分法的綜合練習

本課程形成性考核綜合練習共3次，內容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握．

要求：首先請同學們下載作業附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網頁界面完成任務，然后請將所做完的作業文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。

一、填空題

1．微分方程是

二

階微分方程．

2．初值問題的解所滿足的積分方程是．

3．微分方程是

一階線性非齊次微分方程

．（就方程可積類型而言）

4．微分方程是

全微分方程

．（就方程可積類型而言）

5．微分方程是

恰當倒數方程

．（就方程可積類型而言）

6．微分方程的所有常數解是．

7．微分方程的常數解是

．

8．微分方程的通解為．

9．微分方程的通解是.10．一階微分方程的一個特解的圖像是　二

維空間上的一條曲線．

二、計算題

1．指出下列方程的階數，是否是線性方程：

（1）

答：一階，非線性

（2）

答：四階，線性

（3）

答：三階，非線性

2．用分離變量法求解下列方程：

（1）

（2）

（3）

2．（1）解

通積分為

（2）解

當時，分離變量，兩端取積分得

即

通積分為

另外，是常數解，注:

在方程求解時，求出顯式通解或隱式通解（通積分）即可，常數解可以不求。

（3）解

當時,方程可變為，通積分為

或,上式代入初值條件.得.于是初值問題解為

.3．解下列齊次線性微分方程

（1）

（2）

（1）解

顯然是方程的解.當時,原方程可化為

.令,則原方程可化為,即

易于看出,是上面方程的解,從而

是原方程的解.當時,分離變量得,.兩端積分得(C)

