(精華版)國(guó)家開(kāi)放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)1-6試題及答案

100%通過(guò)

考試說(shuō)明：2020年秋期電大把該網(wǎng)絡(luò)課納入到“國(guó)開(kāi)平臺(tái)”進(jìn)行考核，該課程共有6個(gè)形考任務(wù)，針對(duì)該門課程，本人匯總了該科所有的題，形成一個(gè)完整的標(biāo)準(zhǔn)題庫(kù)，并且以后會(huì)不斷更新，對(duì)考生的復(fù)習(xí)、作業(yè)和考試起著非常重要的作用，會(huì)給您節(jié)省大量的時(shí)間。做考題時(shí)，利用本文檔中的查找工具，把考題中的關(guān)鍵字輸?shù)讲檎夜ぞ叩牟檎覂?nèi)容框內(nèi)，就可迅速查找到該題答案。本文庫(kù)還有其他網(wǎng)核及教學(xué)考一體化答案，敬請(qǐng)查看。?

課程總成績(jī)

=

形成性考核×50%

+

終結(jié)性考試×50%

形考任務(wù)1

題目1

本課程的教學(xué)內(nèi)容共有五章，其中第三章的名稱是（）．

選擇一項(xiàng)：

A.一階線性微分方程組

題目2

本課程安排了6次形成性考核任務(wù)，第2次形成性考核作業(yè)的名稱是（）．

選擇一項(xiàng)：

C.初等積分法中的方程可積類型的判斷

題目3

網(wǎng)絡(luò)課程主頁(yè)的左側(cè)第3個(gè)欄目名稱是：（）．

選擇一項(xiàng)：

A.課程公告

D.系統(tǒng)學(xué)習(xí)

題目4

網(wǎng)絡(luò)課程的“系統(tǒng)學(xué)習(xí)”欄目中第一章初等積分法的第4個(gè)知識(shí)點(diǎn)的名稱是（）．

選擇一項(xiàng)：

D.常數(shù)變易法

題目5

網(wǎng)絡(luò)課程的“視頻課堂”欄目中老師講課的電視課共有（）講．

選擇一項(xiàng)：

A.18

題目6

網(wǎng)絡(luò)課程主頁(yè)的左側(cè)“考試復(fù)習(xí)”版塊中第二個(gè)欄目名稱是：（）．

選擇一項(xiàng)：

B.復(fù)習(xí)指導(dǎo)

題目7

請(qǐng)您按照課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)方法設(shè)計(jì)自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃，并在下列文本框中提交，字?jǐn)?shù)要求在100—1000字．

答：常微分方程是研究自然現(xiàn)象，物理工程和工程技術(shù)的強(qiáng)有力工具，熟練掌握常微分方程的一些基本解法是學(xué)習(xí)常微分方程的主要任務(wù)，凡包含自變量，未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程。滿足微分方程的函數(shù)叫做微分方程的解，含有獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為微分方程的通解。確定通解中任意常數(shù)后所得的解稱為該方程的特解。

一階微分方程的初等解法中把微分方程的求解問(wèn)題化為了積分問(wèn)題，這類初等解法是，與我們生活中的實(shí)際問(wèn)題密切相關(guān)的值得我們好好探討。

在高階微分方程中我們學(xué)習(xí)的線性微分方程，作為研究線性微分方程的基礎(chǔ)，它在物理力學(xué)和工程技術(shù)，自然科學(xué)中時(shí)存在廣泛運(yùn)用的，對(duì)于一般的線性微分方程，我們又學(xué)習(xí)了常系數(shù)線性微分

變量的方程，其中涉及到復(fù)值與復(fù)值函數(shù)問(wèn)題，相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較復(fù)雜難懂的。

至于后面的非線性微分方程，其中包含的穩(wěn)定性，定性基本理論和分支，混沌問(wèn)題及哈密頓方程，非線性方程絕大部分的不可解不可積現(xiàn)象導(dǎo)致了我們只能通過(guò)從方程的結(jié)構(gòu)來(lái)判斷其解的性態(tài)問(wèn)題，在這一章節(jié)中，出現(xiàn)的許多概念和方法是我們從未涉及的，章節(jié)與章節(jié)中環(huán)環(huán)相扣，步步深入，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，其難易程度可見(jiàn)一斑。

由此，常微分方程整體就是由求通解引出以后的知識(shí)點(diǎn)，以求解為基礎(chǔ)不斷拓展，我們所要學(xué)習(xí)的就是基礎(chǔ)題解技巧，培養(yǎng)自己機(jī)制與靈活性，多反面思考問(wèn)題的能力，敏銳的判斷力也是不可缺少的。

