國家開放大學電大本科《常微分方程》網絡課形考任務6試題及答案

形考任務6

常微分方程學習活動6

第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習

本課程形成性考核綜合練習共3次，內容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握．

要求：首先請同學們下載作業附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網頁界面完成任務，然后請將所做完的作業文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。

一、填空題

1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間

不能

與x軸相交．

2．方程組的任何一個解的圖象是n

+

1維空間中的一條積分曲線．

3．向量函數組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關的必要

條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．

4．線性齊次微分方程組，的一個基本解組的個數不能多于n

+

個．

5．若函數組在區間上線性相關，則它們的朗斯基行列式在區間上恒等于零

．

6．函數組的朗斯基行列式是

．

7．二階方程的等價方程組是．

8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們

沒有

共同零點．

9．二階線性齊次微分方程的兩個解,成為其基本解組的充要條件是

線性無關（或：它們的朗斯基行列式不等于零）

．

10．階線性齊次微分方程線性無關解的個數最多為N個．

11．在方程y″+

p(x)y′+q(x)y

=

0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上連續，則它的任一非零解在xOy平面上可以與x軸橫截相交．

12．二階線性方程的基本解組是．

13．線性方程的基本解組是

．

14．方程的所有解構成一個

維線性空間．

15．n階線性齊次微分方程的所有解構成一個

n

維線性空間．

二、計算題

1．將下列方程式化為一階方程組

（1）

（2）

1．（1）

解，（2）解

2．求解下列方程組：

（1）

（2）

（1）

解

方程組的系數陣為

特征方程為：

det(A-E)=

=，其特征根為

.當時,，其中a,b滿足

(A-E)=

=

0,則有a

+

b

=

0．

取a

=

1,b

=1,則得一特解

同理,當時，所以方程組的解為

（2）解

方程組的系數陣為

.特征方程為:

det(A-E)=

=

特征根為

.當時,其中a,b滿足

(A-E)=

=0,故有

即

.取，于是方程組對應于

=

故特征根所對應的實解為

=,=

所以方程組的解為

=

3．求解下列方程組：

（1）

（2）

（1）解

方程組的系數陣為

.特征方程為:

det(A-E)=

=

特征根為

當時,其中a,b滿足（=

0,即

第一個方程有

令，則

于是由

解得通解

=

.（2）

解

系數陣為

特征方程為:

det(A-E)==.特征根為

.通解解為

.4．求解下列方程組：

（1）

（2）

4．解

方程組的系數陣為，其特征方程為：

det(A-E)=

=.特征根為,方程組有如下形式的解:

代入原方程組有

消去得

令,則

令,則

所以方程組的解為

（2）解

首先求出相應齊次線性方程組的通解.對應齊次方程的系數陣為

.其特征方程為：

det(A-E)=

=.特征根為

當時，其中a,b滿足(A-E)=

=0,則有ab

=

0

取a

=

b

=1,則得一特解

同理,當時，所以對應齊次線性方程組的通解為

然后運用常數變易法計算原方程組的一個特解.將代入原方程組，得

解得

.原方程組的特解為

所以原方程組的通解為

5．已知方程的一個解，求其通解．

5．解

由通解公式，6．試求下列n階常系數線性齊次方程的通解

（1）

（2）

6．（1）

解

特征方程為:

特征根為:。它們對應的解為:

方程通解為:.（2）

解

特征方程為:

特征根為:

它們對應的解為:

方程通解為:

.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：

（1），（2），7．（1）

解

特征方程為:.特征根為:，方程通解為:

由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.（2）解

特征方程為:.特征根為:，方程通解為:

由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.8．求下列n階常系數線性非齊次方程的通解：

（1）

（2）

8．（1）解

由于，故齊次方程的通解為

.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.將它代入原方程，得,，所求通解為.（2）解

由于，.因為不是特征根，故已知方程有形如的特解．將上式代入原方程，可得，所求通解為

.三、證明題

1．設矩陣函數，在（a,b）上連續，試證明，若方程組

與有相同的基本解組，則o．

2．設在方程中，在區間上連續且恒不為零，試證它的任意兩個線性無關解的朗斯基行列式是在區間上嚴格單調函數．

3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數．

1．證明

設為基本解矩陣,因為基本解矩陣是可逆的,故有

于是.2．證明

設w(x)是方程的任意兩個線性無關解的朗斯基行列式，則且有，.又因為在區間上連續且恒不為零,從而對,或,所以,在上恒正或恒負,即w(x)為嚴格單調函數.3．證明

設兩個線性的解組的朗斯基行列式分別為，且，所以有.四、應用題

1．一質量為m的質點由靜止開始沉入液體中，當下沉時，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質點的運動規律。

解

設液體的反作用與質點速度的比例系數為

則指點的運動滿足方程：

即

則(*)所對應的齊次方程的通解為：

又是齊次方程的特征根,故特解形式為：

代入(*)式得：

所以

由得

故