將換成,便得到原方程的解,(C).故原方程的通解為（為任意常數）及

.（2）解

顯然是方程的解.當時,原方程可化為

.令,則原方程可化為,即

易于看出,是上式的解,從而是原方程的解.當時,分離變量得,.兩端積分得

(C).將換成,便得到原方程的解

(C).故原方程的通解為

.4．解下列一階線性微分方程：

（1）

（2）

（1）解

先解齊次方程

.其通解為

.用常數變易法,令非齊次方程通解為

.代入原方程,化簡后可得.積分得到

.代回后即得原方程通解為

.（2）解

先解齊次方程

.其通解為

.用常數變易法,令非齊次方程通解為

.代入原方程,化簡后可得

.積分得到

.代回后即得原方程通解為

.5．解下列伯努利方程

（1）

（2）

（1）解

顯然是方程解.當時,兩端同除,得

.令,代入有

它的解為

于是原方程的解為，及

（2）解

顯然是方程解.當時,兩端同除,得

.令,代入有

它的解為，于是原方程的解，及

6．解下列全微分方程：

（1）

（2）

（1）解

因為,所以這方程是全微分方程,及

在整個平面都連續可微,不妨選取.故方程的通積分為,即

.（2）解

因為,所以這方程是全微分方程,及

在整個平面都連續可微,不妨選取.故方程的通積分為,即

.7．求下列方程的積分因子和積分：

（1）

（2）

（1）解

因為,與y無關,故原方程存在只含x的積分因子.由公式（1.58）得積分因子，即

于是方程

為全微分方程.取

.于是方程的通積分為.即

.（2）解

因為,與y無關,故原方程存在只含x的積分因子.解方程

由公式（1.58）得積分因子，即

于是方程

為全微分方程.取

.于是通積分為.即.8．求解下列一階隱式微分方程

（1）

（2）

（1）解

將方程改寫為

即或

解得通積分為：,又是常數解.（2）解

顯然是方程的解.當時,方程可變為,令,則上面的式子可變為

.解出u得,.即

.對上式兩端積分得到方程的通解為

9．求解下列方程

（1）

（2）

（1）解

令,則.代入原式得.解出得

.這是克萊洛方程，通解為

.即

.解之得

（為任意常數）.（2）解

化簡得，即

求積分得

..三、證明題

1．設函數，在上連續，且，（a,b為常數）．求證：方程的一切解在上有界．

2．設在上連續，且，求證：方程的一切解，均有．

1．證明

設y=y(x)是方程任一解，且滿足y(x0)=y0,則

由于，所以對任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞時

有

令，則

于是得到

又在[x0，x1]上y(x)有界設為M2，現取，則

2．證明

設是方程任一解，滿足，該解的表達式為

取極限

=

四、應用題

1．按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比,已知空氣溫度為,而物體在15分鐘內由

冷卻到,求物體冷卻到所需的時間.2．重為100kg的物體，在與水平面成30°的斜面上由靜止狀態下滑，如果不計磨擦，試求：

（1）物體運動的微分方程；

（2）求5

s后物體下滑的距離，以及此時的速度和加速度．

1．解

設物體在時刻t的溫度為，由題意滿足初值問題

其中為常數．

解得

設物體冷卻到40℃所需時間為，于是由得

解得

52分鐘.2．解

取初始下滑點為原點，軸正向垂直向下，設

時刻速度為,距離為,由題意滿足初值問題

解得

再由解得

于是得到5秒后，,．

形考任務4

常微分方程學習活動4

第二章

基本定理的綜合練習

本課程形成性考核綜合練習共3次，內容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握．

要求：首先請同學們下載作業附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網頁界面完成任務，然后請將所做完的作業文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。

一、填空題

1.方程的任一非零

不能

與x軸相交．

2．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的充分條件．

3.方程+

ysinx

=

ex的任一解的存在區間必是(-∞,+∞)

．

4．一階顯式方程解的最大存在區間一定是開區間

．

5．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區域是　　XOY平面．

6．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區域是XOY平面．

7．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區域是XOY平面．

8．方程滿足解的存在唯一性定理條件的區域是---，（或不含x

軸的上半平面）．

9．方程滿足解的存在惟一性定理條件的區域是全平面．

10．一個不可延展解的存在在區間一定是開區間．

二、計算題

1．判斷下列方程在怎樣的區域上保證初值解存在且惟一？

（1）

（2）

1．解

（1)

因為及在整個平面上連續,且滿足存在唯一性定理條件,所以在整個平面上,初值解存在且唯一.（2)

因為及在整個平面上連續,且滿足存在唯一性定理條件,所以在整個平面上,初值解存在且唯一.2．

討論方程在怎樣的區域中滿足定理2.2的條件．并求通過的一切解．

2.解

因為方程在整個平面上連續,除軸外,在整個平面上有界,所以除軸外在整個平面上都滿足定理2.1的條件.而后分離變量并積分可求出方程的通解為

其中

另外容易驗證是方程的特解.因此通過的解有無窮多個,分別是:

3．判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．

（1）

（2）

3．解

（1)

因為在半平面上連續,當時無界,所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程無奇解.（2)

因為在的區域上連續,當時無界,所以如果方程有奇解,則奇解只能是

顯然是方程的解,是否為奇解還需要進一步討論.為此先求出方程的通解

由此可見對于軸上點

存在通過該點的兩個解:

及

故是奇解.三、證明題

1．試證明：對于任意的及滿足條件的，方程的解在上存在．

2．設在整個平面上連續有界，對有連續偏導數，試證明方程的任一解在區間上有定義．

3．設在區間上連續．試證明方程的所有解的存在區間必為．

4．在方程中，已知，在上連續，且．求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區間必為．

5．假設方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件，且，是定義在區間I上的兩個解．求證：若<，則在區間I上必有

<成立．

6．設是方程的非零解，其中在上連續．求證：當時，必有．

7．設在上連續可微，求證：對任意的，方程

滿足初值條件的解必在上存在．

8．證明：一階微分方程的任一解的存在區間必是．

1．證明

首先和是方程在的解.易知方程的右端函數滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件.現在考慮過初值

()的解,根據唯一性,該解不能穿過直線和.因此只有可能向左右兩側延展,從而該初值解應在上存在.2．證明

不妨設過點分別作直線

和

.設過點的初值解為.因為,故在的某一右鄰域內,積分曲線位于之下,之上.下證曲線不能與直線相交.若不然,使得且,但由拉格郎日中值定理，使得.矛盾.此矛盾證明曲線不能與直線相交.同理可證,當時,它也不能與相交.故當