形考任務(wù)2

初等積分法中的方程可積類型的判斷（1）

題目1

答：（一階線性非齊次微分）方程.題目2

答：（可降階的高階）方程

題目3

答：（克萊洛）方程

題目4

答：（伯努利）方程

題目5

答：（一階線性非齊次微分）方程

題目6

答：（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)）方程

題目7

答：（變量可分離）方程

題目8

答：（一階隱式微分）方程

題目9

答：（全微分）方程

題目10

答：

（齊次微分）方程

形考任務(wù)3

常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)3

第一章

初等積分法的綜合練習(xí)

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．

要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。

一、填空題

1．微分方程是

二

階微分方程．

2．初值問(wèn)題的解所滿足的積分方程是．

3．微分方程是

一階線性非齊次微分方程

．（就方程可積類型而言）

4．微分方程是

全微分方程

．（就方程可積類型而言）

5．微分方程是

恰當(dāng)?shù)箶?shù)方程

．（就方程可積類型而言）

6．微分方程的所有常數(shù)解是．

7．微分方程的常數(shù)解是

．

8．微分方程的通解為．

9．微分方程的通解是.10．一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是　二

維空間上的一條曲線．

二、計(jì)算題

1．指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：

（1）

答：一階，非線性

（2）

答：四階，線性

（3）

答：三階，非線性

2．用分離變量法求解下列方程：

（1）

（2）

（3）

2．（1）解

通積分為

（2）解

當(dāng)時(shí)，分離變量，兩端取積分得

即

通積分為

另外，是常數(shù)解，注:

在方程求解時(shí)，求出顯式通解或隱式通解（通積分）即可，常數(shù)解可以不求。

（3）解

當(dāng)時(shí),方程可變?yōu)椋ǚe分為

或,上式代入初值條件.得.于是初值問(wèn)題解為

.3．解下列齊次線性微分方程

（1）

（2）

（1）解

顯然是方程的解.當(dāng)時(shí),原方程可化為

.令,則原方程可化為,即

易于看出,是上面方程的解,從而

是原方程的解.當(dāng)時(shí),分離變量得,.兩端積分得(C)

將換成,便得到原方程的解,(C).故原方程的通解為（為任意常數(shù)）及

.（2）解

顯然是方程的解.當(dāng)時(shí),原方程可化為

.令,則原方程可化為,即

易于看出,是上式的解,從而是原方程的解.當(dāng)時(shí),分離變量得,.兩端積分得

(C).將換成,便得到原方程的解

(C).故原方程的通解為

.4．解下列一階線性微分方程：

（1）

（2）

（1）解

先解齊次方程

.其通解為

.用常數(shù)變易法,令非齊次方程通解為

.代入原方程,化簡(jiǎn)后可得.積分得到

.代回后即得原方程通解為

.（2）解

先解齊次方程

.其通解為

.用常數(shù)變易法,令非齊次方程通解為

.代入原方程,化簡(jiǎn)后可得

.積分得到

.代回后即得原方程通解為

.5．解下列伯努利方程

（1）

（2）

（1）解

顯然是方程解.當(dāng)時(shí),兩端同除,得

.令,代入有

它的解為

于是原方程的解為，及

（2）解

顯然是方程解.當(dāng)時(shí),兩端同除,得

.令,代入有

它的解為，于是原方程的解，及

6．解下列全微分方程：

（1）

（2）

（1）解

因?yàn)?所以這方程是全微分方程,及

在整個(gè)平面都連續(xù)可微,不妨選取.故方程的通積分為,即

.（2）解

因?yàn)?所以這方程是全微分方程,及

在整個(gè)平面都連續(xù)可微,不妨選取.故方程的通積分為,即

.7．求下列方程的積分因子和積分：

（1）

（2）

（1）解

因?yàn)?與y無(wú)關(guān),故原方程存在只含x的積分因子.由公式（1.58）得積分因子，即

于是方程

為全微分方程.取

.于是方程的通積分為.即

.（2）解

因?yàn)?與y無(wú)關(guān),故原方程存在只含x的積分因子.解方程

由公式（1.58）得積分因子，即

于是方程

為全微分方程.取

.于是通積分為.即.8．求解下列一階隱式微分方程

（1）

（2）

（1）解

將方程改寫為

即或

解得通積分為：,又是常數(shù)解.（2）解

顯然是方程的解.當(dāng)時(shí),方程可變?yōu)?令,則上面的式子可變?yōu)?/p>

.解出u得,.即

.對(duì)上式兩端積分得到方程的通解為

9．求解下列方程

（1）

（2）

（1）解

令,則.代入原式得.解出得

.這是克萊洛方程，通解為

.即

.解之得

（為任意常數(shù)）.（2）解

化簡(jiǎn)得，即

求積分得

..三、證明題

1．設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且，（a,b為常數(shù)）．求證：方程的一切解在上有界．

