一道很多人問過的幾何題的解析

1.題目原題

2.初中方法

√3*x

√3*x

x

60°

G

F

E

如圖，過點(diǎn)C作CE垂直于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF垂直于點(diǎn)F，延長AC，過點(diǎn)D作DG垂直于AC的延長線于點(diǎn)G（圖有點(diǎn)丑，抱歉），總共4條輔助線。

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，∵AD平分∠CAB，GD⊥AG，DF⊥AF

∴GD=DF

又∵GD⊥AG，DF⊥AF

∴∠G=∠AFD=90°

易證ΔDGA≌ΔDFA（AAS）

∴AG=AF

又∵∠ACD=120°

∴∠GCD=60°

易得∠CDG=30°

設(shè)CG=x，∵∠=30°，∠G=90°

∴CD=2CG=2x，AG=AF=AC+CG=12+x

根據(jù)勾股定理，易得CD=

∴DF=CD=

順便提一點(diǎn)，（大多數(shù)人應(yīng)該知道），含30°角的直角三角形的三邊的長度比為，短直角邊：長直角邊：斜邊=1：√3：2

設(shè)CE=y，F(xiàn)B=z

2x

z

y

則本題思路基本成型。只要得到關(guān)于x,y,z的3個(gè)等式，并將它們聯(lián)立成為方程組，就可以將本題解出來（不過解這個(gè)方程組不是一般的麻煩）。

∵DF⊥AB,CE⊥AB

∴CE∥DF

∴ΔCEB相似于（相似符號(hào)打不出來，抱歉）ΔDFB

所以CB/DB=CE/DF

即(2x+5)/5=y/√3*x

在ΔDFB中，∵∠DFB=90°

∴DF2+FB2=DB2

即(√3*x)2+z2=52

AB=AF+FB=12+x+z

又∵SΔABC=SΔACD+SΔADB

即0.5*CE*AB=0.5*GD*AC+0.5*DF*AB

即0.5*y*(12+x+z)=0.5*√3*x*12+0.5*√3*x*(12+x+z)

3個(gè)紅色字體的等式聯(lián)立起來，就可以解得結(jié)果，再代入，算AD的長度就可以啦~千萬不要嘗試手解這個(gè)方程組！

千萬不要嘗試手解這個(gè)方程組！

千萬不要嘗試手解這個(gè)方程組！

千萬不要嘗試手解這個(gè)方程組！

重要的事情說三遍！

最終的結(jié)果是這個(gè)數(shù)：AD=

本題理解思路即可，不必計(jì)算

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