時解曲線位于直線,之間.同理可證,當時,解曲線也位于直線,之間.由延展定理,的存在區間為。

3．證明

由已知條件，該方程在整個

平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件．

顯然

是方程的兩個常數解．

任取初值，其中,．記過該點的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區間必為．

4．證明

由已知條件可知，該方程在整個

平面上滿足解的存在惟一及延展定理條件，又存在常數解

．

對平面內任一點，若，則過該點的解是，顯然是在上有定義．

若,則,記過該點的解為，那么一方面解可以向平面的無窮遠無限延展；另一方面在條形區域

內不能上、下穿過解和，否則與解的惟一性矛盾．因此解的存在區間必為．

5．證明

僅證方向，（反之亦然）．

假設存在，使得>（=不可能出現，否則與解惟一矛盾）．

令=-，那么

=-<

0，=->

0

由連續函數介值定理，存在，使得

=-=

0

即

=

這與解惟一矛盾

6．證明

由已知條件知方程存在零解．該方程滿足解的存在惟一性定理條件．

設是方程的一個非零解，假如它滿足，由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，這與是非零解矛盾．

7．證明

該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理．

又

是該方程的兩個常數解．

現取，記過點的解為．一方面該解可向平面的無窮遠無限延展，另一方面又不能上下穿越，否則將破壞解的惟一性．因此，該解只能在區域內沿x軸兩側無限延展，顯然其定義區間必是．

8．證明

方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理的條件，又是方程的常數解．

對平面上任取的若則對應的是常數解其存在區間顯然是

若)則過該點的解可以向平面無窮遠無限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在區間必是．

四、應用題

1．求一曲線，具有如下性質：曲線上任一點的切線，在軸上的截距之和為1．

2．求一曲線，此曲線的任一切線在兩個坐標軸間的線段長等于常數．

1．解

首先,由解析幾何知識可知,滿足的直線

都是所求曲線.設

(x,y)

為所求曲線上的點，(X,Y)為其切線上的點,則過

(x,y)的切線方程為

.顯然有

此處

a

與

b

分別為切線在Ox

軸與Oy

軸上的截距.故

.解出y,得到克萊洛方程,通解為

所以,即

為所求曲線方程.2．解

設

(x,y)

為所求曲線上的點,(X,Y)為其切線上的點,則過

(x,y)的切線方程為

.顯然有

此處

a

與

b

分別為切線在Ox

軸與Oy

軸上的截距.故,即.解出得

故曲線的方程為

消去即的曲線方程為

.形考任務5

題目1

方程過點（0,0）的積分曲線（）．

選擇一項：

A.有無窮多條

題目2

方程在xoy平面上任一點的解都（）．

選擇一項：

B.是惟一的題目3

方程的所有常數解是（）．

選擇一項：

題目4

方程滿足解的存在唯一性定理條件的區域是（）.選擇一項：

C.除去x軸的全平面

題目5

方程過點(0,0)的解為，此解的存在區間是（）.選擇一項：

題目6

若A(x),F(x)≠0在(-∞,+∞)上連續，那么線性非齊次方程組，的任一非零解

（）

．

選擇一項：

D.可以與x軸相交

題目7

n維方程組的任一解的圖像是n+1維空間中的（）．

選擇一項：

B.一條曲線

題目8

方程的任一非零解在平面上（）零點．

選擇一項：

D.有無窮多個

題目9

三階線性齊次微分方程的所有解構成一個（）線性空間．

選擇一項：

A.3維

題目10

用待定系數法求方程的非齊次特解時，應設為（）．

選擇一項：

形考任務6

常微分方程學習活動6

第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習

本課程形成性考核綜合練習共3次，內容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握．

要求：首先請同學們下載作業附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網頁界面完成任務，然后請將所做完的作業文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。