2．設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有．

1．證明

設(shè)y=y(x)是方程任一解，且滿足y(x0)=y0,則

由于，所以對(duì)任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞時(shí)

有

令，則

于是得到

又在[x0，x1]上y(x)有界設(shè)為M2，現(xiàn)取，則

2．證明

設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達(dá)式為

取極限

=

四、應(yīng)用題

1．按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比,已知空氣溫度為,而物體在15分鐘內(nèi)由

冷卻到,求物體冷卻到所需的時(shí)間.2．重為100kg的物體，在與水平面成30°的斜面上由靜止?fàn)顟B(tài)下滑，如果不計(jì)磨擦，試求：

（1）物體運(yùn)動(dòng)的微分方程；

（2）求5

s后物體下滑的距離，以及此時(shí)的速度和加速度．

1．解

設(shè)物體在時(shí)刻t的溫度為，由題意滿足初值問(wèn)題

其中為常數(shù)．

解得

設(shè)物體冷卻到40℃所需時(shí)間為，于是由得

解得

52分鐘.2．解

取初始下滑點(diǎn)為原點(diǎn)，軸正向垂直向下，設(shè)

時(shí)刻速度為,距離為,由題意滿足初值問(wèn)題

解得

再由解得

于是得到5秒后，,．

形考任務(wù)4

常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)4

第二章

基本定理的綜合練習(xí)

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．

要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。

一、填空題

1.方程的任一非零

不能

與x軸相交．

2．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的充分條件．

3.方程+

ysinx

=

ex的任一解的存在區(qū)間必是(-∞,+∞)

．

4．一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是開(kāi)區(qū)間

．

5．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是　　XOY平面．

6．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面．

7．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面．

8．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是---，（或不含x

軸的上半平面）．

9．方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是全平面．

10．一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是開(kāi)區(qū)間．

二、計(jì)算題

1．判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？

（1）

（2）

1．解

（1)

因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件,所以在整個(gè)平面上,初值解存在且唯一.（2)

因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件,所以在整個(gè)平面上,初值解存在且唯一.2．

討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件．并求通過(guò)的一切解．

2.解

因?yàn)榉匠淘谡麄€(gè)平面上連續(xù),除軸外,在整個(gè)平面上有界,所以除軸外在整個(gè)平面上都滿足定理2.1的條件.而后分離變量并積分可求出方程的通解為

其中

另外容易驗(yàn)證是方程的特解.因此通過(guò)的解有無(wú)窮多個(gè),分別是:

3．判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．

（1）

（2）

3．解

（1)

因?yàn)樵诎肫矫嫔线B續(xù),當(dāng)時(shí)無(wú)界,所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程無(wú)奇解.（2)

因?yàn)樵诘膮^(qū)域上連續(xù),當(dāng)時(shí)無(wú)界,所以如果方程有奇解,則奇解只能是

顯然是方程的解,是否為奇解還需要進(jìn)一步討論.為此先求出方程的通解

由此可見(jiàn)對(duì)于軸上點(diǎn)

存在通過(guò)該點(diǎn)的兩個(gè)解:

及

故是奇解.三、證明題

1．試證明：對(duì)于任意的及滿足條件的，方程的解在上存在．

2．設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)有界，對(duì)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明方程的任一解在區(qū)間上有定義．

3．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為．

4．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對(duì)任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為．

5．假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個(gè)解．求證：若<，則在區(qū)間I上必有

<成立．

6．設(shè)是方程的非零解，其中在上連續(xù)．求證：當(dāng)時(shí)，必有．

7．設(shè)在上連續(xù)可微，求證：對(duì)任意的，方程

滿足初值條件的解必在上存在．

8．證明：一階微分方程的任一解的存在區(qū)間必是．

1．證明

首先和是方程在的解.易知方程的右端函數(shù)滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件.現(xiàn)在考慮過(guò)初值

