看完前面的故事，同學們可能有些疑問，真的需要那么多麥子嗎？同學們可以試著算一算：

從第一個棋盤開始，需要的麥子數分別為：1

粒、2

粒、4

粒、8

粒、16

粒、32

粒、64

粒、128

粒、256

粒、512

粒、1024

粒、2048

粒、??，寫到這里，同學們可以看出：開始的時候麥粒數量并不大，但越到后面數量越多，最終會達到全世界都無法承受的程度．

麥粒數量形成的這串數列，就叫做等比數列．等比數列就是按照相同的倍數增加（或減少）的數列，例如“麥粒數列”就是按照

倍的速度變大的，這個相同的倍數就是公比，“麥粒數列”的公比就是

2．同等差數列一樣，等比數列同樣有首項、末項及項數．同學們可以想一想如何通過首項和公比將等比數列的每一項都表示出來．等差數列求和是利用“倒序相加”或“配對求和”的方法，那么等比數列如何求和呢？我們來看一個例題．

分析

這是一個等比數列求和的問題

.如果一個一個地計算會有點復雜，那么該如何簡便地算出數列的和呢？

古代的等比數列

等比數列源于古代的一些實際問題．古埃及國王拉阿烏斯有位能干的文書阿默斯．他用象形文字寫了一部《算書》，記錄了公元前

2000

年

~

公元前

1700

年間數學研究的一些成果．其中有這樣一題，題中畫了一個階梯，階梯旁邊標著數：7，49，343，2401，16807．并在數旁依次畫了人、貓、鼠、大麥和量器．原書上并無任何說明，這成為數學史上的一個難解之謎，2000

多年中無人能解釋．

直到中世紀，意大利數學家斐波那契在1202

年發表了《算盤全書》，書中有這樣一題：

有七個老婦人同去羅馬，每人有七只騾子，每只騾子背著七個袋子，每個袋子放有七個面包，每個面包有七小刀隨之，每把小刀配有七鞘，問列舉之物全數共有幾何？

顯然這是一個等比數列的求和問題．

由此也基本解開了阿默斯之謎．原來阿默斯問題的意思是：今有七人，每人有七貓，每貓食七鼠，每鼠食七只大麥穗，每穗可長成大麥七量器，由此可得之數列如何？當然

這僅僅是推測．

我國古代數學家也早就研究過等比數列的問題．《孫子算經》中有一個有趣的題目“出門望九堤”：今有出門重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何？

有關等比數列的知識，同學們在初中高中還會繼續學習，在這里只需掌握簡單的等比數列求和即可．下面我們來看一道復雜的分數計算的題目．

?

2.計算：10

?

?4

+

è

在計算中，常用的巧算方法有：湊整、提取公因數、分組求和、倒序相加、找規律等．有些題目用一種辦法就能解決，有的題目可能幾種辦法都適用．同學們在做題的過程中要注意多積累，多思考，多去尋找不同的方法解題．下面一個例題，看看你能想到幾種解決方法．

分析

發現這個數列是一個等差數列，如果是求數列和，那很自然地想到配對求和，那么求數字之和能不能用配對求和呢？

3.從

到

所有數的數字之和為多少？

分析

很明顯我們不能將所有除以

余

1的數一個一個地列出來，不過我們可以嘗試著去計算一下，看看有沒有規律可以利用．找到了規律，問題就好解決了．

練習

4.數列

1，1，2，3，5，?中第100

個數除以

3的余數為多少？

在數列的計算中，找到數列的規律是非常重要的．但有些數列的規律不容易被發現，這就需要我們認真觀察，仔細比對，從而找到那些隱藏的規律．

分析

觀察數列，你找到什么規律了嗎？如何利用這些規律呢？

5.數列1，2，2，3，3，3，4，?中，第100

項是什么？前

項的和是多少？

×××

×××

×××

×××

×××

×××

×××

×××

一、等比數列及等比數列“錯位相減”法求和．

二、提取公因數，整體約分．

三、分類討論，分組求和．

四、數列找規律．

1.有一塊正方形的披薩，現在橫一刀、豎一刀把披薩切成4

塊，接著對每一塊小披薩也進行同樣的操作，然后再次對每一小塊披薩進行同樣的操作，最終有多少塊小披薩？

2.從

到

5000

所有數的數字之和為多少？