一、填空題

1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間

不能

與x軸相交．

2．方程組的任何一個解的圖象是n

+

維空間中的一條積分曲線．

3．向量函數組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關的必要

條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．

4．線性齊次微分方程組，的一個基本解組的個數不能多于n

+

個．

5．若函數組在區間上線性相關，則它們的朗斯基行列式在區間上恒等于零

．

6．函數組的朗斯基行列式是

．

7．二階方程的等價方程組是

．

8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們

沒有

共同零點．

9．二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）

．

10．階線性齊次微分方程線性無關解的個數最多為N

個．

11．在方程y″+

p(x)y′+q(x)y

=

0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上連續，則它的任一非零解在xOy平面上

可以

與x軸橫截相交．

12．二階線性方程的基本解組是　　．

13．線性方程的基本解組是

．

14．方程的所有解構成一個

維線性空間．

15．n階線性齊次微分方程的所有解構成一個

n

維線性空間．

二、計算題

1．將下列方程式化為一階方程組

（1）

（2）

1．（1）

解，（2）解

2．求解下列方程組：

（1）

（2）

（1）

解

方程組的系數陣為

特征方程為：

det(A-E)=

=，其特征根為

.當時,，其中a,b滿足

(A-E)=

=

0,則有a

+

b

=

0．

取a

=

1,b

=1,則得一特解

同理,當時，所以方程組的解為

（2）解

方程組的系數陣為

.特征方程為:

det(A-E)=

=

特征根為

.當時,其中a,b滿足

(A-E)=

=0,故有

即

.取，于是方程組對應于

=

故特征根所對應的實解為

=,=

所以方程組的解為

=

3．求解下列方程組：

（1）

（2）

（1）解

方程組的系數陣為

.特征方程為:

det(A-E)=

=

特征根為

當時,其中a,b滿足（=

0,即

第一個方程有

令，則

于是由

解得通解

=

.（2）

解

系數陣為

特征方程為:

det(A-E)==.特征根為

.通解解為

.4．求解下列方程組：

（1）

（2）

4．解

方程組的系數陣為，其特征方程為：

det(A-E)=

=.特征根為,方程組有如下形式的解:

代入原方程組有

消去得

令,則

令,則

所以方程組的解為

（2）解

首先求出相應齊次線性方程組的通解.對應齊次方程的系數陣為

.其特征方程為：

det(A-E)=

=.特征根為

當時，其中a,b滿足(A-E)=

=0,則有ab

=

0

取a

=

b

=1,則得一特解

同理,當時，所以對應齊次線性方程組的通解為

然后運用常數變易法計算原方程組的一個特解.將代入原方程組，得

解得

.原方程組的特解為

所以原方程組的通解為

5．已知方程的一個解，求其通解．

解：由通解公式，6．試求下列n階常系數線性齊次方程的通解

（1）

（2）

6．（1）

解

特征方程為:

特征根為:。它們對應的解為:

方程通解為:.（2）

解

特征方程為:

特征根為:

它們對應的解為:

方程通解為:

.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：

（1），（2），7．（1）

解

特征方程為:.特征根為:，方程通解為:

由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.（2）解

特征方程為:.特征根為:，方程通解為:

由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.8．求下列n階常系數線性非齊次方程的通解：

（1）

（2）

8．（1）解

由于，故齊次方程的通解為

.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.將它代入原方程，得,，所求通解為.（2）解

由于，.因為不是特征根，故已知方程有形如的特解．將上式代入原方程，可得，所求通解為

.三、證明題

1．設矩陣函數，在（a,b）上連續，試證明，若方程組

與有相同的基本解組，則o．

2．設在方程中，在區間上連續且恒不為零，試證它的任意兩個線性無關解的朗斯基行列式是在區間上嚴格單調函數．

3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數．

1．證明

設為基本解矩陣,因為基本解矩陣是可逆的,故有

于是.2．證明

設w(x)是方程的任意兩個線性無關解的朗斯基行列式，則且有，.又因為在區間上連續且恒不為零,從而對,或,所以,在上恒正或恒負,即w(x)為嚴格單調函數.3．證明

設兩個線性的解組的朗斯基行列式分別為，且，所以有.四、應用題

1．一質量為m的質點由靜止開始沉入液體中，當下沉時，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質點的運動規律。

解

設液體的反作用與質點速度的比例系數為

則指點的運動滿足方程：

即

則(*)所對應的齊次方程的通解為：

又是齊次方程的特征根,故特解形式為：

代入(*)式得：

所以

由得

故