()的解,根據(jù)唯一性,該解不能穿過(guò)直線和.因此只有可能向左右兩側(cè)延展,從而該初值解應(yīng)在上存在.2．證明

不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)分別作直線

和

.設(shè)過(guò)點(diǎn)的初值解為.因?yàn)?故在的某一右鄰域內(nèi),積分曲線位于之下,之上.下證曲線不能與直線相交.若不然,使得且,但由拉格郎日中值定理，使得.矛盾.此矛盾證明曲線不能與直線相交.同理可證,當(dāng)時(shí),它也不能與相交.故當(dāng)

時(shí)解曲線位于直線,之間.同理可證,當(dāng)時(shí),解曲線也位于直線,之間.由延展定理,的存在區(qū)間為。

3．證明

由已知條件，該方程在整個(gè)

平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件．

顯然

是方程的兩個(gè)常數(shù)解．

任取初值，其中,．記過(guò)該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)限延展；另一方面又上方不能穿過(guò)，下方不能穿過(guò)，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．

4．證明

由已知條件可知，該方程在整個(gè)

平面上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解

．

對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)，若，則過(guò)該點(diǎn)的解是，顯然是在上有定義．

若,則,記過(guò)該點(diǎn)的解為，那么一方面解可以向平面的無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展；另一方面在條形區(qū)域

內(nèi)不能上、下穿過(guò)解和，否則與解的惟一性矛盾．因此解的存在區(qū)間必為．

5．證明

僅證方向，（反之亦然）．

假設(shè)存在，使得>（=不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾）．

令=-，那么

=-<

0，=->

0

由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在，使得

=-=

0

即

=

這與解惟一矛盾

6．證明

由已知條件知方程存在零解．該方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件．

設(shè)是方程的一個(gè)非零解，假如它滿足，由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，這與是非零解矛盾．

7．證明

該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理．

又

是該方程的兩個(gè)常數(shù)解．

現(xiàn)取，記過(guò)點(diǎn)的解為．一方面該解可向平面的無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展，另一方面又不能上下穿越，否則將破壞解的惟一性．因此，該解只能在區(qū)域內(nèi)沿x軸兩側(cè)無(wú)限延展，顯然其定義區(qū)間必是．

8．證明

方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理的條件，又是方程的常數(shù)解．

對(duì)平面上任取的若則對(duì)應(yīng)的是常數(shù)解其存在區(qū)間顯然是

若)則過(guò)該點(diǎn)的解可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在區(qū)間必是．

四、應(yīng)用題

1．求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在軸上的截距之和為1．

2．求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長(zhǎng)等于常數(shù)．

1．解

首先,由解析幾何知識(shí)可知,滿足的直線

都是所求曲線.設(shè)

(x,y)

為所求曲線上的點(diǎn)，(X,Y)為其切線上的點(diǎn),則過(guò)

(x,y)的切線方程為

.顯然有

此處

a

與

b

分別為切線在Ox

軸與Oy

軸上的截距.故

.解出y,得到克萊洛方程,通解為

所以,即

為所求曲線方程.2．解

設(shè)

(x,y)

為所求曲線上的點(diǎn),(X,Y)為其切線上的點(diǎn),則過(guò)

(x,y)的切線方程為

.顯然有

此處

a

與

b

分別為切線在Ox

軸與Oy

軸上的截距.故,即.解出得

故曲線的方程為

消去即的曲線方程為

.形考任務(wù)5

題目1

方程過(guò)點(diǎn)（0,0）的積分曲線（）．

選擇一項(xiàng)：

A.有無(wú)窮多條

題目2

方程在xoy平面上任一點(diǎn)的解都（）．

選擇一項(xiàng)：

B.是惟一的題目3

方程的所有常數(shù)解是（）．

選擇一項(xiàng)：

題目4

方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是（）.選擇一項(xiàng)：

C.除去x軸的全平面

題目5

方程過(guò)點(diǎn)(0,0)的解為，此解的存在區(qū)間是（）.選擇一項(xiàng)：

題目6

若A(x),F(x)≠0在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性非齊次方程組，的任一非零解

（）

．

選擇一項(xiàng)：

D.可以與x軸相交

題目7

n維方程組的任一解的圖像是n+1維空間中的（）．

選擇一項(xiàng)：

B.一條曲線

題目8

方程的任一非零解在平面上（）零點(diǎn)．

選擇一項(xiàng)：

D.有無(wú)窮多個(gè)

