13.3

等腰三角形

基礎鞏固

1．若等腰三角形底角為72°，則頂角為()

A．108°

B．72°

C．54°

D．36°

2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，則∠C＝()

A．72°

B．60°

C．75°

D．45°

3．若等腰三角形的周長為26

cm，一邊為11

cm，則腰長為()

A．11

cm

B．7.5

cm

C．11

cm或7.5

cm

D．以上都不對

4．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每個頂點處各取一個外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有()

A．①②③

B．①②④

C．①③

D．①②③④

5．如圖所示，已知∠1＝∠2，要使BD＝CD，還應增加的條件是()

①AB＝AC?、凇螧＝∠C?、跘D⊥BC　④AB＝BC

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②③④

6．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于點D，若AD＝2，則AB＝__________.能力提升

7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，EF過D點，且EF∥BC，圖中等腰三角形共有()

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

8．如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是()

A．6

B．7

C．8

D．9

9．如圖，D是△ABC中BC邊上一點，AB＝AC＝BD，則∠1和∠2的關系是()

A．∠1＝2∠2

B．∠1＋∠2＝90°

C．180°－∠1＝3∠2

D．180°＋∠2＝3∠1

10．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝4.2

cm，則AD＝__________.11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步驟作圖：

(1)分別以A，B為圓心，以大于的長為半徑做弧，兩弧相交于點P和Q；

(2)作直線PQ交AB于點D，交BC于點E，連接AE.若CE＝4，則AE＝__________.12．如圖所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的長．

13．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，點E在CA的延長線上，且∠AEF＝∠AFE.求證：EF⊥BC.14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分線，CH⊥BD，交BD的延長線于H，求證：BD＝2CH.15．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動(與A，C不重合)，Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合)，過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D.(1)當∠BQD＝30°時，求AP的長；

(2)當運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

參考答案

1．D　點撥：等腰三角形兩底角相等，所以頂角為36°，故選D.2．A　點撥：設∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x，因為∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°，所以∠C＝72°，故選A.3．C　點撥：邊長為11

cm的邊長可能是腰，也可能是底，所以要分兩種情況討論．一種情況腰長為11

cm；另一種情況底邊為11

cm，此時腰長為7.5

cm，兩種情況都成立，故選C.4．D　點撥：①②為判定定理，③每個外角都相等，則都是120°，所以每個內角都是60°，④一腰上的中線也是這條腰上的高，說明這條線段所在的直線是這條腰的垂直平分線，所以腰等于底，也是等邊三角形，四個都成立，故選D.5．C　點撥：①②說明△ABC為等腰三角形，由“三線合一”可知BD＝CD，由③能得到△ABD≌△ACD，所以BD＝CD，④不能得到BD＝CD，故選C.6．8　點撥：由題意可知，在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠ACD＝∠B＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC.所以AB＝4AD＝4×2＝8.7．D　點撥：由題意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都是等腰三角形，共有5個，故選D.8．C　點撥：如圖，共有8個格點．注意3和8也是，故選C.9．D　點撥：因為AB＝BD，所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2.因為AB＝AC，所以∠B＝∠C.所以180°－2∠1＝∠1－∠2，整理得180°＋∠2＝3∠1，故選D.10．1.4

cm　點撥：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，DA⊥BA于A，所以BD＝2AD.所以BC＝3DC＝3AD＝4.2(cm)．

所以AD＝1.4

cm.11．8　點撥：由題意可得出：PQ是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°.∴.∴AE＝8.12．解：如圖，過P作PE⊥OB，垂足為E.∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA，∴PD＝PE.∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP＝15°.∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°，在Rt△CPE中，∠ECP＝30°，∴.∴PD＝PE＝2.13．證明：如圖，過A作AD⊥BC，垂足為D，∵AB＝AC，∴.∵∠AEF＝∠AFE，∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，∴.∴∠EFA＝∠BAD.∴EF∥AD，∴EF⊥BC.14．證明：如圖，分別延長CH，BA交于點E.∵CH⊥BD，BD是∠ABC的角平分線，∴∠CHB＝∠EHB＝90°，∠CBH＝∠EBH.又∵BH＝BH，∴△CBH≌△EBH.∴CH＝EH.∴CE＝2CH.∵∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB.∵∠CAB＝∠CAE＝90°，∴∠E＋∠ECA＝90°.∵CH⊥BD，∴∠E＋∠EBH＝90°.∴∠ECA＝∠EBH.∴△ECA≌△DBA.∴CE＝BD.∴BD＝2CH.15．解：(1)∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB＝60°.∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.設AP＝x，則PC＝6－x，QB＝x，∴QC＝QB＋BC＝6＋x.∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴，即，解得x＝2.∴AP＝2.(2)當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變．理由如下：

作QF⊥AB，交AB的延長線于點F，連接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°.∵點P，Q速度相同，∴AP＝BQ.∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°.在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF.在△APE和△BQF中，∠AEP＝∠BFQ，∠A＝∠FBQ，AP＝BQ，∴△APE≌△BQF(AAS)．

∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF.∴四邊形PEQF是平行四邊形．

∴.∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，∴.又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE＝3.∴當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變．