12.3
角的平分線的性質
基礎鞏固
1.作∠AOB的平分線OC,合理的順序是()
①作射線OC;②以O為圓心,適當長為半徑畫弧,交OA于D,交OB于E;③分別以D,E為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧在∠AOB內交于點C.A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
2.三角形中到三邊距離相等的點是()
A.三條邊的垂直平分線的交點
B.三條高的交點
C.三條中線的交點
D.三條內角平分線的交點
3.如圖,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,下列結論錯誤的是()
A.PD=PE
B.OD=OE
C.∠DPO=∠EPO
D.PD=OD
4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于點D,如果AC=3
cm,那么AE+DE等于()
A.2
cm
B.3
cm
C.4
cm
D.5
cm
5.△ABC中,∠C=90°,點O為△ABC三條角平分線的交點,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,且AB=10
cm,BC=8
cm,AC=6
cm,則點O到三邊AB,AC,BC的距離為()
A.2
cm,2
cm,2
cm
B.3
cm,3
cm,3
cm
C.4
cm,4
cm,4
cm
D.2
cm,3
cm,5
cm
6.如圖所示,∠AOB=60°,CD⊥OA于點D,CE⊥OB于點E,且CD=CE,則∠DCO=__________.7.在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,則D到AB的距離為_________.
8.點O是△ABC內一點,且點O到三邊的距離相等,∠A=60°,則∠BOC的度數為__________.
能力提升
9.如圖,BN是∠ABC的平分線,P在BN上,D,E分別在AB,BC上,∠BDP+∠BEP=180°,且∠BDP,∠BEP都不是直角.求證:PD=PE.10.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于點E,點F在AC上,BD=DF.(1)求證:CF=EB;
(2)請你判斷AE,AF與BE的大小關系,并說明理由.
11.八(1)班同學上數學活動課,利用角尺平分一個角(如圖).設計了如下方案:
①∠AOB是一個任意角,將角尺的直角頂點P介于射線OA,OB之間,移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M,N重合,即PM=PN,過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.
②∠AOB是一個任意角,在邊OA,OB上分別取OM=ON,將角尺的直角頂點P介于射線OA,OB之間,移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合,即PM=PN,過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.
(1)方案①、方案②是否可行?若可行,請證明;若不可行,請說明理由.
(2)在方案①PM=PN的情況下,繼續移動角尺,同時使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?請說明理由.
參考答案
1.C
2.D 點撥:由角的平分線的性質知,到角兩邊距離相等的點在角的平分線上,所以到三角形三邊距離相等的是三條內角平分線的交點.
3.D 點撥:由角平分線的性質得,PE=PD,進而可證△PEO≌△PDO,得OE=OD,∠DPO=∠EPO,但PD=OD是錯誤的.
4.B 點撥:
因為BE平分∠ABC,∠ACB=90°,DE⊥AB于點D,所以DE=EC,那么AE+DE=AE+EC=AC=3
cm.5.B 點撥:因為點O為△ABC三條角平分線的交點,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,所以設點O到三邊AB,AC,BC的距離為x
cm,由三角形的面積公式得,解得x=2(cm).
6.60° 點撥:因為CD⊥OA于點D,CE⊥OB于點E,且CD=CE,所以OC為∠AOB的平分線,所以∠AOC=30°,所以∠DCO=60°.7.14 點撥:設BD=9x,CD=7x,所以9x+7x=32,解得x=2,所以BD=18,CD=14.AD平分∠BAC交BC于D,則D到AB的距離等于CD=14.8.120° 點撥:點O到三邊的距離相等,所以點O是三個內角的平分線的交點,又因為∠A=60°,所以∠ABC+∠ACB=120°,所以∠BOC=180°-60°=120°.9.證明:過點P分別作PF⊥AB于F,PG⊥BC于G,因為BN是∠ABC的平分線,所以PF=PG.又因為∠BDP+∠BEP=180°,∠PEG+∠BEP=180°,所以∠BDP=∠PEG.在△PFD和△PGE中,∴△PFD≌△PGE(AAS),∴PD=PE.10.(1)證明:∵∠C=90°,∴DC⊥AC,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DC=DE,∠DEB=∠C=90°,在Rt△DCF與Rt△DEB中,∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL),∴CF=EB.(2)解:AE=AF+BE.理由如下:∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD,又∵∠C=∠DEA=90°,∴△ACD≌△AED(AAS),∴AC=AE,由(1)知BE=CF,∴AC=AF+CF=AF+BE,即AE=AF+BE.11.(1)方案①不可行.缺少證明三角形全等的條件.
方案②可行.
證明:在△OPM和△OPN中,∴△OPM≌△OPN(SSS).
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形對應角相等).
(2)解:當∠AOB是直角時,此方案可行.
∵四邊形內角和為360°,又若PM⊥OA,PN⊥OB,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,∴∠AOB=90°,∵若PM⊥OA,PN⊥OB,且PM=PN,∴OP為∠AOB的平分線.(到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上),當∠AOB不為直角時,此方案不可行.