題目9

三階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（）線性空間．

選擇一項(xiàng)：

A.3維

題目10

用待定系數(shù)法求方程的非齊次特解時(shí)，應(yīng)設(shè)為（）．

選擇一項(xiàng)：

形考任務(wù)6

常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6

第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．

要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。

一、填空題

1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間

不能

與x軸相交．

2．方程組的任何一個(gè)解的圖象是n

+

維空間中的一條積分曲線．

3．向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的必要

條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．

4．線性齊次微分方程組，的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于n

+

個(gè)．

5．若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于零

．

6．函數(shù)組的朗斯基行列式是

．

7．二階方程的等價(jià)方程組是

．

8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們

沒(méi)有

共同零點(diǎn)．

9．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）

．

10．階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為N

個(gè)．

11．在方程y″+

p(x)y′+q(x)y

=

0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上

可以

與x軸橫截相交．

12．二階線性方程的基本解組是　　．

13．線性方程的基本解組是

．

14．方程的所有解構(gòu)成一個(gè)

維線性空間．

15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)

n

維線性空間．

二、計(jì)算題

1．將下列方程式化為一階方程組

（1）

（2）

1．（1）

解，（2）解

2．求解下列方程組：

（1）

（2）

（1）

解

方程組的系數(shù)陣為

特征方程為：

det(A-E)=

=，其特征根為

.當(dāng)時(shí),，其中a,b滿足

(A-E)=

=

0,則有a

+

b

=

0．

取a

=

1,b

=1,則得一特解

同理,當(dāng)時(shí)，所以方程組的解為

（2）解

方程組的系數(shù)陣為

.特征方程為:

det(A-E)=

=

特征根為

.當(dāng)時(shí),其中a,b滿足

(A-E)=

=0,故有

即

.取，于是方程組對(duì)應(yīng)于

=

故特征根所對(duì)應(yīng)的實(shí)解為

=,=

所以方程組的解為

=

3．求解下列方程組：

（1）

（2）

（1）解

方程組的系數(shù)陣為

.特征方程為:

det(A-E)=

=

特征根為

當(dāng)時(shí),其中a,b滿足（=

0,即

第一個(gè)方程有

令，則

于是由

解得通解

=

.（2）

解

系數(shù)陣為

特征方程為:

det(A-E)==.特征根為

.通解解為

.4．求解下列方程組：

（1）

（2）

4．解

方程組的系數(shù)陣為，其特征方程為：

det(A-E)=

=.特征根為,方程組有如下形式的解:

代入原方程組有

消去得

令,則

令,則

所以方程組的解為

（2）解

首先求出相應(yīng)齊次線性方程組的通解.對(duì)應(yīng)齊次方程的系數(shù)陣為

.其特征方程為：

det(A-E)=

=.特征根為

當(dāng)時(shí)，其中a,b滿足(A-E)=

=0,則有ab

=

0

取a

=

b

=1,則得一特解

同理,當(dāng)時(shí)，所以對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解為

然后運(yùn)用常數(shù)變易法計(jì)算原方程組的一個(gè)特解.將代入原方程組，得

解得

.原方程組的特解為

所以原方程組的通解為

5．已知方程的一個(gè)解，求其通解．

解：由通解公式，6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解

（1）

（2）

6．（1）

解

特征方程為:

特征根為:。它們對(duì)應(yīng)的解為:

方程通解為:.（2）

解

特征方程為:

特征根為:

它們對(duì)應(yīng)的解為:

方程通解為:

.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：

（1），（2），7．（1）

解

特征方程為:.特征根為:，方程通解為:

由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.（2）解

特征方程為:.特征根為:，方程通解為:

由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：

（1）

（2）

8．（1）解

由于，故齊次方程的通解為

.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.將它代入原方程，得,，所求通解為.（2）解

由于，.因?yàn)椴皇翘卣鞲室阎匠逃行稳绲奶亟猓畬⑸鲜酱朐匠蹋傻茫笸ń鉃?/p>

.三、證明題

1．設(shè)矩陣函數(shù)，在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組

與有相同的基本解組，則o．

2．設(shè)在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．

3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù)．

1．證明

設(shè)為基本解矩陣,因?yàn)榛窘饩仃囀强赡娴?故有

于是.2．證明

設(shè)w(x)是方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對(duì),或,所以,在上恒正或恒負(fù),即w(x)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).3．證明

設(shè)兩個(gè)線性的解組的朗斯基行列式分別為，且，所以有.四、應(yīng)用題

1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開(kāi)始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解

設(shè)液體的反作用與質(zhì)點(diǎn)速度的比例系數(shù)為

則指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足方程：

即

則(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：

又是齊次方程的特征根,故特解形式為：

代入(*)式得：

所以

由得

故