數(shù)學學科學案

設(shè)計教師：田雪

審閱人：崔淑蓮

使用班級：高一年級

學生姓名：_______

編號：2020-2021學年度（下）學期

號

使用時間：

課題

平面向量基本定理

課型

新授課

課標考綱要求（核心素養(yǎng)）：數(shù)學抽象，邏輯推理，數(shù)學運算

學習目標：1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．

學習重點：平面向量基本定理的理解與應用.學習難點：平面向量基本定理的證明及應用.問題導入

上節(jié)我們學習了向量的運算，知道位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.類似地，平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個不共線向量表示呢?

新課講解

我們知道，已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力，如圖，我們可以根據(jù)解決實際問題的需要，通過作平行四邊形，將力F分解為多組大小、方向不同的分力.由力的分解得到啟發(fā)，我們能否通過作平行四邊形，將向量分解為兩個向量，使向量是這兩個向量的和呢?

探究：如圖(1)，設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，是這一平面內(nèi)與，都不共線的向量.如圖(2)，在平面內(nèi)任取一點O，作，,.將按，的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)?

知識點1

平面向量基本理

1、定理：如果，是同平面內(nèi)的兩個

向量，那么對于這一平面內(nèi)的向量，實數(shù)，使.2、基底：若，不共線，我們把

叫做表示這一平面內(nèi)

向量的一個基底．

說明：(1)基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.(2)基底給定時，分解形式唯一.，是被，唯一確定的數(shù)值.(3)，是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當與共線時，；當與共線時，；當時，．

(4)由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量

知識點2

兩向量的夾角與垂直

1、夾角：已知兩個

向量和，如圖，作，則

＝

()叫做向量與的夾角．

（1）范圍：向量與的夾角的范圍是．

（2）當時，與

（3）當時，與

2、垂直：如果與的夾角是，則稱與垂直，記作.典例分析

例1

如圖，不共線，且，用表示.重要結(jié)論:如果三點共線，點O是平面內(nèi)任意一點，若，則。

例2

如圖是的中線,用向量的方法證明是直角三角形.鞏固練習

題型一

平面向量基本定理的理解

如果，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

①可以表示平面內(nèi)的所有向量；

②對于平面內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮多個；

③若向量與共線，則.④若實數(shù)使得，則.A．①②

B．②③

C．③④

D．②

【跟蹤訓練】1

設(shè)，是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：

①與；②與；③與；④與.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________(寫出滿足條件的序號)．

題型二

用基底表示平面向量

如圖，已知在梯形中，，分別是邊上的中點，且，.試以為基底表示，.【跟蹤訓練】2

如圖所示，在中，，、分別是邊、上的點，且，設(shè)與交于點，用向量表示.題型三　平面向量基本定理的應用

如圖，在中，點是的中點，點在上，且，與相交于點，求︰與︰的值.【跟蹤訓練】3

如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若,其中，則____.課后作業(yè)

1.下列說法中，正確說法的個數(shù)是（）

①在中，可以作為基底；

②能夠表示一個平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的；

③零向量不能作為基底．

A．0　　　　B．1

C．2　　　　D．3

2.如圖在矩形中，若＝5e1，＝3e2，則＝()

A.(5e1＋3e2)

B.(5e1－3e2)

C.(3e2－5e1)

D.(5e2－3e1)

3.如圖，在中，為線段上的一點，且則（）

A．，B．，C．，D．，4.等邊中，與的夾角是()

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

5．若a、b不共線，且λa＋μb＝0()，則()

A．a(chǎn)＝0，b＝0

B．＝＝0

C.＝0，b＝0

D．a(chǎn)＝0，＝0

6．如圖，設(shè)O是平行四邊形兩對角線的交點，有下列向量組：

①與；②與；③與；④與.其中可作為該平面內(nèi)所有向量基底的是（）

A．①②

B．①③

C．①④

D．③④

7．M為△ABC的重心，點D，E，F(xiàn)分別為三邊BC，AB，AC的中點，則＋＋等于()

A．6

B．－6

C．0

D．6

二、填空題

8.設(shè)向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，則p＝________.9.在△ABC中，＝c，＝b.若點D滿足＝2，則＝____________.(用b、c表示)

10.已知向量e1，e2不共線，實數(shù)滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則

.11.設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．

三、解答題

12.如圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求證：AP∶PM＝4∶1.13．在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，(1)如圖1，如果E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，試用a，b分別表示，.(2)如圖2，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用a，b表示.